C soluciona

el defecto algebraico

de R de que existan

ecuaciones polinómicas

con coeficientes reales

que no tienen soluciones

reales.

Ej. x2 + 1 = 0.

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Girolamo Cardano

(1501-1576)Ars Magna (1545)

Considerada como la fecha de

nacimiento de los números

complejos.

Resolución de ecuaciones de

tercer y cuarto grado.

“Divide 10 en dos partes,

de modo que una por la otra

dé 40.”

x(10-x)=40 155

Solución “intrigante”.

Rafael Bombelli (1526-1572) resolvió la situación operando

como lo hacemos hoy con números complejos.

3

32

3

32

3

322322

,

pqqpqqx

qpqpxx

Forma general de la ecuación cúbica y solución:

Funcionaba bien en algunos casos, como:

333 1010810108;206 xxx

Pero en otros ... : 333 21212121;415 xxx

Cardano sabía que x = 4 es solución de esta ecuación.

René Descartes

(1596-1650)

60 años después de Bombelli:

“A pesar de que podemos pensar

que la ecuación

x3 - 6x2 + 13x - 10 = 0 tiene tres

raíces, únicamente una de ellas es

real, la cual es 2, y las otras dos…

son simplemente

imaginarias.”

René Descartes

"La Géométrie" (1637)

“Los números imaginarios

son un excelente y

maravilloso refugio del

Espíritu Santo, una especie de

anfibio entre ser y no ser”

Gottfried von Leibnitz

(1.646 – 1.716)

Otros términos que han sido

usados para referirse a los

números complejos incluyen :

“Sofisticados” (Cardano)

“Sin sentido” (Néper)

“Inexplicables” (Girard)

“Incomprensibles” (Huygens)

“Imposibles” (Diversos autores)

“Estos números no son nada, ni menos que nada, lo cual

necesariamente los hace

imaginarios, o imposibles”.

“formulam littera i …”Leonhard Euler (1777)

1

Leonhard Euler(1.707 – 1.783)

Con Euler los imaginarios se

incorporan definitivamente en la

Matemática.

i2 = -1; introdujo la notación binómica.

Demostró que el conjunto de los números

“imaginarios” era cerrado para las

cuatro operaciones básicas, así como

para la potenciación y la radicación.

Karl Friedrich Gauss

(1777-1855)“Números íntegros complexos”

K. F. Gauss (1831)

A los números enteros se

han agregado las fracciones;

a las cantidades racionales,

las irracionales;

a las positivas, las negativas;

y a las reales, las imaginarias”.

“¿Qué es un número complejo?” Gauss dio la respuesta

satisfactoria definitiva en 1831 al establecer la

interpretación geométrica: x+iy → (x,y).

Miguel de Guzmán

(1936-2004)

“La visualización de los números

reales mediante los puntos de una

recta o de los números complejos

mediante los puntos del plano no

solamente penetró sin gran resistencia

en el análisis, sino que se puede decir

con razón que, en el caso de los

números complejos, esta

visualización (Argand, Gauss) fue

lo que hizo posible vencer la fuerte

oposición de la comunidad

matemática al dar carta de ciudadanía

a los números complejos”.El rincón de la pizarra: ensayos de

visualización en análisis matemático.

Un número complejo z es un par ordenado de

números reales a y b, escrito como:

z = (a,b)(Notación en componentes o coordenadas cartesianas).

a se llama la parte real de z: Re(z) := a

b se llama la parte imaginaria de z: Im(z) :=b

Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e

imaginarias son iguales:

(x1,y1) = (x2,y2) sii x1= x2 , y1= y2

, :),(: babaC

El conjunto de números complejos, se denota por C

(0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por:

Si a= 0, se dice que es un imaginario puro.

Si b= 0, z se comporta como un número real.

z = a + bi

Un número complejo z = (a,b) se escribe comúnmente

como :

)10( , i (Los ingenieros eléctricos a menudo usan “j” para evitar confusiones con el

símbolo “i”, que asocian a la intensidad eléctrica).

(notación algebraica o binómica, “afijo” en textos de antaño)

z = a + bi

z = (a,b)

)10( , i

El plano complejo(Plano z, de Argand o de Gauss)

z

x

y

r

Eje real

Eje imaginario

z = (x,y)

x

y

3

2

Ejemplo:

Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo

i23

conjugadoEl conjugado de un número complejo z = x + i y

se define como:

z

iyxz

x

zy

zy

Gráficamente el conjugado

es una reflexión respecto

al eje real.

conjugado

Es sencillo

demostrar

que:21212121

21212121

// zzzzzzzz

zzzzzzzz

iyxz

zz

22 ))(( yxiyxiyxzz

opuestoEl opuesto de un número complejo

z = x + i y se define como:

z

iyx

x

zy

z

Gráficamente el

opuesto

es una reflexión

respecto al punto (0,0)

Suma y producto

Suma

)()( 212121 yyixxzz

)()( 1221212121 yxyxiyyxxzz

Producto

Sean:

222

111

iyxz

iyxz

Parte real Parte imaginaria

“En la facultad teníamos un profesor

cojo al que llamábamos el complejo.

Tenía una pierna real y otra imaginaria.”

Memorias de un estudiante

de matemáticas

ii

iiiiii

223)1012()158(

]2)5(34[]3)5(24[)32)(54(

1)00()10()0)(0(2 iiii(1)

(2)

Ejemplos:

De modo que podemos sustituir siempre:

12 i

Ejemplo:

11112

ii

Potencias de i

1)1(1)( 2634254 iii

1

1

1

6

5

4

3

2

i

ii

i

ii

i

11

i

i

Por ejemplo:

Resta

División

(operación inversa a la suma)

(operación inversa al producto)

)()( 2121 yyixxz

El cociente de dos números

complejos se halla multiplicando el numerador y

denominador por el conjugado del denominador

Suma y resta de números complejos

en el plano complejo

x

y

1z

2z21 zz

12 zz En la suma (y la resta)

los números complejos

se comportan como vectores

ii

i

i

ii

1

11

(1)

(2)

Ejemplos:

Sean: z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i

)27)(27(

)27)(318(

z

z

2

1

ii

ii

53

57120

27

)27)(318(22

i--

i--i

Hallar el inverso de i:

Calcular:

Re(z1) = 18, Re(z2) = -7

Im(z1) = 3, Im(z2) = 2

z1+z2 = 11 + 5i, z1-z2 = 25+i

z1z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i

Ejemplo:

Sean z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i

más ejercicios

Ley de clausura:

z1 + z2 y z1 z2 pertenecen a C.

Ley asociativa:

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)

(z1 z2) z3 = z1 (z2 z3)

Ley distributiva:

z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3

Propiedades algebraicas

La suma y el producto dotan

a C de estructura de cuerpo.

Ley conmutativa:

z1 + z2 = z2 + z1

z1 z2 = z2 z1

0+z = z+0 = z (Neutro para la suma)

z +(-z) = (-z)+z = 0 (Opuesto para la suma)

z ·1 = 1 · z = z (Identidad para el producto)

z · z-1 = z-1 · z = 1 (Inverso para el producto)

{C,+,·} es un cuerpo.

No es posible ordenar el conjunto de los números complejos.

Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2

(Para todo z distinto de 0)

Falacia

¿1=-1?

11;1;111

;1)1)(1(;1)1)(1(

2

i

22: yxzr

x

yz arctanarg:

El plano complejo(Plano z, de Argand o de Gauss)

Módulo:

También llamado “valor absoluto”

(el módulo de un real es su valor absoluto)

Argumento:

z

x

y

r

Eje real

Eje imaginario

Para z = 0, el ángulo no está definido.

El 0 no tiene forma polar

z = (x,y)

Con calculadora: Teclas RP, PolRec, rθ, …

z

x

y

r

sin

cos

ry

rx

sincos irr

iyxz

sincos irz

rz Forma polar

Forma trigonométrica

x

y

iz 11

1

12

1r

4sin

4cos21

iz

2)1()1( 22

11 zr

argumento:

4/1

1arctanarg 1

z

Ejemplo:

Escribir el siguiente número complejo z1=1+i,

en forma polar y trigonométrica:

módulo:

4/1 2zsolución

x

y

r

13

)2()3( 22

zr

},7.213,7.33,3.146{

3

2arctan

3

2arctanarg

z

3

2

rad73.3

Ejemplo:

Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo y

evaluar módulo y argumento

Módulo:

Argumento:

i23

La calculadora

no distingue

El argumento está multivaluado.

)]sin()[cos(

]sincoscossin

sinsincoscos[

sincossincos

21

21

2121

irr

i

rr

irirzzz

´´ mmmm

Multiplicación

)]sin()[cos(2121 irrzz

x

y

z

1r 1z

2z

2r

21rrr

21zzz

Producto de números complejos en el plano complejo

Multiplicar por i es

equivalente a

girar 90 grados

)]2/sin()2/[cos(

)cossin(

)sin(cos

ir

ir

iiriz

x

y

1z

1

2 zi 1

3zi

1iz

Potencias

nnn

mm

)]sin()[cos( ninrz nn

Fórmula de Moivre

Potencias enteras de complejos

en forma polar:

...,1,0sincos

)2sin()2cos(

)sin()cos(

2sin2cos

sincos

22

11

22

nninrz

irz

irz

irz

irz

nn

)sin()cos(sincos ninin

Abraham de Moivre (1667 - 1754)

3223

3

sinsincos3sincos3cos

)sin(cos3sin3cos

ii

ii

El teorema de Moivre es una máquina de

generar identidades trigonométricas. Por ejemplo:

Igualando las partes reales e imaginarias:

32

23

sinsincos33sin

sincos3cos3cos

Potencias iguales

401120

4

280

40760

4

190

40400

4

100

40

4

10

16162

16162

16162

162

º1902

º2802

º1002

º102

º4016

Distintos números complejos pueden llevar al mismo

resultado al realizarles una misma potencia …

Esto nos lleva al cálculo de raíces

Potencias repetidas …

Raíces

Un número complejo tiene tantas raíces como su índice

Sus afijos son los vértices de un polígono regular

n zw

1,0,1,k º360

nknn

rR n

Raíces

se llama la raíz enésima de z a cualquier número

w que cumple: wn = z, y se escribe como

Módulo de w

Ángulo de w

rz Partimos de un número complejo z

Sean w= R(cosα+ i sinα)

z = r(cos + i sin)

Por el teorema de Moivre:

wn = Rn[cos(n α) + i sin(n α)]= r(cos + i sin)

Igualando los módulos y los ángulos obtenemos

Raíces

La fórmula para el cálculo de las raíces se basa en

el teorema de Moivre

1,0,1,k 2

kn

k

rR n

Raíz cuarta …

280

190

100

10

440

2

2

2

2

16

º1902

º2802

º1002

º102

º104

º40

º904

º360

º4016

Primer ángulo

Ángulo a añadir

Ejemplo: raíces de la unidad

5

84

5

63

5

42

5

21

º00

2055

º0

1

1

1

1

1

4,1,011

11

w

w

w

w

w

kn

k

1nz

División

)]sin()[cos(2

1

2

1 ir

r

z

z

´´ m

m

m

m

1z

División de números complejos en el plano complejo

x

y

z

2z

2r

1r

2

1

r

rr

2

1

z

zz

Benoit

Mandelbrot

publicó en 1975

su primer ensayo

sobre fractales

Su construcción se basa en la iteración de un número

complejo, es decir se hace una operación y ésta se repite

con el resultado ….

z z2 + C. (conjunto de Mandelbrot)

Un fractal es un objeto geométrico cuya

estructura básica se repite en diferentes escalas

Su dimensión es

fraccionaria

Benoit Mandelbrot (Polonia-1924)

retomó los trabajos de Juliá en 1970

Mandelbrot y esposa

Madrid-ICM 2006

El trabajo pionero en el juego de hacer

iteraciones con números complejos fue

desarrollado por dos matemáticos

franceses, Gaston Julia (a la izquierda)

y Pierre Fatou (a la derecha), a

principios del siglo XX.

El físico-matemático Antonio Brú ha modelado

matemáticamente el crecimiento de los tumores, o

al menos, eso es lo que defiende. En 1998 publica

la primera ecuación de crecimiento tumoral en la

mejor revista del mundo de física. “ … Este físico

español ha logrado curar un cáncer de hígado

terminal con una ecuación …” .http://www.periodistadigital.com/salud/object.php?o=82957

En el cuerpo humano existen estructuras con

geometría fractal, como son la red vascular,

las ramificaciones bronquiales, la red

neuronal, la disposición de las glándulas, etc.

Muchas antenas que en apariencia parecen constituir una sola unidad –gran parte de

las antenas de radar, entre ellas- están en realidad compuestas por una formación de

hasta un millar de pequeñas antenas.

Uno de los ingenieros de T&M afirma que el rendimiento de las antenas fractales es un 25 por

ciento mayor que el de las habituales antenas romas, revestidas de goma, con que van equipadas

muchos teléfonos móviles o inalámbricos. Amén de ser más baratas de fabricar, operan en

múltiples bandas, lo que permite incorporar un receptor GPS al teléfono, al tiempo que la antena

puede quedar oculta en el interior del aparato.

http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/3_1.html

http://www-tsc.upc.es/eef/research_lines/antennas/fractals/fractal_antennas.htm

(Visita la Web de los Ingenieros de la Universidad politécnica de Cataluña)

Los fractales han estado siendo usados

comercialmente en la industria

cinematográfica, en películas como Star Wars

y Star Trek.

http://starwars.ya.com/

http://www.trekminal.com/newvoyages/web/descargas.php

Otros programas:Xaos

IfsAttrActoR

Fractal hecho con el programa apophysis.

www.apophysis.org

http://www.arrakis.es/~sysifus/software.html

Visita la web de un artista:

http://home.wanadoo.nl/

laurens.lapre/

escucha música fractal

"¿La vibración de las alas

de una mariposa en Brasil

pue-de desencadenar un

ciclón en Tejas?".

(Poincaré)

Causas pequeñas

producen grandes efectos

A comienzos de la década del 60, Lorenz se puso a elaborar un

modelo matemático para predecir fenómenos atmosféricos, y por

casualidad descubrió que la misma herramienta matemática que

utilizaba estaba fallando:

pequeños cambios en las condiciones iniciales producian diferencias

asombrosas

los fractales son la

representación grafica

del caos.

Ejemplos de sistemas

caóticos incluyen la

atmósfera terrestre, el

Sistema Solar, las placas

tectónicas, los fluidos en

régimen turbulento y los

crecimientos de

población.

En la década del 70 se empezaron a investigar comportamientos

caóticos en el ritmo cardíaco, las reacciónes químicas, el

mercado bursátil ….

Sir William Rowan

Hamilton (1805 - 1865)

Los cuaterniones son números

complejos en cuatro dimensiones

en lugar de dos (Hamilton 1843).

Así un cuaternión q se expresa

como: q = a+ib+jc+kd donde

a,b,c,d son números reales.

Cuaterniones e

hipercomplejos

!La propiedad

conmutativa no se

cumple para el producto

de cuaterniones¡.

Los cuaterniones se emplean para

describir dinámicas en 3

dimensiones, en física y en gráficos

por ordenador (para hacer películas y

juegos).

El software de vuelo del

Space Shuttle usaba

cuaterniones para el

control de navegación y

vuelo

Ccesa