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http://descartes.cnice.mecd.es/materiales_didacticos/Inecuaciones/inecindex.htmlMatemtica I (Grupo 1)Martes y Jueves6:30-8:10 a.m.

Matemtica I (Grupo 3)Sbado1:30-4.50 p.m.

Ing. Celeste Primavera Velsquez

lgebra

NDICE

Introduccin

Objetivos1. Desigualdades e inecuaciones. Clasificacin2. Propiedades de las desigualdades3. Repaso de la funcin afn4. Resolucin de inecuaciones. Inecuaciones de 1er grado con una incgnita5. Inecuaciones de 1er grado con denominadores6. Repaso de la funcin cuadrtica7. Inecuaciones de 2 grado con una incgnita8. Inecuaciones de 1er grado con dos incgnitas9. Sistemas de dos inecuaciones de 1er grado con dos incgnitas

INECUACIONES

INTRODUCCIN

En este tema trataremos los siguientes aspectos:

Concepto de desigualdad y de inecuacin.

Repaso de la funcin afn

Resolucin de inecuaciones de 1er grado con una incgnita.

Repaso de la funcin cuadrtica

Resolucin de inecuaciones de 2 grado con una incgnita.

Repaso de la resolucin grfica de las ecuaciones con dos incgnitas

Inecuaciones de 1er grado con dos incgnitas.

Sistemas de dos inecuaciones de 1er grado con dos incgnitas.

Se requieren los siguientes conocimientos previos Resolver ecuaciones de 1er y 2 grado con una incgnita

Representar intervalos en la recta real

Conocer el plano cartesiano

Manejar la representacin de funciones afines y cuadrticas

OBJETIVOS

Reconocer las inecuaciones.

Clasificar las inecuaciones atendiendo a su grado y el nmero de incgnitas.

Relacionar las inecuaciones de 1er grado con una incgnita con las grficas de funciones afines.

Resolver inecuaciones de 1er con una incgnita.

Relacionar las inecuaciones de 2 grado con una incgnita con las grficas de las funciones cuadrticas.

Resolver inecuaciones de 2 grado con una incgnita. Resolver grficamente inecuaciones de 1er grado con dos incgnitas Resolver grficamente sistemas de dos inecuaciones de 1er grado con dos incgnitas

1. DESIGUALDADES E INECUACIONES. CLASIFICACIN

DESIGUALDADES:Expresiones en las que aparece un signo de desigualdad.SMBOLOS DE DESIGUALDAD

Vemos que hay desigualdades en las que solamente aparecen nmeros y otras en las que adems aparecen letras.

INECUACIONES:Son desigualdades en las que aparecen letras y nmeros con las operaciones usuales. Las letras son las variables o incgnitas de las inecuaciones.

Ejemplos de desigualdades:3 < 7-2 > -5x 2x-3 y

Ejemplos de inecuaciones:x 2,x-3 yx2-5x 4xy-3 > 0

CLASIFICACIN DE LAS INECUACIONESLas inecuaciones se clasifican atendiendo al nmero de incgnitas y al grado de la expresin algebraica que aparece en ellas. INECUACINTIPO2x-3 > x-51 grado; 1 incg.x-3 y1 grado; 2 incgx2-5x 42 grado; 1 incg.xy-3 > 02 grado; 2 incg.

ACTIVIDADES PROPUESTAS1. Copia en tu cuaderno las siguientes desigualdades, y di cules son inecuaciones indicando su grado y nmero de incgnitas:a) 2x -2b)-3 2 c) x2y > 1 d)x2-5y 0 e) 2x-2y 2(x-y)f)4(x-3) -2 5Sumar 3x+7 > 8Restar 74x < 12Dividir entre 4-2x 8Dividir entre (-2)x-9 > -2Sumar 9-3x 9Dividir entre -3Completa la escena siguiente con las respuestas correctas en cada caso:

3. REPASO DE LA FUNCIN AFN

Recordamos que la funcin afn es la que viene dada por una expresin de la forma y = mx + nUn caso particular es el de la funcin lineal, cuya expresin es: y = mx

En esta escena vemos la grfica de la funcin afn:y = 2x 3Mueve el punto P y observa sus coordenadas. (Fjate que pueden no ser exactas. Para tener resultados exactos, escribe el valor de x y aparecer P en su lugar correspondiente).Observa como cambia la recta al variar los valores de m y n. Fjate que tambin varan las zonas del eje OX de color "azul" y "verde".

Contesta en tu cuaderno:1. Qu valor hace que cambie la inclinacin de la recta?

2. Cmo es la recta cuando m>0?, y cuando m 0?

7.Para qu valores de x resulta 2x3 < 0?

ACTIVIDADES PROPUESTAS1.Repite las cuestiones 5, 6 y 7 para las expresiones siguientes: (Utiliza la escena anterior para ver la grfica de las funciones afines correspondientes a cada caso)a) 2x + 6b)3x 2 c) 5x + 8d)7x e) x + 4f)2x 5 g)4x h)15x 25

2. En la escena siguiente vers en la zona izquierda una recta y en la derecha una ecuacin. Si coinciden contesta "s", en caso contrario contesta "no".hasta completar el ejercicio.

4. RESOLVER UNA INECUACIN

Consiste en buscar el valor o valores de la(s) incgnita(s) para que la desigualdad sea verdadera.Ejemplo: Inecuacin: x-3 > 2Sumando 3 a ambos miembros, obtenemos:x > 5

SOLUCIONES DE UNA INECUACIN

Valores de la (s) variable (s) para los que se cumple la desigualdad.Soluciones: Todos los nmeros reales mayores que 5, es decir:x (5, )

INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCGNITA

Las inecuaciones de 1er grado con una incgnita son las que responden a las siguientes formas bsicas:ax + b 0 ax + b 0 ax + b 0Resolucin: Se representa la funcin afn y = ax + b, y se observa donde ax+b tiene el signo que se pide en cada caso.Ejemplo: Resolvamos la inecuacin: 2x - 3 0

Representamos la funcin y = 2x - 3Dibjala tambin en tu cuaderno

Contesta en tu cuaderno: 1. Para qu valor de x resulta 2x - 3 = 0?. Expresa el resultado en forma decimal y en forma de fraccin.2.Para qu valores de x resulta 2x - 3 < 0? Respondiendo correctamente a las cuestiones planteadas tendremos las soluciones de la inecuacin:x 1,5O en forma de intervalo:x [;1,5]

ACTIVIDADES PROPUESTASResuelve las siguientes inecuaciones. Utiliza la escena anterior para ver las grficas de las funciones correspondientes en cada caso:a)2x + 6 < 0b)3x 2 0 c)5x + 8 0d)7x < 0e)x + 4 < 0f)2x 5 0 g)4x 0

h)15x 25 0En la siguiente escena elige la respuesta correcta en cada uno de los apartados.

5. INECUACIONES DE PRIMER GRADO CON DENOMINADORES

Al igual que en las ecuaciones, tambin pueden presentrsenos inecuaciones con parntesis y denominadores. Para resolverlas obtendremos inecuaciones equivalentes a la dada pero con expresin cada vez ms sencilla, hasta llegar a una de las formas conocidas.

El proceso a seguir es el mismo que para las ecuaciones:Ejemplo: Resolvamos la inecuacin:

1.- Quitar parntesis.1.- Quitamos parntesis

2.- Quitar denominadores.2.- Quitamos denominadores

3.- Reducir trminos semejantes (hasta obtener una inecuacin de una de las formas bsicas).3.- Reducimos trminos semejantes

4.- Resolver la inecuacin.4.- Resolvemos la inecuacin

ACTIVIDADES PROPUESTASResuelve las siguientes inecuaciones de 1er grado con denominadores:

a)6x 3 > 5x 7b) (x - 9) 2 (x3) + 5c) 2 (x2) + 5 4 (2x 7) 3d)6 (2x 1) 7 2 (5x 2) + 5xe) 10x 9 (2x + 1) 3x > 5 (x 5)f)(x 2) (x + 3) x (x 1) 8g) 2x + 1 < x + 2 _ 2 3 4h) x 7 > x _ x + 2 _ 1 6 4 3i) x 3 > +4 < x + 9

2 3j) 2x + 1 < x + 2 _ 2

3 4k) 3 _ x 1 < x 3 _ 2x 5

8 3 12 8 l) x 3 _ x + 4 < 1 _ x + 4 6 9 12

6. REPASO DE LA FUNCIN CUADRTICA

Recordamos que la FUNCIN CUADRTICA es la que viene dada por una expresin de la forma:y = Ax2 + Bx + CSu grfica es una parbola.

En esta escena vemos la grfica de y = x25x+4

Mueve el punto P y observa sus coordenadas. Observa como cambia la parbola al variar los coeficientes A, B y C. Fjate que tambin varan las zonas del eje OX de color "azul" y "verde".

Contesta en tu cuaderno:1. Cmo influye en la forma de la parbola cada uno de los coeficientes? (Para ver esto vara los valores de cada uno de ellos)a. Qu ocurre cuando aumenta o disminuye C?b. Qu ocurre cuando cambia el signo de A?

2. Qu representa la 1 coordenada del punto P?, y la 2?

Observa en la escena la parbola y = x25x+4 y dibjala en tu cuaderno.Contesta en tu cuaderno:3. Para qu valores de x resulta x2-5x+4 = 0? Cmo podras calcular estos valores sin utilizar esta escena?

4. Para qu valores de x resulta y = x25x+4 > 0?

5. Para qu valores de x resulta y = x25x+4 < 0?

ACTIVIDADES PROPUESTASRepite las cuestiones 3, 4 y 5 para las expresiones siguientes:a)y = x2 5x + 6b)y = 2x2 x + 3c)y = 3x2 + 4x + 1d)y = 4x2 + 4x + 1 e)y = x2 2x + 1 f)y = 2x2 +3x 5

g)y = x2 8x +9h)y = 3x2 + x +2 i) y = 3x2 +5x - 2j)y = x2 + 7x i) y = 3x2 +5x 2 j)y = x2 + 7x

7. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCGNITA

Las inecuaciones de 2 grado con una incgnita son las que se presentan segn alguna de las siguientes formas bsicas:Ax2+Bx+C < 0Ax2+Bx+C > 0Ax2+Bx+C 0Ax2+Bx+C 0Resolucin: Se hace la grfica de la funcin cuadrtica y = Ax2+Bx+C, y se observa donde y = Ax2+Bx+C tiene el signo que se pide en cada caso.Ejemplo: Resolvamos la inecuacin: 2x23x+1 0

Representamos la funcin y = 2x23x+1Dibjala tambin en tu cuaderno. Contesta en tu cuaderno:1. Para qu valor de x resulta 2x23x+1 = 0?2.Para qu valores de x resulta 2x23x+1 < 0?Recuerda que para observar ms de cerca la grfica puedes variar el zoom de la escena pulsando sobre el botn derecho del ratn y arrastrando hacia arriba para acercarte y hacia abajo para alejarte.Si respondemos correctamente a las cuestiones planteadas obtenemos las soluciones de la inecuacin:x [0,5 ; 1]

ACTIVIDADES PROPUESTASResuelve las siguientes inecuaciones. Utiliza la escena anterior para ver las grficas de las funciones correspondientes en cada caso:a)x2 5x + 6 < 0b)2x2 x + 3 0c)4x2 + 4x + 1 0d)x2 + 7x < 0 e)2x2 +3x 5 < 0 f)x2 2x + 1 0g)x2 8x +9 > 0h)3x2 +5x 2 0

8. INECUACIONES DE 1er GRADO CON DOS INCGNITAS

Recuerda que una ecuacin con dos incgnitas de la forma ax+by+c = 0 tiene infinitas soluciones, que son todos los pares de valores (x,y) que la cumplen.Grficamente si representamos en el plano de coordenadas esos infinitos puntos, resulta una recta.Ejemplo: En la siguiente escena vemos en color rojo la solucin grfica de la ecuacin 3x2y3 = 0.

Utilizando el ratn, mueve el punto P.Observa que debajo de la ecuacin de la recta aparece el valor que toma la expresin ax+by+c si substituimos x e y por las coordenadas del punto P. Contesta en tu cuaderno:1.Qu signo tiene el valor de la expresin cuando el punto P pertenece a la recta?2.Qu signo tiene el valor de la expresin cuando el punto P est en la zona superior de la recta? y en la inferior?3.Modifica los valores de a, b y c para tener la recta: 3x+5y-1 = 0 y vuelve a mover el punto P.4.Repite con esta recta las cuestiones 1 y 2.Observamos que toda recta divide al plano en dos zonas (semiplanos). Cualquier punto que se substituya en la expresin dar siempre un resultado que ser: Positivo, para todos los puntos de uno de los lados Negativo, para los del otro lado 0, para los puntos de la recta.

RESOLUCIN DE LAS INECUACIONES DE 1er GRADO CON DOS INCGNITAS

Las inecuaciones de 1er grado con dos incgnitas son las de alguna de las siguientes formas bsicas:ax + by + c 0 ax + by + c 0 ax + by + c 0Resolucin: Se hace la grfica de la recta ax + by + c = 0, y se busca cul es la zona donde ax+by + c tiene el signo que se pide en cada caso.Ejemplo: Resolvamos la inecuacin: x 2y + 3 0

Hacemos la grfica de la recta x 2y + 3 = 0.Dibjala tambin en tu cuaderno.Buscamos la zona correspondiente probando con un punto.El ms fcil es el (0,0), resultando:Valor = 0 2 0 + 3 = 3 > 0Por tanto la zona es "la que contiene al (0,0)".En la escena, para elegir la zona correspondiente, pulsa en el botn zona y elige 1 o 2 para cambiar de una a otra.Observa que en este caso tambin se incluye la propia recta y por eso se dibuja con una lnea continua. Cuando la desigualdad sea estricta, es decir, "", la recta la dibujaremos con trazo ms fino o discontinuo..En la escena, para indicar que la recta est incluida elige "SI" en el pulsador "recta". Si no est incluida elige la opcin "NO"

ACTIVIDADES PROPUESTASResuelve las siguientes inecuaciones. (Utiliza la escena anterior para ver las grficas de las rectas correspondientes en cada caso, Haz tambin las grficas en tu cuaderno):a)x 2y 3 > 0 b) 2x y 6 c) 2x + y > 5 d) 3x y 0 e)x + 4y < 3 f) 2x 3y 1 g)3x 2y 13 h) x 5y 0

9. SISTEMAS DE DOS INECUACIONES DE 1er GRADO CON DOS INCGNITAS

Resolver un sistema de dos o ms inecuaciones de 1er grado con dos incgnitas consiste simplemente en resolver cada una de ellas y hacer la correspondiente grfica en un mismos sistema de referencia, as observaremos ms fcilmente la solucin do sistema.Ejemplo: Resolver el sistema de inecuaciones:

1.Hacemos, en un mismo sistema de referencia, las grficas de las rectas:x 2y + 3 = 02x + 3y 1 = 0.2.Rayamos las zonas correspondientes a los puntos solucin de cada una de las inecuaciones.La solucin del sistema ser el conjunto de puntos que son al mismo tiempo solucin de ambas inecuaciones (en el grfico corresponde a la zona doblemente rayada).

ACTIVIDADES PROPUESTASResuelve los siguientes sistemas de inecuaciones. (Utiliza la escena para ver las grficas de las funciones correspondientes y dibjalas en tu cuaderno).a) b)c) d)