hidraulica

HIDROSTATICA

Es el estudio de presiones en un fluido en reposo y las fuerzas de presión actuando sobre áreas finitas. Como el fluido está en reposo, no hay esfuerzos actuando sobre él; no hay movimiento, no hay aceleración y las fuerzas actúan perpendicularmente sobre cualquier superficie exterior; independientemente de la viscosidad

2.1 PRESIÓN Supongamos dos cuerpos que están en contacto con el suelo figura 2.1. En a) el cuerpo está ejerciendo una fuerza sobre el suelo, que es debida a su propio peso, y el suelo a su vez está ejerciendo una fuerza de reacción. La fuerza se transmite a través de una superficie que es la de contacto entre el cuerpo y el suelo. Si colocamos un cuerpo b) de igual peso que a) pero con la característica de que la superficie de contacto sea mayor, la fuerza total ejercida será la misma, pero la fuerza ejercida sobre un centímetro cuadrado (presión) en el segundo caso será menor.

Figura 2.1 Si tenemos dos cuerpos con diferente peso figura 2.2, con igual superficie de contracto, el que tiene mayor peso, estará ejerciendo mayor presión.

Figura 2.2 Se ve que el valor de la presión depende de dos conceptos: está en razón directa con la fuerza ejercida y en razón inversa a la superficie de contacto. Por lo tanto:

Presión A

F

Area

Fuerzap

ApF

A

Fp

Las presiones siempre se consideran perpendiculares a las áreas o superficies sobre las cuales actúan.

.; EstáticaFuerzaApFDinámicaFuerzagMF Las unidades de la presión serían:

Sistema MKS 212

TMLm

N

Area

Fuerzap

Sistema Técnico 2

)(

m

FKgr

Sistema CGS 2pie

Lbs

Sistema Inglés 2 cm

dina

2.2 LEY DE PASCAL: La presión en un punto dentro de un fluido en reposo es la misma en todas direcciones. Esto significa que es independiente de la orientación del área alrededor del punto. Consideramos un pequeño prisma triangular de ancho unitario rodeando el punto en un fluido en reposo.

Figura 2.3 Como el cuerpo está en equilibrio estático, podemos considerar que la suma de las fuerzas tanto en el eje X como en el eje Y, son iguales a cero. Fx = 0 Fy = 0 p1 (AB 1) - p3 Cos (BC 1) = 0 yp2 (AC 1) - p3 Sen (BC 1) - W = 0

ComoCos

AB

BC

entonces p1 = p3 y como Sen

AC

BC

y W = 0 al reducirse el prisma a un punto.

Entonces: p2 = p3 p1 = p2 = p3

2.3 VARIACIÓN DE LA PRESIÓN CON LA PROFUNDIDAD DENTRO DE UN FLUIDO INCOMPRESIBLE EN REPOSO. Consideremos un volumen cilíndrico elemental de fluido (de longitud L y área transversal dA), dentro de la masa de un fluido en reposo, Figura 2.4; siendo “p” la presión a una elevación Y, y dp la variación de presión correspondiente a una variación de elevación dy.

Figura 2.4

VolMasaVol

Masa

Si el volumen elemental considerado está en equilibrio, entonces la suma de las fuerzas en su eje son iguales a cero. Para el equilibrio del volumen elemental tenemos:

0)( dAdppSendAgLpdA

Como L

dySen

, reemplazando tenemos:

pdA gLdAdy

LpdA dpdA 0

dp gdy Como es constante para fluidos incompresibles, entonces podemos escribir:

naceleraciomasaFuerzaW gVolW

VolW VolgW

Figura 2.5

la presión a una profundidad “h” será: p p gha

ghp por encima de la presión atmosférica Otra forma más directa y fácil de demostrar la variación de la presión con la profundidad dentro de un fluido incomprensible en reposo sería: Si se considera un volumen cilíndrico elemental de fluido, de longitud L y área transversal dA, dentro de la masa de un fluido en reposo Figura 2.6; siendo p la presión a una elevación Y y dp la variación de presión correspondiente a una variación de elevación dy, tenemos:

Figura 2.6

(1)

dygdp

)( YYgpp oa

ghpp a

cgyp dygdp

La presión en un punto, depende sólo de la profundidad “h” del líquido sobre él; por lo tanto, puntos a una misma profundidad dentro de un mismo líquido, soportan la misma presión.

De la ecuación de presión anterior, podemos concluir: a) Si término que se conoce como la cabeza de presión

en metros de fluido de densidad .

b) La ecuación (1) puede ser escrita como:

p

gY Cte

aatmosféricpresiónladeencimaporghp

ghpp

ghpp

dygdp

gdydp

dpdAgdAdy

dpdApdAL

dygLdApdA

dAdppgLdAsenpdAL

dySen

gLdAWgVW

VgWgVWV

W

VMV

M

a

a

h

o

p

pa

0

0)(

gMFW

h A B pA = pB

g

ph

ghp

m

segm

mKgr

mN

h

23

22m

N

A

Fp

Que muestra que cualquier incremento en la altura es compensado por la disminución correspondiente en la cabeza de presión.

( )p

gY

Es conocida como la cabeza piezométrica y tal variación se conoce como la distribución de presión hidrostática.

2.4 MEDIDA DE LA PRESIÓN

Imaginemos una cubeta que contiene mercurio (Hg = 13600

Kgr

m3) y un tubo de

unos 85 a 90 cms, cerrado en una extremidad.

Figura 2.7 Se llena completamente de mercurio y tapando la extremidad abierta se invierte introduciéndolo en la cubeta, se observa que el nivel del mercurio baja en el interior del tubo, puesto que tiende a vaciarse, pero se observa que dicho nivel baja hasta cierta altura, dejando un vacío en la parte superior que recibe el nombre de “cámara barométrica” y en la cual se considera que prácticamente existe un vacío, figura 2.7. Si se toma un punto A fuera del tubo y otro B dentro de él; como son puntos situados a la misma altura dentro de un líquido homogéneo en reposo, las presiones en ambos puntos deben ser iguales. En el interior, la presión se debe a la columna de mercurio colocada encima de B, y en A la presión es debida a la presión atmosférica que obra sobre la superficie libre del mercurio. Para medir la primera se tiene en cuenta la altura h de la columna y el peso específico del mercurio. La altura de la columna barométrica es variable con la altitud del lugar en que se efectúa el experimento y es claro porque mide justamente el peso del espesor H de la atmósfera (La presión a nivel de la tierra depende de la columna de aire sobre ella). A nivel del mar la altura de la columna de mercurio es de 760 mm, cuando no hay perturbaciones atmosféricas y según la figura 2.7 el valor de esta presión atmosférica es: p pA B = presión atmosférica = presión de 760 mm de columna de Hg a nivel del mar.

La presión atmosférica a nivel del mar, en los diferentes sistemas de unidades es: Sistema MKS:

2223

)( 4,10116,10139676,081,913600m

KN

m

Nm

seg

m

m

Kgrghp m

atm

Sistema TÉCNICO:

2

)(

2

)(

3

)( 0336,11033676,013600cm

Kgr

m

Kgrm

m

Kgrhp fff

Hgatm

Sistema INGLÉS: 1 Kgr(f) = 2,2 Lbs1 m = 3,28 pies1 pulg = 2,54 cms1 pie = 12 pulgadas

22

2

2

)( 3,211376,10

2,210336

pie

Lbs

pie

m

Kgr

Lbs

m

Kgrp f

atm

Sistema CGS:

Sí 1 milibar 103

2

dinas

cm

2

1´013.961Xcm

dinas

X = 1013,96 milibares 1014 milibares 1 atmósfera = 1014 milibares.

pN

m

dinas

cm

cm

matm 101396 1 01396110

2 2

4 2

2. .

1N = 105 dinas 2.4.1 PRESIÓN ATMOSFÉRICA, EN COLUMNA DE AGUA EQUIVALENTE Esta es una forma de expresar la presión atmosférica, asimilándola a una columna de agua que produzca una presión equivalente a la presión atmosférica.

26101

cm

dinasBar 2

3101cm

dinasmilibar

223

)( 6,961.0131769816,13cm

dinascm

seg

cm

cm

grsghp m

atm

Presión columna de mercurio HgHgHg hp

Presión columna de agua equivalente www hp si igualamos presiones pHg = pw

wwHgHg hh

336,1076,06,13

mtrshh

h HgHgw

HgHgw

mtrs de agua = Presión atmosférica a nivel del mar.

1´013.961,6

dinas

cm2 10,336 mtrs de agua

106

dinas

cm2 X

X = 10,194 mtrs 1 Bar 10,194 mtrs de columna de agua

2.5 PRESIONES ABSOLUTAS Y RELATIVAS La presión absoluta, es la presión referida al cero absoluto o vacío total, es decir, su medida se hace con relación al cero absoluto. La presión relativa, es la presión referida a la presión atmosférica del lugar; es decir, la presión atmosférica del lugar sería el punto de referencia cero en este caso.

Figura 2.8 Presiones absolutas y relativas expresadas en Kgr / Cm2

Con el fin de no manejar cifras muy altas en los aparatos de medición de presiones, estos vienen con escalas expresadas en Kgr / Cm2

224

2

21

10000.10

cm

kgr

cm

m

m

Kgr

(1) Presión atmosférica normal = 1,033Kgr / Cm2, a nivel del mar.(2) Presión atmosférica reinante = 1,015Kgr / Cm2, presión atmosférica de un determinado lugar.En la figura 2.8, sea A un punto a una presión absoluta de 3,75 Kgr / Cm2. La presión manométrica dependerá de la presión atmosférica del lugar. Si tal presión fuera la atmosférica normal a nivel del mar (1,033 Kgr / Cm2), la presión manométrica en A sería: 3,750 – 1,033 = 2,717 Kgr / Cm2

Si la lectura barométrica del lugar fuera de 1,015Kgr / Cm2, la presión manométrica sería: 3,750 – 1,015 = 2,735Kgr / Cm2

Sea B un punto a una presión absoluta de 0,52 Kgr / Cm2. Este valor está representado gráficamente por un punto ubicado por debajo de la línea que representa la presión atmosférica del lugar, y la presión manométrica en B sería: 0,52 – 1,015 = -0,495Kgr / Cm2

Si la determinación de la presión en B se hubiese hecho a nivel del mar, la presión manométrica en B hubiera sido: 0,52 – 1,033 = - 0,513 Kgr / Cm2 Man.

Sea C un punto a una presión absoluta igual a cero. A nivel del mar, esta condición es equivalente a una presión manométrica "Normal" negativa de –1,033 Kgr / Cm2 y a una presión manométrica, referida a la presión atmosférica del lugar de -1,015Kgr / Cm2.

Pabs = Patm + Prelativa

Prelativa = Pabs - Atmósfera

Las conclusiones que se pueden sacar son importantes: La presión absoluta, es la presión medida teniendo como referencia un vacío

perfecto, el cero absoluto; por lo tanto nunca podrá ser negativa. Las presiones manométricas son referidas a la presión atmosférica del lugar;

siendo positivas las presiones que están por encima de dicha presión y negativas las que son menores. Una presión menor que la presión atmosférica del lugar, es una presión manométrica negativa y se llama “vacío parcial”.

Las presiones manométricas negativas no pueden exceder de un límite teórico de la presión atmosférica del lugar, pues se estaría por debajo del cero absoluto, lo cual no es posible.

2.6 EQUIPOS DE MEDIDA DE PRESIONES Dentro de los sistemas convencionales de medida de presiones tenemos: 2.6.1 EL PIEZÓMETRO Consiste en un tubo vertical simple que se fija al sistema, al cual se le va a determinar la presión, figura 2.9. El líquido sube hasta un nivel tal que el peso de la columna del líquido equilibra la presión interior del sistema al cual se le está determinando la presión.

hghp

Figura 2.9 2.6.2 EL MANÓMETRO (O MANÓMETRO EN U) Es un tubo curvo en forma de U, conocido como un tubo-U y el cual es mucho más conveniente que un simple piezómetro. Líquidos manométricos inmiscibles y pesados, (generalmente el mercurio, Hg) son usados para medir grandes presiones. Pequeñas presiones son medidas usando líquidos más livianos, figura 2.10.

h

HgHgwwA hhp

BA pp

Figura 2.10 2.6.3 TUBO INCLINADO El tubo inclinado, figura 2.11; es usado para medir presiones muy pequeñas. La exactitud de la medida es mejorada con una inclinación adecuada

Figura 2.11 2.6.4 EL MANÓMETRO DIFERENCIAL Es esencialmente un manómetro en U, figura 2.12, que contiene un solo líquido manométrico y se usa para medir grandes diferencias de presiones entre dos sistemas. Si la diferencia es muy pequeña el manómetro puede ser modificado con terminales más anchas en los extremos y con el uso de dos líquidos manométricos diferentes en el sistema; se denomina micromanómetro diferencial, figura 2.13.

Figura 2.12

hhhphP

PP

Hg

KH

)( 112111

P h

hhhphp Hg )( 122111

DC pp

Figura 2.13 Si la densidad del agua es w, una columna de agua de altura hw, produce una

presión p ghw w , que puede ser expresada en términos de cualquier otra columna líquida hL, como L g hL; siendo L su densidad.

donde hw como columna de agua es igual a

L

wL L Lh h

y L es la densidad relativa del líquido. Para cada una de las formas de medida de presiones anteriores, tal como se hizo, se puede escribir una ecuación usando el principio de la distribución de presiones hidrostáticas; expresando las presiones en metros de columna de agua por conveniencia. (Ver ecuación anterior).

2.7 FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES PLANAS La presión dentro de un líquido en reposo se ejerce siempre en forma normal (perpendicular) a la superficie; de tal modo que si se tuviera un vaso de forma caprichosa, que contenga un líquido y se hacen orificios en varios puntos del vaso, el líquido saldría en chorro cuyas direcciones serían perpendiculares a las paredes (durante un corto trayecto por supuesto) en los puntos de salida, figura 2.14.

Figura 2.14 2.7.1 EMPUJE La presión o presiones unitarias ejercidas sobre un área plana, pueden ser reemplazadas por una fuerza única equivalente, normal a la superficie; la cual pasaría por el centro de presiones del área y se llama empuje, y tendría un efecto equivalente al conjunto de presiones unitarias que actúan sobre el área. Para caracterizar completamente un empuje debemos conocer: La intensidad del empuje (Magnitud) La ubicación del empuje

LLLw

LL

w

Lw hhh

g

gh

LLww ghgh

2.7.2 PRIMER CASO: SUPERFICIE PLANA PARALELA A LA SUPERFICIE DEL AGUA. Si se supone una superficie rectangular paralela a la superficie libre, sumergida dentro de un líquido en reposo a una profundidad h, figura 2.15, tenemos: La presión en todos los puntos de esa superficie es la misma, es decir, es uniforme. Para calcular el valor de la presión es necesario conocer la profundidad h y la densidad o peso específico del líquido. Llamando D a un punto cualquiera de la superficie en cuestión, tenemos:

hghpD

Figura 2.15 La fuerza equivalente a la acción de la presión sobre la superficie A ( empuje del líquido sobre la superficie), que se llamará F es:

AhApF D En la anterior expresión debe tenerse cuidado de no confundir el empuje con la presión. Si la presión es uniforme sobre una superficie determinada, el efecto conjunto de las presiones unitarias que se ejercen en cada uno de los puntos del área se puede reemplazar por un "empuje o fuerza total" que pasa por el centro de gravedad de la superficie. La expresión se interpreta diciendo que: "Cuando la presión es uniforme sobre una superficie plana, el empuje tiene un valor igual a la intensidad de la presión en cualquier punto, multiplicado por el área de la superficie". El empuje queda representado por un vector normal a la superficie, el cual pasa por el centro de gravedad de ésta. 2.7.3 SEGUNDO CASO: SUPERFICIE PLANA INCLINADA CON RESPECTO A LA SUPERFICIE DEL AGUA. Si se considera ahora una superficie plana pero inclinada con respecto a la superficie libre del líquido, en éste caso, la presión no es uniforme en todos los puntos de la superficie, sino que varía, siendo menor en E y aumentando gradualmente hasta D. Figura 2.16

Figura 2.16 Aquí el empuje sigue siendo normal a la superficie (como debe ser), pero ya no pasa por el centro de gravedad de ésta, sino mas abajo, porque la resultante del sistema de fuerzas paralelas, formado por las distintas presiones, estará cerca de las fuerzas de mayor intensidad, figura 2.16. El punto por donde pasa el empuje que el líquido ejerce sobre la superficie se llama "Centro de Presiones". Para que quede determinado el empuje, es necesario calcular primero su intensidad y en seguida su localización en el centro de presiones.

2.8 INTENSIDAD DEL EMPUJE Si se considera una superficie plana, inclinada un ángulo con respecto a la superficie libre del agua, como se muestra en la figura 2.17

Figura 2.17 Si el área plana A, se asume que consiste de áreas elementales dA; las fuerzas elementales dF, siempre normales al área del plano, son paralelas. Por lo tanto, el sistema es equivalente a una fuerza resultante F, conocida como el empuje hidrostático, la cual es equivalente al área de la superficie ( dA) por el promedio de las presiones unitarias. El punto de aplicación de la Fuerza F, que produce el mismo efecto (momento) que la distribución de los pequeños empujes de las áreas elementales, se llama el Centro de Presión. Si se toma una franja elemental de la superficie paralela al eje 0-0, la presión sobre esta franja es uniforme y a su empuje se denomina dF; entonces:

dAghdApdF La fuerza F que reemplazaría la acción de todas las fuerzas elementales, sería el promedio de las presiones de las áreas elementales por el área de la superficie. El promedio de las presiones de las áreas elementales, es la presión en el centro de gravedad del área considerada

AghApF cgcg

dAghdFFAA

Como Sen q

h

X Þ h = X Sen q

XdAgFA

sen

Momento estático del área A con respecto al eje 0-0 F = rg Sen q A Xcg pero,

cgcg hSenX

ApAghF cgcg Donde hcg es la profundidad a la cual está el centro de Gravedad G (centroide). Esto quiere decir que: "La intensidad del empuje sobre una superficie plana, tiene por valor el producto que resulta de multiplicar la presión en el centro de gravedad de la superficie por el área de la superficie considerada"

2.9 UBICACIÓN DEL EMPUJE El efecto (momento) de todos los pequeños empujes dFi sobre el área A, se puede reemplazar por el momento de un solo empuje F, actuando en un punto (llamado centro de presiones), situado a una distancia Xcp del eje 0-0. Para determinar la ubicación del "Centro de Presión" tomemos momentos de éstas fuerzas alrededor de 0-0. FXcp = (dFi Xi)

F Xcp = dF X

A

pero

dF g dA XA A sen

F Xcp

g dA XA

sen 2

La distancia al Centro de presión C, será:

A

A

dAg

dAg

X

sen

sen 2

0

X

dA X

dA Xo

A

A

2

dA XA

Primer momento de el área alrededor del eje 0-0

dA XA

2

Segundo momento del área alrededor del eje 0-0

XI

AXoo

Io = Momento de inercia del área con respecto al eje 0-0. Como se conoce más el momento de inercia de una figura con respecto a su centro de gravedad; por el teorema de los ejes paralelos (o de Steiner), se expresa el momento de inercia respecto al eje 0-0, en función del momento de inercia respecto al centro de gravedad de la superficie (Ig); el cual establece que :

2

0 cgAXIgI

Donde Ig es el segundo momento del área de la superficie, alrededor de un eje que pasa por su centroide (Centro de gravedad) y es paralelo al eje 0-0.

cg

cgcp AX

AXIgX

2

cgcgcp AX

IgXX

La expresión anterior demuestra que el centro de presión está siempre por debajo del centro de gravedad del área. La profundidad del centro de presión por debajo de la superficie libre del líquido, está dada por:

Al multiplicar arriba y abajo por Sen

Para una superficie plana vertical = 90 y como Sen2 90 = 1

cgcgcp Ah

Ighh

Valores del momento de inercia de algunas figuras geométricas

3

121

bhIg

Figura 2.18

3

361

bhIg

Figura 2.19

SenXh cpcp

senAX

IgsenXh

cgcgcp

senAX

IgXh

cgcgcp )(

2SenAh

Ighh

cgcgcp

cgcgcp Ah

SenIghh

2

SenAX

SenIgsenXh

cgcgcp

2

h

b

64

4dIg

Figura 2.20

Figura 2.21 La distancia entre el centroide (Centro de Gravedad) y el Centro de Presión C será:

cgcg Ah

IgGChh 0

Esta expresión indica que "La distancia del centro de gravedad al centro de presiones, es igual al cociente del momento de inercia con respecto a un eje central que pasa por el centroide y el momento estático con respecto al eje 0-0. Si la superficie se hunde, lo que sucede con el centro de presión sería: el numerador de la expresión anterior no sufre alteración y el denominador se hace mayor; entonces el centro de presión se acerca al centro de gravedad. Si la superficie está muy profunda casi coincide el centro de presión y el centro de gravedad. El momento de F alrededor del centroide es:

cgcg Ah

IgAghGCF

= gIg el cual es independiente de la profundidad de sumergencia.

Cuando el área de la superficie es simétrica respecto a su eje centroidal vertical, el centro de presión siempre cae sobre este eje simétrico pero debajo del centroide del área. Si el área no es simétrica, una coordenada adicional Yo, debe ser determinada para localizar el centro de presión completamente.

d

Figura 2.22 Por momentos en la figura 2.22 tenemos:

pero dA = dx dy

2.10 DIAGRAMAS DE PRESIÓN Otra forma de determinar el empuje hidrostático y su localización es mediante el concepto de la distribución de la presión sobre la superficie, figura 2.23

Figura 2.23 Si consideramos una superficie rectangular vertical sujeta a la presión del agua por un lado, el empuje total (Intensidad) sobre dicha superficie sería:

AA

YdFdFY0

Acg

dAXYAX

Y1

0

A

cg YdAgxAgXY sensen0

cgcgcgcg

YYAXAX

Y 1

0

adsimetricidhaycuandoYY cg 0

que corresponde al volumen del prisma de

presión ejercido sobre el área Volumen del Prisma = Area Triángulo x Ancho

Ubicación

AhIg

hh cgo que es el centro de gravedad de la figura (centro de gravedad

del volumen del prisma) Intensidad del Empuje = Volumen del Prisma Presiones Ubicación = Centro de gravedad del Prisma de Presiones

Figura 2.24 PRISMA DE PRESIONES

2

gH

Presión promedia sobre la superficie Empuje Total F = Presión promedia en el centro de gravedad de la figura x Área de la superficie

BH

F 2

2

BHH

AhF cg 2

BHH

ismaVol

2

Pr.

2Pr.

2 BHismaVol

Intensidad del empuje = Volumen del prisma de presiones Empuje Total/Unidad de ancho

2

2

1gH

= Area del diagrama de presiones Y el centro de presión (ubicación del empuje) es el centroide (centro de gravedad) del prisma de presión. 2.11 NIVEL IMAGINARIO DEL AGUA – NIA Cuando sobre una superficie, pared, compuerta, etc, está actuando la presión debida a varios fluidos; para facilitar los cálculos se deben reducir las presiones de todos los fluidos que actúan sobre la superficie, a la presión equivalente de un solo fluido, preferiblemente agua. La presión de cada fluido, se reduce a la altura equivalente del fluido con que se va a trabajar y la cual ejercería una presión idéntica a la del fluido que se quiere reemplazar. Si por ejemplo, se reducen estas presiones a alturas equivalentes de columnas de agua que ejercerían idénticas presiones, a la de los fluidos que se quieren reemplazar, al sumar dichas alturas equivalentes, se obtiene el NIA (Nivel equivalente de columna de agua). De esta manera se trabaja con la presión equivalente que produce una columna de un solo fluido, y todos los cálculos se realizan como si sobre la superficie considerada estuviera actuando un solo fluido, cuyo nivel superior sería la suma de las alturas equivalentes calculadas. Ejemplo: Calcular el NIA (Nivel imaginario de la columna de agua), equivalente a las presiones ejercidas sobre el fondo de un tanque que contiene dos (2) tipos de aceites de densidades relativas de 0,8 y 1,6 respectivamente, ver figura 2.25.

Figura 2.25 Altura de agua equivalente a la presión ejercida por el aceite 1

BHgH

F 2

BgHF 2

2

1

aguadecolumnademmhhhhh acacacw

acwacacww 6,128,0111

111

Esto quiere decir que una columna de 1,6 m de agua, ejerce la misma presión que una columna de 2 m de un aceite de densidad relativa ac1 = 0,8. Altura de agua equivalente a la presión ejercida por el aceite 2

aguadecolumnademmhhhhh acacacw

acwacacww 8,436,1222

222

Esto quiere decir que una columna de 4,8 m de agua, ejerce la misma presión que una columna de 3 m de un aceite de densidad relativa ac2 = 1,6. El NIA (Nivel Imaginario de columna de Agua) sería la suma de las dos (2) columnas de agua equivalentes o sea 1,6 m + 4,8 m = 6,4 m. Esto quiere decir que una columna de 6,4 m de agua nos ejerce sobre el fondo del tanque una presión igual a la ejercida por la suma de las columnas de los aceites considerados en la figura 2.25, con sus respectivas densidades.

La presión total ejercida sobre el fondo del tanque sería:

222640048001600

m

Kgr

m

Kgr

m

Kgr

La presión ejercida por la columna de agua equivalente sería:

2364004,61000

m

Kgrm

m

Kgrhp www

De esta manera se puede aprovechar el NIA (Nivel equivalente de columna de agua u otro fluido) para calcular efectos (presiones) de varios fluidos sobre un área determinada. 2.12 FUERZAS HIDROSTÁTICAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS

23222 480031600 2 aceite delPresión m

Kgrm

m

Kgrhp acac

23111 16002800 1 aceite delPresión m

Kgrm

m

Kgrhp acac

Figura 2.26 Consideremos una compuerta de superficie curva sujeta a la presión del agua como se ilustra en la figura 2.26 La presión en cualquier punto h, debajo de la superficie libre del agua es gh y es normal a la superficie de la compuerta y la naturaleza de su distribución sobre toda la superficie, hace difícil la integración analítica. Sin embargo, el empuje total actuando normalmente sobre la superficie, puede ser descompuesto en dos componentes, y el problema de determinar el empuje se realiza indirectamente combinando estas dos componentes

Figura 2.27 COMPONENTES DEL EMPUJE SOBRE SUPERFICIES CURVAS Considerando un área elemental de la superficie dA, fig.2.27, formando un ángulo con la horizontal, la intensidad de la presión sobre esta área elemental es igual a gh

Empuje total sobre esta área ghdAdp

Figura 2.28

cosghdAdpx Componente horizontal de dP

senghdAdp y Componente vertical de dP La componente horizontal del empuje total sobre el área curva A

Vcg

A

X AghCosdAghP donde Av es el área plana proyectada

verticalmente de la superficie curva Px es la intensidad de la presión en el centroide del área plana proyectada verticalmente (BD) por el área proyectada verticalmente. y la componente vertical

Siendo dV, el volumen del prisma de agua (real o virtual) por encima del área dA.

dA

ACos V

dACosAV

A

Y SendAghP

A

Y dVgP

Py = gV

Py es igual al peso del agua (real o virtual) sobre la superficie curva BC limitada por la vertical BD y la superficie libre del agua CD

El empuje resultante sería 22

YX PPP Actuando normalmente sobre la superficie, formando un ángulo

X

Y

P

Ptang 1

EJERCICIOS RESUELTOS

PROBLEMA 1

Determinar la presión en sobre un punto sumergido a 6 m de profundidad en una masa de agua. En el sistema MKS tenemos:

PROBLEMA 2

Determinar la presión en

,ejercida sobre un

punto sumergido a 9 mtrs en un aceite de densidad relativa: En el Sistema Técnico tenemos:

PROBLEMA 3

A qué profundidad de un aceite de densidad relativa , se producirá

una presión de 2.80 . A cual sí el líquido es agua? En el Sistema Técnico tenemos:

Si fuera agua w = 1000

PROBLEMA 4 Convertir una altura de presión de 5 m de agua en altura de aceite de densidad

relativa ac 0 750,

Trabajando con unidades del Sistema Técnico tenemos:

PROBLEMA 5 Con referencia a la figura 1, las áreas del pistón A y del cilindro B son respectivamente de 40 cm² y 4000 cm²; B pesa 4000 Kgr. Los depósitos y las

conducciones están llenos de aceite de densidad relativa ac 0 750, . Cual es la fuerza F necesaria para mantener el equilibrio si se desprecia el peso de A?

Como los puntos a y b están al mismo nivel (igual profundidad)

dentro de un mismo líquido, entonces están a la misma

presión

Figura 1

como En el Sistema Técnico de unidades tenemos:

5 m = 5000 2m

Kgr3m

Kgr= 1000 wwhp

w

acac

33

750750,01000m

Kgr

m

Kgracwac

6,67 mts de aceite de3750

m

Kgrac

3

2

750

5000

mKgrmKgr

ph

acac

PROBLEMA 6Determinar la presión manométrica en la tubería de agua A en Kgr/cm2 debida a la columna de mercurio (densidad relativa Hg = 13,6) en el manómetro en U mostrado en la figura 2.

Figura 2p pB C por ser puntos que están a un mismo nivel dentro de un mismo líquido en reposo. p h hA w w Hg Hg

En el Sistema Técnico tenemos:

Otra forma de resolverlo es empleando las alturas de presión en metros de agua.

Como y

En este problema se sumaron alturas de un mismo líquido, como debe ser, en éste caso metros de agua. PROBLEMA 7 Un manómetro (Tubo en U) que contiene mercurio (densidad relativa Hg = 13.6), tiene su brazo derecho abierto a la presión atmosférica y su brazo izquierdo conectado a una tubería que transporta agua a presión. La diferencia de niveles de mercurio en los dos brazos es de 200 mm. Si el nivel del mercurio en el brazo izquierdo está a 400 mm por debajo de la línea central de la tubería, encontrar la presión absoluta en la tubería. También encontrar la nueva diferencia de niveles del mercurio en el manómetro, si la presión en la tubería cae en 2 x 103 N/m2.

Figura 3 Comenzando por el brazo izquierdo y haciéndolo por alturas de presión tenemos:a)

La presión absoluta correspondiente será:

b)

Figura 4

Si la presión baja en 2 103

N

m2, los niveles del mercurio se modificarán tal

como aparecen en la figura 4

Reemplazando los valores de

p

g

m

segm

mKgr

mN

116,281,910

1076,20

233

23

Por lo tanto 2,116 m = 2,32 m – 26,2 X

. La nueva diferencia de niveles será: 200 mm - 2X = 200 mm – 15,57 mm = 184,43 mm

2m

N

Absp 2m

N= 124,05 103

(22,76 103 + 101,396 103)

= 7,79 m.mmmmm

X 310786,72,26

204,0

2,26

116,232,2

Otra manera de resolver la segunda parte de este problema sería: De la figura 5 se observa que cuando el manómetro no está conectado al sistema, los niveles de mercurio en ambos brazos se igualarían a 300 mm debajo de la línea central de la tubería.

Figura 5 Escribiendo la ecuación manométrica para las nuevas condiciones tenemos

PROBLEMA 8Determinar la fuerza resultante F debida a la acción del agua sobre la superficie plana rectangular AB de medidas 1 m 2 m que se muestra en la figura 6

Figura 6

Ubicación

Por prisma de presiones:

Figura 7

Ubicación

20 Sen

Ah

Ighh

cgcg

mmmm

KgrF 122,21000

3

AhF cg En el Sistema Técnico

KgrF 400.4

mm

mSenmm

mmh 35,2

4,4128

2,2902,212

21121

2,2 022

43

0

20 SenAh

Ighh

cgcg

Figura 8 Volumen Rectángulo = 1,2m 2m 1m = 2400 Kgr con aplicación de este empuje en el centro de gravedad del Rectángulo.

Kgrmm

anguloVolumenTri 20002

12)2,11,3(

Empuje que estaría aplicado a 2/3 de la altura del triángulo, a partir del vértice del mismo. Tomando sumatoria ( de Momentos con respecto al punto O en el vértice del triángulo 4400 Kgr X(m) = 2400 Kgr 2,2 m + 2000 Kgr (2/3(2)+1,2) m

mKgr

KgrKgrX mm

m 35,2400.4

66,50665280 )()()(

PROBLEMA 9 Determinar la fuerza resultante debida a la acción del agua sobre el área triangular CD de 1,2 m 1,8 m mostrada en la figura 9, C es el vértice del triángulo.

Figura 9 F = hcg A

Como es un triángulo, su centro de gravedad estará a 2/3 de C o sea 2/3 1,8 m = 1,2 m de C X cg = 1,414 m + 1,2m = 2,614 m y el hcg será:

CF

mSen

1450

mSen

mCF 414,1

45

10

Kgrmm

mm

KgrAhF

mSenmh

m

hSen

cg

cg

cg

84,19952

8,12,1848,11000

848,145614,2

614,245

3

Ubicación del Empuje

mmm

mmm

AX

IgXX

cgcgcp

614,22

8,12,1

8,12,136

1

614,2

33

Xcp = 2,683 m de F

Figura 10 Ig = 1/36 bh3

02

33

02 45848,1

2

8,12,1

8,12,136

1

848,145 Senm

mm

mmmSen

hA

Ighh

cgcgcp

= 1,848 m + 0,0974 Sen² 45 = 1,897 m

EJERCICIOS PROPUESTOS PROBLEMA 1Determinar la presión en N/m2, sobre un punto sumergido a 6,00 mtrs. de profundidad en una masa de agua. PROBLEMA 2Determinar la presión en kgr/cm2, ejercida sobre un punto sumergido a 9,00 mtrs. en un aceite de densidad relativa de σ = 0,750.

PROBLEMA 3A qué profundidad de un aceite de densidad relativa σ = 0,750, se producirá una presión de 2,80 kg./ cm2. A cuál, si el líquido es agua? PROBLEMA 4Convertir una altura de presión de 5 mtrs. de agua, en altura de aceite de densidad relativa σ = 0,750. PROBLEMA 5Con referencia a la figura, las áreas del pistón “A” y del cilindro “B, son respectivamente de 40 cm2 y 4000 cm2; “B” pesa 4000 kg. Los depósitos y las conducciones están llenos de aceite de densidad relativa σ = 0,750. Cuál es la fuerza “F” necesaria para mantener el equilibrio, si se desprecia el peso de “A”?

Figura 1 PROBLEMA 6Determinar la presión manomérica en A en kg./ cm2, debida a la columna de mercurio (densidad relativa σ = 13,6) en el manómetro en U, mostrado en la figura.

Figura 2 PROBLEMA 7Un manómetro (tubo en U) que contiene mercurio (densidad relativa σ = 13,6), tiene su brazo derecho abierto a la presión atmosférica y su izquierdo, conectado a una tubería que transporta agua a presión. La diferencia de niveles de mercurio en los dos brazos, es de 200 mm. Si el nivel del mercurio en el brazo izquierdo está a 400 mm por debajo de la línea central de la tubería, encontrar la presión absoluta de la tubería. También encontrar la nueva diferencia de niveles del mercurio en el manómetro, si la presión en la tubería cae en 2000 N/m2.

Figura 3 PROBLEMA 8Aceite de densidad relativa 0,750 está fluyendo a través de la boquilla, mostrada en la figura y desequilibra la columna de mercurio del manómetro en U. Determinar el valor de “h” si la presión en “A” es de 1,40 kg/cm2. Resp. h = 1,14 mtrs. PROBLEMA 9Para una presión manométrica en “A” de –0,11 kg/cm2, encontrar la densidad relativa del líquido manométrico “B” de la figura. Resp. Dr = 1,00

Figura 4 PROBLEMA 10Para una lectura manométrica en “A” de – 0,18 kg/cm2, determinar:La elevación en las ramas abiertas de los piezómetros E, F y G.La lectura del manómetro en “U” de mercurio de la figura 5Resp. L=12,43mtrs. N= 12,30 mtrs. Q= 10,69 mtrs. h1 =0,61 mtrs.

Figura 5 PROBLEMA 11Un manómetro diferencial está unido a dos puntos “A” y ”B” de una tubería horizontal por la que circula agua. La lectura en el manómetro de mercurio es de 0,60 mtrs., siendo el nivel más cercano a “A”, el más bajo. Calcular la diferencia de presiones entre “A” y “B” en kg/cm2. Resp. pa - pb = 0,754 kg/cm2.

Figura 6 PROBLEMA 12Se quiere medir la pérdida de carga a través del dispositivo “X” mediante un manómetro diferencial, cuyo líquido manométrico tiene una densidad relativa de 0,750. El líquido que circula, tiene una densidad relativa de 1,50. Hallar la caída en altura de presión entre “A” y “B” a partir de la lectura manométrica en el aceite, mostrada en la figura 7. Resp. pa - pb = 2,25 mtrs. del líquido.

Figura 7 PROBLEMA 13Los recipientes “A” y “B” contienen agua a las presiones respectivas de 2,80 y 1,40 kg/cm2. Cuál es la lectura en el manómetro diferencial de mercurio, mostrado en la figura 8? Resp. h= 1,27 mtrs.

Figura 8 PROBLEMA 14El depósito de la figura contiene un aceite de densidad relativa 0,750. Determinar la lectura del manómetro “A” en kg/cm2 Resp. pa = - 8,71 ´ 10-2 kg/cm2.

Figura 9PROBLEMA 15

Un depósito cerrado contiene 60 cm de mercurio, 150 cm de agua y 240 cm de un aceite de densidad relativa 0,750, conteniendo aire el espacio sobre el aceite. Si la presión manométrica en el fondo del depósito es de 3,0 kg/cm2, cuál será la lectura manométrica en la parte superior del depósito.Resp. 1,860 kg/cm2. PROBLEMA 16Con referencia a la figura, el punto “A” está 53 cm por debajo de la superficie libre del líquido, de densidad relativa 1,25, en el recipiente. Cuál es la presión manométrica en “A”, si el mercurio asciende 34,30 cm en el tuboResp. –0,40 kg/cm2.

Figura 10 PROBLEMA 17Un depósito “A”, a una elevación de 2,50 mtrs, contiene agua a una presión de 1,05 kg/cm2. Otro depósito “B”, a una elevación de 3,70 mtrs, contiene un líquido a una presión de 0,70 kg/cm2. Si la lectura de un manómetro diferencial es de 30 cms de mercurio, estando la parte más baja en el lado de “A” y a una cota de 30 cms, determinar la densidad relativa del líquido contenido en “B”.Resp. 0,525 PROBLEMA 18El aire del recipiente de la izquierda de la figura, está a una presión de -23 cms. de mercurio. Determinar la cota del líquido manométrico en la parte derecha, en “A”.Resp. Cota = 26,30 mtrs.

Figura 11 PROBLEMA 19El cilindro y el tubo mostrados en la figura, contienen aceite de densidad relativa 0,902. Para una lectura manométrica de 2,20 kg/cm2. Cuál es el peso total del pistón y la placa “W”Resp. 60100 kg.

Figura 12 PROBLEMA 20Con referencia a la figura, qué presión manométrica de “A” hará que la glicerina suba hasta el nivel “B”? Los pesos específicos del aceite y glicerina son 832 y 1250 kg/cm3, respectivamenteResp. 0,35 kg/cm2.

Figura 13 PROBLEMA 21Para levantar una plataforma de 10 toneladas, se utiliza un gato hidráulico. Si en el pistón actúa una presión de 12 kg/cm2 y es transmitida por un aceite de densidad relativa 0,810, qué diámetro se requiere? Resp. 32,60 cm PROBLEMA 22Si el peso específico de la glicerina es de 1260 kg/cm3, qué presión de succión se requerirá para elevar la glicerina 22 cm. en un tubo de 12,50 mm de diámetro?

Resp. -277 kg/cm2 PROBLEMA 23Encontrar para la compuerta AB de la figura 14, de 2,50 mt de longitud, la fuerza de compresión sobre la viga CD ejercida por la presión del agua. B, C y D son puntos articulados. Resp. 7160 Kgs

Figura 14 PROBLEMA 24Una compuerta vertical rectangular AB de 3,6 mt de altura y 1,5 mt de ancho, puede girar alrededor de un eje situado 15 cm por debajo del centro de gravedad de la compuerta. La profundidad total del agua es de 6mt. Que fuerza horizontal F ha de aplicarse en el fondo de la compuerta para mantener el equilibrio?Resp. 1490 Kgr. PROBLEMA 25Determinar el valor de z en la figura, de forma que la fuerza total sobre la barra BD no sobrepase los 8000 kgs al suponer que el ancho de la compuerta en dirección perpendicular al dibujo es de 1,20 mt y que la barra BD esta articulada en ambos extremos. Resp. 1,84 mt

Figura 15 PROBLEMA 26Un aceite de densidad relativa 0,800 actúa sobre un área triangular vertical cuyo vértice está en la superficie libre del aceite. El triángulo tiene una altura de 2,70 mt y una base de 3,60 mt. Una superficie rectangular vertical de 2,40 mt de altura está unida a la base de 3,60 mt del triángulo y sobre ella actúa agua. Encontrar la intensidad y posición de la fuerza resultante sobre la superficie total. Resp. 36029 Kgs a 3,57 mt de profundidad

PROBLEMA 27En la figura, la compuerta AB tiene un eje de fijo en B y su anchura es de 1,20 mt. Qué fuerza vertical, aplicada en su centro de gravedad, será necesaria para mantener la compuerta en equilibrio, si pesa 2000 kgr? Resp. 5200 kgrs

Figura 16 PROBLEMA 28Un depósito tiene 6,00 mt de longitud y la sección recta mostrada en la figura. El agua llega al nivel AE . Determinara) La fuerza total que actúa sobre el lado BC yb) La intensidad y la posición de la fuerza total sobre el extremo ABCDE.

Figura 17 PROBLEMA 29El depósito de la figura contiene aceite y agua. Encontrar la fuerza resultante sobre la pared ABC que tiene 1,20 mt de ancho.Resp. Fuerza total 11448 kgs, actuando a 3,23 mt de A.

Figura 18 PROBLEMA 30

La compuerta AB de la figura, tiene 1,20 mt de ancho y esta articulada en A. La lectura manométrica en G es de 0,15 Kgr cm2 y el aceite que ocupa el depósito de la derecha tiene una densidad relativa de 0,750. Que fuerza horizontal debe aplicarse en B para que la compuerta AB se mantenga en equilibrio? Resp. 2590 Kgs hacia la izquierda

Figura 19 PROBLEMA 31Con referencia a la figura, cual es la anchura mínima b de la base de la presa de gravedad de una altura de 30 mt al suponer que la presión hidrostática ascensional en la base de la presa varía uniformemente desde la altura de presión total en el bordo de aguas arriba hasta el valor cero en el borde de aguas abajoPara este estudio se supone que las fuerzas resultantes de la reacción cortan a la base a un tercio de la base del borde de aguas abajo (en =) y que el peso específico del material de la presa es 2,50W (W es el peso específico del agua).

Figura 20 PROBLEMA 32Determinar la fuerza resultante debida a la acción del agua sobre el área rectangular CD de 1,20 mt x 1,80 mt mostrada en la figura.

Figura 21 HIDRODINAMICA

3.1 INTRODUCCIÓN En general el estudio de un líquido en reposo está basado en ciertos principios bien definidos de física, de tal manera que todos los problemas que usualmente se encuentran en hidrostática no son más que una aplicación de éstos principios cuya expresión matemática son fórmulas perfectamente conocidas; en cambio, un fluido en movimiento presenta en algunos casos condiciones muy complejas y por lo tanto el fenómeno no puede ser expresado de una manera exacta en alguna forma matemática debido a las condiciones exteriores mas o menos variadas. A veces para una concepción clara de un fenómeno es necesario suponer ciertas condiciones ideales que permiten el establecimiento de algunas fórmulas fundamentales. Otras veces, dentro de ciertos límites se establecen algunas fórmulas empíricas que se pueden aplicar en la práctica, pero que sin embargo, resulta aventurado para el ingeniero no solo escoger para sus cálculos tal o cual fórmula, sino que también es importante que escoja los coeficientes adecuados para cada caso particular. Para empezar el estudio de la hidrodinámica, se dan las siguientes definiciones:

Cuando el líquido llena completamente un conducto de sección transversal circular y ejerce una cierta presión sobre las paredes de la tubería, se dice que el conducto está trabajando como conducto a presión "Flujo en Tuberías Flujo a

Presión". - En otros casos, el líquido que circula puede no llenar completamente el tubo que lo transporta (el líquido estará a la presión atmosférica), entonces se dice que el

conducto está trabajando como canal "Flujo en Canales y Alcantarillados Flujo sin

Presión Flujo por gravedad”

- Es importante tener presente estas definiciones para darse cuenta de cuando se trata de fuerzas debidas a la fricción y cuando de fuerzas debidas exclusivamente a la acción de la gravedad.

3.2 FLUJO DE FLUIDOS El flujo de los fluidos puede ser permanente o no permanente; uniforme o no uniforme; laminar o turbulento, unidimensional, bidimensional o tridimensional y rotacional o irrotacional. Verdaderamente, el flujo unidimensional de un fluido incompresible tiene lugar cuando el módulo (intensidad), dirección y sentido de la velocidad en todos los puntos son idénticos. No obstante, el análisis como flujo unidimensional es aceptable cuando al tomar como única dimensión espacial, de la que dependen todas las características, la línea de corriente central del flujo; pueden considerarse como despreciables las variaciones de las velocidades y aceleraciones en dirección normal a dicha línea de corriente. En tales casos, se consideran como representativas del flujo completo los valores medios de la velocidad, la presión y la elevación, despreciando las variaciones menores. Por ejemplo, el flujo en tuberías curvas se analiza mediante los principios del flujo bidimensional, a pesar de que la geometría es tridimensional y la velocidad varía en las secciones rectas de la tubería. Un flujo bidimensional tiene lugar cuando las partículas fluidas se mueven en planos o en planos paralelos de forma que la configuración de las líneas de corriente es idéntica en cada plano. Para un fluido ideal en que no existen tensiones cortantes no pueden transmitirse pares y no tienen lugar movimientos rotatorios de las partículas fluidas alrededor de su propio centro de gravedad. Tales flujos ideales, que admiten una representación muy intuitiva mediante la red de corriente, se llaman flujos irrotacionales. Tipos de flujo: Permanente, no permanente, uniforme, variado, etc.Regímenes: Turbulento, laminar, de transición. El régimen de flujo está definido por el número de Reynolds. 3.2.1 FLUJO PERMANENTE El flujo permanente tiene lugar cuando, en un punto cualquiera, la velocidad de las sucesivas partículas que ocupan ese punto en los sucesivos instantes, es la misma. Por tanto, la velocidad es constante respecto al tiempo o bien ¶v/¶t = 0, pero puede variar de

un punto a otro, es decir, ser variable respecto de las coordenadas espaciales. Este supuesto da por sentado que las otras variables o magnitudes del fluido y del flujo no varían con el tiempo o ¶/¶t = 0, ¶p/¶t = 0, ¶q/¶t = 0, etc. La mayoría de los

problemas técnicos prácticos implican condiciones permanentes del flujo. Por ejemplo, el transporte de líquidos bajo condiciones constantes de altura de carga o el vaciado de depósitos por orificios, bajo altura de carga constante, ilustran flujos permanentes. Estos flujos pueden ser uniformes o no uniformes.

Un flujo es no permanente cuando las condiciones en un punto cualquiera del fluido varían con el tiempo, o bien ¶v/¶t es diferente de cero (0).

3.2.2 FLUJO UNIFORME El flujo uniforme tiene lugar cuando el módulo, la dirección y el sentido de la velocidad no varían de un punto a otro del fluido, es decir ¶p/¶s = 0. Este supuesto implica que las

otras magnitudes físicas del fluido no varían con las coordenadas espaciales o bien ¶y/¶s = 0, ¶p/¶s = 0, ¶/¶s = 0, etc. El flujo de líquidos bajo presión a través de tuberías

de diámetro constante y gran longitud es uniforme tanto si el régimen es permanente como si es no permanente. Figura 3.1 El flujo es no uniforme cuando la velocidad, la profundidad, la presión, etc., varían de un punto a otro en la región del flujo, es decir ¶v/¶s es diferente de cero (0), etc.

Figuras 3.2 Con el fin de simplificar los cálculos, se trabajará con flujos permanentes y uniformes en régimen turbulento, considerando la velocidad promedia en la tubería.

3.3 GASTO O CAUDAL. El Volumen de fluido que pasa por una área transversal perpendicular a la sección recta de tubería en la unidad de tiempo se llama gasto o caudal, y lo designamos con la letra Q. Las unidades dependen del sistema usado. Sistema Inglés:

Sistema Métrico:

3.4 ECUACIÓN DE CONTINUIDAD La ecuación de continuidad es una consecuencia del principio de conservación de la masa. Para un flujo permanente, la masa de fluido que atraviesa cualquier sección transversal perpendicular a la sección recta de la tubería de un conducto, por unidad de tiempo, es constante. Esta puede calcularse como sigue para el caso de flujo permanente.

Figuras 3.3 y Figuras 3.4 Consideramos un flujo a través de un tubo o conducto circular, figura 3.3., siendo las secciones 1 y 2 normales a las líneas de corriente formadas por la circulación del líquido que forman la circulación del líquido en el tubo. Para un valor de la densidad 1 y una velocidad normal V1, el caudal en masa por unidad de tiempo que atraviesa la sección es 1V1 dA1, ya que V1dA1 es el volumen por unidad de tiempo. Análogamente, el

caudal en masa que atraviesa la sección 2 es 2V2dA2. Como en un flujo permanente

la masa no puede variar con el tiempo, y como no hay paso de fluido a través de la superficie de contorno del tubo, el caudal en masa a través del tubo de corriente es constante. Por tanto:

1V1 dA1 = 2V2 dA2

Las densidades 1 y 2 se mantienen constantes en cada sección genérica dA, y las

velocidades V1 y V2 representan las velocidades del fluido en el tubo de corriente en las secciones 1 y 2, respectivamente. De aquí:

Integrando: 1V1 dA1 = 2V2 dA2 ó 1V1 A1 = 2V2 A2

Para fluidos incompresibles (y para algunos casos de flujos comprensibles) la densidad es constante, es decir 1 = 2, por tanto:

3.5 TEOREMA DE BERNOULLI Este teorema es básico en hidráulica. Casi todas las relaciones fundamentales de las que se parte en hidrodinámica están basadas en este principio. Si se supone un conducto de forma mas o menos caprichosa y se va a estudiar bajo qué circunstancias se produce la circulación del agua, tenemos: Las figuras 3.5 y 3.6 representan un tramo de tubo, en el cual se han determinado dos secciones rectas A1 y A2.

Figuras 3.5 y 3.6 Para examinar que fuerzas están aplicadas a la masa de agua que está entre las dos secciones, esta debe aislarse, es decir, se supone que no hay agua antes de A1 ni después de A2 y que no existe la envoltura o tubo que rodea al líquido.

En lo que sigue, todos los datos relativos a la sección A1 se designarán con subíndice 1 y los relativos a A2 con subíndice 2. Las fuerzas que están actuando sobre la masa líquida están dibujadas en las figuras 3.5 y 3.6 Desde luego está sometida a su propio peso, que es la fuerza W que pasa por su centro de gravedad G. Otra fuerza es la acción del líquido que está antes de A1 y que empuja a la masa líquida y está representada por un vector F1 normal a la sección A1 y

cuya intensidad es el producto del área de la sección por la presión:

Otra fuerza es la reacción del líquido que está después de A2: Otras fuerzas son las reacciones del tubo que provisionalmente se consideran normales a las paredes, aunque no lo son por efecto del frotamiento; en realidad se encuentran inclinadas oponiéndose al sentido de la circulación del agua. Como se verá mas adelante, el frotamiento tiene una gran influencia en la circulación del agua en tuberías, pues depende de la rugosidad de las paredes, del diámetro y longitud del conducto. Al estudiar cómo actúan las fuerzas ya mencionadas para provocar la circulación del agua, tenemos: De la física se sabe que la energía cinética de un cuerpo es:

y que trabajo (energía) es Tr = F x distancia. Se debe también recordar de la física, el principio de la mecánica del movimiento que dice: “Cuando un sistema de fuerzas está aplicado a un cuerpo en movimiento, la suma de los trabajos realizados por las fuerzas, es igual a la variación de la fuerza viva (energía cinética) del cuerpo.”

Para aplicar el principio mecánico de la igualdad de trabajo a la variación de la fuerza viva es necesario considerar un desplazamiento.Para ver que clase de desplazamiento conviene considerar, se debe tener en cuenta que si es muy grande el desplazamiento de la masa líquida, el sistema de fuerzas sufre una variación, por lo tanto conviene considerar un desplazamiento muy pequeño. Si se considera en la figura 3.7 que por la sección 1 ha pasado un volumen muy pequeño, hay que convenir en que ese mismo volumen ha pasado por la sección 2 y que según la figura, el desplazamiento en A2 tiene que ser mayor que en A1 porque la sección es menor y estamos considerando régimen permanente.

Fig. 3.7 Al calcular los trabajos de las fuerzas que producen el desplazamiento infinitamente pequeño de la masa líquida, se tiene: Al desplazamiento en A1 se denomina dl1 y al desplazamiento en A2 se denomina dl2. En vez de considerar toda la masa y todo el volumen, se considera que el volumen 1 ha pasado a 2. (Se considera sólo el flujo del área elemental rayada).Se tiene entonces, recordando que

Trabajo efectuado por la fuerza F1 Trabajo efectuado por la fuerza F2

Trabajo efectuado por el peso dW

Trabajo efectuado por las reacciones del tubo Al suponer por el momento que no hay rozamiento. Entonces, la suma de los trabajos efectuados por el sistema de fuerzas aplicadas a la masa líquida considerada entre las secciones 1 y 2, en un desplazamiento infinitamente pequeño vale:

y

Al tomar los valores de dW y de dM y reemplazarlos en la ecuación anterior tenemos:

Dividiendo por dV;

Si se dividen todos los términos de la ecuación por , la ecuación no se altera, resultando: Reagrupando términos con igual índice tenemos: Esta es la expresión matemática del Teorema de Bernoulli y se interpreta diciendo que: "Si no hay pérdida de energía (carga) por fricción, entre dos secciones de la circulación de un líquido en régimen permanente, la suma de las cargas (energías) de altura o posición, de velocidad y de presión es constante en cualquier sección del líquido".

En la expresión anterior:

Si se estudian las unidades de cada uno de los términos de la Ecuación de Bernoulli: h1 = queda medido en mtrs o pies, es decir, unidades de longitud.

3.5.1 SIGNIFICADO DE CADA UNO DE LOS TÉRMINOS DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI 3.5.1.1 3.5.1.1 TÉRMINO h: Energía de posición.

h es una altura o sea la distancia de un plano P de referencia a un cuerpo M. Figura 3.8

Figura 3.8 Imaginemos que el cuerpo tiene una masa m y un peso W; por su posición respecto a P, éste cuerpo puede desarrollar un trabajo al descender de su posición primitiva a P. Siendo la energía de posición la cantidad de trabajo que puede dar un cuerpo al pasar de una posición en un plano a otra en otro plano, tenemos: Cuando W = 1, una unidad de peso del fluido, ya sea un Newton, kilogramo, libra o una dina, la energía de posición del cuerpo es h. h - representa entonces la energía de posición de una unidad de peso del fluido, ya sea un Newton, kilogramo, libra o una dina de agua, en Joules, kilográmetros, libra-pie o ergios.

3.5.1.2 3.5.1.2 Término Energía de Velocidad

Si se supone un cuerpo cuyo peso es W con una masa m y animado de una velocidad V, figura 3.9 que se desliza sin frotamiento sobre un plano:

Figura 3.9 Por el principio de inercia se sabe que si ninguna fuerza interviene, el cuerpo continúa indefinidamente su movimiento; entonces, la energía cinética o sea la capacidad que tiene el cuerpo para dar trabajo estará medida por la relación:

sustituyendo en la fórmula anterior se tiene: Cuando W = 1 (un Newton, Kilogramo o una libra), la energía cinética será: Esto quiere decir que el segundo término de la Ecuación de Bernoulli representa la energía cinética que posee cada Newton, kilogramo, libra o cada dina del fluido, en Joules, kilográmetros, libra-pie o ergios; por esto se llama "Carga de Velocidad".

3.5.1.3 3.5.1.3 Término Energía de presión

Se tiene un cuerpo de bomba horizontal, provisto de un émbolo con su vástago y conteniendo una cierta cantidad de agua, figura 3.10. La llave V está cerrada y sobre el émbolo está actuando una fuerza F que ejerce compresión sobre el líquido, por lo que éste está sometido a una presión que se llama p y que es igual a:

Figura 3.10 Si se deja actuar a la fuerza F indefinidamente, el líquido estará sometido a la presión p; si abrimos la llave V, el líquido puede dar cierta cantidad de trabajo al exterior, lo que significa que el líquido tiene una cierta energía que es la que da el trabajo que puede efectuar la fuerza F. Llamando L a la distancia que recorre el émbolo para expulsar el agua del cilindro, la energía que puede poseer el líquido por la acción de F vale:

Cuando: W = 1 (un Newton, kilogramo, libra o una dina) Está última energía de presión no propia del fluido, proviene del exterior, pero es cómodo considerarla como poseída por aquel. Este termino representa la energía de presión que posee cada Newton, kilogramo, libra o cada dina del fluido, en Joules, kilográmetros, libra-pie o ergios; por esto se llama "Carga de Presión". 3.5.1.4 3.5.1.1 Análisis de situaciones típicas

1- 1- Puntos en tubería horizontal con cambio de diámetro:

2-3- 2- Puntos en tubería de igual diámetro con cambio de altura de posición:

4-5- 3- Puntos con igual presión pero diferente altura de posición:

6- 3.5.2 ECUACIÓN DE ENERGÍA MODIFICADA PARA FLUJO DE FLUIDOS REALES La ecuación de Bernoulli puede ser modificada en el caso de flujo de fluidos incompresibles reales así: 1. 1. Introduciendo un término para las pérdidas en la ecuación general, el cual

tomaría en consideración la energía gastada en vencer las resistencias friccionales causadas por los esfuerzos cortantes de viscosidad y turbulencia y otras resistencias debidas a cambios de secciones, válvulas, uniones, etc.

2. 2. Corrigiendo el término de energía de velocidad por la verdadera distribución de

velocidad en una tubería; con flujo laminar las pérdidas varían directamente con la viscosidad, la longitud y la velocidad e inversamente con el cuadrado del diámetro; mientras que en flujo turbulento las pérdidas varían directamente con la longitud, el cuadrado de la velocidad e inversamente con el diámetro. Las pérdidas en flujo

turbulento también dependen de la rugosidad del área interior de la tubería y de las propiedades del fluido como son su densidad y viscosidad.

Por lo tanto, para flujo de fluidos incomprensibles reales, podemos escribir:

Donde es el factor de corrección de la energía de velocidad (cinética). Las pérdidas se representarán por hf .

Una ecuación general de los principios de conservación de energía puede ser derivada para el flujo de un fluido tomando en consideración la masa, el momento y la transferencia de calor y la energía térmica debida a la fricción en un fluido real.

Donde EB es la energía externa suministrada por alguna máquina, como una bomba y ET

es la energía extraída al sistema por alguna máquina, como una turbina.

3.6 SEPARACIÓN Y CAVITACIÓN EN EL FLUJO DE FLUIDOSSi se considera un tramo de tubería ascendente de diámetro uniforme, tal como se muestra en la figura 3.11, tenemos:

Figura 3.11 En cualquier punto, por la ecuación de Bernoulli.

Si se tiene diámetro uniforme y flujo permanente, la energía de velocidad será la misma en todas las secciones (diámetro uniforme) y por lo tanto:

A medida que la elevación h aumenta, la presión p en el sistema disminuye, y si p llega a ser igual a la presión de vapor del fluido, el fluido tiende a hervir liberando gases disueltos y burbujas de aire. Con la liberación posterior de gases, las burbujas tienden a crecer en tamaño, bloqueando eventualmente la sección de la tubería, haciendo que la descarga sea intermitente. Este fenómeno es conocido como "separación" y reduce grandemente la eficiencia del sistema. Si las burbujas de aire formadas en el punto de separación son transportadas a una región de alta presión, figura 3.12, tramo horizontal de tubería con aumento de diámetro (h permanece constante), al aumentarse el diámetro, la V disminuye y por lo tanto aumenta la presión. Las burbujas de aire que entran a ésta nueva situación por el flujo del fluido, revientan en forma extremadamente abrupta o explotan, produciendo un violento golpe de martillo sobre la superficie de contacto en la cual explotan las burbujas y causan golpeteos y vibraciones al sistema, lo cual es altamente indeseable.

Figura 3.12

Todo el fenómeno se llama cavitación y debe ser prevenido cuando se diseña cualquier sistema hidráulico.

3.7 CONDICIONES HIDRÁULICAS DEL SIFON En algunos casos de conducción de agua puede suceder que se interponga algún obstáculo. Para salvar ese obstáculo se usa lo que se llama un "sifón" que puede ser de la forma de la figura 3.13 o bien como la figura 3.14; en este último caso se llama sifón invertido y se presenta con mucha frecuencia en la conducción de agua en canales (alcantarillado), cuando el obstáculo por salvar es alguna depresión.

Figura 3.13

Figura 3.14¿Cómo se puede explicar que estando el agua quieta a un determinado nivel, logre alcanzar un nivel más alto para pasar algún obstáculo y finalmente llegar a un nivel mas bajo que el inicial? En el caso de la figura 3.13, para que se origine la circulación del líquido y suba, hay que hacer el vacío en la parte superior del sifón, entonces el agua sube por la acción de la presión atmosférica que se ejerce sobre la superficie libre del líquido, por lo tanto para iniciar la acción del sifón es necesario un dispositivo que puede ser neumático, para expulsar el aire. En el caso del sifón invertido no es necesario esto porque en realidad es la acción de la gravedad la que origina la circulación, justificada por el desnivel entre la entrada y la salida; el principio de los vasos comunicantes está aplicado aquí.

3.8 APARATOS DE MEDICIÓN MÁS COMUNES EN EL FLUJO DE FLUIDOS 3. 8.1 TUBOS PIEZOMÉTRICOS O PIEZÓMETROS Consiste en un tubo vertical que se acopla a la tubería y sirve sólo para medir la energía de presión en el punto dónde se instala.

Figura 3.15 Si se tiene un líquido circulando en un tubo figura 3.15, con una presión positiva p y se le inserta otro tubo llamado piezómetro, el líquido subiría hasta cierta altura que, en función de esa presión interior valdría:

Si la presión fuera negativa, no se presentaría la subida del agua en el piezómetro, sino que le entraría aire a la tubería. Si no se consideran las pérdidas:

h1 = h2

v1 = v2

p1 = p2

Si consideramos las pérdidas:h1 = h2

v1 = v2

p1/ = h1

p2/ = h2

p1 = h1 p2 = h2 , siendo h1 ¹ h2

En consecuencia, los piezómetros no miden la energía debida a la carga de velocidad en las conducciones, sino la presión en su interior. 3.8.2 TUBO PITOT En algunos casos de conducción de agua, ésta circula con velocidades muy diferentes en los diversos puntos de una sección, debido al rozamiento con las paredes de condiciones de rugosidad muy variable, como sucede en los canales o en los ríos y entonces, para averiguar las condiciones de circulación se emplea un medidor de velocidad que se llama "Tubo de Pitot", el cual mide la energía de velocidad mas la energía de presión en el punto donde se coloca. El Tubo de Pitot es un tubo vertical en su mayor parte, y horizontal en un extremo, el cual se sumerge en contra del flujo, tal como se muestra en la figura 3.17. El tubo está abierto por ambas extremidades. La velocidad y la presión del agua, hace que ésta ascienda en el tubo, hasta que la presión de la columna de agua equilibre la energía de velocidad del agua y de presión en el punto 2. 3.8.2.1 Flujo a Presión:

Figura 3.17 y Figura 3.18

Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2 tenemos:

Si no se consideran las pérdidas:

Si no colocamos el tubo Pitot y si no se consideran las pérdidas: Porque las condiciones hidráulicas son las mismas. Al colocar el Tubo Pitot la energía de velocidad

En la medición, se observa que a mayor velocidad de circulación del líquido, mayor es la altura h que alcanza el agua en el interior del tubo de Pitot, por lo tanto la velocidad podrá conocerse midiendo h. Se puede considerar que una partícula de agua al pasar del punto 1 al punto 2, pierde toda su energía de velocidad para convertirla en energía de presión, que es justamente la debida a la columna del líquido h; diferencia de alturas entre el punto 1 y el punto 2.

3.8.2.2 Flujo Libre:

Figura 3.19

Si el agua estuviera en reposo, ésta penetraría en el interior del tubo hasta alcanzar un nivel igual al de la superficie del agua; pero cuando hay circulación, el agua penetra en el tubo hasta un nivel superior al de la superficie del agua. Aplicando Bernoulli entre los puntos 1 y 2 tenemos:

Como h1 = h2 y V2 = 0

También

La velocidad real será un poco menor (debido a las pérdidas de fricción que no se consideraron. La velocidad dada en la Ec. anterior es modificada introduciendo un coeficiente K; el cual tiene un valor que varía entre 0,95 y 1,0)

3.8.3 MEDIDOR DE VENTURI Y MEDIDOR DE ORIFICIO Consiste en dos troncos de conos invertidos, con reducciones y ampliaciones graduales, con una parte central de igual diámetro, el cual se utiliza para medir caudales que pasan. En estos tipos de medidores, la medida del gasto (caudal), se realiza por medio de una diferencia de presiones creadas en la tubería por medio de reducciones de diámetros en la misma. En el venturímetro la reducción de los diámetros es gradual, mientras que en el medidor de orificio dicha reducción es repentina. El flujo de los fluidos a través de estos mecanismos de medida sigue los principios de conservación de energía y la ecuación de continuidad. El medidor de venturi consiste en dos troncos de cono como se ve en la figura 3.16 unidos por un tubo recto en la mitad.

Figura 3.16Bernoulli entre el punto 1 de la tubería y el punto 2 de la garganta: Como

Por Ecuación de Continuidad:

Sacando a como factor común, tenemos:

Sacando común denominador:

El flujo real, se obtiene introduciendo un coeficiente Cd (Factor de Corrección) en la ecuación anterior debido a las pérdidas que no se consideraron inicialmente:

El valor numérico de Cd, coeficiente de descarga, dependerá de la relación A1/A2, el tipo de transición, la velocidad y viscosidad del fluido. Para las transiciones graduales del venturímetro se tienen pequeñas cantidades de pérdidas y el valor de Cd estaría entre 0,96 y 0,99 para flujo turbulento. La transición en el caso del medidor de orificio es repentina y por lo tanto allí se presentan mayores pérdidas debido a la contracción y expansión de la vena del flujo a través del orificio. Su coeficiente de descarga tiene por consiguiente un menor valor (0,6 a 0,63); y el área A2 de la Ec. se refiere al área del orificio y no al área contraída de la vena del flujo. La reducción en el diámetro de la constricción causa un incremento en la velocidad, y consecuentemente se crea una gran diferencia de presión entre la entrada y la garganta, permitiendo una gran precisión en la medida. Grandes velocidades en la garganta causan bajas presiones en el sistema y si éstas caen por debajo del límite de la presión de vapor del fluido, se presentaría el fenómeno de cavitación el cual es altamente indeseable. Por lo tanto, la selección de la relación d2/d1 se debe considerar cuidadosamente. Está relación se debe mantener entre 1/3 y 3/4 y el valor más común es 1/2.

3.8.4 MEDICIÓN DE CAUDALES EN UNA CORRIENTE: Para obtener las curvas de igual velocidad en la sección transversal de una corriente, se hacen mediciones determinando la velocidad en diferentes puntos a diferentes profundidades, observando la altura h en el tubo de Pitot y la profundidad a la que se hace dicha medición. En el dibujo de la sección transversal de la sección marcamos con una X los diferentes puntos de observación, figura 3.20, e interpolando, se obtienen los puntos de igual velocidad, que unidos por medio de una línea continua, muestran las curvas en cuestión. Con la ayuda de un planímetro se determinan las áreas de las zonas de igual velocidad, que multiplicadas por la velocidad correspondiente, se obtienen los flujos parciales. La sumatoria de los flujos parciales nos darán el caudal total de la corriente.

Figura 3.20

3.10 3.10 3.10

3.10 EJERCICIOS PROPUESTOS 3.10.1 PROBLEMA 13.10.2 Cuál es la velocidad media en una tubería de 15 cm, si el caudal de agua transportado es de 3800 m3/día?.3.10.3 Resp. 2,48 m/seg.3.10.4 3.10.5 PROBLEMA 2

3.10.6 Qué diámetro debe tener una tubería para transportar 2 m3/seg. a una velocidad media de 3 m/seg.?.3.10.7 Resp. 92 cm.3.10.8 3.10.9 PROBLEMA 33.10.10 Una tubería de 30 cm de diámetro, que transporta 110 l/seg., está conectada a una tubería de 15 cm. Determinar la altura de velocidad en la tubería de 15 cm.3.10.11 Resp. 1,97 m 3.10.12 PROBLEMA 43.10.13 Una tubería de 15 cm de diámetro transporta 80 l/seg. La tubería se ramifica en otras dos, una de 5 cm y la otra de 10 cm de diámetro. Si la velocidad en la tubería de 5 cm es de 12 m/seg., Cuál es la velocidad en la tubería de 10 cm ?3.10.14 Resp. 7,20 m/seg. 3.10.15 PROBLEMA 53.10.16 Una tubería de 30 cm de diámetro transporta 110 l/seg. de un aceite de densidad relativa 0,812 y la presión manométrica en A es de 0,20 kg/cm2. Si el punto A está situado 1,80 m por encima del plano de referencia, calcular la energía en A en mtrs.3.10.17 Resp. 4,27 mtrs. 3.10.18 PROBLEMA 63.10.19 A través de una tubería horizontal de 15 cm de diámetro fluye agua a una presión de 4,20 kg/cm2. Suponiendo que no hay pérdidas, cual es el caudal si en una reducción de 7,5 cm de diámetro la presión es de 1,40 kg/cm2 ?.3.10.20 Resp. Q = 107 l/seg. 3.10.21 PROBLEMA 73.10.22 Si en el problema 6 fluye un aceite de densidad relativa 0,752, calcular el caudal ?.3.10.23 Resp. 123 l/seg.3.10.24 3.10.25 PROBLEMA 83.10.26 Si lo que fluye en el problema 6 es tretracloruro de carbono (densidad relativa 1,594), determinar Q.3.10.27 Resp. 85 l/seg. 3.10.28 PROBLEMA 93.10.29 A través de una tubería vertical de 30 cm de diámetro fluyen hacia arriba 220 l/seg de agua. En el punto A de la tubería la presión es 2,20 kg/cm2. En el punto B, 4,60 mtrs por encima de A, el diámetro es de 60 cms y la pérdida de carga entre A y B es igual a 1,80 mtr. Determinar la presión en B en kg/cm2.3.10.30 Resp. 1,61 kg/cm2. 3.10.31 PROBLEMA 10

3.10.32 Una tubería de 30 cm de diámetro tiene un corto tramo en el que el diámetro se reduce gradualmente hasta 15 cm y de nuevo aumenta a 30 cm. La sección de 15 cm está 60 cm por debajo de la sección A, situada en la tubería de 30 cm, donde la presión es de 5,25 kg/cm2. Si entre las dos secciones anteriores se conecta un manómetro diferencial de mercurio, cual es la lectura del manómetro cuando circula hacia abajo un caudal de agua de 120 l/seg?. Supóngase que no existen pérdidas.3.10.33 Resp. 17,6 cm. 3.10.34 PROBLEMA 113.10.35 Una tubería de 30 cm de diámetro transporta aceite de densidad relativa 0,811 a una velocidad de 24 mts/seg. En los puntos A y B las medidas de la presión y elevación fueron respectivamente 3,70 kg/cm2 y 2,96 kg/cm2 y 30 mts y 33 mts. Para un flujo permanente, determinar la pérdida de carga entre A y B.3.10.36 Resp. 6,12 mts. 3.10.37 PROBLEMA 123.10.38 Un recipiente suministra agua a través de una tubería horizontal de 15 cm de diámetro y 300 mts de longitud. El flujo es a tubería llena y desagua en la atmósfera un caudal de 65 l/seg. Cuál es la presión en la mitad de la longitud de la tubería al suponer que la única pérdida de carga es de 6,20 mts cada 100 mts de tubería?3.10.39 Resp. 0,93 kg/cm2. 3.10.40 PROBLEMA 133.10.41 Un aceite de densidad relativa 0,750 es bombeado desde un depósito por encima de una colina a través de una tubería de 60 cm de diámetro, manteniendo una presión en el punto más elevado de la línea de 1,80 kg/cm2. La parte superior de la tubería está 75 mts sobre la superficie libre del depósito y el caudal de aceite bombeado es de 620 l/seg. Si la pérdida de carga desde el depósito hasta la cima es de 4,70 mts, que potencia debe suministrar la bomba al líquido?.3.10.42 Resp. 645 CV. 3.10.43 PROBLEMA 143.10.44 Una bomba aspira agua de un pozo mediante una tubería vertical de 15 cm. La bomba desagua a través de una tubería horizontal de 10 cm de diámetro, situada 3,20 mts sobre el nivel del agua del pozo. Cuando se bombean 35 l/seg, las lecturas de los manómetros colocados a la entrada y a la salida de la bomba son -0,32 kg/cm2 y +1,80 kg/cm2, respectivamente. El manómetro de descarga está situado 1 mt por encima del manómetro de succión. Calcular la potencia de salida de la bomba y la pérdida de carga en la tubería de succión de 15 cm.3.10.45 Resp. 10,4 CV y 0,80 mts. 3.10.46 PROBLEMA 153.10.47 Calcular la perdida de carga en una tubería de 15 cm de diámetro si es necesario mantener una presión de 2,35 kg/cm2 en un punto aguas arriba y

situado 1,80 mts por debajo de la sección de la tubería por la que desagua en la atmósfera 55 l/seg de agua. 3.10.48 Resp. 21,70 mts. 3.10.49 PROBLEMA 163.10.50 Un depósito cerrado de grandes dimensiones está parcialmente lleno de agua, y el espacio superior con aire a presión. una manguera de 5 cm de diámetro, conectada al depósito desagua sobre la azotea de un edificio, 15 mts por encima de la superficie libre del agua del depósito. Las pérdidas por fricción son de 5,50 mts. Que presión de aire debe mantenerse en el depósito para desaguar sobre la azotea un caudal de 12 l/seg?.3.10.51 Resp. 2,24 kg/cm2. 3.10.52 PROBLEMA 173.10.53 Mediante una bomba se bombea agua desde un recipiente A, a una elevación de 225 mtr, hasta otro depósito E, a una elevación de 240 mtr, a través de una tubería de 30 cm de diámetro. La presión en la tubería de 30 cm en el punto D, a una elevación de 195 mtr, es de 5,60 kg/cm2. Las pérdidas de carga son : de A a la entrada de la bomba B = 0,60 mtr, de la salida de la bomba C hasta D = 38 v2/2g y desde D a E = 40 v2/2g. Determinar el caudal Q y la potencia en CV suministrda por la bomba BC.3.10.54 Resp. 166 l/seg. y 83 CV. 3.10.55 PROBLEMA 183.10.56 Desde un depósito hay que transvasar un caudal de agua de 89 l/seg mediante un sifón. El extremo por el que desagua el sifón ha de estar a 4,20 mts por debajo de la superficie libre del agua en el depósito. Los términos de pérdida de carga son: 1,50 V2/2g desde el depósito hasta la parte más elevada del sifón y 1V2/2g desde esta al desagüe. La parte superior del sifón está 1,50 mts por encima de la superficie del agua. Determinar el diámetro de la tubería necesaria y la presión en la parte superior del sifón.3.10.57 Resp. 15,3 cms y -0,45 kg/cm2 3.10.58 PROBLEMA 193.10.59 Se está ensayando una tubería de 30 cms para evaluar las pérdidas de carga. Cuando el caudal de agua es de 180 l/seg, la presión en el punto A de la tubería es de 2,80 Kg/cm2. Entre el punto A y el punto B, agua abajo y 3 mts más elevado que A, se conecta un manómetro diferencial. La lectura manométrica es de 1 mt, siendo el líquido mercurio e indicando mayor presión en A. Cuál es la pérdida de carga entre A y B ?3.10.60 Resp. 12,57 mts 3.10.61 PROBLEMA 203.10.62 La bomba B comunica una altura de 42,20 mts al agua que fluye hacia E, como se muestra en la figura. Si la presión en C es de -0,15 Kg/cm2 y la pérdida de carga entre D y E es 8V2/2g. Cuál es el caudal?3.10.63 Resp. 275 Lts/seg

Figura 3.25 3.10.64 PROBLEMA 213.10.65 En el sistema mostrado en la figura, la bomba BC debe conducir un caudal de 160 ltrs/seg de aceite de densidad relativa 0.762, hacia el depósito D. Suponiendo que la pérdida de energía entre A y B es de 2.50 mtrs y entre C y D es de 6.50 mtrs; calcular la potencia de la bomba en CV.3.10.66 Resp. 88 CV.

Figura 3.26 3.10.67 PROBLEMA 22

3.10.68 De una represa se le suministra agua a una turbina mediante una caída de 20 mtrs. Cuando la turbina recibe 500 ltrs/seg, las pérdidas en la tubería de suministro de 300 mm son de 2.5 mtrs. Determinar la presión a la entrada de la tubería, si en la tubería de salida de 600 mm se presenta una presión negativa de -30 KN/m2 en un punto situado 1.5 mtrs por debajo de la línea de suministro. Determinar : a) La energía absorbida por la turbina en KW, si se desprecian todas las pérdidas por fricción entre la entrada y la salida de la turbina. b) La energía suministrada por la turbina, si su eficiencia es del 85%.3.10.69 Resp. a) 107,41 KW; b) 91,30 KW.

Figura 3.27 3.10.70 PROBLEMA 233.10.71 Un aceite de densidad relativa 0,761, está fluyendo desde el depósito A al E, según se muestra en la figura. Las distintas pérdidas de carga vienen dadas así: 3.10.72

Determinar: a) El caudal Q en m3/seg, b) La presión en C en kg/cm2 y c) La potencia en C, en CV, tomando como plano de referencia el que pasa por E.Resp. a) 0,086 m3/seg; b) -0,106 kg/cm2; c) 9,85 CV

Figura 3.28

4.1 NÚMERO DE REYNOLDS

Como ya se dijo antes, en el capítulo III, en el flujo de fluidos a través de una tubería se pueden presentar diferentes tipos de flujo: uniforme, permanente, variado, etc. y diferentes regímenes: laminar, turbulento, de transición. El régimen de flujo está definido por el número de Reynolds (número adimensional)

VD

comoVDVD ReRe

donde :segm

V en Velocidad

mD en tuberíaDiámetro

Tec. Sist. M.K.S.; Sist. en líquido del Densidad 33 m

UTM

m

Kgr m

Segm

Kgr

m

SegN

m

SegKgr mF

, , en fluido del Viscosidad 22

Seg

m2

en cinemática Viscosidad

Sistema Técnico

23

2

)(

y Como

Seg

m

Kgr

g

FUTMMgMF

m

UTMm

SegKgr

F

F

Seg

m

m

SegKgrm

SegKgr

mm

SegKgrm

SegKgr

m

Seg

m

Kgrm

SegKgr

F

F

F

F

F

F2

4

2)(

2

)(

3

2)(

2

)(

3

2

)(

2

)(

Sistema MKS

También

Según el número de Reynolds, los flujos se definen: Re < 2000 Flujo laminar Re 2000 - 4000 Flujo de transición Re > 4000 Flujo turbulento

4.2 PÉRDIDA DE ENERGÍA EN TUBERÍAS

Al hablar de la ecuación de Bernoulli, se definió que: de energías en A – Pérdidas = de energías en B Cuando un fluido circula por una tubería, sufre pérdidas en su energía por diferentes causas; siendo las mas comunes las pérdidas por: 1. Rozamiento2. Entrada3. Salida4. Súbito ensanchamiento del tubo5. Súbita contracción de la tubería6. Obstrucciones ( válvulas, medidores, etc).7. Cambio de dirección en la circulación. Normalmente las pérdidas mas importantes son las debidas al rozamiento y se denominan "pérdidas mayores". En algunos casos, las pérdidas puntuales debidas a cambios de diámetro o secciones, cambios de dirección de flujo, válvulas, etc., que se denominan" pérdidas menores", pueden ser de importancia.

4.3 PÉRDIDAS DE CARGA POR FRICCIÓN O ROZAMIENTO

Las paredes de la tubería ejercen una resistencia continua al flujo de los fluidos. En flujo permanente en una tubería uniforme, el esfuerzo constante en la zona de contacto del fluido con la tubería, es uniforme a lo largo de la misma y ésta resistencia produce una rata uniforme de pérdida de energía a lo largo de la tubería. Las pérdidas de energía a lo largo de una tubería se denominan comúnmente "pérdidas por fricción" y se denotan por hf. La rata de pérdida de

energía o gradiente de energía se define con L

hS f

f donde:

Sf : Rata de pérdida de energíahf : Pérdidas de energíaL : Longitud de la tubería Cuando la tubería es de gran longitud, las pérdidas por fricción llegan a ser tan grandes que a veces pueden despreciarse las demás pérdidas por ser muy pequeñas comparadas con ella. Las pérdidas por fricción dependen de: a. El material de que está construido el tubo (hierro, concreto, cobre, galvanizado..)b. El estado de la tubería (Nueva, vieja, con incrustaciones,.. etc.)c. La longitud de la tuberíad. El diámetro de la tuberíae. Velocidad de circulación del fluido en la tubería. De acuerdo con lo anterior, en las leyes que rigen las pérdidas de carga por fricción en tuberías intervienen a nivel general los siguientes factores: 1. Es proporcional a la longitud de la tubería2. Es inversamente proporcional al diámetro de la tubería3. Es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad de circulación del fluido. Estas leyes se conocen como las leyes de Chezy, las cuales con la consideración de que las pérdidas por fricción dependen también del material y del estado de la tubería, se engloban en una fórmula fundamental para el cálculo de las pérdidas por fricción en tuberías que fue propuesta por Darcy-Weisbach, usando un coeficiente que depende de éstas dos últimas condiciones.

4.4 FÓRMULA DE DARCY- WEISBACH

De Bernoulli tenemos que:

g

VphPérdidash

g

Vph BB

BfAA

A 2)(

2

22

La pérdida de energía por fricción en flujo permanente y uniforme está dada por:

La cual es una fórmula empírica, resultado de experimentaciones de laboratorio que no puede demostrarse, donde: - Coeficiente de fricción - adimensionalL - Longitud de la tubería en metrosD - Diámetro de la tubería en metrosV - Velocidad del fluido en la tubería en m/segg - Aceleración de la gravedad en m/seg2

Para régimen turbulento, el coeficiente de la fricción está en función de K/D (rugosidad relativa) y del número de Reynolds

definido. ya , Re

VD

D

Kf Re,

Donde: K = Tamaño de la rugosidad efectiva de las paredes de la tubería en mm. D = Diámetro de la tubería en mm. Este coeficiente de fricción , ha sido ampliamente estudiado por diferentes autores como Blasius, Prandt, Nikuradse, Karman, Colebrook White; los cuales han propuesto diferentes fórmulas para calcular dicho coeficiente.

Se encontró que aplicable en las tres zonas de flujo turbulento (Zona lisa turbulenta, zona de transición turbulenta y zona rugosa turbulenta) fue graficada en la forma de - vs - Re por Moody, dando origen a lo que generalmente se denomina como "Diagrama de Moody". En éste diagrama, conocidos el número de Reynolds Re y la rugosidad relativa K/D, para el flujo en una determinada tubería, obtenemos el coeficiente de rugosidad a emplear en la fórmula de Darcy-Weisbach. De la fórmula de Darcy-Weisbach tenemos:

2

1

2 22

L

gDhV

L

gDhV ff

Para tramos de 1000 metros, tenemos que L= 1000 mtrs, entonces:

de general forma la a responde queecuación una es cual la , 1000

22

1

2

1

Dhg

V f

La cual es una ecuación que responde a la forma general de

tmf

fff

DhKQ

DhKD

DhKAVQcomoyDhKV

3

2

5

2

1

3

22

1

2

1

12

1

2

1

1 4

Varios investigadores han encontrado valores diferentes para los coeficientes y exponentes en la fórmula general de Darcy, dependiendo de las condiciones, estado y tipo de tubería. Hay muchas fórmulas empíricas debidas a investigadores como: Scobey, Schoder y Dawson, Manning, Hazen-Williams, King, Barnes, Tutton, etc.; lo importante es que se escoja la que sea más indicada para el caso en particular. Una de las fórmulas mas conocidas, para el cálculo de flujo de agua en tuberías, es la de Hazen-Williams:

Los autores dan los siguientes valores a los coeficientes:

TABLA 4.1 Valores de los coeficientes de las fórmulas de Hazen Williams

para velocidad, caudal y pérdidas

CLASE Y ESTADODE LA TUBERÍA

K2 K3 K4

Tuberías extremadamente lisas, perfectamente alineadas

1.190 0.9350.000724

Tuberías muy lisas de hierro fundido nuevas y muy buen estado -concreto lisas y alineadas.

1.105 0.868 0.000831

Tuberías de acero nuevas con flujo en el sentido del traslape- Hierro fundido de 10 años de

0.935 0.734 0.001132

uso.Tuberías de acero nuevas con flujo en contra del traslape - Hierro fundido de 20 años de uso.

0.850 0.668 0.001351

Tuberías en concreto precolado-hierro forjado lisas y bie alineadas

1.020 0.801 0.000963

Tuberías de hierro viejas y en muy malas condiciones- varía entre

0.689 0.510

0.5340.401

0.0020410.003399

Tuberías de muy pequeño diámetro, fuertemente incrustadas y en pésimas condiciones.

0.340 0.267 0.007375

También la encontramos expresada como:

54,063,2

254,063,0

54,063,0

2788,0

4355,0

donde ,355,0

SDCQ

DSDCAVQ

L

hSSDCV f

El coeficiente C depende de la clase de tubería.

TABLA 4.2Valores de C para la fórmula de Hazen-Williams

TIPO DE TUBERÍA C

Asbesto cemento 140Latón 130 - 140Ladrillo para alcantarillas 100Hierro colado- Nuevo, sin revestir- Viejo, sin revestir- Revestido de cemento- Revestido de esmalte bitumástico- Cubierto de alquitrán

130

40 – 120130 – 150140 – 150115 -135

De hormigón o revestido de hormigón- Cimbras de acero- Cimbras de madera- Centrifugado

140120135

Cobre 130 - 140Manguera de incendio (recubierta de hule) 135Hierro galvanizado 120Vidrio 140

Plomo 130 - 140Plástico 140 - 150Acero- Revestido de alquitrán de hulla- Nuevo, sin revestir- Remachado

145 – 150140 – 150

110Estaño 130Barro vidriado 100 - 140 Tabla tomada del libro “Acueductos: Teoría y Diseño” de Freddy Hernán Corcho Romero y José Ignacio Duque Serna. Centro General de Investigaciones. Colección Universidad de Medellín.

4.5 PÉRDIDAS MENORES O LOCALES

En la parte de orificios se vio que al salir de un almacenamiento, los filetes líquidos cambian de dirección al entrar al tubo, originándose una pérdida de energía. Esta pérdida de carga que es proporcional al cuadrado de la velocidad, será tanto menor cuanto menos dificultad tengan los filetes al entrar al tubo, lo cual dependerá del grado de abocinamiento de la entrada. Casos similares suceden al pasar el agua de la tubería a un almacenamiento, en los cambios de dirección, en los ensanchamientos y contracciones tanto bruscos como graduales. Estas pérdidas menores están dadas en general, por fórmulas que dependen de las cargas de velocidad y cuyas expresiones generales son del tipo K V2/2g o, K (V12 – V22 )/2g , cuyos coeficientes K son típicos para cada caso particular y para lo cual se han construido tablas de acuerdo con experiencias de laboratorio. A continuación se presenta una tabla con los casos típicos mas usuales, tomada del libro “Mecánica de los fluidos e hidráulica” de Giles Ronald V.

TABLA 4.3Pérdidas de carga en accesorios

(Subíndice 1 = aguas arriba y subíndice 2 = aguas abajo)

ACCESORIOS PÉRDIDAS DE CARGA MEDIA

1- De depósito a tubería. Pérdida de entrada. - Conexión a ras de la pared - Tubería entrante

- Conexión abocinada 2 - De tubería a depósito. Pérdida a la salida.

3 - Ensanchamiento brusco

4 – Ensanchamiento gradual (véase tabla 4.4)

5 – Venturímetros, boquillas y orificios

6 – Contracción brusca (véase tabla 4.4)

7 – Codos, accesorios, válvulas Algunos valores corrientes de K son:- 45°, codo …………..0,35 a 0,45- 90°, codo …………..0,50 a 0,75- Tes …………………1,50 a 2,00- Válvulas de compuerta (abierta) ….. Aprox. 0,25- Válvulas de control (abierta) ……… Aprox. 3,0 Tabla tomada del libro “Mecánica de los fluidos e hidráulica” de Ronald V. Giles. Ediciones McGRAW-HILL

TABLA 4.4 Valores de K para contracciones y ensanchamientos

CONTRACCIÓN

BRUSCAENSANCHAMIENTO GRADUAL PARA UN ÁNGULO

TOTAL DEL CONOd1/d2 Kc 4° 10° 15° 20° 30° 50° 60°1,21,41,61,82,02,53,04,05,0

0,080,170,260,340,370,410,430,450,46

0,020,030,030,040,040,040,040,040,04

0,040,060,070,070,070,080,080,080,08

0,090,120,140,150,160,160,160,160,16

0,160,230,260,280,290,300,310,310,31

0,250,360,420,440,460,480,480,490,50

0,350,500,570,610,630,650,660,670,67

0,370,530,610,650,680,700,710,720,72

Tabla tomada del libro “Mecánica de los fluidos e hidráulica” de Ronald V. Giles. Ediciones McGRAW-HILL

4.6 GRADIENTE HIDRÁULICO

Es una forma de visualizar gráficamente la energía de presión (LGH: Línea de Gradiente Hidráulico) o la suma de todas las energías (LET: Línea de Energía Total), que tiene el fluido en cada uno de los puntos de la tubería por donde fluye. Si se considera un tubo horizontal de sección constante, figura 4.1; la energía total que el líquido posee en un punto dado, es la suma de la energía de posición, la energía de velocidad y la energía de presión. Si en un punto A del tubo se hace un orificio y se inserta un tubo que llamamos piezómetro, el agua ascenderá hasta un determinado nivel, cuya altura es justamente la medida de presión en ese punto. Si el piezómetro se inserta en un punto B, el agua subirá allí hasta un nivel menor que el alcanzado en A; esto

debido a las pérdidas por fricción entre esos dos puntos . Lo mismo sucedería entre B-C, etc. La unión de esos puntos conforman la LGH.

Pendiente de la línea gradiente hidráulico. Es la tangente de ángulo α La línea de gradiente hidráulico o piezométrica muestra la elevación de la energía de presión a lo largo de la tubería; permitiendo determinar o visualizar la presión que se presenta en cada punto de la tubería. En una tubería uniforme la energía de la velocidad V2/2g, es constante y la línea de energía total es paralela a la línea de gradiente hidráulico.

Figura 4.2 Que se puede hacer para subir la L.G.H. y darle agua a la casa A de la figura 4.2? 1- Construir un tanque elevado T, en lugar del enterrado.2- Instalar una bomba y subir la línea de gradiente hidráulico.3- Aumentar el diámetro de la tubería para reducir pérdidas.

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