C soluciona
el defecto algebraico
de R de que existan
ecuaciones polinómicas
con coeficientes reales
que no tienen soluciones
reales.
Ej. x2 + 1 = 0.
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Girolamo Cardano
(1501-1576)Ars Magna (1545)
Considerada como la fecha de
nacimiento de los números
complejos.
Resolución de ecuaciones de
tercer y cuarto grado.
“Divide 10 en dos partes,
de modo que una por la otra
dé 40.”
x(10-x)=40 155
Solución “intrigante”.
Rafael Bombelli (1526-1572) resolvió la situación operando
como lo hacemos hoy con números complejos.
3
32
3
32
3
322322
,
pqqpqqx
qpqpxx
Forma general de la ecuación cúbica y solución:
Funcionaba bien en algunos casos, como:
333 1010810108;206 xxx
Pero en otros ... : 333 21212121;415 xxx
Cardano sabía que x = 4 es solución de esta ecuación.
René Descartes
(1596-1650)
60 años después de Bombelli:
“A pesar de que podemos pensar
que la ecuación
x3 - 6x2 + 13x - 10 = 0 tiene tres
raíces, únicamente una de ellas es
real, la cual es 2, y las otras dos…
son simplemente
imaginarias.”
René Descartes
"La Géométrie" (1637)
“Los números imaginarios
son un excelente y
maravilloso refugio del
Espíritu Santo, una especie de
anfibio entre ser y no ser”
Gottfried von Leibnitz
(1.646 – 1.716)
Otros términos que han sido
usados para referirse a los
números complejos incluyen :
“Sofisticados” (Cardano)
“Sin sentido” (Néper)
“Inexplicables” (Girard)
“Incomprensibles” (Huygens)
“Imposibles” (Diversos autores)
“Estos números no son nada, ni menos que nada, lo cual
necesariamente los hace
imaginarios, o imposibles”.
“formulam littera i …”Leonhard Euler (1777)
1
Leonhard Euler(1.707 – 1.783)
Con Euler los imaginarios se
incorporan definitivamente en la
Matemática.
i2 = -1; introdujo la notación binómica.
Demostró que el conjunto de los números
“imaginarios” era cerrado para las
cuatro operaciones básicas, así como
para la potenciación y la radicación.
Karl Friedrich Gauss
(1777-1855)“Números íntegros complexos”
K. F. Gauss (1831)
A los números enteros se
han agregado las fracciones;
a las cantidades racionales,
las irracionales;
a las positivas, las negativas;
y a las reales, las imaginarias”.
“¿Qué es un número complejo?” Gauss dio la respuesta
satisfactoria definitiva en 1831 al establecer la
interpretación geométrica: x+iy → (x,y).
Miguel de Guzmán
(1936-2004)
“La visualización de los números
reales mediante los puntos de una
recta o de los números complejos
mediante los puntos del plano no
solamente penetró sin gran resistencia
en el análisis, sino que se puede decir
con razón que, en el caso de los
números complejos, esta
visualización (Argand, Gauss) fue
lo que hizo posible vencer la fuerte
oposición de la comunidad
matemática al dar carta de ciudadanía
a los números complejos”.El rincón de la pizarra: ensayos de
visualización en análisis matemático.
Un número complejo z es un par ordenado de
números reales a y b, escrito como:
z = (a,b)(Notación en componentes o coordenadas cartesianas).
a se llama la parte real de z: Re(z) := a
b se llama la parte imaginaria de z: Im(z) :=b
Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes reales e
imaginarias son iguales:
(x1,y1) = (x2,y2) sii x1= x2 , y1= y2
, :),(: babaC
El conjunto de números complejos, se denota por C
(0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por:
Si a= 0, se dice que es un imaginario puro.
Si b= 0, z se comporta como un número real.
z = a + bi
Un número complejo z = (a,b) se escribe comúnmente
como :
)10( , i (Los ingenieros eléctricos a menudo usan “j” para evitar confusiones con el
símbolo “i”, que asocian a la intensidad eléctrica).
(notación algebraica o binómica, “afijo” en textos de antaño)
z = a + bi
z = (a,b)
)10( , i
El plano complejo(Plano z, de Argand o de Gauss)
z
x
y
r
Eje real
Eje imaginario
z = (x,y)
x
y
3
2
Ejemplo:
Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo
i23
conjugadoEl conjugado de un número complejo z = x + i y
se define como:
z
iyxz
x
zy
zy
Gráficamente el conjugado
es una reflexión respecto
al eje real.
conjugado
Es sencillo
demostrar
que:21212121
21212121
// zzzzzzzz
zzzzzzzz
iyxz
zz
22 ))(( yxiyxiyxzz
opuestoEl opuesto de un número complejo
z = x + i y se define como:
z
iyx
x
zy
z
Gráficamente el
opuesto
es una reflexión
respecto al punto (0,0)
Suma y producto
Suma
)()( 212121 yyixxzz
)()( 1221212121 yxyxiyyxxzz
Producto
Sean:
222
111
iyxz
iyxz
Parte real Parte imaginaria
“En la facultad teníamos un profesor
cojo al que llamábamos el complejo.
Tenía una pierna real y otra imaginaria.”
Memorias de un estudiante
de matemáticas
ii
iiiiii
223)1012()158(
]2)5(34[]3)5(24[)32)(54(
1)00()10()0)(0(2 iiii(1)
(2)
Ejemplos:
De modo que podemos sustituir siempre:
12 i
Ejemplo:
11112
ii
Potencias de i
1)1(1)( 2634254 iii
1
1
1
6
5
4
3
2
i
ii
i
ii
i
11
i
i
Por ejemplo:
Resta
División
(operación inversa a la suma)
(operación inversa al producto)
)()( 2121 yyixxz
El cociente de dos números
complejos se halla multiplicando el numerador y
denominador por el conjugado del denominador
Suma y resta de números complejos
en el plano complejo
x
y
1z
2z21 zz
12 zz En la suma (y la resta)
los números complejos
se comportan como vectores
ii
i
i
ii
1
11
(1)
(2)
Ejemplos:
Sean: z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i
)27)(27(
)27)(318(
z
z
2
1
ii
ii
53
57120
27
)27)(318(22
i--
i--i
Hallar el inverso de i:
Calcular:
Re(z1) = 18, Re(z2) = -7
Im(z1) = 3, Im(z2) = 2
z1+z2 = 11 + 5i, z1-z2 = 25+i
z1z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i
Ejemplo:
Sean z1=18 + 3i z2 = -7 + 2i
más ejercicios
Ley de clausura:
z1 + z2 y z1 z2 pertenecen a C.
Ley asociativa:
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
(z1 z2) z3 = z1 (z2 z3)
Ley distributiva:
z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3
Propiedades algebraicas
La suma y el producto dotan
a C de estructura de cuerpo.
Ley conmutativa:
z1 + z2 = z2 + z1
z1 z2 = z2 z1
0+z = z+0 = z (Neutro para la suma)
z +(-z) = (-z)+z = 0 (Opuesto para la suma)
z ·1 = 1 · z = z (Identidad para el producto)
z · z-1 = z-1 · z = 1 (Inverso para el producto)
{C,+,·} es un cuerpo.
No es posible ordenar el conjunto de los números complejos.
Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2
(Para todo z distinto de 0)
Falacia
¿1=-1?
11;1;111
;1)1)(1(;1)1)(1(
2
i
22: yxzr
x
yz arctanarg:
El plano complejo(Plano z, de Argand o de Gauss)
Módulo:
También llamado “valor absoluto”
(el módulo de un real es su valor absoluto)
Argumento:
z
x
y
r
Eje real
Eje imaginario
Para z = 0, el ángulo no está definido.
El 0 no tiene forma polar
z = (x,y)
Con calculadora: Teclas RP, PolRec, rθ, …
z
x
y
r
sin
cos
ry
rx
sincos irr
iyxz
sincos irz
rz Forma polar
Forma trigonométrica
x
y
iz 11
1
12
1r
4sin
4cos21
iz
2)1()1( 22
11 zr
argumento:
4/1
1arctanarg 1
z
Ejemplo:
Escribir el siguiente número complejo z1=1+i,
en forma polar y trigonométrica:
módulo:
4/1 2zsolución
x
y
r
13
)2()3( 22
zr
},7.213,7.33,3.146{
3
2arctan
3
2arctanarg
z
3
2
rad73.3
Ejemplo:
Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo y
evaluar módulo y argumento
Módulo:
Argumento:
i23
La calculadora
no distingue
El argumento está multivaluado.
)]sin()[cos(
]sincoscossin
sinsincoscos[
sincossincos
21
21
2121
irr
i
rr
irirzzz
´´ mmmm
Multiplicación
)]sin()[cos(2121 irrzz
x
y
z
1r 1z
2z
2r
21rrr
21zzz
Producto de números complejos en el plano complejo
Multiplicar por i es
equivalente a
girar 90 grados
)]2/sin()2/[cos(
)cossin(
)sin(cos
ir
ir
iiriz
x
y
1z
1
2 zi 1
3zi
1iz
Potencias
nnn
mm
)]sin()[cos( ninrz nn
Fórmula de Moivre
Potencias enteras de complejos
en forma polar:
...,1,0sincos
)2sin()2cos(
)sin()cos(
2sin2cos
sincos
22
11
22
nninrz
irz
irz
irz
irz
nn
)sin()cos(sincos ninin
Abraham de Moivre (1667 - 1754)
3223
3
sinsincos3sincos3cos
)sin(cos3sin3cos
ii
ii
El teorema de Moivre es una máquina de
generar identidades trigonométricas. Por ejemplo:
Igualando las partes reales e imaginarias:
32
23
sinsincos33sin
sincos3cos3cos
Potencias iguales
401120
4
280
40760
4
190
40400
4
100
40
4
10
16162
16162
16162
162
º1902
º2802
º1002
º102
º4016
Distintos números complejos pueden llevar al mismo
resultado al realizarles una misma potencia …
Esto nos lleva al cálculo de raíces
Potencias repetidas …
Raíces
Un número complejo tiene tantas raíces como su índice
Sus afijos son los vértices de un polígono regular
n zw
1,0,1,k º360
nknn
rR n
Raíces
se llama la raíz enésima de z a cualquier número
w que cumple: wn = z, y se escribe como
Módulo de w
Ángulo de w
rz Partimos de un número complejo z
Sean w= R(cosα+ i sinα)
z = r(cos + i sin)
Por el teorema de Moivre:
wn = Rn[cos(n α) + i sin(n α)]= r(cos + i sin)
Igualando los módulos y los ángulos obtenemos
Raíces
La fórmula para el cálculo de las raíces se basa en
el teorema de Moivre
1,0,1,k 2
kn
k
rR n
Raíz cuarta …
280
190
100
10
440
2
2
2
2
16
º1902
º2802
º1002
º102
º104
º40
º904
º360
º4016
Primer ángulo
Ángulo a añadir
Ejemplo: raíces de la unidad
5
84
5
63
5
42
5
21
º00
2055
º0
1
1
1
1
1
4,1,011
11
w
w
w
w
w
kn
k
1nz
División
)]sin()[cos(2
1
2
1 ir
r
z
z
´´ m
m
m
m
1z
División de números complejos en el plano complejo
x
y
z
2z
2r
1r
2
1
r
rr
2
1
z
zz
Benoit
Mandelbrot
publicó en 1975
su primer ensayo
sobre fractales
Su construcción se basa en la iteración de un número
complejo, es decir se hace una operación y ésta se repite
con el resultado ….
z z2 + C. (conjunto de Mandelbrot)
Un fractal es un objeto geométrico cuya
estructura básica se repite en diferentes escalas
Su dimensión es
fraccionaria
Benoit Mandelbrot (Polonia-1924)
retomó los trabajos de Juliá en 1970
Mandelbrot y esposa
Madrid-ICM 2006
El trabajo pionero en el juego de hacer
iteraciones con números complejos fue
desarrollado por dos matemáticos
franceses, Gaston Julia (a la izquierda)
y Pierre Fatou (a la derecha), a
principios del siglo XX.
El físico-matemático Antonio Brú ha modelado
matemáticamente el crecimiento de los tumores, o
al menos, eso es lo que defiende. En 1998 publica
la primera ecuación de crecimiento tumoral en la
mejor revista del mundo de física. “ … Este físico
español ha logrado curar un cáncer de hígado
terminal con una ecuación …” .http://www.periodistadigital.com/salud/object.php?o=82957
En el cuerpo humano existen estructuras con
geometría fractal, como son la red vascular,
las ramificaciones bronquiales, la red
neuronal, la disposición de las glándulas, etc.
Muchas antenas que en apariencia parecen constituir una sola unidad –gran parte de
las antenas de radar, entre ellas- están en realidad compuestas por una formación de
hasta un millar de pequeñas antenas.
Uno de los ingenieros de T&M afirma que el rendimiento de las antenas fractales es un 25 por
ciento mayor que el de las habituales antenas romas, revestidas de goma, con que van equipadas
muchos teléfonos móviles o inalámbricos. Amén de ser más baratas de fabricar, operan en
múltiples bandas, lo que permite incorporar un receptor GPS al teléfono, al tiempo que la antena
puede quedar oculta en el interior del aparato.
http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/capitulo1/3_1.html
http://www-tsc.upc.es/eef/research_lines/antennas/fractals/fractal_antennas.htm
(Visita la Web de los Ingenieros de la Universidad politécnica de Cataluña)
Los fractales han estado siendo usados
comercialmente en la industria
cinematográfica, en películas como Star Wars
y Star Trek.
http://starwars.ya.com/
http://www.trekminal.com/newvoyages/web/descargas.php
Otros programas:Xaos
IfsAttrActoR
Fractal hecho con el programa apophysis.
www.apophysis.org
http://www.arrakis.es/~sysifus/software.html
Visita la web de un artista:
http://home.wanadoo.nl/
laurens.lapre/
escucha música fractal
"¿La vibración de las alas
de una mariposa en Brasil
pue-de desencadenar un
ciclón en Tejas?".
(Poincaré)
Causas pequeñas
producen grandes efectos
A comienzos de la década del 60, Lorenz se puso a elaborar un
modelo matemático para predecir fenómenos atmosféricos, y por
casualidad descubrió que la misma herramienta matemática que
utilizaba estaba fallando:
pequeños cambios en las condiciones iniciales producian diferencias
asombrosas
los fractales son la
representación grafica
del caos.
Ejemplos de sistemas
caóticos incluyen la
atmósfera terrestre, el
Sistema Solar, las placas
tectónicas, los fluidos en
régimen turbulento y los
crecimientos de
población.
En la década del 70 se empezaron a investigar comportamientos
caóticos en el ritmo cardíaco, las reacciónes químicas, el
mercado bursátil ….
Sir William Rowan
Hamilton (1805 - 1865)
Los cuaterniones son números
complejos en cuatro dimensiones
en lugar de dos (Hamilton 1843).
Así un cuaternión q se expresa
como: q = a+ib+jc+kd donde
a,b,c,d son números reales.
Cuaterniones e
hipercomplejos
!La propiedad
conmutativa no se
cumple para el producto
de cuaterniones¡.
Los cuaterniones se emplean para
describir dinámicas en 3
dimensiones, en física y en gráficos
por ordenador (para hacer películas y
juegos).
El software de vuelo del
Space Shuttle usaba
cuaterniones para el
control de navegación y
vuelo
Ccesa