SOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS:

Resolver un triángulo es enco9ntrar todas sus magnitudes desconocidas: la longitud de sus tres lados y la medida de sus tres ángulos, a partir de las funciones trigonométricas conocidas.

Para resolver un triángulo rectángulo basta conocer: 1 lado y un ángulo; ó 2 lados cualesquiera.

Ejemplo:

1. En el triángulo rectángulo ABC: a=14 y c=23, hallar el cateto c y los ángulos.

b=√232+142=18,25

sen A1423

=0,6087 ArcSen A=37,5 °=37 °30 '

¿ B=180 °−90°−A=180 °−90−37,5 °=52,2 °=52 °12 '

2. De un triángulo ABC, se conocen a=415 m y b=280 m. resolver el triángulo.

senB280415

=0,6747 B=ArcSen0,6747=42° 25 '

C=90 °−42° 25'=47 °35 ' c=acosBc=415 ∙0,7381=306,31m

3. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b=33 m y c=21 m. resolver el triángulo.

tg B=3321

=1,5714 B=57 °32'

C=90 °−57 ° 32'=32 °28 '

a= bsen

B a= 330,5437

=39,12m

4. De un triángulo ABC, se conocen a=45 m y B=22°. Resolver el triángulo.C=90 °−22 °=68 °

b=a sen22° b=45 ∙0,3746=16,85m

c=acos22 °c=45 ∙0,9272=41,72m

5. De un triángulo rectángulo ABC, se conocen b=3 m y B=54,6°. Resolver el triángulo.C=90 °−54,6 °=35,4 °=35 ° 24 '

c= btg B

c= 3tg54,6 °

=2,132m

a= bsen B

a= 3sen54,6

=3,68m

Ejercicios:Resolver el triángulo rectángulo ABC (B ángulo recto), sí:

a) a=4 cm y b=10 cm b) B=12 cm y c=8 cm

Ab=?

a=14c=23

B

B c A

b

C

a

B c A

b

C

a

B c A

b

C

a

B c A

b

C

a

c) a=5 cm y c=6 cmd) A=46° y c=9 cm

e) A=8 m y C=38°15’f) tag A=7/2

SOLUCIÓN DE PROBLEMASPara resolver problemas es muy importante realizar el gráfico correspondiente al problema, distinguir los conceptos de ángulo de elevación y ángulo de depresión, además para resolver los problemas es importante aplicar la solución de triángulos rectángulos.

Ángulo de elevaciónEs el ángulo formado por la línea visual (la que sale del ojo de un observador)Y la línea horizontal, cuando el objeto se encuentra por encima de la horizontal.

Ángulo de depresiónEs el ángulo formado por la línea visual (la que sale del ojo de u observador)Y la línea horizontal, cuando el objeto se encuentra por debajo de la horizontal.

Problemas de aplicación:Ejemplo 1: el poste de altura h está sujeto por una cuerda de longitud L (5 m) con un ángulo de inclinación α (55°). Cúal es la altura del poste?

En el triángulo rectángulo de la figura se conócela hipotenusa y se requiere calcular el cateto opuesto, por lo tanto, ocupamos la razón trigonométrica.

senα=hL→h=L∙ senα

Expresión que nos permite calcular la altura del poste conocidos α y L.h=5,5m ( sen55 ° )=5,5 (0,8192 )=4,50m

Ejemplo 2. Una escalera de 6 m de largo se apoya en un muro vertical, con un ángulo de inclinación α (60°) ¿A qué distancia se ubica la base de la escalera del muro?

En el triángulo rectángulo de la figura conocemos α, la hipotenusa y deseamos calcular el cateto adyacente a α. utilizando la razón trigonométrica cos α tenemos:

cos α= x6→x=6 ∙cosα

Por lo tanto, la distancia de la base de la escalera al muro

¿6 ∙cos60 °=6 (0,5 )=3m.

Ejemplo 3: desde la azotea de un edificio de 85 m de altura, el ángulo de depresión de un automóvil es de -29°10’; calcule la distancia del automóvil a la base del edificio.

cot A=ab

ó

b=acot A

b=85cot 29 °10 ' b=85 (1,792 )=152m

Horizontal

A. de elevación

visual

Horizontal

A. de elevación

visual

α

hL

6

xα

c

b

a = 85

AC

B

29°10’ ángulo de

La distancia del automóvil a la base del edificio es 152 m.

Ejercicios Propuestos:1. Una escalera de mano está apoyada contra la pared de un edificio, de modo que el pie de la escalera al edificio hay

12 m. ¿A qué altura se encuentra el extremo superior de la escalera, y cuál es la longitud de la misma, si forma un ángulo de 60° con el suelo?

2. Un volantín está unido al suelo por un hilo de 100 metros que forma con la horizontal del terreno un ángulo de 60°. Suponiendo que el hilo está tirante, hallar la altura del volantín.

3. Un topógrafo necesita medir la altura de una montaña. Para ello mide el ángulo de elevación desde dos puntos diferentes. En el primer punto el ángulo mide 30°. Avanza medio kilómetro y el ángulo aumenta 15°.

4. Determina la atura de un árbol, sabiendo que su sombra mide 8 m cuando el ángulo de elevación del sol es de 60°.5. Un avión asciende con un ángulo de 40° mientras viaja a la velocidad de 800 Km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en

llegar a una altura de 10.000 metros?6. ¿Qué longitud tendría una rampa diseñada para conducir hasta una pasarela a 4 metros de altura, si el ángulo de

inclinación es 20°? ¿Qué sucede para ángulos menores? Ejemplifica.7. Una persona se encuentra en la ventana de su departamento, que está situada a 8 metros del suelo, y observa en

el edificio de enfrente la parte superior con un ángulo 30° y la parte inferior con un ángulo de depresión de 45°. Determine la altura del edificio.

8. Un automóvil sube por un camino cordillerano que tiene una inclinación de 5°. ¿Cuántos metros debe recorres por el camino para que la altura del auto haya aumentado 10 m?

9. Cuando los rayos del sol forman un ángulo de 30° con la horizontal, la sombra de un joven erguido mide 3 m. ¿Cuál es la altura del joven?

10. Calcule el área de un triángulo isósceles si se sabe que la longitud de la base es 10 cm, y el ángulo del vértice mide 30°.

11. Un policía de tránsito se esconde a 30 metros de la carretera. Un segundo después de que un camión pase frente a él, se mide el ángulo α formado entre la carretera y la visual de la patrulla al camión. Si α = 15°, ¿Qué tan rápido va el camión?

12. Dos observadores miden simultáneamente un ángulo de elevación de un helicóptero. Uno resulta de 25° y el otro de 40°, si los observadores están a 100 metros uno del otro y el helicóptero se encuentra sobre la línea que la une, ¿Qué tan alto vuela?

13. Calcular el lado de un rombo cuyas diagonales miden 6 y 8 cm.14. Resolver un triángulo isósceles en el cuál la base mide 19,8 m y la altura 12,5 m.15. La base de un triángulo isósceles es de 64,5 cm y el ángulo opuesto es de 72,8°. Calcular el resto de elementos.16. Un rectángulo posee unas dimensiones de 120,4 x 70,18 m. determinar los ángulos que una de sis diagonales

forma con los lados.17. Un trapecio isósceles tiene unas bases de 12 y 20 m. determinar el ángulo en su base para que el lado no paralelo

sea de 6 m.18. Resolver un triángulo rectángulo e isósceles en el que la hipotenusa vale 9 m.19. Hallar la longitud de la sombra de un árbol de 10 m de altura cuando los rayos del sol forman con la horizontal un

ángulo de 15°.20. Calcular la longitud de la sombra de un árbol de 18 m de altura cuando el ángulo que forman los rayos solares con

el suelo es de 22°.21. Una escalera de 8,2 m está apoyada en una pared de forma que alcanza una altura de 6 m. ¿Qué ángulo forma con

el suelo?22. Qué ángulo central poseerá una cuerda de 8 cm trazada en una circunferencia de 12 cm de radio,23. Una escalera de 6,5 m de longitud se apoya sobre una pared vertical formando con ella un ángulo, de cuál es la

altura que alcanza?24. Una torre de 40 m de altura proyecta una sombre de 16 m de longitud. ¿Qué sombra proyectará un árbol de 12 m

de altura?25. Para determinar la altura de un poste nos hemos alejado 7 m de su base, hemos medido el ángulo que forma la

visual al punto más alto con la horizontal, obteniendo un valor de 40°, ¿cuánto mide el poste?

26. Un buque navega 32 Km al sur y después 15 Km al oeste. Determine el rumbo que debe tomar para regresar a su punto de partida.

27. Desde una azotea de un edificio se observa que loa ángulos de elevación y depresión a la parte superior a inferior de una torre son 42° y 28°, respectivamente. Si la altura del edificio es de 32 m, cuál es la altura de la torre?

28. Un barco navega durante 60 Km en la dirección N 21° O (21° al oeste de norte); gira entonces 90° hacia la izquierda y recorre otros 100 Km. Encontrar su posición con respecto al punto de partida.

29. Determinar s en la gráfica:

30. Se construye una rampa con una alineación de 30° con la horizontal. Si tiene 6,6 m de largo, cuál será el peralte en su extremo elevado?

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULOUtilizaremos un triángulo rectángulo para definir las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante.

En un triángulo rectángulo, estas funciones se definen como sigue:

senα= catetoopuestohipotenusa

cos α= cateto adyancentehipotenusa

tanα= catetoopuestocateto adyacente

cot α= cateto adyacentecatetoopuesto

sec α= hipotenusacateto adyacente

cosec α= hipotenusacateto opuesto

Ejemplo: Un ángulo agudo α tiene senα=35

. Halla lasa restantes razones trigonométricas de este ángulo.

Solución:Usando triángulo rectánguloPor teorema de Pitágoras buscamos el otro cateto del triángulo, es que es 4.

Ahora aplicamos las definiciones de las funciones trigonométricas y encontramos:

senα=35

tanα= c .op .c . ad .

=34

sec α= hipc .ad .

=54

cos α= c .ad .hip

=45

cotα= c .ad .c . op .

=43

cosec α= hipc .op .

=53

TRABAJO EN EQUIPO1. Hallo el valor de las razones trigonométricas para el ángulo A y B de cada triángulo

a) b)

A

C

B

h

60°

30°36

β

α

c

b

a

A B

C

B A

C

c) d)

2. Si cos β=√74

, encuentra las otras funciones. Entrega los valores simplificados y racionalizados.

3. Si tan α=59

, encuentra las otras funciones.

4. Sabiendo que A=4 /5, calcula las demás razones trigonométricas de A sabiendo que es un ángulo del segundo cuadrante.

5. Sabiendo que A=−√3/2 sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones trigonométricas de A, y el ángulo A, sabiendo que está en el segundo cuadrante.

6. Sabiendo que cos A=−1/2, sin utilizar la calculadora, obtener las demás razones trigonométricas de A, y A, sabiendo que es un ángulo del segundo cuadrante. 4° sin utilizar la calculadora, obtener las razones trigonométricas de 315°.

VALORES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE: 30°, 45° Y 60°Para encontrar el valor de las razones trigonométricas de los ángulos de 45°, 30° y 60°, se procede de la siguiente forma:

Para el ángulo de 45°a) Construir un cuadrado de lado xb) Trazar una diagonalc) Calcular la longitud de la diagonald) Aplicar la definición de cada razón trigonométrica al ángulo de 45°, para encontrar su valor

Para el ángulo de 30° y 60°e) Construir un triángulo equilátero de lado xf) Trazar una alturag) Calcular la longitud de la alturah) Aplicar la definición de cada razón trigonométrica al ángulo de 30° y 60°, para encontrar su valor

Si θ es un ángulo en posición normal, P(x, y) es cualquier punto sobre su lado final, diferente de (0,0), y

r=OP=√x2+ y3, entonces, las funciones trigonométricas para el ángulo θ se definen de la siguiente manera:Seno θ = sen θ = y/rCoseno θ = cos θ = x/rTangente θ = tg θ = y/x , x ≠ 0Cotangente θ = ctg θ = x/y , x ≠ 0Secante θ = sec θ = r/x , x ≠ 0Cosecante θ = csc θ = r/y , x ≠ 0

C

AB

A C

B

Como consecuencia de las definiciones anteriores se obtienen las relaciones reciprocas que se plantean a continuación:

senθ= 1csc θ

ctg= 1tg θ

cosθ= 1sec θ

secθ= 1cosθ

tgθ= 1ctg θ

csc θ= rsenθ

Ejemplos1. Sea α un ángulo en posición normal, tal que P(-8,15) es un punto ubicado sobre su lado final. Determinar el valor de

sen α, cos α, tg α.SoluciónComo P = (-8,15) entonces x = -8 y y = 15. El valor r se calcula a partir del teorema de Pitágoras.

r=OP=√x2+ y2=√(−8)2+(15)2=√289=17

Así, senα=1517

cos α=−817

tg α=−158

2. Encontrar el valor de seis funciones trigonométricas para cada ángulo en posición normal. Que es un punto ubicado sobre el lado final del ángulo dado (β)

SoluciónDado que Q(2,-3), entonces x = 2 y y = -3. Luego,

r=OQ=√x2+ y2=√(2)2+(−3)2=√13, por tanto,

sen β= −3√13

=3√1313

cos β= 2√13

=2√1313

tg β=−32

=−32

csc β=√13−3

=−√133

sec β=√132

ctg β= 2−2

=−23