Hay hombres que de su cencia - OpenCourseWare UNC

UNIDAD I

CONJUNTOS DE NÚMEROS

Mariela

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Cátedra l Introducción a la Matemática Autores l Mónica Bocco, Silvina Sayago

Bocco-Sayago Elementos de Matemática

CONJUNTOS de NÚMEROS

INTRODUCCIÓN

La tradición universitaria Argentina comienza a partir de la fundación de la Universidad Nacional de Córdoba (1613); es la cuarta en aparición en América y la segunda de América del Sur, después de las de Santo Domingo (1538), Lima y México (1551). Puede afirmarse que el origen de la Universidad Nacional de Córdoba se remonta al primer cuarto del siglo XVII, cuando el Obispo Fray Fernando de Trejo y Sanabria, entonces titular de la Diócesis del Tucumán con sede en Santiago del Estero, y el Padre Diego de Torres, Provincial de la Compañía de Jesús acuerdan fundar una Casa de Estudios, el Colegio Máximo, en el que comenzaron a impartirse clases de filosofía y teología, en particular a los religiosos de esa orden, siendo este establecimiento la base de la futura Universidad.

Siendo la Universidad de Córdoba la más antigua del país y una de las primeras del

continente americano, cuenta con una larga historia, rica en acontecimientos que la convirtieron en un importante foco de influencia, no sólo en lo cultural y científico, sino también en lo político y social.

Ya iniciado el Siglo XX, la Universidad de Córdoba extendía múltiples influencias en

el país y en la región, pero a partir de 1918 su carácter rector adquirió una fuerza insospechada que trascendió ampliamente su propio ámbito. En estrecha vinculación con los acontecimientos que vivía el país y el mundo, en junio de 1918 los estudiantes de la Universidad iniciaron un movimiento, al que rápidamente se adhirieron voces de todo el continente, en pos de la democratización de la enseñanza y de un mayor compromiso social de las instituciones universitarias. Este movimiento dio en llamarse la Reforma Universitaria.

Durante el Siglo XX la Universidad de Córdoba desarrolló un proceso de diversificación en respuesta a necesidades sociales y basada en los recursos académicos propios de la institución. Durante los años iniciales de la primera mitad del Siglo XX, las autoridades sucesivas impulsaron la creación de nuevos Institutos y Escuelas, la mayoría de las cuales fueron el germen de las actuales Facultades que conforman la Universidad.

Las primeras iniciativas para crear una facultad que atendiera la formación de

profesionales en ciencias agronómicas y veterinaria se remonta al año 1950 cuando se desempeñaba como Rector el Dr. J. Urrutia, y es recién en 1964 cuando se procede a designar una Comisión integrada por representantes del Gobierno de la Provincia de Córdoba, el Instituto Nacional de Tecnología Agropecuaria (INTA), y de la Universidad, entre

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ellos el que posteriormente sería primer Director del Instituto de Ciencias Agronómicas, Ing. Agr. Félix Marrone.

El 21 de marzo de 1966 se crea, por Ordenanza Nº 4/66 del Honorable Consejo

Superior, el Instituto de Ciencias Agronómicas y trece años más tarde, en junio del año 1979, a solicitud de la Universidad Nacional de Córdoba, el Poder Ejecutivo Nacional por Decreto Nº 1394 modifica la denominación del Instituto por el de Facultad de Ciencias Agropecuarias.

El Rector de la Universidad Nacional de Córdoba por Resolución Rectoral Nº 785/66 resuelve que el Instituto de Ciencias Agronómicas expedirá el Título de Ingeniero Agrónomo, y aprueba las asignaturas que integran el Plan de Estudios.

La Facultad dispone de dos grupos de instalaciones, con sus respectivos edificios:

uno en la Ciudad Universitaria, entre las Avenidas Valparaíso, Rogelio Martínez y calle Uladislao Frias, de la Ciudad de Córdoba y otro adquirido en 1972, un campo de 583 hectáreas, ubicado en camino a Capilla de los Remedios Km 15,5, distante aproximadamente 22 km del edificio central de la Facultad.♦

En el texto anterior aparecen datos que hacen referencia a cantidades numéricas

expresadas en diferentes formas. Es claro que los números conviven con nosotros en el estudio, en el trabajo, al leer el diario, al ver televisión, en los momentos de esparcimiento, al efectuar compras, etc.

En este capítulo realizaremos un repaso de cada uno de los conjuntos numéricos que forman estos números, así como de las operaciones que en ellos se definen y sus propiedades.

B. NÚMEROS NATURALES

Definición: El conjunto N de los Números Naturales es el conjunto formado por:

{ }..,n,n,...,,...,,, 18,7321 +=N

El conjunto de los números naturales cumple:

Es un conjunto infinito. Tiene un primer elemento, el número 1, pero no tiene último elemento. Si n es un número natural cualquiera, el natural siguiente es n + 1 Entre dos números naturales consecutivos, no existe otro número natural, por eso

se dice que es un conjunto discreto.

♦ Texto extraído de la Reseña histórica de la Universidad Nacional de Córdoba y de la Facultad de Cs. Agropecuarias. Autoevaluación de la Facultad de Ciencias Agropecuarias. Vieyra, C., Bocco, M. y otros. 2005.

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RELACIÓN de ORDEN Dados dos números naturales y , se verifica excluyentemente que es

menor, igual o mayor que b . En símbolos, respectivamente:

a b a

baóbaóba >=<

Los símbolos < (menor) y (mayor) se utilizan para representar la relación de orden en los naturales.

>

La relación de orden es transitiva esto es:

cacbyba <→<<

Por lo que podemos escribir: cba <<

Se definen también los símbolos de ≤ y ≥ , que se leen “menor o igual” y “mayor o igual”, respectivamente, y relaciona dos números así:

( )baóbaba =<↔≤ y ( )baóbaba =>↔≥

y también verifica la transitividad. A partir de la relación de orden podemos dar una representación de los números

naturales sobre una recta numérica R, tomando un segmento unitario μ , de longitud igual

a 1, y desplazándolo a la derecha de un punto , tomado como origen: p μ

p 1 2 3 4 5 6 7

En la recta, eligiendo el sentido señalado:

aba ↔< está a la izquierda de b

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OPERACIONES EN N

ADICIÓN o SUMA Definición: Dados dos números naturales a y b , su suma es el número natural, denotado por , que se obtiene agregando al número tantas unidades como indica

.

ba + ab

MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO Definición: Dados dos números naturales a y , su producto es el número natural, denotado por , que se obtiene sumando el número tantas veces como indica .

nna . a n

aaana +++= ....

n veces

A partir de la definición de producto se construyeron las tablas de multiplicar (que aprendimos en la escuela primaria) mediante las cuales dados dos números a y n podemos calcular el producto sin realizar las sumas consecutivas.

Observación: De acuerdo a las definiciones anteriores, siempre que sumemos o multipliquemos números naturales obtenemos otro número natural.

DIFERENCIA o RESTA Definición: Dados dos números naturales y b , la diferencia o resta es el número c que se define p

a or:

abccba =+↔=−

Ejemplo 1: a) = 4 pues 37 − 734 =+ b) = No tiene solución, ya que no hay un número natural que resuelva

esta diferencia ¿por qué? 156 −

c) = No tiene solución, ya que no hay un número natural que resuelva esta diferencia ¿por qué?

88−

¡¡IMPORTANTE!! La operación de diferencia no siempre

tiene solución en los números naturales.

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A partir del ejemplo anterior, nos preguntamos: ¿Es posible expandir el conjunto de números naturales incorporando nuevos números donde operaciones como las anteriores tengan solución? La respuesta es afirmativa y el conjunto donde las operaciones de diferencia tienen solución es el conjunto de números enteros.

C. NÚMEROS ENTEROS

Definición: El conjunto de los números enteros es el formado por todos los números naturales, que llamamos enteros positivos, los números naturales precedidos por el signo menos, los enteros negativos y el número cero:

}{ ..4321012345,... .,,,,,,,,,, −−−−−=Z El conjunto de los números enteros verifica:

Todo número entero queda determinado por el número natural que lo representa, llamado valor absoluto o módulo y su signo, excepto el 0 que no tiene signo.

Es un conjunto infinito, que no tiene primer ni último elemento. Si n es un número entero cualquiera, el entero siguiente es n + 1 y el entero

anterior es n - 1 Entre dos números enteros consecutivos, no existe otro número entero, es un

conjunto discreto. Todo número natural es un número entero, entonces se verifica la inclusión

ZN ⊂ Ejemplo 2: El módulo de:

a) 3=a es 3 b) 8−=b es 8.

Definición: Dado un número entero n se llama opuesto al número entero (– n).

Ejemplo 3: El opuesto de: a) es 3=a 3−=− ab) 12−=a es 12=− a

¡¡IMPORTANTE!!. Notemos que (– n) es el opuesto de n, es decir el símbolo (– n) no necesariamente indica un número negativo. Por ejemplo si 100−=n , entonces 100=− n

pues . ( ) 100100 =−−

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RELACIÓN de ORDEN En el conjunto de los números enteros se define un orden que preserva el orden en

los naturales. Entonces: a y b son números enteros, si a está a “la derecha” de en la recta. ba > b

La relación de orden verifica:

Todo número positivo es mayor que todo negativo. Entre dos números positivos es mayor el que está “más lejos” del cero, es decir el

que tiene mayor módulo. Entre dos números negativos es mayor el que está “más cerca” del cero, es decir

el que tiene menor módulo. Cero es menor que todo positivo y mayor que todo negativo.

A partir de la relación de orden inducida, se pueden representar los números enteros

sobre la recta numérica R del siguiente modo: p

54321012345 −−−−− R

Observación: Por definición de opuesto de un número entero n, en la recta numérica se representa:

negativo positivo 0 n n−

negativo positivo

0n n−

OPERACIONES EN Z

ADICIÓN o SUMA Definición: Dados dos números enteros a y b , se llama suma al número entero ba + , que se obtiene de la siguiente manera:

Si los dos números enteros son de igual signo, es otro número entero que conserva el signo de los sumandos y su módulo es igual a la suma de los módulos de los sumandos.

Si los dos números enteros son de distinto signo tiene el signo del sumando de mayor módulo y su módulo es la diferencia de los módulos.

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Ejemplo 4:

a) ( ) 200300100300100 −=−=−+

b) ( ) ( ) 400300100300100 −=−−=−+− c) En el caso de que debamos sumar varios números enteros podemos realizar:

( ) ( ) 4010014070304080204070803020 =−=+−++=+−+−

DIFERENCIA o RESTA

Definición: Dados dos números enteros a y , se llama diferencia al número entero , que se obtiene sumando al número el opuesto del número , esto es:

bba − a b

)( baba −+=−

MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO

Definición: Dados dos números enteros a y b , se llama producto al número entero , cuyo:

ba .

módulo es el producto de los módulos de y b a signo está dado por la regla de los signos, tal que el producto es positivo si y

tienen el mismo signo, y negativo en caso contrario. a

b Ejemplo 5:

a) ( ) 155.)3( −=−+

b) ( ) ( ) 102.5 +=−−

c) ( ) 284.)7( −=+−

¡¡IMPORTANTE!! La regla de los signos no es una imposición arbitraria sino que es consecuencia, principalmente, de aplicar la propiedad distributiva (la cual se enuncia en el título Propiedades de las Operaciones). Por ejemplo para obtener el signo de ( ) ( )3.2 +− como ( ) 03.0 =+ (¿por qué?), podemos reescribir:

( ) ( )[ ] ( ) 03.22 =+++− y distribuyendo

( ) ( ) ( ) ( ) 03.23.2 =++++− por definición del producto en N

06? =+ Entonces debe ser ( ) ( ) 63.2 −=+− (Con igual razonamiento se puede comprobar el producto de un número positivo por un número negativo y el caso general).

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DIVISIÓN o COCIENTE Definición: Dados dos números enteros y b , la división o cociente es el número entero

que se representa por

a

ba

ba =: y verifica:

0con.: ≠=↔== babxxbaba

Ejemplo 6:

a) 32:)6(26

−=−=−

pues por definición 62.26

−=↔=− xx entonces 3−=x

b) x=50

el resultado del cociente es 0=x ¿por qué?

c) La división x== 3:737

NO tiene solución pues para cualquier valor entero de x

nunca se verifica . 73. =x

d) El cociente x=03

NO tiene solución pues 30. ≠x para cualquier valor de x .

e) La división x=00

NO tiene solución única, cualquier valor x cumple la definición.

¿por qué? Este cociente se suele llamar cociente indeterminado. Es importante entonces, recordar que:

NUNCA SE PUEDE DIVIDIR POR CERO

Nuevamente, en hay operaciones que no pueden resolverse, por consiguiente

debemos extender el conjunto a un nuevo conjunto donde la operación de cociente tenga solución.

ZZ

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D. NÚMEROS RACIONALES Definición: El conjunto de números racionales o fraccionarios es el formado por los

cocientes qp

de dos números enteros y q , con distinto de cero : p q

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

≠∈= 0,/ qyqpqp

ZQ

El conjunto de los números racionales verifica:

Si qp

es un número racional, el número entero se denomina numerador y el

número entero denominador.

p

q Es un conjunto infinito, que no tiene primer ni último elemento. Es un conjunto denso, es decir entre dos números racionales hay infinitos

números racionales.

Todo número entero es un número racional, puesto que p1p

p = ,

Entre los conjuntos de números N, Z y Q se verifica la inclusión QZN ⊂⊂

Ejemplo 7: En el conjunto de números racionales escribimos

313= 0

10= 2

12

−=−

47

47 −=−

Observación: si la fracción es negativa consideraremos, por convención, el signo menos en el numerador. ( )−

Definición: Dado un número racional qp

, no nulo, se llama inverso al número racional:

pq

qp

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1

Ejemplo 8: El inverso de:

a) 54

=a es 451 =−a

b) es 3=b311 =−b

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Observación: Como no se puede dividir por 0, entonces el número racional 0 no tiene inverso.

RELACIÓN de ORDEN

Definición: Dos números racionales qp

y sr

son iguales o equivalentes si representan

la misma cantidad, es decir se verifica:

rqspsr

qp .. =↔=

Ejemplo 9:

104

156

52

== pues 6.515.2 = y también 15.410.6 =

Ejercicio: ¿Son las siguientes tres fracciones equivalentes a 51−

? ¿Por qué?

a) 10

2− b)

5010−

c) 210−

Definición: Dados dos números racionales sr

y qp

, con denominadores positivos,

definimos el orden en los números racionales por:

rqspsr

qp .. <↔<

Ejemplo 10: Ordenar

a) 32

y 54

por definición, como 4.35.2 < es 54

32<

b) 34

− y 78

− como 34

34 −=− y

78

78 −=− y 3).8(7).4( −<− entonces

78

34 −<

−

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La relación de orden permite representar los números racionales en la recta R. Para

representar la fracción positiva qp

distinguimos dos casos:

a) Si 1<q

p

dividimos la unidad en partes iguales, de las cuales tomamos

partes.

La representación de

q p

Ejemplo 11: 53

es:

R

1− 053

b) Si

1 2

1>q

•

p, la fracción

qp

se puede escribir q

cq

+=rp

con y Z∈c qr <

r¿Cómo se obtienen q y ? Entonces para representar la fracción se considera en la recta

el número entero y a partir de este se grafica la fracción cqr

.

Ejemplo 12: Para representar 5

13 observemos que

52

5+=

313 entonces:

Si la fracción

R •

513

0 1 2 3

pq

es negativa, consideramos la representación hacia la izquierda del y

procedemos de igual forma que para las fracciones positivas.

Para representar

0

Ejemplo 13: 47−

observemos que 4

14

−−=37−

entonces:

3−

2− 1− 0

jercicio:

E ¿Dónde colocaría los puntos que corresponden a los siguientes números racionales 2/4,5/6,2/3,3/2 −− ?

•

47−

R

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OPERACIONES EN Q

ADICIÓN o SUMA


y qp

, su suma es el número racional que

resulta de realizar:

qspsqr

qp

sr

... +

=+

Ejemplo 14:

a) 1522

151210

54

32

=+

=+

b) 3

1731525

32

=+

=+

c) 34

68

644

64

32

==+

=+

Observación: En la práctica es conveniente usar en vez del producto de los denominadores (que es un múltiplo de ambos) el menor de los múltiplos, llamado múltiplo común menor.

DIFERENCIA o RESTA


y qp

, su diferencia es el número racional

que resulta de realizar:

qspsqr

qp

sr

... −

=−

MULTIPLICACIÓN o PRODUCTO


y qp

su producto es el número racional

que resulta de realizar:

qspr

qp

sr

⋅⋅

=⋅

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DIVISIÓN o COCIENTE


y qp

el cociente de dichas fracciones es

el número racional que se obtiene como producto de la primera por la inversa de la segunda:

pq

sr

qp

sr

qp

sr ..:

1=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

−

también se puede expresar:

psqr

qpsr

..

=

Ejemplo 15:

a) 827

29

43

92:

43

=⋅=

b) 59

53

335

:3 =⋅=

c) 67

31

273:

27

=⋅=

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PROPIEDADES de las OPERACIONES en N, Z y Q

Las propiedades que cumplen las operaciones de suma y producto, teniendo en

cuenta en qué conjunto de números se resuelven las mismas, son:

Propiedades de la Suma

Conmutativa: abba +=+

Se cumplen en N

Se cumplen Asociativa: ( ) ( ) cbacba ++=++

en Z y Q

Existencia de elemento neutro: el cero: 0, tal que

Existencia de elemento opuesto de : el

aa =+ 0

a a− , tal que ( ) 0=−+ aa

Propiedades del producto

Conmutativa: abba .. =

Se cumplen Asociativa: ( ) ( ) cbacba .... =

en N y Z Existencia de elemento neutro: el uno 1, tal que aa =1.

Se cumplen Distributiva respecto a la suma: ( ) cabacba ... +=+

en Q

Existencia de elemento inverso: para todo número no nulo ba

su

inverso esab

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−1 tal que 1=⋅

ab

ba

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Ejemplo 16: Utilizando las propiedades y definiciones anteriores podemos completar la siguiente tabla:

Número Opuesto Inverso 1 1− 1

3/4− 34 4/ /3− 7− 7 7/1− 7/2 7/2− 2/7

FACTORIAL Y NÚMEROS COMBINATORIOS Definición: Se llama factorial de un número natural y se representa por , al producto de los n primeros números naturales.

n !n

Ejemplo 17:

720654321!6 =⋅⋅⋅⋅⋅= Nota: Por convención se considera 0! = 1 Definición: Se llama número combinatorio sobre , con > n a la expresión que se

denota y se obtiene calculando:

m n m

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛nm

!)(!!

nmnm

nm

−⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Ejemplo 18:

10!2!3

!535

=⋅

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

Ejercicio: Calcular

a) b) c) =!5 =!4/!7 =− )!2(!

nn

(si n 2) d) ≥ =+−

)!2()!1(

nn

e) f) g) = h) = =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3

10=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛07

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛77

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1n

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EXPRESIONES DECIMALES Los números racionales se expresan también como expresiones decimales, y se

verifica que:

I. Todo número racional qp

puede representarse como una expresión decimal

periódica, es decir:

parte entera parte no periódica

wviwviwvinmbaqp .........,...=

período

Esta representación es consecuencia del algoritmo de división entre y , pues el

resto sólo toma valores enteros menores que , repitiéndose a lo sumo después de pasos.

p qq q

Ejemplo 19:

a) 3,0...333,031 )

== Parte entera: 0 Parte no periódica: no tiene Período: 3

b) 25,0..25000,041

== Parte entera: 0 Parte no periódica: 25 Período: 0

c) 38,4...8333,4629 )

== Parte entera: 4 Parte no periódica: 8 Período: 3

Ejercicio: ¿Cuáles son la parte entera, la parte no periódica y el período en el número ?,

¿y en ?, ¿y en ?

5/311/9 3/6

II. Toda expresión decimal periódica puede expresarse como una fracción qp

Ejemplo 20:

a) 1044,0 =

b) 10025353,2 =

c) 977,0 =

)

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¿Cómo se obtiene el 97

?

Si ...777,0=nRestando 7.10 =− nn

...777,7.10 =n

Entonces: 977.9 =→= nn

Observación: Para escribir un número decimal periódico n como fracción, el procedimiento que puede seguirse es el siguiente: conseguir, a partir del número dado, dos números periódicos puros (sin parte no periódica) con el mismo período. Al restarlos y despejar n obtenemos la fracción que lo representa.

n

Ejercicio: Representar por medio de fracciones los siguientes números: 735,0)

y 8,1)

OTRAS OPERACIONES

POTENCIACIÓN

Definición: Dado un número racional a y un número natural n, definimos la potencia enésima del número a como:

aaaaa n .....= n veces

Entonces la potencia se obtiene multiplicando la base a por sí misma tantas veces como lo indica el exponente n. Ejemplo 21:

a) 161

21

21

21

21

21 4

=⋅⋅⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

b) ( ) ( ) ( ) ( ) 644.4.44 3 −=−−−=−

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PROPIEDADES de la POTENCIACIÓN

1) Distributividad de la potencia con respecto al producto y al cociente:

( ) nnn baba .. = y n

nn

b

aba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2) Producto de potencias de igual base: mnmn aaa +=.

3) Potencia de potencia:

( ) mnmn aa .= Ejercicio: Verificar, partir de la definición de potencia, las propiedades anteriores. ¡¡IMPORTANTE!! La potencia no es distributiva con respecto a la suma ni a la resta, como se muestra en el siguiente contraejemplo:

( ) 222 4343 +≠+

( ) 1697 2 +≠ 2549 ≠

Observación: recordemos que ( ) 222 ..2 bbaaba ++=+ A partir de la aplicación de las propiedades enunciadas para 0≠a se verifica que:

1. 000 =→== + aaaaa nnn ¿Por qué? y también

nnnnnn

aaaaaa 11. 0 =→=== −+−−

Entonces podemos extender la definición de potencia para exponentes enteros:

Definición: Dado un número racional a, distinto de cero, definimos:

10 =a y nn

aa 1

=−

Observación: No se definen las potencias de base y exponente o enteros negativos. 0 0

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Ejercicio: ¿Qué número resulta de realizar la potencia ? ¿y ? 410 310 −

Ejemplo 22: ¿Cuál es el resultado de ? ¿y de ? 31047,2 × 5103,0 −×

Si realizamos las cuentas en la calculadora no encontramos los resultados anteriores escritos como 2470 o 0,000003 sino que estos números se presentan escritos de la forma:

31047,2 × 2 . 4 7 E + 0 3

5103,0 −× 3 E - 0 6

Diremos que un número decimal se expresa con notación científica cuando se

presenta con la forma: na 10. con 101 << a y un número entero n

La notación científica resulta útil para efectuar cálculos con números muy grandes o

muy pequeños en forma más sencilla y permite captar rápidamente el orden de magnitud de una cantidad, por medio del exponente n.

Ejemplo 23:

a) representa millones, es decir hay 3,21 millones. 610.21,3

b) representa diezmilésimos, es decir hay 2,17 diezmilésimos. 410.17,2 −

Recordemos que el prefijo:

mega M significa multiplicar por 610

kilo k significa multiplicar por 310

mili m significa multiplicar por 310 −

micro μ significa multiplicar por 610 −

Ejemplo 24: Obtener 0074,0.378000 Si los escribimos con notación científica y aplicamos propiedades de la potencia, el resultado es

235 10.4,7.78,310.4,7.10.78,3 =−

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RADICACIÓN

Definición: Dado un número racional a y un número natural n, definimos la raíz enésima de un número a como:

abba nn =↔=

- Si a es positivo para todos los números naturales n.

- Si a es negativo para todos los números naturales impares n ¿cuál es el signo de b

en este caso?

Observación: Para el exponente se conviene en escribir 2=n a , y se lee raíz cuadrada

y para decimos que es una raíz cúbica. 3=n Ejemplo 25:

a) 31

2713 =

b) 24 = y también 24 −= (hay dos resultados posibles ¿por qué?)

c) 283 −=− pues ( ) 82 3 −=−

d) 3814 ±=

Ejercicio: Para cualquier exponente natural n ¿cuál es el resultado de n 0 ?

Ejercicio: ¿Cuál es el resultado de 5321

− ?

Relación entre Potencia y Raíz

La raíz enésima de un número racional a se puede denotar como potencia de la siguiente manera:

nn aa1

=

e igualmente pq

p q aa =

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PROPIEDADES de la RADICACIÓN

1) Distributividad de la raíz con respecto al producto y al cociente:

nnn baba .. = y n

nn

b

aba

= ( con ) 0≠b

2) Raíz de raíz: mnm n baba . .. =

¿Tiene solución en el conjunto de los números racionales la operación 2 ?

La respuesta es que 2 no tiene solución en el conjunto de los números racionales.

Esto es, no existe tal que o bien Q∈x 22 =x Q∉= 2x . En los libros de texto de matemática de enseñanza media se puede consultar la

clásica demostración de qp

≠2 .

El número π que aparece en la fórmula para el cálculo de la longitud l de una

circunferencia en función de su radio r (recordar rl π2= ), y también para el cálculo del

área de un círculo en función de su radio r , ( ) no es tampoco un número racional. 2rA π=

Los números 2 y π , así como e,11,7,3 (base de los logaritmos

naturales) e infinitos números más, no son números racionales y pertenecen al conjunto de números irracionales.

NÚMEROS IRRACIONALES Definición: El conjunto de números irracionales está formado por todos los números que

NO se pueden escribir como cociente qp

de dos números enteros y q . p

O también podemos definirlo como:

El conjunto de números irracionales está formado por todos los números que se representan como una expresión decimal no periódica.

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Ejemplo 26: Truncando su parte decimal, podemos representar los números irracionales :

2 = 1,4142135. . . π = 3,1415927. . . = 2,7182818. . . e Representación de los números irracionales en la recta R

Los números irracionales completan los “lugares vacíos” que dejan entre sí los

números racionales en la recta numérica.

Ejemplo 27: En la recta, para representar el número irracional 2 podemos utilizar el

teorema de Pitágoras:

0 1 2 2 12 + 3 π 4 5 R

1

2

• • •

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E. NÚMEROS REALES

Definición: el conjunto de los Números Reales, que denotamos por R, es el conjunto formado por todos los números racionales y todos los números irracionales.

Si denotamos por al conjunto de los números irracionales tenemos: _Q

RQZN ⊂⊂⊂ y también

QQR ∪=

Representación de los Números Reales Por la densidad de los racionales y la existencia de números irracionales “se completa la recta R”, es decir podemos afirmar que :

En la recta numérica, a cada punto le corresponde un único número real y, recíprocamente, cada número real determina un único punto de la recta.

Utilizando notación de conjuntos en el siguiente diagrama podemos visualizar todos los conjuntos de números:

2

π

Q

3

5

11

e

Z 0

19

3

1

N

32

3−

6−

57−

1,7

0,3 23

4,52222....

- 0,3111

Q

0,1234578….

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OPERACIONES EN R

En el conjunto de los números reales R las operaciones de suma, diferencia, producto, división, potenciación y radicación, se definen de igual manera que en los números racionales. Estas operaciones cumplen las siguientes:

PROPIEDADES de las OPERACIONES en R Para la Suma:

a) Conmutativa abba +=+ para todo ∈ba , R

b) Asociativa ( ) ( ) cbacba ++=++ para todo ∈cba ,, R

c) Existencia de elemento neutro, el número 0 tal que aa =+ 0 para todo R ∈a

d) Existencia de elemento opuesto de : el a a− , tal que ( ) 0=−+ aa para todo ∈a R Para el Producto:

a) Conmutativa para todo abba .. = ∈ba , R

b) Asociativa para todo ( ) ( ) cbacba .... = ∈cba ,, R

c) Existencia de elemento neutro, el número 1 tal que aa =1. para todo R ∈a

d) Existencia de elemento inverso de : el , tal que a 1−a ( ) 1. 1 =−aa para todo ∈a R

e) Distributividad del producto respecto a la suma ( ) ( ) ( )cabacba ... +=+ Para la Potenciación:

a) Distributividad de la potencia con respecto al producto y al cociente:

( ) nnn baba .. = y n

nn

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

b) Producto de potencias de igual base: mnmn aaa +=.

c) Potencia de potencia: ( ) mnmn aa .=

Para la Radicación:

a) Distributividad de la raíz con respecto al producto y al cociente:

nnn baba .. = y n

nn

b

aba

= ( con 0≠b )

b) Raíz de raíz: mnm n baba . .. =

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Ejercicios y

Problemas de Aplicación

Ejercicio Nº 1:Completar cada casillero de la siguiente tabla con verdadero o falso según corresponda la pertenencia o no de los números a los conjuntos de números Naturales, Enteros, Racionales o Irracionales.

N Z Q Irracionales

0

51−

321.8

)3(/)125( −+− ]2/)46[(5 +− )1()52( −++−

Ejercicio Nº 2: Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:

a) Todo número natural es un número racional b) Todo número natural es un número real c) Todo número racional es un número irracional d) Todo número irracional es un número racional e) Todo número irracional es un número real f) Todo número entero es un número natural g) Todo número natural es un número entero

Ejercicio Nº 3: Representar en la recta numérica los siguientes números reales:

5,1;26;10.03,0;

41;

32;8,0;2;

45;

21 2 −−−−−

Utilizar la relación de ≤ para ordenar los números anteriores.

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Ejercicio Nº 4: Indicar las propiedades de los números reales que representan las siguientes

igualdades.

a) s.s =1 d) q)pt()qp(t ++=++

b) e) mnnm +=+ hh =+ 0

c) f) hfgfhgf ..)(. +=+ w.dd.w =

Ejercicio Nº 5: Indicar en cada caso, si la igualdad enunciada es verdadera o falsa. En aquellas

verdaderas enunciar la/s propiedades de los números reales que la justifican.

a) 58238 −=+−

b) 42.2 =−−

c) ( ) 25953 2 +=+

d) bababa 2)( 222 −+=−

e) 222 .).( baba =

f) es un número negativo a−

g) es el opuesto de a− a

h) 0)( =−+ aa

i) es un número positivo )(. aa −

j) Todo número positivo es mayor que número negativo.

k) El número 0 es neutro para la resta. Ejercicio Nº 6: Indicar, en cada caso, si la igualdad enunciada es verdadera o falsa. En aquellas verdaderas enunciar la/s propiedades de los números reales que la justifican.

a) ( ) ( ) 731731 −−=−− b) 408840 :: =

c) 52

62

562

+=+

d) 3773 −=−

e) 2)35(2325 +=+

f) (+7).5+2)-(.5= 7)+2-(.5

g) )35(2)5+(3+2 ++=

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h) 4)6()6+(4 =−+

i) 4104-)0+10-( −−=

j) 35

32

352

+=+

Ejercicio Nº 7: Extraer el factor común en las siguientes expresiones

a) =−+− abaana 3623

b) =++− 5432 121648 xxxx

c) =−++ 453 06,008,004,002,0 xxxx

d) =++ 654

25

23

21 mmm

e) =+−+ ahahahah 635324

776

449

1142

223

Ejercicio Nº 8: Transformar en producto las siguientes diferencias de cuadrados

a) =− 22 ba

b) =− 281 x

c) =− 42 2x

d) =−191 6m

e) =− 242 81,041 xyx

Ejercicio Nº 9: Extraer factor común y luego factorear las diferencias de cuadrados

a) =− 22

41

41 ba

b) =− 24 28 nm

c) =− 24 981 mm

d) =− xx81

21 3

Ejercicio Nº 10: Reescribir las siguientes expresiones sacando común denominador

a) =++31

41

21

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b) =+

+− 2

12

3xx

c) ( ) ( )

=+

−+

413

312 xx

d) =−+

−16

1324y

x

e) =+−+

192

453

xy

xz

Ejercicio Nº 11: Efectuar las siguientes operaciones:

a) =+− 454 ppp

b) =++ 333 aaa

c) =555 .. kkk

d) =−−− 412 3.3.3

e) =++ −−− 413 222

f) =−

−

3

4

)4(3

g) =+

−−−1

0

63)5(2

h) =

⋅

+−

31

2)3(

52

23

2-

i) =−

−+

236

3916

j) =

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

− 2

211

8,0.45

k) 3

8

31

23 312 −−==

+ −xx con

l) ( )

23

)2)2((33

3==

+

−−−−

mm

m con

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m) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+

51.342 xx

n) =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −− xx 2

32

35

3464

Ejercicio Nº 12: Resolver: a) El ser vivo más pequeño es un virus que pesa del orden de 10 21− Kg. y el más grande es la ballena azul que pesa aproximadamente 1 Kg. ¿Cuántos virus serían necesarios para conseguir el peso de una ballena? b) La masa promedio de un virus es de 10

38 105, .

21− Kg., la del hombre de 70 Kg. y la de la tierra de 5 Kg. Calcular la relación entre la masa de un hombre y un virus y la de la tierra y un hombre. ¿Cómo son estas relaciones?

9 1024, .

Ejercicio Nº 13: La siguiente figura marca el área ocupada por los pabellones cubiertos de una feria agrícola-ganadera. ¿A qué fracción corresponde dicha área cubierta, sabiendo que el área total del predio, que es cuadrada, es de 1 ha?

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