HISTORIA DO CÁLCULO M. Trinidad Pérez López IES María Soliño (Cangas)

AS PRIMEIRAS CO�TAS Dende o principio dos tempos a humanidade xa sentiu a necesidade de contar. A palabra cálculo provén do latín calculus, que significa contar con pedras, e é nese intre cando comeza a historia do cálculo, ou das matemáticas. O obxectivo deste traballo é dar a coñecer que as matemáticas son unha das ciencias máis antigas e máis útiles, que non sempre foi doado facer os cálculos e que a humanidade non sempre puido botar man dunha calculadora electrónica de peto ou dun ordenador, é decir, que os cálculos non eran tan doados de conseguir como agora. Non se coñece ningunha cultura na que non apareza a noción de contar. O proceso de contar consiste en establecer unha correspondencia entre os obxectos para contar e un conxunto de símbolos que representan aos obxectos iniciais pero que son máis doados de manipular, como os dedos dunha persoa, os nós dunha corda ou algúns signos debuxados nun anaco de madeira ou pedra, etc. Observemos que dunha soa ollada soamente podemos percibir como máximo, non máis de catro elementos.Para cantidades maiores a catro temos que contar os elementos, agrupalos ou comparalos. Se intentan saber a cantidade de cada obxecto representado nos debuxo seguintes, sen contalos, verá que máis de catro non os pode percibir. AS MA�S. A CALCULADORA MÁIS A�TIGA O home evolucionou culturalmente grazas ás mans; pois ao lograr a postura ergueita, as mans quedaban libres, gañando con iso un valioso instrumento. As mans serviron principalmente para construír e utilizar ferramentas cada vez máis poderosas, máis eficaces e sofisticadas. Pero a man non só lle serviu ao home para fabricar obxectos, senón como medio instrumental para representar números e realizar cálculos con eles. Dende tempos remotos existiron cálculos dixitais e aínda seguen existindo hoxe en día nalgunhas zonas de Rusia e de Europa. Ademáis que a maioría do alumnado aprenda a contar coa axuda dos dedos non é unha casualidade, así como que empreguemos a base dez.

Nas figuras represéntanse diferentes xeitos de representar números coas mans en diferentes tempos e culturas. Dereita Theatrum Arithmetico-Geometricum de Jacob Leupold (1727) OS PRIMEIROS SIG�OS MATEMÁTICOS A forma máis antiga de calcular era a da comparación, ou sexa; un obxecto, un dedo. Pero cando se esgotaban os dedos das mans xa non sabían contar máis, de aquí que o enxeño human inventara outro estrataxema para contar: sobre un anaco de madeira ou un óso gravaban riscos. Este sistema de calcular usouse hai máis de 20.000 anos; así o testemuñan as numerosas pinturas rupestres e os ósos tallados achados en Europa Occidental da época da cultura de Cromañón (20.000 anos). No pastoreo europeo apuntábase o número de cabezas de gando gravando riscos nun anaco de madeira. En Francia, na idade Media, para o control dos impostos usábanse madeiras chamadas tailles, é dicir tarxas, nas que se gravaban as cantidades entregadas. Este mesmo sistema empregouse en Inglaterra ata o ano 1826 para a contabilidade. As tarxas (tally stick) inglesas de contabilidade consistían nunha peza de madeira que se dividía lonxitudinalmente sen chegar a seccionala de todo, e na que se facían as marcas dos cartos ou bens debidos segundo un código; e que logo de asinar nelas, partíanse; e unha copia levábaa o receptor do préstamo e outra o prestamista. Este sistema tamén foi empregado en España ata mediados do século XIX nos muíños para anotar os sacos de gran debidos.

Esquerda, hastas de reno con riscos do Paleolítico Superior (c. 15.000 a.C.) Dereita, vistas do óso de Ishango.

Debaixo, tarxas ou táboas de contabilidade inglesas.

CALCULUS Outro sistema prehistórico de contar era o dos croios, que consistía en asociar un croio co que se quería contar. Por exemplo os que querían saber se lles faltaba unha ovella ao saír do curral, por cada ovella que saía, puñan un croio nun recipiente e cando chegaban, quitaban un croio por cada ovella; e así sabían que os que quedaban no recipiente, eran as ovellas que faltaban. Este procedemento tamén o usaron en Abisinia os guerreiros: cada un ao saír cara á batalla depositaba un croio nunha furna e ao regresar, cada un collía un; e así sabían polos sobrantes, as baixas que sufriran. Ao comprobar que para contar cantidades moi grandes necesitaban moitísimos croios, usaron a base dez, ou sexa; substituíron dez croios pequenos por un máis grande; o mesmo para as centenas, cun máis grande; e o mesmo para os milenios, etc… Nas escavacións da antiga Mesopotamia atopáronse, en grandes cantidades, uns obxectos de diferentes formas e tamaños (conos, cilindros, discos,...); estes servían para contar cousas tendo diferentes valores e significados. Cáculus de arxila procedentes de Susa (c. 3300 a.C.) AS CIFRAS A necesidade da humanidade de conservar permanentemente un dato, unha idea ou un pensamento, foi o que impulsou a aparición da escritura. Os primeiros trazos que se poden designar como escritura apareceron en Sumeria, onde as civilizacións empregaban táboas de arxila para escribir. Os sumerios adoptaron a base 60. De onde xurdiu esta base sexasesimal é un dos grandes enigmas da historia. Esta base aínda se emprega hoxe en día na medida do tempo, na medida das coordenadas dun lugar, etc. Pero oralmente en sumeria empregaban a base dez. Nas imaxes vemos unha táboa sumeria e unha factura que pertencen as escavacións de Uruk.

ÁBACOS A cultura sumeria tamén foi a primeira inventora do ábaco; aínda que de forma paralela se crearon os ábacos noutras civilizacións como a chinesa, a inca,… O ábaco sumerio consistía nun cadrado, que podía ser de madeira, arxila ou simplemente debuxado na area; as bólas ou fichas eran pedras, paus de madeira ou outros obxectos pequenos. O ábaco estaba dividido en varias columnas e cada unha representaba unha potencia de dez. Neste ábaco podíase facer todo tipo de operacións, como sumar, restar, multiplicar e dividir.

Esquerda, principio de ábaco sumerio e enriba representación da Margarita Philosophica de Gregor Reisch (1503).

Os gregos para efectuar operacións aritméticas non utilizaban as súas cifras, senón ábacos. O ábaco grego na súa forma máis primitiva consistía nun taboleiro liso, rectangular, provisto de bordos e no que se colocaba po, area fina ou cera, para poder escribir sobre ela os signos de numeración cun punzón ou co dedo. Para facilitar as contas empregaban “fichas” ou cantos. Tamén utilizaron ábacos xa gravados en pedras ou mármores, como a táboa de Salamina (abaixo esquerda). Neste detalle do vaso de Darío (abaixo dereita, museo arqueolóxico nacional de Nápoles), apréciase o tesoureiro do rei de persia determinando, mediante operacións que realiza sobre o ábaco ou mesa de contar, o montante do tributo imposto a unha cidade conquistada.

Tamén os romanos empregaban o ábaco para calcular pois ademais dos poucos exemplares atopados en escavacións arqueolóxicas e conservados en museo, temos reesentacións do seu emprego en relevos e mosaicos. O ábaco romano consistía nunha mesa na que se debuxaban unha serie de liñas paralelas que correspondían ás diferentes unidades da numeración latina e con fichas efectuábanse os cálculos. Nesta imaxe (abaixo esquerda) vemos un baixorrelevo romano que representa un mestre ensinando ao alumno o uso do ábaco. No mosaico romano (abaixo dereita) represéntase a Arquímedes efectuando cálculos nun ábaco de cifras no momento en que un soldado romano se dispón a asasinalo no 212 a.C. O romano non entendeu cando dixo: Por favor non me borres os debuxes do ábaco. Esta imaxe (abaixo centro) representa unha réplica en bronce dun ábaco portátil romano coa representación dos distintos valores. Para realizar os cálculos, o pobo inca tiña un verdadeiro ábaco que marabillou aos españois que chegaron a América do Sur e viron a facilidade con que estes facían os seus cálculos. Era a chamada yupana que consistía nunhas vinte casas afundidas en buracos (cinco en cada unha das catro filas) cuxo soporte era unha bandexa de pedra, barro cocido, madeira ou simplemente o chan. Nos devanditos buracos desprázanse para os cálculos grans de millo, xudías ou cantos.

Comenta José Acosta no seu libro Historia �atural y moral de las Indias: “Tomarán estos indios sus granos y pondrán una

aquí, tres acullá, ocho no sé dónde. Pasarán un

grano de aquí, trocurán tres acullá, y en efecto ellos

salen con su cuenta hecha puntualísima, sin errar

tílde. Si esto en él es ingenio y estos hombres son

bestias, júzguelo quien quisiere, que lo que juzgo de

cierto es que en aquello a que se aplican nos hacen

grandes ventajas.”

O pobo chinés, sobre o século IX, empregaba para efectuar os seus cálculos, uns taboleiros cadrados (chamados Dameiros) divididos á súa vez en cadrados e nos cales poñían uns pequenos bastoncitos de marfil ou bambú, chamados chóu, que literalmente significaban “fichas de cálculo”. Nesta especie de ábaco cada columna corresponde a unha orde decimal; é dicir, a primeira á dereita son as unidades, a seguinte cara á esquerda as decenas, a terceira as centenas...

Pero os chineses tamén teñen un ábaco, denominado Suan Pan e que quere decir textualmente táboa de cálculo. O ábaco chinés aínda se emprega hoxe en día na República Popular China, simultáneamente coas calculadoras electrónicas. O Suan Pan chino consta de trece fileiras de contas como máximo, dividivas en dúas transversalmente. Cada fileira leva dúas contas na parte dereita e cinco na parte esquerda. Na primeira fileira de abaixo cara arriba, cada conta da esquerda representa unha unidade, en tanto que as da dereita equivalen a cinco idades. Esta fileira é a das unidades. A fileira seguinte das decenas e nela cada conta da parte esquerda vale 10, en tanto que as da dereita equivalen a 50 e así sucesivamente. O Soroban, ou ábaco xaponés, procede do ábaco chino. A diferenza fundamental co chinés está en que na parte superior, só ten unha conta por variña. A partir da Segunda Gerra

Mundial perdeu a quinta conta da parte inferior de todas as súas variñas. Isto supuxo ter unha maior preparación e habilidade, pero tamén un aumento de rapidez de cálculo. Na actualidade o pobo xaponés que é punteiro en tecnoloxía, considera o ábaco un instrumento imprescindible na educación, comercio e administración pública. O ábaco introduciuse en Europa co impulso do monxe auvernés Gerverto de Aurillac (futuro Papa Silvestre II, 999-1003). Este monxe na faceta de matemático alcanzou gran renome grazas á súa estancia na España musulmá onde aprendeu o uso do astrolabio, o sistema de numeración e de cálculo de orixe india, que se utilizaban aquí desde que os trouxera al-Jwarizmi. Utilizou o seu cargo de Papa para facer que se utilizase o sistema de numeración decimal por parte dos clérigos occidentais, o que facilitou enormemente o cálculo, xa que, por exemplo, cara ao ano mil, a práctica da división, ser usar o cero, requiría uns coñecementos que só posuían os eruditos. É tamén inventor dun tipo determinado de ábaco. Aquí vemos ápices (fichas, notacións) e columnas do ábaco de Gerverto nun manuscrito latino do século XI. Isto supuxo unha revolución no xeito de calcular deixando atrás os ábacos con numerais romanos, só para expertos. Pero ao chamado Papa do ano 1000 atribuíronselle pactos co diaño que o perseguiron ata logo da morte xa que a súa tumba foi aberta por orde papal para comprobar se era habitada por diaños no ano 1648!.

O ábaco ruso Stchoty está deseñado para usar con dúas mans. Consta de dez variñas e en cada unha hai ensartadas contas blancas e negras. A forma de calcular é movendo as contas de dereita a esquerda.

O ábaco francés Boulier ten como referente o ruso, xa que o introduciu en Francia un matemático francés, Poncelet (1788-1867), que participo ao servizo de Napoleón na invasión

de Rusia, onde foi feito prisioneiro. Ao seu regreso introduciuno como axuda docente nas escolas de ensino elemental. Ademais do seu uso educativo e comercial, este ábaco tamén se emprega nas partidas de billar. Consta dun número variable de variñas nas que hai ensartadas dez contas que desprazan horizontalmente. MÁQUI�A SUMADORA E PASCALI�A

A todo o mundo lle soa un tal Leonardo dá Vinci, xa que foi arquitecto, escultor, pintor, inventor e enxeñeiro; o home do Renacemento por excelencia. No chamado Codex Madrid, atopouse un esquema do que podería ser unha máquina sumadora.

Pero unha das primeiras calculadoras mecánicas é a Pascalina, que foi inventada por Blaise Pascal (1623-1662) no ano 1645, despois de tres anos de traballo sobre a mesma. Fabricáronse varias versións e Pascal en persoa construíu polo menos cincuenta exemplares. O primeiro uso da Pascalina foi na Facenda francesa, debido a que Pascal deseñou a Pascalina para axudar ao seu, que era contador en devandita entidade. No ano 1670 o filósofo e matemático alemán Leibniz perfeccionou esta máquina e inventou unha que tamén podía multiplicar.

REGRAS DE CÁLCULO A regra de cálculo é un instrumento de cálculo analóxico que facilita a realización rápida e cómoda de operacións aritméticas complicadas, como podían ser multiplicacións, divisións, etc. A súa época de esplendor durou máis ou menos un século, o comprendido entre a segunda metade do século XIX e o último cuarto do XX, aínda que fora inventada moito antes. A orixe das regras de cálculo parece que se remonta á cultura china, pero a súa teoría científica débese a Edmund Gunter (1581-1626). Este no ano 1620 construíu un instrumento para empregar os logaritmos de neper de modo máis simple, ainda que non exacto. Tratábase dunha regra e dun compás. Máis tarde William Ougtred (1575-1660) xuntou dúas escalas móbiles e chamoulle regra de cálculo. Sufriu diversas melloras e no ano 1750, Leabdtter, adquire a forma moderna. A regra de cálculo foi suplantada polas calculadoras e computadores electrónicos conforme foron avanzando os últimos decenios do século XX. AS CALCULADORAS E A SÚA EVOLUCIÓ� Vexamos nas imaxes a evolución das primeiras calculadoras. Addiator

(Mecánica) Addometer (Mecánica)

Burroughs C2000 (Electro-mecánica)

Royal Digital I (Electrónica)

Triumphator CRN (Mecánica)

Resulta BS7 (Mecánica)