Historia de la ProbabilidadHistoria de la ProbabilidadRicardo Carreño 10-02Ricardo Carreño 10-02

IntroducciónIntroducción

Aunque el estudio científico de la probabilidad es reciente, tenemos que tener en cuenta que ya desde hace mucho tiempo se desarrollan los juegos de azar, lo que nos hace pensar que ha habido un gran interés por parte de las personas en cuantificar la posibilidad o probabilidad de que sucedan ciertos acontecimientos.

HistoriaHistoria Aparte de algunas consideraciones elementales hechas por

Girolamo Cardano en el siglo XVI, la doctrina de las probabilidades data de la correspondencia de Pierre de Fermat y Blaise Pascal (1654). Christiaan Huygens (1657) le dio el tratamiento científico conocido más temprano al concepto. Ars Conjectandi (póstumo, 1713) de Jakob Bernoulli y Doctrine of Chances (1718) de Abraham de Moivre trataron el tema como una rama de las matemáticas.

La teoría de errores puede trazarse atrás en el tiempo hasta Opera Miscellanea (póstumo, 1722) de Roger Cotes, pero una memoria preparada por Thomas Simpson en 1755 (impresa en 1756) aplicó por primera vez la teoría para la discusión de errores de observación. La reimpresión (1757) de esta memoria expone los axiomas de que los errores positivos y negativos son igualmente probables, y que hay ciertos límites asignables dentro de los cuales se supone que caen todos los errores; se discuten los errores continuos y se da una curva de la probabilidad.

HistoriaHistoria Pierre-Simon Laplace (1774) hizo el primer intento para

deducir una regla para la combinación de observaciones a partir de los principios de la teoría de las probabilidades. Representó la ley de la probabilidad de error con una curva y = φ(x), siendo x cualquier error e y su probabilidad, y expuso tres propiedades de esta curva:

1. es simétrica al eje y; 2. el eje x es una asíntota, siendo la probabilidad del error \

infty igual a 0; 3. la superficie cerrada es 1, haciendo cierta la existencia de

un error. Dedujo una fórmula para la media de tres observaciones.

También obtuvo (1781) una fórmula para la ley de facilidad de error (un término debido a Lagrange, 1774), pero una que llevaba a ecuaciones inmanejables. Daniel Bernoulli (1778) introdujo el principio del máximo producto de las probabilidades de un sistema de errores concurrentes.

HistoriaHistoria El método de mínimos cuadrados se debe a Adrien-Marie

Legendre (1805), que lo introdujo en su Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes (Nuevos métodos para la determinación de las órbitas de los cometas). Ignorando la contribución de Legendre, un escritor irlandés estadounidense, Robert Adrain, editor de "The Analyst" (1808), dedujo por primera vez la ley de facilidad de error,

\phi(x) = ce^{-h^2 x^2} siendo c y h constantes que dependen de la precisión de

la observación. Expuso dos demostraciones, siendo la segunda esencialmente la misma de John Herschel (1850). Gauss expuso la primera demostración que parece que se conoció en Europa (la tercera después de la de Adrain) en 1809. Demostraciones adicionales se expusieron por Laplace (1810, 1812), Gauss (1823), James Ivory (1825, 1826), Hagen (1837), Friedrich Bessel (1838), W. F. Donkin (1844, 1856) y Morgan Crofton (1870).

Otros Personajes Otros Personajes SignificativosSignificativos Otros personajes que contribuyeron fueron Ellis

(1844), De Morgan (1864), Glaisher (1872) y Giovanni Schiaparelli (1875). La fórmula de Peters (1856) para r, el error probable de una única observación, es bien conocida.

En el siglo XIX, los autores de la teoría general incluían a Laplace, Sylvestre Lacroix (1816), Littrow (1833), Adolphe Quetelet (1853), Richard Dedekind (1860), Helmert (1872), Hermann Laurent (1873), Liagre, Didion, y Karl Pearson. Augustus De Morgan y George Boole mejoraron la exposición de la teoría.

Blas PascalBlas Pascal El personaje más conocido que halla comenzado el

estudio matemático del azar fue el matemático, filósofo y escritor francés Blas Pascal (1623-1662), el cual inventó la primera máquina sumadora con el fin de ayudar a su padre en su trabajo (Recaudador de Impuestos).

En el siglo XVII los juegos de azar eran la principal diversión de la alta sociedad francesa. Antoine Gombard, Caballero De Meré, un experto jugador, planteó a Pascal dos problemas sobre apuestas. En 1654, Pascal y Pierre de Fermat (1601-1665) mantuvieron abundante correspondencia sobre ambos problemas. Las soluciones que entre los dos encontraron sentaron las bases del Cálculo de Probabilidades y la Teoría de Juegos, dos ramas de las Matemáticas con grandes aplicaciones.

Problemas del Caballero de Problemas del Caballero de MeréMeré

LA APUESTA INTERRUMPIDA: Los jugadores A y B apuestan a cara o cruz, tirando una moneda. El jugador que primero llega a cinco puntos gana la apuesta. El juego se interrumpe en un momento en que A tiene 4 puntos y B tiene 3 puntos.

¿Cómo deben repartir la cantidad apostada para ser justos?

APUESTAS VENTAJOSAS: El Caballero De Meré sabía que era ventajoso apostar por el resultado de obtener al menos un seis en una serie de 4 lanzamientos de un dado. Entonces éste argumentó que debería ser igualmente ventajoso apostar por el resultado de obtener al menos un doble seis en una serie de 24 lanzamientos con un par de dados. Para ello había razonado “por regla de tres”: si en 4 lanzamientos se apuesta por un resultado específico entre 6 posibles, es lo mismo que si en 24 lanzamientos se apuesta por un resultado específico entre 36 posibles, ya que 6 : 4 = 36 : 24. La experiencia no corroboró la suposición de De Meré.

Soluciones de los problemasSoluciones de los problemas 1º:Lo más lógico sería:"si A tiene 4 puntos y B tiene 3

puntos, repártase la apuesta en proporción de 4 a 3, a favor de A"; es decir, de forma directamente proporcional a los puntos de cada jugador, pero... ¿la proporción justa es esa de 4 a 3?

Parece que lo más justo sea tener en cuenta cuántas veces ganaría A y cuántas veces ganaría B, en el caso de que se continuase el juego, repitiéndose muchas veces. Empecemos por expresar las formas posibles en que puede continuar el juego, es decir: la mitad de las veces ganaría A en el siguiente lanzamiento; la cuarta parte de las veces ganaría A tras dos lanzamientos; y la cuarta parte restante de las veces ganaría B tras dos lanzamientos. En resumen: A ganaría tres de cada cuatro veces y B ganaría una. El reparto más justo es de 3 a 1, a favor de A.

Soluciones de los problemasSoluciones de los problemas 2º:Para encontrar la solución pensaremos también ahora

de cuántas formas posibles se puede desarrollar el juego: En un dado... 6 caras; en un par de dados; 6x6=36

resultados en 24 lanzamientos de un par de dados; 36x36x... x36=36 24 partidas posibles. Y calculamos también cuántas de esas partidas son favorables a la apuesta por obtener al menos un doble seis:

En un par de dados;36 – 1 = 35 resultados que no son doble seis en 24 lanzamientos de un par de dados; 35x35x... x35=35 24 con ningún doble seis. Como hemos obtenido números muy grandes, es más sencillo calcular qué porcentaje de las partidas es de cada tipo:

Proporción de partidas con ningún doble seis: 35 24 : 36 24 = 0,50859... = 50,86 %

Proporción de partidas con al menos un doble seis: 100 % - 50,86 % = 49,14 %

Y como 49,14 % < 50,86 % , lleva la peor parte quien apuesta porque salga al menos un doble seis.

Importancia de los problemas Importancia de los problemas de Meréde Meré

En la solución hecha por Pascal a los problemas planteados por De Meré aparecieron ya algunos conceptos que serían importantes en este tipo de situaciones (entre paréntesis, su denominación en la Teoría de la Probabilidad):

El número de posibles partidas diferentes (sucesos posibles) El número de esas partidas en las que ganaríamos (sucesos

favorables) El porcentaje de partidas ganadas (frecuencia relativa)

Las apuestas de De Meré dieron un beneficio mucho mayor que el esperado por el jugador; abrieron nuevos caminos a la comprensión racional de lo que hasta entonces parecía imposible de comprender... la suerte, el azar.

ConclusionesConclusiones Conocí de una manera amplia e interactiva la historia

de la probabilidad desde períodos inmemorables.

Descubrí cuáles fueron las inquietudes que llevaron al hombre a usar la probabilidad de una forma científica.

BibliografíaBibliografía

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Wikipedia (http://es.wikipedia.org)