HIDRULICA DE TUBERAS

Juan G. Saldarriaga V. Profesor de ingeniera hidrulica Universidad de los Andes

Revisin tcnica Germn R. Santos G. Profesor titularEscuela Colombiana de Ingeniera

~

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Hidrulica de tuberas

No est permitida la reproduccin total o parcial de este libro, ni su tratamiento informtico, ni la transmisin de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrnico, mecnico, por fotocopia, por registro u otros mtodos, sin el permiso previo y por escrito de los titulares del Copyright.

DERECHOS RESERVADOS. Copyright 1998, por JUAN G. SALDARRIAGA V

DERECHOS RESERVADOS. Copyright 1998, por McGRAW-HILL INTERAMERICANA, S. A. Avenida de las Amricas, 46-41. Santaf de Bogot, D. C., Colombia

Editora: Emma Ariza H.

1234567890 9012345678

ISBN: 958-600-831-2

Impreso en Colombia Printed in Colombia

Se imprimieron 1.400 ejemplares en el mes de mayo de 2001Impreso en Panamericana Formas e Impresos S.A.

A Carolina, Juliana y Alejandro quienes dan sentido a mi vida.

PREFACIO

Hidrulica de tuberas es el resultado de varios aos de trabajo de investigacin y docencia en el rea de hidrulica de tuberas y sistemas de irrigacin en el Departamento de Ingeniera Civil de la Universidad de los Andes. A pesar de que en la bibliografa tcnica existente se encuentran excelentes textos de hidrulica, mecnica de fluidos, maquinaria hidrulica e incluso textos en hidrulica de tuberas, faltaba un libro que cubriera todos los aspectos del flujo en tuberas. El presente texto es un esfuerzo para suplir ese vaco. Se caracteriza por estar centrado en el diseo de sistemas de tuberas, ms que en los mtodos de construccin, mantenimiento y operacin de dichos sistemas. Para lograr su objetivo introduce una serie de algoritmos, diagramas de flujo y programas, en los disquetes adjuntos, los cuales permiten el diseo de todos los subsistemas de tuberas que pueden formar parte de un sistema mayor. Tambin incluye comentarios de programas existentes en el mercado destinados al diseo de redes de tuberas para la distribucin de agua potable. Con el fin de ayudar a entender el proceso de diseo, cada captulo va acompaado de una serie de ejemplos resueltos y de una serie de problemas planteados. Igualmente, al final de cada captulo se presenta la bibliografa utilizada, que puede ser consultada por el lector con el objeto de complementar algunos detalles de la.teora,

Otra de las caractersticas de Hidrulica de tuberas es que abarca temas que usualmente se trataban en textos diferentes a pesar de estar muy relacionados. El libro contiene los temas de tuberas simples, sistemas de tuberas, sistemas de bombeo, sistemas de distribucin de agua potable o acueductos y, finalmente, sistemas de riego convencionales y localizados de alta frecuencia. Est dividido en ocho captulos. El captulol se dedica a establecer las teoras sobre las cuales se basa todo el diseo de sistemas de tuberas con flujoa presin. Es un captulo que describe en forma detallada el desarroll histrico del actual conocimiento del flujo turbulento en tuberas. Parte de los trabajos de Newton y Darcy y finaliza con los de Prandtl, Von Krmn, Nikuradse, Colebrook y White. Establece en forma clara las teoras de cantidad de movimiento, de flujo viscoso, de anlisis dimensional, de longitud de mezcla y de interaccin fluido-pared slida que han permitido entender el flujo turbulento en tuberas y que permanecen como uno de los pocos casos de flujo turbulento con ecuaciones de diseo completamente desarrolladas y probadas en la prctica. Al final del captulo aparece una tabla de resumen de estas ecuaciones. A pesar de que es un captulo bsico para entender el flujo en tuberas a presin, su lectura puede ser dejada de lado por el lector que no desee conocer en detalle la procedencia de las ecuaciones de diseo.

El captulo 2 est dedicado al diseo de tuberas simples, es decir aquellas tuberas con dimetro y material constante, que son la base para el diseo de los sistemas ms complejos. En l se establecen los tres tipos de problemas de tuberas a los que se ve enfrentado el diseador de tuberas y se describen las formas de solucin. Esto lleva a la presentacin de los cinco primeros diagramas de flujo y a los cinco primeros programas, los cuales sern la base de los programas que se presentan en los dems captulos. El texto remite a los programas mediante el cono de un disquete identificado con un nmero de programa. En los disquetes que acompaan el libro se encuentra un cono que identifica los 14 programas complementarios al texto. Haciendo doble clic con el ratn sobre el cono seleccionado, el lector podr utilizar cualquiera de los programas.

El captulo 3 presenta las ecuaciones y metodologas alternas para el diseo de tuberas simples. Las teoras de longitud de mezcla y de interaccin fluido-pared slida de Prandtl llevaron a ecuaciones no explcitas de diseo. Este problema foment el planteamiento de ecuaciones netamente empricas para el diseo de sistemas de tuberas, algunas tratando de seguir unidas a la ecuacin de Darcy-Weisbach y otras siguiendo un camino completamente diferente. Algunas de estas ecuaciones alcanzaron un xito importante en la prctica de la ingeniera y siguen siendo utilizadas en el presente. Entre las ecuaciones de este tipo seVI HIDRULICA DE TUBERAS

destacan las de Moody, Wood, Barr y Hazen-WJiiams, las tres primeras siguen la metodologa de Darcy y la ltima es completamente independiente. El captulo 3 presenta estas ecuaciones, con ejemplos para los tres tipos de problemas de diseo de tuberas antes descritos. Al final del captulo se hace una comparacin entre las ecuaciones de Hazen-Williams y de Darcy-Weisbach en conjunto con la de Colebrook-White.

A partir del captulo 4 se inicia el anlisis de sistemas complejos de tuberas. Sin embargo, las soluciones a problemas de diseo en estos sistemas se basan en los cinco algoritmos planteados en el captulo 2. El captulo4 aborda el problema de operar sistemas de tuberas con bombas. Se establece en detalle el efecto que una bombatiene sobre la lnea de gradiente hidrulico del flujo en una tubera y se introducen los conceptos de curva de la bomba y curva del sistema. Luego de introducir los conceptos bsicos de la operacin de bombas se desarrolla la metodologa de diseo de sta, la cual queda incluida en el. diagrama de flujo 6 y en el programa 6.

El captulo 5 establece las metodologas de diseo de tuberas en serie y de tuberas en paralelo. La primera parte del captulo se relaciona con el diseo de sistemas en serie; nuevamente se establecen las metodologas para resolver los tres tipos de problemas del diseo de sistemas de tuberas, las cuales quedan resueltas en tres diagramas de flujo con sus correspondientes programas. En esta parte del captulo se introducen los diagramas de flujo 7, 8 y 9 y sus programas. Al final de esta primera parte se estudian los tubos porosos, caso particular de los tubos en serie, utilizados en los sistemas de riego que se estudian en el captulo 8. La segunda parte del captulo 5 analiza el caso de las tuberas en paralelo. Los diagramas de flujo10, l l y 12 y sus correspondientes programas contienen las metodologas de solucin de los tres tipos de problemas para el caso de sistemas en paralelo.

Los captulos 6 y 7 se dedican al anlisis de redes de tuberas. El primero de stos desarrolla el caso de las redes abiertas o sistemas de redes matrices en sistemas de acueductos, aquellas tuberas expresas que interconectan los diferentes tanques del sistema. Para el anlisis de este tipo de redes se introduce el concepto de balance de cantidad en un nodo y luego se procede a establecer las metodologas de diseo de los tres tipos de problemas en el caso de las redes abiertas. Se desarrollan los diagramas de flujo 13 y 14 y sus correspondientes programas. Estos 14 programas fueron desarrollados como parte integral del texto Hidrulica de tuberias, Tal como se estableci anteriormente, los archivos ejecutables se encuentran incluidos en los disquetes adjuntos. Todos los programas fueron desarrollados en lenguaje TURBO PASCAL para WINDOWS y pueden correr en un computador PC compatible con procesador 80486 o superior y con una memoria RAM de por lo menos 8 megabytes,

El captulo 7 est relacionado con las redes cerradas de tuberas, es decir aquellas redes que contienen al menos un circuito cerrado y que conforman los sistemas tpicos de distribucin de agua potable en los centros urbanos. En el captulo se describen en detalle las diferentes metodologas para resolver problemas de diseo de redes cerradas partiendo de las ms antiguas, tales como la de Hardy-Cross hasta las ms modernas como la del gradiente, Se muestra cmo las metodologas existentes se desarrollaron nicamente para el primer tipo de problema de tuberas, la comprobacin del diseo. Se hace una corta descripcin, sacada de INTERNET, de algunos de los principales programas comerciales: KYPIPE 3, CYBERNET, WATERCAD y EPANET. La ltima parte del captulo se dedica a describir metodologas para atacar el tercer tipo de problemas, el diseo en s de las redes, a travs de rutinas de optimizacin de costos de tuberas. Se introducen los criterios de diseo de redes cerradas de Wu y de Featherstone y se describe el programa REDES, desarrollado en el Departamento de Ingeniera Civil de la Universidad de los Andes, el cual permite el diseo optimizado de redes de distribucin de agua potable. Una versin acadmica de este programa, limitada a redes de mximo 30 tubos, se encuentra en los disquetes que vienen con el libro.PREFACIO VH

El captulo 8 de Hidrulica de tuberas representa la diferencia ms importante con respecto a otros textos en el rea de tuberas, ya que cubre aspectos que usualmente son tema de cursos o aun carreras diferentes. Dicho captulo aborda las redes de riego a presin, incluyendo las redes de sistemas de riego localizado de alta frecuencia. El diseo de este tipo de redes no haba sido tratado en forma coherente en un texto de hidrulica. a pesar de que tiene muchos elementos comunes con los sistemas de tuberas abiertas y con las redes de distribucin de agua potable. En el captulo se enfatizan estos elementos comunes y, por consiguiente, se utilizan los algoritmos y programas introducidos en los captulos anteriores en las metodologas de diseo de redes de riego. Sin embargo, los sistemas de riego tienen caractersticas propias, especialmente los de riego localizado de alta frecuencia; por esta razn, la parte inicial del captulo describe las diferentes partes de un sistema de riego y la forma de obtener los caudales de consumo. La metodologa de diseo de redes de riego presentada en el captulo ha sido implementada en el programa RIEGOS desarrollado por el Departamento de Ingeniera Civil de la Universidad de los Andes. Nuevamente se incluye copia de este programa, en una versin acadmica. en los disquetes adjuntos.

En las pginas finales aparecen cincoapndices para apoyar los algoritmos y programas descritos en el texto. El apndice 1 presenta las propiedades fsicas de diferentes fluidos, haciendo nfasis en el agua, necesarias cada vez que se quieran utilizar ecuaciones de diseo. El apndice 2 est constituido por los diagramas de Nikuradse y Moody. En el apndice 3 aparecen las instrucciones para la instalacin de los disquetes adjuntos y las instrucciones para el manejo del programa REDES. El apndice 4 incluye las instrucciones para el manejo del programa RIEGOS. Por ltimo. el apndice 5 contiene las instrucciones para el manejo de los programas de comprobacin de diseo, clculo de potencia y diseo de diferentes sistemas de tuberas. Estos programas se encuentran numerados del 1 al 14.

Para la realizacin de este texto el autor cont con la ayuda de numerosas personas y entidades y a todos ellos debe agradecer su apoyo. El Departamento de Ingeniera Civil de la Universidad de los Andes, y en especial sus directores profesores Luis E. Yamn y Bernardo Caicedo, respald la idea de convertir unas notas de clase en un libro de texto. El profesor Alberto Sarria, decano de la Facultad de Ingeniera de la Universidad de los Andes. aport importantes comentarios despus de leer el manuscrito del captulo 1. Los alumnos del Programa de Magster en Recursos Hidrulicos en la Universidad de los Andes ayudaron a corregir las primeras versiones del texto y de los algoritmos de los programas. Elsa Urueta, Patricia Wolf y Marcela Insignares, alumnas de ese programa, y Carolina Santamara, fueron las encargadas de producir la versin en procesador de palabra del texto, incluyendo todos los dibujos y grficas. Camilo Olea y Luis Ernesto Guzmn desarrollaron los programas que incluyen los disquetes. Luis A. Carnacho, Juan D. Daz, Andrs S alazar, Manuel Romero y Camilo Olea. en sus tesis de pregrado y de magster desarrollaron el programa REDES, Andrs Salazar en su tesis de magster desarroll la primera versin del programa RIEGOS.

El presente texto no hubiera sido posible sin el respaldo y el trabajo hecho por Emma Ariza, editora, y Neira Loaiza, correctora de estilo, de McGraw-Hill. La detallada revisin tcnica realizada por el profesor Germn Santos, de la Escuela Colombiana de Ingeniera, tambin fue un excelente trabajo que el autor desea destacar y agradecer.

Finalmente, Carolina, Juliana y Alejandro con su paciencia y amor permitieron que el autor pudiera dedicarle tiempo a la escritura del texto y al desarrollo de los algoritmos y programas. Ese tiempo fue tomado de aquel que se les ha debido dedicar.

Juan SaldarriagaJunio de 1998

IX

CONTENIDO

Prefacio V

Captulo 1: Introducclii "!d flujo en tuberasDefinicin y tipos de flujo , .; I Flujo uniforme _. 2Resistencia al flujo en conductos circulares 2Experimento de Reynolds.t.i-r.; 2Nmero de Reynolds , , 5Prdidas de energa por friccin: experimentos preliminares 7 Viscosidad turbulenta. Longitud de mezcla 8Viscosidad turbulenta (de remolino o de Eddy) 8Esfuerzo de Reynolds 10Longitud de mezcla , 13Interaccin flujo-pared slida 14 Distribucin de esfuerzos en tuberas circulares 15Distribucin de velocidades (tuberas circulares) 18Flujo laminar 18Flujo turbulento ~ 19Subcapa laminar viscosa (flujo laminar) 20Zona de transicin 22Zona turbulenta 25Perfiles de velocidad 29Ecuaciones para el diseo de tuberas circulares : 32Flujo laminar ,_. .. , : 33Flujo turbulento 40Prdidas de cabeza debido a la friccin 45Relacin entre f y t, . 46El factor de friccin para flujo laminar .- , 47Ecuaciones de friccin para tuberas reales : 48Ecuacin de Blassius para flujos hidrulicamente lisos 48Diagrama de Nikuradse , 50Trabajos de Lewis Moody. Diagrama de Moody 51Ecuaciones generales para la friccin en tuberas reales. Flujo turbulento : 53Clasificacin de las rugosidades en tuberas. Trabajos de Colebrook-White 61Problemas : 69Bibliografa 72

Captulo 2: Diseo de tuberas simplesTipos de problemas en hidrulica de duetos a presin:74

Comprobacin de diseo76

Clculo de la potencia requerida:76

Diseo de la tubera,_.76

Ecuaciones para el diseo de tuberas simples77

Comprobacin de diseo79

Clculo de potencia requerida82

X CONTENIDO

Mtodo de iteracin de un punto83

Mtodo de Newton-Raphson85

Diseo de tuberas simples..............................................................................................................................91

Diseo de tuberas simples con altas prdidas menores95

Problemas107

Anexo 1113

Anexo 211.4

Bibliografa120

Captulo 3: Ecuaciones empricas para la friccin en tuberas

Introduccin123

Ecuaciones empricas para describir el factor de friccin f de Darcy en rgimen turbulento124

Ecuacin de Moody124

Ecuacin de Wood125

Ecuacin de Barr126

La ecuacin de Hazen-Williams127

Comparacin entre las ecuaciones de Hazen-Williarns y de Darcy-Weisbach136

Problemas145

Anexo 1149

Bibliografa151

Captulo 4: Bombas en sistemas de tuberas

Introduccin153

Bombas en sistemas de tuberas154

Lnea de gradiente hidrulico en sistemas bomba-tubera155

Curvas de un sistema bomba-tubera157

Curvas de la bomba157

Curvas del sistema160

Punto de operacin de la bomba161

Limitaciones en la cabeza de succin162

Bombas en sistemas de tuberas166

Bombas en tuberas simples168

Problemas180

B bliografa.... .. . . . . .. . .. .. . . . . . .. . . . .. . . . .. .. . .. . .. .. . . .. .. . . .. .. . .. . .. . .. . .. .. . .. . .. . . . . .. .. .. .. . .. . .. .. . . . .. . .187

Captulo 5: Tuberas en serie y tuberas en paralelo

Introduccin189

Tuberas en serie............................................................................................................................................190

Comprobacinde diseo de tuberas en serie192

Clculo de potencia para tuberas en serie201

Diseo de tuberas en serie207

Tuberas con prdida uniforme de caudal por unidad de longitud: tubos porosos217

Tuberas en paralelo226

Comprobacin de diseo de tuberas en paralelo228

Clculo de potencia para ruberas en paralelo232

Diseo de tuberas en paralelo240

Problemas248

Bibliografa254

HIDRULICA DE TUBERAS

Captulo 6: Anlisis de redes de tuberas. Redes abiertasXI

Introduccin255

Anlisis de redes abiertas: balance de cantidad258

Comprobacin de diseo en redes abiertas260

Clculo de potencia269

Diseo de redes abiertas270

Bombas en redes abiertas279

Problemas287

Bibliografa292

Captulo 7: Anlisis de redes de tuberas. Redes cerradasIntroduccin

295

Primera parte: anlisis de redes cerradas,296

Principios fundamentales de anlisis de redes cerradas296

Mtodo de Hardy-Cross con correccin de caudalesMtodo de Hardy-Cross con correccin de caudales: pasos que se deben seguir en el anlisis 299

301

Mtodo de Hardy-Cross con correccin de cabezasMtodo de Har a' Fluio hidrulicamente~ rugoso

Figura 1.13 Flujos hidrulicamente lisos e hidrulicamente rugosos. E! tipo de flujo depende del tamao relativo entre el espesor de la subcapa laminar viscosa .S' y el tamao de la rugosidad media ks'

Distribucin de esfuerzos en tuberas circulares

S se utiliza la ecuacin de Bemoulli para el flujo en tuberas se puede encontrar que las prdidas de energa se manifiestan como prdidas en la cabeza piezomtrica, la cual se define como:

donde

p' presin piezomtrica = p + pgzp presinz altura hasta un nivel de referenciap densidad del fluidog gravedad

Estas prdidas son consecuencia del esfuerzo cortante que existe entre el fluido en movimiento y la pared slida. Para encontrar la distribucin de este esfuerzo en Ja seccin transversal del flujo, se debe tomar el fluido contenido en un tramo de tubera (volumen de control) e indicar todas las fuerzas que actan en l (ver figura L 14).

dz

INTRODUCCIN Al FLUJO EN TUBERAS17

HIDRULICA DE TUBEl~AS16

z

,...._

w oatum

Direccin del flujo-----..::..

Figura 1. 14 Volumen de control para el flujo en una tubera. Se muestran todas las fuerzas que actan en un fluido contenido en un volumen de control.

Si el fluido contenido en el volumen de control mostrado en la figura 1.14 no se est acelerando, entonces" Fx = O. Teniendo en cuenta este hecho se obtiene la siguiente ecuacin:

pA - (p + dp) A + W cos e ~ r0 Pdx = O

donde

P = permetro mojado (permetro interno del tubo)W = peso del fluido en el volumen de control

El peso del volumen de control es:

W= pgA dx

Luego

- dpA + pg A dx cos e - r0 Pdx = O

Pero, de acuerdo con la figura:

dx cose= -dz (Ver figura l.14)

Por consiguiente

-- dpA - pg A dz - r0 Pdx = O

r0 Pdx = A ( dp + pg dz)

Como (p + pgz) = p *, la presin piezomtrica es entonces:

r0 Pdx = Adp*

de donde finalmente se obtiene:

Jr = A dp* P dx

(l.9)

Para conocer el esfuerzo cortante en las paredes de la tubera ( r0) slo hay que conocer la cada en la presin piezomtrica en una determinada longitud de la misma tubera, as como su geometra.

Para tuberas circulares

oA= 'TTT 2

Luego

ro =

dp*dx

!.E... dp*2 dx

Adems, si se aplica un razonamiento similar a un "tubo" de fluido de radio r < r0 (ver figura l.15) se obtiene:

t = !... llp *r 2 ~X

(l.9')

Al dividir esta ltima ecuacin por la ecuacin para r0 se obtiene la expresin:

Esta ltima ecuacin indica una variacin lineal de r con respecto a r, tal como se muestra en la siguiente figura:

Figura 1.15 Distribucin lineal del esfuerzo cortante en tuberas circulares.

Si se utiliza la ecuacin 1.9 se obtiene:

INTRODUCCIN AL FLUJO EN TUBERAS19

HIDRULICA DE TUBERAS18

r=Apgto p I

(1.10)

donde

h1 prdidas por friccin

longitud del tramo de tubera

Nuevamente, para tubos circulares:

r = p g h, roo 2/

Esta ltima ecuacin establece una relacin directa entre el esfuerzo cortante en la pared de una tubera y la cada en la cabeza piezomtrica ti, De ah que sea un primer paso para la deduccin de una ecuacin de diseo. Es importante tener en cuenta que dicha cada de cabeza es la que ocurre en un tramo de la tubera de longitud /, el cual debe ser recto, estar hecho de un solo material y no debe tener ningn'tipo de accesorios que produzcan prdidas adicionales de energa.

Distribucin de velocidades (tuberas circulares)

En este aparte se examinan las distribuciones de velocidad en las secciones transversales de tuberas circulares. Posteriormente, dichas distribuciones son utilizadas para establecer las diferencias entre los tipos de flujo y, por ltimo, para establecer las ecuaciones de resistencia fluida, las cuales se utilizarn para el diseo de sistemas de tuberas.

Flujo laminar

En el caso de flujo laminar en tuberas, el esfuerzo cortante est definido por la ecuacin de Newton para fluidos viscosos:

r=,- dv dr

Para tuberas circulares, de acuerdo con la distribucin de esfuerzos, se tiene:

dvt, = ,dr

donde

r< ro

De esta ltima ecuacin se obtiene:

Cuando se ntegra con respecto al radio r se obtiene la distribucin de velocidades:

v = Jdv = .-1_ f' r dr.ro o

V= -r

0 (-r2)

+ C1ur, 2

Para evaluar la constante de integracin se utiliza el hecho de que cuando r = r0, V= O; luego

Finalmente

(1.11)

la cual es una distribucin parablica de la velocidad. En flujo laminar, la velocidad sigue esta distribucin con su mximo en el centro y su mnimo (V= O) en las paredes internas de la tubera.

v= 2~ ('-'- - r; ).

Eje de la tubera

Direccindel flujo ------f'--'li---

Figura 1.16 Distribucin de velocidades para flujo laminar en una tubera de seccin circular.

Flujo turbulento

La presencia de esfuerzos cortantes en las fronteras fluidos-slidos y entre las diferentes capas del fluido afecta la distribucin de velocidades que, en principio, debera ser uniforme. En flujo turbulento, la presencia de la subcapa laminar viscosa modifica an ms dicha distribucin.

En una tubera con flujo turbulento se distinguen tres capas, tal como se muestra a continuacin:

y y Distribucin exponencial

\

INTRODUCCION AL FLUJO EN TUBERAS21

1-i!DRUUC,\ DE TlJBrnAS20

Eje de la tubera1-_-_-_-_-_-.-.--..-.-_--.-_-- ------.-..-.\.\ Zona turbulenta. - - .,,., - - - - - . - - - - - . - - - - _\

Direccindel u ofl j

Esfuerzos Velocidades

. -_ .---_- - - - - - . - - - - - -

Figura 1.17 Distribucin de esfuerzos y velocidades para flujo turbulento en una tubera de seccin circular (se muestra media tubera}.

Para cada una de las tres zonas mostradas (la figura debera ser simtrica en el sentido vertical con el fin de incluir toda la seccin transversal de la tubera) las distribuciones de velocidades son:

Subcapa laminar viscosa (flujo laminar)

En esta capa, la magnitud del esfuerzo es prcticamente constante e igual a r0 Por ser flujo Iaminar, el esfuerzo debe estar gobernado por la ecuacin de viscosidad de Newton:

s:': dv dy

Tal hecho implica que los gradientes de velocidad en esta zona deben ser muy grandes. Igualmente, en la subcapa laminar, por ser de espesor tan pequeo, se pueden aproximar as:

dv vxdy y

Luego

7:0 = ,

V""y

Dividiendo por la densidad:

!_o. !:!:._ ~ = V V,p p y y

donde v = viscosidad cinemtica

La raz cuadrada del trmino 1:jp, localizado en la parte derecha de esta ltima ecuacin, tiene las siguientes dimensiones:

Por definicin

donde

m (dimensiones de velocidad)s

v. = velocidad de corte

Esta velocidad (que no existe en la realidad) mide la magnitud relativa del esfuerzo cortante en la superficie slido-fluido; es muy importante en el estudio de transporte de sedimentos por arrastre en ros y canales o en el diseo de tuberas utilizadas para el transporte de material slido en suspensin. Es interesante observar la semejanza entre esta ltima ecuacin y el esfuerzo turbulento de Reynolds (ecuacin 1.6): la velocidad de corte corresponde a la raz. cuadrada del promedio temporal del producto de las vibraciones aleatorias en las velocidades en x y y(v; y v;).

Luego

2

vxV*=; -y

De donde se obtiene la siguiente ecuacin:

(1.12)

La ecuacin 1.12 indica que la velocidad sigue una distribucin lineal con respecto a y (ver figura 1.17), siempre y cuando y~ 8', el espesor de la subcapa laminar viscosa, Esta ecuacin ha probado ser vlida hasta el siguiente lmite: '

INTRODUCCINAL FLUJO EN TUBERAS23

HIDRULICA DE TUBERAS22

lo cual implica que

vx =11.6v ..

=H6VEste ltimo resultado permite establecer una ecuacin para el clculo del espesor de la subcapa laminar viscosa, lo que a su vez har posible establecer con claridad la diferencia entre flujos hidrulicamente lisos e hidrulicamente rugosos.

Zona de transicin

o' 11.6 V (l.13)v..

Entre la subcapa laminar viscosa y la zona completamente turbulenta existe una zona de transicin donde el flujo deja de ser laminar para convertirse en turbulento. Se ha encontrado (White, 1994) que esta zona se extiende entre los siguientes lmites:

El flujo no pasa de laminar a turbulento en forma sbita, sino de modo gradual a medida que las fuerzas viscosas pierden importancia frente a las inerciales. En esta zona, los esfuerzos cortantes deben seguir la definicin de Prandtl dada anteriormente:

2r =piyx

dv 2-.( dy )

De alguna manera /, la longitud de mezcla, debe ser funcin de y, la longitud significativa del problema en la zona de transicin. Luego

/= ky

donde k es de nuevo la constante universal de Prandtl-von Krmn, igual a 0.4. Adems, Prandtl supuso que el esfuerzo cortante es constante e igual a r0 Esto ha sido verificado experimentalmente.

Luego

t _-p k2 Y2 (d- vx}2o dy

Al dividirse por la densidad p se obtiene:

Al reordenarse se llega a:

Para encontrar la distribucin de velocidades se debe integrar la ecuacin anterior, proceso luego del cual se obtiene:

k1 In y+ C, (1.14)

Para evaluar la constante de integracin se supone que en el lmite de las zonas laminar y de transicin las ecuaciones 1.12 y 1.14 son vlidas al mismo tiempo; en consecuencia:

v1 = velocidad en el lmite

Al aplicar la ecuacin 1.12:

V V/3'....L = -- ""11.6V*

(1.15)

y, adems, utilizar la ecuacin 1.14:

V 1_1_. = - In 8' + C1V* k

Y la ecuacin l.13, se llega a:

~ = _:!_ In 11.6 V + eV,.. k V,. 1

(l.16)

Luego, al remplazar la ecuacin 1.15 en la ecuacin 1.16:

111.6 = _:!_ In i 1.G v + Ck V*

(1.17)

y finalmente, al sustituir la ecuacin l.17 en la ecuacin 1.14, se obtiene:

1- Ink

en donde:

1C2 = 11.6 - k In (11.6)

Si se desarrollan los clculos, se tiene el siguiente valor para la constante C2:

c2 = 5.47

Por consiguiente, la distribucin de velocidades en la zona de transicin est definida por la siguiente ecuacin:

(1.18)

~~JEl anterior anlisis es vlido si la rugosidad en la superficie no afecta la subcapa laminar viscosa(k5 < 8); ste es l caso de los tubos con flujo hidraulicamenteliso. Si se hace una grfica de la ecuacin l.18, en

lla cual las abscisas representen In ( y las ordenadas vx , se obtiene una lnea recta como fa mostrada en la siguiente figura: II V*

~-v.

2.5

ugosr o

k, v.\In --1

INrnODUCCIN AL FLUJO EN TUBH~AS25

HIDl~ULICA DE TUBERAS245.47 5.41 r V \ )

In~(a) (b) (

v, y)V

Figura 1.18 Efecto de la rugosidad de la pared interna de la tubera en la distrbucin de velocidades. (a) Flujo turbulento hidrulicamente liso (ecuacin 1. 1 B). (b) Flujo turbulento hidrulicamente rugoso comparado con el liso. Nkuradse demostr que e! corrmiento hacia la derecha era igual al logaritmo natural de (k, v. lv).

Para el caso del flujo hidrulicamente rugoso, J. Nikuradse (ver p. 50) demostr que aunque fa distribucin de velocidades segua siendo logartmica. dependa de la rugosidad absoluta ks de la tubera. Tal como semuestra en la figura 1.18 la relacin entre In ~~ y v/v. se corra hacia la derecha en una cantidad igualkV Va In " "'..; este resultado fue igual para todas las tuberas. con sus diferentes rugosidades absolutas, queVprob en el laboratorio. El corrimiento hacia la derecha generaba una diferencia vertical entre las lneas lisa y rugosa, la cual se representaba por t..B en la figura l.18 (b). Nikuradse encontr que:

- ksv*~B =----In ~ - 3.010.4 JlEn consecuencia, es claro que el valor de la relacin V/v. para un valor de In

v.yv

( l.19)

en un flujo hidruli-camente rugoso debe ser un t..8 menor que el valor de la misma relacin en un flujo hidrulicamente liso. Es decir:vx =

1 v*y-In + 5.47 - t..BV* 0.4 V

vx 1 1v*y ksv*In + 5.47 - -- In + 3.01V* 0.4 V 0.4 V

vx ~1 In L + 8.48 (l.20)

Zona turbulenta

V* 0.4 ks

Algunos investigadores afirman que la distribucin de velocidades en la zona turbulenta es muy similar a la de la zona de transicin, especialmente en el caso de flujo en tuberas. Esto significa que la distribucin logartmica antes encontrada es aplicable a esta nueva zona. Otros autores afirman que dicha distribucin es exponencial, regida por la siguiente ecuacin:~: = (~J

donde

v: velocidad media = ~

r0 radio total de la tubera

Adems, se tiene que:

1 .n = - si Re < 1000007

Si el nmero de Reynolds (Re) aumenta, el exponente n empieza a disminuir. fara distribucin evelocidades se conoce como la ley de la potencia 1/7.

Finalmente. es importante establecer que el perfil lineal de velocidades de la subcapa laminar viscosa slo conforma un 2%, o menos, del perfil total de velocidades en una seccin transversal; de ah que su presencia pueda omitirse en los anlisis de flujo en tuberas. Las ecuaciones logartmicas l. l 8 y 1.20 describen muy bien el perfil de velocidades aun en la zona completamente turbulenta. excepto en el caso en que la presin se incremente aguas abajo, como ocurrira de tratarse de un difusor. Por estas dos razones en este texto se considerar que la distribucin de velocidades es logartmica para todas las secciones transversales de tuberas circulares con flujo turbulento.

Una vez desarrolladas las anteriores ecuaciones para la distribucin de esfuerzos y de velocidades en flujos en tuberas, y conocida la interaccin entre el fluido y la pared slida del dueto, es posible establecer las ecuaciones de resistencia fluida que permiten el diseo de sistemas de tuberas. En el siguiente numeral se establecen dichas ecuaciones empezando por ecuaciones empricas utilizadas para describir los flujos ms simples. Igualmente, se hace uso de la tcnica de anlisis dimensional para deducir la forma de la ecuacn que gobierna la cada de cabeza piezomtrica por unidad de longitud para flujo en tuberas.

l1 Ejemplo 1.1i

En qu punto de la seccin transversal de una tubera circular hay que

1medir la velocidad de tal manera que sta sea igual a la velocidad media del flujo en la seccin completa? Supngase que el flujo es hidrulicamente rugoso.

Tubo de Pitot-:

----- XDtreccin delf!ujo

La distribucin de velocidad para flujo hidrulicamente rugoso est dada por la ecuacin 1.20:

INH.._>---+-----+-1-------1------lf-----''>."0.04 . . '0.030.02

001G.008C.000C.00500040.00:i0.002

0001o OOOll

e=.,O.OOOfi0.000!~oo:mO 0002 ,

0.0C1 000:l.00OOOJ,C0.00:l,OS0.000,0,D.OOJ,03O.OGMZ0.0.'.'JO,Oi0.000,003O.OO'.J,()C6 f------1---+--+-+--'>- --+------!--+-+4-+-l------+- ,,OOO'.J,OOo 1 2 3 4 5 6 8 10 20 30 40506080100 200 300Dimetro del tubo, pulgFigura1.26 Diagrama de Moodymodificado (rugosidades relativas). Verapndice 2 paramayor detalle.

o Utilizando sus resultados y la ecuacin de Colebrook- Whte (p. 61), Moody pudo producir una nueva grfica en la cual inclua todo el rango de flujo, desde laminar hasta turbulento hidrulicamente rugoso, con el fin de estudiar el comportamiento del factor de friccin f para tuberas comerciales. Esta grfica (figura1. 27) se conoce como el diagrama de Moody, Duran!e mucho tiempo fue la nica herramienta prctica para el clculo del factor de friccin que deba utilizarse en conjunto con la ecuacin de Darcy-Weisbach, ya que las ecuaciones matemticamente deducidas resultaron ser tan complejas que requirieron mtodos numricos para su solucin. En la poca anterior a la masificacin del uso de computadores y calculadoras programables, el tener que utilizar mtodos iterativos para el diseo de tuberas resultaba engorroso y poco prctico.

Ksd

0.10.090.080.070.06C.05O 0400 3 ltm~tllffnltfilHlf~250.020 0009 llliJt::=t tt1Hmll 11-t=t0 0089 2 1Ji 4 567 1 2( 0') 567 2{10 5 2( !)' 3 4 S67 9 ;~w10 10' 0' 0 10

. 1o = l

7 (1 )1 4 9') 3 4 67 s1~'11 "1.

Figura 1.27 Diagrama de Moody, (Para mayor detalle ver el Apndice 2),

La semejanza entre los diagramas de Nikuradse y de Moody salta a la vista. En ambos existen la zona laminar, la curva correspondiente al flujo hidrulicamente liso y las lneas horizontales que describen el flujo hidrulicamente rugoso para cada rugosidad relativa. As mismo, en ambos existe la zona de flujo transicional, aunque es en esa zona en donde se aprecia una marcada diferencia. En el diagrama de Nikuradse cada curva correspondiente a una rugosidad relativa se separa en forma abrupta de la curva hidrulicamente lisa. En el diagrama de Moody las curvas correspondientes a cada rugosidad relativa se aproximan en forma asintticaa la curva lisa. Esto sucede porque en los tubos de Nikuradse la rugosidad tiene un tamao uniforme y, porconsiguiente, al aumentar el nmero de Reynolds y disminuir el espesor de la subcapa laminar viscosa, el efecto de la rugosidad se siente simultneamente. En los tubos reales la rugosidad no es uniforme, lo cual implica que su efecto sobre la hidrulica del fondo es gradual. Este planteamiento se esquematiza en la figura 1.28.

HIDRULICA DE TUBERAS54

53INTRODUCCIN AL FLUJO EN TUBERAS

s1 o'1

s2

8'2

Figura 1.28 El espesor de la subcapa laminar viscosa ( 8) disminuye a medida que el nmero de Reynolds y el caudal aumentan. En los tubos de Nikuradse la rugosidad afecta en forma simultnea la hidrulica del flujo. En los tubos reales, ese efecto es gradual, es decir, las mayores prominencias de la rugosidad afectan el flujo antes que las menores.

Ecuaciones generales para la friccin en tuberas reales. Flujo turbulento

Despus de establecer y probar su teora de longitud de mezcla para explicar los esfuerzos cortantes en flujo turbulento, Prandtl sigui estudiando el problema de la resistencia en el movimiento de fluidos. Conjuntamente con uno de sus alumnos, Theodore von Krmn, entre 1920 y 1930 dedujo las ecuaciones que permiten el clculo del factor de friccin f para el flujo turbulento. En este numeral se describe el proceso seguido por estos dos investigadores.

Flujo hidrulicamente lisoLas ecuaciones usadas por Prandtl y Von Knnn, ya deducidas a lo largo de este captulo, son las siguientes: Espesor de la subcapa laminar viscosa:

s11. 6vv. (1.13)

Distribucin de velocidades en flujo turbulento:

v, 1

(1.14)- In y+ C;v. k

v,v. k

v.yIn --- + 5.47V

(1.18)

Esfuerzo cortante en la pared de la tubera;

A dp.

O7: = -P dx

(1.9)

o aproximadamente:

t = !_ b..p'r 2 b..x

(1.9')

Relacin entre el factor de friccn y el esfuerzo cortante:

f = 8-ropv.2

(l.41)

El primer paso fue calcular la velocidad media del flujo mediante la distribucin de velocidades representada por la ecuacin 1.18. Para esto se toma el diferencial dy de la figura 1.29 y, teniendo en cuenta que la tubera es circular, se puede establecer el siguiente diferencial de rea:

Tubo dePitot rV 1 V.Y..2. ~ -- In - + 5.47V, k V

---.i...x

Figura 1.29 Distribucin de velocidades para flujo hidrulicamente liso desarrollado por completo en una tubera de seccin circular.

dA = 27r(T- y) dy

Por este diferencial de rea pasa el siguiente diferencial de caudal:

dO = vdA

dQ = V 21T (r - y) dy

Si se integran los diferenciales de caudal se obtiene el caudal total que pasa a travs de toda la seccin transversal de la tubera. Por consiguiente:

O = LdQ = J: 21rv (r - y) dy

En esta ltima ecuacin v se remplaza por la funcin de y que la describe, es decir, por la distribucin de velocidades para flujo hidrulicamente liso representada por la ecuacin l.18. Luego:

Jo 0.4O= 21rt(_2... In v.y + 5.47 v.) (r - y) dyV

Al expandir los parntesis de esta ltima integral se obtiene:

HIDRULICA DE TUBrnAS56

INTRODUCCINAL FLUJO F.N TUBERAS55

Q = 21TJr [-v.r

In -v.

+ -v.r

In y+ 5.47 vJ>:

v.y-

In -v.

- -v.y

In y- 5.47 v.y ) dyo 0.4

V 0.4 0.4 V

0.4

Si se lleva a cabo el proceso de integracin se obtiene la siguiente expresin:

+ -v.r v. v.r v.r v. y2Q = 21r ( - yin - yin y-- - y+ 5.47 v.ry- - 2

v.1 n -0.4 V 0.4 0.4 0.4 V

v.-)'V. y2 V. y2 y2 \ r- In y+ - - 5.470.4 2 0.4 4 2

-O= 21r ( -V, - r2 In v. +

v. rz ln r -

v.-.- r2

+ 5.47

V, (2 V,V,(2 - -- In0.4

V 0.4 0.4 0.4 2 V

In r+ 4 - 2v. (2 v. (2 (2)5.47 v.0.4 2 0.4

Q = 21r -v. r2

In -v.

+ -v.

-r2

In r -

3 v r2 + 5.47 v.

r2 )( 0.4 -2

- -n O. 4 2 4 0.4 2

Q = 1re -v.

In -v.r- + 1. 720 v. )( 0.4 v (1.45)

La ecuacin 1.45 representa el caudal total que pasa por una tubera circular de radio rcuando el flujo es hidrulicamente liso. Con este caudal se puede calcular la velocidad media al dividrsele por el rea transversal de la tubera.

+v. v.rV= In - 1.720 V,.

(1.46)0.4 V

En esta ltima ecuacin se tiene una especie de nmero de Reynolds conocido como Re:

Re. = v.rV

(1.47)

Por definicin se tiene que:

rrr-: v.= .. ! ro y p

y si se despeja de la ecuacin 1.41:

pv2--f8

(l.41)

Mediante estas dos ltimas ecuaciones se obtiene la siguiente expresin para la velocidad de corte en flujo hidrulicamente liso:

f -t:v.= Ys v (1.48)

Si se remplaza la ecuacin 1.48 en la ecuacin 1.47 se llega a:

frr1 r _Re. = V18 -;; V

INTl 200d

(1.63)

5. Luego, tomaron la ecuacin 1.59 de la cual obtuvieron:

Re {1d

32.81s

y al remplazar este resultado en las desigualdades 1.61 a I.63, llegaron a las siguientes desigual- dades:

~ Flujos hidrulicamente lisos:

~ 32.81 ,s 10o'

ks es; 0.3058'I k5 ,s 0.305 8' (1.64)

Este resultado ndica que para que el flujo sea hidrulicamente liso, el tamao de la rugosidad tiene que ser menor al 30% del espesor de la subcapa laminar viscosa.

e Flujos hidrulicamente rugosos:

~ 32.81 ;e 200o'

ks :-::,,o'

6.10

(1.65)

Para que el flujo sea hidrulicamente rugoso. el tamao de la rugosidad debe ser superior a 6 veces el espesor de la subcapa laminar viscosa.

Flujos en la zona de transicin:

Con sus resultados, Colebrook y White lograron definir claramente los lmites entre los cuales ocurre el flujo en transicin: (1.66)

6. Esteresultado los llev a razonar en tomo a que si la transicin deba ser un cambio gradual entre las condiciones lisas y rugosas, la ecuacin necesaria para definir el factor de friccin en la zona de transicin debera ser una combinacin de las ecuaciones para flujo hidrulicamente liso y rugoso. Teniendo en cuenta la anterior conclusin. Colebrook y White establecieron la siguiente ecuacin para el factor f en la zona de transicin.

A partir de la ecuacin 1.52 se obtiene:

1 Re~~ = 210910 --~ 2.51

y de la ecuacin 1 .56 se obtiene:

Despus de estudiar el comportamiento de la rugosidad relativa en la zona de transicin (figura 1.32), llegaron a la conclusin de que las dos anteriores ecuaciones eran dos casos particulares extremos del flujo turbulento. Estas ecuaciones se podran reunir en una sola:

.; = 2 lo .l(3. 7 d + Re ~ Ja../f 910 k5 2.51

Era claro que para el caso del flujo hidrulicamente liso, la rugosidad absoluta deba ser mucho menor que el dimetro de la tubera y, por consiguiente, el primer sumando del parntesis deba ser de un orden de magnitud menor que el segundo, desapareciendo en el lmite. Lo contrario suceda para el flujo hidrulicamente rugoso.

Finalmente, Colebrook y Whte decidieron invertir los trminos del logaritmo a fin de que apareciera la dad relativa y no su inverso. Luego:

HIDRULICA DE lUBEl~AS66

INT!} f '

- Flujo hidrulicamente rugoso:

- Tamao de la rugosidad:

k, > 6.10 '

- Ecuacin de Prandtl- Von Krmn:

}r =2lOQ1o(~)+t14

- Flujo transicional:

- Tamao de la rugosidad:

s0.305 s < k e.;, 6.10 s:

( 1.52)

(1.65)

(l .56)

(J .66)

- Ecuacin de Colebrook-White:

~ = -2 log10 (~ + ~~)-..Jf 3.7 d Re ,,f

( 1.67)

PROBLEMAS

1.1 A travs de un tubo de 6 pulgadas de dimetro fluyen 1241/s de agua con una temperatura de l 5C. Calcule el nmero de Reynolds y establezca si el flujo es laminar o turbulento.

1.2 Para la tubera del problema anterior, cul sera el caudal lmite para flujo laminar? Mediante este resultado, explique por qu es tan difcil encontrar flujos laminares cuando el fluido en un sistema de tuberas es agua,

1.3 Cul.sera el nmero de Reynolds si el fluido del problema 1.1 fuera petrleo crudo pesado con p = 0.83 g/cm' y = 0.8 Pa.s?

1.4 A qu altura desde el fondo de un canal se debe medir la velocidad de tal manera que sta sea igual a la velocidad media del flujo en la seccin transversal? Se supone que el canal es muy ancho, con una profundidad y y que el flujo es hidrulicamente rugoso. Cambiara este resultado si el flujo fuera hidrulicamente liso?

1.5 Demuestre la ecuacin 1.2 L

1.6A travs de una tubera de 8 pulgadas de dimetro fluye un aceite con p = 900 kg/nr' y v = 2 X 1 o- m1/s. Si el nmero de Reynoldsdel flujo es 1800, calcule (a) la velocidad media del flujo, (b) la velocidad mxima del flujo, ( e) el perfil de velocdades, ( d) el esfuerzo cortante en la pared ( -r), ( e) la velocidad de corte ( v.). Dibuje el perfil de velocidades.

l. 7 Demuestre la ecuacin 1.22.

1.8 A travs de una tubera de 12 pulgadas de dimetro fluye agua a15C. La tubera es de PVC con un ks de 0.0015 mm (rugosidad absoluta). Si el caudal es de 120 l/s, calcule (a) la velocidad meda del flujo, (b) la velocidad mxima del flujo, (e) el perfil de velocidades, ( d) la velocidad de corte ( v.), ( e) el esfuerzo cortante en la pared de la tubera (rJ Dibuje el perfil de velocidades.

l.9 Demuestre la ecuacin 1.23.

HIDRULICA DE TUBERAS70

INTRODUCCIN AL FLUJO EN Tl.JBEl 0.03:.=0.02

0.01 lll......... ll"'! .....11:1..... o .rl1.::..... ---+-----+-----+------i1-----+-----lo 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

f

= = 11= f = f --o--- Re 200001

Figura 2.6 Clculo del factor de friccin f por el mtodo de Newton acelerado para una tubera con una rugosidad relativa de 0.0001 y un nmero de Reynolds de 20000.

El diagrama de flujo 2b corresponde al mtodo de Newton-Raphson. La mayor velocidad de convergencia, ventaja de este mtodo, no siempre se justifica debido a que su proceso de programacin es ms complejo, especialmente si se tiene en cuenta que cada da es mayor la velocidad de clculo de los computadores.

Una vez se pueda calcular el valor del factor de friccin de Darcy ten la ecuacin de.Colebrook-White, el clculo de la potencia requerida es bastante sencillo. En el diagrama de flujo 3 se esquematiza dicho procedimiento de clculo, el cual se utiliza para desarrollar el siguiente ejemplo.

og 3

Ejemplo 2.2

En un sistema de riego localizado de alta frecuencia para un cultivo de ctricos es necesario mover un caudal de agua de 42 lis desde el sitio de toma a la planta de fertirrigacin. Estos dos puntos se encuentran separados por una distancia de 970 rn, estando la planta 16 m por encima de la toma. Si existe una tubera de PVC (k, = 1.5 X 10-e m) de 6 pulgadas de dimetro nominal, con un coeficiente global de prdidas menores de 9.4,cul es la cabeza que debe ser suministrada por la bomba en el sitio detoma? Para el agua v"' 1.14 X 10-6 m2/s.

Para. una tubera de PVC de 6" de dimetro con RDE de 21, el dimetro real es:

d 152.2 mm

Por consiguiente, el rea transversal de la tubera es:

87DISEO DE TUBERAS SIMPLES

1rd~A=4

1r (0.1522 m)24

A= 1.82 X 10-2 m2

Siguiendo el diagrama de flujo 3 se obtienen los siguientes resultados: Clculo de la velocidad media:

v= oA

= 0.042 m3 / s182 X 10-2 ffi288 HIDRULICA DE TUBERAS

v = 2.31 m/s

Clculo de las prdidas menores:

v-?

2L hm = (Z. : km ) -g-

~ h = 9.4 X 23-f mm 2 X 9.8i

:-2. h = 2.55

m. = n~ . --.':- :: -. : . - - ...

Clculo del nmero de Reynolds y de la rugosidad relativa:

Re=-V=d

--231-X-0.1-522v 1.14 X 10-6

Re =.308405

~ = 0.0000015 = g.S6 X 10_6d 0.1522 .

Clculo del factor de friccin mediante el mtodo de Newton (diagrama: .

1 0. 1!0.

de flujo 2a)0001945217 8 42907624 0 0 407473. . 1DISEO DE TUBH~AS SIMPLES89

~ --f X - g(x) ff - - -

O.Oi407473 8.42907589 8.29423336 0.01453609

':_1453609

8.29423237

830771302 00144889-5----01448895 8.30771411 8.30635586 0.01449369-0.01449369 8.30635553 8.30649253 0.01449321-0.014493218.306493088.306478690.01449326

0.01449326!18.306478758 306480130.01449326

Luego: f = O.Oi449

Clculo de las prdidas por friccin utilizando la ecuacin de Darcy- Weisbach:

h = f !

~ = 0.01449 ~ .2:_3f m' d 2 g 0.1522 2 X 9. 81

= 25.12 m

Clculo de la cabeza total que debe ser producida por la bomba:

= 16 m + 25.12 m + 2.55 m

= 43.67

Clculo de la potencia bomba:

Pot = pQgH

= 999.1 X 0.042 X 9.81 X 43.67

= 17.97 kW

INICIO

Leer k)d, Re.sernila de f

,._~~~t, =~s-em,illa-d~e ~f ~~~_~1~1'ig

x, = 1 / .i;

0 (F(x) = -2 log. -k--'- + -2-.5' 1 X)' 3.7 d Re

fLF (x,) = ~2 l 2.51 _ l[1n 10 Jl-~'-- + ?;5l3_37 d Re

1F (x.) - XX. 1 = X - -~'--',. ' F' ( x,) - 1

~x-,=x,. ~~ ,

Prog_ zb

91DISEO DE TUBERAS SIMPLES

HIDRULICA DE TUBERAS90Diagrama de flujo 2b. Clculo del factor fpor el mtodo de Newton-Raphson.

INICIO

( Leer Q, d. k,, L :1 /, o, ,, rICalcular V= Q/A1

11Calcula"r :i: hmlCalcular F?e y kjd

"Calcular f en la ecuacin1.67 utilizando algn mtodo numrico

Calcular h,en la ecuacin 1.36

Calcular Htotal JIPor""' ..:!.. pOQHn~ lProg. 3 Imprimir Potel

Diagrama ole flujo 3 Clculo de potencia en tuberas simples.

Diseo de tuberas simples

El proceso de diseo es bastante simple porque la ecuacin 2.3 es explcita para la velocidad. Dicho proceso se esquematiza en el diagrama de flujo 4. Este diagrama de flujo puede utilizarse tanto para tuberas de dimetros comerciales como para tuberas de acero (dimetro a la medida). Es importante tener en cuenta que. en el momento de programar este procedimiento debe existir una homogeneidad dimensional: si se Utthza el sistema internacional. por ejemplo, tanto el dimetro de la tubera como su rugosidad absoluta y su longitud deben estar expresados en metros. Esta aclaracin es vlida para todos tos diagramas de flujoanteriores.

Es necesario aclarar que para que el proceso de diseo converja se deben tener en cuenta dos restricciones importantes:

El primer dimetro supuesto tiene que ser menor que el dimetro final del diseo. Se sugiere empezar siempre con un dimetro muy pequeo, lo cual implica un mayor nmero de iteraciones, pero asegura un correcto resultado.La suma de las prdidas menores debe ser inferior al 30% de las prdidas por friccin. Esta condicin es cierta en la mayora de diseos convencionales de tuberas. Ms adelante se tratar el caso de sistemas de tuberas en los cuales las prdidas menores causadas por los accesorios son mayores al 30% de las prdidas por friccin. Para que el diagrama de flujo 4 converja se debe cumplir la siguiente ecuacin:

(2.4)

Esta ltima restriccin en la prctica resulta irrelevante, ya que en la gran mayora de los sistemas de tuberas tal condicin se cumple con facilidad. Para disear un sistema con altas prdidas menores, como es el caso de la tubera de succin de una bomba, se debe seguir un algoritmo diferente.

Ejemplo 2.3

La tubera de descarga de la planta de tratamiento de aguas residuales del municipio de Ubat tiene una longitud de 150 m desde su inicio hasta el. sitio de entrega en el ro Suta y por ella debe pasar un caudal mximo de1201/s. La cabeza mnima de operacin es 2.2 rn y en la tubera se tienenprdidas menores por entrada (km = 0.5) por un codo (km = 0.8), por uniones (I k,,. = 1 O X 0.1) y por salida (km""' 1 ). Calcular el dimetro de la tubera comercial en hierro galvanizado requerida si la temperatura del agua es 14C.

Los datos del problema son:

150 m

0.00015 m

DISEO DE TUBERAS SIMPLES93

HIDRULICA DE TUBERAS920.12 m3/s

p(14)

.(14)

v(14)

2.2 m

0.5 + 0.8 + 10 X 0.1 + 1 = 3.3

999.3 kg/m3

1.17 x 103Pa.s

1.17 x 105 m2/s

G?Leer Qd, k5, !ld, H,z., E, 1

Suponer d, "pequeo"

tCalcular venial 4-------------------ecuacin 2.3 __J 10 =VA--, d;+1 = d;+ 6..~

----::,-=-.-piguien comS

te dercial

~

P og 8r~ f S lmprimr d,+1

Diagrama de flujo 4 Diseo de tuberas simples.

fil+ Siguiente dcomercial

.__--'),~r h1 = H - Z2

Con la metodologa de Darcy-Weisbach, la ecuacin de Colebrook- White, y el diagrama de flujo 4, se obtienen los siguientes resultados:

h,(m)d

(pulgadas)V

(m/s)Q

(m2/s)Q:;;:, a,(S/No):(m)

2.261.4430.0263No0.35

2.281.7340.0562No ...0.506

2.2101.9970.1012No0;671

2.2122.2390.1634S0.844*

1.36121.7480.1275S0.514

1.69121.9550.1426S0.643

1.56121.8770.1369S0.592

1.61121.9070.1392S0.612

1.59121.8950.1383S0.604

1.6121.90.1386S0.607

1.59121.898O. 1385S0.606

1.59H

DISEO DE TUBERAS SIMPLES95

HIDRULICA DE TUBERAS94

* 1 convergencia*" 2 convergencia

1En la segunda convergencia n;debe parar.

= h1, lo cual indica que el proceso

A su vez, el resultado indica que el tubo que debe ser colocado tiene un dimetro de 12 pulgadas; el caudal que pasa por esta tubera es de 138.5 l/s, ligeramente superior al caudal requerido en este diseo.

Ejemplo 2.4

Suponiendo que la planta de tratamiento de Ubat se localiza a slo 15 m del ro Suta. sitio de descarga, la tubera tendra un total de 17 rn de longitud. Si las uniones fueran roscadas, las prdidas menores seran: entrada (km= 0.5), un codo (km= 0.8}, uniones (km= 4 X 0.5) y salida (k,,,"" 1.0). Calcular el dimetro de la tubera comercial eiiPVC requerida para la descarga.

Los datos del problema son:

= 17 mks 0.00015 m

Diseo dee e emppu gadas i e procee produE proce ald~rr agadida que n b e

r ,. : .,. ' : .. - .-. ..-.:. -- ------- - --. ---------f .. (. ~ = .I H

.0 12 m3/S1>::~~metodologa de Dan;y-Weisbach, la ecuacin de Colebrook- White y el diagrama de flujo utilizado en el ejemplo anterior. se obtienen los siguientes resultados:

d V a o ad(pulgadas S/No)} (

t

lfi . . _ El ltimh/ in

El ejemplo anterior muestra el efecto de la rugosidad en los diseos de tuberas. Cuanto menor sea la rugosidad de la pared interna de las tuberas, menores sern los dimetros resultantes de procesos de diseo. Esta relacin no se aplica en todos los casos (por eso se habla de una tendencia) debido a los valores discretos de los dimetros de tuberas comercialmente disponibles.

En el ejemplo 2.6 se muestra un caso que combina varios de los algoritmos presentados en este captulo.

DISEO DE TUBERAS SIMPLES103

104 HlDRUUCA DE TUBERAS

--- Con- esto datos se calcula'el.. nmero ....de Reyno ds la rugosidad ...relat va y ----el fac~or. de friccin de I).rrcy ({) Ios resultados (utilizando los diagramas de flujo 2a o 2b)~pn:b 01155533.0 0 55533 df15b32s0 0 1503280.01150783o.onso74.!- ---- . .- .s. . -.. .. . .. ..... . - ..... .. ..... .. .. ... ........... . . l.. .. ,.. : . . ....... .. . ..........i. .. - -'i ; .,1 .

1

1l

l1. 11 .. 1

3

:_.2 X 9.81 X ff>:.k m ~

: .

.1 _

.

i l l

DISEO DE TUBERAS SIMPLES105l l i106 HIDRULICA DE TUBERAS

sm1e1:es.p:h:flerrraslos,J;~;rn,,tr,,~ nouunuies comerciales de lassuoenercomolosdnetrosreaes La basede d metro48 60 y 72pulgadas. trabajar con agua ade una tubera de PVC

'. i s,

DISEO DE TUBERAS SIMPLES107'108 HIDRULICA DE fUBERAS

1!'" -----~-------- ~------------------------ --- -----

2.2 Resuelva el problema 2:1 sila longitud de latubera disminuye 1 212 m y el ma..teri-.al s. e.. _..a. _ m.._ b.ia. a.. hi:erro .g. a_l. vanizad.o .(ks = 0.15. mm}. .

oluta1 El dimetrosigue .. sien(J:9 8 pulgad.as..

2.3 Una tubera de acero de 15 cm de diinetro y rugosidad abs

11 0.'.3 lllm conecta untangue elevajo con Unapiscina, Eltanque producede la piscina, en. donde el flujo saleuna cabeza de 12 m por encimacomo un chorro Hbre, es. decir, a presin atmosfrica. La longitud

1total de la mberfa es de 126m y tiene un coeficienteglobal de prdidas

Tanque elevado2mPisc na1 menores de 9.6. Calcule el caudal. de agua que fluye por la tubera..1

1

1

i

Figura P2.3

2.4 Resuelva el problema 2.3 s el fluido es queroseno en espaa con las siguientes caractersticas fsicas:

pp., .=

V

804 kQ/IJ131.92 x 103 Pa.s i.3~8 x 10~6 m2/s

2.5 A travs de una tubera de PVC {~$ ;:;: 0.0015 mm) de 10 pulgadasde dimetro fluye un caudal de 237 1/s. Calcule el factor de fricdnf -;utilizando el mtodo de Newton. Haga una grfica del proceso deconvergencia.

2.6 Resuelva el problema 2.5 si la tuberaes de hierro fundido con una rugosidad absoluta de 0.26 mm, C?mpare fos resultados de los dosi problemas. Qu conclusin puede plantear? ..

DISEO DE TUBEJ~fAS SIMPLES109

.::.:_ _:_:.:-=._.-: '\":::_.-:.::_ ..... :.-:._.::.-:,:.: _..-:=,_.._ .2.12 Suponga que en elp ~ ble an er or qebido al.i eficienc a mostrnda por a p anta de tratam ento, se decideduplicar e caudal. u esla potenc a de a bomba gue debe serco ocada en el punto @ ddaubera si se qu eren resPf! ar os 11iye es antes es ablecidos? Supongaque abombatiene una efic nc del 68%.. --- .. -. .2 13 Resuelva~ ejetllph2.3 sila tubera'.se cambia a PVC k = 0 00 5 mm)_.:_:--.- _.-.-, _.-_ .. ---_ --< s ._.enQu conclusin pudepfa.Iitearcpllrespecto a efecto de a rugosidad a ubera? ..2 14 En a nstalacin de p oducdnP~~t6ccidental de Co omb a ;Lcampo petro ero de CaQLmnJiinece~ario evacuar a g~a.sqproduccin desdelas agunas de erifriaririento hasta el roruauca Ecauda que se nece ta move es de4.3 m /s de agua 30"C para a cuali.p 996 kg/m3.. 0'799 x10 3 Pa s2 1 2 s110 HIDRULICA DE TUBERAS

~~:0

;it:i~~~ti;\llrjffirt:ii~ii;>1 . . . . . .. .. . . . .. . .. . . .

! 2.11 U ~lll&~asdena.tubera.dePVCJk.i.o.01srn1r1)de,f diametroy...con una 1ongitt114e 2.P~. ..J?...s~. utiliza.par~ 6?neciar el tanqt1e. i. ...1 .. ;::~2;2ait~i:;t~As:.~?1WJJJ~t~8fgu:4jtttt:rf...J.....

io~es qe45 ys, cu'~ ~s la diferiiicill# nivf!l que d{!lJe. e,cisr enU'elas. ..' ... supetficies.Iib~s.de t.in~ues1.~fsoefici~nte gfobalde prdiclas

.. tl. ~ ..s s c:( . ). de . . .'.. .

ANEXO 1

Rugosidad absoluta (k,) para diferentes materiales utilizados en la fabricacin de tuberas

Material ks(mm)

Vidrio0.0003

PVC,CPVC0.0015

Asbesto cemento0.03

GRP0.03

Acero0.046

Hierro forjado0.06

CCP0.12

Hierro fundido asfaltado0.12

Hierro galvanizado0.15

Arcl!a vitrificada0.15

Hierro fundido0.15

Hierro dctil0.25

Madera cepillada0.18-0.9

Concreto0.3-3.0

Acero bridado0.9-9

113DISEO DE TUBERAS SIMPLES

114 HIDRULICA DE TUBERAS

ANEXO 2

Coeficientes de prdidas menores

Tablas

La ecuacin para el clculo de las prdidas menores de energa causadas por los accesorios en una tubera es de la siguiente forma:

(A2.l)

donde:

energa por unidad de peso perdida en el accesorio coeficiente de prdidas menores del accesorio velocidad media del flujo en la tuberag aceleracin de la gravedad

Por lo general. el valor del coeficiente de prdidas menores (km) es un valor emprico, deducido de pruebas en laboratorio. Sin embargo, algunos de los accesorios tpicos de tuberas pueden ser analizados utilizando las ecuaciones de conservacin de energa y conservacin de momentum; con el fin de deducir sus coeficientes.

Las siguientes tablas muestran un resumen de coeficientes de prdidas menores para accesorios de uso frecuente en sistemas de tuberas, los cuales deben utilizarse en todos los algoritmos de diseo presentados en este captulo.

Coeficientes para prdidas en accesorios y codos

AccesoriokmVlvula de globo, completamente abierta10.0lvula en ngulo, completamente abierta\ Vlvula de cheque, completamente abierta2.5i Vlvula de compuerta. completamente abierta0.2Vlvula de compuerta. con 3/4 de apertura1.00-1.15 i5.0-

km

AccesorioVlvula de compuerta, con 1/2 de apertura5.6Vlvula de compuerta, con 1/4 de apertura24.0Codo de radio corto (rld = :: 1)0.9Codo de rado mediano0.75-0.80Codo de gran rado (r/d = :t 1.5)0.6Codo de 450.4-0.42 Retorno (curva en U)2.2Tee en sentido recto.0.8Tee a travs de la salida lateralUninYe de 45, en sentido rectoYe de 45, salida lateralEntrada recta a tope0.5Entrada con boca acampanada0.1Entrada con tubo reentrante0.9Salida~

1

DISENO DE TUBERAS SIMPLES115

Tabla A2.1

Coeficientes de prdida en codos de 90 con diferentes relaciones entre el radio de curvatura {ry y el dimetro de la tubera

1.01

rfd3601420Dimetro nominal en pulgadas

1/2 r 1/4 ! 1234568-1012-1618-24

10.540.500.460.380.360.340.320.300.280.260.24

0.320.300.2760.2280.2160.2040.1920.0180.1680.1560.144

0.4590.4250.3910.320.310.290.270.260.240.220.2

10.810.750.690.570.540.510.480.450.420.390.36

1.03O 950.870.720.68-0.650.610.570.530.490.46

1.351.251.150.950.900.850.800.750.700650.60

Tabla A2.2HIDRUUCA DE TUBERAS

Valores de km para diferentes accesorios

Dimetro nominal en pulgadas1/4-1--~2- --

1/2 3 4 5 6 810 6 18-24l --

~ >----Vlvu!a de compuerta abierta 022 0.20 O.8 0.16 0.15 0.14 0.14 0.13

0.12 0.11 . ~

0.10- e--Vlvula de globo abierta 92 8.5 78 7.i 65 le 1 58 5.4 S~

---4A -- --4.1Codo esta'ndar O.SO 0.75 O 69 0.63 (]57 0.54 051 0.48 045 042 0.39 0.36-Semicodo estndar 0.43 i O 40 0.37 0.34 030 0.29 0.27 O 26 024 0.22 0.21 0.19Tee en sentido recio

) 0.54_1 o.so0.460.420.38 ~036 -0.3-4 0.320300280.260.24~62 1.~1.381.261.14 108 1.02 0.960.9--0.840780.72Tee en sentido lateral

TablaA2.3

Valores experimentales de coeficientes km para contracciones bruscas"

----------~---,Relacin de reas (A2/A1)-L o 0.1 0.2

0.3 1

0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

e,0.6170.6240.6320.6430712 0.7550.81308921.001(1/Cc-1f03850.3630.3390.3080.2680.2190.1640.1050.05290.0147ok,004380.0362002960.02310.01780.01350.00913000570.003310.000796-o-Km0.5LQ.60.410.360.310.250.180.12noss0.0i6o0.659

I

'0.681

TablaA2.4

* La ecuacin para el clculo de las prdidas en contracciones bruscas es:

m c2 e ) 29h "" [.s._ + (J_ - 1Yj1 vie \. e

(A2.2)

donde:

v2 = velocidad aguas abajo de la contraccin

Coeficientes de prdidas menores para contracciones bruscas"

Velocidad

0.6 mis1.2 mis1.8 mis2.4 mis3 m/s4.5 mis6m/s9 mis12 m/s

d/dz2 pies/S4 pies/s6 pies/sa piests10 pies/s15 pies/s20 pies/s30 pies/s40 pies/s-O.O

1.0O.OO.OO.OO.OO.OO.Oo.oO.O

1.10.030.040.040.040.040.040.050.050.06

1.20.070.070.070.070.080.080.090.10O. 11

1.40.170.170.170.170.180.180.180.190.20

1.60.260.260.260.260.260.250.250.250.24

1.80.340.340.340.330.330.320.310.290.27

2.00.380.370.370.360.360.340.330.310.29

2.20.400.400.390.390.380.370.350.330.30

2.50.420.420.410.400.400.380.370.340.31

3.00.440.440.430.420.420.400.390.360.33

4.00.470.460.450.450.440.420.410.370.34

5.00.480.470.470.460.450.440.420.380-.350.36

10.00.490.480.48-0.480.470.460.450.430.40

000.490.480.470.470.450.440.410.38

Tabla A2.5

* Para utilizar estos coeficientes, la ecuacin para el clculo de las prdidas menores en las contracciones es:

(A2.3)

HIDRULICA DE TUBERfAS118

117DISEO DE TUBERAS SIMPLESdonde: v2 velocidad media aguas abajo de la contraccin

Coeficientes de prdidas menores para expansiones bruscas"

Velocidad10.6 m/s1.2 mis3 mis4.5 mis6 mis9 misd,lcJ.,2 pies/s4 pies/s10 pies/s15 pies/s20 pies/s30 pies/s40 pies/s1.0o.oO.OO.O--O.OO.OO.OO.O1.20.110.100.090.09 l 0.090.090.081.40.260.250.230.220.220.210.201.60.400.380.350.340.330.320.321.80.510.480.450.430.420.41OAO2.00.600.560.520.510.500.480.47 112.50.740.700.650.630.620.600.583.00.830.780.730.700.690.670.654.00.920.870.800.780.760.740.725.00.960.910.840.820.800.770.7510.01.000.960.890.860.840.820.8000i .000.980.910.880.860.830.8112 mi-s-

TablaA2.6

* Para utilizar estos coeficientes, la ecuacin para el clculo de las prdidas menores en las expansiones es:

h = k v;m m 2 Q (A2.4)

donde:

v2 = velocidad media aguas abajo de la expansin

Coeficientes de prdidas menores para expansiones graduales"

~ngulo del cono de contraccin--~--:i-:-

~- ao-d/d1 2 6 25 30 35 400 45 500 600e----------- .. --~-- ..

HIDRULICA DE TUBERAS120

DISENO DE fUBERi\S SIMPLES11911 O 01 0.01 O ~~ 0.10 0.13 0.16 0.18 0.19 020 0.21 023

>----1.2

0.02 0.02

........._ -~0.04 0.09 0.16 0.21 0.25 0.29 0.31 0.33 0.35 0.37.. 1.4

0.02 0.03

0.0-6-

0.12 0.23 030 0.36 0.41 0.44 0.47 0.50 0.53-- -~

----~1.6 0.03 0.04 _g_g~~_._0.26 . O 35 0.42 0.47 0.51 0.54 0.57 061

...- 1--------... "" ------1.8 0.03 0.04 0071 o 15_ 0.28 0.37 0.44 0.50 0.54 0.58 0.61 0.652.0 0.03 0.04 0.07 0.16 0.29 0.38 0.46 0.52 0.56 0.60 0.63 0.68

o.os 0.162.5 0.03 0.04 ---~ -------- -0.30 - 0.39 048 0.54 0.58 0.62 0.65 0.703.0 0.03 0.04 0.08 0.16 0.31 0.40 0.48 0.55 0.59 0.63 0.66 0.71

00 0.03 0.05 0.08 0.16 0.31 0.40 0.49 0.56 0.60 0.64 0.67 0.72L.

Tabla A2.7

* En este caso se utiliza la misma ecuacin para el clculo de las prdidas de energa en una expansin brusca.

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DISEO DE TUBERAS SIMPLES121

Ec ac-lafric i,

se 1 r

rDarcy-We sbach:(1.36)para el anlisis y e clculo pesar de estar basada en lael factor de friccin fes una osidad relativa, tal como e definitiva es:(1.67)el factor de friccin impli todos numricos iterativos, lo que su uso fuera engorroso. pricas que tuvieron y tienen ado una serie de grficas de as ms famosas y. por consi- oody modificado y compledos tendencias. La primera actor de friccin t; es decir, donaba el anlisis de Prandtl- segunda plante ecuacionesEl de tableci queKr

INTRODUCCIN

Tal como se determin en el primer captulo, la ecuacin de i

h = f- / v2I d 2 g

proporciona, por su fundamentacin fsica, una base racional de las prdidas por friccin en una tubera. Sin embargo, a fsica clsica, dicha ecuacin presenta el problema de quel

funcin no explcita del nmero de Reynolds y de la rug estableci en la ecuacin de Colebrook-White, cuya formas

( k, 2.51 JTr1 -2 log,i l-- + ~-.. ,3.7 d Re yf

f -

El hecho de que la anterior ecuacin sea no explcita paraca que la solucin de problemas de tuberas debe incluir mcual, antes de la popularizacin de los computadores, hacaPor esto surgieron, por un lado, una serie de ecuaciones emun amplio uso en la prctica de la ingeniera, y. por otro l,{YUda para el diseo de sistemas de tuberas, de las cuales l~uiente, las que ms se utilizaron, fueron los diagramas de M -}l:0,presentados en el primer captulo.