I DENTIFICACIÓN DE S ISTEMAS Identificacion de modelos no parametricos 1.
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IDENTIFICACIÓN DE SISTEMAS
Identificacion de modelos no parametricos
1
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CONTENIDO Modelos parametricos y no
parametricos Métodos de identificación Análisis de la respuesta transitoria Análisis de la correlación
Algunos comandos en MatlabEjemplos
Analisis de Fourier Analisis espectral
Algunos comandos en MatlabEjemplos
2
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Métodos de Identificación
t tYU
U YProceso
Modelo
8
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MÉTODOS DE IDENTIFICACIÓN
Métodos no paramétricos, que permiten obtener modelos no paramétricos del sistema bajo estudio.
Métodos paramétricos, que permiten obtener modelos paramétricos.
9
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MÉTODOS NO PARAMÉTRICOS
Algunos de estos métodos son:
análisis de la respuesta transitoria, análisis de la correlación, análisis espectral, análisis de la respuesta en frecuencia, análisis de Fourier, etc.
10
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Análisis de la respuesta transitoria
11
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SISTEMA GENERADOR DE DATOS
Se supone el sistema generador de datos dado por
0y t G q u t v t
e es un ruido blanco
q es el operador retardo
v t H q e t
12
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ANÁLISIS DE LA RESPUESTA IMPULSO
Esta metodología de identificación consiste en aplicar como entrada al proceso una señal impulso.
u(t)
t
1
T
y(t)
t
system
hjh1
13
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SALIDA PARA UNA ENTRADA U
La salida esta dada por
1k
y t g k u t k v t
En terminos de la respuesta al impulso
14
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SALIDA PARA UNA ENTRADA PULSO
y t g t v t Amplitud del pulso
u(t)
t
1
T
y(t)
t
system
hjh1
La salida es la respuesta al impulso mas un termino de incertidumbre 15
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ESTIMACION DE LA RESPUESTA AL IMPULSO El valor estimado de los coeficientes de la
respuesta impulso se determina a partir de:
con un error de estimación de: v(t)/α.
ˆ
y tg
¿Qué tan importante es el error de estimacion? 16
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EJEMPLO 1
Respuesta impulsional del sistema
1 2
1 2
0.5
1 1.5 0.7
q qy t u t v t
q q
1 2
1 2
1 0.2
1 1.5 0.7
q qv t e t
q q
Ver ident_elg_Ej1.m 17
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EJEMPLO 1
Respuesta del sistema
0 5 10 15 20 25 30 35 40-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Respuesta impulsiva sin ruido
Respuesta impulsiva con ruido
18
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PROBLEMAS DEL METODO DE LA RESPUESTA AL PULSO
Los problemas que se plantean en el análisis de la respuesta impulso son:
gran sensibilidad al ruido,
dificultades con las colas del impulso debido a su larga duración y bajas amplitudes,
queda restringido al estudio de sistemas estables.
19
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Análisis de la correlación
23
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SISTEMA GENERADOR DE DATOS
Se supone el sistema generador de datos dado por
0y t G q u t v t
e es un ruido blanco
q es el operador retardo
v t H q e t
24
![Page 17: I DENTIFICACIÓN DE S ISTEMAS Identificacion de modelos no parametricos 1.](https://reader038.fdocuments.es/reader038/viewer/2022102700/54dae0d9497959a9648b4d77/html5/thumbnails/17.jpg)
ENTRADA AL SISTEMA
Se escoge como entrada al sistema u(t) un ruido blanco, cuya función de autocorrelacion es:
2
2 si 0
0 si 0u
u uR
25
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RESPUESTA DEL SISTEMA
entonces en terminos de la respuesta al impulso la correlacion cruzada entre la entrada y la salida es:
yuR 0uR u g u du
26
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ESTIMACION DE LA RESPUESTA AL IMPULSO La respuesta al impulso puede ponerse del
siguiente modo:
0 2
yu
u
Rg
27
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ESTIMACION DE LA RESPUESTA AL IMPULSO La respuesta al impuso puede estimarse de
la estimacion de la correlacion-cruzada a partir de las N muestras
1
0
1ˆ :N
Nyu
t
R y t u tN
28
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ESTIMACION DE LA RESPUESTA AL IMPULSO En el caso de una entrada ruido blanco la
estimacion de la respuesta impulsiva es
0 2
ˆyu
u
Rg
Si la señal de entrada no es ruido blanco no es trivial como resolver el problema.
A continuacion se propone un metodo. 29
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CASO DE ENTRADA CUASI-ESTACIONARIA DETERMINISTICA
Si la entrada es cuasi-estacionaria deterministica entonces se usa un filtro L(q) denominado “blanqueante”
30
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ENTRADA CUASI-ESTACIONARIA DETERMINISTICA
fu t L q u t
2f f
f
y u
u
Rg
El filtro L(q) se implementa en el computador
fy t L q y t
31
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Algunos comandos en Matlab
32
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EJERCICIO
Consultar en matlab la ayuda de los siguientes comandos
covf
cra
33
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Ejemplos
34
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EJEMPLO 2
Estimar la respuesta al impulso del sistema:
35
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EJEMPLO 2
Respuestas al impulso real (escalones) y estimada (círculos) mediante análisis de correlación.
Ver ident_elg_Ej2.m 36
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EJEMPLO 3
Se desea utilizar el análisis de correlación para estimar la respuesta impulso del sistema discreto con un periodo de muestreo de 1 segundo:
q^-1 + 0.5q^-2 y(t) = -------------------------------- u(t) + v(t) 1 - 1.5q^-1 + 0.7q^-2
Ver Problema 2.7 en [Escobet y Morcego, 2003]37
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Análisis de Fourier
38
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ESTIMACION DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA Es posible determinar la respuesta en
frecuencia utilizando la transformada de Fourier de las señales de entrada y salida:
Si la entrada tiene energía finita
YG i
U
39
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ESTIMACION DE LA RESPUESTA EN FRECUENCIA En el caso de tener acceso a datos en un
intervalo de tiempo finito 0 < t < S , la transformada de Fourier de las señales son
0
Siwt
SY y t e dt 0
Siwt
SU u t e dt
40
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FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA EMPÍRICA (ETFE) La denominada Estimación de la Función de
Transferencia Empírica (ETFE) se determina con
ˆ sS
s
YG i
U
41
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PROPIEDADES DE LA ETFE se deduce que [Ljung94]
2ˆ Su gS
S S
Vc cG i G i
U U
uu t c 0
gg d c
42
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PROPIEDADES DE LA ETFE
Para entrada periódica y S es un múltiplo del período:
ETFE está definida para un número fijo de frecuencias.
A estas frecuencias la ETFE converge al valor real y su varianza decrece en función de 1/N.
43
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PROPIEDADES DE LA ETFE
Para entrada no periódica:
La ETFE converge asintoticamente a la función de transferencia cuando se incrementa el número de datos,
a mayor S mayor número de frecuencias evaluadas.
La variancia de ETFE no decrece al incrementar S, esta se mantiene constante e igual a la relación señal/ruido para cada frecuencia. 44
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VENTAJAS E INCONVENIENTES DEL ANÁLISIS DE FOURIER
Es un método fácil y eficiente, especialmente cuando se aplica la FFT.
Permite una buena estimación de G(jw) cuando la entrada es una señal periódica.
Para señales no periódicas la función obtenida es muy fluctuante.
45
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Algunos comandos en Matlab
46
![Page 39: I DENTIFICACIÓN DE S ISTEMAS Identificacion de modelos no parametricos 1.](https://reader038.fdocuments.es/reader038/viewer/2022102700/54dae0d9497959a9648b4d77/html5/thumbnails/39.jpg)
EJERCICIO
Consultar en matlab la ayuda del siguiente comando
etfe
47
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Ejemplo
48
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1 2
1 2
0.5
1 1.5 0.7
q qy t u t v t
q q
1 2
1 2
1 0.2
1 1.5 0.7
q qv t e t
q q
EJEMPLO 4
Utilizando las técnicas frecuenciales del análisis de Fourier determinar la respuesta frecuencial del sistema descrito en el ejemplo 1.
Ver Problema 2.8 en [Escobet y Morcego, 2003] 49
![Page 42: I DENTIFICACIÓN DE S ISTEMAS Identificacion de modelos no parametricos 1.](https://reader038.fdocuments.es/reader038/viewer/2022102700/54dae0d9497959a9648b4d77/html5/thumbnails/42.jpg)
Análisis Espectral
50
![Page 43: I DENTIFICACIÓN DE S ISTEMAS Identificacion de modelos no parametricos 1.](https://reader038.fdocuments.es/reader038/viewer/2022102700/54dae0d9497959a9648b4d77/html5/thumbnails/43.jpg)
SISTEMA GENERADOR DE DATOS
0y t G q u t v t
v t H q e t
Las señales u y v no estan correlacionadas 51
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ESTIMACION DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA
El espectro discreto es transformado por los sistemas lineales:
Entonces,
Φyu(ω) = G0(e iω)Φu(ω)
0
yui
u
G e
para aquellas frecuencias donde Φu(ω) > 0. 52
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ESTIMACION DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA
un estimado de la respuesta en frecuencia es
ˆˆ
ˆyui
u
G e
Es necesario estimar las dos densidades espectrales
53
![Page 46: I DENTIFICACIÓN DE S ISTEMAS Identificacion de modelos no parametricos 1.](https://reader038.fdocuments.es/reader038/viewer/2022102700/54dae0d9497959a9648b4d77/html5/thumbnails/46.jpg)
ESTIMACION DE LAS DENSIDADES ESPECTRALES La densidad espectral de una señal cuasi-
estacionaria u esta definida por
Cuando el estimado se basa en una secuencia finita de datos
iu uR e
ˆ:N N iu uR e
54
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PRINCIPALES PASOS A SEGUIR EN EL ANÁLISIS
PASO 1: estimacion de las funciones de correlación
1
0
1ˆ :N
Nu
t
R u t u tN
1
0
1ˆ :N
Nyu
t
R y t u tN
55
![Page 48: I DENTIFICACIÓN DE S ISTEMAS Identificacion de modelos no parametricos 1.](https://reader038.fdocuments.es/reader038/viewer/2022102700/54dae0d9497959a9648b4d77/html5/thumbnails/48.jpg)
PRINCIPALES PASOS A SEGUIR EN EL ANÁLISIS
PASO 2: estimacion de las densidades espectrales
ˆˆM
N N iy y M
M
R W e
ˆˆM
N N iyu yu M
M
R W e
ˆˆM
N N iu u M
M
R W e
MW es una ventana de tiempo
56
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PRINCIPALES PASOS A SEGUIR EN EL ANÁLISIS
PASO 3: estimacion de la funcion de transferencia,
ˆˆ
ˆyui
u
G e
57
![Page 50: I DENTIFICACIÓN DE S ISTEMAS Identificacion de modelos no parametricos 1.](https://reader038.fdocuments.es/reader038/viewer/2022102700/54dae0d9497959a9648b4d77/html5/thumbnails/50.jpg)
PRINCIPALES PASOS A SEGUIR EN EL ANÁLISIS
PASO 3: estimacion del espectro del ruido y su funcion de transferencia,
2ˆˆ ˆ
ˆ
NyuN N
v y Nu
2
ˆˆ
Nvi
e
H e
donde e es una señal de ruido blanco con variancia 2e
v = He
58
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Algunos comandos en Matlab
59
![Page 52: I DENTIFICACIÓN DE S ISTEMAS Identificacion de modelos no parametricos 1.](https://reader038.fdocuments.es/reader038/viewer/2022102700/54dae0d9497959a9648b4d77/html5/thumbnails/52.jpg)
EJERCICIO
Consultar en matlab la ayuda de los siguientes comandos
iddata
spa
plot, bode, nyquist
60
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Ejemplos
61
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EJEMPLO 5
Con datos de entrada-salida correspondientes a un secador de mano, obtener una estimacion de la respuesta en frecuencia .
Ver ident_elg_EjA3.m
62
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EJEMPLO 6
Ver Problema 2.8 en [Escobet y Morcego, 2003]
63
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