13. HidrodinmicaEl medidor de presin ms simple es el manmetro de tubo abierto y consiste en lo siguiente: un tubo en forma de Ucontiene un lquido, comnmente mercurio o agua; un extremo del tubo se conecta a un depsito que tiene una presindesconocida p . El otro extremo del tubo se encuentra abierto y esta a la presin atmosfrica p0 = patm (Fig. 43a). La presinen el fondo de la columna izquierda es p + gy 1 y la presin en el fondo de la columna derecha es p + gy 2, donde esla densidad del lquido dentro del manmetro. Las presiones en el fondo de los tubos son iguales, es decir,p + gy 1 = patm + gy 2p - patm = g (y 2 - y 1)p - patm = gyEn la ecuacin anterior, p es la presin absoluta, y la diferencia p - patm entre la presin absoluta y atmosfrica es lapresin manomtrica. Por lo tanto, la presin manomtrica es proporcional a la diferencia de alturas (y 2 - y 1) de lascolumnas de lquido.Otro medidor de presin conocido es el barmetro de mercurio. ste consiste de un tubo largo de vidrio, con mercurio ensu interior, cerrado en uno de sus extremos. El tubo se invierte y se introduce dentro de un recipiente con mercurio (Fig.43b), el nivel de mercurio bajar, dejando un espacio vaco (vapor de Hg) en la parte superior del tubo, tal que la presinen ese punto puede considerarse como nula.patm = 0 + g (y2 - y1)patm = ghFigura 43. Medidores de presin: (a) Manmetro de tubo abierto. La presinp en el tanque, esto es la presin a la altura y1 es igual a la presin atmosfricap0 ms la presin de la columna de altura h = y2 y1. (b) Barmetro de mercurio.La presin atmosfrica es funcin de la altura h 0 y2 y1 de la columna.72 Notas para el curso de Fsica Universitaria 1Figura 44. Objetos sumergidos por completo en un fluido de densidad .Por lo tanto, el barmetro de mercurio lee la presin atmosfrica directamente de la altura de la columna de mercurio.En el pasado, las presiones comnmente se median en trminos de la altura de la columna de mercurio, pulgadas demercurio o milmetros de mercurio. Ojo, estas densidades dependen de la densidad del mercurio, el cual vara con latemperatura y con el valor de g , que a su vez vara con la altura, por lo tanto, es conveniente utilizar el pascal como launidad de presin.Flotabilidad: principio de ArqumedesLa flotabilidad es un fenmeno familiar. Cuando un cuerpo es sumergido dentro del agua parece que pesa menos que cuandoest en el aire y en general, cuando un cuerpo es menos denso que el fluido ste flota.Principio de Arqumedes: Cuando un cuerpo es sumergido parcial ocompletamente en un fluido ste ejercer una fuerza hacia arriba sobre elcuerpo igual al peso del fluido desplazado por el cuerpo.A continuacin demostraremos el principio de Arqumedes utilizando el concepto de fuerza boyante o empuje.Consideremos un cilindro de altura h y tapas de rea A , que est sumergido por completo en un fluido de densidad (Fig. 44). El fluido ejerce una presin p1 = gy1 sobre la tapa superior del cilindro, entonces la fuerza que ejerce el fluidosobre el cilindro es F1 = p1A = gy1A. Haciendo el mismo anlisis en la tapa inferior la presin y la fuerza que ejerce el fluidoson respectivamente: p2= gy2 y F2 = p2A = gy2A. La fuerza neta debida a la presin del fluido, conocida como fuerzaboyante o empuje, es igual a:FB = F2 -F1FB = gAhFB = gVMecnica de fludosNotas para el curso de Fsica Universitaria 1 73donde gV = mg es el peso del fluido que tiene un volumen igual al del cilindro. Por lo tanto, la fuerza boyante sobre elcilindro es igual al peso del fluido que desplaza el cilindro. (Demostracin del principio de Arqumedes).Tensin superficialQu tienen en comn las siguientes situaciones? Un lquido sale de la extremidad de un gotero como una sucesin de gotas,y no como un chorro continuo. Un clip flota sobre una superficie de agua, an cuando su densidad es varias veces ladensidad del agua. Algunos insectos pueden caminar sobre la superficie del agua donde sus patas hacen deformaciones enla superficie pero no la penetran. En todos estos ejemplos la superficie del lquido pareciera estar bajo tensin.Ahora realicemos el siguiente experimento; amarremos un rizo de hilo a un alambre en forma de anillo, introduzca elanillo y el hilo dentro de una solucin jabonosa y agite hasta formar una pelcula delgada del lquido en la cual flota el hilo(Fig. 45a). Cuando pinchamos la pelcula dentro del rizo, el hilo se estirar en forma circular (Fig. 45b) ya que la tensin dela superficie del lquido empujar radialmente hacia afuera sobre ste.La tensin superficial y en una pelcula se define como el cociente de la fuerza superficial F entre la longitud d sobre lacual acta la fuerza.= Figura 45: Un alambre en forma de anillo tiene amarrado un pedazo de hilo enforma de rizo, sumergido en una solucin jabonosa (a) antes y (b) despus depincharse la pelcula dentro del rizo.La tensin superficial es hoy en da uno de los conceptos de la fsica del continuo, que es objeto de estudio concienzudopor sus mltiples aplicaciones industriales (e.g. coloides, mojado, formacin de burbujas, espumas, etc.)FdHidrodinmica74 Notas para el curso de Fsica Universitaria 1Figura 46. Un clip flota sobre una superficie de agua, an cuando su densidades varias veces la densidad del agua.Hidrodinmica Flujo de un fluidoEn esta seccin se tomar en cuenta el movimiento del fluido. El flujo de un fluido puede ser extremadamente complejo,como se puede ver en la corriente de un ro crecido n el movimiento, en el movimiento de la flama de una vela. A pesarde esto, algunas situaciones se pueden representar por modelos idealizados relativamente simples. Un fluido ideal es unfluido cuyo flujo es incompresible y no tiene friccin interna o viscosidad. La suposicin de incompresibilidad usualmente esuna buena aproximacin para lquidos y puede aplicarse a gases siempre y cuando la diferencia de presin de una regin aotra no sea grande. Cuando se desprecia la viscosidad, no se toman en cuenta los esfuerzos cortantes producidos porfuerzas de friccin internas, de capas adyacentes del fluido que se mueven una relativa a la otra.Figura 47. Un tubo de flujo limitado por lneas de flujo.La trayectoria de una partcula en un fluido en movimiento se conoce como lnea de.flijo. Si toda la configuracin del flujono cambia con el tiempo se le conoce como flujo estacionario. En un flujo estacionario, cualquier elemento que pasa a travsde un punto dado seguir la mima lnea de flujo. Las lneas de flujo que pasan de un extremo a otro del borde de un elementode rea imaginario A formarn un tubo llamado tubo de flujo (Fig. 47). Si dichas lneas de flujo son siempre equidistantes, sedice que el flujo es incompresible.Mecnica de fludosNotas para el curso de Fsica Universitaria 1 75Cuando las capas adyacentes de un fluido resbalan suavemente sin producir esfuerzos cortantes, se dice que el flujo eslaminar. De lo contrario, si los cambios en el fluido son suficientemente grandes, o las superficies de frontera producencambios de velocidad, el flujo se hace irregular y catico; ste es llamado flujo turbulento. La transicin del flujo laminar alturbulento es uno de los tpicos ms sofisticados de la hidrodinmica por sus mltiples aplicaciones. Es un ejemplo tpico deuna transicin de fase fuera de equilibrio y su formulacin matemtica precisa sigue siendo, hasta hoy, un problema abierto. Ecuacin de continuidad (conservacin de masa)Supongamos que el flujo de un ro con anchura constante es el mismo a lo largo de cierta longitud, entonces el aguadeber correr ms rpido en la superficie del ro que en las par tes profundas. A continuacin explicaremos est situacin.HidrodinmicaEn el siguiente anlisis se considerarn solamente flujos incompresibles. Si un flujo es incompresible puede demostrarse quesu densidad no vara con el tiempo, pero puede depender de la posicin. Esto no ocurre si adems el fluido es incompresible.La figura 49 muestra una porcin de un tubo de flujo entre dos secciones transversales con reas A1 y A2. Las velocidadesdel fluido en esas secciones son 1 y 1. La distancia que se ha movido el fluido en A1 durante un pequeo intervalo detiempo dt es 1dt. El elemento de volumen dV1, que fluye dentro de la seccin transversal A1 durante ste intervalo es igualal fluido contenido en un elemento cilndrico de base A1 y altura 1dt: d1= A11dt . Si la densidad del fluido es , la masaque fluye dentro del tubo dm2 es A11dt . Similarmente, la masa dm2, que fluye a travs de A2, en el mismo tiempo es dm2. Enun flujo estacionario la masa total en el flujo es constante, es decir, dm1= dm2A11dt = A22dtA11 = A22Figura 48. Se muestra una porcin de un tubo de flujo entre dos seccionestransversales con reas A 1 y A 2, tal que rA 1u1d t = rA 2u2dt.Hidrodinmica76 Notas para el curso de Fsica Universitaria 1El producto Ase le conoce como tasa de flujo de volumen o gasto volumtrico, es decir, el ritmo al cual un ciertoelemento de volumen de fluido dV cruza una seccin del tubo: = ARegresando a la ecuacin puede verse que la tasa de flujo de volumen permanece constante a lo largo de cualquier tubode flujo. Entonces, cuando la seccin transversal de un tubo de flujo decrece, la rapidez del fluido aumenta.Con este resultado se puede explicar por qu en la superficie de un ro la corriente tiene una rapidez mayor que la partems profunda; la superficie es el lugar donde se tiene la seccin transversal ms pequea, por lo tanto, la corriente ser msrpida que en la parte ms profunda del ro, sin embargo, la tasa de flujo de volumen es la misma en ambos lugares. Porejemplo, si un tubo de agua de 2 cm de dimetro se conecta a un tubo de 1 cm de dimetro, la rapidez del flujo ser cuatroveces ms grande en la par te de 1 cm que en la parte de 2 cm.La tasa de flujo de masa dm/dt, es el flujo de masa por unidad de tiempo a travs de cualquier seccin transversal, iguala la densidad multiplicada por la tasa de flujo de volumen dV/dt: = Ahora podemos generalizar para el caso en el cual el fluido no es incompresible. Si p1 y p2 son las densidades en lassecciones transversales 1 y 2, tendremos que de la primera ecuacin de esta seccin:A11 = A22 Ecuacin de BernoulliDe acuerdo a la ecuacin de continuidad, la rapidez del flujo del fluido puede variar a lo largo de la trayectoria del fluido;tambin se sabe que la presin puede variar dependiendo de la altura como se vio en el caso esttico; de la rapidez del flujo.Entonces, sera conveniente tener una ecuacin que nos relacionar la presin, la rapidez del flujo y la altura para el flujo deun fluido ideal.La dependencia de la presin con la rapidez esta dada por la A 11 = A22. En un flujo incompresible el fluido que fluyea lo largo de un tubo de flujo con seccin transversal variable, su rapidez cambia. Por lo tanto, cada elemento del fluidodeber tener una aceleracin, la fuerza que causa esta aceleracin ser aplicada al fluido que lo rodea.Esto significa que la presin debe ser diferente en diferente regiones. Cuando la rapidez del elemento del fluido aumenta,quiere decir que ste se esta moviendo de una regin de alta presin a una regin de baja presin. Cuando la seccintransversal de un tubo de flujo vara, la presin debe variar a lo largo del tubo an cuando no exista diferencia de altura. Sila elevacin cambia, esto ocasionar una diferencia de presin adicional.dVdtdVdtdmdtMecnica de fludosNotas para el curso de Fsica Universitaria 1 77Para deducir la ecuacin de Bernoulli, apliquemos el teorema de Energa Trabajo a un fluido en una seccin de un tubode flujo. En la Fig. 49 se tiene a un fluido que en un tiempo inicial est entre dos secciones transversales a y c. La rapidezen la parte inferior es 1 y la presin es p1.En un pequeo intervalo de tiempo dt el fluido que est inicialmente en a se mueve hacia b , una distancia ds 1 = 1d t .En ese mismo intervalo de tiempo el fluido que est inicialmente en c se mueve a d, una distancia ds2 = v2dt.Las reas de las dos secciones transversales finales son A1 y A2. De la ecuacin de continuidad sabemos que el volumendel fluido dV que pasa a travs de cualquier seccin transversal durante el tiempo dt, es dV = A1ds1 = A2ds2.Figura 49. trabajo neto realizado por la presin es igual al cambio en laenerga cintica ms el cambio en la energa potencial gravitacional.Calculemos el trabajo realizado sobre este fluido durante dt. La fuerza total sobre la seccin transversal en a es p,A, y lafuerza en c es p2A2 donde p1 y p2 son las presiones en las dos extremidades. el trabajo neto dW realizado sobre el elementodurante este desplazamiento es:dW = p1A1ds1 - p2A2ds2dW = (p1 - p2)dVEl signo negativo del segundo trmino es debido a que la fuerza en c est en direccin opuesta al desplazamiento.Igualemos este trabajo al cambio de energa total, cintica y potencial, para el elemento del fluido. La energa entre las secciones b yc no cambia. al inicio del intervalo de tiempo dt el fluido entre a y b tiene un volumen A1ds1 masa A1ds1 y energa cintica (A1ds1)v12.De forma similar, al final del intervalo de tiempo dt, el fluido entre c y d tiene una energa cintica (A2ds2)v22 . El cambio neto en laenerga cintica dK durante el tiempo dt es:1212Hidrodinmica78 Notas para el curso de Fsica Universitaria 1dK = dV (v22 - v12)Por otro lado, la energa potencial para la masa entre a y b al principio de dt es dmgy2 = dVgy2. La energa potencialpara la masa entre c y d al final de dt es dmgy2 = pdVgv,. El cambio neto en la energa potencial dU durante dt esdU = dVg (y2- y1)Sustituyendo las ecs. en el teorema de Energa Trabajo dW = dK + dU obtenemos que,(p1 - p2) dV = dV (v22 - v12) + dVg (y2- y1)p1 - p2 = (v22 - v12) + g(y2- y1)Esta es la ecuacin de Bernoulli. Escrita en esta forma nos dice en un flujo incompresible, que el trabajo por unidad devolumen del fluido (p1 - p2) es igual a la suma de los cambios de energas cintica y potencial por unidad de volumen queocurren durante el flujo.0 puede interpretarse en trminos de presiones. El segundo trmino del lado derecho es, la diferencia de presincausada por el peso del fluido y la diferencia de alturas de los extremos. En tanto que el primer trmino del lado derecho ladiferencia de presin adicional asociado con el cambio de rapidez del fluido.La ecuacin se puede escribir como:p1+ gy1 + v12 = p2+ gy2 + v22Los subndices 1 y 2 se refieren a cualquiera dos puntos a lo largo de un tubo de flujo, entonces esta ecuacin lapodemos escribir como:p+ gy + v2 = constantedonde es la densidad del fluido.121212121212Mecnica de fludos