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XXVIII COLOQUIO PUCP

Construccion de lugares geometricos en unambiente de Geometrıa Dinamica

Mariano Gonzalez [email protected]

Pontificia Universidad Catolica del Peru

Av. Universitaria 1801, San Miguel, Lima 32 - Peru

Resumen

En el curso se trata de mostrar las ventajas y limitacionesde la Geometrıa Dinamica en la resolucion de problemas degeometrıa, en el plano y en el espacio tridimensional, cuyasolucion requiere de la construccion de lugares geometricos.Estos hechos se mostraran a traves de la resolucion de variosejemplos.Palabras claves: Lugar Geometrico, geometrıa dinamica, res-olucion de problemas.

Introduccion

Cualquier actividad que se desee realizar se convierte enun problema. Para desarrollarla se debe buscar una estrategia,disponer de informacion complementaria que ayude a compren-derla y relacionar los diferentes aspectos que involucran tal ac-

SMP 1 Lima Peru, 2010


tividad.

En Matematicas, una manera de introducir conceptos y re-sultados es a traves de la resolucion de problemas ([3]). Te-niendo como punto de partida esta premisa, me he permitidoproponer este curso y esta dirigido a profesores de matematicasde nivel secundario y superior, considerando, ademas, que enlos programas curriculares del Ministerio de Educacion no seincluye actividades relacionadas con problemas que puedan re-solverse mediante la construccion de lugares geometricos, conlo cual se esta negando a los estudiantes la posibilidad de dis-frutar de un metodo “experimental” que favorece el desarrollode su capacidad visual, intuitiva y relacional.

El curso esta orientado al planteamiento y resolucion de al-gunos problemas de geometrıa que requieren de la construccionde lugares geometricos. Para ello se usara un software de Ge-ometrıa Dinamica (GD). Se ha elegido el software Cabri II Plusy Cabri 3D, tanto por la funcionalidad y didactica de su manejocomo tambien por la cantidad de opciones de las que dispone, locual permite realizar construcciones apropiadas para introducirconceptos y resultados de geometrıa que es uno de los objetivosdel curso.

La construccion de lugares geometricos en un ambiente degeometrıa dinamica permite, al estudiante, hacer conjeturas so-



bre la o las soluciones de un determinado problema, incluso esposible modificar las condiciones iniciales del problema y vi-sualizar los cambios en tiempo real, hechos que contribuyen aldesarrollo de diferentes aspectos de su capacidad intelectual.

Objetivos

Los principales objetivos del curso son

Introducir conceptos y resultados de geometrıa a travesde la resolucion de algunos problemas de geometrıa planay tridimensional mediante la construccion de lugares ge-ometricos.

Conocer el manejo y uso de un programa de GeometrıaDinamica para realizar construcciones tanto en el planocomo en el espacio tridimensional.

Usar geometrıa dinamica para conjeturar la solucion dedeterminados problemas de construcciones geometricas.

Desarrollo

A traves de la resolucion de algunos problemas podremosver la utilidad de la GD en la construccion de lugares geometri-cos.



Definicion.- Un lugar geometrico (LG) es el conjunto de todoslos puntos que satisfacen una determinada propiedad. Si el lugargeometrico es definido por la propiedad P, entonces

Todo punto del LG satisface la propiedad P.

Todo punto que satisface la propiedad P pertenece al LG.

Por ejemplo, una circunferencia es el lugar geometrico delos puntos, contenidos en un plano, que se encuentran a la mis-ma distancia de un punto fijo llamado centro.

A continuacion se presenta los problemas a desarrollar enel curso.

Problema 1 Dada una recta L y un punto F ubicados en un mis-mo plano, identificar el conjunto de puntos de dicho plano queequidistan de la recta L y del punto F.

Solucion. Para identificar el conjunto mencionado, desarrol-laremos el siguiente procedimiento: elija un punto M en la rectaL (use la opcion Punto sobre objeto) y trace la recta L′, perpen-dicular a L, por el punto M . Trace el segmento FM y construyasu mediatriz. Llame P a la interseccion de la mediatriz del seg-mento FM con L′ (Figura 1). El punto P equidista del puntoF y de la recta L.



L

F

M

PL'

Figura 1: Perpendicular a L y mediatriz de FM

Generar el lugar geometrico del punto P usando la opcionLugar cuando el punto M se desplaza en la recta L. De estamanera se obtiene la parabola con foco F y directriz L como semuestra en la (Figura 2).

L

F

M

PL'

Figura 2: LG de los puntos que equidistan de F y L

Problema 2 Dados dos puntos A y B y una recta L contenidosen el mismo plano, construir una circunferencia que pase por A



y B y sea tangente a la recta L.

Solucion. Para construir una circunferencia que pase por A yB y sea tangente a la recta L se debe encontrar un punto O queequidiste de A, B y L. Este punto sera el centro de tal circun-ferencia.Como primer paso se vera la ubicacion de los puntos A y Brespecto a la recta L con la finalidad de averiguar si existe o nosolucion del problema.Observar que el problema no siempre tiene solucion. Es evi-dente que no tiene solucion si los puntos A y B estan a uno yotro lado de la recta L.La construccion de una circunferencia requiere de tres puntosno colineales, entonces para que el problema planteado tengasolucion bastara que los puntos A y B esten ubicados en uno delos semiplanos originados por la recta L.Considerar los puntos A y B y la recta L como se muestra enla figura 3.

L

A

B

Figura 3: Puntos A y B y la recta L

Una manera de hallar un punto O es la siguiente:



construir el lugar geometrico de los puntos que equidistan de Ay L (la parabola con foco A y directriz L) (Fgura 4).

L

A

B

M

P

Figura 4: Puntos A y B y la recta L

Luego construir la mediatriz del segmento AB (Figura 5).Los puntos de interseccion de la parabola y la mediatriz del

segmento AB son puntos que equidistan de los puntos A y By de la recta L, en consecuencia dichos puntos son el centrode circunferencias que pasan por A y B y son tangentes a L(Figura 6).

Ubicando los puntos A y B en el otro semiplano, se ten-dra otras soluciones. De esta manera se observa que el proble-ma tiene cuatro soluciones.

Problema 3 Dadas tres rectas paralelas, construir un trianguloequilatero de manera que cada vertice se encuentre en una de



L

A

B

M

P

Figura 5: Mediatriz del segmento AB

L

A

B

M

P

O

Figura 6: LG de los puntos que equidistan de A, B y L

las rectas.

Solucion. Trazar las rectas paralelas y nombrarlas con L1, L2 y



L3, respectivamente (Figura 7).Con la finalidad de explorar si el problema tiene solucion, us-

L1

L2

L3

Figura 7: Rectas paralelas

ando la opcion Punto sobre un objeto elija un punto M en larecta L1 y un punto B en la recta L2 (Figura 8).Tomando como lado el segmento MB construya un triangulo

L1

L2

L3

M

B

Figura 8: Puntos M y B

equilatero. Para ello con la opcion Circunferencia construya lacircunferencia CM con centro en M que pasa por B y la circun-ferencia CB con centro en B que pasa por M. A continuacioncon la opcion Punto(s) de interseccion marque el punto de in-



terseccion de CM y CB mas cercano a la recta L3 y nombreleP (Figura 9). El triangulo MBP es equilatero.

L1

L2

L3

M

B

P

Figura 9: Circunferencias CM y CB

Usando la herramienta de desplazamiento (Animacion) mue-va el punto M en la recta L1 y observe que para una cierta posi-cion (M’) de M en la recta L1 el punto P estara en la recta L3,con lo cual se tendra el triangulo equilatero M’PB. Este hechomuestra que el problema tiene solucion.

Para determinar la ubicacion del punto P en la recta L3 con-struya el lugar geometrico que genera el punto P cuando el pun-to M se desplaza en la recta L1 y llamele L (Figura 10).

Al punto de interseccion de L con L3 llamele C (Figura 11).



L1

L2

L3

M

B

P

L

Figura 10: Lugar geometrico del punto P

L1

L2

L3

M

B

P

L

C

Figura 11: Ubicacion del vertice C

Tomando el segmento BC como lado, construya el trianguloequilatero M’BC siendo M’ un punto de L1 (Figura 12).

Finalmente, llamando A al punto M’ se tiene una solucion



C

L1

L2

L3

M

BM'

Figura 12: Ubicacion del punto M’

al problema. Esto es, el triangulo equilatero ABC (Figura 13).

A

B

C

L1

L2

L3

Figura 13: Triangulo ABC

Observar que para obtener esta solucion (4ABC) se ini-cio fijando el punto B en L2 y desplazando el punto M en L1.



Si se repite el proceso, pero esta vez fijando el punto A en L1y desplazando un punto N elegido en L2, se obtendra otra solu-cion del problema. ¿Son las unicas soluciones ? Justifique.

Problema 4 Dados un punto P, una circunferencia C y una rectaL. Construir una circunferencia que pase por P y sea tangentetanto a C como a L.

Solucion. Sea O el centro de la circunferencia C. Elija un puntoQ en C, trace la semirrecta OQ y luego trace la mediatriz M delsegmento OP.

Construya el LG del punto de intrseccion de la semirrectaOP con la recta M.

Por otro lado, construya el LG de los puntos que equidistande P y L.

La interseccion de ambos LGs es el centro de la circunfer-encia que pasa por P y es tangente a C y a L.

Problema 5 Dadas tres circunferencias con el mismo centro ydiferentes radios, construir un triangulo equilatero de maneraque cada vertice del triangulo se encuentre en cada una de lascircunferencias.



Solucion. Fije un punto O y construya tres circunferencias concentro en O y radios distintos 0 < r1 < r2 < r3 y nombrelascon C1, C2, C3, respectivamente. Elija un punto M en C1 y unpunto B en C3. Teniendo como lado el segmento MB construyaun triangulo equilatero llamando P al tercer vertice.

Construya el lugar geometrico generado por P cuando M sedesplaza en C1 y llamele G a dicho lugar geometrico.

A partir de aquı puede conjeturar si el problema tiene o notiene solucion, haciendose las siguientes interrogantes:

¿El problema siempre tiene solucion?

Si el problema tiene solucion, construir una de ellas.

¿Cuantas soluciones tiene?

¿Cual es la condicion para el problema siempre tengasolucion?

¿Si existe tal condicion, esta es una condicion necesariay suficiente?

Ejercicios

1. Construya el triangulo ABC conociendo los siguientesdatos: ∠A = 30◦, AB = 6cm, AC + CB = 13cm.



2. Dados dos puntos F1 y F2 fijos en un plano π y d unnumero positivo mayor que la distancia entre F1 y F2.Identificar el conjunto de puntos P del plano π tales lasuma de la distancia de P a F1 mas la distancia de P aF2 sea igual a d.

3. Dadas una circunferencia C y dos rectas paralelas L1 yL2, tangentes a C en P1 y P2 , respectivamente, y A unpunto de C, trazar la recta L3 que pasa por P1 y A. Larecta L3 corta a L2 en el punto M. Por M trace la recta L4,perpendicular a L1, y por A trace la recta L5, paralela aL1. Construir el LG de que genera el punto P, interseccionde L4 y L5 cuando A se desplaza en C.

4. En una recta L elegir cuatro puntos A, B, C y D, en eseorden. Encontrar un punto P de manera que ∠APB =∠BPC = ∠CPD.

5. Hallar el valor maximo de la funcion f(x, y, z) = x y zsujeta a las restricciones x + y + z = 3, x ≥ 0, y ≥ 0z ≥ 0.

Conclusiones

1. Podemos observar que los problemas que se resuelvenrecurriendo a la construccion de algun lugar geometrico



permiten al estudiante indagar si el problema tiene solu-cion y en caso la tenga, permite conjeturar si existe masde una solucion.

2. Al hacer las construcciones para la solucion de un deter-minado problema, permite al estudiante revisar propiedadesy conceptos propios de la geometrıa, lo cual ayuda a lareafirmacion de los mismos.

Referencias

[1] Bulajich R., Gomez J. A., Valdez R. Inequalities. Cuader-nos de Olimpiadas Matematicas. Instituto de Matematicas.Universidad Nacional Autonoma de Mexico. 2005.

[2] Kazarinoff Nicholas D. Geometry Inequalities. The L. W.Singer Company. Yale University. United States of Ameri-ca. 1961

[3] Polya G. Como planterar y resolver problemas. EditorialTrillas, Vigesimoprimera reimpresion. Mexico. 1997.

[4] Cabri Geometre II Plus. Manual de usuario.http://www.cabri.com/download-cabri-2-plus.html#manuals

[5] Cabri 3D. Manual de usuario.http://www.cabri.com/download-cabri-3d.html#manuals



[6] Gonzalez U., Marianohttp://macareo.pucp.edu.pe/∼mgonzal/index.htm


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