UNIVERSIDAD AUSTRAL DE CHILEFACULTAD DE CIENCIAS DE LA INGENIERIA

CENTRO DE DOCENCIA DE CIENCIAS BASICAS PARA INGENIERIA.

Gua BAIN053 Metodos NumericosErrores, Sistemas Lineales y Ecuaciones No Lineales

1. Explique porque la serie armonican=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+ . . . ,

que es divergente, resulta ser convergente al calcularla con un computador.

2. El cuocientef(x+ h) f(x)

h, define una aproximacion natural para f (x) cuando h es pequeno. Considerando

h =1

2 10n para n = 0, 1, 2, 3, . . . evalue aproximaciones para las derivadas de

(a) f(x) = x3 3 en x = 2.(b) f(x) = lnx en x = 1.

Ademas, para cada una de las funciones anteriores, halle el valor mas pequeno de n para el cual h produce quesu calculadora evalue la aproximacion con error nulo.

3. Considere las matrices

A =

(8 13 2

)y B =

14 0 00 3 00 0 2

Calcule las normas subordinadas 1,2 e de cada una de ellas.

4. Pruebe que una matriz Diagonal da lugar a un sistema bien condicionado, en el sentido que pequenas pertur-baciones en los elementos de la diagonal generan perquenos errores relativos en la solucion de Dx = b.

5. (TGA) Considere la matriz

A =

1 0 0 . . . 00 1/2 0 . . . 0...

.... . .

. . ....

0 0 . . . 1/(n 1) 00 0 . . . 0 1/n

Muestre que para cualquier norma subordinada p se tiene que p(A) n.Indicacion: Calcule (A).

6. Demuestre que toda matriz A Mn(R) verifica A2 A1A .

7. (P)Resuelva el sistema

2.51x1 + 1.48x2 + 4.53x3 = 0.05

1.48x1 + 0.93x2 1.30x3 = 1.032.68x1 + 3.04x2 1.48x3 = 0.53

(a) Utilizando el metodo de Gauss con precision de tres dgitos significativos y truncacion. (Sin intercambiarfilas)

(b) Pivoteo Parcial por Columnas, precision de tres dgitos significativos y truncacion.

1

8. Considere los sistemas lineales

10x1 + x2 + x3 = 12x1 + 10x2 + x3 = 12x1 + x2 + 10x3 = 12

y2x1 + 5x2 + 5x3 = 125x1 + 2x2 + 5x3 = 125x1 + 5x2 + 2x3 = 12

Ambos sitemas son equivalentes y su solucion es x = (1, 1, 1)t. Verifique que el metodo de Gauss-Jacobiconverge para el primer sistema y diverge para el segundo.

9. (TGA) Considere la matriz Ln Mnn definida por:

2 1 0 . . . 01 2 1 . . . 0

0 1 . . . . . . 0...

. . .. . . 2 1

0 . . . 0 1 2

y el vector de Rn

bn =1

n2(1, 1, 1, . . . , 1)t

Suponga que se quiere calcular la solucion del sistema lineal Lnx = bn (cuya solucion exacta denotaremos x)

pero que debido a errores de redondeo bn se puede representar con solo 10 dgitos significativos, de modo quelo mejor que podemos hacer es intentar resolver el sistema Lnx = fl(bn) (cuya solucion exacta es x) dondefl(bn) es la representacion en punto flotante de la maquina en cuestion.

a) Deduzca una cota superior para el error relativo de la solucion cuando n = 10k con k = 1, 2, 3, 4, 5.

bn =1

102k(1, 1, 1, . . . , 1)t

Dada la precision de la maquina el numero 102k, para k = 1, 2, 3, 4, 5, puede almacenarse de maneraexacta y por tanto, el error es nulo.

b) Que puede decir del error relativo para n = 3 ?

10. (P) Ilustre con un ejemplo que existen matrices A Mnn(R) tales que satisfacen simultaneamente A 1y (A) < 1.

Que puede concluir respecto del esquema iterativo:x(0) Rn

x(n+1) = Ax(n) + c?

11. (P) Considere el sistema: 5 2 11 6 32 1 4

xyz

= 64

7

a) Muestre que el metodo de Gauss-Jacobi aplicado al sistema anterior es convergente.

b) Partiendo con la aproximacion inicial x(0) = (0, 0, 0)T

calcule el numero de iteraciones necesarias paralograr una precison de 103.

12. A pesar de que muchas veces se considera como criterio de parada el hecho que |f(xn)| < es necesario teneren cuenta como es el comportamiento de la funcion. Que este criterio se satisfaga no implica que se tenga unaaproximacion a un cero de f . Por ejemplo, considere la funcion

f(x) =ln(x)

x3,

definida para todo x > 0. Analice el valor de la funcion en x = 1, 2, 10, 100, ... , Que observa?

2

13. Considere la ecuacion f(x) = 2x25x+2 = 0, cuyas races son x0 = 0.5 y x1 = 2.0. Se proponen los siguientesmetodos iterativos para aproximar dichas races:

a) xn+1 =2x2n + 2

5

b) xn+1 =

5xn

2 1

Cual de los metodos propuestos utilizara para aproximar la raz x1? Justifique.

14. (TGA) Considere la ecuacion no lineal:

f(x) := x3 2x+ 2 = 0 (1)

a) Muestre que f posee una raz en el intervalo [3, 1]. Deduzca ademas que tal raz es unica en todo R.

Indicacion: Para la primera parte realice una tabla de valores de f . Para demostrar la unicidad,realice una tabla de variacion que permita identificar los intervalos de monotona de f .

b) Considere ahora x0 = 0. Muestre que el metodo de Newton aplicado a f con tal aproximacion inicial noconverge.

c) Para resolver el problema (1) se propone el siguiente metodo hbrido:

(a) Dados 1 e I = [a, b], iterar el metodo de la biseccion hasta hallar una nueva aproximacion x que

satisfaga x < 1.(b) Partiendo de x y dado 2, iterar el metodo de Newton para hallar una aproximacion x tal que x < 2.

d) Usando x0 = 1, 1 = 0.5 y 2 = 106, calcule el numero de pasos de cada una de las etapas del metodo

hbrido descrito mas arriba (es decir, calcule cuantas iteraciones del metodo de la biseccion y cuantas delmetodo de Newton se necesitan para alcanzar la precision deseada) y calcule una aproximacion de .

15. Muestre que la ecuacion ln(x) = 1 2x tiene una solucion entre x = 0.5 y x = 1.a) Encuentre esta solucion con 4 dgitos decinales correctos, usando:

El metodo de biseccion. El metodo de Newton. El metodo de la Secante. El metodo de Regula-Falsi.

b) Proponga un metodo de punto fijo, distinto al de Newton, convergente a la saolucion. La convergenciadebe estudiarla en forma teorica, es decir, sin realizar iteraciones.

16. Muestre que la recurrencia

xn+1 =xn(x

2n + 3a)

3x2n + a

genera una sucesion que converge con orden 3 aa.

3