Interpolación polinómica de Hermite

¿Qué es?

En el análisis numérico, la interpolación de Hermite, nombrada así en honor a Charles Hermite, es un método de interpolación de puntos de datos como una función polinómica. El polinomio de Hermite generado está estrechamente relacionado con el polinomio de Newton, en tanto que ambos se derivan del cálculo de diferencias divididas.

¿En qué consiste?

Consiste en buscar un polinomio por pedazos   que sea cúbico en cada

subintervalo   y que cumpla   en los puntos ,

donde   es la función que se quiere interpolar.

La función   queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de   sistemas lineales de ecuaciones de tamaño   cada uno.

La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de

los   lo cual no es el caso de muchas aplicaciones.

La interpolación de Hermite, es similar a la de Newton pero con el añadido de que ahora

también conocemos los valores que toma la derivada de la función   en las abscisas conocidas .

El Polinomio Interpolador de Hermite de grado   de la función   es un polinomio de la forma.

Con.

La interpolación de Hermite puede extenderse al conocimiento de las derivadas sucesivas de la función a interpolar en las abscisas tomadas, de modo que se puede obtener un polinomio cada vez más ajustado a la función real, ya que éste podrá cumplir otros requisitos como una determinada monotonía, concavidad, etc.

En este caso, estaremos hablando de interpolación de Hermite generalizada y su cálculo se llevará a cabo de forma similar a la apuntada, pero obteniendo polinomios de grado cada vez

mayor debido a las sucesivas derivadas de los coeficientes .

Notar, pues, que la interpolación de Lagrange puede considerarse como un caso particular de

la interpolación de Hermite generalizada (el caso en el que "conocemos" cero derivadas de ).

Tal y como ocurría con la Interpolación de Lagrange, para la interpolación de Hermite también disponemos una fórmula del error de interpolación que, naturalmente, tiene en cuenta factores relacionados con las derivadas de f. Más concretamente, se dispone de una fórmula del error

en el caso en que la función  sea 2m+2 veces diferenciable en un intervalo   mediante la siguiente expresión:

Para   y donde .

La diferencia esencial entre la Interpolación de Hermite y la Interpolación de Lagrange reside en el cálculo a través de la construcción de los Polinomios de Lagrange. En este caso, su cálculo es árduo, largo y complicado; por lo que el uso de las llamadas diferencias divididas generalizadas simplifica mucho el cálculo del polinomio interpolador.

Las diferencias divididas generalizadas se construyen de igual modo que las Diferencias

Divididas de Newton, salvo que ahora necesitaremos escribir   tantas veces más una como derivadas de f conozcamos. Aquí sólo veremos el caso en el que conocemos la primera derivada, siendo el resto una generalización de este.

Como en la Interpolación de Lagrange, el Polinomio Interpolador de Hermite de grado   se escribirá, una vez calculadas las Diferencias Divididas, de este modo:

Nótese que, aparentemente, los coeficientes   no están bien definidos, pues.

Sin embargo, podemos tomar límites y escribir esta expresión así:

Pero esto no es más que la definición de la derivada de   en el punto  , de modo que.

Por ello, incluiremos en nuestra tabla de Diferencias Divididas los datos sobre todas las derivadas conocidas de la función a interpolar.

Un ejemplo interpolación polinómica de Hermite

Considerada la función , evaluando la función y sus primeras dos derivadas

en  , se obtienen los siguientes datos:

x ƒ(x) ƒ'(x) ƒ''(x)

−1 2 −8 56

0 1 0 0

1 2 8 56

Puesto que tenemos dos derivadas para trabajar, construiremos el conjunto

. Nuestra tabla de diferencias divididas es entonces:

y el polinomio generado es:

Mediante la adopción de los coeficientes de la diagonal de la tabla de diferencia dividida, y

multiplicando el k-ésimo coeficiente por , como lo haríamos al generar un

polinomio de Newton.