Hernández - Los principia de Newton

8/22/2019 Hernndez - Los principia de Newton

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LosPrincipia de Newton

MIGUEL HERNNDEZ GONZLEZFundacin Canaria Orotava de Historia de la Ciencia

I. Introduccin

As se expresa Voltaire en una de sus Cartas filosficas (1734):

Un francs que llega a Londres encuentra las cosas muy cambiadas en filosofa,como en todo lo dems. Ha dejado el mundo lleno; se lo encuentra vaco. En Parsse ve el universo compuesto de torbellinos de materia sutil; en Londres, no se venada de eso. Entre nosotros, es la presin de la Luna la que causa el flujo del mar;entre los ingleses, es el mar el que gravita hacia la Luna, de tal forma que, cuandocreis que la Luna debera darnos marea alta, esos seores creen que debe haber

marea baja; lo que desdichadamente no puede verificarse pues habra hecho falta,para aclararlo, examinar la Luna y las mareas en el primer instante de la creacin.

Las razones de este hiato entre el pensamiento cientfico en Inglaterra y en elContinente hay que buscarlas en el nuevo Sistema del Mundo elaborado por Isaac Newton alo largo de un periodo que se extiende desde los aos 16651666, cuando comenz aocuparse de la conexin entre ciertos movimiento, en particular el movimiento circular, ylas fuerzas que los producen, hasta 1687, ao en el que se publican los Philosophiae

NaturalisPrincipia Mathematica. Este libro, cuyo ttulo tiene en cuenta el que Descarteshaba escogido para el tratado que consideraba la culminacin de su filosofa, PrincipiaPhilosophiae (1644), cambiara radicalmente la visin del Universo. Voltaire no esthaciendo otra cosa que constatar la radicalidad de ese cambio y lo dismiles que son losMundos de Descartes y Newton, como tambin eran profundamente dismiles losMundoscartesiano y aristotlico.

II. Una breve excursin por los Sistemas del Mundo anteriores a Newton

Resulta inevitable, antes de proceder a analizar el contenido de los Principia deNewton, recordar algunas de las caractersticas de los ms importantes Sistemas del Mundoque precedieron al construido por nuestro autor. El recorrido, selectivo e interesado, nosexigir, inevitablemente, parada y fonda en diversas cuestiones de fsica y, en algnmomento, de filosofa.

1.- El primero al que hay que hacer mencin tiene el sello de Aristteles y en l seencuentra definida y argumentada esa escisin, que tanto esfuerzo requerira cerrar, entre lo

terrestre sede del cambio y la mutacin y lo celeste morada de lo inalterable y perfecto. Tambin aparece en este sistema una concepcin del espacio en la que ste, amn de serfinito, posee propiedades que, vinculadas al lugar, dinamizan la materia ubicada en l hastahacerle ocupar aqul que es acorde a su naturaleza: su lugar natural.


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Consustancial a la visin aristotlica del movimiento es la idea de que todomovimiento exige un motor, idea que traducida al lenguaje de la fsica establece unarelacin causal entre movimiento y fuerza.

Las elaboraciones posteriores de Ptolomeo con el objetivo declarado de mejorar laprecisin y hacer til la astronoma, salvando las apariencias, no modificaronsustancialmente el soporte fsico del Cosmos y la fsica aristotlica pudo mantener su

hegemona hasta mediados del siglo XVI, cuando la irrupcin de una astronoma alternativaalumbr un nuevo Sistema del Mundo.

2.- La publicacin en 1543 del De Revolutionibus copernicano iba a iniciar unamutacin esencial que acabara transformando no slo la astronoma y, con posterioridad, lafsica sino tambin alterando el sustrato cultural de la poca porque sus consecuenciasobligaban al hombre a reubicarse en el Mundo. Un Mundo que, poco a poco, ibamostrndose distinto al conocido o al imaginado por los antiguos. Los lmites del Cosmos

pasaron a ampliarse hasta desaparecer finalmente: el Cosmos cerrado devino Universoabierto y el espacio jerarquizado comenz a perder crdito; no es extrao, pues, quecomenzara a cuestionarse, primero de modo retrico y ms tarde apoyndose en lasobservaciones telescpicas el hombre haba aumentado por entonces, mediante artificios,hasta extremos impensables su capacidad de ver ms all la escisin clsica de lo terrestrey lo celeste.

Es ste un periodo en el que se produce una profunda mutacin en el modo demirar,que se apoya no slo en los cambios econmicos, sociales y polticos del periodosino tambin en la construccin de una nueva metafsica que se va paulatinamenteafianzando y asentando. Las ideas establecidas van perdiendo su carcter de verdadesincontestables y las grietas de un edificio, hasta entonces slido, comienzan a hacerseperceptibles. El aire de los tiempos es distinto y as lo ponen de manifiesto muchos de lostextos que entonces ven la luz. De este modo se inicia la Primera Jornada de los Dilogossobre los dos mximos sistemas del mundo:

Y puesto que Coprnico, al colocar la Tierra entre los cuerpos mviles del cielo,

viene a convertirla tambin a ella en un globo semejante a un planeta, ser oportunoque el principio de nuestras consideraciones sea examinar cul y cunta es la fuerzay el poder de los argumentos de los peripatticos en la demostracin de que talafirmacin sea del todo imposible, por considerar que es necesario introducir en lanaturaleza sustancias diversas entre s, esto es la celeste y la de los elementos, la

primera impasible e inmortal, la segunda alterable y caduca.

Y as contina ms adelante:

No deja de asombrarme en gran manera, e incluso ofender a mi intelecto, or quese atribuya gran nobleza y perfeccin a los cuerpos naturales e integrantes deluniverso ese ser impasible, inmutable, inalterable, etc., y por el contrario que seconsidere una gran imperfeccin el ser alterable, generable, mudable, etc. Por mi

parte, considero a la Tierra nobilsima y admirable por tantas y tan diversasalteraciones, mutaciones, generaciones, etc., que se producen incesantemente en


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ella. Y si sin estar sujeta a cambio alguno fuese toda ella una vasta soledad de arenao una masa de jaspe o si, en el momento del diluvio, helndose las aguas que lacubran se hubiera convertido en un inmenso globo de cristal en el que nada nacieseni se alterase o cambiase cosa alguna, yo la considerara un corpachn intil en unmundo lleno de ocio y, para decirlo brevemente, superfluo y como si no estuvieseen la naturaleza y nos producira la misma sensacin de diferencia que la que existeentre un animal vivo y uno muerto. Y lo mismo digo de la Luna, de Jpiter y de

todos los dems globos del mundo.

El cambio de perspectiva que el extracto anterior sugiere es radical, aunque acordecon los tiempos que corren: lo mutable, lo nuevo, lo lbil, lo activo desplazan a lo viejo,tradicional, inmvil e inactivo. Renovacin, pues, en la sociedad, en el pensamiento, en lasciencias y las tcnicas. El cuestionamiento de los presupuestos aristotlicos iba a llegarmucho ms all, alcanzando, como no poda ser de otro modo, a toda su fsica. Galileo yDescartes pueden servirnos de ejemplos paradigmticos de dos de los modos de articular

este cuestionamiento al viejo Sistema del Mundo.Galileo someter a un riguroso escrutinio muchas de las ideas que sobre el

comportamiento de la naturaleza sostienen los aristotlicos. Las nociones de levedad ypesantez sern estudiadas a la luz de las ideas arquimedianas y la cada de graves, ellanzamiento de proyectiles, etc., el movimiento, en suma, ser embridado en el lenguaje delas matemticas. Producto de esa labor es, por un lado, la construccin de nociones nuevasy por otro, la obtencin de leyes de carcter cuantitativo: el mundo del ms o menos cede sulugar al de laprecisin y la medida.

Diversos autores se han interrogado a menudo sobre la Cosmologa oculta deGalileo y han especulado sobre su posible contenido y sobre las razones de sus silencios,pero lo que s parece fuera de toda duda es que en su forma de aproximarse a los fenmenosnaturales muestra una cautela admirable y un embridamiento consciente de su imaginacin.As se expresa en el proemio con que inicia la Tercera Jornada de losDiscorsi:

Se abren las puertas de una inmensa e importantsima ciencia, de la que estas

investigaciones nuestras pondrn los fundamentos. Otras mentes, ms agudas que lama, penetrarn, despus, hasta sus lugares ms recnditos.

Y de este modo concluye una discusin sobre las causas del movimiento de cada:

No me parece ste el momento ms oportuno para investigar la causa de laaceleracin del movimiento natural y en torno al cual algunos filsofos han

proferido distintas opiniones.

Se mantiene, claramente, ajeno a las grandes teorizaciones y se coloca, l s, en lasantpodas no slo del aristotelismo sino tambin de otros sistemas que comparten con stelas pretensiones de explicacin de la totalidad.

Esta vana presuncin de entenderlo todo (aspiracin de la Filosofa) no puededeberse sino al hecho de no haber entendido nada, dado que si alguien hubiera


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llegado al menos una vez a comprender algo perfectamente y hubiera sabidoverdaderamente cmo se adquiere el conocimiento, sera consciente de que nadasabe acerca de la infinidad de las restantes verdades.

Por otra parte, Descartes, ms ambicioso que el italiano y quizs, por temperamento,ms necesitado de certezas, amn de ms presuntuoso, desarrollar un nuevo sistemafilosfico, esencialmente distinto del aristotlico, desde el que se sentir capaz de articular

un Sistema del Mundo alternativo con pretensiones omniabarcadoras. En estos trminos leescribe al padre Mersenne en 1629:

Pues desde que le escrib hace ya un mes, no he hecho otra cosa que delinear elargumento, y en lugar de explicar un fenmeno solamente [se refiere al de los

parhelios], me he decidido a explicar todos los fenmenos de la naturaleza, es decir,toda la Fsica. Y el proyecto que tengo me produce ms satisfaccin que cualquierotra que haya tenido, pues creo haber encontrado un medio para exponer todos mis

pensamientos de una forma que satisfar a muchos y que no dar a otros ocasinalguna para contradecirlos.

Y ser en ese proceso de explicacin de todos los fenmenos de la naturaleza, tareaque a su juicio compete a la Fsica, cuando construya su Mundo. Para Descartes elproblema se plantea en estos trminos: sin la teora aristotlica de la materia el Cosmosgeocntrico no se sostiene, se trata pues, y a ellos dedica sus esfuerzos, de mostrar lafalsedad de aqulla a fin de mostrar la inadecuacin del Sistema del Mundo que en ella sebasa.

Construye, pues, un nuevo sistema, claro y distinto de acuerdo con su concepcinfilosfica, que sustenta sobre una nueva teora: el mecanicismo. Olvida por ello losproblemas de detalle en los que, a su juicio, se entretienen otros crticos del aristotelismo,entre los que incluye a Galileo, y centra su trabajo en la construccin de una fsica confundamento, de la que es parte esencial una nueva concepcin de la materia. Incluimos acontinuacin las caractersticas fundamentales de su sistema tal y como aparecen recogidasen el trabajo de Javier Ordez y Ana Rioja, Teoras del Universo: de Galileo a Newton,

Volumen I:

1. La extensin es el atributo que defina a la materia y slo a ella. Todo lomaterial es extenso y todo lo extenso es material.

2. Por el hecho de ser extensa, la materia tiene figura, tamao y posicin,pero no color, olor o sabor. Las cualidades no son, pues, objetivas.

3. Puesto que todo lo extenso es material, el espacio vaco es imposible. Elmundo es lleno.

4. Toda extensin es impenetrable.5. No hay lmite a la divisibilidad de las partes de la materia. La doctrina delos tomos debe ser rechazada.

6. El mundo es infinito (en terminologa cartesiana, indefinido)7. El mundo es homogneo. La distincin entre cielo y Tierra carece de

fundamento.


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8. De la extensin no deriva el movimiento. En consecuencia, el modo de serde la materia es radicalmente pasivo.

9. En los cuerpos no se contiene ningn principio espontneo de movimiento.La causa de ste es siempre extrnseca.

10.El movimiento se transmite por contacto, nunca a distancia.11.En un mundo lleno, los movimientos se realizan en forma de torbellino,

remolino o vrtice. Los desplazamientos en lnea recta no son posibles.

12.El comportamiento de los seres naturales en nada se diferencia del de lasmquinas. Los mismos principios rigen unos y otras.A partir de estas ideas Descartes se propone explicar todos los fenmenos terrestres

y celestes sin establecer distincin alguna entre ellos. La pasividad de la materia exige, sinembargo, dar cuenta, en primer lugar de la existencia del movimiento y en segundo lugardel orden que rige en el mundo. Necesitar, pues, admitir la existencia de ciertas leyes, queconciernen al movimiento y que son necesariamente mecnicas, a partir de las cuales el

caos devino orden, orden que se automantiene.Estas leyes son tres y su contenido est guiado tanto por su visin gentica del

devenir del Universo idea sta de enormes repercusiones no slo en el mbito de la fsicasino en el conjunto de las ciencias naturales como por su filosofa mecnica. Pese a surechazo explcito del atomismo creemos percibir en ellas los ecos de la construccinepicrea, conservacin de la materia y del movimiento y un mecanismo plausible paragenerar la acrecin el clinamen en el caso griego.

Primera ley: Cada parte de materia, [considerada] individualmente, permanecesiempre en el mismo estado, en tanto el encuentro con las dems no la obliga a modificarlo.Es decir, que si tiene cierto tamao, no lo reducir jams a menos que las dems la dividan;si es redonda o cuadrada, no modificar jams esta figura, sin que las dems no la obliguena ello; si est en reposo en algn lugar, no partir jams de all en tanto las dems no ladesplacen de dicho lugar; y si ya ha empezado a moverse, continuar hacindolo siemprecon idntica fuerza hasta que las dems la detengan o la retarden.

Segunda ley: Cuando un cuerpo se mueve, aunque su movimiento se realice lo msfrecuentemente en lnea recta y no pueda darse jams ninguno que no sea en alguna formacircular, sin embargo, cada una de sus partes, [considerada] individualmente, tiendesiempre a continuar el suyo en lnea recta. Y as su accin, es decir, la inclinacin quetienen a moverse, es diferente de su movimiento.

Tercera ley: Cuando un cuerpo empuja a otro, no podra transmitirle ningnmovimiento, a no ser que pierda al mismo tiempo otro tanto del suyo, ni podra privarlo de

l, a menos que aumente el suyo en la misma proporcin. [] Si suponemos que Dios hapuesto cierta cantidad de movimiento en toda la materia en general desde el momentomismo en que la ha creado, hay que reconocer que la conserva siempre.

La importancia de estas leyes no puede minusvalorarse dado que por un lado, seenuncia, en las dos primeras, de modo ntido un principio de inercia rectilnea que obliga ainvestigar las razones de toda trayectoria curva el embridamiento de lo centrfugo puede


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convertirse, as, en objeto de estudio y por otro, en la tercera, se acude a un principio deconservacin del movimiento que evita la accin exterior continuada de algo o alguienexterior al sistema. Volveremos sobre este asunto en el contexto del estudio que sobre lanocin de gravedad vamos a emprender a continuacin.

A.- Primera parada y fonda: Qu es la gravedad?

La importancia que la nocin de gravedad adquirir en la configuracin del Sistema delMundo de Newton y la actividadque manifiesta en los movimientos que tienen lugar en lasproximidades de la Tierra exige que nos detengamos, de forma necesariamente breve ysinttica, en la historia de este concepto.

La cada de los cuerpos fue siempre objeto de anlisis por todos aquellos que seocuparon del estudio del movimiento y form parte de cualquier intento de articulacin deun Sistema del Mundo, no es extrao, pues, que constituyera un tema central de reflexin y

que gravitara sobre la comunidad cientfica a lo largo de todo el siglo XVII.As, Gilles Personne de Roberval (16021675), en un debate celebrado en la Academia

Real de las Ciencias que tena como motivo aclararlas causas de la pesantez, distingue tresmodelos explicativos o, con ms precisin, tres opiniones, en las que se resumen lasvisiones que se haban sostenido hasta entonces :

La pesantez reside exclusivamente en el cuerpo. La pesantez es comn y recproca entre el cuerpo pesante y aqul otro al que se

dirige. La pesantez est producida por el esfuerzo de un tercer cuerpo que empuja al

cuerpo pesante.

a) La nocin esencial en torno a la gravedad hasta Coprnico no es otra que la quese deduce de la concepcin aristotlica y ms en concreto de su fsica de los lugaresnaturales. Se entiende, pues, aqulla como una tendencia (natural) de los cuerpos pesados(los graves) a aproximarse al centro del mundo.

En esta concepcin, adems, existe una separacin ntida entre la fsica terrestre y laceleste por lo que el comportamiento gravitacional, la pesantez, es privativo slo de ciertoscuerpos aquellos en los que predomina el elemento tierra. Existe en este modelo tambin,la tendencia contraria, a huir del centro, con el nombre de levedad.

Por la importancia que tendr posteriormente, tanto en la fsica que construirGalileo como en el modelo del Mundo que articular Descartes, es reseable el tratamiento

que de este asunto realiza Arqumedes en su estudio sobre el equilibrio de los cuerposflotantes; en l, la pesantez y la levedad son manifestaciones relativas que aparecenconectadas a las diferencias de densidad entre medio fluido y objeto, de tal manera que lalevedad pasa a perder su estatus de propiedad absoluta para convertirse en relativa.


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b) En el mundo copernicano la tendencia a aproximarse al centro es sustituida porlatendencia de la parte separada del Todo a incorporarse a ese Todo, reunindose con l. Lapesantez ha dejado de ser privativa de la esfera terrestre.

Pese a sus diferencias, que reflejan el hecho fundamental de la prdida del centrodel Mundo, ambas visiones comparten la idea de que el motor, la tendencia, reside en elpropio cuerpo por lo que no cabe asimilarla a una atraccin a distancia que exige como

agente del movimiento a otro cuerpo.

Esta concepcin, la de una accin a distancia, aparece por primera vez de formantida en Kepler, quien en el Prefacio a su obraAstronomia Nova (1609) e incluso antes, enuna carta a Maestlin en 1605, afirma que la teora de la pesantez debe fundamentarse sobreel axioma de la atraccin mutua de los cuerpos graves, ponderables:

Si uno colocara una piedra a cierta distancia de la Tierra y supusiramos que

ambas no estuvieran sujetas a cualquier otro movimiento, entonces, no slo lapiedra se precipitara sobre la Tierra sino que, tambin, sta se precipitara sobreaqulla; ambas recorreran un tramo del total inversamente proporcional a su peso.

Para Kepler, adems, la virtud atractiva (virtus tractoria) de la Tierra se extiendems all de la Luna y, por ello, si una fuerza animada o de otra naturaleza no retuviera a laLuna sobre su rbita sta se aproximara a la Tierra o, ms exactamente, en consonanciacon lo expresado en la cita anterior, ambas, Luna y Tierra se encontraran en un puntointermedio. La gravedad se ha liberado de su atadura terrestre pero tambin, al igual que enel caso de Coprnico, se ejerce slo entre cuerpos emparentados: no se ejerce, pues, entre laTierra y el resto de los planetas ni entre el Sol y estos ltimos.

El sistema kepleriano, con la ruptura definitiva de la circularidad de las rbitas, seve en la necesidad de dar cuenta de las anomalas orbitales buscando una causa para lasmismas; no es extrao, pues, que colocara en primer plano la pregunta qu mueve a losplanetas? Este interrogante resultara fundamental en la construccin de lo que ms tarde,con Newton, ser la ley de Gravitacin Universal, pero es an insuficiente por incompleto;

su completitud requiere que se conecte a otra cuestin, aparentemente de menor relevanciay persistentemente sometida a estudio, qu mueve a los proyectiles? Slo entonces,cuando se comprenda que ambas preguntas son en realidad la misma, podr acabarse con laescisin entre Tierra y Cielos y podr entonces articularse la ciencia moderna en cuyoncleo est la concepcin unificada del Universo.

De hecho, para Kepler, la respuesta a la primera pregunta tiene poco que ver con lanocin de gravedad que se atisba en las citas anteriores; Sol y planetas tienen distinta

naturaleza y la nocin de gravedad no es aplicable a ellos. Resultaba inevitable, una vezafianzado el sistema heliocntrico, que el cuerpo central adquiriera una relevancia especial,tanto ms cuanto que el Sol tena ya o haba tenido, a lo largo de la historia de las ideas y dela cultura, un protagonismo acentuado.

Recientemente Coprnico lo haba concebido en estos trminos:


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Y en medio de todos est el Sol. Quin podra situar esta luz en otro lugar o en unlugar mejor, desde el cual quedaran iluminados, al igual que ahora sucede, todas lascosas al mismo tiempo? No es por casualidad que unos lo llaman lucirnaga delmundo, otros, mente, otros, regulador. Trismegisto lo define como el dios visible, laElectra de Sfocles como el que ve todas las cosas. As, pues, el Sol, al igual que siestuviera sentado sobre un trono real, gobierna la frmula de los astros a los queenvuelve.

Para Kepler, sin embargo, el Sol no es slo fuente de luz sino tambin su fuente depoder, le conceder por tanto el papel de agente motor. No es, pues, un centro de atraccingravitacional sino un centro de movimiento del que emergen fuerzas magnticas y cuasi-magnticas y, an antes de que las observaciones astronmicas lo atestiguaran, lo dota deun movimiento de rotacin que se transmite a los planetas por medio de una speciesinmaterial anloga a la vez a la luz y a la fuerza magntica que se atena con la distancia.Kepler, sin embargo, contina apegado al dogma central de la dinmica aristotlica, la

fuerza es la causa del movimiento, y por ello concebir las fuerzas que empujan a losplanetas como fuerzas en la direccin de la velocidad, tangenciales. Su desconocimiento dela ley de inercia y de la conexin causal entre fuerza y aceleracin le impiden centrar suatencin en la direccin en la que se producen los cambios de velocidad; no le es posible,en consecuencia, adquirir una nocin clara de fuerza centrpeta, esencial para articular laley de la gravitacin. Tambin en este caso habr que volver a Galileo quien, comosabemos, atisbar tanto la ley de inercia como la conexin entre fuerza y aceleracin.

c) El inspirador de la tercera de las opiniones recogidas por Roberval no es otro, comoel lector habr ya adivinado, que Descartes1. En lnea con su modo de filosofar seala apropsito del tratamiento galileano sobre la pesantez y la cada de los cuerpos:

Todo cuanto ha dicho sobre la velocidad de los cuerpos que descienden en el vaco,etc., est edificado sin fundamento alguno, pues, l habra debido en primer lugardeterminar lo que es la pesantez; y si supiera la verdad sabra que aquella es nula en elvaco.

La matematizacin del movimiento de cada que Galileo ha desarrollado, el cmo delmovimiento, no es para Descartes lo esencial; para l lo importante es desvelar las causasde la pesantez y a ello dirige su atencin en esos dos tratados en los que expone su fsica ysu sistema del mundo: El Mundo o el Tratado de la Luz yLos Principios de la Filosofa.Para Descartes, como sabemos, el mundo es pleno, pero no esttico. Su modelo, paraentendernos, podra catalogarse como hidrodinmico, de fluidos en movimiento, y en l sonmoneda corriente los torbellinos, los vrtices. En ese mundo el peso es un efecto delmovimiento de las partes de la materia sutil que llena todo el espacio con el que se

identifica circundando e impulsando los cuerpos. Con mayor exactitud, el peso es debido

1 Este autor ha sido objeto de atencin en este Seminario, por lo que nos remitimos, para unaprofundizacin en su filosofa y en sus aportaciones matemticas y fsicas, a las ponencias Descartes filsofo,lgebra y Matemtica en Descartes, que aparecen en lasActas del Seminario Orotava. Ao IIy a la tituladaFbula y sueo en el Discurso del mtodo editada en formato digitalActas Aos XI y XII.


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al exceso de movimiento, respecto a las distintas zonas de la Tierra, de las partes de lamateria sutil que circunda a aqulla. Este exceso de movimiento tiende, como consecuenciade su centrifuguez, a alejar la materia sutil del centro en torno al que gira y por ello incita aotros cuerpos a reemplazarla, es decir a descender a la Tierra. El peso es, pues, un efectomecnico provocado nicamente por los movimientos de la materia sutil. As lo expresa enEl Mundo:

Mas deseo ahora que consideris cul es la pesantez de esta Tierra, es decir, la fuerzaque une todas sus partes y que hace que tiendan todas hacia su centro, cada una ms omenos en funcin de su tamao y su solidez. Esta no es otra cosa y no consiste sino enlas partes del pequeo cielo que rodean [a la Tierra], al girar mucho ms deprisa quelas suyas alrededor de su centro, tienden tambin con ms fuerza a alejarse de ellas yen consecuencia las repelen.

[] Pero a fin de que entendis esto ms claramente considerad la tierra EFGH, conel agua 1-2-3-4 y el aire 5-6-7-8, los cuales, como os dir despus, no estn compuestassino de algunas de sus partes menos slidas y forman una misma masa con ella. Consideradadems la materia del cielo que llena, no slo todo el espacio que hay entre los crculosABCD y 5, 6, 7, 8 sino tambin todos los pequeos intersticios que hay por debajo entre laspartes del aire, del agua y de la Tierra. Y pensad tambin que, al girar conjuntamente estecielo y esta Tierra alrededor del centro T, todas sus partes tienden a alejarse de l, si bienlas del cielo lo hacen con mucha ms fuerza que las de la Tierra, debido a que estn msagitadas.[] De esta manera, si todo el espacio que est ms all del crculo ABCDestuviera vaco, es decir, si no estuviera lleno ms que de una materia que no pudieraresistirse a las acciones de los dems cuerpos, ni producir en ellos ningn efecto apreciable(pues es as como hay que tomar el trmino vaco), [entonces] todas las partes del cielo que

estn en el crculo ABCD saldran de l las primeras, a continuacin les seguiran las delaire y el agua y finalmente lo haran tambin las de la Tierra, cada una de ellas tanto msprestamente cuanto menos ligadas se encontraran al resto de la masa; del mismo modo queuna piedra sale despedida de la honda en la que se la agita, tan pronto como se suelta lacuerda, o que el polvo que se posa sobre una peonza mientras gira, se apartainmediatamente de ella por todos los lados.


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Para Descartes, que niega toda existencia a las fuerzas de atraccin, la existencia del

vaco adems de no encajar en su construccin terica, provocara la desintegracin de todaagrupacin material, la cual, paulatina y sucesivamente, ira alejndose del centro devorticidad. La gravitacin, concebida en trminos mecnicos, en trminos de fuerzas depresin por contacto, no sera posible.

Considerad adems que, al no haber ningn espacio ms all del crculo ABCD queest vaco, ni al que puedan ir las partes del cielo contenidas dentro de ese crculo, a menosque en el mismo instante entren otras en su lugar que sean semejantes a ellas, las partes dela Tierra no pueden asimismo alejarse ms de lo que lo hacen del centro T, a no ser quedesciendan en su lugar partes] del cielo o bien otras [partes] terrestres, tantas cuantas seannecesarias para llenarlo. Y recprocamente, tampoco pueden acercarse a dicho centro, amenos que otras tantas partes asciendan en su lugar. Unas y otras se oponen entre s; cadauna lo hace con respecto a las que deben entrar en su lugar en el caso de que asciendan, o

tambin con respecto a las que deben entrar en l en caso de que desciendan, tal comohacen los dos brazos de una balanza. En efecto, de la misma manera que uno de los brazosde la balanza no puede subir ni bajar sin que el otro haga lo contrario al mismo tiempo, yque el ms pesado arrastra siempre al otro, as la piedra R, por ejemplo, se opone de talmodo a la cantidad de aire (exactamente igual a su tamao) que hay sobre ella y cuyo lugardebera ocupar en caso de alejarse ms del centro T, que sera necesario que este airedescendiera a medida que ella ascendiera. Y asimismo se opone de tal modo a otra cantidadparecida de aire que hay por debajo de ella y cuyo lugar debe ocupar en caso deaproximarse a ese centro, que sera preciso que descendiera cuando este aire ascendiera.

La pesantez resulta, pues, ser una consecuencia centrpeta de las tendencias centrfugasde las que estn dotadas las partculas ms ligeras de los vrtices.

B.- Segunda parada y fonda: Del movimiento y sus leyes, graves y planetas

Pese al fracaso de Kepler en su bsqueda de las causas de los movimientos

planetarios, sus aportaciones cinemticas resultarn fundamentales. El proceso dearticulacin de las leyes que llevan su nombre exigira mayor atencin que la que aquvamos a dedicarle por lo que slo nos limitaremos a unos breves apuntes.

En Kepler, al igual que en muchos otros cientficos de la poca, existe elconvencimiento de que el Universo est organizado (o ms exactamente diseado) deacuerdo a leyes matemticas; no es extrao, pues, que en su actividad haya una continuabsqueda de armonas. As, como relata Koestler en su polmico, pero sugerente libro,Los

sonmbulos: El 9 de Julio se le ocurri repentinamente una idea, con tal fuerza, que creytener en sus manos la llave del secreto de la creacin. Esa idea, tema central de El Secretodel Universo (Mysterium Cosmographicum 1597), no es otra, en un primer momento, quela certidumbre de que el Universo est construido sobre el esqueleto invisible de ciertasfiguras geomtricas tringulos, cuadrados, polgonos regulares y, ms tarde, sobre el delos misteriosos y nicos cinco slidos regulares de la tradicin pitagrica y platnica:Puede ser acaso una mera casualidad que slo existan cinco de estos cuerpos y slo seis


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planetas [nmero de los conocidos en su poca]?No guardarn estos nmeros algunarelacin oculta?. Kepler empleara mucho tiempo tratando de encajar el tamao de lasrbitas en un modelo de figuras inscritas y circunscritas a estos poliedros regulares y slo aregaadientes, obligado por la presin de los datos precisos de las observaciones de TychoBrahe, abandonar esta estructura de singular belleza. Obsesionado por estas ideas sobre laexistencia de armonas escondidas intentar asociar la msica a la cadencia temporal de lasrbitas y en ese proceso de bsqueda encontrar, asumidas ya sus dos primeras leyes para el

movimiento planetario y publicadas en laAstronomia Nova (1609), las relaciones entre losperiodos de revolucin de los planetas y las distancias medias entre estos y el Sol;enunciar as la que ser su tercera ley. Junto a esta obsesin pitagrica hay en Kepler unrespeto profundo por los datos experimentales obtenidos mediante medidas precisas. Estacoexistencia de lo mstico y lo emprico, de los vuelos desatados de la imaginacin y elriguroso control de los datos observacionales son el sello de su personalidad. Koestler loretrata con claridad cuando afirma: Kepler, con un ojo estaba leyendo el pensamiento deDios y con el otro miraba de soslayo, con envidia, las esferas armilares de Tycho Brahe.

Las leyes de Kepler afirman lo que sigue:1. Los planetas describen rbitas elpticas con el Sol en uno de los focos.2. Las rbitas se recorren de tal modo que el radio vector que une el Sol con el planetarecorre reas iguales en tiempos iguales.3. Los cuadrados de los periodos de revolucin son proporcionales a los cubos de lossemiejes mayores de la orbita. La constante de proporcionalidad es la misma para todos losplanetas.

Al margen de la percepcin que Kepler tuviera sobre las mismas simples hallazgosdentro de lo que consideraba su obra mxima, el descubrimiento de las armonas delUniverso estas leyes suministran una informacin sobre el movimiento planetario que, enmanos de Newton y tras un largo proceso de anlisis y ponderacin, resultar crucial paradeducir las fuerzas responsables del mismo. No slo nos indican la forma de las rbitas, elmodo en que se recorren o la existencia de una relacin constante entre las distintas rbitassino que, adems, sugieren una causa comn, asentada en el Sol, para todos losmovimientos. En efecto, las tres leyes le dan a ste un papel especial y parecen sugerir que

l suministra la fuerza rectora que mantiene a los planetas movindose como lo hacen.

De especial relevancia para la construccin de lo que se denomina la nueva Fsicaresultan, como es bien sabido, no slo los anlisis galileanos sobre el principio de inercia, laconexin fuerza-movimiento, la relatividad del movimiento, o los mltiplesdescubrimientos astronmicos instrumentales como el telescopio u observacionales comola deteccin de los satlites de Jpiter, las fases de Venus, la aparente composicin de laLuna, etc. que sirven para afianzar la nueva visin sobre el Mundo, sino tambin la

matematizacin de los movimientos uniforme, de cada de graves o de proyectiles queemprende en su obra Discursos y Consideraciones sobre dos nuevas ciencias. Daremos,pues un rodeo que tiene como figura central a Galileo, aunque sin extendernos demasiadoen sus aportaciones que ya han sido tratadas con amplitud tanto en este Seminario como enel Eurosymposium que sobre l se celebr el ao 2001, antes de volver al tema de lagravitacin en Borelli, Huygens y Hooke, ilustres predecesores de Newton sobre esteasunto.


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La nocin de inercia, el Principio de inercia circular que Galileo desarrolla, parece

estar ligada, al decir de Stillman Drake, a una cuestin que trasciende el problema terrestrecon el que la introduce en los Dilogos y que tiene que ver con el que suscita elmovimiento de los objetos celestes. En efecto, la disolucin del Cosmos de las esferasoblig a retomar una cuestin que hasta entonces solventaban estas esferas: cmo semantenan los objetos planetarios en sus rbitas, ahora circunsolares?

Resulta llamativo, y as lo han sealado numerosos estudiosos, que Galileo no hayaprestado una atencin especial a la elipticidad de las rbitas planetarias, sealada porKepler en obras que aqul conoca. Este silencio, sin embargo, puede explicarse si, comoseala Stillman Drake, la admisin de esa elipticidad abriera, por una parte, nuevamente lapuerta a las corrientes animistas que Galileo combata y, al mismo tiempo, no encajara en lanueva fsica que llevaba aos desarrollando.

Un par de consideraciones, pues, sobre esa nueva fsica en construccin cuyareferencia esencial es el libro de los Discorsi y de la que pueden encontrarse tambinalgunas muestras en otros libros de Galileo, en especial en los Dilogos y en el SidereusNuntius.

Para entender las razones por las que Galileo elude pronunciarse sobre las causasdel movimiento de la cada de los cuerpos, quizs convendra recordar que la nocinintuitiva de fuerza va asociada al contacto (empujar, tirar, presionar, resistir, etc.) y que eneste tipo de acciones es fcilmente identificable el agente responsable. De ah lasdificultades que surgen tanto en el movimiento de cada al que hbilmente se le denominanatural para obviar sus causas motoras como en los movimientos de los objetos lanzadosy de ah, tambin, la adjudicacin de una naturaleza especial a los mviles objetos celestes.En todos estos casos no aparece de modo identificable el motor responsable delmovimiento y, por ello, hasta que no se clarific adecuadamente tanto la nocin degravedad como el principio de inercia, rein la confusin.

En un pasaje justamente famoso de los Discorsi Galileo se aproxima a la

formulacin de un principio de inercia que acaba concibiendo como circular y alestablecimiento de la conexin entre fuerza y cambio de movimiento:

SALVIATI: [] Cul creis que es la causa de que la bola se muevaespontneamente sobre el plano inclinado hacia abajo y que no lo haga, sin violencia, sobreel inclinado hacia arriba?

SIMPLICIO: Porque la inclinacin de los cuerpos graves es la de moverse hacia elcentro de la Tierra, y slo mediante la violencia hacia la circunferencia. Y la superficie

inclinada hacia abajo es la que va aumentando la proximidad al centro, y la inclinada haciaarriba va aumentando la distancia.SALVIATI: As pues, una superficie que no hubiera de tener inclinacin ni hacia

arriba ni hacia abajo, tendra que ser igualmente distante del centro en todas sus partes.Pero, existe en el mundo alguna superficie as?


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SIMPLICIO: No carecemos de ellas. He aqu la de nuestro globo terrestre, en el casode que fuese bien pulida, y no escabrosa y montaosa como es. Pero est la del aguacuando est plcida y tranquila.

SALVIATI: As pues, una nave que vaya movindose por el mar en calma es uno deesos mviles que avanzan por una de esas superficies que no son ni inclinadas ni haciaarriba ni hacia abajo, y por tanto, si le fuesen eliminados todos los obstculos accidentales yexternos, estara en disposicin de moverse incesante y uniformemente con el impulso

recibido una vezSIMPLICIO: As me parece que debe ser.

Tercera parada y fonda: De fuerzas centrfugas y centrpetas

La obra de Descartes no es la nica en la que se trata de encontrar respuesta a uninterrogante por qu razn se curva la trayectoria de los planetas? que, en una poca en

la que la naturaleza material de los objetos celestes y terrestres se haba unificado y seafianzaba la idea de la inercia rectilnea, no permita ya escapatoria alguna. Borelli (16081679), Huygens (16291695) y Hooke (16351703) son algunos de los cientficos que seocuparn del tema y a sus ideas vamos a dedicar un espacio que, necesariamente, serbreve. Cmo conceba cada uno de ellos el problema que nos ocupa?

Antes de argumentar, desde una perspectiva ntidamente mecnica, Borelli presenta elestado de la cuestin en estos trminos:

[...] Debemos interrogarnos sobre la virtud por la que los planetas son movidos entorno al Sol, o en torno a Jpiter, es decir, [debemos preguntar] si esta fuerza procedede un principio natural, interno, o de un principio externo, violento, o de ambos a lavez; y si este principio resultara ser interno, si es animstico, como el principio demovimiento en los animales, o natural, como la tendencia de los graves a caer, o eldeseo por el que un imn atrae al hierro; pero si, por otra parte, la mencionada virtudresultara ser externa, debemos preguntarnos si resulta dependiente de ciertasinteligencias o espritus anglicos o si es similar a la del movimiento de proyectiles2.

Borelli plantea, a continuacin, el tema en los trminos siguientes:

Los planetas tienen un cierto apetito natural a unirse a la esfera del mundo en torno ala cual se mueven, razn por la cual de hecho tienden a acercarse a ella con todas susfuerzas; en concreto, los planetas al Sol y los planetas mediceos a Jpiter. Por otro ladoes indudable que el movimiento circular confiere al mvil un mpetus para alejarse delcentro de revolucin []. Suponemos, por tanto, que el planeta tiende a aproximarse al

Sol y que al mismo tiempo, debido al mpetus del movimiento circular, adquiere elmpetus para alejarse del centro solar. En tanto que las fuerzas contrarias sean iguales(una, en efecto, se ve compensada por la otra), el planeta no podr ni acercarse ni

2 Las citas anteriores se encuentran en el estudio de Borelli,Theoricae mediceorum planetarum, del queexiste traduccin parcial en la obra de Alexander Koyre La rvolution astronomique, Hermann (1961)


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alejarse del Sol, ni tampoco podr encontrarse fuera de un espacio concreto ydeterminado, de modo que aparecer en equilibrio y sobrenadando.

Para sustentar sus concepciones llegar a construir diversos modelos mecnicosmediante los que trata de hacer plausibles sus concepciones sobre el movimiento planetariosin tener que acudir a soluciones que incluyan el concurso de inteligencias o almas:

Si pudiramos probar que todas estas cosas que hemos descrito [se refiere al preciso yrepetido movimiento elptico de los planetas o satlites] pueden ser producidas pormedio de un simple poder natural, sea interno o externo, no tendramos necesidadalguna de recurrir a otro tipo de agentes.

El avance de sus soluciones, en relacin con el estado de la cuestin que hemosdelineado en la cita inicial, resulta evidente.

A Huygens se debe la cuantificacin de la fuerza centrfuga, trabajo que exige abordarde una forma nueva el movimiento circular; para ello usar como modelo el que ejecuta unapiedra sujeta a una honda. Este trabajo, que tendr una profunda repercusin en el asuntoque aqu nos ocupa, lo emprendi no con el objetivo explcito de analizar el movimientoplanetario sino en el contexto de sus investigaciones sobre el reloj de pndulo que acabararecogiendo en la obra que lleva por ttulo Horologium oscillatorium (1673). Ah enunciatrece teoremas sobre la fuerza centrfuga, concebida como el esfuerzo de la materia poralejarse del centro de rotacin, que asimila a una tendencia que el cuerpo adquiere en virtudde su trayectoria circular y de la que es capaz de dar un valor:

r

vmF

2

=

Compara, a continuacin, los movimientos de un cuerpo grave que gira con una ruedaa la que est atado mediante una cuerda con los de ese mismo cuerpo grave cuando se dejaoscilar, al modo de un pndulo, bajo la accin gravitacional, y de la observacin de que enambos casos aparece una tensin del mismo tipo concluye que los efectos de la gravedad yde la fuerza centrfuga son idnticos. Su accin simultnea se contrarresta y, al modo deBorelli, produce una situacin de equilibrio que explica la trayectoria circular resultante3.

Ser Hooke, sin duda, el que ms se aproxime a la solucin que luego acabar tomandocuerpo en los desarrollos de Newton y ser a l a quien ste, pese a sus reiterados esfuerzospor negarlo, deber parte de las pistas que le conduciran a la formulacin de la ley deGravitacin. En efecto, en 1664, con ocasin de la observacin de un cometa, interpret ladesviacin de su trayectoria en las proximidades del Sol como resultado de la accin

atractiva de dicho astro; el ttulo de la Memoria presentada ante la Royal Society essuficientemente expresivo: On the inflection of a direct motion into a curve by asupervening Attractive Principle.

3 A diferencia de Borelli, Huygens sigue manteniendo para la gravedad una explicacin en lnea con laque antes hemos explicitado al hablar de Descartes; no hay en l, pues, referencia alguna a fuerzas deatraccin.


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El cambio de perspectiva, en relacin a Borelli y Huygens, es significativo porque en

lugar de considerar el movimiento curvo (circular) como el resultado de un equilibrio entrefuerza centrfuga y gravedad (entendida, esta ltima, bien como tendencia Borelli, biencomo presin Huygens hacia el centro), usa los conceptos de inercia rectilnea y fuerzaatractiva de direccin central. Sern stas las ideas que sugerir a Newton en una carta quele dirige el 24 de noviembre de 1679 invitndole a discutir una hiptesis u opinin ma

[] consistente en componer los movimientos celestes de los planetas [a base] de unmovimiento directo por la tangente y un movimiento atractivo hacia el cuerpo central, yser esta carta sobre la que se articular el entramado de una agria polmica sobreprioridades.

Parece claro que Hooke se hallaba en el buen camino, como ponen de manifiesto noslo el tipo de preguntas que dirige a Newton sino con mayor nitidez las suposiciones queha esbozado en una conferencia pronunciada en la Royal Society en 1670. Estas

suposiciones son: Todos los cuerpos celestes, sin excepcin, poseen una capacidad de atraccin

hacia su propio centro y por ella atraen no slo a las propias partes de las queestn hechos trasciende as las concepciones que haba articulado, entre otros,Coprnico sino tambin a todos los objetos que se encuentran en la zona de suinfluencia.

Los cuerpos cumplen la ley de inercia y prosiguen su movimiento rectilneouniforme si no existe una fuerza que les obligue a curvar su trayectoria.

La accin de la fuerza atractiva disminuye con la distancia en una proporcinque exige ser calculada y que l no conoce.

Tambin es cierto que no fue capaz de pasar del estadio de hiptesis al de una teoraarticulada, entre otras razones por su insuficiente dominio de las matemticas. Esta tarea lallevar a cabo Newton en los Principia.

III. El Sistema del Mundo newtoniano: losPrincipia

El recorrido que hemos efectuado nos permite entender cul era la situacin con la quese encontr Newton y, al mismo tiempo, identificar a los gigantes4 a los que se refiere sufamosa y tantas veces repetida afirmacin: Si he visto ms lejos ha sido porque me heaupado a hombros de gigantes.(Carta aRobert Hooke, 5 de febrero de 1676). Qu vio elsabio ingls? La percepcin que sobre el modo de acercarse a la filosofa natural, es decir,

4La obra de estos haba permitido por un lado, elegir un sistema de referencia adecuado (Coprnico)desde el que reorganizar las observaciones y describir con precisin el movimiento de los planetas (Kepler),y, por otro, iniciar la construccin de una nueva fsica de raz atomista y de expresin matemtica (Galileo) yformular con claridad el principio de inercia (Descartes).


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sobre el mtodo cientfico, se tiene en los tiempos de Newton aparece reflejada en elPrefacio que Roger Cotes escribi para la edicin de los Principia5:

Los que han abordado la filosofa natural pueden reducirse a tres clasesaproximadamente. De entre ellos, algunos [los escolsticos, herederos de Aristteles ylos peripatticos] han atribuido a las diversas especies de cosas cualidades ocultas yespecficas, de acuerdo con lo cual se supone que los fenmenos de cuerpos

particulares proceden de alguna manera desconocida. Estos autores afirman que losdiversos efectos de los cuerpos surgen de las naturalezas particulares de esos cuerpos.Pero no nos dicen de donde provienen esas naturalezas y, por consiguiente, no nosdicen nada. Como toda su preocupacin se centra en dar nombres a las cosas, en vez de

buscar en las cosas mismas, podemos decir que han inventado un modo filosfico dehablar, pero no que hayan dado a conocer una verdadera filosofa.

Otros [se refiere inequvocamente a los cartesianos] han intentado aplicar sus

esfuerzos mejor, rechazando ese frrago intil de palabras. Suponen que toda materiaes homognea, y que la variedad de formas percibida en los cuerpos surge de algunasafecciones muy sencillas y simples de sus partculas componentes. Y procediendo delas cosas sencillas a las ms compuestas toman con certeza un buen camino, siempreque no atribuyan a esas afecciones ningn modo distinto al atribuido por la propia

Naturaleza. Pero cuando se toman la libertad de imaginar arbitrariamente figuras ymagnitudes desconocidas, situaciones inciertas y movimientos de las partes,suponiendo adems fluidos ocultos capaces de penetrar libremente por los poros de loscuerpos, dotados de una sutileza omnipotente y agitados por movimientos ocultos, caenen sueos y quimeras despreciando la verdadera constitucin de las cosas, que desdeluego no podr deducirse de conjeturas falaces cuando apenas si logramos alcanzarlacon comprobadsimas observaciones. Los que parten de hiptesis, como primeros

principios de sus especulaciones aunque luego procedan con la mayor precisin apartir de esos principios pueden desde luego componer una fbula ingeniosa, pero nodejar de ser una fbula.

Queda entonces la tercera clase, que se aprovecha de la filosofa experimental. Estos

pensadores deducen las causas de todas las cosas de los principios ms simplesposibles, pero no asumen como principio nada que no est probado por los fenmenos.No inventan hiptesis, ni las admiten en filosofa, sino como cuestiones cuya verdadpuede ser disputada. Proceden as siguiendo un mtodo doble, analtico y sinttico. Apartir de algunos fenmenos seleccionados deducen, por anlisis, las fuerzas de lanaturaleza y las leyes ms simples de las fuerzas; y desde all, por sntesis, muestran laconstitucin del resto. Ese es el modo de filosofar, incomparablemente mejor, quenuestro clebre autor ha abrazado con toda justicia prefirindolo a todo el resto, por

considerarlo el nico merecedor de ser cultivado y adornado por sus excelentestrabajos. Y del mismo nos ha proporcionado un ejemplo ilustrsimo mediante la

5 La gnesis de los Principia ha sido objeto de la atencin de numerosos autores y contada en mltiplesocasiones, por lo que remitimos a quien quiera conocer esta apasionante historia a la obra: WESTFALL,R.S,Never at rest,Cambridge, 1993.


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explicacin del Sistema del Mundo, deducida felicsimamente de la teora gravitatoria.Otros sospecharon o imaginaron antes que el atributo de la gravedad se encontraba entodos los cuerpos, pero l ha sido el primer y nico filsofo que pudo demostrarlo a

partir de lo aparente, convirtindolo en un slido cimiento para las especulaciones msnobles.

Es en los Principia donde Newton aplica el mtodo antes reseado y al contenido deeste tratado vamos a dedicar el resto de la exposicin. La amplitud del tema nos obligar aprescindir de muchos detalles y aspectos6, y a centrarnos en el camino que va desde eltratamiento matemtico de las fuerzas centrpetas hasta la identificacin fsica de stas,primero como fuerzas atractivas y luego como fuerzas de atraccin gravitatoria. Serentonces cuando podr afirmarse que las dos preguntas, aparentemente distintas, que habantrado de cabeza a una plyade de filsofos naturales qu mueve a los planetas?, qumueve a los proyectiles? tienen una respuesta nica, una causa comn: la atraccingravitatoria. Tierra y cielos aparecern unificados, descritos por las mismas leyes.

Desde el Prefacio a la primera edicin Newton enuncia cul va a ser el ncleo de sutrabajo:

En este sentido, la mecnica racional ser la ciencia de los movimientos resultantes decualesquiera fuerzas, y de las fuerzas requeridas para producir cualesquieramovimientos, propuestas y demostradas con exactitud.

Sintetiza en este enunciado explcito los que, ms tarde, se conocern como problemasdirecto e inverso de la mecnica:

6 No analizaremos el Libro II que se ocupa del movimiento de los cuerpos en medios resistentes yque en la perspectiva de la articulacin de un nuevo sistema del Mundo puede leerse como una refutacin delsistema cosmolgico cartesiano.


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Problema directo: Dadas las fuerzas que actan sobre un cuerpo, obtener elmovimiento que resulta.

Problema inverso: Dado el movimiento de un cuerpo, obtener las fuerzasresponsables de ese movimiento.

Estos dos problemas que los alumnos aprenden a resolver en cualquier curso demecnica estn, por otra parte, ntimamente relacionados con las dos operaciones centrales

del clculo infinitesimal: la integracin y la derivacin7

. Ms adelante prosigue Newton enestos trminos:

Ofrezco esta obra como principios matemticos de la filosofa [es obvio que en elsentido de ciencias de la naturaleza], pues toda la dificultad de la filosofa parececonsistir en pasar de los fenmenos de movimiento a la investigacin de las fuerzas dela Naturaleza, y luego demostrar los otros fenmenos a partir de esas fuerzas; a ello sedirigen las proposiciones generales de los dos primeros libros. En el tercero

proporciono un ejemplo de esto en la explicacin del Sistema del Mundo; puesmediante las proposiciones matemticamente demostradas en los libros precedentes,deduzco, en el tercero, de los fenmenos celestes, las fuerzas de gravedad con las quelos cuerpos tienden hacia el Sol y los diversos planetas. Luego, a partir de esas fuerzas,mediante otras proposiciones igualmente matemticas, deduzco los movimientos de los

planetas, los cometas, la luna y el mar.

La cita contina con lo que dar en llamarse ms tarde Programa de Newton. En l sedefine un vasto, pero ntido, programa de investigacin cuyo objetivo ltimo es desentraarlas claves del universo, cuestin sta que para Newton permanece abierta:

Me gustara que pudisemos deducir el resto de los fenmenos de la Naturalezasiguiendo el mismo tipo de razonamiento a partir de principios mecnicos. En efecto,muchas razones me inducen a sospechar que todos ellos pueden depender de ciertasfuerzas de cuya virtud las partculas de los cuerpos por causas hasta hoydesconocidas se ven mutuamente impelidas unas hacia otras y se unen en figurasregulares, o son repelidas y se alejan unas de otras. Siendo desconocidas estas fuerzas,

los filsofos han investigado en vano la Naturaleza hasta hoy; pero espero que losprincipios aqu expuestos arrojarn cierta luz sobre este mtodo de filosofar, o sobrealguno ms veraz.

Quizs la propuesta era, entonces, prematura aunque el mismo Newton la aplic, en laProposicin XXIII del libro II, a una incipiente teora cintica de los gases8 pero no cabela menor duda de que result acertada y enormemente productiva.

7 En efecto, en el primer caso, problema directo, la ecuacin fundamental de la dinmica F = ma nospermite, conocidas las fuerzas, obtener la aceleracin a y, a partir de ella, por un proceso de integracinsucesiva, primero v y luego r. En el segundo caso, problema inverso, lo conocido es r, de forma que ahorason v y a las que se obtienen por derivaciones sucesivas para, luego, a partir de esta ltima obtenerF.

8 El texto de la Proposicin es: Si un fluido est compuesto por partculas que huyen unas de otras yla densidad es como la compresin, las fuerzas centrfugas de las partculas sern inversamenteproporcionales a las distancias de sus centros y, a la inversa, las partculas que huyen unas de otras, con


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La obra magna de Newton consta de tres libros. En el primero se estudia el movimientode los cuerpos en el vaco y puede ser conceptuado como un tratado de mecnica racionalen el sentido que ms arriba, y en sus propias palabras, hemos indicado. Su acercamiento alos problemas del movimiento es altamente idealizado, cercano en gran medida a un textomatemtico: los objetos mviles son puntos materiales sin dimensiones sobre los que, enprimera instancia, se ejercen acciones centrpetas hacia un centro inmvil, bien sobre unsolo objeto o bien sobre un conjunto de ellos, y de este estudio concluye que todo cuerposometido a una fuerza centrpeta que vara como el inverso del cuadrado de la distanciacumple las tres leyes de Kepler. La introduccin de la ley de accin y reaccin le obliga a

sustituir el centro de fuerza por otro punto material y a considerar el problema delmovimiento de dos cuerpos en interaccin mutua. La fuerza centrpeta cede paso a lasfuerzas de atraccin mutua y el estudio se hace ms complejo aunque aun resulte abordable,situacin que ya no se da al introducir un cuerpo adicional9.

En el segundo se analizan los efectos producidos por medios resistentes y es, en ciertamedida, una primera y novedosa aproximacin a la hidrodinmica que tiene comopretensin ltima refutar, va tratamiento matemtico, a Descartes.

En el tercero, finalmente, se construye, basndose en los resultados previos, un nuevoSistema del Mundo. Este texto puede ser catalogado como un trabajo de mecnica celestedonde el modelo utilizado para describir los objetos mviles se hace ms real, resulta, pues,ms fsico y a su trmino la fuerza de atraccin mutua acabar asimilndose a una fuerza depersistente accin en el mbito de nuestro cercano mundo de experiencias llamadagravedad. En este libro va a hacer un uso intensivo tanto de las observaciones astronmicascomo de las experiencias mecnicas asociadas a la cada de graves.

fuerzas inversamente proporcionales a las distancias de sus centros, componen un fluido elstico cuyadensidad es como la compresin.

9 En efecto, en el caso de dos cuerpos ambos describen elipses en torno a su centro de gravedad; paratres o ms cuerpos las perturbaciones mutuas hacen el problema intratable matemticamente, las rbitas dejande ser estrictamente elpticas y cesan de cumplirse las leyes de Kepler.


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La tarea que se propone es, sin duda, ingente porque para darle cima necesita construiruna nueva ciencia la dinmica sumida hasta entonces en una enorme confusin. Se abreel tratado, en la ms pura ortodoxia del mtodo hipottico-deductivo con un conjunto dedefiniciones terminolgicas, de bastante calado, que van desde las de masa y cantidad demovimiento hasta las de espacio y tiempo. A esta introduccin le sigue un apartado en elque se explicitan las leyes o axiomas del movimiento, soporte sobre el que construir elentramado de su edificio, al que siguen seis corolarios.

Ley primera: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o de movimiento uniformeen lnea recta, salvo que se vea forzado a cambiar ese estado por fuerzas impresas.

Ley segunda: El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa yse hace en la direccin de la lnea recta en la que se imprime esa fuerza.

Ley tercera: Para toda accin hay siempre una reaccin opuesta e igual. Las acciones

recprocas de dos cuerpos entre s son siempre iguales y dirigidas hacia partes contrarias.Aparecen enunciados con claridad el principio o ley de inercia, la conexin entre

fuerza, o con ms exactitud impulso, y cambio de movimiento ms tarde conocida comoley fundamental de la dinmica y el principio de accin-reaccin. La lectura del tratadomuestra la importancia que juegan las denominadas leyes de Kepler en la articulacin de susistema del mundo pero, como ha puesto de manifiesto con claridad I. Bernard Cohen10,bajo ningn concepto Newton dedujo la ley de gravitacin a partir de ellas. Por laimportancia que con posterioridad va a adquirir enunciamos la Proposicin I:

Las reas que los cuerpos en revolucin describen mediante radios trazados hasta uncentro de fuerzas inmvil se encuentran en los mismos planos inmviles y son

proporcionales a los tiempos en los que se describen.

10 La clarificacin del papel exacto desempeado por las tres leyes keplerianas sobre el movimientoplanetario en el pensamiento de Newton sobre los movimientos celestes, mostrar las sucesivas etapas por lasque pas Newton y las transformaciones que le condujeron a la generalizacin de una fuerza universal degravedad, desvelando tambin cmo es que el ltimo paso entraaba una transformacin racional radical delas leyes de Kepler. COHEN, I. BERNARD, La revolucin newtoniana y la transformacin de las ideascientficas, Alianza Universidad, Madrid, 1983.


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En esta proposicin, que Newton slo incorpor al texto final de los Principia tras una

profunda depuracin de sus ideas previas claramente influidas por sus predecesores ybajo el estmulo de la invitacin de Hooke a la que nos hemos referido anteriormente, seprueba que un objeto puntual sometido a la accin de una serie de impulsos centrpetoscumple la segunda ley de Kepler. Su ubicacin preferente en el conjunto del libro muestrael rango que Newton le concede y explica el papel que desde entonces jugar igualando al

que ya disfrutaban las otras dos leyes en la presentacin de los sistemas astronmicos.

De las proposiciones que aparecen en los Principia hay algunas de especial relevanciapor la significacin que tienen en el proceso de obtencin de la ley de gravitacin universaly en ellas vamos a centrarnos. Una de ellas es la Proposicin XI, en la que Newton, encierto modo, se hace eco de la pregunta que Halley le hizo en 1684: Cul es la curva quedescribiran los planetas suponiendo que la fuerza de atraccin hacia el Sol variara con elinverso del cuadrado de la distancia que los separa?. El texto de la proposicin-problema

reza as: Si un cuerpo gira en una elipse: encuntrese la ley de la fuerza centrpeta quetiende hacia el foco de la elipse.

Las proposiciones que hemos analizado van suministrando pistas sobre la naturaleza dela fuerza: la primera de ellas muestra que la ley de las reas exige una fuerza central y lasegunda que la forma de las rbitas obliga a una dependencia con la distancia de la forma1/r2. De cualquier modo, en ambas se plantea el problema en trminos estrictamentematemticos sin que se haya hecho intervenir ninguna ley de atraccin entre cuerpos11. Aslo reconoce el mismo Newton quien abre el libro III en estos trminos:

En los libros precedentes he puesto los fundamentos de los principios de la filosofa;principios no filosficos sino matemticos, a partir de los cuales tal vez se puedadisputar sobre asuntos filosficos. Tales son las leyes y condiciones de los movimientosy las fuerzas, que en gran medida ataen a la filosofa. [] Nos falta mostrar, a partirde estos mismos principios, la constitucin del sistema del mundo.

Los protagonistas de este libro pasan a ser los objetos reales, extensos, que constituyen

el Sistema Solar y la trama del relato tiene como argumento la conversin de la fuerza deatraccin en fuerza de atraccin gravitatoria. Se alcanza as un final feliz y cielo y Tierraacaban unificados al ser descritos por una nica fsica.

La existencia de una ley general de atraccin entre los cuerpos requerir varios pasosque tienen como soporte, por un lado, al afianzamiento de la conviccin de la naturalezasimilar de todos los objetos del Universo conviccin sta que procuraba la influyentevisin atomista y, por otro, al hecho de que la atraccin entre cuerpos resultara no

depender de la naturaleza, de las cualidades distintas, de la materia sino de su cantidad, dela masa; avalaba esta idea el extrao comportamiento de los cuerpos en cada libre as comola igualdad de los periodos de oscilacin de diferente material pero idntica masa. A ello

11 Haciendo uso de la terminologa moderna la expresin de la fuerza desde el centro inmvil resultaser de la forma F (1/r2 ) ur.


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hay que aadir las implicaciones que se infieren del cumplimiento de la ley de accin yreaccin que exige un tratamiento similar para los dos (o ms) cuerpos interactuantes.

De importancia fundamental para transformar el tratamiento matemtico de centros defuerza o de puntos materiales en un problema fsico de cuerpos extensos resultar laProposicin LXXI:

Suponiendo las mismas cosas [que hacia cada punto de una superficie esfrica tiendenfuerzas centrpetas que decrecen como el cuadrado de las distancias desde esos puntos],afirmo que un corpsculo situado fuera de la superficie esfrica es atrado hacia el centro dela esfera con una fuerza inversamente proporcional al cuadrado de su distancia al centro.

De acuerdo con este resultado es posible extender a los cuerpos extensos de formaesfrica los teoremas y proposiciones obtenidos para puntos materiales. En el proceso deelaboracin de los Principia, y muy en particular en la del Libro III, Newton hace un uso

intensivo de las observaciones astronmicas que, entre otros, le suministra el astrnomoreal Flamsteed12. En estos trminos se dirige a l en una ocasin: Su informacin acercade los satlites de Jpiter me produce una gran satisfaccin, y ms adelante aade: Intentodeterminar las trayectorias descritas por los cometas de 1664 y 1680 de acuerdo con losprincipios de movimiento observados por los planetas. Esta informacin que solicita,atestigua que en el proceso de anlisis se va perfilando no slo la conviccin de que existeuna ley de atraccin que vara con el inverso del cuadrado de la distancia al objeto centralsino que, adems, esa ley de atraccin es universal y est relacionada con la fuerza que havenido denominndose gravedad. La lectura de las proposiciones III y IV del libro queestamos comentando es especialmente significativa en este proceso de trnsito. As reza laProposicin III:

La fuerza con la que la Luna es retenida en su rbita se dirige hacia la Tierra y esinversamente como el cuadrado de la distancia de los lugares al centro de la Tierra.

Y as la Proposicin IV:

La Luna gravita hacia la Tierra y es continuamente desviada del movimiento rectilneoy retenida en su rbita por la fuerza de la gravedad.

Entre una y otra Newton da el gran paso atrevindose a identificar lo que es una simplefuerza de atraccin central, cuya dependencia con la distancia es ya conocida, con otra, lagravedad, que tiene nombre y apellidos. Conecta, as, las dos preguntas que haban sidoobjeto, hasta entonces, de especulaciones y respuestas mltiples.

Para establecer esta identificacin Newton hace uso de lo que se ha dado en llamar laprueba de la Luna; prueba que consiste en calcular cul sera la cada de este satlite hacia

12 Estos datos los incorpora, en los inicios del Libro III, bajo el apartado general de Fenmenosy apartir de ellos identifica las fuerzas ejercidas entre ellos a las fuerzas atractivas que ha estudiado en los librosprecedentes ms en concreto en el Libro I, de las que conoce su centralidad y su dependencia con el inversodel cuadrado de la distancia.


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la Tierra, respecto a su trayectoria rectilnea por la tangente, si se admitiese que lagravedad, como as sucede, vara en razn inversa con el cuadrado de la distancia13.

La aplicacin de sus Reglas para filosofarRegla Primera: No debemos, para lascosas naturales, admitir ms causas que las verdaderas y suficientes para explicar susfenmenosy Regla Segunda: Por consiguiente, debemos asignar tanto como sea posiblea los mismos efectos las mismas causas le permite extrapolar este resultado al resto de

los subsistemas planeta-satlite, as como al sistema solar en su conjunto. La gravitacindeviene, pues, universal. En las proposiciones siguientes Newton acaba de perfilar la formafinal de esta fuerza de interaccin mutua entre cuerpos.

Proposicin VI:

Que todos los cuerpos gravitan hacia todos los planetas, y que los pesos de los cuerposhacia cualquier planeta, a distancias iguales del centro del planeta, son proporcionales a las

cantidades de materia que respectivamente contienen.Proposicin VII:

Que el poder de la gravedad pertenece a todo cuerpo en proporcin a la cantidad demateria que cada uno contiene.

Expresado de forma concisa:

rMM ur

MMGF

r

r

2''

=

Las masas que aparecen en la expresin anterior recibirn el nombre de masagravitacional y estn relacionadas con su capacidad para generar fuerza; son, pues,conceptualmente distintas a la masa que aparece en la llamada ley fundamental de laDinmica que, conocida como masa inercial, esta relacionada con la resistencia a los

cambios de movimiento bajo la accin de las fuerzas. Ambas, no obstante, resultan tener elmismo valor como pone de manifiesto, por ejemplo, el hecho de que todos los cuerposgraves caigan con idntica aceleracin. La potencia intelectual de Newton resultarainsuficiente para resolver el enigma que esta igualdad supone. La teora general de laRelatividad se enfrentara, siglos despus, a este desafo. Pero esa es otra historia.

13 Rescata as un clculo que ya haba realizado en 1666 y que se sald entonces con un resultadoerrneo Las causas de ese error son atribuibles tanto a la utilizacin de valores incorrectos para el radio de la

Hernández - Los principia de Newton

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