Hipérbola resuelta. problema 7
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Hallar los vértices y los focos, además su ecuación ordinaria y gráfica de la ecuación de la hipérbola: 9 x 2 −4 y 2 −18 x−16 y+29 =0 Solución: Datos del problema: 9 x 2 −4 y 2 −18 x−16 y+29 =0 9 x 2 −4 y 2 −18 x−16 y+29 =0 → ( 9 x 2 −18 x ) −( 4 y 2 +16 y) =−29 ( 9 x 2 − 18 x ) −( 4 y 2 +16 y) =−29 → 9 ( x 2 −2 x) −4 ( y 2 +4 y) =−29 9 ( x 2 −2 x+1−1 ) −4 ( y 2 +4 y+ 4−4) =−29 9 ( x−1) 2 −9−4 ( y +2) 2 +16 =−29 → 9 ( x−1) 2 −4 ( y +2) 2 =−29 +9−16 9 ( x−1) 2 −4 ( y +2) 2 =−36 → 4 ( y+2 ) 2 −9 ( x−1) 2 =36 4 ( y +2) 2 36 − 9 ( x−1) 2 36 = 36 36 → ( y +2 ) 2 9 − ( x−1) 2 4 =1 La ecuación de la hipérbola ordinaria es la siguiente: ( y+ 2) 2 9 − ( x−1 ) 2 4 =1 , con centro en C ( 1 ,−2) →h=1 ;k=−2 ; y es una hipérbola vertical de la forma ( y−k ) 2 a 2 − ( x−h ) 2 b 2 =1. Dónde: a 2 =9: a=± 3; b 2 =4: b=± 2; el valor “c” se obtiene aplicando la relación pitagórica para las hipérbolas: c 2 =a 2 +b 2 →c 2 =9+4 →c 2 =13 ;c=± √ 13 Las coordenadas de los vértices real e imaginario son: V 2 ( h.k −a) yV 1 ( h,k +a) →V 2 ( 1 ,−5) yV 1 ( 1,3) B 2 ( h−b,k ) yB 1 ( h+b,k ) →B 2 (−1 ,−2 ) yB 1 ( 3 ,−2 ) Las coordenadas de los focos:
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Hallar los vértices y los focos, además su ecuación ordinaria y gráfica de la ecuación de la hipérbola: 9 x2−4 y2−18 x−16 y+29=0Solución:Datos del problema: 9 x2−4 y2−18 x−16 y+29=0
9 x2−4 y2−18 x−16 y+29=0→ (9 x2−18 x )−(4 y2+16 y )=−29
(9 x2−18 x )−(4 y2+16 y )=−29→9 (x2−2 x )−4 ( y2+4 y )=−29
9 (x2−2 x+1−1 )−4 ( y2+4 y+4−4 )=−29
9 ( x−1 )2−9−4 ( y+2 )2+16=−29→9 ( x−1 )2−4 ( y+2 )2=−29+9−16
9 ( x−1 )2−4 ( y+2 )2=−36→4 ( y+2 )2−9 ( x−1 )2=36
4 ( y+2 )2
36−9 ( x−1 )2
36=3636→ ( y+2 )2
9−
(x−1 )2
4=1
La ecuación de la hipérbola ordinaria es la siguiente: ( y+2 )2
9−
( x−1 )2
4=1, con centro
en C (1 ,−2 )→h=1 ;k=−2 ; y es una hipérbola vertical de la forma ( y−k )2
a2−
( x−h )2
b2=1
.
Dónde: a2=9 :a=±3; b2=4 : b=±2; el valor “c” se obtiene aplicando la relación pitagórica
para las hipérbolas: c2=a2+b2→c2=9+4→c2=13 ;c=±√13
Las coordenadas de los vértices real e imaginario son:
V 2 (h . k−a ) y V 1 ( h ,k+a )→V 2 (1 ,−5 ) yV 1 (1,3 )
B2 (h−b , k ) y B1 (h+b , k )→B2 (−1 ,−2 ) y B1 (3 ,−2 )
Las coordenadas de los focos:
F2 (h , k−c ) y F1 (h , k+c )→F2 (1 ,−2−√13 ) y F1 (1 ,−2+√13 )
Las Asíntotas son: A : y=k± ab(x−h)
A2 : y=k−ab(x−h)
A1 : y=k+ab(x−h)
Las Directrices son: D : y=k ± a2
c
D1: y=k+a2
c
D2 : y=k−a2
c
La excentricidad es e= ca→e=√13
3≅ 3,61>1
El lado recto LR=2b2
a
LR=2b2
a→LR=
2 ·43→LR=
83
La gráfica de la hipérbola y las asíntotas y directrices son:
