Herramientas digitales de auto-aprendizaje para...
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Matematico
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HEDIMA
Derivada enun punto
Interpretaciongeometrica
Funcionderivada
Derivadaselementales
Algebra dederivadas
TeoremasFundamenta-les del CalculoDiferencial
Teorema deRolle
Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
Regla deL’Hopital
Herramientas digitales de
auto-aprendizaje para Matematicas
HEDIMA, Grupo de Innovacion Didactica
Departamento de Matematicas
Universidad de Extremadura
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Bloque: Analisis Matematico
Tema: Derivadas
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Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
Regla deL’Hopital
Indice
Derivada en un punto
Interpretacion geometrica
Funcion derivada
Algebra de derivadas
Regla de la cadena
Tabla de derivadas
Teoremas Fundamentales del Calculo Diferencial
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Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
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Derivada en un punto
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Derivada enun punto
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Teorema deRolle
Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
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Derivada en un punto
Dada una funcion f : D ⊆ R→ R, se dice que es derivable en a ∈ R, siexiste y es finito el siguiente lımite
lımh→0
f(a+ h)− f(a)
h
(equivalente a lım
x→a
f(x)− f(a)
x− a
)El valor de este lımite se denomina derivada de f(x) en a y se denota por
f ′(a) odf
dx(a)
De modo que:
Definicion
f ′(a) = lımh→0
f(a+ h)− f(a)
h
o bien
f ′(a) = lımx→a
f(x)− f(a)
x− a
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Teorema delvalor mediode Lagrange
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Derivada en un punto
Ejemplo
Calculemos la derivada de f(x) = x2 en el punto a = 1:
f ′(1) = lımh→0
f(1 + h)− f(1)
h=
= lımh→0
(1 + h)2 − 1
h=
= lımh→0
1 + h2 + 2h− 1
h=
= lımh→0
h(h+ 2)
h=
= lımh→0
h+ 2 = 2
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Interpretacion geometrica
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Interpretacion geometrica
La derivada de una funcion f(x) en un punto a es un valor numerico queindica la pendiente de la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto deabcisa x = a.Por tanto, la ecuacion de esta recta tangente se escribe
Recta tangente a la grafica de f(x) en x = a
y − f(a) = f ′(a)(x− a)
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Interpretacion geometrica
Ejemplo
La recta tangente a la funcion f(x) = x2 en el punto a = 1 tiene la siguienteecuacion:
y − f(1) = f ′(1)(x− 1)
es decir,y − 1 = 2(x− 1)
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Funcion derivada
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Funcion derivada
La funcion derivada f ′(x) de una funcion dada f(x) es la que asigna a cadavalor de x el valor de la derivada en ese punto
Funcion derivada
f ′(x) = lımh→0
f(x+ h)− f(x)
h
Si la funcion f ′(x) es derivable, podemos calcular su derivada, quellamaremos derivada segunda y denotaremos f ′′(x) o f2)(x). De formasimilar se definen la derivadas sucesivas tercera, cuarta, etc.
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Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
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Funcion derivada
Ejemplos de derivadas de funciones elementales
f(x) = K ∈ R f ′(x) = 0f(x) = Kx (K ∈ R) f ′(x) = Kf(x) = xn (n 6= −1) f ′(x) = nxn−1
Ejemplo
Veamos cuales son las derivadas de las siguientes funciones en a = 3
f(x) = 45 f ′(x) = 0 f ′(3) = 0f(x) = 34x f ′(x) = 34 f ′(3) = 34f(x) = x5 f ′(x) = 5x4 f ′(3) = 5 · 34
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Funciones derivadas elementales
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Funciones derivadas elementales
Funcion seno
y = sen(x) y′ = cos(x)
Funcion coseno
y = cos(x) y′ = −sen(x)
Funcion tangente
y = tg(x) y′ =1
cos2(x)
Funcion logaritmo
y = L(x) y′ =1
x
Funcion exponencial
y = ax y′ = ax · L(a)
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Algebra de derivadas
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Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
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Algebra de derivadas
Suma de funciones
(f(x) + g(x))′ = f ′(x) + g′(x)
Producto de una funcion por un numero λ
(λf(x))′ = λf ′(x)
Producto de funciones
(f(x) · g(x))′ = f ′(x) · g(x) + f(x) · g′(x)
Cociente de funciones(f(x)
g(x)
)′=f ′(x) · g(x)− g′(x) · f(x)
(g(x))2
Composicion de funciones (regla de la cadena)
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)
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Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
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Funciones derivadas elementales
Ejemplos
(x2 + sen(x))′ = 2x+ cos(x)
(3 · sen(x))′ = 3 · cos(x)
(x2 · sen(x))′ = 2xsen(x) + x2 cos(x)(x2
sen(x)
)′=
2xsen(x)− x2 cos(x)
(sen(x))2
(sen(x2))′ = cos(x2) · 2x
(cos(x3))′ = −sen(x3) · 3x2
(tg(x2))′ =1
cos2(x2)· 2x
(L(x4))′ =1
x4· 4x3
(3x2
)′ = 3x2
· L(3) · 2x
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Teoremas Fundamentales
del Calculo Diferencial
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Teorema deRolle
Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
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Teoremas Fundamentales del Calculo Diferencial
Teorema
Si una funcion f(x) es derivable en un punto a entonces es continua en esepunto.La implicacion contraria no es cierta, es decir, una funcion puede sercontinua en un punto y no ser derivable en ese punto
Ejemplo
f(x) = |x| es continua en a=0 pero no es derivable.
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Teorema de Rolle
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Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
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Teoremas Fundamentales del Calculo Diferencial
Teorema de Rolle
Si una funcion f : D ⊆ R −→ R es
continua en [a, b] ⊆ D,derivable en (a, b),
f(a) = f(b)
entonces existe c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0
Ejemplo
Como f(x) = 2x2 − 8x + 11es continua y derivable en [1, 3]y f(1) = f(3), entonces existec = 2 ∈ [1, 3] tal que f ′(2) = 0
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Teorema de Lagrange
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Teorema deRolle
Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
Regla deL’Hopital
Teoremas Fundamentales del Calculo Diferencial
Teorema del valor medio de Lagrange
Si una funcion f : D ⊆ R −→ R es
continua en [a, b] ⊆ D,derivable en (a, b),
}entonces existe c ∈ (a, b) tal que
f ′(c) = f(b)−f(a)b−a
Ejemplo
Como f(x) = 2x2− 8x+ 11 escontinua y derivable en [1, 4],existe c = 2′5 ∈ [1, 4] tal quef(4)−f(1)
4−1= 2 = f ′(2′5)
Es decir, existe un punto c = 2′5 en donde la pendiente de la recta tangentees igual que la pendiente de la recta que pasa por (1, f(1)) y (4, f(4)).
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Teorema deRolle
Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
Regla deL’Hopital
Teoremas Fundamentales del Calculo Diferencial
Teorema del valor medio generalizado de Cauchy
Dadas dos funciones f : D ⊆ R −→ R y g : D ⊆ R −→ R, si
f y g son continuas en [a, b] ⊆ D,f y g son derivables en (a, b),
entonces existe c ∈ (a, b) tal que
f ′(c)(g(b)− g(a) = g′(c)(f(b)− f(a))
Si en lo anterior g′(c) no es cero, entonces se puede expresar como
f(b)− f(a)
g(b)− g(a)=f ′(c)
g′(c)
es decir, el cociente de las diferencias en los extremos es igual al cociente delas derivadas en el algun punto intermedio.
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Teorema deRolle
Teorema delvalor mediode Lagrange
Teorema delvalor mediogeneralizadode Cauchy
Regla deL’Hopital
Regla de L’Hopital
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Un entorno reducido de a es un intervalo centrado en a al que se haeliminado el punto a, por ejemplo, (a− r, a) ∪ (a, a+ r), con r > 0.
Regla de L’Hopital
Dadas dos funciones f : D ⊆ R −→ R y g : D ⊆ R −→ R, si
f y g son derivables en un entorno reducido del punto a ∈ D,
O bien f(a) = g(a) = 0, o bien f(a) = g(a) = ±∞
g′(x) no se anula en el entorno reducido,
∃ lımx→a
f ′(x)
g′(x),
entonces existe lımx→a
f(x)
g(x)y
lımx→a
f(x)
g(x)= lım
x→a
f ′(x)
g′(x)
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La Regla de L’Hopital es una herramienta para calcular lımites quepresentan indeterminaciones del tipo 0/0 o ±∞∞ .
Ejemplo
Para calcular el siguiente lımite
lımx→0
sen(x)
x
podemos utilizar la Regla de L´Hopital:
lımx→0
sen(x)
x= lım
x→0
sen′(x)
x′= lım
x→0
cos(x)
1= 1
La regla tambien es valida para calcular lımites laterales. En este caso,sera necesario que las dos funciones f(x) y g(x) esten definidas a la derechao a izquierda del punto a, segun el lımite lateral que queramos calcular. Porejemplo:
Ejemplo
lımx→0+
L(x)
x= lım
x→0+
L′(x)
x′= lım
x→0+
1/x
1=∞