ECUACIN DIFERENCIAL DE HERMITE

ECUACIN DIFERENCIAL DE HERMITE

UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

(Universidad del Per, DECANA DE AMRICA)FACULTAD DE QUIMICA INGENIERIA QUIMICA E INGENIERIA AGROINDUSTRIAL

Escuela Acadmico Profesional de Ingeniera Qumica (07.2)

Tema:

Integrantes:

Integrantes

Profesor

Fecha de entrega30/11/12

TABLA DE CONTENIDO

1. Definicin...3

2. Funcin Generatriz .4

3. Ortogonal dad......74. Algunos Resultados Interesantes ...85. Solucin de la Ecuacin de Hermite .8ECUACIN DIFERENCIAL DE HERMITE

1. POLINOMIOS DE HERMITE. DEFINICIN.Definimos los polinomios de Hermite por:

son polinomios de grado n. Se tiene que:

es par si n es par, e impar si n es impar.

Los primeros polinomios de Hermite son:

2. FUNCIN GENERATRIZ.

Consideremos la siguiente funcin:

Como

Se tiene:

Luego

Se dice que es la funcin generatriz de los polinomios de Hermite, vale decir, es aquella funcin de dos variables tal que su desarrollo de Taylor en una de las variables tiene como coeficientes precisamente los polinomios de Hermite.A partir de (1.4) se pueden encontrar relaciones entre los polinomios de Hermite. La estrategia para hallarlas (para esta o cualquier otra funcin generatriz de otros polinomios) es tpica: derivar parcialmente respecto a alguna de las variables y luego comparar potencias de en los desarrollos de Taylor resultantes.

1) Derivando respecto a t:

Usando (1.4):

Reordenando la suma en el lado izquierdo:

Comparando los coeficientes de las potencias de x en cada serie encontramos:

Lo cual puede ser reescrito en la forma

Observemos que, si bien slo tiene sentido considerar polinomios de Hermite con ndicepositivo, la expresin (1.5) puede ser extendida a n = 0, aunque ello haga aparecer un

factor . En general, las relaciones de recurrencia que obtendremos pueden considerarse vlidas para cualquier ndice entero, adoptando la convencin de que los polinomios con subndices negativos tienen algn valor adecuado, por ejemplo, cero.La relacin (1.5) expresa un polinomio de Hermite en trminos de un operador (en este caso la derivada) aplicado sobre el polinomio de Hermite inmediatamente superior. Un operador que tiene tal propiedad se denomina operador de bajada. En este caso, el operador de bajada de los polinomios de Hermite es 2) Derivando respecto a x:

Con (1.4):

Comparando potencias de x:

O bien

3) Podemos utilizar las dos relaciones de recurrencia (1.5) y (1.6) para obtener una tercera:

Hemos pues encontrado el operador de subida para los polinomios de Hermite, a saber,

.

Derivando (1.7):

Con (1.5),

o sea,

Es decir, los polinomios son una solucin de la ecuacin de Hermite:

3. ORTOGONALIDAD

Evaluemos

Sin prdida de generalidad, sea n m. Podemos escribir

Integrando por partes

Integrando por partes n veces

Si m 2, en trminos de c0 y c1 como sigue:

Y en general se tiene

(3)

(4)

Si adems hacemos h0 = 1 y h1 = 1 se puede escribir

Con c0 y c1 constantes que dependen de las condiciones iniciales. Se tiene en efecto que x(0) = c0 y x`(0) = c1. En vista del teorema 1, estas series son convergentes en (,).Podemos verificar directamente este hecho. En efecto, de acuerdo con las relaciones (3) y (4), si escribimos

Se observa que

De donde Teniendo en cuenta el criterio del cociente puede concluirse que el radio de convergencia de la serie u(t) es . De manera similar se demuestra que el radio de convergencia de la serie v(t) es . Se observa que cada una de las soluciones puede expresarse como combinacin lineal de u(t) y v(t) :

Es decir, las funciones u(t) y v(t) forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacin de Hermite.

Un caso interesante de la ecuacin de Hermite se da cuando el parmetro es un entero positivo par, digamos = 2p. En ese caso la relacin de recurrencia (2) muestra que cp+2 = cp+4 = = 0. Si adems p es par y se toma c1 = 0 la solucin x = (t) dada en (5) se reduce a un polinomio de grado p:

Anlogamente, si p es impar y se toma c0 = 0 en (5) la solucin x = x(t) se reduce a un polinomio de grado p.

Si adems los respectivos coeficientes c0 y c1 se escogen de manera que el coeficiente del trmino en tp sea 2p , las correspondientes soluciones polinmicas reciben el nombre de Polinomios de Hermite de grado p y se denotan por Hp(t). A continuacin se muestran algunos de estos polinomios.

Ecuaciones DiferencialesPgina 3