Hallar los vértices y los focos, además su ecuación ordinaria y gráfica de la ecuación de la hipérbola: 9 x2−4 y2−18 x−16 y+29=0Solución:Datos del problema: 9 x2−4 y2−18 x−16 y+29=0

9 x2−4 y2−18 x−16 y+29=0→ (9 x2−18 x )−(4 y2+16 y )=−29

(9 x2−18 x )−(4 y2+16 y )=−29→9 (x2−2 x )−4 ( y2+4 y )=−29

9 (x2−2 x+1−1 )−4 ( y2+4 y+4−4 )=−29

9 ( x−1 )2−9−4 ( y+2 )2+16=−29→9 ( x−1 )2−4 ( y+2 )2=−29+9−16

9 ( x−1 )2−4 ( y+2 )2=−36→4 ( y+2 )2−9 ( x−1 )2=36

4 ( y+2 )2

36−9 ( x−1 )2

36=3636→ ( y+2 )2

9−

(x−1 )2

4=1

La ecuación de la hipérbola ordinaria es la siguiente: ( y+2 )2

9−

( x−1 )2

4=1, con centro

en C (1 ,−2 )→h=1 ;k=−2 ; y es una hipérbola vertical de la forma ( y−k )2

a2−

( x−h )2

b2=1

.

Dónde: a2=9 :a=±3; b2=4 : b=±2; el valor “c” se obtiene aplicando la relación pitagórica

para las hipérbolas: c2=a2+b2→c2=9+4→c2=13 ;c=±√13

Las coordenadas de los vértices real e imaginario son:

V 2 (h . k−a ) y V 1 ( h ,k+a )→V 2 (1 ,−5 ) yV 1 (1,3 )

B2 (h−b , k ) y B1 (h+b , k )→B2 (−1 ,−2 ) y B1 (3 ,−2 )

Las coordenadas de los focos:

F2 (h , k−c ) y F1 (h , k+c )→F2 (1 ,−2−√13 ) y F1 (1 ,−2+√13 )

Las Asíntotas son: A : y=k± ab(x−h)

A2 : y=k−ab(x−h)

A1 : y=k+ab(x−h)

Las Directrices son: D : y=k ± a2

c

D1: y=k+a2

c

D2 : y=k−a2

c

La excentricidad es e= ca→e=√13

3≅ 3,61>1

El lado recto LR=2b2

a

LR=2b2

a→LR=

2 ·43→LR=

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La gráfica de la hipérbola y las asíntotas y directrices son: