Historia de La Probabilidad y La Estadistica i

Historia de laProbabilidad

y de laEstadstica

A.H.E.P.E.

Historia de laProbabilidad

y de laEstadstica

2002 A.H.E.P.E. Primera edicin2002 Editorial AC. Primera edicin

Reservados todos los derechos. Prohibida la reproduccintotal o parcial de la obra, incluso para uso privado,sin permiso escrito de los editores.

ISBN84-7288-300 0Depsito Legal:

Fotocomposicin: Alfa Centauro, S.A., Vctor de la Serna, 46. 28016 MadridImpresin: JACARYAN. Avda. Pedro Dez, 3. Madrid

VPrlogo

En este volumen se recopilan todas las ponencias presentadas a las IAS JOR-NADAS DE HISTORIA DE LA ESTADSTICA Y DE LA PROBABILIDADque fueron organizadas por la Asociacin de Historia de la Estadstica y de laProbabilidad de Espaa (AHEPE), junto con la Universidad Rey Juan Carlos,la Universidad San Pablo-CEU y la Universidad de Castilla-La Mancha, y quese celebraron, los das 13 y 14 de Julio de 2001, en el Campus de Viclvaro dela Universidad Rey Juan Carlos de Madrid. El volumen recoge aportacionespara la historia de la Probabilidad en sus inicios, estudios sobre Pascal, Laplacey Leibniz, unos primeros trabajos para ir dotando de cuerpo a la historia de laProbabilidad en Espaa, otros que marcan la importancia de la Estadstica ensus relaciones con la Economa y la Sociologa, y otros relativos a la gnesis dela Estadstica Oficial y a la organizacin de la enseanza de la Estadstica. Secierran las ponencias con la excepcional aportacin del Profesor Velarde sobrelos estadsticos espaoles del siglo XX.

Esperamos que el contenido de este volumen sea de utilidad para los estu-diosos de la Estadstica y los de la Historia de la Ciencia en general.

Agradecemos a los patrocinadores del evento (Universidad San Pablo-CEU,Servired y Caja Castilla-La Mancha) la ayuda financiera prestada sin la cualhubiera sido imposible el organizar dichas jornadas.

Madrid, Diciembre de 2001F. Javier Martn PliegoPresidente de AHEPE

VII

Contenido

Gregoria Mateos-Aparicio MoralesUniversidad Complutense de Madrid

Historia de la Probabilidad (desde sus orgenes hasta Laplace) y surelacin con la Historia de la Teora de la Decisin ....................... 1

Jess Basulto SantosJose Antonio Camuez RuizAna M Domnguez QuinteroUniversidad de Sevilla

El Mtodo universal de Pascal como un equivalente cierto al Problemade los Puntos....................................................................... 19

Mary Sol de Mora CharlesUniversidad del Pas VascoPensiones, rentas y seguros. Los primeros clculos y la participacinde Leibniz........................................................................... 35

Jess Basulto SantosJos Javier Busto GuerreroFrancisco Javier Ortega IrizoUniversidad de Sevilla

La solucin del problema de elegir un promedio en Laplace ............. 49

HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y DE LA ESTADSTICAVIII

F. Javier Martn PliegoUniversidad Rey Juan Carlos

Los probabilistas espaoles de los siglos XVII a XIX ...................... 67

F. Gmez Camacho S.J.Universidad Pontificia-Universidad de Salamanca

Probabilismo y toma de decisiones en la Escolstica espaola .......... 81

Jess Santos del CerroUniversidad de Castilla-La Mancha

Probabilismo moral y probabilidad............................................ 103

Marta Garca SecadesUniversidad San Pablo-CEU

Antecedentes de la Concepcin Subjetivista de la Probabilidad.......... 119

Antonio Franco Rodrguez-LzaroUniversidad San Pablo-CEU

El clculo de probabilidades en la polmica mdica del siglo XIX ...... 133

Mara Blanco GonzlezUniversidad San Pablo CEU

Oikos versus aritmos: la Economa Poltica versus la AritmticaPoltica .............................................................................. 153

Juan Manuel Lpez ZafraUniversidad ComplutenseSonia de Paz CoboUniversidad San Pablo CEU

Aportaciones de la Estadstica a la discusin del mtodo en Economa:la Teora de Juegos y las Teoras de Utilidad ............................... 167

Fernando Celestino ReyInstituto Nacional de Estadstica

La Gnesis administrativa del Instituto Nacional de Estadstica(1939-1948) ........................................................................ 181

M Carmen Escribano RdenasUniversidad San Pablo CEUAna Isabel Busto CaballeroIES Victoria Kent

Primeros intentos para la organizacin de la enseanza de la Estadsticaen Espaa: cursos de Estadstica y sus aplicaciones 1950-1952 ......... 193

CONTENIDO IX

M Carmen Escribano RdenasUniversidad San Pablo CEUAna Isabel Busto CaballeroIES Victoria Kent

La creacin en Espaa de la primera Escuela de Estadstica ............ 205

Jos Javier Escribano BenitoIES Valle Cidacos

La aportacin de Sixto Cmara a la Estadstica espaola ................ 221

Gabriela Mnica Fernndez BarberisUniversidad San Pablo CEU

Evolucin histrica de la Estadstica en los Planes de Estudio de unaFacultad de Psicologa ........................................................... 237

Jos Mara Arribas MachoA. Flix Vallejos IzquierdoUNED

Los orgenes de la Estadstica social en Espaa: los trabajos de laComisin y del Instituto de Reformas Sociales............................... 251

David Teira SerranoUNEDlvaro Fernndez BuendaUniversidad San Pablo-CEU

Qu demuestran las curvas estadsticas de demanda? .................... 271

Juan Velarde FuertesCatedrtico Emrito de Economa Aplicada

Aportaciones de los Estadsticos Espaoles al anlisis de la Economadel siglo XX ........................................................................ 287

1HISTORIA DE LA PROBABILIDAD(DESDE SUS ORGENES ALAPLACE) Y SU RELACINCON LA HISTORIA DE LA TEORADE LA DECISIN

Gregoria Mateos-Aparicio MoralesUniversidad Complutense de Madrid

lantearse un trabajo para presentar en unas jornadas como las que nos ocu-pan, requiere, en principio, justificar las motivaciones tanto personales

como intelectuales que nos llevan a elegir un tema concreto. En este caso,esta eleccin viene determinada, en primer lugar, por un inters por la Historiade la Probabilidad desde la realizacin de mi tesis doctoral y posterior docenciaen cursos de doctorado, y en segundo lugar por una motivacin paralela que melleva a encaminar el tema por el derrotero que considero que lo hace msatractivo: ensamblar, en el periodo que vamos a revisar, la Historia de la Teo-ra de la Decisin con la Historia de la Teora de la Probabilidad.

Este ensamblaje ser desigual, en el sentido de que las aportaciones a laTeora de la Decisin, en esta poca, son atisbos para el desarrollo de una teo-ra en la que las mayores aportaciones corresponden a los ltimos 75 aos. Porlo cual, lo que veremos en esta exposicin son los aspectos histricos de losprocesos de decisin que, de forma lenta, se van desarrollando coincidiendo demanera natural con los inicios del Clculo de Probabilidades. Un ensamblajeque comienza en los primeros escritos de Blaise Pascal en 1662, quien se des-

P

HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y DE LA ESTADSTICA2

marca de las aplicaciones de los juegos de azar, que tanto influyeron en el desa-rrollo del Clculo de Probabilidades, y publica la famosa Apuesta por la creen-cia de Dios, en la que ya aparece implcita la nocin de probabilidad personal osubjetiva, la ms adecuada para los procesos de decisin.

LA TEORA DEL AZAR EN SUS COMIENZOS

El clculo de probabilidades surge para resolver problemas de juegos de azar.La presencia del hueso astrgalo (hueso del taln en los mamferos) en excava-ciones arqueolgicas parece confirmar que los juegos de azar tienen una anti-gedad de ms de 40.000 aos. De tiempos ms recientes existe amplia do-cumentacin sobre la utilizacin de las tabas (nombre vulgar del astrgalo) enGrecia, Egipto y Roma. En las pirmides de Egipto se han encontrado pinturasque muestran juegos de azar de la poca de 3.500 aos a. de J.C.

Herodoto, historiador griego nacido en el ao 484 a. de J.C., escribe sobrela popularidad en su poca de los juegos de azar, especialmente mediante latirada de tabas y dados. Los dados proceden de las tabas, que al desgastarseperdan su forma rectangular y se hacan cbicas. En las civilizaciones anti-guas, el azar tena origen divino. Precisamente, en Grecia y Roma, los sacer-dotes o pitonisas utilizaban la combinacin que resultaba de lanzar cuatro tabas(las tabas tienen cuatro caras distintas) en los templos de los dioses como pro-cedimiento mediante el cual la Fortuna, los Hados o el Destino podan expresarsus deseos. Era una forma de predecir el futuro.

En los juegos con el dado, el jugador desea hacer un anlisis acerca de laposible ocurrencia o no ocurrencia de un suceso con el objeto de valorar deantemano sus posibles prdidas o ganancias. Durante cientos de aos este pro-blema quedaba sin resolver ya que, para estos jugadores, lo aleatorio del juegollevaba parejo la incalculabilidad, creencia a la que llegaban despus de grannmero de intentos sin xito sobre el clculo de sus predicciones

A pesar de la gran aficin al juego de los dados entre egipcios, griegos yromanos, estos no advirtieron que en un gran nmero de jugadas se tenda aobtener el mismo nmero de veces una cara que las restantes del dado, si steestaba bien construido. El no advertir la equiprobabilidad de los resultadoselementales en dados equilibrados, fue una de las causas de que el desarrollodel clculo de probabilidades se retrasara durante siglos. Las primeras razonesque encontramos por las que no se plantean la equiprobabilidad son dos: laimperfeccin del dado y las creencias religiosas; ya que las culturas antiguas,basadas en el determinismo, consideran que no es posible encontrar una causaque permita predecir el resultado de tirar un dado, sino que este resultado sedebe a la voluntad divina.

HISTORIA DE LA PROBABILIDAD Y SU RELACIN CON LA HISTORIA DE.. 3

Sin embargo esta explicacin no es compartida por algunos estudiosos dela materia, entre ellos M.G Kendall1 quin afirma que muchos dados estn bienconstruidos, y considera las siguientes cuatro razones para no advertir la equi-probabilidad: 1. La ausencia de una teora combinatoria; 2. La supersticin delos jugadores; 3. La ausencia de una notacin de los sucesos de azar; y 4. Lastrabas morales y religiosas para el desarrollo de la idea de aleatoriedad.

Con el Cristianismo, estos planteamientos van evolucionando lentamente.Segn San Agustn (354-430), la mano de Dios estaba en todas partes y nadaacaeca sin causa; nada era aleatorio. Ms adelante Santo Toms de Aquino(1226-1274) considera que el azar y la suerte existen.

Pero es en el Renacimiento cuando comienza una nueva visin del mundo yse inicia un movimiento de liberacin como reaccin al espritu de la EdadMedia, que impona a la conciencia nociones teolgicas que limitaban todas lasposibilidades humanas. Este movimiento de modernizacin se traduce en elestudio apasionado de los modelos griegos y romanos y un afn de investiga-cin en el campo de la ciencia.

Como consecuencia de esta nueva visin se abandonan las explicacionesteolgicas y se realiza una reconsideracin de los experimentos aleatorios. Lainvencin de la imprenta, a mediados del siglo XV, permitir difundir los co-nocimientos existentes hasta entonces, con lo que impulsa definitivamente eldesarrollo del clculo de probabilidades.

LOS INICIOS DE LA TEORA DE LA PROBABILIDAD

En los comienzos del siglo XVI, los matemticos italianos comienzan a inter-pretar los resultados de experimentos aleatorios sencillos. Los ms representa-tivos sern:

Gerolano Cardano (1501-1576), cuyo tratado, De Ludo Aleae, puede serel mejor manual escrito para un jugador de la poca. En l resuelve varios pro-blemas de anlisis combinatorio. Establece la equiprobabilidad en la aparicinde las caras de un dado a largo plazo, describe algunos juegos y precauciones

1 Studies in the History of Statistics and Probability. Vol. I, E.S. Pearson y M. Kendall. Ed.

Charles Griffin, Londres 1978, pg. 30.


necesarias para emplear contra el adversario. Cardano afirma como uno de susprimeros axiomas que el dado y las cartas deben jugarse por dinero2.

Galileo Galilei (1564-1642). Nacido en Pisa en 1564, Galilei fue matemti-co, astrnomo y fsico. Escribi una obra titulada Sopra le Scorpete de i Dadi,que posteriormente aparece en sus obras completas, en 1718, con el ttulo Con-siderazione sopra il Giuco dei Dadi. Debemos destacar de su obra la originali-dad de pensamiento y claridad de objetivos. Parece que el inters por la proba-bilidad le surgi a Galileo porque un amigo le consult el problema siguiente:los resultados 9 y 10 se pueden obtener con tres dados mediante seis combina-ciones diferentes, pero la experiencia demuestra que el resultado 10 se obtienemayor nmero de veces que el 9. Galileo razon que de las 216 combinacionesposibles equiprobables, 27 eran favorables a que resultase el 10 y 25 eran favo-rables a que resultase el 9; por tanto la nica diferencia entre las probabilidadesde obtener 10 y 9 es 2 216 0,01@ .

El amigo que consulta a Galileo no tiene en cuenta el orden y enumera aslos casos favorables al 9: 126, 135, 144, 225, 234, 333 y del siguiente modolos casos favorables al 10: 136, 145, 226, 235, 244, 343. De esta manera seobtenan el mismo nmero de casos favorables a 9 y a 10, en ambos casos seis.Galileo, sin embargo calculaba as los casos posibles y favorables. Nmero decasos posibles 36,3VR 6 216= = = . Los casos favorables al 9 seran: la combi-nacin 126 y en cualquier otro orden son 3P 3! 6= = casos favorables. De lamisma forma para las combinaciones 135 y 234. La combinacin 144 y encualquier otro orden 2,13P 3= casos favorables. De la misma forma, para lascombinacin 225. Por ltimo la combinacin 333. En total son:6 6 6 3 3 1 25+ + + + + = casos favorables al 9. De la misma forma calcul loscasos favorables al 10, cambiando el orden de cada combinacin distinta. Asse obtienen 27 casos favorables al 10. Estos datos muestran como exista unintuitivo pero preciso anlisis emprico de los resultados aleatorios, ya a finalesdel siglo XVI.

2 Gerolano Cardano fue hijo ilegtimo de un gemetra, Fazio Cardano, nacido en Pavia en 1501.

Su condicin de hijo ilegtimo fue una barrera, en ms de una ocasin, para su progreso profe-sional y sta pudo ser la causa de que, en ocasiones, se atribuyera ideas de otros cientficos. Suprincipal dedicacin profesional fue la medicina, pero su condicin de matemtico y jugadorsera la que motiv su obra Liber de Ludo Aleae.


LOS PRIMEROS FUNDAMENTOS

El desarrollo, y los primeros fundamentos, del clculo de probabilidades paralos juegos de azar se produce lentamente durante los siglos XVI y XVII, conautores como Blaise Pascal (1623-1662) y Pierre de Fermat (1601-1665).

Pascal3, alejndose un poco del clculo probabilstico para los juegos deazar, como ya mencionamos en la introduccin, escribe la famosa Apuesta porla creencia en Dios en la que introduce los elementos bsicos de un problemade decisin; esto es un conjunto de alternativas posibles que pueden ocurrir conunos estados de la naturaleza. Pascal no considera la posibilidad de experimen-tacin, simplemente describe la situacin de un hombre ante la incertidumbrede si existe o no existe Dios y tiene que decidir entre llevar una vida piadosacon las normas de la religin cristiana o una vida mundana al margen de esasnormas. Los estados de la naturaleza seran: 1E = existe Dios; 2E = no existeDios. Las alternativas posibles: 1a = llevar una vida piadosa, y 2a = llevaruna vida mundana. La matriz de decisin del proceso sera:

1E 2E

1a

2a

11u

21u

12u

22u

siendo iju las consecuencias que corresponden a cada alternativa ia con el es-

tado jE .

Para ordenar las alternativas, en primer lugar el individuo ha de ordenar lasconsecuencias y este orden depende de la persona. Con notacin actual, escri-bimos cmo desarrolla el problema Pascal: 1) si el sistema de preferencias de lapersona es 11 21 12 22 y u u u uf f , la alternativa 1a sera dominante y es lamejor alternativa. 2) Si el sistema de preferencias de la persona es

11 21 22 12 y u u u uf f , ninguna de las dos alternativas domina a la otra, yPascal propone el clculo de la mxima utilidad esperada tomando

3 Pascal naci el 19 de junio de 1623 en Clermont (ahora Clermont-Ferrand) Francia y muri el

19 de agosto de 1662, en Pars, con 39 aos. Es el tercero de los cuatro hijos de Etienne Pas-cal, que se instal con la familia en Pars. En 1639, la familia deja Pars y se instala en Rouen,donde poco despus (en 1640) publica su primer trabajo Essay on Conic Sections.


1 2( ) ( ) 1 2P E P E= = . Entonces, como 11u es mayor que las otras utilidades (sise lleva vida piadosa y existe Dios) se cumplira:

1 2 1 2( ) ( )j j j jj j

u p E u p E a a> f

Con esta contribucin de Pascal iniciamos el doble recorrido que nos ha-bamos propuesto al comienzo: sealar cmo los distintos protagonistas de lahistoria de la probabilidad han dejado tambin su huella en el desarrollo inicialde la teora de la decisin con importantes aportaciones.

Por su parte, Fermat4 es llamado padre de la teora de los nmeros, ramade las matemticas que estudia las propiedades de los nmeros enteros. Su am-plia participacin en las matemticas de su tiempo se realiz por completo atravs de correspondencia particular con otros estudiosos. Fermat formul mu-chos teoremas importantes que no fueron demostrados hasta despus de sumuerte. Haca 1840 solamente faltaba demostrar uno de ellos que ha llegado adenominarse ltimo teorema de Fermat: Cuando n es un nmero entero ma-yor que 2, no existe ninguna solucin de la ecuacin n n nx y z+ = formadaexclusivamente por nmeros enteros positivos5.

En teora de los nmeros su fuente de inspiracin fue Diofanto de Alejan-dra, matemtico griego del siglo II d. de J.C., cuya obra Aritmtica fue descu-bierta por los europeos a mediados del siglo XVI. Muchos autores considerancomo origen del clculo de probabilidades la resolucin del Problema de losPuntos en la correspondencia entre Pascal y Fermat: cinco cartas6 que inter-cambiaron en el verano de 1654.

4 Pierre de Fermat naci cerca de Montauban, prximo a Toulouse, en 1601 y muri en Castres

el 12 de enero de 1665. En 1631, obtuvo el acta de consejero en el parlamento local de Tou-louse. Pas toda su vida en el sur de Francia lejos de los grandes centros europeos del saber.No era matemtico profesional sino jurista, y ninguno de sus trabajos de matemticas vio la luzhasta despus de su muerte.

5 Precisamente este teorema es uno de los que ha mantenido alerta a toda la comunidad matemti-ca, incluso en nuestros das. Alrededor de 350 aos despus de su formulacin, y a partir de lainvestigacin de Andrew Wiles, el teorema de Fermat qued al fin demostrado. Vid. Annals ofMathematics, 142 (1995), pgs. 443-551

6 Existen tres de estas cartas de Pascal a Fermat, publicadas en Varia Opera mathematica porPierre Fermat en 1679, en las pginas 179-188. Tambin los trabajos publicados por Pascalcontienen cartas escritas de Fermat a Pascal, dos de ellas sobre el tema de clculo de probabili-dades.


Los dos autores consideraron el problema de los dados y el problema de lospuntos, ya estudiados por Cardano. El problema de los dados plantea cuntasveces hay que tirar dos dados hasta que aparezca en ellos el seis. El problemade los puntos fue el que el Caballero De Mer, un jugador empedernido, lepropuso a Pascal, y ste, a su vez se lo comunic a Fermat. Consista en cmodebera repartirse el dinero de las apuestas depositado en la mesa si los jugado-res se ven obligados (seguramente por la polica ya que el juego estaba prohibi-do) a finalizar la partida sin que exista un ganador. La pregunta hecha de otraforma podra ser: Cul es la probabilidad que cada jugador tiene de ganar encada etapa del juego? O bien cmo dividir las apuestas si el juego es incom-pleto? Una de las conclusiones de Pascal y Fermat es que los jugadores tieneniguales probabilidades de ganar un punto (un tanto) cualquiera, si se les suponeigual habilidad.

Poco tiempo despus, en Pars, el matemtico Christiaan Huygens (1629-1695)7 tendr conocimiento del trabajo sobre probabilidad llevado a cabo porPascal y Fermat. Tras su vuelta a Holanda, Huygens escribir, en 1657, un pe-queo trabajo llamado De Ratiociniis in Ludo Aleae (Sobre el razonamiento delos juegos de azar), que fue la ms importante aportacin a la teora de la proba-bilidad en la segunda mitad del siglo XVII . Publicado primero por Schooten8 -tutor suyo de matemticas mientras Huygens estaba en Leiden- el trabajo contie-ne catorce proposiciones. En la cuarta, quinta, sexta y sptima se vuelve a discu-tir el Problema de los Puntos con dos jugadores, con un mtodo similar al yareferido cuando hablamos de Pascal y Fermat. La octava y la novena proposi-ciones discuten el mismo problema para tres jugadores. Al final de su tratadopropone cinco problemas sin demostracin, cuya solucin se da en Ars Conjec-tandi, de James Bernoulli. Este tratado de Huygens, considerado por algunosautores como el padre de la teora de la probabilidad, fue el mejor informe sobreel clculo de probabilidades hasta que fue sustituido por otros ms elaborados,como los de James Bernoulli, Montmort y de Moivre. Siguiendo con el recorri-do, que hemos empezado en Pascal, sobre la historia de la teora de la decisin,hemos de decir que Huygens introdujo el concepto de esperanza matemtica, ensu obra De Ratiociniis in Ludo Aleae, al resolver un problema de juego en el quetiene que asignar un valor a ste, combinando las cantidades que se pueden ganarcon las probabilidades de ganarlas. De esta manera Huygens encuentra la forma

7 Huygens naci el 14 de abril de 1629, en La Haya (Holanda), y muri el 8 de julio de 1695 en

la misma ciudad. Su padre, Constantin Huygens, era filsofo y diplomtico y a travs de lChristiaan tuvo acceso a los ms importantes crculos cientficos, sobre todo con Descartes queinfluy en su educacin matemtica, ya que era amigo su padre.

8 En las pginas finales de su trabajo Exercitationum Mathematicarum libri quinque (1657).


de valorar las consecuencias, como concepto fundamental para la teora de lautilidad, y, por tanto, para la teora de la decisin.

A partir de l, el clculo de probabilidades comienza a interesarse no slopor el juego. Su libro fue el primero que se public sobre clculo de probabili-dades y ejerci gran influencia sobre James Bernoulli y De Moivre.

DE LOS PROBLEMAS PARTICULARESA LAS FORMULACIONES GENERALES

En la ltima parte del siglo XVII y principios del XVIII los autores que citare-mos a continuacin formulan sus teoras de manera ms general que sus antece-sores. Entre ellos, James Bernoulli (1654-1705) y Daniel Bernoulli (1700-1782). Los Bernoulli constituyen una de las familias ms ilustres en la historiade las matemticas. Nueve de sus miembros fueron destacados cientficos de supoca, cuatro de ellos tuvieron el honor de ser elegidos miembros de la Aca-demia de Ciencias de Pars y cinco de ellos han contribuido notablemente a lahistoria de la teora de la probabilidad. El primero de la familia en conseguiruna reputacin como matemtico fue James Bernoulli9, quien escribi un am-plio tratado, Ars Conjectandi (El arte de la previsin) sobre el clculo de pro-babilidades, publicado en 1713, ocho aos despus de su muerte. La obra sedivida en cuatro partes. La primera es precisamente el tratado de Huygens DeRatiociniis in Ludo Aleae con un comentario de Bernoulli sobre la obra, quealgunos autores consideran de ms valor que el propio tratado de Huygens. Enella se proponen tambin nuevas herramientas combinatorias y el autor las apli-ca a problemas nuevos. En la cuarta parte, se expone una teora nueva de laprobabilidad, usando ideas de Huygens junto con la teora de los grandes nme-ros que Bernuolli demostr en 1689, y aplica la teora de la probabilidad acuestiones interesantes de la ciencia econmica10.

9 Naci en Basilea, el 27 de diciembre de 1654, y muri en la misma ciudad, el 16 de agosto de

1705, James estudi teologa por imposicin de su padre, gradundose en Basilea en 1676. Mstarde recala en Holanda, Francia e Inglaterra, donde estudia matemticas, astronoma y fsicacontra la voluntad de su padre. Regresa a la Universidad de Basilea en 1683 en la que obtienela ctedra de matemticas, en 1687.

10 A pesar de que esta parte qued incompleta por la muerte del autor puede considerarse la msimportante de su obra. Constaba de cinco captulos y lo ms notable de ella es el enunciado yestudio de lo que conocemos como teorema de Bernoulli, que recordamos aqu con terminolo-ga actual: La sucesin de frecuencias relativas de un suceso aleatorio converge en probabili-dad a la probabilidad del suceso cuando el nmero de realizaciones crece indefinidamente.


Los problemas de las tres primeras partes de Ars Cojectandi no puedenconsiderarse iguales en importancia y dificultad a las investigaciones deMontmort y De Moivre, sin embargo debido al clebre teorema de Bernoullique lleva su nombre, desarrollado en la cuarta parte de esta obra, tanto ArsCojectandi como su autor adquieren una importancia fundamental en la historiade la teora de la probabilidad. Leonard J Savage se pronuncia en este sentidocuando afirma: La obra de Jacob Bernoulli, Ars Cojectandi (1713), pareceque es el primer esfuerzo coordinado sobre el tema11.

En nuestra doble tarea de buscar las huellas de la historia de la teora de ladecisin a la par que las de la historia de la teora de la probabilidad, aborda-mos la aportacin de otro miembro de esta familia Bernoulli. Nos referimos aDaniel Bernoulli12, hijo de John y sobrino de James Bernoulli, quien realizimportantes contribuciones a la probabilidad y a la estadstica. Pero que nosinteresa especialmente mencionar aqu la referida a la teora de la decisin consu criterio de la mxima utilidad moral esperada distinguiendo entre esperan-za matemtica y esperanza moral, ya que no todas las personas se rigen porel mismo criterio para valorar las consecuencias de una decisin. Para demos-trar esto, Daniel Bernoulli propuso el siguiente ejemplo: Un pobre se encuentraun billete de lotera que le puede dar con igual probabilidad 0 o 20.000 duca-dos. Valora su billete en 10.000 ducados. Sera una buena decisin para lvender el billete en 9000 ducados? La matriz de decisin para el pobre sera:

0,5

1E0,5

2E

1a 20.000 0

2a 9.000 9.000

siendo: 1a = no vender el billete

2a = vender el billete

1E = le toca la lotera

2E = le toca la lotera

11 SAVAGE, L.J.: The Foundations of Statistics, Ed. Dover, New York, 1971, pg. 1.12 Nacido durante la estancia de su padre en Groningen, fue educado en Basilea. Fue su hermano

mayor Nicholas II quin le ense matemticas. Los dos obtuvieron su graduacin acadmicaen San Petersburgo.


con el criterio de la mxima utilidad esperada

1 2( ) 10.000, ( ) 9.000E a E a= =

luego

1 2 2 1( ) ( ), peroE a E a a a> fSin embargo, si el billete se lo ofrecieran a un hombre rico por 9000 duca-

dos, su matriz de decisin sera:

0,5

1E0,5

2E

1a 11.000 9.000

2a 0 0

siendo: 1a = comprar el billete de lotera

2a = no comprar el billete de lotera

con el criterio de la mxima utilidad esperada:

1 2( ) 1.000, ( ) 0E a E a= =

luego

1 2 1 2( ) ( ), yE a E a a a> fpor lo que concluye que todas las personas no se rigen por el mismo criteriopara valorar las consecuencias de sus decisiones, sustituyendo el valor moneta-rio de los pagos por la utilidad que le reporta al jugador.

Otro autor que es conveniente destacar aqu es Pierre Rmond DeMontmort (1678-1719)13, cuya decisiva obra sobre los temas que nos ocupan,Essai danalyse sur le jeux dhasard se public en Pars en 1708 y consta decuatro partes. La primera contiene la teora de las combinaciones; la segundatrata sobre juegos de cartas; la tercera, sobre juegos de dados; y, en la cuarta,expone la solucin de varios problemas, entre ellos los cinco propuestos por

13 Nace el 27 de octubre de 1678, en Pars y muere en la misma ciudad, el 7 de octubre de 1719.

Montmort se dedic en primer lugar a las leyes y la filosofa, pero ms tarde, despus de ca-sarse, comenz la que sera su actividad intelectual principal, las matemticas y, sobre todo, lateora de la probabilidad, lo que motiv que entablara relaciones con De Moivre y NicholasBernoulli.


Huygens, del que fue seguidor. Estas soluciones son similares a las dadas porJames Bernoulli, en Ars Cojectandi. Antes de la segunda edicin de la obra deMontmort (publicada en 1714) aparecen dos tratados sobre el tema: De ArsConjectandi in Jure, de Nicholas Bernoulli y De mensura Sortis, de De Moi-vre. Este ltimo hace referencias ofensivas al trabajo de Montmort. TambinMortmort trata en su obra el Problema de los Puntos y da por primera vez dosfrmulas, que resuelven este famoso Problema de los Puntos para dos jugado-res con distinta habilidad (en la primera edicin lo haca con igual habilidad).Las habilidad de los jugadores la mide con la probabilidad que tiene cada unode ganar en una sola prueba, con la condicin de que la suma de las dos proba-bilidades (la de cada jugador), sea la unidad.

Abraham De Moivre (1667-1754)14 tambin discutir este problema de laDuracin del Juego. El matemtico francs que haba ledo el trabajo de Hu-ygens De Ratiociniis in Ludo Aleae ingresa en La Sorbona donde estudiamatemticas y fsica. En 1688 se traslada a Londres para evitar ser perseguidocomo protestante. A partir de este ao fija su residencia en esa ciudad, por loque puede figurar con la escuela de matemticos inglesa. Sus trabajos princi-pales los encontramos en trigonometra y en teora de la probabilidad. En trigo-nometra formul el teorema que lleva su nombre, y que por su importancia enla teora de los nmeros complejos sealamos aqu:

(cos sen ) cos sennx x nx i nx+ = +

Sus contribucines ms importantes a la teora de la probabilidad se en-cuentran en su obra Doctrine of Changes, tambin llamada A Method of Cal-culating the Probabilities of Events in Play15, que ser en nuestra opininla segunda obra ms importante sobre esta teora, despus de la ya citada ArsConjectandi. De Moivre escribi tambin una memoria, De Mensura Sortis, enla cual haca referencias ofensivas sobre el trabajo de Montmort. La memoriarecoge veintisis problemas, algunos comentarios sobre cmo establecer laprobabilidad y un caso particular del Problema de los Puntos. En ella encon-tramos publicada por primera vez la frmula para determinar la probabilidadque cada uno de los dos jugadores tiene de arruinar al otro en un nmero ili-

14 Abraham De Moivre nace en Vitry (en Champagne), el 26 de mayo de 1667, y muere en

Londres, el 27 de noviembre de 1754. Estudia humanidades en la Universidad Protestante deSedan, donde lo enviaron a los 11 aos y donde demostr su capacidad para las matemticas.

15 Publicada en Londres en 1718, con posteriores ediciones en 1738 y 1756, sta ltima despusde la muerte del autor. La obra fue dedicada a Newton y posteriormente fue editada en italia-no, en el ao 1776, en Miln.


mitado de jugadas y la extensin de este juego para el caso de tres jugadores,para la cual De Moivre propone la misma solucin que Fermat. De Moivretrata el problema de la Duracin del Juego, para dos jugadores con distintahabilidad, primero en De Mensura Sortis y ms tarde en Doctrine of Chance,tema que ya haba sido tratado por Montmort y haba sido criticado duramentepor De Moivre; y el juego del Pharaon, en el que De Moivre trata de encontrarqu tanto por ciento consigue la banca en el juego del total de dinero apostado.Otra de las grandes aportaciones de De Moivre a la teora de la probabilidad esel teorema que lleva su nombre, por el que aproxima la distribucin binomial ala normal. Precisamente en las dos ltimas versiones de Doctrine of Chancesaparece por primera vez la funcin de densidad de la distribucin normal.

El reverendo ingls Thomas Bayes16 es probable que diera sus primerospasos en la ciencia matemtica como alumno de De Moivre. ya que G.A. Bar-nard17 comenta que en la poca en que Bayes tena doce aos, Bernoulli escribea Leibnitz comentando como el pobre De Moivre se ganaba la vida en Lon-dres como profesor de matemticas. En 1731, Bayes escribe un tratado tituladoDivine Benevolence, or an attempt to prove that Principle End of the DivineProvidence and Government is the happiness of His Creatures, en el que argu-menta que el fin principal de la Deidad es la felicidad de sus criaturas. Bayesintentaba establecer unas leyes fijas a las que obedecieran los sucesos que ocu-rren, porque el mundo era el resultado de una causa inteligente, y de esta ma-nera confirmaba la existencia de Dios. La importancia de Bayes en la teora dela probabilidad es decisiva, pues es el iniciador de uno de los ms importantesfundamentos de esta teora: el de obtener las probabilidades de las causas porlas que puede haber sido producido un suceso que se ha observado. Este fun-damento, al que nos referimos, es el de la probabilidad inversa, cuya formulapublic Bayes en 1763. A pesar de que Bayes fue quien comenz esta investi-gacin, sera Laplace quien la desarrollara posteriormente. An Essay towardssolving a Problem in the Doctrine of Chances (1764) y A Demostration of thesecond Rule in the Essay towards the solution of a Problem in the Doctrine ofChances (1765), sern las dos memorias que publicar en la revista The Phi-losofical Transactions, tras su muerte. En la primera, expone una breve de-mostracin de las leyes generales de la teora de la probabilidad, a partir de las

16 Nacido en Londres, en 1702, y fallecido el 17 de abril de 1761, en Tunbridge Wells (Inglate-

rra), fue el primero de los hijos del matrimonio compuesto por Ann y Joshua Bayes, este lti-mo tambin pastor protestante. A pesar de la importancia de este matemtico en la teora de laprobabilidad se conoce muy poco de su historia personal.

17 BARNARD, G.A.: Thomas Bayes. A Biographical Note Biomtrika 1958, vol. 45, pgs. 293-295.


cuales establece su famoso teorema. Es importante tambin mencionar unacarta que Bayes escribi a John Canton sobre Series Asintticas, y que fue pu-blicada en la revista citada, en 1763. Este trabajo matemtico es breve y degran calidad, al igual que el resto de sus trabajos sobre teora de la probabili-dad. Y quizs sean stas dos expresiones, brevedad y gran calidad, las quemejor definan la labor de Bayes. Por ello, a pesar de la brevedad, Bayes tieneuna gran resonancia en la historia de la teora de la probabilidad. El conocidoestadstico ingls D.V. Lindley escribi 200 aos despus de su muerte; Esdificil encontrar un trabajo que contenga ideas tan importantes y originalescomo el de Bayes. Su teorema deba figurar al lado de la formula de EinsteinE = mc2, como una de las grandes y sencillas verdades18.

Tambin tiene gran resonancia como precursor de la teora de la decisin,ya que sus puntos de vista sobre probabilidad e inferencia inductiva han sidoampliamente adoptados y aplicados a multitud de problemas de inferencia esta-dstica y teora de la decisin. La metodologa bayesiana facilita la correcin delas probabilidades subjetivas19, elemento bsico de la teora de la decisin.

LA FORMALIZACIN DE LA TEORA CLSICADE LA PROBABILIDAD

Quiz uno de los personajes ms importantes de esta pequea historia sea Pie-rre Simon Laplace (1749-1827)20, quien en su obra Thorie Analytique desProbabilits formaliza la teora clsica de la probabilidad. Tambin mereceespecial inters su aportacin a la teora de la decisin, ya que en sus trabajosaparecen los elementos bsicos de un problema de decisin. En el campo de laprobabilidad escribi numerosas memorias, que ms tarde incorporara a suobra principal Thorie Analytique des Probabilits publicada en Pars, en el ao1812, y reeditada ms tarde tambin en Pars, primero en 1814 y despus en1820.

18 En Sixto Rios Garca, Conferencias sobre la Histora de la Matemtica en el siglo XX. Real

Academa de Cincias Exactas,Fsicas y Naturales, Madrid 1998, p. 18.19 MATEOS-APARICIO MORALES, G.: Teora subjetiva de la probabilidad. Ed. Complutense, 1993.20 PIERRE SIMON LAPLACE, naci en Beaumont-en-Auge, Calvados, Francia, el 23 de marzo de

1749, en la ms absoluta miseria, y muri el 5 de marzo de 1827, en Pars. La capacidad in-telectual de Laplace le permiti tocar diversos campos de la ciencia, pero su nombre est fun-damentalmente relacionado con la astronoma, la mecnica celeste, la geodesia, la teora de laprobabilidad, el clculo y las ecuaciones diferenciales.


Posteriormente su obra principal se vera enriquecida por las siguientesmemorias: Memoire sur les suites rcurro-recurrentes et sur les usages dans lathorie des hasards, en la cual estudia de nuevo el problema de la Duracin delJuego, que ya haban tratado Montmort y De Moivre. Como sus antecesores,Laplace plantea el problema para dos jugadores con igual habilidad y el mismocapital (mismo nmero de fichas en el juego), para ms tarde resolverlo condistintas habilidades, pero manteniendo los capitales iguales para ambos juga-dores. Su aportacin a este problema la constituye el hecho de encontrar lasolucin mediante una ecuacin en diferencias finitas con una variable indepen-diente; en Memoire sur la probabilit des causes par les vnemens, Laplaceenuncia por primera vez y de una manera clara el principio para la estimacinde las probabilidades de las causas por las que puede haber sido producido unsuceso observado. Este enunciado es el de la probabilidad inversa que habatratado Bayes; sin embargo, Laplace no hace aqu ninguna referencia a su ante-cesor. En esta misma memoria estudia tambin el Problema de los Puntos, queya hemos referido en varios autores, y define los conceptos de media aritmti-ca, como promedio de los valores observados, y media geomtrica, como elvalor que correspondera a la abscisa del centro de gravedad del rea encerradabajo una determinada curva. Por ltimo, en 1776, Laplace publica otra memo-ria bajo el ttulo Recherches sur lintegration des Equations differentielles auxdiffrences finies, et sur leur usages dans la theorie des hasards, en la cualexpone problemas de carcter general sobre la probabilidad y vuelve a analizarel Problema de los Puntos, resolvindolo, para dos o tres jugadores, medianteuna ecuacin en diferencias finitas. Tambin estudia el Problema de la Dura-cin del Juego, que discute para jugadores con capitales iguales y capitalesdistintos, pero con la misma habilidad cada uno.

Los temas tratados por Laplace cambian notablemente respecto a los de susantecesores. Mientras que los matemticos anteriores a Laplace investigan fun-damentalmente problemas de juegos, es a partir de l cuando comienza a hacer-se una formalizacin de la teora de la probabilidad. As, en su memoria Sur lesnaissances, les mariages et les morts Paris, Laplace aborda un problema deinferencia estadstica sobre poblacin, inaugurando de esta manera un campo deaplicacin de la estadstica a las ciencias sociales, que con tanto xito se aplica-ra en el futuro. Merecen tambin nuestro inters dos escritos: Memoire sur lesapproximations des formules qui sont foctions de trs grandes nombres, et surleur application aux probabilits, publicada en 1810, y Memoire sur lesIntgrales Dfinies, et leur application aux Probabilits et spcialement larecherche du milien quil faut choisir entre les rsultats des observations,publicada en 1811.

La versatilidad de este autor, as como su gran capacidad para advertir lasposibilidades de aplicacin de la teora de la probabilidad a otros campos de-


muestran una vez ms su importancia en la historia que estamos recorriendo.Corroboran esto, una vez ms, los artculos Sur lapplication du calcul desprobabilits la Philosophie naturelle y, tambin sobre el mismo tema Surle calcul des probabilits appliqu a la Philosophie naturelle.

Laplace escribi otra obra Essai philosophique sur les probabilits, publi-cada en 1814, que ms tarde sera incorporada a la segunda edicin de ThorieAnalytique des Probabilits. Esta obra contiene lo que actualmente conocemoscomo principio de indiferencia, por el que consideramos todos los casos igual-mente probables cuando estamos igualmente indecisos acerca de su existencia.Precisamente en la ltima seccin de Essai.philosophique sur les probabilits,Laplace escribe Notice historique sur le calcul des Probabilits, donde subrayala importancia histrica de esta rama del conocimiento cuando dice: ... esextraordinario que una ciencia que comenz considerando el tema de los jue-gos, haya dado lugar por ella misma a uno de los ms importantes objetos delconocimiento humano21. Observacin que compartimos, pues en el desarrollohistrico de la teora de la probabilidad se encuentran las claves de su impor-tancia actual.

Como ya hemos comentado, la mayora de las memorias se incorporaronms tarde a su obra compiladora Thorie Analytique des Probabilits, cuyaestructura consta de dos volmenes. El primero de ellos Du calcul des FontionsGnratrices, en el que se resuelven problemas matemticos que ataen a lateora de la probabilidad; y el segundo titulado Thorie Gnrale des Probabi-lits, en el que se establecen unos principios generales de la teora de la proba-bilidad con problemas relacionados con loteras, extracciones de bolas de unaurna, el ya famoso Problema de los Puntos, con algunas modificaciones, y eltambin muy tratado problema de la Duracin del Juego. De los once captulosde los que consta la obra, el tercero bajo el ttulo Des lois de la probabilit queresultent de la multiplication indfinie des vnemens trata entre otros temas elteorema de Bernoulli; y el cuarto, titulado De la probabilit des erreurs desresultats moyens dun grand nombre dobservations et des rsultats moyens lesplus avantageux, contiene la extraordinaria teora de los mnimos cuadrados.D.E. Smith valora la importancia del mtodo de los mnimos cuadrados cuandoseala: Uno de los trabajos ms conocidos de la teora de la probabilidad

21 TOHUNTER, I.: A History of the Mathematical Theory of Probability.Ed Chelsea Publishing

Co. 1965, pg. 503.


Thorie Analytique des Probabilits de Laplace (...) En l expone su demostra-cin del mtodo de los mnimos cuadrados22.

La obra de Laplace y su demostracin del mtodo de los mnimos cuadra-dos estn indisolublemente unidos, como demuestra la cita de Smith, que inme-diatamente relaciona la publicacin de la obra con esta teora. En el mismosentido, pero de forma ms precisa, Ubaldo Nieto23 subraya la importancia delmtodo laplaciano, especificando de forma precisa el origen de este mtodo:En la mecnica celeste es donde se origin el mtodo de los mnimos cuadra-dos, que condujo a Laplace, as como a Gauss a la ley normal al estudiar ladistribucin de los errores de las observaciones. Bajo la influencia de sus tra-bajos se consider durante mucho tiempo, casi como un axioma, que todas lasdistribuciones estadsticas se aproximaran a la normal si se dispusiera de unnmero suficientemente grande de observaciones y estas estuvieran bien he-chas. La afortunada cita de Ubaldo Nieto pone de manifiesto no slo el origendel mtodo de Laplace, sino tambin que mediante l se puede estudiar la leyde probabilidad normal, ley imprescindible y fundamental en la estadstica.

Por todo lo expuesto, es evidente que nos encontramos ante un autor de es-pectaculares dimensiones por diversas razones: por la variedad de los temastratados, por la innovacin que supone analizar determinados asuntos en laprolija cantidad que Laplace lo hizo en todas las memorias reseadas, por lapropia originalidad de esos temas, por la formalizacin de mtodos tan impor-tantes como el de los mnimos cuadrados, por haber desarrollado la teora de laprobabilidad inversa que Bayes haba iniciado, etc. Pero la obra de Laplace,contiene tambin importantes aportaciones a la teora de la decisin. Por unlado, el desarrollo de la teora de la probabilidad inversa que extendi a partirde la probabilidad a posteriori de Bayes, y que juega un papel importante en losprocesos de decisin con experimentacin. Y, por otro lado, un problema queLaplace resuelve, sobre la estimacin de las rbitas de los planetas, planteacomo la estimacin del parmetro distancia esperada a un punto es la medianade la distribucin a posteriori, suponiendo que la distribucin a priori fuera ladistribucin uniforme en un intervalo. Sixto Rios24, refirindose a este proble-

22 SMITH, D.E.: History of Mathematics, vol. I, Ed. Dover Publications Inc., New York, 1958,

pg. 530.23 UBALDO NIETO DE ALBA: Introduccin a la estadstica. Ed Aguilar, Madrid, 1975, vol. II,

pg. 37.24 ROS GARCA, S. y ROS INSA, S.: La teora de la Decisin de Pascal a von Neumann, en

Historia de la Matemtica en el siglo XX. Real Academia de Ciencias Exactas, Fsicas y Natu-rales, Madrid, 1998, pg. 19.


ma, seala su importancia planteando que en l aparecen los elementos bsicosde un problema de decisin.

En definitiva, parece justificado sealar la magnitud de Laplace en ese en-samblaje entre las dos teoras que nos propusimos al comienzo. Importancia enla que tambin coinciden diversos autores, como I. Todhunter25 que seala alrespecto: En general la teora de la probabilidad est ms en deuda con La-place que con cualquier otro matemtico.

25 TODHUNTER, I.: A History of the Mathematical Theory of Probabilty, Ed. Chelsea Publishing

Co, 1965, pg. 464.


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19

EL MTODO UNIVERSAL DEPASCAL COMO UN EQUIVALENTECIERTO: EL PROBLEMA DE LOSPUNTOS

Jess Basulto SantosJos Antonio Camez Ruiz

Ana Mara Domnguez QuinteroUniversidad de Sevilla

INTRODUCCIN

Un problema de decisin en condiciones de riesgo, el denominado Problemade los Puntos, Problema de las Partidas o Regla de los Repartos constituyeel ncleo de la correspondencia que mantuvieron Pascal y Fermat en 1654(Todhunter, I., 1865, De Mora Charles, M.S., 1989, Hald, A., 1990).

El problema de los puntos se presenta en la siguiente situacin. Dos jugado-res, que identificaremos con las letras A y B, juegan a un juego de puro azar.Apuestan cada uno de ellos una cantidad monetaria K sobre el siguiente juego aS partidas: lanzar una moneda perfecta, de forma independiente, una serie deveces, denominadas partidas, de tal manera que una partida es ganada por eljugador A cuando sale cara y por el jugador B en el otro caso, cuando salecruz. Gana el juego, y por tanto la cantidad total apostada, 2K, el jugador quelogre en primer lugar ganar S partidas.

Por alguna razn (Pascal seala que ambos jugadores estn de acuerdo enque se pueda presentar dicha situacin) el juego es interrumpido cuando al ju-gador A le faltan a partidas para ganar, a S< , y b partidas al jugador B,


b S< . En ese caso decimos que el juego ha sido interrumpido en la situacin(a, b). En ese momento surge el problema de cmo repartir el total apostado,2K, entre ambos jugadores. Por ejemplo, si ambos jugadores juegan a 2 parti-das, y si al primero, el jugador A, le falta una partida (pues ya ha ganado una)y al segundo, el jugador B, le faltan las dos partidas, es decir, el juego ha sidointerrumpido en la situacin (1, 2), y si el total apostado es 20 unidades mone-tarias (cada uno ha puesto 10), el problema de cmo repartir esa cantidad entrelos dos jugadores es denominado problema de las partidas (parties, en francs)o regla de los repartos.

A veces se cuentan los puntos obtenidos en cada partida y, por tanto, lospuntos que necesita cada jugador para ganar. En esos casos, el problema de laspartidas es conocido tambin como problema de los puntos. En general, identi-ficaremos cada partida ganada por un jugador con un punto conseguido por elmismo. As, si al jugador A le faltan a partidas para ganar el juego, podremosdecir tambin que necesita a puntos.

Casos particulares del problema fueron presentados en manuscritos italianostan antiguos como el fechado en 1380, y los matemticos italianos del Renaci-miento, como Pacioli, Forestani, Tartaglia, Cardano o Peverone hicieron es-fuerzos infructuosos en busca de la solucin (Cardano fue el que ms se apro-xim a la solucin correcta). El problema atrajo la atencin de Pascal a travsde Antoine Gombaud, Chevalier de Mr, y llev a la correspondencia conFermat en el verano de 1654.

La idea de juego justo pretende recoger el supuesto de que ambos jugado-res poseen la misma habilidad o, dicho de otra forma, en cada partida ambosjugadores tienen la misma probabilidad, 1/2, de ganarla. Supondremos ademsque el juego justo est constituido por partidas independientes. Por ejemplo, enel caso del lanzamiento de la moneda, los resultados observados antes de lar-sima jugada, no influyen en los resultados de esta jugada. Esta hiptesis deindependencia quiere recoger el supuesto de que los jugadores no se cansan, esdecir, sus habilidades permanecen constantes; cada vez que se lleva a cabo unanueva jugada, los jugadores se encuentran fsica y psquicamente como en laprimera.

Con esto queda introducido el problema, que Pascal resolver mediante loque l mismo llam Mtodo Universal. A partir de aqu, este trabajo consta delapartado 2, donde al entender el problema de los puntos como uno de decisin,introducimos la idea de equivalente cierto que justificar el mtodo quetransmite Pascal al resolverlo, el apartado 3, donde se analizan los principios ycorolarios que sirven de soporte al Mtodo Universal y el apartado 4 donde,por fin, mostramos cmo procede este Mtodo al aplicarlo a situaciones con-

EL MTODO UNIVERSAL DE PASCAL COMO UN EQUIVALENTE CIERTO AL... 21

cretas. Terminamos identificando el Mtodo Universal de Pascal con lo quehoy se conoce como Esperanza Matemtica.

EL EQUIVALENTE CIERTO

Al interrumpirse el juego, no tenemos un ganador ni, por tanto, un perdedor.Entonces, desconocemos el resultado final del juego, con lo que el asunto decmo repartir lo apostado, 2K, es un problema de decisin en ambiente de ries-go. En este caso, las posibles decisiones son los posibles repartos de la cantidad2K entre los dos jugadores, y los sucesos inciertos, que afectan a las decisiones,son, en el caso de que continuara el juego hasta el final, que ganase el jugadorA, llevndose todo lo apostado, 2K, o bien, que ste perdiese y, as, ganase elotro jugador, el B.

Hablamos de un problema en ambiente de riesgo porque si nos fijamos en eljugador A, la probabilidad que tiene este jugador de ganar es conocida. Esteresultado es consecuencia de las dos condiciones del juego, la equiprobabilidaden cada partida y la independencia entre las partidas. Si ( )P A es la probabili-dad de ganar el juego para el jugador A, entonces, este jugador debe decidirentre la lotera { }2 , ( ); 0, ( )K P A P B , es decir, ganar 2K con probabilidad

( )P A , o perder lo apostado con probabilidad ( ) 1 ( )P B P A= - , frente a tomarun valor Z del intervalo [0, 2K], que denominaremos equivalente cierto para eljugador A. Este valor Z que tomara el primer jugador sera el mnimo valor delintervalo [0, 2K] que hace equivalente aceptar la lotera, o sea, seguir el juego,o evitar el riesgo de perder todo lo apostado al aceptar la cantidad Z y detenerseel juego. Al aceptar el equivalente cierto, Z, se evita el riesgo. Esta forma deaproximarse al problema se debe ms a Pascal que a Fermat, como se deducede la lectura de la correspondencia entre ambos. Ahora bien, nos preguntamos:(1) cmo calcul Pascal el equivalente cierto?, y (2) qu supuestos propusopara justificar el clculo del equivalente cierto?

En el presente trabajo damos respuestas a esas preguntas haciendo uso de laobra de Pascal, Trait du triangle arthmtique, avec quelques autres traits surla mme sujet (publicado tres aos despus de su muerte, en 1665, aunque yaestaba redactado en 1654, segn se observa en las cartas escritas por Pascaldurante ese ao), sobre todo el anexo de esta obra titulado Usage du trianglearithmtique pour determiner les partys quon doit faire entre deux joueurs quijouent en plusieurs parties, y la misma correspondencia que se conserva entrePascal y Fermat (carta de 29 de julio de 1654 de Pascal a Fermat, carta de 24de agosto de 1654 de Pascal a Fermat, carta de 29 de agosto de 1654 de Fermata Pascal y la carta de 25 de septiembre de 1654 de Fermat a Pascal). Los textos


de Pascal usados en este trabajo son los de Oeuvres Completes, Edicin deLafuma, (Pars) de 1963.

El inters de estudiar estos documentos histricos est en la introduccinpor Pascal de su Mtodo Universal (en la carta de 29 de julio o en el anexoantes citado), que nosotros identificamos con la Esperanza Matemtica, para elclculo del equivalente cierto. Tambin, la justificacin por parte de Pascal desu Mtodo Universal por medio de dos principios y dos corolarios (en su Usagedu triangle arithmtique pour determiner les partys quon doit faire entre deuxjoueurs qui jouent en plusieurs parties) son de gran actualidad para nosotros.En efecto, veremos en el siguiente apartado que el primer principio recoge lapropiedad reflexiva (Muliere y Parmigiani, 1993), propiedad que todo prome-dio debe satisfacer. En cuanto al segundo principio, Pascal recoge el supuestode que sus jugadores son neutros al riesgo. Comentaremos esta situacinjunto con las actitudes por parte de los jugadores de adverso al riesgo opropenso al riesgo. La hiptesis de neutro al riesgo que toma Pascal puedeser explicada por el tipo de aplicacin al que est dirigida la teora (Coumet,1970).

Por ltimo, comprobaremos como Pascal har uso sin mencionarlo del lla-mado Axioma de Sustitucin (Herstein y Milnor, 1953) en sus distintos ejem-plos. Coumet (1970), sin reconocer que Pascal hace uso de este axioma distin-gue en los razonamientos de este autor dos tipos de certitud: (1) la certitud querecoge el primer principio, y (2) la certitud asegurada que se identifica con elequivalente cierto; en palabras del mismo Coumet entre une condition o jeprends (certitude sret) et autre o je continue jouer (incertitude de la fortu-ne). Aunque esta distincin entre certitud y certitud asegurada es funda-mental, Coumet no descubre que Pascal usa, de forma implcita, el Axioma deSustitucin que justifica la certitud asegurada. Este axioma fue criticado porM. Allais (1953) y, a pesar de la solucin aportada por L.J. Savage (1954), hallevado a una serie de investigadores a proponer nuevas teoras de decisin encondiciones de incertidumbre sin este axioma.

LOS PRINCIPIOS DEL MTODO UNIVERSAL DE PASCAL

En la obra de Pascal antes citada, Trait du Triangle Arithmetique, en el apar-tado Divers usages du Triangle arithmetique encontramos la seccin III cuyottulo en espaol sera Uso del tringulo aritmtico para determinar los repar-tos que se deben hacer entre dos jugadores que juegan a varias partidas, dondeaparece expuesto su Mtodo Universal como mtodo de resolucin del Proble-ma de los Puntos. En palabras de Pascal:


Para entender la regla de los repartos, la primera cosa que es necesarioconsiderar es que el dinero que los jugadores han puesto en el juego ya no lespertenece, pues ellos han renunciado a la propiedad; pero en recompensa hanrecibido el derecho a esperar lo que el azar les pueda dar, siguiendo las condi-ciones que ellos hayan convenido previamente.

Pero, como es una ley voluntaria, ellos pueden romperla de comn acuer-do; y as, en cualquier trmino que el juego se encuentre, ellos pueden salirse;y, al contrario de lo que han hecho al entrar, renunciar a lo que esperan delazar, y entrar cada uno en la propiedad de algo. Y en este caso, la determina-cin de lo que debe pertenecerles debe estar de tal modo proporcionada por loque tenan derecho a esperar de la fortuna, que cada uno de ellos encuentreenteramente igual tomar lo que se le asigna o continuar la aventura del juego:y esta justa distribucin se llama el reparto (le parti, en francs).

En este ltimo prrafo, Pascal est definiendo una regla que permite a losdos jugadores decidir, de mutuo acuerdo, en qu instante interrumpir el juego yefectuar el reparto, o sea est definiendo una regla de parada (DeGroot,M.H., 1970) . Ms adelante recordaremos estas palabras de Pascal y comenta-remos la regla que se est definiendo.

A continuacin Pascal propone dos principios que permiten conocer de qumanera se debe hacer el reparto. El primer principio es:

Si uno de los jugadores se encuentra en tal condicin que, para cualquiercosa que ocurra, una cierta suma le debe pertenecer en caso de perder y deganar, sin que el azar se la pueda arrebatar, l no debe hacer reparto alguno,sino que la toma entera como segura ya que el reparto debe ser proporcional alazar, y puesto que el azar de perder es nulo, debe retirar todo sin reparto.

En el lenguaje de la lotera, este principio afirma que, en la que est des-

crita por { }1 12 , ; 2 ,2 2K K para el primer jugador, por ejemplo, y representadaen el siguiente grfico, dicho jugador, tanto si juega como si no, siempre recibelo apostado, 2K.

cruz

cara2K

2K


La trivialidad de este primer principio no debe suprimir el pensar en su ne-cesidad. En teora de promedios, por ejemplo, cuando todos los valores realescoinciden, entonces se exige que el promedio coincida con el valor comn. As,la media geomtrica de las cantidades positivas { }1 2 3, ,x x x es el valor gx queverifica 3 1 2 3gx x x x= ; si 1 2 3x x x x= = = , obtenemos que gx x= . Esta

propiedad se denomina reflexiva y es necesaria para poder construir un prome-dio.

El segundo principio afirma lo siguiente:

Si dos jugadores se encuentran en tal condicin que, si el uno gana, lepertenecer una cierta suma, y si pierde, le pertenecer al otro, si el juego esde puro azar en el que hay tanto azar para el uno como para el otro y por con-secuencia no ms razn de ganar para el uno que para el otro, si quieren sepa-rarse sin jugar, y tomar lo que les pertenece legtimamente, el reparto es quedividan la suma que est en juego por la mitad, y que cada uno coja la suya.

Usando nuevamente el lenguaje de loteras, este segundo principio lo pode-mos representar de la siguiente forma para el primer jugador (si dicho jugadorapuesta por la opcin cara):

Los resultados, cara y cruz, tienen la misma probabilidad, y si gana dichojugador (saliendo cara), le pertenece la cantidad 2K, y si pierde (saliendo cruz)no se lleva nada. Entonces, segn este principio, si no participa en el juego, elprimer jugador debe llevarse la cantidad K, es decir, la mitad de la cantidad arepartir.

En este segundo principio, Pascal est exigiendo que sus dos jugadores secomporten de forma neutra frente al riesgo. Hemos visto en la introduccinque, para Pascal, los dos jugadores tienen la misma habilidad (resultados equi-probables en cada partida) y adems no se cansan a lo largo del tiempo (inde-pendencia de las partidas). Pues bien, ahora Pascal exige a sus jugadores que,frente al riesgo, se comporten de forma neutra. Si el jugador A fuese adver-

so al riesgo, entonces, renunciara a la lotera { }1 12 , ; 0,2 2K aceptando unvalor mximo AZ K< . El equivalente cierto sera en este caso AZ . Este com-

0cruz

cara2K


portamiento es el mismo que sigue una persona cuando asegura su viviendafrente al riesgo de perderla por un incendio; aqu la persona est dispuesta apagar una cantidad superior al producto M p , siendo M el valor de la vivien-da y p la probabilidad de perderla. Aceptar que AZ K< es equivalente a acep-

tar que el jugador B reciba 1

(2 ) (2 )2A

K Z K K- > = . En el ejemplo del asegu-

rado la persona corre el riesgo de la lotera { }, ; 0, (1 )M p p- , es decir, perderla vivienda con probabilidad p o mantenerla con probabilidad (1 )p- . Cuandola persona es adversa al riesgo prefiere la seguridad, mantener la viviendafrente al riesgo de perderla. Si la persona es propensa al riesgo, su equivalentecierto es menor que el producto M p y as, no encuentra una empresa de se-guros (un jugador B) que le elimine ese riesgo, decidiendo en este caso conti-nuar el juego (correr el riesgo de perder su vivienda).

Ahora bien, si el jugador A es adverso al riesgo, entonces el jugador B debeser propenso al riesgo, es decir, del total apostado 2K, cede al jugador A una

cantidad menor que 1

(2 )2

K K= para evitar el mismo, o dicho de otra forma,

si el juego es a una partida, para que no se lleve a cabo la realizacin de lamisma ha de recibir lo que l apost junto con una parte de lo que apost eljugador A.

En particular, en el problema de los puntos para dos jugadores, si un juga-dor es adverso al riesgo, el otro ha de ser propenso al mismo. Si ambos jugado-res fuesen adversos al riesgo, entonces, el total apostado, 2K, mantendr unaparte sin repartir entre los jugadores.

El segundo principio que propone Pascal supone que ambos jugadores tie-nen el mismo comportamiento frente al riesgo, y adems no pueden ser ambosadversos al riesgo (porque quedar una cantidad de la apuesta sin repartir), nipropensos al riesgo (porque faltar cantidad por repartir), por lo que, en conse-cuencia, ambos jugadores deben ser neutros al riesgo.

En el problema de las partidas Pascal recurre a la cuestin de derecho quetiene el jugador sobre lo apostado. En la traduccin que hemos hecho del enun-ciado del segundo principio empleamos la palabra legtimamente en el sentidode derecho. Esta igualdad de condiciones conduce al campo de la justicia comoinstrumento de resolucin del problema.

Todas estas reflexiones son las que nos llevan a concluir que en este segun-do principio, Pascal considera que ambos jugadores tienen el mismo comporta-miento frente al riesgo, y al considerar el problema de las partidas como uno de


equidad que reparte por igual lo apostado, lo que se hace es interpretar el com-portamiento de los jugadores como el de uno que es neutro frente al riesgo.

A partir de estos dos principios, Pascal deduce su primer corolario:

Si dos jugadores juegan a un juego de puro azar, con la condicin de que siel primero gana, le corresponder una cierta suma, y si pierde, le correspon-der una menor; si ellos quieren separarse sin jugar, y tomar cada uno lo queles pertenece, el reparto es que el primero coja lo que le correspondera encaso de perder, y adems la mitad del exceso, el cual es lo que sobrepasa loque le correspondera en caso de ganar de lo que le correspondera en caso deprdida.

En lenguaje de las loteras, este primer corolario establece que para la si-guiente lotera (siempre respecto al primer jugador o jugador A),

donde, vamos a suponer que 1 2 0K K> > con lo que podemos escribir

1 2K K W= + , siendo 0W > dicha lotera es equivalente a las dos que repre-sentamos a continuacin. Interpretamos que la lotera de arriba se descomponeen estas dos:

En la primera se muestra que el jugador gana siempre la cantidad 2K ,puesto que si sale cara, en la lotera inicial gana 2K W+ , y si sale cruz, gana

2K . Por tanto, en ambos casos tiene asegurada una ganancia de 2K .

En la segunda lotera, el jugador arriesga W, en el sentido de ganar W o ga-nar 0. Ahora Pascal aplica sus principios a cada una de estas loteras: a la pri-mera le aplica su primer principio, lo que le conduce a que el jugador se quede

0

W

cruz

cara

cruz

cara1K

1K

cruz

cara2K

2K


con 2K , mientras que a la segunda le aplica su segundo principio, con lo que eljugador debe llevarse la mitad de W. En total, Pascal valora la lotera

{ }1 21 1, ; ,2 2K K por la cantidad2 2

WK +

A continuacin escribe Pascal el segundo corolario, en el que expresa deotra forma el resultado proporcionado por el corolario primero.

El corolario segundo afirma lo siguiente:

Si dos jugadores estn en la misma condicin que acabamos de decir, yodigo que el reparto se puede hacer de esta manera que viene a ser lo mismo:que se junten las dos sumas de ganancia y prdida y que el primero tome lamitad de esta suma.

Pues la mitad de la suma de dos nmeros es siempre la misma que el me-nor, ms la mitad de su diferencia.

Con nuestra notacin, Pascal dice que la cantidad 2 0,5K W+ es lo mismoque 1 2( ) 2K K+ . Una vez que Pascal ha obtenido estos dos corolarios, propo-ne aplicarlos a la resolucin del problema de los puntos. Lo veremos en el si-guiente apartado.

APLICACIN DEL MTODO UNIVERSAL

Seguimos leyendo a Pascal:

Establecidos estos fundamentos, pasaremos a determinar fcilmente el re-parto entre dos jugadores, que juegan a tantas partidas como se quiera, encualquier situacin en que ellos se encuentren, es decir qu reparto hay quehacer cuando ellos juegan a dos partidas, y el primero tiene en una un punto(tiene ya una ganada), o que jueguen a tres, y que el primero tenga en una unpunto, o cuando l tiene ya dos puntos, o cuando l tiene dos contra uno; ygeneralmente en cualquier nmero de partidas que ellos jueguen, y en cual-quier nmero de partidas ganadas que ellos estn, tanto el uno como el otro.

Sobre esto, la primera cosa que hay que sealar es que dos jugadores quejuegan a dos partidas, donde el primero tiene en una un punto, estn en lamisma condicin que otros dos que juegan a tres partidas, donde el primerotiene dos, y el otro uno: pues hay esto en comn, para terminar, slo le faltauna partida al primero, y dos al otro: y es en esto en lo que consiste la diferen-


cia de las ventajas y que debe regular los repartos; de forma que propiamen-te no se deba tener en cuenta ms que el nmero de partidas que les faltenpor ganar al uno y al otro, y no el nmero de las que ellos hayan ganado,puesto que, como hemos dicho ya, dos jugadores se encuentran en el mismoestado cuando, jugando a dos partidas, uno tiene un punto, que dos que juegana doce partidas, teniendo once a diez (independencia).

Es necesario pues, plantear la cuestin de esta forma:

Propuestos dos jugadores, a cada uno de los cuales le falta cierto nmerode partidas para terminar, hacer el reparto.

Aqu Pascal mantiene la misma hiptesis que ya Cardano sostena en 1539(David, F.N., 1962) acerca del problema de los puntos. Lo importante no sonlas partidas que llevan jugadas, sino las que quedan por jugar. Ya hemos sea-lado que esta hiptesis se justifica por la independencia entre las partidas y elhecho de conocer las probabilidades desde el supuesto de equiprobabilidad encada partida. Pascal prosigue su exposicin:

Dar aqu el mtodo, que proseguir solamente con dos o tres ejemplos quesern tan fciles de continuar, que no ser necesario ms.

Para hacer la cosa general sin omitir nada, la empezar con el primerejemplo que es quizs inoportuno de tocar, ya que es demasiado claro; lo hagosin embargo para comenzar por el principio (en francs, Pascal escribe: pourcommencer par le commencement); es ste:

Primer caso

Si a uno de los jugadores no le falta ninguna partida, y al otro algunas, lasuma entera pertenece al primero. Pues l ha ganado, dado que no le faltaninguna de las partidas que deba ganar.

Es decir, para los juegos del tipo (0, b) o (a, 0), lo apostado es todo para elprimer jugador, en el primer tipo, y todo para el segundo jugador, en el segun-do tipo. Proseguimos leyendo a Pascal:

Segundo caso

Si a uno de los jugadores le falta una partida y al otro una, el reparto esque dividan el dinero por la mitad, y que cada uno tome la suya: esto es evi-dente por el segundo principio. Es lo mismo si le faltan dos partidas al uno ydos al otro; y lo mismo ocurre para cualquier nmero de partidas que le faltenal uno si le faltan otras tantas al otro.

Aqu Pascal est evaluando los casos del tipo (c, c) con un valor igual a lamitad del total apostado. En este caso es donde se constata con ms sencillez laidea de jugadores neutros al riesgo. Y sigue:


Tercer caso

Si a uno de los jugadores le falta una partida y al otro dos, he aqu el artede encontrar el reparto.

Consideremos lo que le pertenecera al primer jugador (al que slo le faltauna partida) en caso de ganar la partida que ellos van a jugar, y despus loque le pertenecera en caso de perderla.

Es evidente que si ste que no le falta ms que una partida, gana esta parti-da que se va a jugar, no le faltar ms: entonces todo le pertenecer por elprimer caso. Pero, al contrario, si aquel que le faltan dos partidas gana staque van a jugar, a l no le faltar ms que una; por tanto, estarn en tal con-dicin que le faltar una al uno, y una al otro. Entonces, ellos deben repartirel dinero por la mitad por el segundo caso.

As pues, si el primero gana esa partida que se va a jugar, le pertenecertodo, y si la pierde, le pertenecer la mitad; por tanto, en caso de que ellos

quieran separarse sin jugar esta partida, a l le pertenecen 34

por el segundo

corolario.

La lotera que est resolviendo Pascal en este tercer caso es una loteracompuesta del tipo que a continuacin se detalla, desde el punto de vista delprimer jugador o jugador A:

En la carta de 29 de julio de 1654, que Pascal dirige a Fermat, Pascal re-suelve, entre otros, este ejemplo (1, 2), cuando K es igual a 32 doblones. Lee-mos en la carta para este caso:

Supongamos que el primero tiene ganada dos y el otro una (suponiendo unjuego a tres partidas); ellos juegan ahora una partida donde la suerte es talque, si el primero la gana, l gana todo el dinero que est en el juego, a saber,64 doblones; si el otro la gana, estn en dos partidas contra dos y, por conse-

0

2K

cruz

cara

(1, 2)

(1,1)

(0,2) 2K

cruz

cara


cuencia, si ellos quieren separarse es necesario que cada uno de ellos retire suapuesta, a saber, 32 doblones cada uno.

Considerad pues, Seor, que si el primero gana, a l le pertenecen 64; sipierde le pertenecen 32. Por tanto, si ellos no quieren arriesgarse en esta par-tida, separndose sin jugarla, el primero debe decir: Estoy seguro de tener32 doblones, pues la misma prdida me los da; pero para los otros 32, qui-zs yo los tendr, quizs los tendris vos; el azar es el mismo; partamospues esos 32 doblones por la mitad, y dadme, adems de los 32 que tengoseguros. l tendr pues 48 doblones y el otro 16.

Para el jugador A la lotera de este ejemplo es:

Pascal la reduce a esta equivalente:

En esta ltima, los 32 doblones constituyen el denominado equivalente

cierto de la lotera { }1 164, ; 0,2 2 por el segundo principio. En esta ltima lote-ra quedan reflejadas las palabras de Pascal: Estoy seguro de tener 32 doblo-nes, pues la misma prdida me los da; pero para los otros 32, quizs yo lostendr, quizs los tendris vos; el azar es el mismo; partamos pues esos 32doblones por la mitad, y dadme, adems de los 32 que tengo seguros.

La seguridad de tener 32 doblones entra en duda si consideramos la lote-ra compuesta, donde el jugador puede ganar 64 doblones o perderlo todo. Nospreguntamos entonces, de dnde viene esa seguridad? La explicacin debeestar en la equivalencia entre la lotera compuesta y la simple, o sea:

(1, 1)

cruz

cara

(0, 2) 64 doblones para A

cruz

cara

(1, 2) (0, 1) 64 doblones para A

(1, 0) 0 doblones para A

cruz

cara

(1, 2)

64 doblones para A

32 doblones para A


Aqu se supone que si en la lotera compuesta sustituimos { }1 164, ; 0,2 2 porsu equivalente cierto, entonces la nueva lotera { }1 164, ; 32,2 2 es equivalente ala compuesta. Es decir, para el jugador A la lotera compuesta es igual (indife-rente) que la simple. Esta equivalencia entre una situacin de riesgo, como enla lotera compuesta, y una situacin de seguridad, como en la lotera

{ }1 164, ; 32,2 2 , es la clave de la que hace uso Pascal para resolver este y elresto de los problemas.

Si la lotera enunciada en el primer principio la representamos por

{ }1 1 164, ; 64,2 2l = , y si representamos por 2l y 3l las loteras{ }2 1 164, ; 0,2 2l = y { }3 1 132, ; 32,2 2l = , entonces la equivalencia anterior se

podra expresar de la siguiente forma: Si la lotera 2l es indiferente a la lotera

3l , entonces la lotera compuesta { }1 21 1, ; ,2 2l l es indiferente a la lotera com-puesta { }1 31 1; ,2 2l l .

En esta nueva forma de presentar la equivalencia, es fcil reconocer elAxioma 3 del trabajo de Herstein y Milnor (1953). Se le denomina Axioma deSustitucin y es fundamental para el desarrollo de una teora de decisin bajoriesgo: si admitimos que ambos jugadores se comportan de acuerdo al axioma

de sustitucin, entonces la lotera compuesta { }1 21 1, ; ,2 2l l se puede sustituir

64

(1, 1)

cruz

cara

64

cruz

cara

(1, 2)

0

64

cruz

cara

(1, 2)

32


por la lotera { }1 164, ; 32,2 2 y es en esta lotera donde las palabras de Pascalantes comentadas sobre la seguridad de los 32 doblones tienen plena justifica-cin. En conclusin, los equivalentes cierto de las dos loteras que representa-

mos a continuacin, coinciden, siendo ste para el primer jugador 2K

K + , por

el corolario primero.

Este mtodo usado por Pascal para resolver el problema, al que el propioautor llam Mtodo Universal, es el que en lenguaje actual se conoce comoMtodo de la Esperanza Matemtica para las apuestas. En efecto, si la loteracompuesta de arriba la reducimos a una simple, aplicando la regla de las pro-babilidades:

Entonces, si calculamos la esperanza matemtica de esta ltima lotera obte-

nemos 1 1 1

(2 ) 02 4 4

K + +

, que es igual a 2K

K +

A partir de aqu, Pascal aplicar su mtodo universal a cualquier problemade los puntos con dos jugadores, reducindolo a un problema ya resuelto. As,resolver los casos (1, 3) y (2, 3). En general, si [( , )]E a b es lo que corres-

0cruz

cara(1, 2)

(1, 1)

(0, 2)

cruz

cara2K

2K (1, 2)

Kcruz

cara2K

0

(1, 2)

1 12 4

+ 2K

14


ponde al jugador A si el juego es interrumpido en la situacin (a, b), entoncesse verifica:

1 1[( , )] [( 1, )] [ , 1)]

2 2E a b E a b E a b= - + - ,

donde 1a > y 1b > . Esta situacin que relaciona el problema (a, b) con losproblemas ( 1, )a b- y ( , 1)a b - , define una ecuacin en diferencias parcial.Este tipo de ecuacin ser resuelto por los matemticos del siglo XVII. Pascalno posee una solucin a la misma, pero s tiene una potente herramienta declculo que emplear para su resolucin: el Tringulo Aritmtico (Edwards,A.W.F., 1987). Precisamente uno de los anexos de la obra de Pascal referen-ciada a lo largo de este trabajo est dedicado a explicar la resolucin del pro-blema de los puntos mediante el uso del Tringulo, y en la carta de 29 de juliode 1654, Pascal escribe a Fermat: Vuestro mtodo es muy seguro y es el queme vino al pensamiento por primera vez en esta bsqueda; pero, dado que elesfuerzo de las combinaciones (mtodo propuesto por Fermat) es excesivo, heencontrado uno abreviado (el Mtodo Universal) y concretamente otro mtodomucho ms corto y ms claro (mediante el Tringulo aritmtico), que desearapoder deciros aqu en pocas palabras..... El anlisis de esta otra aportacinde Pascal resulta apasionante, pero excede los objetivos de este trabajo.

Por ltimo, volvemos a retomar la idea de la regla de parada introducidapor Pascal. Antes de comenzar el juego, nuestros jugadores podran establecerreglas del tipo: Si llegamos a la situacin (3, 1) (por ejemplo) paramos el jue-go y repartimos el total apostado, o tambin, reglas a emplear en el caso deque se produzca un hecho externo al propio juego que haga interrumpir el mis-mo. En cualquiera de los casos, bajo el supuesto de jugadores neutros al riesgoy juego justo, el criterio que establece Pascal es el de sustituir el juego quequeda pendiente en el momento de la interrupcin por el equivalente cierto oesperanza matemtica de cada uno de los jugadores. Como consecuencia, encualquier situacin en que se produzca la interrupcin del juego, los jugadoresterminarn retirando, en valor esperado, las cantidades inicialmente apostadas.


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PENSIONES, RENTAS YSEGUROS. LOS PRIMEROSCLCULOS Y LA PARTICIPACINDE LEIBNIZ

Mary Sol de Mora CharlesUniversidad del Pas Vasco

finales del siglo XVI diversos pases de Europa prohibieron los segurosde vida, que no son sino una apuesta sobre las posibilidades de supervi-

vencia de una persona, asunto que se consideraba competencia exclusiva de laProvidencia. Sin embargo, el sistema de rentas vitalicias era conocido y practi-cado desde la antigedad, con mayor o menor acierto. Lo esencial para calcularuno de estos sistemas es disponer de una tabla de supervivencia lo ms com-pleta posible de una determinada poblacin y adems es necesario contar conciertas herramientas matemticas. En el siglo XVII, con el desarrollo de lateora de la probabilidad, era posible por primera vez calcular la duracin pro-bable de la vida humana, pero antes de esa fecha los clculos empleados eranproverbialmente inexactos y conducan con frecuencia a la ruina del estado.

En cuanto a las tablas de mortalidad utilizadas para calcular las rentas, aun-que eran generalmente datos reservados, podemos suponer que proporcionabanun conocimiento muy aproximado de la esperanza de vida pues observamos queGraunt, que sealaba la necesidad de conocer al menos los aos de nacimientode la poblacin, el nmero de personas y la edad que tenan al morir, sin em-bargo no pudo contar para sus clculos ni con la edad en el momento de lamuerte, ni con el sexo, ni con el nmero de los habitantes de Londres, aunquea pesar de ello consigui realizar excelentes conjeturas.

A


Los primeros clculos, que pronto recibieron el nombre de Aritmtica Pol-tica (con William Petty en 1698), fueron realizados por John Graunt en su libroObservaciones Naturales y Polticas... realizadas sobre los Boletines de Mor-talidad, con referencia al gobierno, religin, comercio, crecimiento, aire, en-fermedades y diversos cambios en dicha ciudad (1662). Sabemos que Graunt nodispuso ms que de esos boletines, que slo informaban de la causa de lamuerte de los individuos en cada parroquia de Londres, sin distinguir la edad oel sexo de los difuntos, y por otra parte enumeraban los nios bautizados en elmismo periodo de tiempo. Con esos escasos datos, Graunt realiza la proeza deinventar una nueva ciencia, deshace muchos errores e ideas preconcebidas so-bre las causas de la muerte, por ejemplo establece que la frecuencia de los ase-sinatos en Londres es ms pequea que en Pars, al contrario de lo que afirma-ban los franceses, en la polmica que mantenan los dos pases. Tambin de-muestra que algunos de los accidentes ms temidos, como ser fulminado por unrayo, son muy poco frecuentes y que el nmero de hombres y mujeres se man-tiene en ligera desigualdad, pero que nacen ms hombres, en contra de lo quese crea, que haba tres mujeres para cada hombre, y otros muchos curiososdescubrimientos.

Sus deducciones son tambin muy acertadas, como cuando explica que apa-rezcan ms muertes que nacimientos (o bautismos) por la inmigracin del cam-po a la ciudad. O cuando establece que la poblacin de Londres es de unas380.000 personas y no de seis millones, como se afirmaba, y que es menor quela de Pars, el referente obligado.

La peste no coincida con la coronacin de los reyes y la poblacin desapa-recida por esa causa se repona muy rpidamente, en unos dos aos, como en elcaso de las guerras.

La tabla de vida que establece con grandes dificultades por la falta de datos,es admirable an ahora. Como es sabido, sin embargo la formacin de Grauntno era matemtica y por ello habrn de llegar otros autores que apliquen fr-mulas para los clculos ms elementales y una de esas frmulas, quiz la msesencial, ser la esperanza matemtica.

El manuscrito de Cardano de su Liber de ludo aleae haba sido adquirido yledo en Francia y publicado pstumamente en Lyon en 1663; en l se habla yade conceptos como igualdad, que equivale para Cardano a probabilidad, o decircuito o revolucin, que parece corresponder al total de casos posibles. Enla correspondencia entre Pascal y Fermat (1654-56) encontramos ya ms clara-mente expresada la esperanza matemtica, pero ser en el libro de ChristianHuygens (1657), De Ratiociniis in Ludo Aleae donde se establecer que la es-peranza matemtica o expectatio nos da el precio justo para un juego de azar opara una apuesta. Huygens haba recibido una copia del libro de Graunt en

PENSIONES, RENTAS Y SEGUROS. LOS PRIMEROS CLCULOS Y LA... 37

1662 y su hermano Ludwig Huygens que estaba interesado en estos temas lepropone calcular la esperanza de vida de un recin nacido (o ms bien recinconcebido) basndose en las tablas de Graunt. Esta esperanza de vida es dehecho la duracin media de la vida, pero no la duracin probable (o mediana).Como seala Hacking, en nuestros das, debido a la baja mortalidad infantil,ambos conceptos estn muy prximos, pero en la poca de Graunt la media deedad era de 18,2 aos pero la mediana era solamente de 11 aos y en todas lasfamilias haba muchos hijos que no llegaban a la edad adulta.

Hasta que Graunt public su libro, nadie haba utilizado los datos que sinembargo ya existan en diversos pases, aunque estaban reservados para el cl-culo de las rentas vitalicias y eran ms o menos secretos. Su amigo WilliamPetty hizo una recensin del libro de Graunt en el Journal des Savans de 1666y adems tras la cada en desgracia de Graunt por su conversin al cristianismode Roma, asumi su papel y public numerosos textos sobre lo que acertada-mente llam Aritmtica Poltica.

Para Graunt hay una probabilidad p constante de morir en un ao dado,aunque l no utiliza el trmino probabilidad. La frmula sera:

N = tamao de la poblacin.

Si la probabilidad de sobrevivir 10 aos es 0,5. Y como 1 p- ser la pro-babilidad de no morir en un ao dado, segn estas condiciones, el primer aosobreviviran (1 )N p- , en el segundo (1 ) (1 ) (1 ) 2N p pN p N p- - - = - yen 10 aos (1 ) 10 (0,5)N p N- = .

Si q = probabilidad de que al menos un hombre de cada10 muera en un aodado, entonces,

1 q- = probabilidad de que no muera nadie en ese ao y eso es(1 ) 10 0,5p- = , luego tambin 0,5q = .

Se supone implcitamente que la proporcin de defunciones es uniforme apartir de los 6 aos de edad, idea que va a ser adoptada tambin por los herma-nos Huygens y Leibniz y sta es una suposicin sorprendente pero que, ante lastablas disponibles, resulta razonable.

Petty sin embargo rechaza la hiptesis de Graunt de que la tasa de mortali-dad es uniforme y supone que despus de los 16 aos aumenta con la edad.

Hubo que esperar a Neumann en 1692, para la ciudad de Breslau y Mai-tland en 1739 para Londres, que fueron los primeros en disponer de una esta-dstica de los fallecimientos por edades.


Ser Nicols Bernoulli quien introducir la duracin de la vida probable, esdecir la esperanza matemtica en la cual los valores de la variable son pondera-dos por sus probabilidades y no por sus frecuencias, que nos informa de cundohabrn desaparecido la mitad de las personas, lo que se llama duracin de vidamediana y no media. No obstante, para construir una tabla de mortalidad rea-lista, a los hermanos Bernoulli les falt disponer de una serie de observaciones,puesto que se contentaron con los datos de Graunt y lo mismo le sucedi aLeibniz.

Cardano, Tartaglia y otros haban precedido a Leibniz en el estudio de loaleatorio, pero, como en muchos otros terrenos, el camino de Leibniz era uncamino distinto y sus resultados, originales y de muy largo alcance.

Leibniz nunca fue un jugador, ni tuvo ninguna pasin o aficin personal porel juego entendido como juego de apuestas, y que era uno de los entreteni-mientos favoritos de la sociedad de la poca. Las reglas de algunos juegos, queaparecen en sus manuscritos, estn siempre incompletas y con abundantes pre-guntas anotadas en los mrgenes, que revelan que Leibniz no haba jugado ensu vida a la mayora de esos juegos. El inters de dichas reglas est

Historia de La Probabilidad y La Estadistica i

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