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3 HOMOTECIA Nº 8 – Año 2 Miércoles, 1º de Septiembre de 2004
TRABAJANDO EN CÁLCULO
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Más sobre Derivadas de Orden Superior…
Continuando con el estudio de Derivadas de Orden Superior, en este artículo tomaremos como ejemplo a una función definida por tramos.
Ejemplo: Obtenga la segunda derivada de la siguiente función:
( )
( )
>−+=
<+=
052
00
053
)(213
22
xsixxCosx
xsi
xsixSenx
xf
x
x
Solución:
Obteniendo la primera derivada:
( ) ( )( ) ( )
.)0()(
,0
266)´(,0
566)´(,0
0
112
22
−=
−++=>
+−=<
→ x
fxfLimx
xxxSenCosxxfx
CosxSenxfx
x
xx
xx
:derivadadedefiniciónlautilizaseParac)
Parab)
Paraa)
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
.5)0(
55252
55353
12
0
213
0
2
0
22
0
=′⇒
=−+=−+
=+=+
++
−−
→→
→→
f
xCosxLimx
xxCosxLim
xSenLimx
xSenxLim
xx
x
x
xx
x
x
laterales,límiteslosigualesserAl
:Así
( ) ( )
( ) ( )
>−++=
<+−=
02566
05
0566
)´(112
22
xsixxSenCosx
xsi
xsiCosxSen
xf
xx
xx
:Luego
x
fxfLimf
x
x
)0´()´()0´´(
:0
0
−=
=
→
enderivadasegundaexistesiestudiarfaltasoloderivada,segundalaobtenerPara
( ) ( ) ( ) ( )
.0
665566 22
0
22
0
=⇒
⇒
→−
=−+−
−− →→
x
aciónIndeterminx
CosxSenLim
x
CosxSenLim xx
x
xx
x
enderivadasegundahayNo
límite.elexisteNo
:Así
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
>−−+
<−−
=
026
1212
01212
6
)´´(1
11
2
222
xsix
CosSenxCos
xsix
Sen
x
CosSen
xf
xxx
xxx
:Luego
Prof. Rafael Ascanio H.
HOMOTECIA Nº 8 – Año 2 Miércoles
El desarrollo de la lógica matemática está estrechamente ligado a la evolución intelectual de la ciencia, de sus avatares, de su historia. La construcción de la lógica matemática moderna, desde la segunda mitad del siglo XIX, es un reflejo de esta evolución. El papel del matemático italiano Giuseppe Peano en todo el proceso de paso de una visión "ingenua" de la lógica a una lógica que establecería ya el rigor, mediante reglas de juego, del proceso de la demostración.
Posición del pensamiento lógico hasta Peano:
Hasta casi finales del siglo XIX se pensaba que la validez de una demostración, de un razonamiento matemático, consistía prin
que "nos convenciera", en que se nos presentase como evidente a nuestr
forma de entender la argumentación del mismo René Descartes (1596
Se podría citar, como ejemplo de ello, la frase del matemático francés Jean Marie Duhamel (1797
sentimiento que nos produce en la mente la evidencia de la verdad, sin necesidad de norma o regla alguna".
La posición de Giuseppe Peano (1858-1932) se levantó contra esta forma de argumentar, pues, en esencia, defendía que "el valor de u
demostración, de un proceso argumentativo, no depende del gusto o sentimientos interiores de nadie, sino de que el argumento
propiedad de validez universalmente comprobable".
La lógica de enunciados y Peano:
Hasta el año 1878, en el que comenzó a publicarse una serie de artículos de Hugh Mc Coll (1837
equivalentes", se consideraba que la lógica matemática era, simplemente, la lógica de clases, el álgebra de clases. Fue a par
cuando se empezó a entender que toda la lógica matemática dependía de la implicación lógica entre enunciados diversos. Que la raíz de toda
la lógica matemática es la teoría de enunciados, y no la teoría de clases.
La gran aportación de Peano al respecto fue la idea de
lógica de clases en un lenguaje artificial de signos, conectados mediante implicaciones. En este sentido, afirmaba que "todos
matemática sin implicaciones entre enunciados".
Esta idea de Peano fue inspiradora de la definición que Russell y Whitehead daban en los Principia Mathematica del concepto q
la Matemática: La matemática es la clase de los enunciados de la forma "si A entonces B", estando
limitaciones.
Para Peano la Lógica Matemática era, realmente, la Lógica de la Matemática, esto es, un instrumento cuyo objetivo era dar el rigor y adecuado
valor a las argumentaciones del quehacer de la matemática.
Aportaciones del trabajo de Peano:
El deseo de colocar las argumentaciones de la matemática en un lenguaje riguroso, obligó a Peano a desarrollar un cuerpo de s
sirvieran para la notación de los razonamientos y las definiciones de objetos. Fuero
sobre la simbolización de los razonamientos que aún en nuestros días se utilizan comúnmente.
Un ejemplo importante es la simbolización de una clase por medio de un enunciado que estableciera una cie
como "la clase de los objetos x tales que p(x)". Esto es algo así como un axioma formador de clases por la propiedad p(x) que
objetos x.
Otro descubrimiento de Peano fue el hecho de que "ser elemento" de una cla
incluido o contenido" en una clase. Es decir, estableció la diferencia entre los objetos de una clase y las partes de una cla
de la relación de pertenencia se utiliza hoy día el símbolo "
Otra notación que hoy día seguimos utilizando es la del cuantificador universal, esto es la notación, por ejemplo, de "para t
pertenece a A si p(x)", que hoy día hacemos con el símbolo "
algún x tal que p(x)", que también hoy día simbolizamos con "
En Italia se constituyó la llamada Escuela de Peano, un grupo de expertos interesados en las bases axiomáticas de la matemáti
uso adecuado de un lenguaje simbólico para la exposición de los teoremas y argumentaciones. El grupo, e
la publicación de la revista "Rivista di matematica", a partir de 1891, y la obra "Le formulaire de Mathématiques" entre los
Miércoles, 1º de Septiembre de 2004
LA LÓGICA DE PEANO
El desarrollo de la lógica matemática está estrechamente ligado a la evolución intelectual de la ciencia, de sus avatares, de su historia. La construcción de la lógica matemática moderna, desde la segunda mitad
reflejo de esta evolución. El papel del matemático italiano Giuseppe Peano fue crucial en todo el proceso de paso de una visión "ingenua" de la lógica a una lógica que establecería ya el rigor, mediante reglas de juego, del proceso de la demostración.
Hasta casi finales del siglo XIX se pensaba que la validez de una demostración, de un razonamiento matemático, consistía prin
que "nos convenciera", en que se nos presentase como evidente a nuestra mente y lo aceptáramos como válido. Esta era, por ejemplo, la
forma de entender la argumentación del mismo René Descartes (1596-1650).
Se podría citar, como ejemplo de ello, la frase del matemático francés Jean Marie Duhamel (1797-1872): "El razonamient
sentimiento que nos produce en la mente la evidencia de la verdad, sin necesidad de norma o regla alguna".
1932) se levantó contra esta forma de argumentar, pues, en esencia, defendía que "el valor de u
demostración, de un proceso argumentativo, no depende del gusto o sentimientos interiores de nadie, sino de que el argumento
propiedad de validez universalmente comprobable".
enzó a publicarse una serie de artículos de Hugh Mc Coll (1837-1909) sobre el "Cálculo de enunciados
equivalentes", se consideraba que la lógica matemática era, simplemente, la lógica de clases, el álgebra de clases. Fue a par
zó a entender que toda la lógica matemática dependía de la implicación lógica entre enunciados diversos. Que la raíz de toda
la lógica matemática es la teoría de enunciados, y no la teoría de clases.
La gran aportación de Peano al respecto fue la idea de que es posible poner todas las argumentaciones de la lógica de enunciados y de la
lógica de clases en un lenguaje artificial de signos, conectados mediante implicaciones. En este sentido, afirmaba que "todos
Esta idea de Peano fue inspiradora de la definición que Russell y Whitehead daban en los Principia Mathematica del concepto q
la Matemática: La matemática es la clase de los enunciados de la forma "si A entonces B", estando los enunciados A y B sujetos a ciertas
Matemática era, realmente, la Lógica de la Matemática, esto es, un instrumento cuyo objetivo era dar el rigor y adecuado
valor a las argumentaciones del quehacer de la matemática.
El deseo de colocar las argumentaciones de la matemática en un lenguaje riguroso, obligó a Peano a desarrollar un cuerpo de s
sirvieran para la notación de los razonamientos y las definiciones de objetos. Fueron varios los símbolos que comenzó a utilizar y las ideas
sobre la simbolización de los razonamientos que aún en nuestros días se utilizan comúnmente.
Un ejemplo importante es la simbolización de una clase por medio de un enunciado que estableciera una cie
como "la clase de los objetos x tales que p(x)". Esto es algo así como un axioma formador de clases por la propiedad p(x) que
Otro descubrimiento de Peano fue el hecho de que "ser elemento" de una clase, es decir "pertenecer" a una clase, es algo diferente a "estar
incluido o contenido" en una clase. Es decir, estableció la diferencia entre los objetos de una clase y las partes de una cla
el símbolo " " y para la relación de inclusión el símbolo " ".
Otra notación que hoy día seguimos utilizando es la del cuantificador universal, esto es la notación, por ejemplo, de "para t
pertenece a A si p(x)", que hoy día hacemos con el símbolo " ". Asimismo, el cuantificador existencial para indicar situaciones como "existe
simbolizamos con " ".
En Italia se constituyó la llamada Escuela de Peano, un grupo de expertos interesados en las bases axiomáticas de la matemáti
uso adecuado de un lenguaje simbólico para la exposición de los teoremas y argumentaciones. El grupo, encabezado por Peano, llevó adelante
la publicación de la revista "Rivista di matematica", a partir de 1891, y la obra "Le formulaire de Mathématiques" entre los
Carlos S. Chinea
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El desarrollo de la lógica matemática está estrechamente ligado a la evolución intelectual de la ciencia, de sus avatares, de su historia. La construcción de la lógica matemática moderna, desde la segunda mitad
crucial en todo el proceso de paso de una visión "ingenua" de la lógica a una lógica que establecería ya el rigor,
Hasta casi finales del siglo XIX se pensaba que la validez de una demostración, de un razonamiento matemático, consistía principalmente en
a mente y lo aceptáramos como válido. Esta era, por ejemplo, la
1872): "El razonamiento se hace por el
1932) se levantó contra esta forma de argumentar, pues, en esencia, defendía que "el valor de una
demostración, de un proceso argumentativo, no depende del gusto o sentimientos interiores de nadie, sino de que el argumento tenga una
1909) sobre el "Cálculo de enunciados
equivalentes", se consideraba que la lógica matemática era, simplemente, la lógica de clases, el álgebra de clases. Fue a partir de entonces
zó a entender que toda la lógica matemática dependía de la implicación lógica entre enunciados diversos. Que la raíz de toda
que es posible poner todas las argumentaciones de la lógica de enunciados y de la
lógica de clases en un lenguaje artificial de signos, conectados mediante implicaciones. En este sentido, afirmaba que "todos los teoremas de la
Esta idea de Peano fue inspiradora de la definición que Russell y Whitehead daban en los Principia Mathematica del concepto que tenían de
los enunciados A y B sujetos a ciertas
Matemática era, realmente, la Lógica de la Matemática, esto es, un instrumento cuyo objetivo era dar el rigor y adecuado
El deseo de colocar las argumentaciones de la matemática en un lenguaje riguroso, obligó a Peano a desarrollar un cuerpo de signos que
n varios los símbolos que comenzó a utilizar y las ideas
Un ejemplo importante es la simbolización de una clase por medio de un enunciado que estableciera una cierta propiedad. Sería algo así
como "la clase de los objetos x tales que p(x)". Esto es algo así como un axioma formador de clases por la propiedad p(x) que contengan los
se, es decir "pertenecer" a una clase, es algo diferente a "estar
incluido o contenido" en una clase. Es decir, estableció la diferencia entre los objetos de una clase y las partes de una clase. Para la indicación
Otra notación que hoy día seguimos utilizando es la del cuantificador universal, esto es la notación, por ejemplo, de "para todo x, x
". Asimismo, el cuantificador existencial para indicar situaciones como "existe
En Italia se constituyó la llamada Escuela de Peano, un grupo de expertos interesados en las bases axiomáticas de la matemática y por el
ncabezado por Peano, llevó adelante
la publicación de la revista "Rivista di matematica", a partir de 1891, y la obra "Le formulaire de Mathématiques" entre los años 1895 y 1908.
Carlos S. Chinea - [email protected]
HOMOTECIA Nº 8 – Año 2 Miércoles
ÍNDICE CRONOLÓGICO DE LA MATEMÁTICA (Parte
900: Sridhara escribe el Trisatika (llamado el Patiganitasara) y el Patiganita. En éstos, resuelve ecuaciones cuadráticas, la serie de sumatorias, estudia las combinaciones, y da métodos de encontrar las áreas de polígonos.
Aproximadamente en el 900: Abu Kamil escribe de álgebra que estudia las aplicaciones de problemas geométricos. Será el libro en que Fibonacci basará sus trabajos.
920: Al-Battani escribe el Kitab al-Zij, su mejor sobre astronomía, que consta de 57 capítulosadelantos en trigonometría.
950: Gerbert de Aurillac (que más tarde se convirtió en el Papa Silvestre II) el reintroduces el ábaco en Europautiliza los números de Indo-Arábicos sin el cero.
Aproximadamente en el 960: Al-Uqlidisi escribe al-fusul el fi al-hisab al-hindi que es el libro más antiguo que se conoce del sistema hindú.
Aproximadamente en el 970: Abu'l-Wafa inventa el cuadrante para la medición exacta de la declinatoria de estrellas en el cielo. Escribió libros imporaritmética y construcciones geométricas. función tangente y produjo métodos mejorados tablas trigonométricas.
976: Se copia en España el Código Vigilanusla primera evidencia de la utilización de los decimales en Europa.
Aproximadamente en el 990: Al-Karaji escribe Alen Bagdad donde desarrolla el álgebra. Él aporta el llamado Triángulo de Pascal.
Aproximadamente en el 1000: Ibn al-Haytham (a menudo llamado Alhazen) escribe trabajos sobre sobre una teoría de luz y sobre una teoría de visión, astronomía, y matemática, incluso en geometría y teoría de números. Él propone el problema de Alhazen: fuente de luz y un espejo esférico, encuentre el punto en el espejo donde la luz se refleja al ojo de un observador.
Aproximadamente en el 1010: Al-Biruni escribe sobre muchos temas científicos. Su trabajo en matemática cubre aritmética, serie de sumatorias, el análisis combinatoriregla de tres, los números irracionales, la teoría de la proporción, las definiciones algebraicas, el método de resolver ecuaciones algebraicas, geometría, los teoremas de
Miércoles, 1º de Septiembre de 2004
ÍNDICE CRONOLÓGICO DE LA MATEMÁTICA (Parte V) La cronología entre 900 DC y 1100 DC
el Patiganitasara) resuelve ecuaciones cuadráticas, la
, estudia las combinaciones, y da métodos
Kamil escribe un Libro aplicaciones de esta a los
problemas geométricos. Será el libro en que Fibonacci
, su mejor trabajo 57 capítulos. Contiene
Gerbert de Aurillac (que más tarde se convirtió en el Papa Silvestre II) el reintroduces el ábaco en Europa. Él
cero.
Uqlidisi escribe el Kitab libro más antiguo que
Wafa inventa el exacta de la declinatoria de las
libros importantes sobre geométricas. Introdujo la
métodos mejorados para elaborar
Vigilanus, que contiene la utilización de los números
Karaji escribe Al-Fakhri Él aporta el llamado
Haytham (a menudo óptica, incluso
una teoría de visión, geometría y teoría de
el problema de Alhazen: Dado una fuente de luz y un espejo esférico, encuentre el punto en el
de la luz se refleja al ojo de un observador.
Biruni escribe sobre Su trabajo en matemática cubre
, el análisis combinatorio, la es, la teoría de la
proporción, las definiciones algebraicas, el método de resolver ecuaciones algebraicas, geometría, los teoremas de
Arquímedes, la trisección del ángulo y otros problemas que no pueden resolverse con regla secciones cónicas, el estereometrestereográfica, trigonometría, el teorema del seno en el y sobre resolución de triángulos esféricos.
Aproximadamente en el 1020: llamado Avicenna) escribe sobrepsicología, geología, matemática, astronomía, y lógica.trabajo matemático más importante Kitab alde Sanar) divide a la matemática en cuatro temas mayoresgeometría, astronomía, aritmética, y música.
1040: Ahmad al-Nasawi escribe alhindi en donde estudia cuatro sistemas nÉl explica los funcionamientos de tomando raíces cuadradas y cúbicas de cada sistema.
Aproximadamente 1050: Hermann de Reichenau (a veces llamado Hermann el Cojo o Hermann Contractus) escribe los tratados sobre el ábaco y sobre Europa el astrolabio, un reloj de sol portátil y un cuadrante con cursor.
1072: Al-Khayyami (normalmente conocido como Omar Khayyam) escribe un Tratado Problemas de Álgebra que contiene una clasificación completa de ecuaciones cúbicas con soluciones geométricas encontrada por mediante la intersección de secciones cónicas. Mide la duración del año en resultado notablemente exacto.
1093: Shen Kua escribe el Meng ch'i pi t'an la alberca de los sueños) que es un trabajo astronomía, cartografía, óptica y medicina.más antigua conocida del compás magnético.
5
del ángulo y otros problemas que regla y compás solamente,
stereometría, la proyección estereográfica, trigonometría, el teorema del seno en el plano,
triángulos esféricos.
1020: Ibn Sina (normalmente sobre filosofía, medicina,
ología, geología, matemática, astronomía, y lógica. Su importante Kitab al-Shifa ' (El Libro
matemática en cuatro temas mayores: geometría, astronomía, aritmética, y música.
Nasawi escribe al-Muqni'fi al-Hisab al-estudia cuatro sistemas numéricos diferentes.
Él explica los funcionamientos de la aritmética, mientras raíces cuadradas y cúbicas de cada sistema.
Hermann de Reichenau (a veces nn el Cojo o Hermann Contractus) escribe
sobre el astrolabio. Introduce en Europa el astrolabio, un reloj de sol portátil y un cuadrante
Khayyami (normalmente conocido como Omar o sobre Demostraciones de
Problemas de Álgebra que contiene una clasificación completa de ecuaciones cúbicas con soluciones geométricas
por mediante la intersección de secciones cónicas. en 365.24219858156 días, un
Shen Kua escribe el Meng ch'i pi t'an (Ensayos sobre que es un trabajo sobre matemática,
medicina. Contiene la mención compás magnético.
6 HOMOTECIA Nº 8 – Año 2 Miércoles, 1º de Septiembre de 2004
Cuento: ““““Refranes SÓLO para gente EMPERIFOLLÁ””””
Arturo García Ortega es natural de Guanare, Estado Portuguesa. Proviene de una familia de pocos recursos económicos pero es un grupo familiar sano y de buenas costumbres. Motivado al tipo de infancia que llevó, con el transcurrir de su adolescencia se convirtió en un individuo refranero.
En 1990, luego de haber concluido sus estudios de bachillerato en su Guanare natal, se vino a Valencia a estudiar Medicina y se graduó en el tiempo requerido con honores. Esto le permitió conseguir financiamiento para estudios de especialización en el exterior (Estados Unidos, Italia, Francia e Inglaterra) y de esta forma adquirió una gran reputación entre sus colegas profesionales.
Cuando decidió establecerse en el país por un período largo con el fin de ejercer su profesión y así aplicar lo aprendido, retornó a Valencia donde su amigo y compañero de estudios universitarios, Rodrigo Cano Ibarra, le permitió asociarse con él y juntos utilizar un consultorio que este tenía a su disposición en una reconocida clínica de la ciudad. No tardó en tener éxito en su ejercicio, siendo reconocido por sus colegas y la comunidad en general, sus dotes de eminente médico.
En lo que respecta a Rodrigo Cano Ibarra, también era un buen galeno pero a diferencia de Arturo, el sí provenía de un grupo familiar reconocido por las altas esferas de la sociedad valenciana, donde destacaban las personas de más caché en lo que respecta a empresarios exitosos, políticos y diplomáticos de alto rango, eminentes profesionales y destacadas figuras de las artes, la literatura y cultura en general.
Para Rodrigo, el que Arturo se asociara con él resultó todo un éxito en lo profesional. Además, los integrantes de su grupo social le insistían en que lo presentara a todos y hasta algunos manifestaron que siendo Arturo soltero, sería un honor emparentarlo casándolo con una de sus hijas.
La oportunidad se presentó al programarse uno de esos eventos que acostumbra a realizar la alta sociedad. Arturo, al ser invitado se preparó para asistir.
Pero a pesar de todo lo vivido, Arturo seguía siendo el mismo tipo sencillo de siempre, sin ademanes y ni posturas practicadas, y sobre todo el mismo individuo refranero de su Guanare natal.
Por esto y ante el asombro de aquellos encopetados, durante toda la noche del día esperado, a Arturo se le escuchó, en conversaciones con los mismos, refranes como éstos:
““““Más vale pájaro en mano, que cien volando””””. ““““Camarón que se duerme, se lo lleva la corriente””””. ““““Dime con quién andas y te diré quién eres””””. ““““A mal tiempo, buena cara””””. ““““Agua que no has de beber, déjala correr””””. ““““Cría cuervos y te sacarán los ojos””””. ““““Al ojo del amo, engorda el ganado””””. ““““El que a buen árbol se arrima, buena sombra le cobija””””. ““““A caballo regalado, no se le miran los dientes””””. ““““No hay mal que por bien no venga””””. ““““Ojos que no ven, corazón que no siente””””. ““““Al que nace barrigón, es inútil que lo fajen chiquito””””.
¡Horror¡ Este tipo de conversación dejó tan estupefactos a los encopetados que en la primera oportunidad que se les presentó, le dijeron a Rodrigo que a pesar de todo lo eminente que era, Arturo no era más que un ser vulgar, poco digno de frecuentar un ambiente social tan exclusivo. Le requirieron, para su beneficio, romper la sociedad profesional con este “medicucho de pueblo”, que a pesar de los méritos que se le podían reconocer, no estaba a la altura de un Cano Ibarra como él. Rodrigo adujo que eso era imposible pues desde que se asoció con Arturo el éxito había sido grande, sus fondos habían mejorado notablemente y él había alcanzado una estabilidad económica propia, independiente de sus padres y sus suegros (¡Ah!, se nos olvidó: Rodrigo es casado).
- “Bueno, dile entonces que trate de ser más educado cuando se reúna con gente más culta que él. Si quiere ser uno de los nuestros, tiene que ser como nosotros”- le acotaron.
Preocupado, Rodrigo le hizo referencia de esta conversación a Arturo. Él no comentó nada pero en su cara se notaba preocupación. Al final asintió con la cabeza.
No le había hecho ningún comentario a Rodrigo pero la furia que sentía le era casi imposible contenerla. Esa noche, acostado, se juraba y requete juraba no volver a pisar ningún sitio donde estuvieran estos “figurines”. Pero al final pudo más su amistad con Rodrigo y se dijo: “Está bien, me prepararé para la próxima oportunidad”.
De forma premeditada se programó otra reunión, más sencilla pero con el fin de invitar a Arturo nuevamente. Si este mantenía su “vulgarismo” lo execrarían en definitiva. Si se asimilaba, bienvenido sería.
La reunión transcurrió normalmente pero pronto comenzaron con el plan, iniciando conversaciones preparadas para que Arturo soltara sus acostumbrados refranes. Arturo lo hizo pero ¡sorpresa!, lean cual lenguaje utilizó:
““““Más vale plumífero volador en fosa metacarpiana que segunda potencia de diez pululando por el espacio””””. ““““Crustáceo que pierde su estado de vigilia, es arrastrado por las corrientes marinas””””. ““““Relátame con quién deambulas y te manifestaré tu idiosincrasia””””. ““““A perturbación ciclónica en el seno ambiental, rostro jocundo””””. ““““Agua que no has de ingurgitar, permítele que discurra por su cauce””””. ““““Si te ocupas de la alimentación de aves córvidas, éstas te extirparán las estructuras de las fosas orbitarias que perciben los estímulos luminosos””””. ““““El globo oftálmico del poseedor, torna obeso el bruto vacuno””””. ““““Quien a ubérrima conífera se adosa, óptima umbría le entolda””””. ““““A equino objeto de un obsequio, no se le aquilatan los caninos””””. ““““No existe adversidad que por sinecura no se trueque””””. ““““La ausencia absoluta de percepción visual torna insensible al órgano cardíaco””””. ““““El que embriológicamente es traído al mundo con el diámetro antero posterior de la cavidad abdominal aumentado, no logrará reducir su contenido visceral por más intentos forzados extrínsecos de reforzar la pared en su infancia””””.
Son los mismos refranes dichos en la reunión anterior pero en lenguaje de gente emperifollá. ¡Que lenguaje!
R. A. H.
7 HOMOTECIA Nº 8 – Año 2 Miércoles, 1º de Septiembre de 2004
HOMOTECIA Nº 8 – Año 2 Miércoles
Nació en la primera mitad del siglo VI A. C. en Samos, isla del
mar Egeo. Se dice que fue alumno de Tales de Mileto, uno de los
siete sabios de la antigüedad. Pitágoras viajó por Egipto y
Babilonia. Su filosofía se basaba en el precepto
número”. Descubrió las progresiones armónicas de la escala
musical y a él se debe la tabla de multiplicar.
Existen diversas extensiones del Teorema de Pitágoras, en las
cuales se ve implícita la noción de las áreas.
De donde c2= a2 + b2.
Y una forma más general es esta: El área de S3
la suma de las respectivas áreas de S1 y S2, suponiendo que son
iguales las figuras.
Recordando a…
PITÁGORAS DE SAMOS
Br. Key L. Rodríguez Mención Matemática – F. A. C. E.
Miércoles, 1º de Septiembre de 2004
Nació en la primera mitad del siglo VI A. C. en Samos, isla del
de Mileto, uno de los
siete sabios de la antigüedad. Pitágoras viajó por Egipto y
Babilonia. Su filosofía se basaba en el precepto “Todo es Descubrió las progresiones armónicas de la escala
Existen diversas extensiones del Teorema de Pitágoras, en las
se obtiene como
, suponiendo que son
UN HIJO...
Un hombre rico y su hijo tenían gran pasión por el arte. Tenían de todo en su colección; desde Rafael hasta Picasso. Muy a menudo, se sentaban juntos a admirar las grandes obras de arte, desgraciadamente, el hijo fue a la guerra.
Fue muy valiente y murió en la batalla mientras rescataba a otro soldado. El padre recibió la noticia y sufrió profundamente la muerte de su único hijo. Un mes más tarde, justo antes de la Navidad, alguien tocó a la puerta. Un joven con un gran paquete en sus manos diconoce, pero yo soy el soldado por quien su hijo dio la vida. Él salvó muchas vidas ese día, me estaba llevando a un lugar seguro cuando una bala le atravesó el pecho, muriendo así instantáneamente. Él hablaba muy a menudo de usted y de su amor por el arte. El muchacho extendió los brazos para entregar el paquete: "Yo sé que esto no es mucho. Yo no soy un gran artista, pero creo que a su hijo le hubiera gustado que usted recibiera esto".
El padre abrió el paquete. Era un retrato de su hijo, pintado por el joven soldado. Él contempló con profunda admiración la manera en que el soldado había capturado la personalidad de su hijo en la pintura. El padre estaba tan atraído por la expresión de los ojos de su hijo que los suyos propios se arrasaron de lágrimas.
Le agradeció al joven soldado y ofreció pagarle por el cuadro. "¡Oh, no!, Señor, yo nunca podría pagarle lo que su hijo hizo por mi. Es un regalo"
El padre colgó el retrato arriba de la repisa de su chimenea. Cada vez que los visitantes e invitados llegaban a su casa, les mostraba el retrato de su hijo antes de mostrar su famosa galería.
El hombre murió unos meses más tarde y se anunció una subasta con todas las pinturas que poseía. Mucha gente importante e influyente acudiócon grandes expectativas de hacerse con un famoso cuadro de la colección. Sobre la plataforma estaba el retrato del hijo. El subastador golpeó su mazo para dar inicio a la subasta. "Empezaremos los remates con este retrato del hijo, ¿quién ofrece por este retrato?".
Hubo un gran silencio. Entonces una voz del fondo de la habitación grit"Queremos ver las pinturas famosas, Olvídese de esa". Sin embargo el subastador persistió: "¿Alguien ofrece algo por esta pintura? ¿$100.00? ¿$200.00?". Otra voz gritó con enojo: "No venimos por esa pintura. Venimos por los Van Goghs, los Rembrandts. Vamos a las ofertas de verdad".
Pero aun así el subastador continuaba su labor: "El Hijo, El Hijo, ¿Quise lleva El hijo?".
Finalmente una voz se oyó desde atrás, “Doy $10padre y del hijo. Siendo un hombre muy pobre, era lo único que podía ofrecer.
"Tenemos $10 ¿Quién da $20?", gritestaba enojando mucho. No querían la pintura de "El Hijo". Querían las que representaban una valiosa inversión para sus propias colecciones.
El subastador golpeó por fin el mazo: "Va una, van dos, VENDIDA por $10".
"Empecemos con la colección!", gritó uno. El subastador soltó su mazo y dijo: "Lo siento mucho, damas y caballeros, pero la s
"Pero, ¿y las pinturas?", dijeron los interesados."Lo siento", contestó el subastador. "Cuando me llamaron para conducir
esta Subasta, se me dijo de un secreto estipulado en el testamento del dueño. Yo no tenía permitido revelar esta estipulación hasta este preciso momento. Solamente la pintura de "EL HIJO" seraceptara heredaría absolutamente todas las posesiones de este hombre, incluyendo las famosas pinturas. El hombre que aceptó quedarse con "EL HIJO" se queda con TODO".
8
Un hombre rico y su hijo tenían gran pasión por el arte. Tenían de todo en su colección;
afael hasta Picasso. Muy a menudo, se sentaban juntos a admirar las grandes obras de arte, desgraciadamente, el hijo fue a la
ente y murió en la batalla mientras rescataba a otro soldado. El padre recibió la noticia y sufrió profundamente la muerte de su único hijo.
tarde, justo antes de la Navidad, alguien tocó a la puerta. Un joven con un gran paquete en sus manos dijo al padre: Señor, usted no me conoce, pero yo soy el soldado por quien su hijo dio la vida. Él salvó muchas vidas ese día, me estaba llevando a un lugar seguro cuando una bala le atravesó el pecho, muriendo así instantáneamente. Él hablaba muy
e usted y de su amor por el arte. El muchacho extendió los brazos para entregar el paquete: "Yo sé que esto no es mucho. Yo no soy un gran artista, pero creo que a su hijo le hubiera gustado que usted
rato de su hijo, pintado por el joven soldado. Él contempló con profunda admiración la manera en que el soldado había capturado la personalidad de su hijo en la pintura. El padre estaba tan atraído por la expresión de los ojos de su hijo que los suyos
Le agradeció al joven soldado y ofreció pagarle por el cuadro. "¡Oh, no!, Señor, yo nunca podría pagarle lo que su hijo hizo por mi. Es un regalo".
El padre colgó el retrato arriba de la repisa de su chimenea. Cada vez os visitantes e invitados llegaban a su casa, les mostraba el retrato de
su hijo antes de mostrar su famosa galería. tarde y se anunció una subasta con
todas las pinturas que poseía. Mucha gente importante e influyente acudió con grandes expectativas de hacerse con un famoso cuadro de la colección. Sobre la plataforma estaba el retrato del hijo. El subastador golpeó su mazo para dar inicio a la subasta. "Empezaremos los remates con este retrato del
Hubo un gran silencio. Entonces una voz del fondo de la habitación gritó: "Queremos ver las pinturas famosas, Olvídese de esa". Sin embargo el subastador persistió: "¿Alguien ofrece algo por esta pintura? ¿$100.00?
on enojo: "No venimos por esa pintura. Venimos por los Van Goghs, los Rembrandts. Vamos a las ofertas de
Pero aun así el subastador continuaba su labor: "El Hijo, El Hijo, ¿Quién
Finalmente una voz se oyó desde atrás, “Doy $10”. El viejo jardinero del padre y del hijo. Siendo un hombre muy pobre, era lo único que podía
n da $20?", gritó el subastador. La multitud se estaba enojando mucho. No querían la pintura de "El Hijo". Querían las que
ban una valiosa inversión para sus propias colecciones. por fin el mazo: "Va una, van dos, VENDIDA por
"Empecemos con la colección!", gritó uno. El subastador soltó su mazo y dijo: "Lo siento mucho, damas y caballeros, pero la subasta llegó a su final".
y las pinturas?", dijeron los interesados. "Cuando me llamaron para conducir
esta Subasta, se me dijo de un secreto estipulado en el testamento del esta estipulación hasta este preciso
momento. Solamente la pintura de "EL HIJO" sería subastada. Aquel que la aceptara heredaría absolutamente todas las posesiones de este hombre, incluyendo las famosas pinturas. El hombre que aceptó quedarse con "EL
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ASTRONOMÍA: El Planeta Mercurio, rápido junto al Sol
Carlos S. CHINEA [email protected]
Su perihelio es seguramente el más famoso de la historia reciente de la Astronomía, pues la determinación exacta de su precesión sirvió en su día para mostrar la eficacia
de la Teoría General de la Relatividad. Aunque la existencia del planeta era conocida ya por los caldeos, la mayor parte de lo que conocemos de Mercurio procede de la visita de la nave Mariner 10 en 1974. Su observación al telescopio, con los medios disponibles por los aficionados resulta ser muy difícil debido a la rapidez con que se oculta, próximo al Sol del atardecer, y a la rapidez con la que la luz solar del amanecer le hace desaparecer de nuestra visión.
Ahora, 30 años después de la aventura del Mariner 10, ha sido lanzado este mismo mes de agosto de 2004 un nuevo artefacto del que se espera que logre posarse en su superficie y nos ayude a comprender algunos hechos desconcertantes de la naturaleza de Mercurio.
La existencia del Planeta Mercurio es conocida desde la más remota antigüedad, sin embargo, se pensaba en muchos casos que eran dos astros distintos el Mercurio que aparecía junto al Sol al amanecer y el Mercurio que veían ocultarse inmediatamente después del Sol al atardecer. Así, para los egipcios eran Sot y Horus, para los hindúes eran Buda y Rauhineya y los romanos los denominaron Apolo y Mercurio. Se tienen pruebas, de todos modos, de que los caldeos conocían ya que se trataba de un solo astro.
El estudio in situ de este pequeño planeta ha sido hecho solamente por la nave Mariner 10, de los Estados Unidos, que partió de nuestro planeta el día 3 de noviembre de 1973 para llegar al astro el 29 de marzo del año 1974, fotografiando alrededor de la mitad de la superficie total del mismo en tres pasadas consecutivas. El grado de detalle de estas fotografías es comparable al que se obtiene de la superficie de la Luna con los telescopios terrestres.
El viaje de la Mariner 10 exigió un gasto de energía muy alto y logró realizarse haciendo pasar la nave cerca de Venus para que le prestase asistencia gravitatoria, esto es, impulso hacia la proximidad de Mercurio. Las imágenes obtenidas por la cámara de televisión de que se había dotado a la Mariner 10 permitieron construir una imagen "de mosaico" de la superficie analizada. ALGUNOS DATOS ORBITALES:
El planeta tiene un radio ecuatorial de unos 2437 Km., con una densidad de 5,5 gr. /cm3, muy parecida a la de nuestra Tierra, esto es, de las más altas de todos los planetas del sistema solar. Esto permite deducir que posee un núcleo muy denso (posiblemente férreo si su campo magnético es fuerte) de entre 1800 a 1900 Km. de espesor, siendo el resto de la envoltura superficial de roca fraccionada de densidad menor
Gira alrededor del Sol mediante una órbita acentuadamente elíptica, pues su excentricidad es de e=0,202 (pensemos que la excentricidad de la órbita terrestre es de 0.01 aproximadamente, prácticamente circular), lo que hace que la diferencia entre los radios mayor y menor de la elipse, afelio y perihelio, sea bastante grande. Así, la distancia máxima al Sol de este pequeño planeta es de unos 70.000.000 de Km., mientras que la distancia mínima ronda los 46.200.000 Km. El plano orbital de Mercurio forma unos 7º con el plano orbital de nuestro planeta, la eclíptica, por lo que los tránsitos de Mercurio ante el disco solar no son demasiado comunes (de hecho no se espera observar ningún tránsito hasta el 8 de noviembre de 2008).
El planeta tarda unos 88 días terrestres en completar una órbita alrededor del Sol y unos 58,6 días terrestres en girar sobre sí mismo. Esto quiere decir que cuando el planeta completa dos órbitas alrededor del Sol habrá dado aproximadamente tres vueltas sobre sí mismo. Lo que nos indica que la relación traslación/rotación, también llamada Acoplamiento Orbital, es de 2/3 (en el caso de la Tierra tal relación traslación/rotación resulta ser, como sabemos, 1/365, y, en el caso de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra, la relación de Acoplamiento Orbital es de 1/1, por lo que siempre nos presenta nuestro satélite la misma cara).
En cumplimiento de la segunda ley de Kepler, la velocidad del planeta es mayor en el perihelio que en el afelio. En el perihelio es de unos 59 Km. /s y en el afelio es de alrededor de 39 Km. /s.
La aceleración gravitatoria en su superficie es g = 3,72 m/s2, que es algo más de la tercera parte de la de nuestro planeta (g = 9,8 m/s2). La velocidad de escape en la superficie de Mercurio es de 4,3 m/s (en la Tierra es de unos 11 m/s).
DATOS SOBRE LA ESTRUCTURA: En cuanto a la superficie del planeta, vemos que hay ciertas diferencias con la superficie lunar, ya que no aparecen en Mercurio, aunque si en cambio aparecen en la Luna,
grandes extensiones planas libres de cráteres, esto es, "mares". Existen en este pequeño planeta, sin embargo, grandes terrazas de miles de Km. de extensión indicando esto que el planeta se comprimió en las fases de su formación y evolución posterior, así como multitud de cráteres de impacto. Entre éstos habríamos de destacar el llamado Cráter Carolis, de mas de 1000 Km. de diámetro, originado por el impacto de un objeto masivo hace unos 3.900 millones de años.
En lo que respecta a la temperatura de la superficie, digamos que mediante el análisis de la radiación infrarroja se ha descubierto que existen grandísimos saltos de temperatura, desde unos 500 K en el ecuador de la zona iluminada a -100 K en el ecuador de la zona oculta al Sol. Ahora bien, a la profundidad de unas decenas de centímetros estos saltos disminuyen de forma ostensible, hecho que se muestra mediante el análisis de la radioemisión calórica, lo que nos indica gran inercia calorimétrica, lo cual está de acuerdo con que la parte más superficial del planeta esté formada por roca fraccionada.
La densidad de la atmósfera de Mercurio es extraordinariamente pequeña, pues alcanza solamente unos 106 átomos por centímetro cúbico. Para hacernos una idea, es la densidad que presentaría la atmósfera terrestre a unos 600 Km. de la superficie del planeta. La Mariner 10 encontró en su composición Helio y algunas trazas de sodio, potasio y oxígeno.
La magnetosfera de Mercurio sí es muy significativa, pues es realmente, junto con la Tierra, el único planeta del sistema Solar que tiene un campo magnético importante, de unos 0,002 Oersted (200 nT), unas 300 veces inferior al campo magnético terrestre, lo que apoya la idea de que el denso núcleo del Mercurio es posiblemente férrico, como ocurre con la Tierra. Los dos polos magnéticos de Mercurio coinciden con los extremos del eje de rotación del astro.
EL ASUNTO DEL PERIHELIO:
Sabemos por las leyes de Kepler que todos los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol, algunas de ellas, como es el caso de nuestro planeta, prácticamente circulares, pero en el caso de mercurio la excentricidad tan grande hace que la elipse orbital sea muy pronunciada, y cuanto más pronunciada es la elipse mayor es la perturbación que originan los astros próximos.
Las perturbaciones originadas por los restantes planetas del sistema solar hacen que el perihelio, punto de la órbita del planeta más próximo al Sol, se desplace un número de segundos de arco por siglo, que se pueden determinar muy bien tanto teóricamente como con mediciones directas.
Fue en la segunda mitad del siglo XIX cuando el astrónomo Joseph Le Verrier (1811-1877) logró hacer el cálculo teórico de la precesión del perihelio de Mercurio, hallando el valor de 574 segundos de arco por siglo. Usó para ello las fórmulas de la Mecánica newtoniana. Sin embargo, cuando se pudieron hacer las mediciones directas se encontró que la precesión del perihelio del planeta era de 531 segundos de arco por siglo, cantidad que surgía de sumar las influencias de los planetas más próximos y masivos del sistema solar: 278" debido a la perturbación de Venus, 153" eran debidos a la influencia de Júpiter, 90" a la influencia de la Tierra y, finalmente, el resto de los planetas influían con un desplazamiento de solo 10" por siglo sobre el perihelio.
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Esto obligó a pensar que debía de existir un planeta más interior que Mercurio (más próximo al Sol) que originaría con su perturbación gravitacional esa disminución de
43 segundos de arco sobre el cálculo teórico de la precesión. Este hipotético planeta fue designado por Le Verrier con el nombre de Vulcano. La búsqueda de Vulcano fue infructuosa a pesar de los intentos serios realizados por los astrónomos de la época, hasta que, ya adentrados en el siglo XX hubo de
desecharse la existencia de este hipotético planeta el encontrarse una inesperada explicación. La explicación de estos 43 segundos de arco representó una dura evidencia experimental de la efectividad de la Teoría General de la Relatividad einsteniana, que había sido propuesta en 1915.
La explicación es la curvatura de la trayectoria del planeta en las proximidades del Sol debido a la curvatura del espacio por la acción gravitatoria de la estrella y que hacia predecir una precesión de unos 42,9 segundos de arco por siglo, prácticamente la diferencia entre las mediciones experimentales y el cálculo obtenido mediante las leyes de la Mecánica de Newton del desplazamiento del perihelio.
Según la Relatividad General, pues, el perihelio del planeta Mercurio tendría este desplazamiento de 43" de arco por siglo aunque no existieran los restantes planetas, pues se debería simplemente al hecho de que la órbita tiene un espacio tiempo curvado por la gravitación de la estrella. Es necesario señalar que con posteridad a esta explicación relativista de la precesión del perihelio de Mercurio, se explicaron también, del mismo modo, discrepancias menores que habían sido observadas en Venus (unos 8,6") y en la Tierra (3,9").
DIFÍCIL DE VER POR LOS AFICIONADOS:
La elongación de un astro se define con la distancia angular desde el astro al Sol. La elongación, pues, mide la separación aparente desde la Tierra, del Astro con el Sol. La máxima elongación aparente de Mercurio oscila entre los 16º15' y los 28º45', lo que le sitúa desde nuestro punto de observación terrestre, en las proximidades de la estrella dificultando grandemente la observación debido a la luz solar.
A la vista de un observador terrestre, el hecho de que esté tan próximo al Sol impide que pueda ser divisado pues el resplandor de la estrella anula la visión. Solo es posible observarlo con medios rudimentarios cuando el Sol queda bajo el horizonte y el planeta está por encima, nunca a más de 28º45', obviamente.
De aquí deducimos que la observación sólo es posible hacerla o bien al amanecer o bien al atardecer. En el primer caso es posible si el planeta sale antes que el Sol (o sea, que presenta lo que comúnmente se denomina Elongación Oste), favoreciendo la observación el hecho de que la elongación sea la máxima (28º45'). En el segundo caso el planeta ha de ocultarse después del Sol (Elongación Este), favorecida también la observación si la separación es máxima.
La localización del planeta a simple vista ofrece grandes problemas, excepto en apariciones muy favorables y con horizonte muy despejado. La máxima magnitud visual de Mercurio es de alrededor de -1,3. Las apariciones de Mercurio al atardecer se producen después de las conjunciones superiores, es decir, después de que el planeta haya circulado tras el Sol, y las apariciones en el amanecer ocurren después de las conjunciones inferiores, no necesariamente tránsitos.
Para la observación terrestre, el tamaño de mercurio va variando desde 5" en la conjunción superior hasta llegar a los 7" en la elongación máxima del atardecer y seguir
hasta alcanzar los 13" de arco ya en la conjunción inferior. Obviamente, el tamaño más favorable para la observación del astro es el que tiene en el momento de la máxima separación angular, de la máxima elongación, esto es, de
unos 7" de arco.
NUESTRA PRÓXIMA VISITA: El pasado día 3 de agosto fue lanzada desde la base de Cabo Cañaveral en Florida la Sonda Messenger con destino a Mercurio, después de que se hubiera aplazado el
lanzamiento 24 horas por inconveniencias la meteorología en esta zona del sur este de los Estados Unidos. Se espera que la Messenger (su nombre procede de la unión de las sílabas iniciales de Mercury Surface, Space Environment, Geochemistry, and Ranging) llegue a ser el
primer artefacto que se pose en la superficie de Mercurio, pues la primera sonda que se envió, allá por 1974, la Mariner 10, apenas pudo hacer tres pasadas consecutivas que, de todos modos, permitió cartografiar alrededor de la mitad de la superficie del planeta.
La Messenger probablemente podrá sobrevolar Mercurio en el año 2008, después de recorrer alrededor de 7.900.000 Km. en un periplo que comprende una vuelta a la Tierra y una vuelta a Venus a fin de que la asistencia gravitatoria que origina la masa de estos planetas represente un ahorro energético importante. La llegada a las proximidades de Mercurio exige también que la sonda de una vuelta previa a este pequeño planeta a fin de efectuar una maniobra de frenado por acción gravitacional.
Aunque la Messenger llegará a las proximidades de Mercurio en el 2008, se cree que su misión de investigación no se iniciaría hasta el 2010 o 2011, estado dotada de un sistema de propulsión muy ligero constituido por tanques de Titanio, un motor con doble propelente y 16 pequeños motorcitos rodeando a la sonda. El peso, en el momento del lanzamiento, fue de unos 1100 kgs.
La sonda, que ha representado para la administración USA un gasto de 427 millones de dólares, espera descubrir, entre otras cosas el porqué de la gran densidad del planeta, el porqué este pequeño astro es el único que posee, además de la Tierra, un campo magnético global, y, desde luego, como puede existir lo que parece ser agua helada en algunos cráteres de las zonas polares.
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GALERÍAGALERÍAGALERÍAGALERÍA
George Boole (1815 – 1864)
Nació: el 2 de noviembre de 1815 en Lincoln (Inglaterra)
Murió: el 8 de diciembre de 1864 en Ballintemple, Irlanda.
Era de familia humilde (una forma delicada de decir que era pobre) y recibió una educación elemental. Estudió por su cuenta latín y griego. A los 12 años era un experto en Latín. A esta edad tradujo una oda de Horacio, pero la traducción era tan perfecta que no se creían que era la traducción de un niño.
Boole no cursó estudios oficiales. A los 16 años era ayudante del maestro de escuela (en aquella época, todos los alumnos, estaban en el mismo aula y los alumnos de los cursos superiores, ayudaban al maestro en la enseñanza de los alumnos de los cursos inferiores).
En 1835 abrió su propia escuela y empezó a estudiar matemáticas por su cuenta. En esta época fue cuando estudió los trabajos de Laplace y de Lagrange.
Se casó con una sobrina de George Everest (el que dio nombre a la famosa montaña).
En 1847 publicó The Mathematical Analysis of Logic (El Análisis Matemático de la lógica) y en 1854 Investigation of the Laws of though (Investigación sobre las leyes del pensamiento), un clásico en la historia de la matemática porque es el origen de la Teoría de Conjuntos.
Descubrió un método excelente para resolver ecuaciones diferenciales, sus trabajos Treatise on Differential Equations (Tratado sobre Ecuaciones Diferenciales),1859; y Treatise on the Calculus of Finite Differences (Tratado sobre el Cálculo Diferencial Finito), 1860; pero sobre todo es conocido por lo que hoy se llama la Lógica de Boole (Álgebra Booleana), que se utiliza en los ordenadores.
A pesar de no tener estudios oficiales, Boole tuvo el reconocimiento de las Universidades de Dublín y Oxford y fue elegido Asociado de la Real Sociedad en 1857.
Murió a los 49 años, como consecuencia de un resfriado debido a que se mojó en la caminata desde su casa a la escuela.
Biografía de George Boole, publicado por: J. J. O´Connor - E F Robertson en “Las Matemáticas de
Mario”.http://www-hitory.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Education/introduction.html".
