GUÍAS DE TRABAJO Matemáticas -...

Material de trabajo para los estudiantes

UNIDAD 6

GUÍAS DE TRABAJO

Matemáticas

Preparado por: Héctor Muñoz

Diseño Gráfico por: www.genesisgrafica.cl

Guía de Trabajo N°1(TRABAJO GRUPAL)

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.

1 Cuando 2 rectas se cortan, se forman 4 ángulos.

La figura 1 muestra un ejemplo. Las rectas L y M al cortarse han formado los ángulos a los que se les ha asignado las letras griegas α, β, γ y δ.

a. Algunos de estos ángulos tienen en común el vértice y uno de sus lados. Menciona un par de ángulos en la figura 1 que tengan en común el vértice y uno de sus lados.

b. Otros ángulos tienen en común solo el vértice. Menciona un par de ángulos en la figura 1 que solo tengan en común el vértice.

c. Lee la definición del recuadro. De acuerdo con esa definición, ¿cuántos pares de ángulos opuestos por el vértice se formaron en la figura 1?

FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

Unidad 6MatemáticasTEMAS DE GEOMETRÍA

α β

γ δ M

L

figura 1

En el caso de los ángulos formados por dos rectas que se cortan, llamamos ángulos opuestos por el vértice a cada uno de los pares de ángulos que tienen en común solo el vértice.

1

2 a. Si en la figura 1 de la actividad anterior el ángulo α mide 35º, ¿cuánto deben medir los ángulos β y γ? Justifica tu respuesta.

b. De acuerdo con los datos que acabas de encontrar, ¿cuánto debe medir el ángulo δ?

c. ¿Qué ángulos resultaron iguales en este caso?

3 Generalicemos los resultados obtenidos en la actividad 2.

a. Observa la figura 2. Demuestra que si se suma uno cualquiera de los ángulos agudos más uno cualquiera de los ángulos obtusos siempre se obtiene 180º.

b. Observa las dos igualdades que muestra el recuadro. ¿Estás de acuerdo con ellas?

c. En cada una de las igualdades del recuadro, resta α a ambos lados de la igualdad. De acuerdo con este nuevo par de igualdades, ¿qué se puede concluir acerca de los ángulos β y δ?

α β

γ δ

figura 2

α + β = 180ºα + δ = 180º

sencial



6 En el cuadrilátero de la figura se han trazado sus dos diagonales.

a. ¿Qué ángulos deberían ser iguales entre sí de acuerdo con el teorema relativo a ángulos opuestos por el vértice?

b. Si se sabe que el ángulo α mide 125º, ¿se podría encontrar la medida de los ángulos β, γ y δ?

4 a. En la actividad 3 de la página anterior pudimos demostrar que los ángulos β y δ son iguales entre sí. Empleando un razonamiento similar, demuestra que los ángulos α y γ también son iguales entre sí.

b. Arturo afirma que lo que se demostrado en estas actividades es que si dos rectas se cortan, entonces los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí. ¿Tiene razón? Explica tu respuesta.

c. ¿El teorema enunciado por Arturo es válido si las rectas que se cortan son perpendiculares entre sí? Explica tu respuesta.

α β

γ δ

figura 2

5 El recuadro muestra el teorema que hemos demostrado en las actividades anteriores.

Dibuja en tu cuaderno dos rectas que se cortan e identifica los ángulos que son iguales entre sí de acuerdo con este teorema.

TEOREMAÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICECuando dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí.

α

βγ

δ

7La figura muestra 3 rectas que se cortan en el mismo punto.

a. ¿Qué angulos son iguales entre sí por ser opuestos por el vértice?

b. Menciona 3 ángulos de la figura cuya suma sea 180º. ¿Hay más de una posibilidad?

c. Encuentra la medida de cada uno de los ángulos que se han formado sabiendo que el ángulo 1 mide 36º y el ángulo 2 mide 28º.

12

345

6

sencial


RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL (I)


1 Estudiaremos ahora un nuevo teorema relativo a igualdad de ángulos. Esta vez se trata de los ángulos que se forman cuando dos rectas paralelas son cortadas por una tercera recta.

Se acostumbra llamar transversal a esta tercera recta. a. La figura 1 muestra esta situación. Las rectas L1 y L2 son paralelas. Y T es una recta que corta tanto a L1 como a L2. ¿Cuántos ángulos se han formado en total?

b. ¿Cuántos de estos ángulos son agudos?¿Cuántos son obtusos?



L1figura 1

L2

T

2 En el cruce de la transversal con cada una de las paralelas se forman ángulos opuestos por el vértice que, de acuerdo con el teorema visto en la guía anterior, deben ser iguales entre sí.

a. ¿Qué igualdades de ángulos puedes establecer en la figura 2 basándote en el teorema relativo a ángulos opuestos por el vértice?

b. En la figura 2 también hay pares de ángulos que suman 180º. ¿Podrías mencionar algunos de estos pares de ángulos?

L1

figura 2

L2

T

1 2

4 3

5 6

8 7

3 Ahora conoceremos nuevas igualdades de ángulos que se dan cuando dos paralelas son cortadas por una transversal. Pero antes conviene introducir algunos nombres.

Llamaremos ángulos correspondientes a ángulos que están al mismo lado de la transversal y al mismo lado de las paralelas. Por ejemplo, en la figura 2 los ángulos 3 y 7 son correspondientes porque ambos están a la derecha de la transversal y sobre las paralelas.

a. ¿Cuál es el ángulo correspondiente al ángulo 4? Explica tu respuesta.

b. Haz una lista con los 4 pares de ángulos correspondientes que se formaron en la figura 2.

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4 Utilizaremos la figura 3 para demostrar algunas igualdades de ángulos.

Vamos a necesitar un poco de imaginación. Supongamos que la recta L2 en la figura 3 se mueve hacia arriba manteniéndose siempre paralela a sí misma.

Dado que se mantiene paralela a sí misma, los ángulos que forma con la recta T no se modifican. Llegará un momento en que L2 va a coincidir totalmente con L1 y entonces, el ángulo 4 coincidirá con el ángulo 8, el ángulo 1 coincidirá con el ángulo 5, el ángulo 2 coincidirá con el ángulo 6 y el ángulo 3 coincidirá con el ángulo 7.

a. Inés afirma que al trasladar la recta L2 hasta que coincide con la recta L1, cada uno de los ángulos que se forman alrededor de la recta L2 coincide con su ángulo correspondiente. ¿Tiene razón?

Para que los ángulos coincidan tienen que ser iguales. Por lo tanto, al trasladar la recta L2 hemos podido mostrar que los ángulos correspondientes son iguales entre sí.

b. Completa el recuadro de la derecha con las igualdades que hemos podido establecer.

L1

figura 3

L2

T

1 2

4 3

5 6

8 7

ángulo 4 = ángulo 8ángulo 1 =ángulo 2 =ángulo 3 =

5 El recuadro muestra el teorema que acabamos de demostrar.

Dibuja en tu cuaderno dos rectas paralelas. Dibuja una recta que corte a las dos paralelas. Identifica los ángulos que son iguales entre sí de acuerdo con este teorema.

TEOREMAÁNGULOS CORRESPONDIENTES

ENTRE PARALELASSi dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos correspondientes son i gua l e s en t re s í .

6 En el triángulo ABC de la figura se ha trazado la recta DE paralela al lado BC.

a. ¿Podemos aplicar aquí el teorema relativo a ángulos correspondientes entre paralelas? Explica tu respuesta.

b. ¿A qué conclusión se llega en relación con los ángulos δ y ε que se han formado?

AD

B

C

E

α β

γ

δ

ε

7 ¿Qué condiciones debe cumplir una figura geométrica para que podamos aplicar en ella el teorema relativo a ángulos correspondientes entre paralelas?

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RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA TRANSVERSAL (II)


1 En la figura 1 vemos nuevamente la situación de dos paralelas cortadas por una transversal.

a. Ya sabíamos que cuando dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales. De acuerdo con esto, ¿qué ángulos son iguales entre sí en la figura 1?

b. También sabemos que cuando dos paralelas son cortadas por una transversal, los ángulos correspondientes son iguales. De acuerdo con esto, ¿qué ángulos son iguales entre sí en la figura 1?



L1

figura 1

L2

T

2 Sin embargo no son estas todas las igualdades de ángulos que se pueden establecer en la figura 1. Para seguir adelante conviene introducir nuevos nombres.

Llamaremos ángulos alternos a ángulos que están en lados opuestos en relación a la transversal y en lados opuestos en relación a las paralelas.

Por ejemplo, los ángulos 3 y 5 son alternos porque uno está sobre la transversal y el otro por debajo de ella. Y además uno está a la izquierda de una paralela y el otro está a la derecha de la otra paralela.

a. En la figura hay 4 pares de ángulos alternos. ¿Cuáles son ellos?

b. Cuando los ángulos alternos están ubicados entre las paralelas, hablamos de ángulos alternos internos. Indica los dos pares de ángulos alternos internos que hay en la figura 4.

c. Cuando los ángulos alternos están ubicados por fuera de las paralelas, hablamos de ángulos alternos externos. Indica los dos pares de ángulos alternos externos que hay en la figura 4.

3 a. Observa nuevamente la figura 1. ¿Cuál es el ángulo correspondiente del ángulo 8?

b. ¿Cuál ángulo es alterno interno con relación al ángulo 8?

c. ¿Cuál ángulo es alterno externo con relación al ángulo 6?

1

2

4

3 5

6

8

7

sencial

4 La figura 2 es una reproducción de la figura 1 de la página anterior.

Inés razona de la siguiente forma:

ángulo 7 = ángulo 5ángulo 4 = ángulo 5

Por lo tanto:ángulo 7 = ángulo 4

a. ¿Tiene razón Inés al afirmar que el ángulo 7 es igual al ángulo 5? Justifica tu respuesta.

b. ¿Tiene razón Inés al afirmar que el ángulo 4 también es igual al ángulo 5? Justifica tu respuesta.

c. ¿Tiene razón Inés al sacar como conclusión que el ángulo 7 es igual al ángulo 4? Justifica tu respuesta.



L1

figura 1

L2

T

5 Armando ha estado observando el razonamiento de Inés. Y utilizando un razonamiento similar al de Inés, él demostró que el ángulo 8 es igual al ángulo 2.

a. ¿Cuál crees tú que fue el razonamiento de Armando?

b. ¿Es correcta su conclusión de que el ángulo 8 es igual al ángulo 2?

c. Viendo el razonamiento de Armando, Inés afirma que lo que se ha demostrado es que los ángulos alternos internos son iguales entre sí. ¿Tiene razón? Explica tu respuesta.

6 Analiza la situación y verifica si también se cumple que los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

Comenta tus conclusiones con tus compañeros y compañeras.

1

2

4

3 5

6

8

7

7 El recuadro muestra el teorema que acabamos de demostrar.

Dibuja en tu cuaderno dos rectas paralelas. Dibuja una recta que corte a las dos paralelas. Identifica los ángulos que son iguales entre sí de acuerdo con este teorema.

TEOREMAÁNGULOS ALTERNOS ENTRE PARALELAS

Si dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces los ángulos alternos internos son iguales entre sí y los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

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APLICACIONES DE LOS TEOREMAS RELATIVOS A IGUALDAD DE ÁNGULOS




1 Los recuadros reproducen los teoremas que hemos demostrado en las guías anteriores. Con ayuda de estos teoremas podemos determinar al valor de determinados ángulos y también podremos demostrar nuevos teoremas.

a. La siguiente figura muestra dos pares de rectas paralelas que se cortan. En la figura se indica la medida de uno de los ángulos. Determina la medida de cada uno de los demás ángulos formados.

42º

b. ¿Cuántos grupos de ángulos iguales se formaron?

c. ¿Qué valor se obtiene si se suma un ángulo de un grupo con un ángulo del otro grupo?

ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE

Cuando dos rectas se cortan, los ángulos opuestos por el vértice son iguales entre sí.

ÁNGULOS ENTRE PARALELASSi dos rectas paralelas son cortadas por una transversal, entonces:· los ángulos correspondientes son iguales entre sí,· los ángulos alternos internos son iguales entre sí, y· los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

2 La figura muestra dos ángulos. Los lados de uno de ellos son paralelos a los lados del otro.

Encuentra un razonamiento que te permita afirmar que los dos ángulos deben ser necesariamente iguales.

(Ayuda. Prolonga los lados hasta que un lado de un ángulo corte a un lado del otro ángulo.)

3 En el rectángulo ABCD de la figura se ha trazado la diagonal AC. Como muestra la figura, la diagonal forma un ángulo de 25º con el lado AB del rectángulo.

Determina la medida de los ángulos que la diagonal forma con cada uno de los demás lados del rectángulo.

25º

A B

D C

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4 El recuadro muestra la definición de paralelogramo.La figura muestra un ejemplo de paralelogramo.

a. De acuerdo con esta definición, ¿el cuadrado es un paralelogramo? ¿Y el rectángulo? ¿Y el trapecio? ¿Y el triángulo?

b. Demuestra que en todo paralelogramo los ángulos opuestos son iguales. (Ayuda. Prolonga uno de los lados. Se formará un ángulo fuera del paralelogramo que puede serte útil en la demostración.)

c. Demuestra que en todo paralelogramo los ángulos adyacentes suman 180º. (Ayuda. También aquí puede ser útil prolongar un lado.)

d. Utiliza esta última relación para demostrar que la suma de los 4 ángulos de un paralelogramo es 360º.



5 La figura muestra un trapecio. Los lados AB y CD son paralelos.

a. ¿Cuánto vale la suma ángulo α + ángulo δ?

b. ¿Y la suma ángulo β + ángulo γ?

c. ¿Se cumple también aquí que la suma de los 4 ángulos del trapecio es 360º?

DEFINICIÓN DE PARALELOGRAMOUn paralelogramo es una figura plana que cumple con las siguientes condiciones:· es un cuadrilátero, y· sus dos pares de lados opuestos son paralelos.

A

D

B

C

α β

γ δ

6 En la figura de la derecha, AD es paralelo a BC.

¿Hay ángulos que sean iguales en esta figura? En cada caso, identifica el teorema que te permite establecer esas igualdades.

A

B

C

D

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Guía de Trabajo N°5(TRABAJO INDIVIDUAL)

TRAZOS INTERIORES EN TRIÁNGULOS




1 En un triángulo, llamamos transversal de gravedad al trazo que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

a. Dibuja un triángulo cualquiera con lados no menores de unos 10 cm. Con cuidado, traza sus 3 transversales de gravedad. ¿Observas un resultado curioso?

b. Si recortas un triángulo en cartulina o cartón podrás ver que se equilibra si se afirma justo en el punto en que se juntan las 3 transversales de gravedad. Por esta razón, ese punto recibe el nombre de centro de gravedad del triángulo. Haz la prueba.

c. En el triángulo que dibujaste, para cada transversal de gravedad mide la distancia del vértice al centro de gravedad y la distancia del centro de gravedad al lado opuesto. Forma la razón entre estas dos distancias. ¿Encuentras alguna regularidad?

d. En el triángulo rectángulo, la transversal correspondiente al ángulo recto tiene una propiedad interesante. Dibuja un triángulo rectángulo y traza esa transversal. Mide su longitud y la longitud del lado correspondiente. ¿Encuentras alguna regularidad?

e. Compara tus resultados con los obtenidos por tus compañeros y compañeras y haz un resumen con las propiedades que has encontrado para las transversales de gravedad.

2 En un triángulo, llamamos altura al trazo que es perpendicular a uno de los lados y llega al vértice opuesto.

a. Dibuja un triángulo con lados no menores de unos 10 cm y cuyos tres ángulos sean agudos. Con cuidado, traza sus 3 alturas. ¿Sucede algo similar a lo que sucede con las 3 transversales de gravedad?

b. En el caso del triángulo rectángulo sucede algo especial con las alturas. Dibuja un triángulo rectángulo y traza sus tres alturas. ¿Qué sucede con dos de ellas?

c. En el triángulo rectángulo, ¿se cruzan las tres alturas en un solo punto? Explica tu respuesta.

d. También tenemos una situación especial en el caso de los triángulos obtusángulos. Dibuja un triángulo con un ángulo obtuso. Traza la altura correspondiente al vértice en que está el ángulo obtuso. Ahora traza las otras dos alturas. ¿Encuentras alguna dificultad? ¿Cómo superarla?

e. Compara tus resultados con los obtenidos por tus compañeros y compañeras y haz un resumen con las propiedades que has encontrado para las alturas.

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3 En un triángulo, llamamos bisectriz al trazo que une un vértice con el lado opuesto y que divide al ángulo respectivo en dos partes iguales.

a. Dibuja un triángulo cualquiera en una hoja de papel y recórtalo. Dóblalo de modo que dos de sus lados queden perfectamente alineados, como muestra la figura. Presiona el doblez para que quede bien marcado. Desdobla el triángulo y marca el doblez con una línea. ¿Qué argumentos darías para mostrar que esa línea es una bisectriz del triángulo?

b. Utilizando el mismo procedimiento, encuentra las otras 2 bisectrices de tu triángulo.

c. ¿Se cortan las 3 bisectrices en un mismo punto como las alturas y las transversales de gravedad? Compara tu resultado con el de tus compañeras y compañeros.

4 En el caso del triángulo isósceles, se da una situación especial con la transversal de gravedad, la altura y la bisectriz correspondientes al vértice en que se unen los lados iguales.

a. Para estudiar esta situación, dibuja un triángulo isósceles en una hoja de papel y recórtalo.

b. Dobla el triángulo de modo que sus dos lados iguales coincidan totalmente. Desdobla el triángulo y marca el doblez con una línea.

c. ¿Qué argumentos darías para mostrar que esa línea es una bisectriz del triángulo?

d. ¿Qué argumentos darías para mostrar que esa línea es una transversal de gravedad del triángulo?

e. ¿Qué argumentos darías para mostrar que esa línea es una altura del triángulo?

f. ¿Qué puedes concluir acerca de la transversal de gravedad, la altura y la bisectriz correspondientes al vértice en que se unen los lados iguales en un triángulo isósceles?

g. ¿Sucede los mismo con los otros trazos interiores del triángulo isósceles?

h. En el caso del triángulo equilátero, ¿sucede algo similar a lo que sucede en el caso del triángulo isósceles? Justifica tu respuesta.

A partir de la actividad anterior podemos extraer otras conclusiones relativas al triángulo isósceles y al triángulo equilátero.

a. ¿Qué podemos decir acerca de los ejes de simetría en el triángulo equilátero?¿Y en el triángulo isósceles?

b. ¿Qué podemos decir acerca de la medida de los ángulos en el triángulo equilátero? ¿Y en el triángulo isósceles?

5



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EL TEOREMA DE PITÁGORAS

Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas. Para efectuar los cálculos, emplea una calculadora.



1 El teorema de Pitágoras es uno de los más conocidos en Geometría. Es aplicable en todos los triángulos rectángulos.

En los triángulos rectángulos, el lado que se opone al ángulo recto es siempre el mayor de los tres lados y recibe el nombre de hipotenusa.

Los otros dos lados reciben el nombre de catetos.

a. En una hoja de papel de forma rectangular traza una recta de modo que se forme un triángulo rectángulo, como muestra la figura 1.

b. Mide la longitud de la hipotenusa y la de los catetos en este triángulo rectángulo.

c. Con ayuda de una calculadora, calcula los cuadrados de estos tres valores.

d. Suma los cuadrados de los catetos y compara esta suma con el cuadrado de la hipotenusa. ¿Qué observas? Comenta tus resultados con tus compañeras y compañeros.

figura 1

2 a. En el recuadro se da un enunciado para el teorema de Pitágoras. ¿Concuerda este teorema con los resultados que obtuviste en la actividad anterior?

b. ¿Cuánto debe ser el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 6 cm y 8 cm respectivamente?

c. ¿Se podría saber cuánto debe medir la hipotenusa de este triángulo? Explica tu respuesta.

TEOREMA DE PITÁGORASSi un triángulo es rectángulo, entonces la suma de los cuadrados de sus catetos es igual al cuadrado de su hipotenusa.

3 a. En tu cuaderno dibuja un triángulo rectángulo. Dibuja los cuadrados correspondientes a cada cateto y a la hipotenusa.

b. Con ayuda de esta figura, explica la interpretación del teorema de Pitágoras en término de áreas.

c. Efectúa las mediciones correspondientes y con calculadora calcula el área de cada cuadrado. Verifica si en tu caso se cumple el terorema de Pitágoras.

sencial

6 La figura muestra un cuadrado ABCD. Sobre su diagonal se ha dibujado el cuadrado ACDE.

a. Aplicando el teorema de Pitágoras, demuestra que el área del cuadrado ACDE es justo el doble del área del cuadrado ABCD.

b. Busca otro tipo de argumentos que te permitan afirmar esa relación entre las áreas de ambos cuadrados.

A B

E

CD

D

8 Para ir a su escuela, Doris debe atravesar una plaza. La figura muestra el trayecto que Doris sigue diariamente. La plaza tiene forma de un cuadrado de 80 metros de lado.

a. ¿En cuántos metros dismuinuiría el viaje de Doris si ella pudiera atravesar la plaza a lo largo de la diagonal?

b. Explica cómo aplicaste el teorema de Pitágoras en este caso.

plaza



4 a. Si se conoce la longitud de los dos catetos de un triánglo rectángulo, ¿cómo se puede determinar la longitud de la hipotenusa aplicando el teorema de Pitágoras? Refuerza tu respuesta con un ejemplo.

b. Si se conoce la longitud de la hipotenusa y de un cateto de un triánglo rectángulo, ¿cómo se puede determinar la longitud del otro cateto aplicando el teorema de Pitágoras? Refuerza tu respuesta con un ejemplo.

5 Con ayuda del teorema de Pitágoras, demuestra que la diagonales de un rectángulo son iguales entre sí.

7 Considera el siguiente problema: ¿Hasta qué altura llega una escala de 3,2 m de largo si se afirma en una pared vertical de modo que el pie de la escala queda a 0,6 m de la pared?

a. Haz un esquema de la situación e identifica algún triángulo rectángulo que pudiera ser de utilidad.

b. ¿Qué datos de este triángulo se conocen? ¿Qué dato se quiere conocer?

c. ¿Podemos aplicar aquí el teorema de Pitágoras?

d. Resuelve el problema y responde la pregunta planteada.

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9 Una hormiga quiere ir desde el vértice A hasta el vértice F del prisma recto de la figura. Analizando la situación, llega a la conclusión que tiene las siguientes posibilidades:ABCF, ABF, ADF y ACF.

a. ¿Cuál de estos caminos es el más corto?

b. Si sigue ese camino, ¿cuánto ahorra con respecto al camino más largo?

A B

ECD

F

AB = 10 cmAD = 5 cmDE = 3 cm

Se quiere colgar una lámpara a 40 cm de la pared (ver figura). Para sujetar mejor la lámpara, se coloca una cuerda que se afirma en la pared a 20 cm por sobre la base de la barra que sostiene la lámpara.

a. ¿Alcanzará una cuerda de 50 cm?

b. Explica cómo aplicaste el teorema de Pitágoras en este caso.

10



11 El teorema de Pitágoras afirma que si un triángulo es rectángulo, entonces la suma de los cuadrados de sus catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

El recuadro muestra el enunciado del teorema recíproco del teorema de Pitágoras. Este teorema también es verdadero.

Explica con tus palabras la diferencia entre el teorema de Pitágoras y su teorema recíproco.

TEOREMA RECÍPROCO DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

Si en un triángulo la suma de los cuadrados de dos de sus lados es igual al cuadrado del tercer lado, entonces el triángulo es rectángulo.

12 a. ¿Se cumple que 32 + 42 = 52?

b. Si se construyera un triángulo cuyos lados midieran 3 cm, 4 cm y 5 cm, ¿qué características debería tener ese triángulo según el teorema recíproco del teorema de Pitágoras?

13 a. Con ayuda del teorema recíproco del teorema de Pitágoras determina si un triángulo cuyos lados miden 5 cm, 12 cm y 13 cm debe ser un triángulo rectángulo.

b. Con ayuda del teorema recíproco del teorema de Pitágoras determina si un triángulo cuyos lados miden 20 cm, 21 cm y 29 cm debe ser un triángulo rectángulo.

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Guía de Trabajo N°7(TRABAJO INDIVIDUAL)

EL VOLUMEN DE UN PRISMA RECTO




En años anteriores hemos aprendido a calcular perímetros y áreas de figuras geométricas. Ahora veremos cómo se puede calcular el volumen de un prisma recto.

Un prisma recto es un cuerpo geométrico formado por dos polígonos iguales unidos entre sí por rectángulos. En algunos casos estos rectángulos pueden ser cuadrados.

Los dos polígonos iguales reciben el nombre de bases. La figura muestra un prisma recto de base triangular.

a. ¿Cuáles son las bases en este prisma recto?¿Cuántas caras rectangulares tiene?

Si las bases son rectangulares, entonces el prisma recto estará formado por 6 rectángulos y cualquier par de caras opuestas pueden ser consideradas las bases del prisma.

b. ¿El cubo es un prisma recto? Explica tu respuesta.

1

figura 1

2 Para encontrar procedimientos de cálculo para el volumen de un prisma recto, empezaremos analizando el caso del cubo.

Para determinar el volumen de un cubo habrá que definir una unidad de medida y ver cuántas veces cabe esa unidad de medida en el cubo.

Tomaremos como unidad de medida un cubo de 1 cm por arista (figura 2). Esta unidad recibe el nombre de centímetro cúbico (cm3).

Dependiendo del tamaño del cuerpo que se quiere medir, se pueden utilizar otras unidades de volumen, como el metro cúbico (m3) o el milímetro cúbico (mm3).

a. ¿Cómo definirías tú el metro cúbico? ¿Y el milímetro cúbico?

b. ¿Cuántos centímetros cúbicos caben en un cubo cuya arista mide 2 cm? La figura 3 te puede ayudar.

c. De acuerdo con esto, ¿cuánto es el volumen de un cubo cuya arista mide 2 cm?

d. ¿Cuánto será el volumen de un cubo cuya arista mide 4 metros?

e. ¿Cuánto será el volumen de un cubo cuya arista mide 10 cm?

f. ¿Cuánto será el volumen de un cubo cuya arista mide 8 mm?

figura 2

1 cm

1 cm3

figura 3

sencial



En la figura 4 se muestra un prisma recto que se ha formado en base a pequeños cubos. La arista de cada uno de estos cubos mide 1 cm.

a. ¿A qué unidad de volumen corresponden estos cubos?

El prisma está formado por 4 capas de cubos y cada capa está formada por 3 hileras de cubos.

b. ¿Cuántos cubos hay en cada hilera? ¿Cuántos cubos hay en cada capa? ¿Cuántos cubos hay en el prisma en total?

c. De acuerdo con esto, ¿cuánto es el volumen del prisma recto?

3 figura 4

a. La figura muestra un container con sus dimensiones. ¿Cuántos cubos de 1 m por arista caben en este container? Explica tu respuesta.

b. De acuerdo con esto, ¿cuánto es el volumen del container?

4

2 cm

2 cm

3 cm

a. Mónica afirma que se podría calcular el volumen de un prisma multiplicando el largo por el ancho y por el alto. ¿Se cumple esto en el caso de los prismas de las actividades anteriores?

b. ¿Se cumplirá en el caso de un cubo?

5

a. El recuadro resume una fórmula de cálculo para el volumen de un prisma recto. ¿Qué repesenta cada una de las letras que aparecen en la fórmula?

b. ¿En qué unidades queda expresado el volumen si la longitud de las aristas se mide en metros? ¿Y si se mide en centímetros? ¿Y si se mide en milímetros?

6

c

ab

V = a · b · c

a. ¿Cuánto es el volumen de aire que contiene una sala de clases que mide 8,6 metros de largo, 5,5 metros de ancho y 3,2 metros de altura?

b. ¿Con cuántos metros cúbicos de agua de llena una piscina de 6 m de largo, 4 metros de ancho y 1,7 metros de profundidad?

c. Efectúa las mediciones que sean necesarias y calcula el volumen de uno de tus libros de texto.

7

sencial

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