HOJA de ejercicios nº 2: FÓRMULA DE TAYLOR Curso 05-06

1. Para cada una de las funciones siguientes y para los valores de a y n indicados se pide:a) Hallar el polinomio de Taylor.b) El resto de Lagrange correspondiente al polinomio obtenido en a)

f(x) = para a = 4 y n = 3.f(x) = para a = 0 y n = 4.f(x) = ln(cos x) para a = 0 y n = 3.

f(x) = cos x para a = y n = 4.

f(x) = sen x para a = y n = 4.

f(x) = arctg x para a = 1 y n = 3.

2. Utilizando los polinomios y los restos de Lagrange correspondientes obtenidos en los ejercicios anteriores, se pide hallar el valor aproximado y una estimación del error cometido para:

cos1 arctg

3. Explicar la procedencia de las siguientes igualdades aproximadas, válidas para valores pequeños de x y acotar el error cometido en las mismas

4. Sea

a) Hallar la fórmula de MacLaurin de orden 3 de b) Hallar una aproximación del valor con el polinomio de MacLaurin de

orden 3c) Acotar el error cometido en el cálculo de en el apartado b)

5. Demostrar que si f(x) es una función impar entonces Tn(f(x),0) solo presenta potencias impares. Análogamente probar que si f(x) es una función par entonces Tn(f(x),0) solo presenta potencias pares.

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EJERCICIO PARA ENTREGAR

Dada la función , se pide:

a) Escribir la fórmula de Taylor para x=1 .

b) Acotar el error cometido en el cálculo de utilizando el polinomio de

grado 3.c) Calcular el grado del polinomio mínimo necesario para obtener un valor de

con un error menor a 10-6

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6. Hallar el polinomio de Mac-Laurin de la función f(x) = cos x, de grado mínimo, que

aproxime cos ( ) con un error menor que 0.0005. A continuación calcular el valor

aproximado de cos ( ) (con las 4 cifras decimales que delimita el error permitido).

7. Dada la función . Se pide:a. Escibir la fórmula de MacLaurinb. Calcular el valor aproximado de con el polinomio de MacLaurin de grado 5,

acotando el error cometido en dicha aproximaciónc. Calcular el grado necesario para obtener con la fórmula de MacLaurin un error

menor que 10-6 en el cálculo de 8. Dado el polinomio de Mac-Laurin Tn(cos x,0) obtenido en 6, se pide calcular:

a) Tn(x·cos x,0).b) Tn(cos(x2) ,0).

EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- Dada la función f(x)=chx= , calcular el polinomio de MacLaurin de grado 4 y

hallar el valor aproximado de f(0,1) utilizando dicho polinomio.

2.- a) Escribir la fórmula de MacLaurin de las funciones: f(x)= g(x)=

b) Escribir la fórmula de MacLaurin de h(x)=

3.- ¿Para qué valores de x podemos tomar por senx con un error menor de

0,0001?

4.- Dada la función f(x)= , se pide:

a) Hallar el polinomio de MacLaurin de grado 4 de la función f.

b)Con el polinomio de MacLaurin de grado 2, hallar , estimando el error cometido.

c) ¿Es desarrollable la función f en serie de Taylor en a=2? Justifica la respuesta.5.- a) Obtener el polinomio de MacLaurin de grado 2, de la función

f(x)= arg shx= ln .b) Utilizando el polinomio anterior, hallar f(0,1).c) Acotar el error cometido en la aproximación anterior.

6.- Usando Derive y aplicando la fórmula de Taylor, calcular los siguientes límites

a) . b) . c)

d) .

7.- Usando Derive resolver el siguiente problema: Dada la función f(x)=ln(1+x), se pide:a) Obtener la expresión de la derivada n-ésima de la función.b) Obtener la expresión de f(n (0).c) Obtener los polinomio de MacLaurin de grado 3,4,5,6,7,8,9,10.

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d) Representarlos gráficamente junto con la propia función.e) Escribir la expresión de las fórmulas de MacLaurin de f de grado 3,4 y 5.f) Utilizar cada uno de los desarrollos del apartado e) para obtener una aproximación de ln(1.1).g)Acotar el error cometido en cada caso.h) Comprobar gráficamente que, en efecto, para x=0.1 , f(x) y los tres polinomios del apartado e) no coinciden.i) Si se quiere obtener el valor aproximado de ln(1.1) con diez cifras decimales exactas ¿cuál es el menor orden del desarrollo de MacLaurin de f que habrá que usar?j) ¿Es posible utilizar MacLaurin para calcular una aproximación de ln(2.5). Razona la respuesta .

8.- a) Desarrollar en serie de MacLaurin la función la función f(x)=(1+x)a , aÎR.

b) Usando el apartado a) para el valor de “a” adecuado, calcular , tomando los

cuatro primeros términos del desarrollo ¿Cuántas cifras exactas se obtienen con este método?

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

1.- T(f,0)= f(0.1)»1.00500.

2.- a) f(x)= con 0<c<x,

g(x)= con 0<c<x.

b) Si n=2kÞh(x)=

Si n=2k+1Þh(x)=

Nota: En las expresiones anteriores pueden escribirse c= qx con 0<θ<1.

3.-

4.- a)

b) Þ .

c) No, porque no existe f(2) pues f(2)= R.

5.- a) x b) 0.1 c)

6.- a) 0 b) 1 c) e-2/3 d) 0.

7.- a) b)

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e)

f) ln(1.1) 0.095333333333 ln(1.1) 0.095308329821 ln(1.1) 0.095310344827

g) <10-4, 10-5, 10-6 respectivamente

i) n=10

j) Sí, pero no debe utilizarse ya que el error que se comete es relativamente grande (ver gráfica)

8.- a)

b)

c) <10-4, es decir, podemos asegurar tres cifras decimales exactas.

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c) vector ( Taylor(f(x),x, 0, n),n,3,10)

T1(x)=

T2(x)=

………………………………………………………………………………………………………………

T10(x)= -

d)