hidraulica

UUnniiddaadd 11 HHiiddrruulliiccaa..

Objetivos: El alumno: Identificar las diversas propiedades de los fluidos y resolver problemas relacionados con la hidrulica, a partir del conocimiento y uso correcto de sus conceptos y sus modelos matemticos, aplicados en diversos fenmenos fsicos observables en su vida cotidiana; mostrando actitudes de inters cientfico en un ambiente de cooperacin, responsabilidad y respeto hacia sus compaeros.

Temario: Hidrosttica. Hidrodinmica.

Hace muchos siglos, un filsofo y sabio chino llamado Lao-Tse dijo: No hay nada ms suave y dbil que el agua y, no obstante, no hay nada mejor para atacar las cosas duras y fuertes. Con esto, dicho sabio se anticipaba por mucho al conocimiento del poder de los lquidos para transmitir fuerzas y presiones, los cuales son hoy en da de gran aplicacin en la ingeniera hidrulica para el diseo y construccin de mquinas y dispositivos de gran utilidad. El hombre ha sabido explotar la capacidad de los lquidos y los gases de poder fluir, lo que los hace susceptibles de mltiples aplicaciones. Con los conocimientos de la hidrulica el hombre ha podido disear globos aerostticos, aviones, embarcaciones, autos, con las caractersticas apropiadas para hacerlos ms eficientes, as como construir presas, acueductos, gasoductos, as como explicar mltiples fenmenos que se presentan en su vida cotidiana.

Fsica II

10

Toda la materia que conocemos podemos clasificarla en tres estados o fases de agregacin fundamentales: Slidos, lquidos y gases. Bsicamente lo que distingue a estas tres fases de la materia es la fuerza con que interactan sus tomos y molculas (lo cual determina la forma en la que estarn distribuidos) y el movimiento que presentan dichos tomos. En los slidos, sus tomos y molculas experimentan intensas fuerzas de atraccin, que provocan que se encuentren agrupadas a poca distancia entre s y con un movimiento vibratorio de poca amplitud. Esto hace que los slidos tengan forma y volumen bien definidos y que opongan gran resistencia a las fuerzas que tienden a cambiar su forma y volumen. En los lquidos, las molculas experimentan menor fuerza de atraccin que en los slidos, por lo que la separacin entre ellas y su movilidad es mayor que en los slidos. Los lquidos se resisten poco a las fuerzas que tienden a cambiarlos de forma. Esto provoca que las capas superiores puedan fluir sobre las capas inferiores. En consecuencia, los lquidos tienen un volumen definido, pero adoptan la forma del recipiente que los contiene. En los gases, las molculas experimentan muy poca fuerza de atraccin, provocando que sus molculas estn muy apartadas y que se muevan y fluyan con entera libertad alejndose todo lo que el recipiente le permita. Por eso los gases no tienen forma ni volumen definidos.

Estamos listos para aprender hidrulica!

11

Hidrulica

Los lquidos y los gases tienen, por tanto, una caracterstica comn que no tienen los slidos: Pueden fluir, razn por la cual reciben el nombre de fluidos. Cualquier material puede pasar de un estado a otro alterando la fuerza con que interactan sus tomos y el movimiento de los mismos. Al calentar un slido aumenta el movimiento y la separacin de sus molculas hasta convertirse en un lquido. Si el calentamiento persiste, sigue aumentando la separacin y movilidad de sus molculas hasta que esta se convierte en gas. El proceso es reversible.

Analiza y discute en equipo de cinco personas, compara tus respuestas con la de los otros equipos y comparte tus respuestas con tu profesor a) A pesar de sus diferencias, los lquidos y los slidos tambin tienen

caractersticas comunes: Cita dos de estas semejanzas. b) A pesar de sus semejanzas los lquidos y los gases tambin tienen

diferencias entre s: Cita dos diferencias entre ellos.

EJERCICIO 1

Fig. 1.1: La figura nos muestra la relacin entre las distancias moleculares en los distintos estados de la materia.

TAREA 1

Pgina 49.

Fsica II

12

Hidrulica La hidrulica es el estudio de los fenmenos y las propiedades mecnicas de los lquidos. Aunque los gases son estudiados por la neumtica, muchos de los fenmenos y propiedades que presentan los lquidos se presentan tambin en los gases. En virtud de que los lquidos pueden estar en reposo o en movimiento, la hidrulica puede dividirse en hidrosttica y en hHidrodinmica.

HHIIDDRROOSSTTTTIICCAA..

La Hidrosttica estudia los lquidos en reposo. En el estudio de los slidos son importantes los conceptos de masa y peso. En los fluidos, por lo general, interesa conocer sus propiedades en cada uno de sus puntos, por lo que dichos conceptos son sustituidos por los de densidad y presin. Densidad (masa especfica) Las propiedades fsicas de los materiales y sustancias difieren considerablemente, el conocimiento de ellas es fundamental para determinar qu material es ms apropiado para un uso particular. Algunas de estas propiedades son constantes fsicas de ese material. Una de estas propiedades es su densidad. De seguro habrs notado que un trozo de madera es ms ligero que un trozo de plomo del mismo tamao, pero el mismo trozo de madera es ms pesado que un trozo de algodn de las mismas dimensiones. Esto se debe a que la materia tiene diferentes concentraciones en los distintos materiales. En algunos materiales, sus tomos y molculas estn ms cercanos y compactos entre s que en otros materiales. La densidad es el concepto fsico que nos indica qu tan concentrada o compacta est la masa en determinado material. La densidad se define as: Densidad (), tambin llamada masa especfica, es el cociente de la masa (m) de un objeto y el volumen (V) que ocupa.

= V

m Ecuacin 1.1

Tambin decimos que la densidad es la masa por unidad de volumen.

11..11..

13

Hidrulica

Realiza la siguiente actividad de manera individual. Compara tus resultados con los de tus compaeros y mustralos a tu profesor. a) Considerando la definicin de densidad, expresada por la ecuacin 1,

determina cul es la unidad de densidad en el Sistema Internacional de Unidades.

En qu otras unidades se puede medir la densidad.

DENSIDAD DE DIFERENTES MATERIALES

SUSTANCIA DENSIDAD (g/cm3) DENSIDAD (EN Kg/m3)

SLIDOS

Aluminio Latn Cobre Vidrio Oro Hielo Hierro Plomo Roble Plata Acero Osmio Platino

2.7 8.7 8.89 2.6 19.3 0.92 7.85 11.3 0.81 10.5 7.8 22.5

21.37

2700 8700 8890 2600

19300 920 7850

11300 810

10500 7800

22500 21370

LQUIDOS g/cm3 Kg/m3

Alcohol Benceno Gasolina Mercurio Agua Glicerina Agua de mar

0.79 0.88 0.68 13.6 1.0

0.126 1.024

790 880 680

13600 1000 126 1024

GASES ( A 0 C) g/cm3 Kg/m3

Aire Hidrgeno Helio Nitrgeno Oxgeno

0.00129 0.000090 0.000178 0.00125 0.00143

1.29 0.09 0.178 1.25 1.43

EJERCICIO 2

Fsica II

14

Problema 1. Qu volumen deber tener un recipiente para introducir en l 150 Kg. de mercurio? DATOS: SOLUCIN:

m = 150 Kg. De la ecuacin de densidad: Vm= , despejamos V:

= 13 600 Kg/m3

313600

150

mKg

KgmV == = 0.011 m3 = 11 litros

Problema 2. Si un tanque de 250 litros se llena totalmente de gasolina, cuntos kilogramos de gasolina caben en l? DATOS: SOLUCIN:

V = 250 litros = 0.250 m3 Despejamos m de la ecuacin de densidad

Vm= :

= 680 Kg/m3 Vm = = Kg)m.)(mKg

( 1702500680 33

= Problema 3. El osmio es el metal ms pesado en la Tierra, cuntos kilogramos de este metal caben en un recipiente cbico de 30 cm de lado? DATOS: SOLUCIN:

V =(0.3 m)3= 0.027 m3 Como vimos en el ejemplo anterior:

= 22500 Kg/m3 Vm = = =)m.)(mKg

( 33

027022500 607.5 Kg

Ahora, Josu, resolvamos unos problemas sobre densidad!

15

Hidrulica

PESO ESPECFICO. De modo similar a la densidad (o masa especfica), el peso especfico (Pe) mide el peso por unidad de volumen que tiene un objeto o sustancia, esto es: El peso especfico es la razn del peso W de un objeto o sustancia y el volumen V que ocupa.

Vw

Pe = Ecuacin 1.2 La unidad del peso especfico en el Sistema Internacional de Unidades es 1 N/m3. Realiza de manera individual esta actividad y comenta tus resultados con el profesor. Utiliza la definicin de densidad dada por la ecuacin 1.1 y de peso especfico de la ecuacin 1.2, para determinar la relacin entre la densidad y el peso especifico. 1.1.1. Presin. Los efectos que producen las fuerzas no slo dependen de la magnitud de las mismas, sino tambin del rea sobre la cual se aplican. Por ejemplo, si te pinchas un dedo con la punta de tu lpiz, no sientes el mismo dolor que cuando lo haces con el extremo donde est el borrador, sobre todo si al lpiz le acabas de sacar punta (fig. 1.2). Al concepto que mide la eficiencia de una fuerza se le da el nombre de presin. Se define as: Presin (P) es el cociente de la fuerza normal o perpendicular (F) aplicada a una superficie y el rea (A) sobre la cual se aplica.

AF

P = Ecuacin 1.3 Tambin podemos decir que la presin es la fuerza normal por unidad de rea, por que la eficiencia de una fuerza depende de la magnitud de la fuerza y del rea sobre la cual se aplique. Como se observa, la presin es directamente proporcional a la fuerza normal aplicada a una superficie y es inversamente proporcional al rea sobre la cual se aplica.

EJERCICIO 3

Fig. 1.2: La presin es mayor en la punta del lpiz que por la del borrador.

Fsica II

16

Lo anterior nos indica que podemos lograr grandes presiones con pequeas fuerzas siempre y cuando sean aplicadas en reas tambin muy pequeas. Esto explica el poder de penetracin de las agujas y el poder de corte de un cuchillo. Inversamente, si lo que deseamos es que determinada fuerza no produzca mucha presin, deber ser aplicada en reas grandes. Esta es la razn de que al caminar en la nieve, los paseantes usan raquetas o calzado especial que aumenta el rea en la que pisan, y que los edificios queden sustentados en cimientos muy anchos (Fig. 1.3).

La unidad de presin en el SI se obtiene dividiendo la unidad de fuerza (1 N) y la unidad de rea (1 m2). A la unidad resultante se le da el nombre de 1 Pascal (1 Pa) En equipo de cinco compaeros realiza la siguiente actividad, compara tus resultados con los dems equipos y comntalos con tu profesor. Utilizando la definicin de presin dada por la ecuacin 1.3, obtengan 4 unidades en las que se pueda medir la presin.

[P] = ]A[]F[

= =2

1

m

N 1 Pascal = 1 Pa

Fig. 1.3. La fuerza aplicada en un rea grande produce presiones pequeas.

EJERCICIO 4

17

Hidrulica

Problema 4. Calcula la presin que ejerce un ladrillo de 4 Kg. y cuyos lados miden 30 cm, 15 cm y 6 cm, en los siguientes casos:

a) Cuando est apoyado por su cara de mayor rea. b) Cuando est apoyado por su cara de menor rea. Dar los resultados en N/cm2 y en Pa DATOS: SOLUCIN: F = W = m g= 39.2 N La presin en el rea mayor en N/cm2:

A1 = 450 cm2 =.045 m2 (rea mayor) 221

08710450

239

cm

N.

cm

N.AF

P ===

A2 = 90 cm2 =.009 m2 (rea menor) La presin en el rea mayor en N/m2:

Pa.m.

N.AF

P 18710450

2392

1

===

La presin en el rea menor en N/cm2 y en N/m2:

)Pa(m

N.

cm

N.

m.

N.

cm

N.AF

P2222

22 56435543550

0090

239

90

239 ===== Calcula la presin que ejerce sobre el piso una mujer de 60 Kg. en los siguientes casos:

a) Cuando est de pie en zapatos planos que abarcan un rea de 400 cm2

b) Cuando est de pie en zapatillas donde el rea de apoyo es de100 cm2 c) Al sentarse, en el que por un instante todo su peso se apoya en las puntillas

de las zapatillas cuya rea es de 2 cm2 Comenta estos resultados con tus compaeros y el profesor. Presin en los fluidos Debido a que los slidos son cuerpos rgidos, al aplicarse sobre ellos una fuerza, ya sea perpendicular o paralela a su superficie, no experimentan un cambio importante en su forma. En los lquidos tambin podemos aplicar fuerzas perpendiculares a su superficie, puesto que son prcticamente incompresibles, pero cualquier fuerza paralela a su superficie har que el lquido fluya si no est confinado a un recipiente. Esta es la razn por la cual, si tenemos un lquido en un recipiente, la superficie libre es siempre horizontal y por eso adopta la forma del recipiente que lo contiene. Los gases no soportan ni fuerzas perpendiculares, ni fuerzas paralelas a su superficie. Las primeras hacen que un gas se comprima y las segundas hacen que fluyan, como en el caso de los lquidos.

EJERCICIO 5

Fsica II

18

Otro aspecto diferente entre los slidos y los fluidos es el hecho de que los slidos slo ejercen presin sobre la superficie en la cual se apoyan, en cambio, los lquidos ejercen presin en todas las direcciones y sobre todas las paredes del recipiente que los contiene (Fig. 1.4).

Por tanto, toda fuerza ejercida por un fluido en reposo, o sobre l, debe ser perpendicular a la superficie sobre la que acta, de lo contrario el lquido fluir, de ah la importancia del concepto de presin en los fluidos. La presin que ejerce un lquido en un punto determinado es consecuencia del peso del lquido que est por encima de dicho punto. Esta presin, llamada presin hidrosttica, puede obtenerse as: Consideremos un recipiente donde el rea de la base es A (Fig. 1.5) el cual contiene un lquido cuya densidad es . Si la altura hasta la cual est contenido el lquido es h, tenemos:

Sabemos que la presin que se ejerce sobre la base es:

P = AF

Donde la fuerza F que ejerce el lquido sobre la base es su propio peso (W). Como W = mg, donde m = V = .A.h, sustituyendo esto en la expresin anterior:

P = AW

= A

mg = .V.g/A = .A.h.g/A , de donde:

P= g h Ecuacin 1.4

Lo cual significa que la presin hidrosttica es proporcional a la densidad del lquido y a la altura (o profundidad), desde la superficie del lquido hasta el fondo. Esto lo notamos claramente cuando nos metemos a una alberca, mientras nademos a mayor profundidad experimentamos mayor presin y sentimos dolor en los odos, o cuando hacemos perforaciones en un recipiente con agua y notamos que en el agujero inferior el agua sale con mayor presin y velocidad (Fig. 1.6).

Fig. 1.4. Un lquido ejerce presin en todas direcciones sobre cualquier cuerpo sumergido en l.

Fig. 1.5: El peso W del lquido ejerce presin sobre la base de rea A

Fig. 1.6. La presin es mayor a mayores profundidades del recipiente.

h

19

Hidrulica

Se puede generalizar esta expresin para dos puntos cualesquiera en el interior de un fluido separados entre s a una altura h, la presin hidrosttica en un punto de la cara inferior del prisma imaginario de la figura 1.7 (P2) se obtiene sumando la presin en un punto de la cara superior en A (P1) y la presin hidrosttica debida al peso del agua que est entre dichos puntos ( g h), es decir:

P2 = p1 + g h Ecuacin 1.5

A esta expresin se le conoce como ecuacin fundamental de la hidrosttica

Problema 5. Un nadador se encuentra en una alberca a una profundidad de 3 metros, cunto vale la presin hidrosttica que experimenta? DATOS: SOLUCIN:

h = 3 m Sustituyendo en la expresin para la presin hidrosttica:

= 1000 Kg/m3 Pa)m)(segm

.)(m

Kg(ghP 294003891000

23===

g = 9.8 m/seg2

Problema 6. En la planta baja de un edificio departamental la presin del agua es de 30.2 N/cm2. El edificio consta de 10 pisos y cada uno tiene una altura de 3 metros. Hasta qu piso subir el agua? DATOS: SOLUCIN:

P= 30.2 N/cm2 = 302000 N/m2 Despejamos h de la expresin de la presin = 1000 Kg/m3 hidrosttica ghP = y sustituimos: g = 9.8 m/seg2

m.)

segm

.)(mKg

(

mN

gP

h 830891000

302000

23

2 ===

Por lo tanto el agua sube hasta el dcimo piso. VASOS COMUNICANTES Para un lquido determinado, la presin slo depende de la altura o profundidad, esto significa, que si tenemos recipientes de forma diferente, con diferentes cantidades de un lquido, pero la altura a la que se encuentra el lquido es la misma, entonces la presin que ejercen sobre el fondo tiene el mismo valor (Fig.1.8). Lo anterior es el principio de los vasos comunicantes: Si unimos varios recipientes y vertemos agua en uno de ellos, debido a que la presin en el fondo debe ser la misma, el nivel al que suba el agua ser el mismo en todos los recipientes, independientemente de su forma y tamao (Fig. 1.9).

Fig. 1.7 La presin en un punto de la cara inferior del prisma es la suma de la presin en un punto de la cara A, ms la presin

hidrosttica debido al lquido contenido en dicho prisma.

Fig. 1.8. La presin es la misma en los tres recipientes

Fsica II

20

Los albailes utilizan este principio, cuando utilizan una manguera para nivelar dos puntos en una habitacin que deben quedar a la misma altura. La red de distribucin de agua en una ciudad sigue tambin este principio. Analiza y discute en equipo de cinco integrantes qu aplicaciones tienen o pueden tener el principio de los vasos comunicantes. PRESIN ATMOSFRICA La atmsfera es la capa de aire que rodea a la Tierra y es indispensable para la vida de plantas y animales. Esa masa de aire es atrada por la gravedad terrestre, es decir, la atmsfera tiene peso y por lo tanto, ejerce una presin sobre todos los cuerpos en contacto con ella, incluyndonos a nosotros, esta es la presin atmosfrica. La densidad de la atmsfera es mayor en los lugares ms cercanos a la superficie terrestre. El 50 % del aire se encuentra en los primeros 5.5 kilmetros de altitud y el 99% del aire se encuentra aproximadamente en los primeros 30 kilmetros de altitud.

Fig. 1.9. Vasos comunicantes

EJERCICIO 6

21

Hidrulica

Fig. 1.10. La densidad de la atmsfera es mayor en lugares cercanos a la superficie terrestre.

Una columna de aire de 30 Km de altura y cuya base tiene un rea de 1 cm2, tiene una masa aproximada de 1 kilogramo, es decir, tiene un peso aproximado de 10 Newton, por lo tanto, ejerce una presin de 10 N/cm2 de aire, o 100 000 N/m2 = 105 Pa. Ms adelante veremos que el valor de la presin atmosfrica, al nivel del mar es exactamente de 1.013 X 105 Pa. Presin atmosfrica es la presin debida al peso del aire atmosfrico sobre cualquier superficie en contacto con l. Realiza en equipo la siguiente actividad, compara tus respuestas con la de otros equipos y comntalas con tu profesor. Da tres ejemplos de situaciones cotidianas donde sea importante la presin atmosfrica. Medicin de la presin atmosfrica El primero en medir la presin atmosfrica fue el fsico italiano Evangelista Torricelli, contemporneo de Galileo, en 1644. Para hacerlo tom un tubo de vidrio de un metro de largo, cerrado por uno de sus extremos. Dicho tubo lo llen de mercurio. Con el extremo libre tapado, invirti el tubo y lo sumergi en un recipiente que tambin contena mercurio. Al destapar el extremo inferior, la columna de mercurio del tubo descendi hasta detenerse a una altura de 76 centmetros, medido desde la superficie del mercurio del recipiente; se detuvo debido a que la presin atmosfrica sobre la superficie del mercurio que est en el recipiente, equilibra a la presin que ejerce la columna de mercurio del tubo.

EJERCICIO 7

Fsica II

22

Torricelli concluy que la presin atmosfrica equivale a la presin hidrosttica ejercida por una columna de mercurio de 76 cm de altura. Esta presin se dice que es 1 atmsfera (1 atm). 1 atm = 76 cm de Hg = 760 mm de Hg Como la presin atmosfrica es igual a la presin hidrosttica que ejerce una columna de mercurio de 76 cm de altura, entonces su valor es el siguiente: Pat = g h = (13600Kg/m3)(9.8 m/seg2)(0.76 m) =1.013 x 105 Pa El experimento de Torricelli se realiz al nivel del mar. Pero, as como la presin hidrosttica depende de la altura, igualmente la presin atmosfrica no tiene el mismo valor en lugares de la Tierra cuya elevacin respecto al nivel del mar es diferente (ver tabla). Por ejemplo, en la ciudad de Mxico, la presin es menor que en Hermosillo, ya que la primera se encuentra a casi 3000 metros sobre el nivel del mar, mientras Hermosillo se encuentra a slo 170 metros del nivel del mar.

Esto significa que los aparatos que se utilizan para medir la presin atmosfrica, llamados barmetros y manmetros, tambin pueden ser utilizados para medir la altitud del lugar.

Analiza y discute en equipo de cinco integrantes la siguiente actividad, compara y comenta tus respuestas con las de otros equipos y con el profesor. Si el agua es una sustancia ms fcil de obtener que el mercurio, por qu crees que Torricelli no us agua en lugar de mercurio para su experimento? Qu diferencia hubiera habido si en vez de mercurio utiliza agua? Una vez que respondan estas preguntas realicen, en equipo, este experimento utilizando una manguera transparente que contenga agua.

Variacin de la presin atmosfrica con la altitud Altitud (en metros) Pat (en cm de Hg) 0 76 500 72 1000 67 2000 60 3000 53 4000 47 5000 41 6000 36 7000 31 8000 27 9000 24 10000 21

Fig. 1.11. Medicin de la presin atmosfrica con una columna de mercurio.

EJERCICIO 8

TAREAS 2 y 3

Pginas 51 y 53.

23

Hidrulica

Por ser el aire un fluido, pudiramos pensar que la magnitud de la presin atmosfrica puede calcularse con la expresin para la presin hidrosttica P = g h Qu dificultades tendramos para usar esta expresin para el clculo de la presin atmosfrica?

Presin absoluta Como la presin atmosfrica acta sobre todo los objetos y sustancias que estn en contacto con ella, si un lquido se encuentra en un recipiente al descubierto (una alberca o el mar es un buen ejemplo), la presin total en un punto situado a una altura o profundidad h se obtiene sumando la presin atmosfrica del lugar y la presin hidrosttica. A esta presin total se le conoce como presin absoluta, es decir:

Presin absoluta = presin atmosfrica + presin hidrosttica

Pab = Pat + g h Ecuacin 1.6 Problema 7. Calcula la presin absoluta de un buzo que se encuentra a 10 metros de profundidad en agua de mar. DATOS: SOLUCIN: Pat=1.013 x 105 Pa La presin absoluta se obtiene sumando la presin

atmosfrica a la presin hidrosttica, es decir: = 1024 Kg/m3 g = 9.8 m/seg2 Pab = Pat + g h

h = 10 m )m)(seg

m.)(

m

Kg(PaPab 10891024101300 23+=

Pa201652= La presin atmosfrica hace que aumente al doble la presin total sobre el buzo!

1.1.2. Principio de Pascal. Debido a que los lquidos son prcticamente incompresibles, cualquier presin que se ejerce sobre ellos se transmite de manera integra e inmediata a todos los puntos del lquido (Fig. 1.12). Blaise Pascal, cientfico francs del siglo XVII estudi como se transmite la presin que se ejerce sobre un fluido y el efecto que se observa lleva su nombre: principio de Pascal.

La presin aplicada a un fluido encerrado y en reposo se transmite ntegramente y en todas direcciones a todos los puntos del fluido y a las paredes del recipiente que lo contiene.

EJERCICIO 9

TAREA 4

Pgina 55.

Fsica II

24

El principio de Pascal quiz no tendra tantas aplicaciones si slo nos ayudara a la transmisin de fuerzas y presiones, su principal aplicacin radica en que tambin nos ayuda a multiplicar dichas fuerzas, como se demuestra a continuacin: La presin inicial (Pi) a un gato hidrulico, aplica una fuerza inicial Fi a un pistn de rea muy pequea Ai (fig) Segn el principio de Pascal, esta presin se transmite ntegramente al pistn de salida cuya rea es As. Como:

Pi = Ps, entonces

i

i

AF

= s

s

AF

Ecuacin 1.7

De la ecuacin anterior se obtiene que:

Fs = (i

s

AA

)Fi

Lo cual nos indica que la fuerza inicial Fi , se multiplica tantas veces como el rea de salida, As es mayor que el rea de entrada Ai (Fig. 1.13). As, si aplicamos una fuerza inicial de 10 Newton en un rea de 1 cm2, y si el pistn de salida tiene un rea de 100 cm2, la fuerza de salida ser de 1000 Newtons; es decir, la fuerza inicial se multiplic por 100. Una aplicacin muy comn de este principio lo encontramos en el sistema de frenado hidrulico de los autos, en donde una pequea fuerza aplicada al pedal de los frenos, se transmite a travs de tubos muy delgados llenos de un lquido hasta llegar a los cilindros de frenado, convertida en una fuerza lo suficientemente grande para detener la marcha del vehculo.

Fig. 1.13: La fuerza aplicada en el pistn de rea pequea se multiplica al transmitirse al pistn de rea mayor

Fig. 1.12. Jeringa de Pascal. La presin aplicada a un lquido se transmite ntegramente y en todas direcciones, como se ve aqu en esta jeringa.

s

25

Hidrulica

Problema 8. Un elevador de taller mecnico tiene pistones de entrada y salida (el de levantamiento) de 5 centmetros y de 60 centmetros de radio respectivamente. Con este dispositivo se mantiene levantado un auto de 2000 Kg. a) Cul es la fuerza aplicada al pistn de entrada? b) Cunta presin se ejerce sobre el pistn de salida? y al de entrada? DATOS: SOLUCIN: Fs = W = mg =19600Nw La presin inicial de entrada debe ser igual a la presin de salida, por lo que: ri = 5 cm

rs = 60 cm s

s

i

i

AF

AF = , de donde, despejando Fi , obtenemos:

2

219600

s

i

s

isi

r

)r(N

A

AFF

==

N.cm

)cm(N

r

)r(N

s

i 11363600

2519600196002

2

2

2

=== Con el peso de un nio de 14 kg se puede levantar este carro de 2000 kg! 1.1.3. Principio de Arqumedes. Seguramente habrs notado que cuando te encuentras en una alberca o en un ro los objetos aparentan ser ms livianos. Puedes levantar con facilidad una pesada piedra mientras se encuentre dentro del agua, pero una vez fuera de ella se requiere de ms esfuerzo para levantarla. Dentro de un lquido los cuerpos tienen un peso aparente menor que en el aire. Este fenmeno fue estudiado por el sabio griego Arqumedes, de quien se relata una de las ancdotas cientficas ms pintorescas de la historia de la ciencia. Se dice que el rey Hern le encarg a Arqumedes que investigara si el orfebre a quien le haba encomendado la elaboracin de su corona, haba utilizado en su totalidad el oro que le haba asignado para dicho trabajo, o bien, si haba usado slo una parte y haba completado la corona con otro metal ms barato. Se cuenta que estando en la tina de su bao y observando como se hunda y flotaba su cuerpo al aspirar y exhalar aire, se le ocurri la idea que cmo poda resolver el misterio de la corona, saliendo emocionado y corriendo por las calles del pueblo y gritando "Eureka! Eureka!", que significa "lo encontr! lo encontr!"

TAREA 5

Pgina 57.

Fsica II

26

La solucin a este problema se explica por el principio que lleva su nombre: Principio de Arqumedes Todo cuerpo sumergido en un fluido recibe un empuje hacia arriba igual al peso del volumen del lquido que desaloja (Fig 1.14).

Empuje = Peso del lquido desalojado

E = mLg , como m = V E = L VL g Ecuacin 1.8

Donde mL es la masa del lquido desalojado, L es la densidad de ese lquido y VL el volumen del mismo lquido. Aqu es importante observar que el volumen del lquido desalojado es igual al volumen del cuerpo (Vc) que se introduce en l. En realidad el Principio de Arqumedes es consecuencia de la presin hidrosttica que experimenta cualquier objeto sumergido en un fluido. Recordemos que la presin es mayor en los puntos de mayor profundidad, por lo tanto, los puntos inferiores del objeto reciben mayor presin que cualquier otro punto. Por eso hay una fuerza resultante sobre el cuerpo, dirigida hacia arriba (Fig. 1.15). Esta es el empuje.

Fig. 1.15. El empuje es consecuencia de que a mayor profundidad la presin hidrosttica sobre un objeto es tambin mayor (como lo indican las flechas).

27

Hidrulica

En efecto. El principio de Arqumedes explica el por qu algunos cuerpos flotan y otros no en determinado lquido. Veamos por qu: Cuando un cuerpo est totalmente sumergido en un lquido, sobre l actan dos fuerzas: Su peso W y la fuerza de empuje E hacia arriba que recibe del lquido. Entonces se pueden presentar las siguientes tres situaciones: 1) Que el peso W del objeto sea mayor que el empuje E, lo cual hace que la

resultante de estas dos fuerzas sea hacia abajo y provoca que el cuerpo se hunda.

2) Que el peso W del objeto sea menor que el empuje E que recibe del lquido.

En este caso, la resultante de las dos fuerzas es hacia arriba y provoca que el objeto se vaya hacia arriba y flote.

3) Que el peso W y el empuje E sean iguales. En esta situacin, la resultante de

las dos fuerzas es cero y el objeto se conservar en equilibrio en el lugar en que se coloque dentro del lquido.

Como el peso de un objeto se puede escribir en funcin de su densidad, as,

W = V g, al igual que el empuje que E = L VL g . Entonces, cuando el Peso y el empuje son iguales y el cuerpo se mantiene en equilibrio, es porque la

densidad del cuerpo es igual a la densidad del lquido , ya que V y VL son iguales. De lo anterior se deduce que un cuerpo se hunde porque su densidad es mayor que la del lquido y flota cuando su densidad es menor.

Como ven, un cuerpo slido flota en un lquido slo cuando su densidad es menor. Si la densidad del slido es mayor que la del lquido, entonces, el slido se hunde. Verdad profe?

Fsica II

28

Peso aparente Si colgamos un objeto de un dinammetro leeremos su peso (W). Cuando ste lo introducimos a un lquido leeremos un peso menor, esto es su peso aparente (Wap).

WAP = W E , o bien E = W - Wap Ecuacin 1.9

. .

Fig. 1.16: El empuje que recibe el objeto provoca que tenga un peso aparente menor que el peso real.

Problema 9. Una roca tiene una masa de 0.5 Kg. y un volumen de 100 cm3. Calcula el empuje que recibe si se sumerge totalmente en gasolina. DATOS: SOLUCIN: Vc =VL =100 cm3 Calculamos el empuje E con la expresin gVE LL= : L = 680 Kg/m3 N.)seg

m.)(m)(

mKg

(E 6664089106802

343

== g = 9.8 m/seg2

29

Hidrulica

Problema 10. Un cuerpo cuyo peso es de 400 N, al sumergirse en un recipiente que contiene glicerina tiene un peso aparente de 250 N. Cul es el volumen del cuerpo? DATOS: SOLUCIN:

W =400N De la expresin del peso aparente Wap = W E, despejamos E: Wap = 250 N E = W Wap=150 N

L=126Kg/m3 Ahora de la ecuacin E = L VL g, despejamos el volumen: 3

23

121089126

150m.

)seg

m.)(

m

Kg(

Ng

EV

LL ===

= Vc

Recordemos que el volumen del lquido desalojado (VL) es igual al volumen del cuerpo (Vc) que se introduce en dicho lquido. Realiza la siguiente actividad en equipo de cinco integrantes. Compara tus resultados con los otros equipos y con tu profesor. A) El principio de Arqumedes nos proporciona un buen mtodo para medir el

volumen de un cuerpo irregular. Explica por qu. B) El empuje que recibe un objeto al estar totalmente inmerso en un fluido,

aumenta con la profundidad o es siempre el mismo? Explica tu respuesta. 1.1.4. Adhesin y cohesin. Las molculas de los cuerpos experimentan fuerzas de atraccin de origen electromagntico. Cuando esta fuerza se da entre molculas de un mismo cuerpo o sustancia se llama fuerza de cohesin y es la responsable de la forma que adopta la materia: Slido, lquido o gas. Si la fuerza se da entre molculas de sustancias diferentes se le llama fuerza de adhesin y es la causante de que ciertos objetos se peguen a otros, por ejemplo, el corrector lquido que utilizas en tus errores se pega o adhiere a la hoja de tu cuaderno. Estas dos fuerzas, cohesin y adhesin, cobran especial importancia en los lquidos ya que dan lugar a fenmenos que son exclusivos de este estado de la materia. Cuando se vierte un lquido sobre un slido se presentan estas dos fuerzas en la superficie de contacto. Por un lado las molculas del lquido se atraen entre s (cohesin), pero tambin atraen a las molculas del slido (adhesin) con las que tienen contacto. Dependiendo de la relacin que se da entre estas dos fuerzas, pueden darse las siguientes situaciones: A) Que la fuerza de adhesin entre las molculas del lquido y las del slido sea

mayor que la de cohesin entre las molculas del lquido. Entonces se dice que el lquido moja al slido.

B) Que la fuerza de cohesin entre las molculas del lquido sea mayor que la de adhesin entre las del lquido y el slido. Entonces sucede que el lquido no moja al slido.

EJERCICIO 10

Fsica II

30

Realiza esta actividad en equipo de cinco integrantes. Compara tus respuestas con la de otros equipos y comntalas a tu profesor. a) Da tres ejemplos de una sustancia que se adhiera a otra. b) Da tres ejemplos de un lquido que moje a un slido. c) Da dos ejemplos de un lquido que no moje. d) Si vaciamos agua a un automvil, ste se moja. Qu podemos hacer en esta situacin para que no se moje? 1.1.5. Tensin superficial y capilaridad. De seguro habrs notado cmo en la superficie de un lago o estanque permanecen, sin hundirse, hojas de rboles, pequeos insectos, envases de plstico, etctera, esto a pesar de que la densidad de estas sustancias es mayor que la del agua. Como consecuencia de la fuerza de cohesin, la superficie externa de un lquido se comporta como si fuera una membrana elstica capaz de soportar pequeos objetos. Esto es debido a que las molculas que estn en la superficie experimentan fuerzas de atraccin slo de las molculas que estn a su lado y de las molculas que estn por debajo de dicha superficie. (Ver figura), a diferencia de las molculas que estn en el interior, las cuales reciben fuerzas de atraccin en todas direcciones y que se equilibran entre s. Esto da como resultado que las molculas que estn en la superficie libre de un lquido experimenten una fuerza de cohesin resultante hacia el interior del lquido, comportndose estas molculas como si fuera una capa o membrana elstica, la cual presenta cierta resistencia a ser penetrada. A este fenmeno, que es exclusivo de los lquidos, se le llama tensin superficial.

No es cohesin, ni adhesin. Es mi cumpleaos! Cohesionados o adheridos?

EJERCICIO 11

31

Hidrulica

Fig.1.17. Una molcula en la superficie de un lquido experimenta solo fuerzas laterales y hacia abajo. Debido a la tensin superficial, una aguja o una navaja de acero pueden permanecer en equilibrio sobre la superficie del agua, a pesar de que el acero tiene mayor densidad del agua.

Fig. 1.18. Un insecto, una aguja y una navaja suspendidos en la superficie de agua debido a la tensin superficial La tensin superficial es la responsable de la formacin de las pompas de jabn y, de que las gotas de agua en una llovizna sean esfricas. El agua y todos los

Fsica II

32

lquidos busca tener siempre la menor rea de contacto con el exterior, y esfera es la forma geomtrica que, con el mismo volumen, presenta la menor rea de contacto. CAPILARIDAD Despus de un da lluvioso, habrs notado que la parte exterior de algunas paredes exteriores de tu casa se humedecen notablemente desde el suelo hasta llegar a cierta altura. Si, por descuido, el papel sanitario que cuelga del rodillo llega hasta el suelo humedecido, esta humedad asciende a travs de los poros del papel hasta llegar a cierta altura. Puede llegar a mojarlo totalmente. Igualmente, si colocas un popote en un recipiente con refresco, este asciende aun por encima del nivel en el que est el refresco en el recipiente. Si utilizas un tubo ms delgado observars que el refresco asciende an ms, de hecho mientras mas delgado sea el tubo que utilizas, la altura a la que asciende el refresco es an mayor. Este fenmeno, que se llama capilaridad, es consecuencia de la fuerza de adhesin. Las molculas del lquido se adhieren a las molculas de las paredes internas del slido y asciende a travs de esas paredes.

La capilaridad es un fenmeno por medio del cual un lquido asciende a travs de tubos muy delgados (capilares) y de las porosidades de un slido.

La capilaridad es la causante de los fenmenos descritos al principio de esta seccin y de algunos otros como el flujo de humedad a travs de las races de los rboles hasta sus hojas. Realiza esta actividad en equipo de cinco integrantes y comntala con tu profesor. Cita otros cinco ejemplos de situaciones cotidianas que se explican debido a la capilaridad. Viscosidad Otra de las fuerzas internas que es importante en el estudio de los lquidos, es la viscosidad. Recordemos que en un lquido la fuerza entre sus molculas no son tan intensas como en los slidos, sus molculas se encuentran ms separadas y con mayor movilidad. El movimiento o flujo de los lquidos ocurre cuando las capas superiores se deslizan sobre las capas inferiores, producindose entre estas capas una fuerza de friccin o rozamiento. Esta fuerza es la que determina el grado de viscosidad de un lquido: Mientras mayor sea el rozamiento se trata de un lquido ms viscoso.

EJERCICIO 12

33

Hidrulica

El agua y el alcohol, por ejemplo, son lquidos pocos viscosos y por lo tanto pueden fluir con facilidad; en cambio, la miel y la glicerina son lquidos muy viscosos que fluyen con dificultad. Sin embargo, en la hidrosttica, que trata los lquidos en reposo, esta fuerza no es importante, pero s en la siguiente seccin que estudia los lquidos en movimiento y que se llama hidrodinmica. De hecho, la viscosidad depende de la velocidad relativa entre las capas de un lquido en movimiento.

HHIIDDRROODDIINNMMIICCAA..

Una vez estudiadas en la hidrosttica las caractersticas y los fenmenos causados por los lquidos en reposo, ahora analizaremos, en la hidrodinmica, lo que ocurre cuando hay movimiento o flujo de un lquido. La hidrodinmica es el estudio de las propiedades mecnicas y los fenmenos que presentan los fluidos en movimiento. El estudio de los slidos en movimiento es muy complicado matemticamente, si se toma en cuenta todas las fuerzas que intervienen, entre ellas la friccin, y lo que hacemos para facilitar dichos clculos es despreciar la influencia de la friccin, igualmente, el estudio de los lquidos reales es muy complicado porque intervienen tambin fuerzas de friccin representadas por la viscosidad de los mismos. La viscosidad es la resistencia que presenta un lquido al fluir. En un lquido en movimiento, la viscosidad depende de la velocidad relativa entre las diferentes capas del lquido y su principal efecto es la creacin de remolinos y turbulencias cuando el lquido tiene que sortear un obstculo slido. (Fig 1.2.1).

11..22..

Y cuando un lquido est en movimiento, qu fenmenos se observan?

Fig. 1.2.1. Cuando un fluido rodea un obstculo slido se crean remolinos y turbulencias.

Fsica II

34

Si queremos facilitar el estudio de los lquidos en movimiento, con el fin de obtener resultados que permitan explicar las aplicaciones prcticas en el diseo de canales, presas, barcos, hlices, aviones, turbinas y tuberas en general, se hacen ciertas suposiciones que nos acercan al comportamiento de un lquido real y que a la vez nos permiten hacer clculos ms sencillos. A los fluidos que cumplen estas suposiciones se les llama fluidos ideales. Algunas caractersticas generales del flujo de un fluido ideal son las siguientes: 1. Flujo laminar o estacionario. El flujo o movimiento de un fluido se describe en funcin de variables como la presin, la densidad y la velocidad. Si estas cantidades se mantienen constantes al transcurrir el tiempo, entonces el flujo es estacionario. Estas cantidades pueden variar de un punto a otro, pero no en un punto determinado. Esto se cumple para velocidades de flujo pequeas. En el caso de velocidades grandes como en los rpidos de un ro o en cascadas, el flujo es turbulento y dichas cantidades varan de forma notoria no slo de un punto a otro, sino en un punto determinado. 2. Flujo incompresible. Cuando la densidad del fluido no cambia en ningn punto y con el tiempo, el flujo es incompresible. Como sabemos los lquidos son incompresibles, pero cuando la velocidad de flujo de un gas es pequea su compresin es insignificante de modo que puede considerarse incompresible. 3. Flujo ideal o no viscoso. La viscosidad de un fluido se debe al rozamiento entre las molculas que se encuentran en movimiento relativo. La viscosidad equivale a la friccin en el movimiento relativo de dos superficies slidas. A mayor viscosidad es necesaria mayor fuerza o presin para mantener al fluido en movimiento. En la realidad no hay fluidos ideales, todos tienen cierto grado de viscosidad. Pero al igual que en la mecnica en algunas ocasiones se puede despreciar la friccin ya que en estos casos sus efectos son insignificantes, aqu tambin podemos no considerar la viscosidad en aquellos casos que sus efectos no sean significativos. 4. Flujo irrotacional: Si al colocar un objeto en el interior de un fluido en movimiento, el objeto no rota o gira sobre su propio eje, el flujo es irrotacional. Un ejemplo de giro irrotacional se presenta al quitar el tapn a la tina de bao. Cualquier objeto colocado ah, acompaa al fluido en su movimiento, pero no gira sobre su propio eje. A un flujo que no tenga estas caractersticas, es decir, a un flujo que sea no estacionario, compresible, viscoso y rotacional se llama flujo turbulento.

Fig. 1.2.2. Flujo estacionario: La velocidad, la densidad y la presin no cambian en un punto determinado, al transcurrir el tiempo, como en el punto D.

35

Hidrulica

Lneas de flujo El movimiento de un fluido se puede representar por medio de lneas de corriente o lneas de flujo. Cuando el flujo es estacionario, estas lneas no cambian de forma. (Fig.1.2.2). Se llaman lneas de flujo o lneas de corriente a una representacin grfica de la trayectoria que siguen las partculas de dicho fluido en el transcurso del tiempo. Las lneas de flujo nos dan una idea de cmo es el movimiento del fluido (estacionario o turbulento) y tambin de cmo es la velocidad. Mientras ms juntas estn las lneas de flujo, indican un fluido de mayor rapidez (Fig 1.2.3). Las lneas de flujo tienen la propiedad de que nunca se cruzan, ya que si esto sucediera, indicara que una partcula que llegue a dicho punto tendra dos direcciones distintas y cambios bruscos de velocidad y el flujo no sera constante. Una vez hecha las consideraciones iniciales definiremos algunos conceptos tiles para el estudio de la hidrodinmica. 1.2.1. Gasto. Al referirnos al flujo de un lquido a travs de una tubera, es muy comn hablar de su Gasto. El Gasto es el cociente del volumen (V) de un lquido que fluye por un conducto y el tiempo (t) que tarda en fluir.

tV

G = Ecuacin 1.2.1 a) De acuerdo con la definicin de gasto, cul es la unidad de esta cantidad

en el SI? b) En qu otras unidades se puede medir y expresar el gasto?

Fig.1.2.3. En la seccin ms angosta la velocidad del lquido es mayor, esto lo indica el hecho de que sus lneas de flujo estn ms juntas.

EJERCICIO 13

Fsica II

36

El gasto de un fluido tambin puede conocerse si se conoce el rea (A) de la seccin transversal del conducto o tubo por el cual fluye y su velocidad (v).

Si consideramos la figura 1.2.4, el volumen V del lquido contenido en el tubo desde el punto 1 al 2, se obtiene multiplicando el rea A de la seccin transversal, por la distancia d recorrida por el lquido entre esos puntos, en el tiempo t que tard en fluir el lquido del punto 1 al 2. Pero como la velocidad del fluido es constante, dicha distancia se obtiene multiplicando la velocidad v por el tiempo t, por lo tanto el volumen se obtiene as:

AvtAdV == Al calcular el gasto dividiendo este volumen entre el tiempo tenemos que:

AvG = Ecuacin 1.2.2

1.2.2. Flujo de masa.

El flujo de masa es la cantidad de masa de un lquido que pasa por un conducto en la unidad de tiempo.

tmF = Ecuacin 1.2.3

De la definicin de densidad:

=Vm

despejando m tenemos:

m = V Si sustituimos en la definicin de flujo tenemos:

Gasto lo que hacemos con tanto aparato!

Fig.1.2.4: La distancia recorrida por el lquido al pasar de 1 a 2 es vt

37

Hidrulica

F = tV

Como G =tV

, entonces:

F = G Ecuacin 1.2.4 El flujo de masa se obtiene multiplicando el gasto por la densidad del lquido. a) De acuerdo con la definicin de flujo cul es su unidad en el SI? b) Compara las unidades de flujo obtenidas mediante la definicin dada por la

ecuacin 1.2.3, con las unidades de flujo que se obtienen mediante la ecuacin 1.2.4. Son las mismas?

c) Da al menos otras tres unidades en las que se pude expresar el flujo. Problema 11. Una tubera que conduce gasolina tiene un dimetro de 12 cm. La velocidad del flujo es de 0.6 m/seg. Cul es el gasto y el flujo de masa? Datos: El gasto se obtiene as:

D = 0.12 m segm

.)segm

.)(m.(AvG3

2 0068060011310 === A = R2 =0.01131 m2 El flujo de masa es:

v = 0.6 m/seg segKg

.)segm

.)(mKg

(GF 64006806803

3===

= 680 Kg/m3 Problema 12. Determina el rea que debe tener una tubera si el agua debe fluir a razn de 0.052 m3/seg., con una velocidad de 1.3 m/seg. DATOS: SOLUCIN: G = 0.052 m3/seg Como AvG = v=1.3 m/seg Despejando el rea A:

= 1000 Kg/m3 2

3

04031

0520m.

segm

.

segm

.

vG

A ===

Problema 13. Cul es la masa de agua que pasa por la tubera del problema anterior en un segundo? Datos: Solucin:

G = 0.052 m3/seg segKg

)segm

.)(mKg

(GF 52052010003

3===

=1000 Kg/ m3

EJERCICIO 14

TAREA 6

Pgina 59.

Fsica II

38

1.2.3. Ecuacin de continuidad.

Consideremos el flujo de un lquido a travs de una tubera, la cual reduce de manera considerable el rea de su seccin transversal entre dos puntos 1 y 2, como se muestra en la figura 1.2.5. Como el lquido es incompresible, el flujo de masa que entra al tubo en un

intervalo de tiempo t, tendr que salir en el mismo tiempo. Es decir, el flujo en el punto 1 debe ser igual al flujo en el punto 2, y en general en cualquier punto. Esto es solo consecuencia de la ley de conservacin de la masa, y se expresa en lo que se llama ecuacin de continuidad: Masa que entra/tiempo = masa que sale/tiempo

t

m

t

m se = La masa puede expresarse en funcin del volumen que ocupa, as:

m = V = A d, donde d es la distancia recorrida por el lquido en el tiempo t, por lo que:

t

dA

t

dA 222111 = o bien:

222111 vAvA = 1 Ecuacin 1.2.5

Debido a la incompresibilidad del lquido, 1= 2, por lo que:

2211 vAvA = Ecuacin 1.2.6 A esta ecuacin se le conoce como la de ecuacin de continuidad Es decir, tetanconsAv =

Fig. 1.2.5. El rea de la seccin transversal del tubo se reduce, pero la cantidad de fluido que entra es igual a la que sale.

39

Hidrulica

De la ecuacin anterior se deduce que el producto Av es constante, independientemente del grosor del tubo por el que fluye el lquido. Esto significa que si se reduce el rea de la seccin transversal de un tubo, debe aumentar la velocidad, para que el producto Av se mantenga constante, y viceversa, al aumentar el rea debe disminuir la velocidad del fluido. Lo anterior se hace evidente cuando regamos el patio o el jardn con una manguera, al disminuir el rea por donde pasar el agua apretando la manguera o colocndole una boquilla, el agua sale con mayor velocidad (Fig. 1.2.7). Igualmente, la velocidad de las aguas de un ro, es menor en la parte ancha del mismo, pero aumenta en los lugares donde el ro se hace ms angosto. Problema 14. Cuando el agua fluye por una manguera de 2.5 cm de dimetro lo hace con una rapidez de 1.5 m/seg. Calcular: a) El dimetro que debe tener una boquilla o reduccin de la

manguera para que el agua salga con velocidad de 8.0 m/seg.

b) El gasto a travs de esa manguera. Datos: Solucin:

D1= 2.5cm a) De la ecuacin de continuidad: v1 = 1.5 m/seg 2211 vAvA =

v2 = 8.0 m/seg 4

21D v1=

4

22D v2

Despejando D2:

D2=2

12

1

vvD

Sustituyendo: D2 =

seg

m

)cm.)(seg

m.(

8

5251 2

D2 = 1.0825 cm b) El Gasto:

G = A1 v 1=4

21D v1=0.00074

segm3

=44.4 minlitros

Fig. 1.2.6. Al reducirse el rea de la tubera, aumenta la velocidad. Las lneas de flujo estn ms juntas en la seccin ms angosta.

Fig. 1.2.7. La velocidad del agua en una manguera aumenta al reducirse el rea de salida mediante una boquilla o reductor.

TAREA 7

Pgina 61.

Fsica II

40

1.2.4. Ecuacin de Bernoulli. Las leyes de la dinmica para cuerpos slidos, vistas en Fsica I, son aplicables tambin a los fluidos, aunque debido a que stos no tienen forma propia, se hacen las consideraciones citadas al principio de esta seccin, respecto a los fluidos ideales. Daniel Bernoulli (1700-1782), fsico suizo, estudi el comportamiento de los lquidos y aplic precisamente una de estas leyes, la ley de conservacin de la energa, al comportamiento de un lquido en movimiento. Veamos cul pudo ser el razonamiento de Bernoulli Si consideramos el flujo de un lquido por la tubera que se muestra en la figura 1.2.8, podemos asegurar que dicho lquido tiene tres tipos de energa: 1) Energa cintica, puesto que representa una masa en movimiento. Dicha

energa se obtiene as:

2

2mvEc = 2) Energa potencial gravitacional, debido a que el lquido se encuentra en el

campo gravitacional terrestre. Esta energa se obtiene: mghEP = donde h es la altura a la que se encuentra el lquido de un cierto nivel que se toma como referencia. 3) Energa de presin, producida por la presin mutua que ejercen las

molculas del lquido entre s, por lo que el trabajo realizado para un desplazamiento de las molculas es igual a esta energa de presin.

Como la energa de presin es igual al trabajo realizado W, entonces:

FdWEpresin == Pero como

AFP = , entonces, PAF = , por lo que la energa de presin puede

expresarse as:

PAdEpresin = El producto del rea de la seccin transversal del tubo o conducto, al multiplicarse por la distancia (d) recorrida por el lquido, es precisamente el volumen (V) del lquido que pasa del punto 1 al 2, esto es:

AdV = Entonces la energa de presin se expresa: PVEpresin = Por otro lado el volumen (V) del lquido se puede expresar en trminos de su densidad, as:

Vm= , por lo que: =

mV y por lo tanto:

=Pm

Epresin

41

Hidrulica

Aplicando la ley de conservacin de la energa, la suma de la energa cintica, ms potencial, ms la energa de presin en el punto 1, es igual a la suma de estas mismas energas en el punto 2:

222111 presinpcpresinpc EEEEEE ++=++ Sustituyendo estas energas por sus expresiones, obtenemos:

2

22

22

1

11

21

22 ++=++mP

mghmvmP

mghmv

Multiplicando cada trmino de la expresin anterior por /m, nos queda:

2

22

21

21

1 22gh

vPgh

vP ++=++ Ecuacin 1.2.7 Esta es la forma ms comn de expresar la ecuacin fundamental de la hidrodinmica, conocida como Ecuacin de Bernoulli. Esta ecuacin obtenida por Bernoulli supone el flujo de un lquido ideal, es decir, incompresible, por lo que la densidad del lquido no cambia al pasar del punto 1 al punto 2. Tambin se considera insignificante la viscosidad del lquido, por lo que se supone que no hay prdida de energa por friccin. A pesar de lo anterior, la ecuacin de Bernoulli nos permite resolver situaciones de lquidos reales sin incurrir en errores considerables, ya que la prdida real de energa es insignificante comparada con la magnitud de las otras energas que intervienen. Veamos algunas caractersticas de la Ecuacin de Bernoulli: A) Aunque la ecuacin de Bernoulli se dedujo a partir de un lquido en

movimiento, tambin es aplicable a un lquido en reposo. En este caso v1=v2=0 y dicha ecuacin se transforma en la conocida ecuacin fundamental de la hidrosttica: P2 = P1 + gh, donde se ha sustituido la diferencia de alturas (h1-h2) por h. B) Si el lquido fluye por una tubera que no tiene desniveles, entonces h1 = h2, y

la Ecuacin de Bernoulli se reduce a:

22

22

2

21

1

vP

vP

+=+

Fig. 1.2.8. La ley de conservacin de la energa exige que la energa total en el punto 1 sea igual a la energa total en el punto 2.

Fsica II

42

Para que se de esta igualdad, debe ocurrir lo siguiente: Si la velocidad del fluido en el punto 1 es grande, la presin debe ser pequea y viceversa, confirmando lo visto anteriormente en la ecuacin de continuidad.

Al trmino 2

2v se le llama presin dinmica.

Los resultados de los estudios de Bernoulli se pueden resumir as: La presin que ejerce un lquido que fluye por un conducto es mayor cuando el lquido fluye a bajas velocidades, y menor cuando aumenta la velocidad de flujo. Es decir, cuando las lneas de flujo se aproximen entre s, la presin en dicha regin ser menor. En un lquido ideal cuyo flujo es estacionario, la suma de las energas cintica, potencial y de presin que ejerce un lquido se mantiene constante, es decir la suma de estas energas en un punto determinado, es igual a la suma de dichas energas en cualquier otro punto. Problema 15. Un tubo horizontal que transporta agua, tiene en la seccin 1 (ver figura 1.2.7) un rea de 0.012 m2, y en la seccin 2 tiene un estrechamiento y el rea de esta seccin es de 0.003 m2. La velocidad del agua en la primera seccin es de 6 m/seg a una presin de 3 X 105 Pa. Calcula la velocidad y la presin del agua en la seccin estrecha. Datos: La velocidad la podemos obtener con la ecuacin de continuidad: A1 =0.012 m2 2211 vAvA = A2 =0.003 m2 Despejando y sustituyendo :

v1 = 6 m/seg 2

112 A

vAv = =

2

2

003060120m.

)seg/m(m.=24 m/seg

P1 = 3 X 105 Pa Para obtener la presin, ya que h1 = h2, aplicamos la Ecuacin de Bernoulli as:

= 1000 Kg/m3 22

22

2

21

1

vP

vP

+=+ Despejando P2:

P2 = P1 + )(21 2

22

1 vv = P2 = [3 X 105 +500(62-242)]Pa P2 = 30 000 Pa

TAREA 8

Pgina 63.

43

Hidrulica

1.2.5. Aplicaciones de la ecuacin de Bernoulli. Al hecho de que la presin que ejerce un fluido depende de la velocidad con que fluye, se le han encontrado varias aplicaciones. Algunas de ellas se detallan a continuacin: 1) Teorema de Torricelli La ecuacin de Bernoulli puede ser aplicada para obtener la velocidad de salida de un lquido contenido en un recipiente, al cual se le hace un orificio en algn punto por debajo del nivel al que se encuentra la superficie libre del fluido. Si tomamos como punto inicial (1) un punto ubicado en la superficie libre y como punto 2, el punto en el cual se encuentra el orificio y aplicamos la ecuacin de Bernoulli, tenemos:

++=++2

2

221

1

21

22P

ghvP

ghv

En este caso se pueden hacer las siguientes consideraciones: A) La velocidad del lquido en el punto superior podemos considerarla

insignificante comparada con la velocidad de salida en el punto inferior. Por

lo tanto, el trmino 2

21v , podemos despreciarlo:

B) Debido a que el punto 2 se encuentra en el fondo del recipiente,

prcticamente la altura h2 es igual a cero, por lo que tambin el trmino gh2 podemos eliminarlo.

Qu interesante! Absorbo a travs del tubo y la esfera de unicel se pega. Le soplo y, tambin se pega al tubo! El Principio de Bernoulli debe explicarme esto.

Fsica II

44

C) La energa de presin es provocada por la presin atmosfrica y dicha presin es la misma tanto en el punto que est en la superficie, como el

punto que est en el fondo del recipiente. En consecuencia, los trminos 1P

y 2P son iguales y pueden tambin eliminarse.

Por tanto, de la ecuacin de Bernoulli slo nos quedan los siguientes trminos:

2

22

1

vgh = , de donde despejando la velocidad de salida del fluido en el punto inferior nos queda:

12 2ghv = Esta ecuacin fue deducida por nuestro ya citado fsico italiano Evangelista Torricelli quien resume su resultado en el teorema que lleva su nombre: Teorema de Torricelli

La velocidad con la que un lquido sale por un orificio de un recipiente, es igual a la que adquirira un cuerpo que se dejara caer libremente desde la superficie libre del lquido, hasta el nivel en que se encuentra el orificio.

Fig. 1.2.9 La velocidad de salida de un lquido depende de su densidad y de la altura o profundidad a la que se encuentra el orificio de salida

45

Hidrulica

2) Tubo de Pitot El tubo tiene una forma de L (Fig.1.2.10) y al introducirse en el lquido en movimiento (como las aguas de un ro), debido a la presin, el agua se eleva en el tubo hasta alcanzar cierta altura sobre la superficie de la corriente. Conociendo esta altura, la velocidad del fluido se obtiene con el Teorema de Torricelli:

ghv 2=

3) Tubo de Venturi El tubo de Ventura se utiliza para medir la velocidad de un lquido que fluye a presin dentro de una tubera. Este tubo consiste en dos secciones una de las cuales presenta un rea de seccin transversal ms angosta que la otra (Fig.1.2.11). De acuerdo a la ecuacin de continuidad, la velocidad del lquido es mayor en la seccin ms angosta que en la ms ancha. Del Teorema de Bernoulli se sigue que al aumentar la velocidad disminuye la presin que ejerce el lquido. Al medir la presin en ambas secciones (ancha y angosta) por medio de dos manmetros, y conociendo las respectivas reas de las secciones transversales, la velocidad del lquido se obtiene con la siguiente expresin:

=1

2

2

2

B

A

BAA

AA

)PP(V *

Fig. 1.2.10. Tubo de Pitot, conociendo la altura a la que llega el lquido en el tubo se puede calcular su velocidad

Fig. 1.2.11. Tubo de Venturi

Fsica II

46

4) Sustentacin de los aviones Las alas de un avin son curvas en la parte superior y planas en la parte inferior. Esto hace que al moverse en el aire, la velocidad del mismo sea mayor en la parte superior que en la inferior, como lo muestran las lneas de corriente de la figura 1.2.12

De acuerdo con la ecuacin de Bernoulli, la presin en la parte inferior del ala ser mayor que en la parte superior, dando como resultante una fuerza de empuje ascendente o de sustentacin. Mientras mayor es la diferencia de presiones, mayor ser el empuje ascendente

La sustentacin depende de la velocidad relativa entre el aire y el avin, as como del ngulo formado entre el ala y la horizontal, ya que al aumentar este ngulo la turbulencia que se produce en la parte superior del ala disminuye la sustentacin que predice la ecuacin de Bernoulli. El empuje que recibe un slido en virtud de que se mueve a travs de un fluido se le llama empuje dinmico, y no debe confundirse con el empuje esttico del que habla el Principio de Arqumedes. 5) Otras aplicaciones La ecuacin de Bernoulli explica asimismo otros efectos muy curiosos y sorprendentes como los siguientes: A) La presin atmosfrica no se incrementa durante un tornado, ventarrn o

huracn, sino por el contrario disminuye, esto debido a que la velocidad del aire es mayor que en condiciones normales.

B) Las curvas lanzadas por los lanzadores en el bisbol tambin son

consecuencia del Principio de Bernoulli. La rotacin que se le imprime a la pelota en el momento de lanzamiento da como resultado que parte del aire sea arrastrado por la pelota, debido a la aspereza de su superficie (costuras pronunciadas aumentan el efecto). (Figura 1.2.13).

Durante su rotacin, la velocidad del aire es mayor por un lado de la pelota que por el otro (el lado donde el aire se mueve en la misma direccin de giro) y por lo tanto, la presin es menor en ese lado que en el lado opuesto, dando como resultado una fuerza neta obliga a la pelota a seguir un movimiento curvo.

Fig. 1.2.12. La mayor velocidad en la parte superior del ala de un avin, hace que la presin en la parte de abajo del ala sea mayor que en la parte superior. Esto produce una fuerza resultante hacia arriba que es la que sustenta al avin.

47

Hidrulica

C) Si hay un cambio brusco en la velocidad, tambin habr un cambio brusco

en la presin, lo cual puede ocasionar serios problemas. Por esta razn, las llaves del agua son de rosca, ya que con esto se disminuye de manera gradual la velocidad del flujo del agua. Como la velocidad final ser cero, la ecuacin de Bernoulli predice que: P1 + v12/2 = P2 + v22/2, Como v2 = 0, entonces: P2 P1 = v1

2/2 Es decir, el cambio de presin es proporcional a la densidad del agua y al cuadrado de su velocidad. Un cambio brusco en la velocidad de flujo del agua provoca un cambio de presin muy grande y puede causar la rotura de la llave, pero si el cambio de velocidad es gradual el cambio de presin no es tan brusco ni peligroso.

1.2.13. Efecto producido por la rotacin de una pelota durante su movimiento en el aire.

Fsica II

48

En fin, hay muchos otros efectos y fenmenos interesantes y sorprendentes que son explicados por el Principio y la Ecuacin de Bernoulli, seguramente los aqu expuestos te habrn de motivar a investigar otros por tu propia cuenta. Realiza en equipo el siguiente ejercicio, compara tu resultado con los dems equipos y comntalos con tu profesor. A) Toma una hoja de papel y sostenla con las dos manos a la altura de tu boca,

como se muestra en la figura 1.2.14. B) Analiza con tus compaeros lo que ocurrira si soplaras por encima de la

hoja. La hoja ascender o descender? C) Ahora observa lo que ocurre soplando aire fuertemente por la parte superior

de la hoja. Result cierta tu suposicin anterior? La hoja ascendi o descendi?

D) Analiza con tus compaeros y cita dos casos ms en los que se aplica este principio.

Ojo! Recuerda que debes resolver la

autoevaluacin y los ejercicios de reforzamiento;

esto te ayudar a enriquecer los temas vistos en

clase.

EJERCICIO 15

Fig. 1.2.14: Qu sucede si soplamos por encima de la hoja? Se levanta o baja?

49

Hidrulica

INSTRUCCIONES: En ocasiones se habla de otros estados de agregacin de la materia, adems del slido, lquido y gas. Investiga y cita dos de estos estados.

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

Nombre ____________________________________________________________

Nm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________

Nm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________

TAREA 1

Fsica II

50

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

Revisin: _____________________________________________________ Observaciones:________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

51

Hidrulica

INSTRUCCIONES: Otra unidad en que se mide la presin atmosfrica es 1 torr, en honor a Torricelli. A qu equivale esta unidad?

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 2

Fsica II

52

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

53

Hidrulica

INSTRUCCIONES: Hay distintos tipos de barmetros, investiga cules son y qu principio utilizan para medir la presin atmosfrica.

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 3

Fsica II

54

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________


______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

55

Hidrulica

INSTRUCCIONES: Uno de los primeros cientficos que se dio cuenta de la existencia de la presin atmosfrica, fue Galileo, al demostrar experimentalmente que el aire tiene peso. Doce aos despus de la muerte de este cientfico, se realiz en la ciudad alemana de Magdeburgo, en 1654, un histrico experimento para demostrar la existencia de la presin atmosfrica. Este experimento se conoce como los hemisferios de Magdeburgo. Investiga en qu consisti dicho experimento.

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

Nombre ____________________________________________________________



TAREA 4

Fsica II

56

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

hidraulica

Documents

Transcript of hidraulica