Hacia el enfoque global en el análisis de frecuencia de ...

Hacia el enfoque global en el análisis de frecuencia de crecientes

Daniel Francisco Campos Aranda

Facultad de Ingeniería de la UASLP

El objetivo fundamental de este trabajo consiste en describir el enfoque global que se sugiere para realizar el análisis de frecuencia de crecientes (AFC), presentando únicamente el concep- to y/o justificación de cada procedimiento que lo integra. El planteamiento propuesto tiene tres características relevantes: la primera corresponde a la recopilación de la información relativa a la génesis de las crecientes y al análisis de independencia de los datos, así como a la búsque- da de poblaciones mezcladas en tal registro; la segunda es que la selección de las técnicas del AFC, obedece a las características estadísticas del registro desde su extensión y homogeneidad hasta su tipo de función de densidad de probabilidad; la tercera se refiere al uso de la informa- ción hidrométrica de la región a través de las técnicas del AFC regional. Se realiza la aplicación numérica del enfoque global propuesto a los datos de la estación hidrométrica Huites, en Sinaloa. Por último, se formulan comentarios y conclusiones relativas a las ventajas de utilizar el enfoque propuesto.

Palabra clave: crecientes, análisis de frecuencia, poblaciones mezcladas, distribuciones de probabilidad.

Introducción

La estimación del gasto máximo de una creciente asociada a una determinada probabilidad de excedencia, o a un periodo de retorno específico, es una de las ta- reas más importantes del hidrólogo, ya que tal dato permite el dimensionamiento hidrológico y el diseño hi- dráulico de alcantarillas, puentes, vertedores y cortinas de embalses y otras obras de protección contra crecientes, como son los encauzamientos, las rectificacio- nes, los diques, las presas rompepicos y de control y los sistemas de drenaje urbano. Como el gasto máxi- mo y su correspondiente hidrograma están controla- dos por muchos factores climáticos y fisiográficos, que además están interrelacionados (ilustración 1), su esti- mación más confiable se basa en el procesamiento probabilístico de la información disponible sobre las crecientes observadas.

La información hidrométrica en o cerca del sitio de las obras en proyecto o bajo revisión, permite estimar las crecientes de diseño mediante la técnica conocida como análisis de frecuencia de crecientes (AFC), la cual consiste en hacer la predicción de crecientes asociadas a periodos de retorno, con base en técnicas de la inferencia estadística, la transformación de datos y los análisis regionales de crecientes.

El objetivo de este trabajo es describir y aplicar el enfoque global que se propone para realizar el AFC, el cual se muestra en un diagrama de flujo (ilustración 2) Por ello, el trabajo está estructurado según el proceso que se debe seguir en el AFC global de acuerdo a las particularidades estadísticas de cada registro hidrométrico.

Desde un punto de vista general, el enfoque global propuesto incluye nueve técnicas o procedimientos de análisis probabilístico de la información hidrométrica disponible. No todos serán aplicables en un determi- nado AFC, ya que su uso depende de la naturaleza es- tadística de los datos, como se muestra en la ilustra- ción 2. Los nueve procedimientos son: 1) información estadística a los datos, 2 y 3) detección de poblaciones mezcladas y su AFC, 4) AFC con datos transformados; 5) AFC con métodos no paramétricos; 6 y 7) AFC con métodos paramétricos univariados y multivariados; 8) AFC con métodos regionales y 9) AFC con serie de duración parcial.

En este punto se destaca que el trabajo está dirigi- do al hidrólogo o al ingeniero experto en análisis pro- babilísticos, ya que se dan por conocidos muchos conceptos y técnicas elementales y/o convencionales del AFC, por ello únicamente se exponen las ideas y se citan los procedimientos que involucra el enfoque global propuesto.

Lo anterior justifica por qué no se detallan los pro- cuenca y su comportamiento hidrológico. Por ejemplo, cedimientos de cálculo, sino que únicamente se pre- el primer dato importante es su tamaño, ya que si es senta en forma breve el concepto y/o justificación de superior a 1,300 km2 es probable que en ella las gran- cada análisis; no se presentan las ecuaciones, ni los des crecientes estén asociadas a tormentas ciclóni- procesos operativos de cada técnica, sino que sólo se cas, de baja intensidad de lluvia pero amplia cobertura citan las referencias donde se pueden consultar sus espacial. Por el contrario, las cuenca medianas y pe- planteamientos originales y completos, así como las queñas son sensibles a tormentas convectivas de alta referencias relativas a las aplicaciones realizadas en intensidad y reducida cobertura (Morris, 1982; Cam- nuestro país. pos, 1987). Entonces, la localización geográfica y el

Tampoco se citan las ventajas ni las limitaciones de comportamiento de las crecientes de la cuenca (fe- los distintos métodos y/o procedimientos que integran chas de ocurrencia, como mínimo), es una información el enfoque global propuesto, ya que tales aspectos que debe ser obtenida. están descritos en detalle en su bibliografía. En cam- Lógicamente, el número de gastos máximos anua- bio, sí se expone con detalle la aplicación numérica les disponible (n) es un dato básico, a partir de este del enfoque global sugerido a los datos de la estación valor se define (ilustración 2) si se requiere recopilar la hidrométrica Huites, en Sinaloa. información hidrométrica disponible en la región

(10<n<20), o si se deben obtener los gastos superiores a un valor umbral (n<10), que defina de dos a cinco magnitudes excedentes por año. En el primer caso, tal información se procesa mediante técnicas del análi- sis regional de frecuencia de crecientes y, en el segundo, bajo el enfoque de series de duración parcial, por medio de análisis de excedencias. Estos dos enfoques serán descritos posteriormente.

información relativa a los datos

Hidrología de la cuenca

En el enfoque global del AFC, el proceso se inicia con una recopilación de la información concerniente a la

Análisis de independencia y aleatoriedad Momentos de probabilidad pesada y momentos L

En términos generales, el correlograma y la función de En muestras pequeñas (n 100) las estimaciones de densidad espectral (fde) de un registro de gastos máxi- y Cs presentan considerable sesgo y variancia, lo mos anuales no deben presentar un comportamiento cual se origina al elevar al cuadrado y al cubo las ob- regular o periódico, de esta manera, el primero indica servaciones, pues entonces se da mayor peso a los que las crecientes son independientes y, si la fde osci- datos que más se apartan de la media, por ello se han la alrededor de su valor medio, la variancia está igual- desarrollado técnicas simples y más eficientes como el mente distribuida entre todas las frecuencias. Enton- método de los momentos de probabilidad pesada ces, la serie es un proceso estocástico puramente (MPP) y el de los momentos L (MOL), que permiten es- aleatorio, lo cual es requisito estadístico del AFC. Por timar los parámetros de ajuste de una función de dis- lo anterior, para probar la independencia y la aleatorie- tribución de probabilidades. En el anexo 2, se tiene dad del registro de gastos máximos anuales se sugiere una breve descripción de los MPP, de los MOL y de construir el correlograma y la fde (WMO, 1971 ; Haan, sus cocientes. 1977; Campos, 1993b).

Uso de los diagramas de cocientes de momentos Parámetros estadísticos básicos

Cunnane (1985) indica que los valores de Cv, Cs y Ck Las medidas de tendencia central a estimar son: me- obtenidos de los registros disponibles de gastos máxi- dia aritmética (Xm), mediana (M) y moda (mo). Los mos anuales, dada su escasa longitud y presencia de otros parámetros son: desviación estándar (S), coefi- valores dispersos, están sujetos a grandes errores y cientes de variación (Cv = S/Xm) y asimetría (Cs y g) enorme sesgo, de manera que todo intento para inferir de los datos y de sus logaritmos decimales así la distribución óptima a partir de ellos y diagramas de como el coeficiente de curtosis (Ck). La fórmulas a em- Cs contra Ck probablemente resulte errónea. Los dia- plear para obtener sus valores insesgados se presen- gramas de momentos Cv-Cs y Cs-Ck se pueden con- tan en el anexo 1 (Yevjevich, 1972). sultar en Cunnane (1985), Kottegoda (1980) y Vogel &

Fennessey (1993). Lo anterior puede ser aminorado a través de enfoque regional y del uso de diagramas de momentos L, como el expuesto en la ilustración 3 (Vogel & Fennessey, 1993; Campos, 1996f).

Detección estadística de poblaciones en la muestra

Histograma mensual de ocurrencias

El primer paso en el análisis estadístico encaminado a detectar y probar la presencia de dos poblaciones en la muestra o registro disponible de gastos máximos anuales, consiste en dibujar un histograma de ocurrencias mensuales. Con base en tal gráfico se detecta ob- jetivamente si existe la posibilidad de tener dos poblaciones al quedar evidenciadas dos modas y sus respectivos histogramas con comportamiento similar a la campana de Gauss (ilustración 6).

A partir del histograma de ocurrencias y tomando en cuenta la información relativa a la hidrología de la cuenca y las características de las tormentas que en ella ocurren, se definen las dos poblaciones por con- siderar. En nuestro país se trata comúnmente la tempo- rada de invierno-primavera y la de verano-otoño (Cam- pos, 1987).

Pruebas estadísticas de homogeneidad

Cuando se ha detectado gráficamente la presencia de dos poblaciones, se dice que el registro o muestra es inhomogéneo y ello se debe probar estadísticamente, a través de una hipótesis nula (Ho) que establece que no existe diferencia significativa entre ambas series. Para aceptar o rechazar Ho existen dos tipos de pruebas: las paramétricas y las no paramétricas. Las prime-

ras son más poderosas y robustas, pero requieren ciertas propiedades estadísticas que normalmente las series de gastos máximos anuales no cumplen (pro- venir de poblaciones normales, tener igual varianza y ser independientes). Por ello se recurre a las pruebas no paramétricas; entre ellas se han aplicado las de Mann-Whitney o Prueba U, la de Kruskal-Wallis y la Terry (Siegel, 1976; Kite, 1977; Campos, 1987).

Análisis de resultados

Cuando las pruebas han rechazado Ho, existen, desde un punto de vista estadístico, dos poblaciones mezcladas en el registro de gastos máximos anuales y entonces es necesario establecer o probar si tales eventos presentan una génesis diferente; es decir, si proceden de condiciones meteorológicas diferentes y/o fenómenos hidrológicos disímiles, que indiquen que las crecientes son producidas o generadas por dos procesos completamente independientes. En esta ta- rea es básica la información obtenida en el inciso de hidrología de la cuenca.

AFC para muestras con poblaciones mezcladas

Uso de distribuciones para dos poblaciones

El análisis de frecuencia de crecientes (AFC) más co- mún de las muestras o registros de gastos máximos

anuales que son identificados como de poblaciones mezcladas consiste en ajustarles modelos probabilís- ticos que llevan implícito tal planteamiento; es decir, modelos o distribuciones de dos poblaciones, por ejemplo la función Gumbel mixta (González, 1970, Campos, 1989), la mezcla de dos distribuciones normales (Cohen, 1967; Singh & Sinclair, 1972; Singh, 1987) y la mezcla de dos distribuciones GVE o general de valores extremos (Gutiérrez & Raynal, 1988).

Medida cuantitativa de la bondad del ajuste

Tanto para distribuciones de dos poblaciones como para las univariadas y los cálculos con datos transformados, se debe utilizar para estimar y poder comparar numéricamente la bondad del ajuste, el llamado error estándar de ajuste (EEA), entre los gastos máximos anuales observados (x,) y los calculados QC, el cual ha sido definido por Kite (1977) como:

AFC con combinación de distribuciones

Otro enfoque o procedimiento de realización del AFC que se puede abordar, cuando se dispone de una muestra con poblaciones mezcladas cuyos eventos son generados por procesos hidrometeorológicos independientes, consiste en utilizar un modelo de producto en que cada proceso está caracterizado por una distribución. Este enfoque puede ser consultado en Waylen & Woo (1 982).

En este mismo tipo de registros de gastos máximos se puede aplicar el enfoque de combinar las distribuciones ajustadas a los datos ciclónicos y a los no cicló- nicos. Así, por ejemplo, Kite (1977) presenta el criterio de Stoddart & Watt; Morris (1982) expone otro enfoque que requiere la identificación exacta de los eventos ciclónicos y Campos (1987) detalla y aplica ambos procedimientos.

AFC con datos transformados

Introducción

En AFC prevalece la incertidumbre de estimar eventos extremos, debido a la dificultad para definir con exactitud, a partir de muestras o registros hidrométricos pequeños, la función de densidad de probabilidad (fdp), principalmente en su extremo derecho. Así, en vez de adoptar y ajustar una distribución conocida a los datos, es mejor modificarlos o reconstituirlos por medio de una determinada transformación, de tal manera que la muestra o registro transformado siga una distribución particular, comúnmente la normal.

AFC con máximos en intervalos de cinco años

Jenkinson (1969) indica que cuando no hay muchos días de gasto al ano que sean independientes, no se está cumpliendo con el concepto de valores extremos; entonces, si se consideran únicamente los valores má- ximos de cada cinco años, se está incrementando cinco veces el número de días de donde se extraen valores extremos y, por tanto, seguramente tales magnitudes máximas constituyen, ahora sí, una serie que satisface la distribución de valores extremos.

Si se acepta que el orden real en el cual ocurren los eventos máximos anuales es aleatorio, entonces se deben tomar todas las posibles combinaciones de los datos, cada una de las cuales da una serie de máximos en cinco años. El procedimiento de Jenkinson (1969) se basa en estos conceptos y utiliza el método de máxima verosimilitud para ajustar la distribución Gum- bel (Jenkinson, 1969; Clarke, 1973; Campos, 1995a).

mismo que corresponde al error medio cuadrático. Los gastos QC se calculan para la misma probabilidad de no excedencia F(x) asignada a los gastos estimada ésta con la fórmula de Weibull (Benson, 1962):

donde m es el número de orden de los gastos ordenados de menor a mayor, el cual varía de l a n. El número de parámetros de ajuste es np.

Otra medida de bondad de ajuste que hace ya varios años ha comenzado a utilizarse es el llamado error absoluto de ajuste definido como (Singh & Singh, 1988):

Nuevamente, la sumatoria abarca de i=1 a n. Algunos autores prefieren aplicar las ecuaciones 1 y 3 en forma adimensional, es decir, dividiendo la diferencia entre

AFC con segregación

Cuando se ha probado estadísticamente la existencia de dos poblaciones y se ha verificado que su ocurrencia obedece a una génesis diferente, entonces uno de los enfoques correctos para el AFC consiste en segre- gar la muestra y analizar cada una probabilísticamente (Browzin et al., 1972).

Transformación MlMfMA (Mínimo, MEdiano, MÁximo)

La transformación SMEMAX (Small, MEdian, MAXimum) propuesta por Nedavia Bethlahmy en 1977 intenta nor- malizar distribuciones sesgadas, utilizando los valores mínimo, mediano y máximo de la serie de gastos máxi- mos anuales observados. La transformación conduce a una serie que tiene igual diferencia entre sus magnitudes mínima y máxima y su valor mediano. Lo anterior se muestra en la ilustración 4, de la cual se deducen por trigonometría las ecuaciones necesarias para obtener los valores transformados mayores y menores que la mediana transformada (Bethlahmy, 1977; Cam- pos, 1995a).

En los coeficientes de asimetría y de curtosis de los datos transformados se deben obtener valores cerca- nos a cero y tres, respectivamente, que son los correspondientes de la distribución normal. Esto lógicamente, comprueba la eficacia de la transformación MIMEMA. Para obtener las estimaciones de crecientes correspondientes a un periodo de retorno (Tr) de diseño, inicialmente se trabaja con los valores normalizados según la ecuación general del AFC (Chow, 1964) y después se obtienen por transformación inversa los valores vado (Campos, 1996a). buscados

Transformación potencial

Chander et al. (1978) sugieren utilizar la familia de transformaciones propuesta por G. E. P. Box y D.R.

Cox en 1964 para obtener la normalidad de los datos. Para estimar un evento máximo asociado a un periodo de retorno, primero se estima el respectivo evento má- ximo transformado con base en la ecuación general del AFC (Chow, 1964) y después se emplean en forma inversa las ecuaciones de la transformación. El procedimiento anterior permite el cálculo del error estándar de ajuste con base en las ecuaciones 1 y 2.

AFC con métodos no paramétricos

Introducción

En AFC con métodos no paramétricos no se adopta a priori un modelo de función de densidad de probabilidad (fdp), sino que ésta es determinada con base en la muestra o serie anual de gastos máximos aleato- rios (x,, x,, x,, ..., por ello, este enfoque es particu- larmente apropiado para fdp multimodales o con extremo derecho oscilante. En el análisis de frecuencia de crecientes, la principal limitación de los métodos no paramétricos corresponde a la escasa extrapolación que se puede realizar más allá del mayor dato obser-

En este método, la fdp se estima adoptando una función núcleo (kernel) en cada observación, la cual ella misma es una fdp simétrica; las más difundidas son la circular, la rectangular y la gaussiana. La selec- ción de la función núcleo no es crucial o crítica, ya que se ha demostrado que la mayoría conduce a resulta-

dos similares; en cambio, la determinación del factor de suavizado o ancho de banda sí lo es, pues un alto valor exagera el suavizado ocultando la verdadera va- riación y un valor bajo resulta en un insuficiente suavizado (Adamowski, 1989).

Método de la función núcleo circular

La expresión de la función núcleo circular ha sido ex- puesta y aplicada por Adamowski (1985,1989), así como la ecuación que conduce directamente al valor óptimo del parámetro de suavizado h. Definida la fdp, su integración por medio de la regla del trapecio conduce a la FDP, caracterizada por la probabilidad de no excedencia hasta el valor de x asignado (Campos, 1996a, 1997). Dada su sencillez este procedimiento es muy útil para construir la fdp y determinar los valores de gasto máximo asociados a determinadas probabilidades, pero resulta poco práctico para evaluar el error estándar de ajuste (ecuaciones 1 y 2).

Método de la función núcleo rectangular

Las ecuaciones de este método han sido expuestas por Adamowski (1985) y aplicadas por Campos (1996a, b; 1997). Para el cálculo del error estándar de ajuste se usa el método numérico de bisección, considerando como límites iniciales para el QC, 0.5 y 1.50 de x y adoptando una tolerancia de 0.00001 para la diferencia absoluta entre las probabilidades estimadas con una ecuación similar a la 2 y la del método no paramétrico.

AFC con métodos paramétricos univariados

Distribuciones actualmente utilizadas

En términos concretos, el enfoque paramétrico del AFC involucra el ajuste a la serie de gastos máximos anuales observados, de una función de densidad de probabilidades teórica (fdp) previamente selecciona- da. La fdp es empleada para describir la naturaleza aleatoria de los datos, cuya integral desde su inicio hasta un valor dado x conduce a la probabilidad de no excedencia F(x), lo cual permite definir la FDP y, a partir de su complemento, la probabilidad de excedencia cuyo recíproco es el periodo de retorno.

Las FDP actualmente utilizadas corresponden a:

1. Las Log-normal de 2 y 3 parámetros (Burges et al., 1975; Stedinger, 1980).

2. La Gumbel (Clarke, 1973; Kite, 1977).

3. La GVE (Jenkinson, 1969; NERC, 1975; Raynal, 1984; Campos, 1991).

4. La Pearson tipo III (Thom, 1971; Kottegoda, 1980; Campos, 1988).

5. La Log-Pearson tipo III (Bobée, 1975; WRC, 1977).

Estas distribuciones o modelos probabilísticos han sido descritos con detalle y aplicados en nuestro país, por ejemplo, por Gómez de Luna (1987).

Distribuciones más recientes

Las FDP que han sido propuestas recientemente son:

1. La Wakeby (Houghton, 1978; Kuczera, 1982; Martí- nez y Raynal, 1988; Campos, 1995b).

2. La de Boughton (Boughton, 1980; Campos, 1996d). 3. La de Griffiths (Griffiths, 1989; Campos, 1996e). 4. La GVE truncada (Wang, 1990; Campos, 1996c).

Estas distribuciones o modelos probabilísticos nove- dosos han sido descritos con acuciosidad y aplicados en nuestro país, por Campos (1995c).

AFC con métodos paramétricos multivariados

En nuestro país las primeras aplicaciones de las distribuciones multivariadas (bivariadas, inicialmente), datan de inicios de los años noventa (Raynal, 1990; Ramírez, 1996). Los AFC utilizando distribuciones bivariadas y trivariadas han demostrado ser una buena opción de modelado y de mejor uso de la información hidrométri- ca regional (Escalante, 1994), así como también en la búsqueda y obtención de otras características asociadas a las crecientes (Escalante, 1996).

AFC con métodos regionales

Introducción

El análisis de frecuencia de crecientes (AFC) de carác- ter regional, permite estimar éstas en cualquier sitio dentro de la región con base en todos los datos regis- trados en las diferentes estaciones hidrométricas, in- cluyendo aquéllos de un sitio específico, cuando tales datos están disponibles. Algunos métodos del análisis regional, requieren que la zona donde se aplican esté integrada por estaciones hidrométricas cuyo comportamiento estadístico es homogéneo en alguna forma cuantificable. El análisis regional explota esta homogeneidad para producir estimaciones las cuales son, en

la mayoría de los casos, más confiables que aquéllas Algoritmo para regionalización de funciones obtenidas al hacer uso únicamente de los datos de de distribución una sola estación hidrométrica.

Es común que las magnitudes del gasto máximo Similar al método del índice de crecientes, consiste en anual de los ríos de una región puedan mostrar cierto seleccionar un periodo común de registro de gastos grado de asociación o dependencia. Algunos métodos máximos anuales y probar la homogeneidad de la del análisis regional hacen uso explícito de esta pro- zona; se divide cada registro entre su mediana, y se piedad estadística e incluso no funcionan sin ella, por ordenan en magnitud decreciente y se calcula la media- ejemplo, los métodos de extensión de registros; en na de cada rango o número de orden. A continuación cambio, otros dependen de su total ausencia, como la se ajusta una distribución, por ejemplo, la Gumbel, la técnica de las estaciones-años, o de una parcial au- GVE o la Log-Pearson tipo III, a las magnitudes regio- sencia, como el método del índice de crecientes (Cun- nales representativas, para obtener la curva regional nane, 1988). de frecuencias. Por último, se calcula el gasto máximo

con base en la mediana del sitio donde se requiere el Definición de la zona homogénea AFC (Kuczera, 1982; Wallis & Wood, 1985; Cunnane,

1988; Campos, 1994a). El primer paso dentro del AFC regional consiste en definir la zona homogénea desde un punto de vista hi- Método de regionalización de momentos drometeorológico, para ello existen dos enfoques, el cualitativo, basado en las características geográficas Tanto los momentos de probabilidad pesada (MPP) (clima, vegetación, geología, geomorfología, etc.) y el como los momentos L (MOL), pueden ser fácilmente cuantitativo, que utiliza pruebas estadísticas como el normalizados, por ejemplo, dividiéndolos entre su me- test de Langbein (Dalrymple, 1960; Campos, 1994c), dia, y después regionalizándolos, a través de un sim- la basada en la distribución GVE (Domínguez, 1996), ple promediado o de una ponderación con base en la las características de la función de densidad de pro- amplitud del registro de donde proceden. Realizado lo babilidad (Gingras & Adamowski, 1993), o bien una anterior se ajustan distribuciones como la Gumbel, la combinación de características específicas de las GVE o la Log-Pearson tipo III y, posteriormente, se ob- cuencas (Wiltshire, 1985). tienen los gastos máximos al escalar los resultados

con la media del sitio donde se requiere el AFC (Greis Método de las estaciones-años & Wood, 1981; Wallis & Wood, 1985; Cunnane, 1988;

Stedinger et al., 1993; Campos, 1994b). Una de las primeras descripciones del método se debe a Chow (1964). El método consiste en combinar lncremento de la información hidrométrica datos de varios pluviómetros en una muestra com- porregresion puesta de estaciones-años, cuando las estaciones son meteorológicamente homogéneas y estadísticamente Cuando la media, la variancia y el coeficiente de asi- independientes. Wisner (1970) describe el método e metría son evaluados con registros cortos están suje- indica que al parecer sus dos condiciones se excluyen tos a grandes errores de muestreo. Por ello, medicio- mutuamente; es decir, que están en conflicto. Garros- nes concurrentes de crecientes en dos o más estacio- Berthet (1994) establece un procedimiento práctico de nes de aforos pueden ser utilizadas para extender un aplicación cuando el método se destina al análisis registro corto con base en los registros largos (Salas, de frecuencia de crecientes. 1980). La extensión de un registro corto puede no dar

siempre resultados satisfactorios; es necesario que la Método del índice de crecientes secuencia larga de crecientes conduzca a mejores es-

timaciones estadísticas de los parámetros, lo cual de- El método del índice de crecientes fue desarrollado y pende del grado de asociación entre los registros con- propuesto por Tate Dalrymple en 1960. Ha sido esta- currentes (Fiering, 1963). blecido como un procedimiento formal del U.S. Geolo- gical Survey, y por ello en algunas ocasiones así se le AFC por medio de excedencias designa. Es el método regional más difundido quizás debido a su sencillez. En nuestro país ha sido descrito Como ha sido planteado en este trabajo (ilustración. 2), ampliamente y aplicado en la Región Hidrológica No. cuando el registro disponible es menor de diez años, 10 (Sinaloa) por Campos (1994c,d). es conveniente recurrir al uso de la llamada serie de

mes. Por lo común, el mecanismo que genera las crecientes del invierno es originado por lluvias de amplia extensión, conocidas como equipatas (SRH,1970); en cambio, las crecientes del verano y otoño son generadas normalmente por tormentas convectivas locales y, en algunos años, por los ciclones que surgen en el océano Pacífico. El registro disponible de gastos má- ximos anuales en la estación Huites comprende 53 años y se presenta en las primeras cinco columnas del cuadro 1.

Análisis previo de los datos

En primer término se probó la aleatoriedad del registro de gastos máximos anuales por medio de la prueba basada en el análisis espectral (Haan, 1977; Campos, 1993b). Los resultados indican que existe una compo- nente determinística con periodicidad del orden de seis años, lo cual se muestra en la ilustración 5; el correlograma respectivo también se presenta en esta ilustración y muestra un comportamiento periódico con un valor significativo, ya que excede el límite superior en el retraso 6, corroborando la conclusión anterior.

Con base en la ocurrencia mensual de los gastos máximos anuales, según datos del cuadro 1 se ha construido el histograma mostrado en la ilustración 6, a partir del cual se plantea la posibilidad de tener dos poblaciones, la del verano (junio-octubre) y la del invierno (noviembre-marzo). Se aplicaron las pruebas de Mann-Whitney, Kruskal-Wallis y de Terry (Siegel, 1976; Kite, 1977; Campos, 1987), habiéndose encontrado que sí existe diferencia estadística significativa entre las dos poblaciones.

En el cuadro 1 se han concentrado los valores má- ximos anuales correspondientes a las épocas de verano (junio-octubre) e invierno (noviembre-marzo), defi- nidas de acuerdo al histograma de ocurrencias mensuales de los gastos máximos anuales (ilustración 6).

Por otra parte, la función de densidad de probabilidad (fdp) de los gastos máximos anuales ya ha sido estimada a través del método no paramétrico de la fun- ción núcleo circular (Campos, 1996a), encontrándose que dicha fdp es unimodal con extremo derecho oscilante; como puede verse en la ilustración 7.

Con base en los resultados anteriores, se anticipa que los ajustes de los modelos probabilísticos comunes (univariados) seguramente conducirán a estimaciones con alta variabilidad en los periodos de retorno superiores a la amplitud del registro (n>50). Esto, debido a la presencia de dos poblaciones, desde un punto de vista estadístico, aunque no físico o de géne- sis hidrológica, ya que los procesos que dan origen a las crecientes no son estrictamente distintos y, por lo

duración parcial para realizar el AFC, seleccionando gastos umbral para obtener del orden de dos a cinco excedencias por año de registro. A continuación se procesa estadísticamente esta serie para obtener los gastos de diseño (Shane & Lynn, 1964; Taesombut & Yevjevich, 1978; NRCC, 1989; Campos, 1993a).

Aplicación numérica

Introducción

El objetivo fundamental de esta aplicación consiste en destacar las dificultades para adoptar, con cierta confiabilidad, un gasto de diseño asociado a un periodo de retorno grande, por ejemplo, 10,000 años, cuando el registro hidrométrico disponible, aunque amplio (53 años), presenta características estadísticas que hacen que el AFC univariado sea insuficiente. En tales situa- ciones el enfoque global sugerido en este trabajo es bastante útil y, se podría decir, hasta imprescindible. Tal es el caso del registro de gastos máximos anuales de la estación hidrométrica Huites, en Sinaloa, como se detalla a continuación.

La estación hidrométrica Huites (Sinaloa)

La estación hidrométrica Huites se localiza en el río Fuerte, dentro de la Región Hidrológica No. 10 (Sina- loa); su área de cuenca es de 26,020 km2 y sus crecientes anuales presentan una marcada estacionalidad, siendo las más severas las que ocurren en el invierno, durante diciembre y enero, y las más frecuentes las del mes de agosto, con un 24% de ocurrencias en dicho

tanto, independientes (Waylen & Woo, 1982); esto últi- mo se comprueba con la fdp (ilustración 7), la cual no resultó bimodal (Gingras & Adamowski, 1993; Campos, 1996a).

Descripción y análisis de los resultados

Parámetros estadísticos y su uso. Para la serie anual de gastos máximos la aplicación de las fórmulas de los anexos 1 y 2 conduce a los valores siguientes:

Los primeros tres parámetros estadísticos destacan el fuerte sesgo positivo que tienen las tres series. Por su parte, el coeficiente g pone de manifiesto la presencia de valores grandes dispersos (high outliers) en las dos primeras series y, de valores bajos dispersos (low outliers) en la última serie. Por otra parte, al llevar a la ilustración 3 los valores respectivos de los cocientes de momentos, se definen como distribuciones más convenientes la log-normal de tres parámetros para la serie anual y, sobre todo, para la serie del verano, y la Pearson tipo III para la serie del invierno.

AFC univariado. En la primera parte del cuadro 2 se han concentrado los resultados de los ajustes de las nueve funciones de distribución de probabilidades que comprenden los modelos que se utilizan actualmente y parte de los recientemente propuestos. Los resultados se presentan en orden decreciente de error estándar de ajuste (EEA), el cual fluctúa desde 1,468 a 636 m3/s. Como se anticipó, debido a las caracterís- ticas estadísticas de la serie anual de máximos, los resultados en los periodos de retorno mayores a cincuenta años son altamente variables. Los valores adoptados se basan en los dos modelos probabilísti- cos que condujeron a los menores EEA; sin embargo, de acuerdo con los resultados de la ilustración 3, el valor por adoptar para el periodo de retorno de 10,000 años debería ser del orden de 24,200 m3/s, el cual corresponde a la distribución log-normal de tres pará- metros.

Conviene destacar que los coeficientes de asime- tría y de curtosis de los gastos máximos anuales (2.426 y 8.730) se aproximan mucho a los teóricos del modelo o distribución de Griffiths, que son 2 y 9, respectivamente (Griffiths, 1989; Campos, 1996e); por ello, los resultados de este modelo probabilístico deben ser tomados en cuenta en la definición de los ór- denes de magnitud de los valores adoptados; es decir, que según este criterio el gasto de diseño que se busca sería del orden de 28,250 metros cúbicos por segundo.

Respecto al modelo GVE y su versión truncada, ésta última conduce a un menor parámetro de forma de -0.438 contra -0.571, de manera que esta mayor concavidad o curvatura de la función se refleja en las estimaciones de altos periodos de retorno; por ejemplo, para 10,000 años se obtiene con la GVE 33,6232 m3/s, y con la GVE truncada, 51,890 m3/s. Lo anterior destaca la influencia marcada que pueden tener valores de baja magnitud en la definición de las estimaciones en altos periodos de retorno, y orienta hacia una selección más racional, basada en otros enfoques y/o modelos de poblaciones mezcladas.

AFC con segregación. En el cuadro 2 se han concentrado resultados obtenidos de manera similar a los de la serie anual, pero para las series del verano y del invierno. Se observa que los resultados de la serie del verano son inferiores a las magnitudes asociadas a los valores anuales, en cambio para la serie del invierno y considerando la recomendación obtenida en la ilustra- ción 3, el gasto buscado podría ser del orden de 36,150 m3/s, que corresponde a la distribución Pear- son tipo III.

Uso de distribuciones para poblaciones mezcladas. En el cuadro 3 se presentan los resultados obtenidos con los modelos probabilísticos Gumbel para dos poblaciones y mezcla de dos distribuciones normales. Sus resultados son bastante similares y conducen a valores del EEA muy bajos; el obtenido con un número de eventos ciclónicos de ocho fue el menor, pero se analizaron de seis a 12. Para el gasto de diseño buscado se obtienen magnitudes de 34,750 y 20,215 m3/s, con cada modelo. En la ilustración 8 se muestra el ajuste Gumbel de dos poblaciones, por ser el mejor y más recomendable.

AFC con datos transformados. También en el cuadro 3 se han concentrado los resultados de las tres técnicas cuyo enfoque es la transformación de los datos. Éstas son: el análisis de máximos en cinco años, las transformaciones MIMEMA y la potencial. Los resultados relativos al gasto asociado al periodo de retorno de 10,000 años son: 31,125 y 22,300 m3/s, según los dos primeros procedimientos.

AFC con métodos no paramétricos. El menor EEA se obtuvo con el método no paramétrico de la función nú- cleo rectangular, lo cual es completamente lógico, pues en esta técnica se construye la fdp con base en los datos. Por lo tanto, el método reproduce la fdp muestral. Sin embargo, dada la amplitud del registro sus resultados sólo serán válidos hasta un periodo de retorno de cincuenta años. La contribución más importante de estos métodos en el AFC consiste en mostrar el tipo de fdp (ilustración 7) y, con tal información, dar más o menos peso a los resultados de los métodos paramétricos univariados.

AFC con métodos multivariados. Escalante (1994) expone y aplica el AFC multivariado en la Región Hidro- lógica No. 10 (Sinaloa) y presenta como mejores resultados de tales análisis los siguientes valores mínimos del EEA: niente.

Respecto a los gastos asociados a los diversos periodos de retorno, obtenidos por Escalante (1994), éstos también se han concentrado en el cuadro 3. Se conclu- ye que para el correspondiente a 10,000 años, los valores son: 31,250, 34,200 y 40,100 m3/s, según ajustes univariado, bivariado y trivariado, respectivamente.

Por otra parte, Escalante (1 996) presenta resultados para la estación Huites. Utilizando el enfoque con- junto propuesto por este autor, los gastos de diseño obtenidos también se han concentrado en el cuadro 3, del cual se deduce que el correspondiente a 10,000 años resulta ser del orden de 27,700 metros cúbicos por segundo.

AFC con métodos regionales. De acuerdo al planteamiento propuesto en la ilustración 2, dada la amplitud del registro disponible tales análisis no son indis- pensables, sin embargo siempre resulta conveniente disponer de un mayor número de resultados y por ello en el cuadro 3 se muestran algunos de los resultados obtenidos por Campos (1994a,b,c,d) en la aplicación de tales técnicas. Es necesario destacar que tales resultados generalmente están basados en la apli- cación individual del modelo GVE, el cual para el caso específico de Huites, aquí analizado, no resultó conve-

Comentarios naturaleza estadística e hidrológica de los datos. Lo anterior dentro de un marco de total objetividad, regi-

Primero: en términos generales, el enfoque global pro- do por las condiciones estadísticas y probabilísticas puesto intenta reducir la incertidumbre asociada a las de las propias técnicas incluidas en dicho enfoque in- estimaciones de las crecientes, al evaluar y compren- tegral, así como de los datos que se procesan. der las características estadísticas de los datos, desde Tercera: en la aplicación numérica realizada a los su número, parámetros estadísticos, momentos y fun- 53 gastos máximos anuales de la estación hidrométri- ción de densidad de probabilidad muestral, incluyen- ca Huites (cuadro 1), se ha destacado la utilidad de do la información relativa a su génesis hidrológica. contar con los resultados de otros enfoques, desde el Además, el enfoque global incluye el uso de la infor- análisis de máximos en intervalos de cinco años, hasta mación hidrométrica regional para disponer de otras el uso de modelos probabilísticos de poblaciones estimaciones que permitan acotar u orientar la magni- mezcladas, ya que ajustar únicamente los métodos tud de los resultados (ver ilustración 2). paramétricos comunes conduciría a una amplia varie-

dad de resultados a partir de los cuales resultaría sumamente difícil adoptar valores de diseño (ver cuadro 2).

Cuarta: a través de los comentarios y observaciones que se han realizado en el inciso anterior, queda manifiesta la utilidad del enfoque global, por ejemplo, al permitir dar a los resultados una determinada confiabilidad, y al contar con una gama de magnitudes del gasto de diseño procedentes de enfoques muy disími- les. Todo lo anterior ha conducido a ubicar con mayor confiabilidad y, quizás con más exactitud, el gasto má- ximo de diseño correspondiente al periodo de retorno de 10,000 años en los 35,000 metros cúbicos por segundo.

Quinta: de acuerdo con la descripción del proyec- to, ahora presa Huites, dada por Urbina (1994), el gas- to de diseño (entrada) adoptado, correspondiente a un periodo de retorno de 10,000 años fue de 30,000 m3/s. Por lo tanto, de acuerdo con los resultados de este AFC con enfoque global, se recomienda revisar o re- calcular el gasto de diseño del vertedor, asignando al hidrograma de entrada al vaso (diseño) un gasto de pico de 35,000 metros cúbicos por segundo.

Segundo: un aspecto importante dentro de la esti- mación de crecientes asociadas a un periodo de retorno, es la cuantificación de la precisión con la que tales crecientes son estimadas. La estadística clásica utiliza los intervalos de confianza para describir la precisión con la cual los parámetros de un modelo u otras canti- dades son conocidas. Tales intervalos permiten definir si las estimaciones de crecientes deben ser ajustadas en estudios futuros, dada su escasa precisión. Este aspecto no ha sido abordado en este trabajo, pero por su importancia se sugiere consultar a Kite (1977), Kotte- goda (1980), Stedínger (1983); Reinius (1989) y Ste- dinger et al. (1993), entre otros.

Tercero: la primera palabra del término periodo de retorno supone y hasta implica una periodicidad, lo cual no existe en las crecientes, por ello se sugiere utilizar su designación alterna de “intervalo de recurren- cia” o, bien, “intervalo” o “lapso de retorno”.

Conclusiones

Primera: la aplicación del análisis previo de los datos, que incluye la prueba de aleatoriedad, el análisis es- tadístico relativo a la presencia de dos poblaciones, la interpretación de los parámetros estadísticos y la apli- cación de los métodos no paramétricos que permiten construir la fdp de los datos, ayuda a definir o tener en cuenta la particularidades del registro que se somete al análisis de frecuencia de crecientes (AFC). Todo lo anterior permite anticipar Ius problemas relativos a los ajustes y a la variabilidad de los resultados. Sobre todo, orienta en diversos aspectos a tomarse en cuenta al seleccionar los valores de diseño.

Segunda: el uso del enfoque global en el AFC, es sumamente útil, tanto para contar con otros resultados provenientes de procedimientos diferentes, como para permitir discriminar tales métodos y sus resultados en función de lo adecuado que se consideren, dada la

Anexo 1

Fórmulas de los parametros estadísticos insesgados

Con el propósito de uniformizar el cálculo de los pará- metros estadísticos insesgados se presentan a conti- nuación sus fórmulas respectivas (Yevjevich, 1972):

Todas las sumatorias abarcan de i = 1 a n, el número de datos. y y son los parámetros de escala y forma de la distribución Pearson tipo III (Kottegoda, 1980; Campos, 1988). Para calcular el coeficiente de asime- tría de los logaritmos (g) con la ecuación A.4, primero se evalúan Xm y S de los logaritmos de los datos.

las expresiones siguientes (Vogel & Fennessey, 1993; Stedinger et al., 1993):

Anexo 2

Fórmulas de los momentos de probabilidad pesada (MPP), de los momentos L (MOL) y de los cocientes de MOL

La descripción de los MPP es muy Útil, ya que los MOL son funciones lineales de los primeros, los cuales es- tán definidos como (Stedingei- et al., 1993):

En forma análoga a como se definen los cocientes de los momentos producto, que son los coeficientes de va- riación (Cv = S/Xm), de asimetría y de curtosis, se es- tablecen los cocientes de los MOL; esto es (Vogel y Fennessey, 1993; Stedinger et al., 1993):

en donde, x es la variable y F(x) es la función de distri- bución de probabilidades. Cuando r = O, es la media aritmética. Los MPP de orden mayor son combinaciones lineales simples de estadísticas de orden de

x Los estimadores insesgados de los MPP de primero, segundo y tercer orden son: La ilustración 3 (Vogel y Fennessey, 1993) muestra la

relación entre y la cual es conocida como diagrama de MOL. En esta ilustración se pueden describir las relaciones teóricas entre tales cocientes L de cada dis- tribución, teniéndose los siguientes valores puntuales para las funciones (Stedinger et al., 1993):

Las sumatorias que abarcan de j = 1 a n son los valores observados ordenados de mayor a menor. Los estimadores muestrales de los MOL son siempre combinaciones lineales de las observaciones ordenadas o clasificadas por magnitud; por ello están sujetas a me- nor sesgo que los momentos producto y son mucho más robustos a la presencia de valores dispersos (outliers) en los datos (Harper et al., 1994). Los MOL son fácilmente calculados en términos de los MPP, según

Para las distribuciones de probabilidad de tres pará- metros se definen líneas curvas, mostrándose en la ilustración 3 las correspondientes a las funciones Log- normal, Pearson tipo III, GVE y límite inferior de la dis- tribución Wakeby de cinco parámetros.

Agradecimientos

Se agradece al doctor Francisco Javier Aparicio Mijares coordinador de Tecnología de Hidrologia del IMTA, los comentarios y discusión

actualmente utilizados, que a finales de 1995 se desarrollaron con base en los gastos máximos mensuales instantáneos de la estación Huites. Estos datos fueron proporcionados al autor por el doctor Aparicio Mijares, y de las discusiones y comunicaciones personales surgieron algunos de los conceptos y/o recomendaciones expuestas en este trabajo, lo cual también se reconoce y aprecia.

También se reconoce la importancia de los comentarios y suge- rencias de los tres revisores técnicos anónimos, que en la medida de lo posible se incorporaron al trabajo para mejorarlo.

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Abstract

Campos-Aranda, D.F. “Toward the global approach in flood frequency analysis”. Hydraulic Engineering in Mexico (in Spanish). Vol. XIV. Num. 1, pages 23-42. January-April, 1999.

This work describes the global approach that is proposed to carry out the flood frecuency analysis (FFA), presenting only the concept and justification for each procedure included. This strategy has three re- levant characteristics, the first corresponds to data gathering about the genesis of floods and the indepen- dence analysis of data, as well as the mixed population search in the record; the second characteristic is related to techniques of FFA selection, which corresponds to the statistical characteristics of the record, from its homogeneity and extension to its probability density function type; the third concerns the use of regional hydrometric information through the regional FFA techniques. The numerical application of the proposed global approach to the Huites hydrometric station data in the state of Sinaloa is carry out. Lastly severa1 con- clusions and remarks related to the advantages of the proposed approach are formulated.

Key words: floods, frequency analysis, mixed populations, probabiiity distributions.

Hacia el enfoque global en el análisis de frecuencia de ...

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