I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas · Matemáticas de 2º de bachillerato...

Matricesy

Determinantes

I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas

Matemáticasde

2º de Bachillerato

Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas

del I.E.S. Siete Colinas

Ceuta 2004

Matrices y

Determinantes

Javier Carroquino Cañas

Matemáticas de 2º de bachillerato–•–

Ciencias de la Naturaleza y la SaludTecnología

Matrices y

DeterminantesPor

Javier Carroquino CañasCatedrático de matemáticas

I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)Departamento de Matemáticas

Ceuta 2004

© Javier Carroquino CañasI.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas)Matrices y Determinantes

Depósito Legal : CE&38&2004

ISBN : 84 - 688 -5481 - 6

Número de Registro : 813204

Ceuta 2004

Prólogo

Una de las partes más antigua de la matemática es elÁlgebra, que ya era utilizada y desarrollada por

babilónicos, egipcios y griegos, pero fue en el siglo XIX denuestra era cuando encontró su verdadero desarrollo.

Una de sus ramas, el Álgebra Lineal, es de tremendautilidad práctica en diversas áreas de las ciencias naturaleso sociales, apareciendo las matrices y determinantes comouna poderosa herramienta para el tratamiento de datosnuméricos que permiten esa utilidad del Álgebra Lineal.

El concepto de matriz, que fue introducido a mitaddel siglo XIX por el matemático inglés James JosephSylvester (1814-1897) y posteriormente desarrollado porArthur Cayley (1821-1895) y William Rowan Hamilton(1805-1865), tiene en la actualidad un fácil y cómodotratamiento gracias a los potentes programas informáticosque reducen extraordinariamente los agobiantes cálculosnuméricos.

En estas páginas introducimos al alumno en elmundo de las matrices y determinantes de una manerapráctica y útil, huyendo de conceptos y desarrollos teóricosy buscando lo suficiente para su posterior uso en los temasvenideros, tales como, sistemas de ecuaciones, espaciosafín, euclídeo y métrico.

Matemáticas de 2º de bachillerato Matrices y determinantesI

Índice

Página

1.Matriz de números reales de orden m×n ................. 1Ejemplo 1 .......................................... 2

2.Forma abreviada de expresar una matriz de orden m×n..... 2Ejemplo 2 .......................................... 3

3.Matriz fila. Matriz columna ............................ 3Ejemplo 3 .......................................... 3Ejemplo 4 ........................................... 3

4.Matriz cuadrada ........................................ 4Ejemplo 5 ........................................... 4Ejemplo 6 ........................................... 4

5.Igualdad de matrices ................................... 4Ejemplo 7 ........................................... 5

6.Matriz traspuesta de otra matriz ....................... 5Ejemplo 8 ........................................... 6Ejemplo 9 ........................................... 6Ejemplo 10 .......................................... 7

7.Matriz simétrica ....................................... 7Ejemplo 11 .......................................... 8Ejemplo 12 .......................................... 8

8.Diagonal principal y secundaria de una matriz cuadrada.. 8Ejemplo 13 .......................................... 9

9.Matriz diagonal ......................................... 10Ejemplo 14 .......................................... 10

10.Matriz escalar ......................................... 10Ejemplo 15 .......................................... 10

11.Matriz unidad .......................................... 11Ejemplo 16 .......................................... 11

12.Matriz triangular ...................................... 11Ejemplo 17 .......................................... 11

13.Operaciones con matrices ............................... 1114.Suma de matrices ....................................... 12

Ejemplo 18 .......................................... 12Propiedades de la suma de matrices .................. 12

14.1.Ley de composición interna ............... 13Ejemplo 19 ............................... 13

14.2.Propiedad asociativa ...................... 1314.3. Propiedad conmutativa .................... 1314.4.Existencia de elemento neutro ............. 14

Ejemplo 20 ............................... 1414.5.Existencia de elemento opuesto ............ 15

Ejemplo 21 ............................... 1515.Resta de matrices ...................................... 15

Ejemplo 22 .......................................... 1616.El grupo conmutativo de las matrices del mismo orden ... 1617.Producto de un número real por una matriz .............. 16

Ejemplo 23 .......................................... 16Propiedades del producto de un número real por una matriz. 17

17.1.Ley de composición externa ............... 1717.2.Asociativa ............................... 17

Matemáticas de 2º de bachillerato Matrices y determinantesII

Página

17.3.Distributividad respecto a a la suma de números reales ............... 1717.4.Distributividad respecto a la suma de matrices ..................... 1817.5.Neutro en el producto de número por matriz. 18

Ejemplo 24 .......................................... 1918.El espacio vectorial de las matrices de orden m×n ...... 19

Ejemplo 25 .......................................... 19 Ejemplo 26 .......................................... 19Ejemplo 27 .......................................... 20

19.Matriz antisimétrica ................................... 20Ejemplo 28 .......................................... 20

20.Producto de dos matrices ............................... 21Ejemplo 29 .......................................... 22Ejemplo 30 .......................................... 23Ejemplo 31 .......................................... 23Ejemplo 32 .......................................... 24Ejemplo 33 .......................................... 24Propiedades del producto de matrices ................ 25

20.1.Condición de existencia del producto ...... 2520.2.Asociativa ................................ 25

Ejemplo 34 ............................... 2520.3.Distributividad respecto de la suma de matrices .................... 2620.4.Sobre la conmutatividad del producto de matrices .................. 26

Ejemplo 35 ............................... 26Ejemplo 36 ............................... 26

21.Matriz unidad de orden n×n ............................ 27Ejemplo 37 .......................................... 27Propiedad de la matriz unidad ....................... 27Ejemplo 38 .......................................... 28

22.Potencia de una matriz cuadrada ....................... 28Ejemplo 39 .......................................... 29

23.Inversa de una matriz cuadrada ......................... 29Ejemplo 40 .......................................... 29Ejemplo 41 .......................................... 29

24.Determinante de una matriz cuadrada ................... 30Determinante de una matriz de orden 1×1 ............. 30

Ejemplo 42 ..................................... 30Determinante de una matriz de orden 2×2 ............. 31

Ejemplo 43 ..................................... 31Ejemplo 44 ..................................... 31

Determinante de una matriz de orden 3×3 ............. 31Ejemplo 45 ..................................... 33

Determinante de una matriz de orden 4×4 y superior .. 33Menor complementario de un elemento de la matriz A ..................... 33

Ejemplo 46 ............................... 34Ejemplo 47 ............................... 34

Adjunto de un elemento de la matriz A ......... 34Ejemplo 48 ............................... 35Ejemplo 49 ............................... 35

Determinante de una matriz cuadrada de orden 4×4 .... 35Ejemplo 50 ..................................... 35Ejemplo 51 ..................................... 36

Matemáticas de 2º de bachillerato Matrices y determinantesIII

Página

Determinante de una matriz cuadrada de orden n×n .... 36Ejemplo 52 ..................................... 37

25.Propiedades de los determinantes ....................... 37Propiedad 1 ......................................... 37

Ejemplo 53...................................... 37Propiedad 2 ......................................... 38

Ejemplo 54...................................... 38Propiedad 3 ......................................... 38

Ejemplo 55...................................... 39Ejemplo 56...................................... 39

Propiedad 4 ......................................... 39Ejemplo 57...................................... 40




Propiedad 8 ......................................... 43Ejemplo 61...................................... 44Ejemplo 62 ..................................... 44

Propiedad 9 ......................................... 45Ejemplo 63...................................... 46Ejemplo 64 ..................................... 46Ejemplo 65 ..................................... 47

26.Sobre el signo de los adjuntos. Regla nemotécnica ...... 4727.Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada ........... 48

Cálculo de la inversa por el método de los adjuntos . 48Ejemplo 66 ..................................... 49Ejemplo 67 ..................................... 50Ejemplo 68 ..................................... 50Ejemplo 69 ..................................... 51Ejemplo 70 ..................................... 51Ejemplo 71 ..................................... 51

Cálculo de la inversa por el métodode transformaciones sobre líneas .................... 52

Ejemplo 72 ..................................... 52Ejemplo 73 ..................................... 53Ejemplo 74 ..................................... 53Ejemplo 75 ..................................... 54

28.Ecuaciones de matrices ................................. 55Ejemplo 76 .......................................... 55Ejemplo 77 .......................................... 56

29.Propiedades de la matriz inversa ....................... 56Ejemplo 78 .......................................... 57Ejemplo 79 .......................................... 58

30.Menor de una matriz .................................... 58Ejemplo 80 .......................................... 59

31.Propiedad de los menores de una matriz ................. 60Ejemplo 81 .......................................... 61

32.Rango de una matriz ................................... 62Ejemplo 82 .......................................... 63Ejemplo 83 .......................................... 64Ejemplo 84 .......................................... 64Ejemplo 85 .......................................... 64

33.Propiedades del rango de una matriz .................... 64

Matemáticas de 2º de bachillerato Matrices y determinantesIV

Página

Ejemplo 86 .......................................... 65Ejemplo 87 .......................................... 65Ejemplo 88 .......................................... 65Ejemplo 89 .......................................... 65

34.Cálculo del rango de una matriz. Teorema ............... 66Ejemplo 90 .......................................... 68

35.Dependencia e independencia lineal de líneas en una matriz ......................... 69

Ejemplo 91 .......................................... 70Ejemplo 92 .......................................... 70

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 1 Matrices y determinantes

Matrices y determinantes

A

a a a aa a a aa a a a

a a a a

Notese quehay m filas y n columnas

n

n

n

m m m mn

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

..................

.....

a a a a n11 12 13 1......

a a a a n21 22 23 2......

a a a ai i i in1 2 3 ......

a a a am12 22 32 2......

1. Matriz de números reales de orden m×n.-

O Sea ú el conjunto de los números reales.O Sean m y n dos números naturales distintos de cero, es decir, m,n0ù*

Una tabla formada por m×n números reales dispuestos en m filas (alineación horizontal)y n columnas (alineación vertical) de la siguiente forma:

se denomina matriz de orden m×n. Puede observarse que la hemos llamado A. A las matricesse les suele llamar con letras mayúsculas (A, B, C, D,....). La matriz anteriormente expuesta esuna matriz genérica. Los elementos aij son (o representan) números reales.

En la matriz anterior (de orden m×n) cada fila tiene n elementos (hay m filas) y cadacolumna tiene m elementos (hay n columnas). Localicemos las filas y columnas:

La fila 1 está formada por los siguientes elementos:

La fila 2 está formada por los siguientes elementos:

En general:La fila i estará formada por los elementos:

La columna 1 está formada por lossiguientes elementos: a a a am11 21 31 1......

La columna 2 está formada por los siguientes elementos:

En general, la columna j será: a a a aj j j mj1 2 3 ......


Ae

=− −

−−

1 0 5 1 2 3 47 3 3 05 5 8 4 9

π

A


a a a a

Notese quehay m filas y n columnas

n

n

n

m m m mn

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

..................

.....

( )A a siendoi mj nij===

1 2 31 2 3, , ,....., , ,.....

La expresión representa al elemento de la matriz que ocupa la posición fila iaij

columna j.Por ejemplo: En una matriz de orden 5×3 (5 filas y 3 columnas), el elemento es ela24

que está situado en la fila 2 y columna 4. El elemento no existe en esa matriz puestoa63

que no existe la fila 6.

Ejemplo 1.-Escribamos un matriz de números reales de orden 3×5:

En esta matriz :

a a a a e11 14 25 35112

3 141592 2 718281= = = ≈ ′ = ≈ ′; ; ...... ; .....π

El elemento no existe porque no hay 4 filas ni 6 columnas.a46

Al conjunto formado por todas las matrices de orden m×n le llamaremos M m×n. De estemodo tenemos infinitos conjuntos de matrices:

M 4×9 : Conjunto formado por las infinitas matrices de orden 4×9 (4 filas y 9 columnas).M 6×6 : Conjunto formado por las infinitas matrices de orden 6×6 (6 filas y 6 columnas).M 1×4 : Conjunto formado por las infinitas matrices de orden 1×4 (1 fila y 4 columnas).

etc.La matriz A del ejemplo 1.1 pertenece al conjunto M 3×5. Se expresa A0M 3×5

2. Forma abreviada de expresar una matriz de orden m×n.-

Consideremos el conjunto de las matrices de orden m×n, es decir M m×n. Hemos visto queuna forma de expresar esta matriz es:

Una forma abreviada de expresarla es :


( )A aij i mj n

= ==

1 2 31 2 3, , ,....,, , ,...,

( )A a A Mij i mj n

m n= ⇔ ∈==

×1 2 31 2 3, , ,...,, , ,...,

( ) ( )A a a a a a es una matriz fila de orden n generican j j n= = ×

≤ ≤11 12 13 1 1 11...... .

( ) ( )B b b b b b b b B Mj j= = ∈

= ×11 12 13 14 15 16 1 1 2 3 4 5 6 1 6, , , , ,

D D M= − − ′

∈ ×5 9

35

7 0 6 5 1 6

( )C

ccc

c

c matriz columna de orden m

m

i i m=

= ×≤ ≤

11

21

31

1

1 11

M

Otra forma sería: También:( )A aij i mj n

= ≤ ≤≤ ≤

11

Ejemplo 2.-Una matriz genérica B de orden 5×6 sería: ( )B bij i

j= ≤ ≤

≤ ≤1 51 6

En general:

3. Matriz fila. Matriz columna-

Se llama matriz fila a aquella matriz que tiene una sola fila. En forma genérica:

Ejemplo 3.-Una matriz fila genérica de orden 1×6 es

Una matriz concreta de orden 1×6 es:

Una matriz fila de orden 1×1 es: ( )A = 19

Se llama matriz columna a aquella matriz que tiene una sola columna. Si tiene m filas,la matriz será de orden m×1. En forma genérica será:

Ejemplo 4.-

La matriz ( )Cccc

c es una matriz columna de orden C Mi i=

= × ∈= ×

11

21

31

1 1 2 3 3 13 1, ,

.


( )A


a a a a

a Notese quehay n filas y n columnas

n

n

n

n n n nn

ij i nj n

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ≤ ≤≤ ≤

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

11

..................

.....

( )A

a a a a aa a a a aa a a a aa a a a aa a a a a

a Notese n de filas n de columnasij ij

=

= = =≤ ≤≤ ≤

11 12 13 14 15

21 22 23 24 25

31 32 33 34 35

41 42 43 44 45

51 52 53 54 55

1 51 5

5º º

B B M=−

−−

∈2 16 51 0 2

23

15 3 podemos expresar que

La matriz A es una matriz columna de orden=−

×

6574

4 1

4. Matriz cuadrada-

Es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. Al número de filaso de columnas se le llama orden de la matriz.

Una matriz cuadrada de orden n×n (para abreviar, de orden n) se expresa:

El conjunto de las matrices de orden n×n se expresa M n×n = M n (para abreviar)

Ejemplo 5.-Una matriz cuadrada genérica de orden 5 sería:

Ejemplo 6.-Una matriz cuadrada de orden 3×3 (O de orden 3) es:

5. Igualdad de matrices-

Dos matrices del mismo orden son iguales si sus elementos son respectivamente iguales.


( ) ( )A a coni mj n

y B b coni mj nij ij=

==

===

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3

, , ,....,, , ,...,

, , ,....,, , ,...,

( ) ( )A a b B a b i j tal quei mj nij ij ij ij= = = ⇔ = ∀

==

,, , ,....,, , ,....,

1 2 31 2 3

a b a b a b a ba b a b a b a ba b a b a b a b

n n

n n

n n

11 11 12 12 13 13 1 1

21 21 22 22 23 23 2 2

31 31 32 32 33 33 3 3

= = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ == = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ == = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

; ; ; ;; ; ; ;; ; ; ;

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =am b a b a b a bm m m m m mn mn1 2 2 3 3; ; ; ;

2712

4 565

205

2714

65

2025

35

43

4

61092

129

−′

−

−−

=−

−

−−

( )A atji j n

i m= =

=1 2 31 2 3

, , ,...,, , ,...,

Es decir, supongamos dos matrices A,B 0M n×n, (del mismo orden). Expresamos:

Entonces:

es decir:

Ejemplo 7.-Veamos dos matrices iguales. Recordemos que deben ser del mismo orden.

Se trata de dos matrices de orden 4×3. Nótese que cada elemento de la primera matrizes igual a su respectivo de la segunda matriz.

6. Matriz traspuesta de otra matriz-

Sea una matriz cualquiera ( )A aij i mj n

= ==

1 2 31 2 3, , ,...,, , ,...,

Se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene de cambiar las filas por lascolumnas, es decir, la primera fila pasa a ser la primera columna, la segunda fila será la segundacolumna, la tercera fila será la tercera columna, etc.

La matriz traspuesta de A se expresa A t. Por tanto:


( )

( )

A a siendoij m

matriz fila

A a siendoj mi

matriz columna

ij

tji

===

==

=

11 2 3

1 2 31

, , ,...,

, , ,...,

( )Si A es una matriz entonces A At t, =

A M A Mm nt

n m∈ ⇒ ∈× ×

A


a a a a

y A


n

n

n

m m m mn

t

m

m

m=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

11 21 31 1

12 22 32 2

13 23 33 3

...............

.....

...............

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

a a a an n n mn1 2 3 .....

Nótese que ahora la matriz A t tiene n fila y m columnas, es decir:

En forma desarrollada:

Nótese que A M y A Mm nt

n m∈ ∈× ×

Ejemplo 8.-

Sea la matriz su traspuesta es A =−

−

2 3 74 8 1 0

65 At =

−−

2 43 87 1

065

Nótese que A M y A Mt∈ ∈× ×2 4 4 2

Es fácil observar que la traspuesta de una matriz fila es una matriz columna y latraspuesta de una matriz columna es una matriz fila. Es decir:

Ejemplo 9.-

Sea la matriz fila . Su traspuesta es ( )A = 9 -11 7 At = −

9117

La traspuesta de la traspuesta de una matriz es igual a esa matriz, es decir:


( )A At t

t

=

−−

− −

=−

− −−

=

5 2 31 6 95 1 70 3 8

5 1 5 02 6 1 33 9 7 8

A M es simetrica A Ant∈ ⇔ =

A

a a a aa a a a

a a a a

A

a a a aa a a a

a a a

n

n

m m m nn

t

n

n

n n

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

11 21 31 1

12 22 32 2

1 2 3

......

......

.....

......

......

n nna.....

a a a a a a a aa a a a a a a aa a a a a a a a

n n

n n

n n

11 11 12 21 13 31 1 1

21 12 22 22 31 13 2 2

31 13 32 23 33 33 3 3

= = = == = = == = = =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

; ; ; ......;; ; ; ......;; ; ; ......;

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =a a a a a a a an n n n n n nn nn1 1 2 2 3 3; ; ; ......;

( ) { }A a M es simetrica a a i j nij n ij ji= ∈ ⇔ = ∀ ∈, , , ,....,1 2 3

Ejemplo 10.-

Sea la matriz . Su traspuesta es A =−

− −−

5 1 5 02 6 1 33 9 7 8

At =

−−

− −

5 2 31 6 95 1 70 3 8

La traspuesta de la traspuesta es:

7. Matriz simétrica-

Una matriz cuadrada se dice que es simétrica si es igual que su traspuesta. Es evidenteque una matriz no cuadrada no puede ser simétrica ya que ella y su traspuesta son de distintoorden. Por tanto:

Si una matriz cuadrada (de orden n) A es simétrica nos lleva a lo siguiente:

Es decir:

Por tanto:

Veamos un ejemplo:


A =

−

−−

1 0 9

8 3 7

0 3 7 29 7 2 45

45

45

A At =

−

−−

=

1 0 9

8 3 7

0 3 7 29 7 2 45

45

45

a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a a

11 11 12 2145 13 31 14 41

21 1245 22 22 23 32 24 42

31 13 32 23 33 33 34 43

41 14 42 2445 43 34 44 44

1 0 9

8 3 7

0 3 7 2

9 2 45

= = − = = = = = =

= = = = = = = =

= = = = = = = = −

= = = = = = − = =

; ; ;

; ; ;

; ; ;

; ; ;

( ){ }

A a M

Diagonal principal de A A a a a a a

ij n

S n n nn

= ∈

= = − −11 22 33 1 1, , ,...., ,( )( )

Ejemplo 11.-La siguiente matriz cuadrada (de orden 4) es simétrica:

En efecto:

Observamos que:

Ejemplo 12.-

La matriz es simétrica ya que I =

1 00 1

I It =

=

1 00 1

8. Diagonal principal y secundaria de una matriz cuadrada.-Sea una matriz cuadrada de orden n.( )A a Mij n= ∈

Se llama diagonal principal de la matriz A, al conjunto formado por los elementos de esa matrizcuyos índices son iguales, es decir, el conjunto formado por los elementos tales que i = j.aij

Por tanto:


a esta en la diagonal undaria de A i j nij sec ⇔ + = + 1

Ae

e

M=

−

−

−

∈

4 5 0 5

13 0 3

9 8

37

53

2 79

4ππ

( ){ }

A a M

Diagonal undaria de A A a a a a a

ij n

S n n n n n

= ∈

= = − − −sec , , ,...., ,( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 1 2 1

Veamos las posiciones que ocupan dentro de la matriz A los elementos de la diagonal principal:

número de elementos de la diagonal= nº de filas = nº de columnas.A

aa

a

ann

=•• •⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅• • • ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11

22

33

...........................

.......

Se llama diagonal secundaria de la matriz cuadrada (de orden n) A, al conjunto de sus elementostales que la suma de sus índices es igual a n. Es decir:

Por tanto:

Veamoslas posiciones que ocupan dentro de una matriz A los elementos de la diagonal secundaria:

número de elementos de la diagonal secundaria = nA

aa

a

a

n

n

n

n

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ •⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ • •⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−

−

1

2 1

3 2

1

( )

( )

Ejemplo 13.-Sea la matriz cuadrada de orden 4 siguiente:

La diagonal principal es { }AD = −4 1 0 79, , ,

La diagonal secundaria es { }A eS = −5 353

2, , ,

La matriz no tiene diagonales por no ser cuadrada.B =− −

2 1 9 13 8 0 6


( ) { }D d M es diagonal a i nij n ii= ∈ ⇔ = ∀ ∈0 1 2 3, , ,....,

A B C I=−

=

−

=

=

9 00 5

8 00 0

0 00 1

1 00 1

, , ,

D E I=−

=

=

7 0 00 1 00 0 7

2 0 00 0 00 0 4

1 0 00 1 00 0 1

, ,

( ) { }E e M es matriz escalarE es diagonal

e k i nij nii

= ∈ ⇔= ∈ ∀ ∈

R 1 2 3, , ,....,

E

kk

k

k

M es una matriz escalarn=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∈

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

0 0 0 0 0

......

......

......

.......

.

9. Matriz diagonal .-

Una matriz cuadrada se dice que es diagonal si todos los elementos que no están en ladiagonal principal son iguales a cero. Es decir:

Ejemplo 14.- Unas matrices diagonales de orden 2 son:

Unas matrices diagonales de orden 3 son:

10. Matriz escalar .-

Se llama matriz escalar a la matriz cuadrada que es diagonal y tiene todos los términosde la diagonal principal iguales. Es decir:

Es decir:

Ejemplo 15.-Matrices escalares de orden 3 son:

E F O I=

=−

−−

=

=

3 0 00 3 00 0 3

1 0 00 1 00 0 1

0 0 00 0 00 0 0

1 0 00 1 00 0 1

; ; ;

Nótese que una matriz escalar es también una matriz diagonal.


( )Matriz unidad de orden n I a M siendoa si i j

a si i jij nij

ij= = ∈

= ≠

= =

0

1

I M es la matriz unidad de orden

I M es la matriz unidad de orden

2 2

3 3

1 00 1 2

1 0 00 1 00 0 1

3

=

∈

=

∈

( ) { }{ }A a M es triangular

o bien a i j n con i j

o bien a i j n con i jij nij

ij= ∈ ⇔

= ∀ ∈ <

= ∀ ∈ >

0 1 2 3

0 1 2 3

, , , ,...,

, , , ,...,

11. Matriz unidad .-

Se llama matriz unidad de orden n a la matriz cuadrada de orden n (n×n) tal que esdiagonal y todos los elementos de la diagonal principal son 1. Se expresa con la letra I o In.

Por tanto:

Ejemplo 16.-

12. Matriz triangular .-

Una matriz cuadrada se dice que es triangular si todos los elementos que estén por encimao por debajo de la diagonal principal son ceros. Es decir:

Ejemplo 17.-

Una matriz triangular de orden 3 es A = −−

9 0 02 5 05 2 7

Una matriz triangular de orden 2 es B =

11 70 3

Nótese que una matriz diagonal es también una matriz triangular.

13. Operaciones con matrices .-

Ya sabemos lo que es una matriz, el orden, tipos de matrices, etc.Con las matrices se pueden realizar ciertas operaciones algebraicas. Las matrices se pueden sumar, restar y multiplicar. Todo ello en ciertas condiciones.Veamos qué condiciones son esas y como se opera con matrices.


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

A a M y B b M

A B a b a b c C M

suma de matrices suma en

ij m n ij m n

ij ij ij ij ij m n

= ∈ = ∈

+ = + = + = = ∈

↑ ↑ ↑

× ×

×

R

A B

a a a aa a a a

a a a a

b b b bb b b b

b b b

n

n

m m m mn

n

n

m m m

+ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2

............

......

............

3

11 11 12 12 13 13 1 1

21 21 22 22 23 23 2 2

1 1 2 2 3

......

...... .

...... .

b

a b a b a b a ba b a b a b a b

a b a b a

mn

n n

n n

m m m m m

=

=

+ + + ++ + + +

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + + b a b

c c c cc c c c

c c c c

C

m mn mn

n

n

m m m mn3

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3......

............

......+

=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

14. Suma de matrices .-

Digamos como comienzo que para sumar dos matrices, deben ser del mismo orden.Veamos:T Sea el conjunto de las matrices de orden m×n, es decir, M m×nT Sean A y B dos matrices de M m×nT Definimos la suma de las matrices A y B de la siguiente forma:

En forma desarrollada sería:

Recuérdese que para sumar dos matrices deben ser del mismo orden.

Ejemplo 18.-Vamos a sumar las matrices siguientes de orden 2×3:

A B matrices de M

A B C M

=−

− −

=

−

+ =−

− −

+

−

=

+ + − +

− + + − −

=

−

− −

= ∈

×

×

34 4

7 80 21 5 1

34 4

7 80 21 5 1

34 0 2 4

7 1 8 5 1

34

6 13

112

34

25

2 3

112

34

25

112

25

34

152

18574

2 3

;

Propiedades de la suma de matrices.-Consideremos el conjunto M m×n y la operación suma definida en dicho conjunto.Esta operación verifica las siguientes propiedades:


∀ ∈ + = ∈× ×A B M es A B C Mm n m n,

( )( )M es la estructura de las matrices de orden

M es la estructura de las matrices de orden5 8

6 6

5 8

6 6×

×

+ ×

+ ×

,

,

( ) ( )∀ ∈

+ + = + + = + +×A B C M se verifia que

A B C A B C A B Cm n, ,

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

A a M

B b M

C c M

son tres matrices del mismo orden

A B C a b c a b c a b c

a b c A B C

A B C a b c a b c a b c

a b c A B C

ij m n

ij m n

ij m n

ij ij ij ij ij ij ij ij ij

ij ij ij

ij ij ij ij ij ij ij ij ij

ij ij ij

= ∈

= ∈

= ∈

+ + = + + = + + = + + =

= + + = + +

+ + = + + = + + = + + =

= + + = + +

×

×

×

( ) ( )

( )

( )

Por tanto: A + B ( ) ( )+ C = A B C A B C c q d+ + = + + . . .

∀ ∈ + = +×A B M se verifica que A B B Am n,

14.1 Ley de composición interna:La suma de dos matrices de orden m×n es otra matriz de orden m×n.Es decir:

Se dice que el conjunto M m×n con la operación + es una estructura. Se expresade la forma (M m×n , +).

Ejemplo 19.-

14.2 Propiedad asociativa:La suma de matrices tiene la propiedad asociativa, es decir:

En efecto:

14.3 Propiedad conmutativa:La suma de matrices tiene la propiedad conmutativa. Es decir:

En efecto:


( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A a M

B b MDos matrices de orden m n

A B a b a b b a b a B A

suma de matrices suma de numeros suma de matrices

ij m n

ij m n

ij ij ij ij ij ij ij ij

= ∈

= ∈

×

+ = + = + = + = + = +

↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑

×

×

∃ ∈ ∀ ∈ + = + =× ×O M A M se verifia que A O O A Am n m n

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Sea la matriz O o M es decir todos sus elementos son

Sea A a M una matriz cualquiera de orden m n

Entonces

A O a o a o a a A

ij m n

ij m n

ij ij ij ij ij ij

= = ∈

= ∈ ×

+ = + = + = + = =

×

×

0 0

0

( , )

:

O =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

A Mm n=−

−−

∈ ×

9 4 1 70 23 7 81 6 4 11

A O A+ =−

−−

+

=+ − + + ++ + + − ++ + − + +

=−

−−

=9 4 1 70 23 7 81 6 4 11

0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

9 0 4 0 1 0 7 00 0 23 0 7 0 8 01 0 6 0 4 0 11 0

9 4 1 70 23 7 81 6 4 11

14.4 Existencia de elemento neutro:Si M m×n es el conjunto de matrices de orden m×n y + es la suma en M m×n ,

existe una única matriz de ese orden tal que es neutra para la suma. Esa matriz laexpresaremos como O. Se denomina matriz cero de orden m×n

Es decir:

En efecto:

Ejemplo 20.- La matriz cero de orden 3×4 (elemento neutro de la suma en M3×4) es:

Si consideramos una matriz cualquiera, por ejemplo:

Sumemos ambas:


( ) ( )∀ ∈ ∃ − ∈ + − = ∈× × ×A M A M A A O Mm n m n m n,

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

Sea A a una matriz cualquiera de orden m n

Se define la opuesta de A como A a a M

Sumemos ambas

A A a a a a o O

ij

ij ij m n

ij ij ij ij ij

= ×

− = − = − ∈

+ − = + − = + − = = =

×

:

( ) 0

( )( )

A A+ − =

−

− −

+

−

− − −

−

=

− + + − +

+ − + − + −

− + + − +

=

=

− + − +

− − −

− + − − +

−

( )

( )

( ) ( )

7 6 0

9 8 3

9

7 6 0

9 8 3

9

7 7 6 6 0 0

9 9 8 8 3 3

9 9

7 7 6 6 0 0

9 9 8 8 3 3

9 9

87

87

87

87

87

87

π π π π

π π

=

=0 0 00 0 00 0 0

O

14.5 Existencia de elemento opuesto:Para cualquier matriz A de orden m×n existe otra matriz del mismo orden tal que

sumadas ambas nos da el elemento neutro O. Esa matriz se denomina opuesta de A. Esdecir, la suma de una matriz y su opuesta es igual a la matriz cero.

Si A es una matriz, a su opuesta la expresaremos como &A (“menos A”)Expresemos esta propiedad matemáticamente:

En efecto:

Nótese que, dada una matriz A, para obtener su opuesta, basta con cambiar designo a cada uno de los términos de la matriz.

Ejemplo 21.-

Sea la matriz . Su opuesta es A =

−

− −

7 6 0

9 8 3

987π

− =

−

− − −

−

A

7 6 0

9 8 3

987π

Sumando ambas:

Observación: Si A es una matriz y &A es su opuesta, también A es la opuesta de &A.

15. Resta de matrices .-

La resta de matrices se define a partir de la suma. Veamos:Si A y B son matrices, se define la “resta A&B” como la suma de A y el opuesto de B.Es decir: A&B = A+(&B)


A B

A B

− =−

−

−

=

−

+

−− −

=

= + − =− +− − −

=

−−

1 127 6

2 71 5

1 127 6

2 71 5

1 2 12 77 1 6 5

1 196 11( )

( ) ( ) ( )A a MA A a a Mij m n

ij ij m n= ∈

∈

⇒ ⋅ = = = ⋅ ∈×

×λ

λ λ λ λR

λ λ

λ λ λ λλ λ λ λ

A

a a a aa a a a

a a a a

a a a aa a a a

n

n

m m m mn

n

n=⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11 12 13 1

21 22 23 2

1 2 3

11 12 13 1

21 22 23 2

.......

.......

......

..............

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅

λ λ λ λa a a am m m mn1 2 3......

Ejemplo 22.-

Dadas las matrices , hallemos A&B:A y B=−

=

−

1 127 6

2 71 5

16. El grupo conmutativo de las matrices del mismo orden.-

Consideremos el conjunto de las matrices de orden m×n y + la suma en M m×n Hemos dicho que (M m×n , +) es una estructura.Pues bien, (M m×n , +) con las propiedades vistas de la suma, se dice que es una estructurade grupo conmutativo (también se denomina grupo abeliano).

17. Producto de un número real por una matriz.-

T Sea λ un número real, es decir, λ0ú.T Sea A una matriz de orden m×n.T Se define el producto del número λ por la matriz A, y se expresa λA (o λ·A)

como la matriz que se obtiene de multiplicar cada elemento de A por el númeroλ.

Es decir:

En forma desarrollada sería:

Nótese que el producto de un número real por una matriz es una matriz del mismo orden.Nótese que λ·A =λA es producto de número real por matrizNótese que λ·aij es producto de números reales.

Ejemplo 23.-Multipliquemos el número 5 por la matriz ( )A M= − − ∈ ×2 24 13

1 4π


( ) ( )( )

5 5 5 2 24 1 5 2 5 24 5 1 5

10 10 3 5 5

3 3

31 4

⋅ = = ⋅ − − = ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ =

= − − ∈ ×

A A

M

π π

π

( ) ( )

RR

× →− − − − →

×

∈ =

× ×× ×

×

M MA A

Es una funcion de M en M

A cada par A M le corresponde f A A

m nf

m nm n m n

m n

( , )( , ) ( , )

λ λλ λ λ

( )∀ ∈

∀ = ∈

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

×

α βα β α β

,( ) ( )

R

A a Mse verifia que A A

ij m n

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ] ( )

α β α β α β α β

α β α β α β

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

A a a a

a a A

ij ij ij

ij ij

( ) ( )

( )∀ ∈

∀ = ∈

+ ⋅ = ⋅ + ⋅

×

α βα β α β

,( )

R

A a Mse verifica que A A A

ij m n

Propiedades del producto de un número real por una matriz.-Hemos visto una nueva operación, la del producto de un número real por una matriz.

Ahora veremos las propiedades de esta operación.

17.1 Ley de composición externa:El producto de un número real por una matriz de orden m×n es otra matriz de

orden m×n. Es decir, al par (λ , A), donde λ es un número real y A es una matriz, lecorresponde el elemento λA perteneciente al mismo conjunto que A.

Matemáticamente se expresa de la siguiente forma:

17.2 Asociativa:

Nótese en la igualdad anterior que en el miembro izquierdo hay un producto de númerosreales α·β y una producto de número por matriz “el paréntesis por A”. En el miembroderecho los dos productos que aparecen son “número real por matriz”.

Demostremos la propiedad:

17.3 Distributividad respecto a la suma de números reales:

Nótese que la suma α+β es suma de números reales y αA+βA es suma de matrices.La expresión también puede ponerse (es decir, sin punto)α β⋅ + ⋅A A α βA A+Demostremos la propiedad:


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

. . .

α β α β α β α β

α β α β α β

+ ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

A a a a a

a a a a A A c q d

ij ij ij ij

ij ij ij ij

∀ ∈∀ ∈

⋅ + = ⋅ + ⋅×

αα α α

R A B M se verifica que A B A B

m n, ( )

( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

A a y B b dos matrices de orden m n

A B a b a b a b a b

a b a b A B c q d

ij ij

ij ij ij ij ij ij ij ij

ij ij ij ij

= = ×

⋅ + = ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

α α α α α α

α α α α α α

( )

. . .

∀ ∈ ⋅ =⋅ =

×A M se verifia que A Arecuerda que A A

m n 11( )

( )( ) ( ) ( )

A a M

A a a a A c q d

ij m n

ij ij ij

= ∈

⋅ = ⋅ = ⋅ = =

×

1 1 1 . . .

α α⋅ = ⋅A A

Nótese en esta demostración como se “mezclan” la suma de números y de matrices.

17.4 Distributividad respecto a la suma de matrices:

Observamos lo siguiente:T Las sumas que aparecen en la igualdad anterior corresponde a suma de matrices.T Los productos que aparecen en esa igualdad corresponde a número por matriz.Demostremos la propiedad:

Nótese como en la demostración anterior se combinan las operaciones suma de números,suma de matrices, producto de números y producto de número por matriz.

17.5 Neutro en el producto de número por matriz:El producto del número real 1 por una matriz cualquiera A es igual a A.Es decir:

Demostración:

Observación: El producto de un número real α por una matriz A, puede expresarse porla derecha o por la izquierda, es decir, es conmutativo. Es decir:


352

223

A B C+ −

352

223

352

252

23

3 553

35 97 3

51

653

7 20 11

15 2721 9

5

30 0

15 27 5

43

32

203

152

353

103

553

203

353

103

A B C A B C A B C+ −

= + ⋅ − ⋅ = + − =

=−

+

−

−

−

−

=

=−

+

−

−

−

−

=

=+ + − − −

21 30 0 9 51152

553

1003

1063

1016+ + − −

=

−

−

Ejemplo 24.-

Dadas las matrices , hallarA B y C=−

=

−

−

=

−

5 97 3

1

6

7 20 11

43

32

;

Veamos:

18. El espacio vectorial de las matrices de orden m×n.-

T Hemos visto el conjunto de las matrices de orden m×n, es decir, Mm×n.T Hemos visto la suma de matrices del mismo orden y sus propiedades. Dijimos

que (Mm×n , +) es una estructura de grupo conmutativo.T Hemos visto el producto de un número real por una matriz y sus propiedades.Pues bien: El conjunto Mm×n con las operaciones suma y producto de un número real

por una matriz, se dice que tiene una estructura de Espacio Vectorial. Seexpresa (Mm×n , + , · ú).

Ejemplo 25.-X (M3×5 , + , · ú) es el espacio vectorial de las matrices de orden 3×5.X (M4×4 , + , · ú) es el espacio vectorial de las matrices de orden 4×4.X (M1×5 , + , · ú) es el espacio vectorial de las matrices de orden 1×5.

Ejemplo 26-Vamos a demostrar que la traspuesta de una suma de dos matrices es igual a la suma de

las traspuestas. Es decir:


∀ ∈ + = +×A B M se verifica que A B A Bm nt t t, ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

A a M A a a M

B b M B b b M

A B a b a b c c a b

a b a b A B c q d

ij m nt

ijt

ji n m

ij m nt

ijt

ji n m

tij ij

t

ij ijt

ijt

ji ji ji

ji ji ijt

ijt t t

= ∈ ⇒ = = ∈

= ∈ ⇒ = = ∈

+ = + = + = = = + =

= + = + = +

× ×

× ×

( )

. . .

( )∀ ∈ ∀ ∈ =×λ λ λR y A M se verifica que A Am nt t

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( )λ λ λ λ λ λA a a c c a a A c q d

matriz deorden n m

tij

t

ijt

ijt

ji ji jit= = = = = = =

↑ ↑ ↑×

. . .

A M es antisimetrica A An nt∈ ⇔ = −×

( )A a M es antisimetricaa i na a i nij n nii

ij ji= ∈ ⇔

= ∀ == − ∀ =

×

0 1 2 31 2 3

, , ,....,, , ,....,

Veamos:

Ejemplo 27.-Vamos a demostrar que la traspuesta del producto de un número real por una matriz es

igual al número real por la traspuesta de la matriz. Es decir:

En efecto:

19 Matriz antisimétrica.-

Una matriz cuadrada se dice que es antisimétrica si es igual a la opuesta de su traspuesta.Es decir:

Para que una matriz sea antisimétrica debe cumplirse los siguiente:

Ejemplo 28.-

La matriz cuadrada de orden 3 es antisimétrica.A = − −−

0 3 43 0 74 7 0


Sea A matriz de orden m nSea B matriz de orden n k Observa que n columnasde A n filasde B

××

=º º

A MB M

A B C M

Es decirnumero de filas de C numero de filas de Anumero de columnas de C numero de columnas de B

m n

n km k

∈∈

⇒ ⋅ = ∈

==

×

××

( )( ) ( ) ( ) ( )A a M

B b MA B a b c M

ij m n

ij n kij ij ij m k

= ∈

= ∈

⇒ ⋅ = ⋅ = ∈

×

××

En efecto: A y A At t=− −

−

− = − −−

=0 3 43 0 74 7 0

0 3 43 0 74 7 0

20 Producto de dos matrices.-

Vamos a definir el producto de dos matrices.S Si A y B son dos matrices, llamaremos A·B al producto de “A por B” y B·A al

producto de “B por A”.S La aclaración anterior la hemos hecho porque, en general, A·B … B·AS En la expresión A·B, A es el factor de la izquierda y B el factor derecho.S También decimos que para poder multiplicar dos matrices, debe darse una

condición muy concreta. Veamos cual:El número de columnas del factor izquierdo debe

ser igual al número de filas del factor derecho.Es decir, para poder realizar la operación A·B debe ocurrir que:

número de columnas de A = número de filas de B

Vamos a la definición:

El producto “A por B” , A·B es otra matriz C que se expresa A·B = C.La matriz C tiene m filas y k columnas, es decir:

Ahora vamos a ver como se obtiene la matriz C.

Cada elemento cij de C se obtiene “operando la fila i de A con la columna j de B”Es decir:O El elemento c11 de C se obtiene a partir de la fila 1 de A y la columna 1 de B.O El elemento c12 de C se obtiene a partir de la fila 1 de A y la columna 2 de B.O El elemento c13 de C se obtiene a partir de la fila 1 de A y la columna 3 de B.·······································································································································


( )c a a a a

bbb

b

a b a b a b a b a bij i i i in

j

j

j

nj

i j i j i j in nj ik kjk

k n= ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅=

=

∑1 2 3

1

2

3 1 1 2 2 3 31

K

M

L

( ) ( )c Fila i de A Columna j de B Elemento fila i columna j de Cij = ⋅ = ,

( )( ) ( )A a M

B b MA B C c M

ij

ijij

= ∈

= ∈

⇒ ⋅ = = ∈

×

××

3 5

5 43 4

O El elemento cmk de C se obtiene a partir de la fila m de A y la columna k de B”

Ahora veremos como se opera para ello:

Como regla nemotécnica, recuérdese:

Ejemplo 29.-Imaginemos que A es una matriz de orden 3×5 y B otra matriz de orden 5×4.¿Es posible el producto A·B?En caso afirmativo: ¿Cómo obtendremos el elemento que ocupa la fila 2 y columna 3?

Veamos:

Es decir, como el número de columnas de A (factor izquierdo) coincide con el númerode filas de B (factor derecho), el resultado es una matriz que tiene el número de filas de A y elde columnas de B.

El elementos c23 existe en la matriz A·B = C. Veamos como se obtiene:

( )c a a a a a

bbbbb

a b a b a b a b a b

En forma abreviada

c a bk kk

k

23 21 22 23 24 25

13

23

33

43

53

21 13 22 23 23 33 24 43 25 53

23 2 31

5

= ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅=

=

∑

:

Observa que las matrices Ay B de este ejemplo no pueden multiplicarse del modo B·Adebido a que el número de columnas de B (4) no coincide con el número de filas de A (3).


Ejemplo 30.-

Sean las matrices . Queremos hallar A·B( )A y B= − − =−

2 3 8 5

3561

Veamos:

( ) ( ) ( )

A MB M

A B C M

A B C

∈∈

⇒ ⋅ = ∈

⋅ = − − ⋅−

= ⋅ + − ⋅ − + ⋅ + − ⋅ = =

×

××

1 4

4 11 1

2 3 8 5

3561

2 3 3 5 8 6 5 1 64( ) ( ) ( )

Ejemplo 31.-Consideremos las mismas matrices del ejemplo anterior. Hallar (si fuese posible) B·A

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

B MA M

B A D d M

d Fila de B Columna de A






ij

∈∈

⇒ ⋅ = = ∈

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ − = −

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ − = −

= ⋅ = − ⋅ = −

= ⋅ = −

×

××

4 1

1 44 4

11

12

13

14

21

22

1 1 3 2 6

1 2 3 3 9

1 3 3 8 24

1 4 3 5 15

2 1 5 2 10

2 2 5

( )

( )

( )

( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

⋅ − =

= ⋅ = − ⋅ = −

= ⋅ = − ⋅ − =

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ − = −

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ − = −

= ⋅ =

( )

( )

( ) ( )

( )

( )

3 15

2 3 5 8 40

2 4 5 5 25

3 1 6 2 12

3 2 6 3 18

3 3 6 8 48

3 4 6 5 30

4 1

23

24

31

32

33

34

41








( ) ( )( ) ( )( ) ( )

1 2 2

4 2 1 3 3

4 3 1 8 8

4 4 1 5 5

42

43

44

⋅ =

= ⋅ = ⋅ − = −

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅ − = −




( )

( )


D M=

− −− −

− −− −

∈ ×

6 9 24 1510 15 40 2512 18 48 302 3 8 5

4 4

A y B=−

=

−−−

2 310

1 04 2 13 3

13

45

34

32

12

A A A⋅ = =−

⋅

−

=

+ −− +

=

2 6 1

5 36 15 3

36 5 6 330 15 5 9

41 315 14

∀ ∈ ⇒ ⋅ = ∈A M A A A Mn n2

La matriz D queda:

Ejemplo 32.-Hallar los productos A·B y B·A, siendo:

Intentemos efectuar A·B : número de columnas de A = 3 = número de filas de B.Existe A·B = C 0M2×3

A B

M

⋅ =−

⋅

−−−

=− − + + − − +

− + + − − + +

=

=−−

∈ ×

2 310

1 04 2 13 3

2 9 0 9 340 0 20 10

13

45

34

32

12

43

23

13

32

45

94

94

65

38

173

253

256

82920

894

46340

2 3

Intentemos efectuar B·A : número de columnas de B = 3…2 = número de filas de A.No existe B·A

Ejemplo 33.-

Dada la matriz cuadrada queremos hallar A·AA =−

6 15 3

Observamos que número de columnas de A = 2 = número de filas de A. Existe A·A

Obsérvese que, aunque aún no hemos definido la potencia de una matriz, es posiblemultiplicar una matriz cuadrada por sí misma. Es decir:

Sin embargo:Si A M nocuadrada entonces A A no existem n∈ ⋅× ( ),


( )

( )

A MB M A B M

C MA B C D M

A MB MC M B C M

A B C E M

Pues bien se verifica que D E

m n

n km k

k p

m p

m n

n k

k pn p

m p

∈∈

⇒ ⋅ ∈

∈

⇒ ⋅ ⋅ = ∈

∈∈∈

⇒ ⋅ ∈

⇒ ⋅ ⋅ = ∈

=

×

××

×

×

×

×

××

×

,

( )

( )

( )

A B

A B C

B C

A B C

⋅ =− −

⋅

−−

=

−−

⋅ ⋅ =−

−

⋅ −

−

=−

⋅ =−

−

⋅ −

−

=−

⋅ ⋅ =− −

3 21 5

1 5 32 4 0

7 7 911 15 3

7 7 911 15 3

752

32158

1 5 32 4 0

752

1234

3 21 5

⋅−

=

−

1234

32158

Propiedades del producto de matrices.-El producto de matrices tiene las siguientes propiedades:

20.1 Condición de existencia del producto:El producto de una matriz de orden m×n por otra de orden n×k es una matriz

de orden m×k.

20.2 Asociativa:Si A, B y C son tres matrices tales que el producto A·(B·C) está definido,

entonces (A·B)·C también lo está y se verifica que A·(B·C) = (A·B)·CEs decir:

Ejemplo 34.-

Sean las matrices A B y C=− −

=

−−

= −

−

3 21 5

1 5 32 4 0

752

,

Comprobemos la propiedad anterior:

Comprobado.


( )A B C A B A C⋅ + = ⋅ + ⋅

{ ( ) { {A MB C M A B C A B A C D Mm n

n k m n n k n k n km k

∈∈

⇒ ⋅ + = ⋅ + ⋅ = ∈×

× × × × ××, 1234

Sean lasmatricesA MB M

Entonces A B C M y B A D MEs decir A B y B A son de orden y por A B B A

n k

k n

n n k k

∈∈

⋅ = ∈ ⋅ = ∈⋅ ⋅ ⋅ ≠ ⋅

×

×

× ×

, distinto tanto

A B

B A

Observamos que A B B A

⋅ =−

⋅

−− −

=

− − −− − +

=

− −−

⋅ =−− −

⋅

−

=

− − − +− + − −

=

−−

⋅ ≠ ⋅

3 92 7

1 52 4

3 18 15 362 14 10 28

21 2112 18

1 52 4

3 92 7

3 10 9 356 8 18 28

13 262 46

20.3 Distributividad respecto de la suma de matrices:Si A, B y C son tres matrices tales que A·(B+C) está definida (existe), entonces

se verifica que:

Es decir:

20.4 Sobre la conmutatividad del producto de matrices:Si A y B son dos matrices. Puede ocurrir que no exista ni A·B ni B·A, pero puede

ocurrir que exista uno de esos productos y no exista el otro. Esto, ya, nos indica que:El producto de matrices no es conmutativo

Ahora bien, puede ocurrir que existan A·B y B·A. ¿Es en este caso A·B = B·A ?Vamos a ver que, en general, no:

¿Qué ocurre si A·B y B·A existen y son del mismo orden? ¿Será A·B = B·A?Vamos a ver un ejemplo:

Ejemplo 35.-

Sean las matrices . Hallemos A·B y B·A.A y B=−

=

−− −

3 92 7

1 52 4

Sin embargo, es posible que ambos productos sean iguales. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 36.-

Sean las matrices . Hallemos A·I e I·AA e I=−−

=

8 79 5

1 00 1


I M matriz unidad de orden nn n=

∈ ×

1 0 0 00 1 0 00 0 1 0

0 0 0 1

LL

LL

LL

LLLLL

LL

( )M conjunto de lasmatrices cuadradas de orden n

A a M se verifica que A I I A A

n

ij n n n∀ = ∈ ⋅ = ⋅ =

( ) { }I i tal quei si i j

i si i ji j nn ij

ij

ij=

= =

= ≠

∀ ∈

1

01 2 3, , , , ,K

A I A

I A A

Observamos que A I I A A

⋅ =−−

⋅

=

− −− −

=

−−

=

⋅ =

⋅

−−

=

+ − −+ − −

=

−−

=

⋅ = ⋅ =

8 79 5

1 00 1

8 0 0 79 0 0 5

8 79 5

1 00 1

8 79 5

8 0 7 00 9 0 5

8 79 5

( )Sea A a M una matriz cualquiera de orden n cuadradaij n= ∈ ( )

21. Matriz unidad de orden n×n.-Consideremos el conjunto de las matrices cuadradas del mismo orden n, es decir, el

conjunto Mn×n (o Mn). Consideremos la matriz de Mn×n tal que:X Todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.X Todos los elementos que no son de la diagonal principal son iguales a 0.Esa matriz recibe el nombre de matriz unidad de orden n×n (orden n). Se expresa IPor tanto:

Cuando pueda haber confusión, se expresa In para indicar la matriz unidad de orden nMatemáticamente se define:

Ejemplo 37.-

La matriz unidad de orden 3 es y de orden 2 es I3

1 0 00 1 00 0 1

=

I21 00 1

=

Propiedad de la matriz unidad.-El producto de una matriz cuadrada A por la matriz unidad del mismo orden que aquella

es conmutativo e igual a A. Es decir:

En efecto:


( ) ( ) ( )A I a i c C M

Siendoc a i a i a i a i a ac a i a i a i a i a ac a i a i a i a i a

n ij ij ij n

n n

n n

n n

⋅ = ⋅ = = ∈

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = ⋅ + + + + == ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = + ⋅ + + + == ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = + + ⋅

:

11 11 11 12 21 13 31 1 1 11 11

12 11 12 12 22 13 32 1 2 12 12

13 11 13 12 23 13 33 1 3 13

1 0 0 00 1 0 00 0 1

L L

L L

L + + =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ = + + + ⋅ + + =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =

L

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

L L L

LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL

L

0

0 0 1 0

0

13

1 1 2 2 3 3

1 1 12 2 3 3

a

c a i a i a i a i a a

c a i a i a i a i

ij i j i j i j in nj ij ij

nn n n n n n n nn nn

( ) ( ) ( )

+ + + + ⋅ =

⋅ =

⋅ = ⋅ = =

0 0 1L a a

A I A

I A i a a A

nn nn

n

n ij ij ij

Por tanto

Del mismo modo se demuestra que

,

−

− −

⋅

=− ⋅ + + + ⋅ + + + ⋅

⋅ + + + ⋅ + + + ⋅− ⋅ + + + ⋅ + + − ⋅

=−

− −

3 2 87 1 23 4 6

1 0 00 1 00 0 1

3 1 0 0 0 2 1 0 0 0 8 17 1 0 0 0 1 1 0 0 0 2 13 1 0 0 0 4 1 0 0 0 6 1

3 2 87 1 23 4 6

∀ ∈

=

= ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∀ ∈

=

×A M matriz cuadrada

A A

A A A

A A A A

A A A A A k

Convenimos en definir que A I

n n

k

k factores

n

( ):

*

1

2

3

0

LLLLLL

L1 244 344

N

Hallemos el producto A·In :

Ejemplo 38.-

22. Potencia de una matriz cuadrada.-Por la definición de producto de matrices, deducimos que dos matrices cuadradas del

mismo orden pueden multiplicarse. Esto nos lleva a que una matriz cuadrada de orden n puedemultiplicarse por sí misma y el resultado es otra matriz de orden n.

Lo anterior nos permite definir el concepto de potencia de una matriz cuadrada.


I I I I kk= = = = ∀ ∈2 3 L N

A A A

A A A

2

3 2

1 32 4

1 32 4

7 96 22

7 96 22

1 32 4

11 5738 106

= ⋅ =−

⋅

−

=

= ⋅ =

⋅

−

=

A A I⋅ =−

⋅

−

=

+ − +− + +

=

=−1

17

27

37

17

17

67

27

27

37

37

67

17

1 23 1

1 00 1

En el caso particular de la potencia de la matriz unidad I tenemos que:

Ejemplo 39.-

Dada la matriz queremos hallar A3. Veamos:A =−

1 32 4

23. Inversa de una matriz cuadrada.-

q Sea A una matriz cuadrada de orden n, es decir, A0Mn.q Se llama matriz inversa de A y se expresa A-1, a aquella matriz que multiplicada

por A es igual a la matriz In. En concreto:A·A-1 =A-1·A = In

Hagamos las siguientes aclaraciones:s Las matrices que no son cuadradas no tienen inversa.s Una matriz cuadrada puede tener o no tener inversa. Si existe la inversa de A,

la llamaremos A-1.s La inversa de una matriz cuadrada, si existe, es cuadrada y del mismo orden.s Si A-1 es la inversa de A, A es la inversa de A-1.s Es evidente que I tiene inversa y es I ya que I·I = I.. Es decir, I-1 = I.Más adelante veremos qué matrices cuadradas tienen inversa y como se halla.

Ejemplo 40.-

La inversa de la matriz . Comprobémoslo:A es A=−

=

−

−1 2

3 11

17

27

37

17

NOTA: Se demuestra que siempre que ocurra que A·B = I, entonces, B·A = I. Esto nos hace ver que si A·A-1 = I , entonces se verifica que A-1·A = I.

Ejemplo 41.-

La matriz no tiene inversa, es decir, no existe B-1. B =−

−− −

2 1 53 7 21 8 7


( )( )

A a M una matriz cuadrada de orden n

de A A a a

ij n

ij ij

= ∈

= = = ∈

↓

Determinante R

esta expresion no se usa

A


a a a a

n

n

n

n n n nn

= ∈

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

L

L

L

L L L L L

L

R (eldeterminante es un numero)

( )Si A a M es una matriz cuadrada deorden se define

a a

no confundir con valor absoluto de a

= ∈

∈

↓

11 1

11 11

11

1, :

Determinante de A = A = = R

24. Determinante de una matriz cuadrada.-

Vamos a definir un nuevo concepto relativo a las matrices cuadradas, el determinante,pero antes, recalquemos algunos puntos:

3 Únicamente las matrices cuadradas tienen determinante. Las matrices nocuadradas no tienen determinante.

3 Todas las matrices cuadradas tienen determinante.3 El determinante de una matriz cuadrada es un número real que puede ser

positivo, negativo o cero. El determinante de una matriz cuadrada es único.3 Veamos como se expresa el determinante de una matriz cuadrada:

En forma desarrollada es:

Ahora veremos como se halla el determinante de una matriz.

Determinante de una matriz de orden 1×1.-Las matrices cuadradas 1×1 y sus determinantes no tienen ningún interés especial, pero

aún así, veremos como se define.

Ejemplo 42.-Sean las matrices de orden 1×1( ) ( ) ( ) ( )A B I y O= = − = =11

4 9 1 0; ;Sus determinantes son:


Sea Aa aa a una matriz cualquiera de orden

de A Aa aa a a a a a numero

=

×

= = = ⋅ − ⋅ =

11 12

21 22

11 12

21 2211 22 12 21

2 2.

Determinante

A B I y O

A

B

I

O

=−

=

−−

=

=

=−

= ⋅ − − ⋅ = + =

=−

−= ⋅ − − ⋅ = − =

= = ⋅ − ⋅ = − =

= = ⋅ − ⋅ = − =

7 63 4

3 62 4

1 00 1

0 00 0

7 63 4

7 4 6 3 28 18 46

3 62 4

3 4 6 2 12 12 0

1 00 1 1 1 0 0 1 0 1

0 00 0

0 0 0 0 0 0 0

; ;

( )

( ) (. )

A B I y O= = = − = − = = = =114

114 9 9 1 1 0 0; ;

Ax

x x x x=−

= − − = − ⇒ − = ⇒ = − ⇒ = −4

312

52

852

4 5 885

52

Determinante de una matriz de orden 2×2.-Aunque no daremos la definición matemática del determinante de una matriz cuadrada,

sí vamos a aprender a calcularlo. Veamos como se halla el determinante de una matriz cuadradade orden 2.

Ejemplo 43.-Hallemos los determinantes de las siguientes matrices cuadradas de orden 2:

Ejemplo 44.-

Hallar el valor del número x sabiendo que el determinante de es &8Ax

=−

43

52

Veamos:

Determinante de una matriz de orden 3×3.-Vamos a ver como se obtiene el determinante de una matriz cuadrada de orden 3×3.Consideremos una matriz A0M3:


Aa a aa a aa a a

matriz cuadrada

A

a a aa a aa a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

=

×

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

11 21 13

21 22 23

31 32 33

11 21 13

21 22 23

31 32 33

11 22 33 21 32 13 31 21 23 13 22 31 23 32 11 33 21 21

3 3

para hallar empleamos la denominada Regla de Sarrus

• ⊗ ⊗⊗ • ⊗⊗ ⊗ •

= • ⋅ • ⋅ •⊗ ⊗ •• ⊗ ⊗⊗ • ⊗

= • ⋅ • ⋅ •

⊗ • ⊗⊗ ⊗ •• ⊗ ⊗

= • ⋅ • ⋅ •⊗ ⊗ •⊗ • ⊗• ⊗ ⊗

= − • ⋅ • ⋅ •

• ⊗ ⊗⊗ ⊗ •⊗ • ⊗

= − • ⋅ • ⋅ •⊗ • ⊗• ⊗ ⊗⊗ ⊗ •

= − • ⋅ • ⋅ •

( ) ; ( )

( ) ; ( )

( ); ( )

primer sumando segundo sumando

tercer sumando cuarto sumando

sumando sexto sumandoquinto

a a aa a aa a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a aa a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 22 33 21 32 13 31 12 23 13 22 31 23 32 11 33 12 21

11 12 13

21 22 23

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

Con objeto de recordar esta “complicada fórmula” vamos a analizarla:“ Observa que hay seis sumandos con tres factores cada uno. Los tres primeros

sumandos llevan el signo + delante y los tres últimos el signo &.“ En cada sumando (tres factores) hay un factor de cada fila y de cada columna. “ Observa que los tres primeros sumandos empiezan por los tres elementos de la

primera columna y “van pasando” a la siguiente columna y fila. “ Observa que los tres últimos sumandos (signo & delante) empiezan por la última

columna y retroceden columna y avanzan fila.Es decir:

Una forma mejor de recordar la Regla de Sarrus, es la siguiente:

Nótese que se han colocado las dos primeras filas debajo de la expresión del determinante


•⊗ • ∗⊕ ⊗ •

= • ⋅ • ⋅ • + ⊗ ⋅ ⊗ ⋅ ⊗ + ⊕ ⋅ ⊕ ⋅ ⊕ − ⋅ • ⋅ ⊕ − ∗ ⋅ ⊗ ⋅∗ − • ⋅ ⊕ ⋅ ◊

∗ ⊕ ⊗◊ ⊕

a

a

12

22

o

o

A =−

−− −

= ⋅ − ⋅ − + ⋅ − ⋅ − + ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − − ⋅ ⋅ =

−−

2 4 63 1 05 5 3

2 1 3 3 5 6 5 4 0 6 1 5 0 5 2 3 4 3 102

2 4 63 1 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A

a a a aa a a aa a a aa a a a

buscamos el de A A=

=

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

determinante

Ejemplo 45.-

Hallemos el determinante de la matriz A =−

−− −

2 4 63 1 05 5 3

Determinante de una matriz de orden 4×4 y superior.-La Regla de Sarrus no es válida para el cálculo de determinantes de matrices cuadradas

de orden superior a 3. En este apartado veremos como se calcula el determinate de una matriz4×4, siendo el método empleado aplicable a cualquier matriz de orden n×n (incluidas lasmatrices 2×2 y 3×3 que vimos anteriormente).

Supongamos una matriz cualquiera de orden 4×4:

Para ello debemos definir unos conceptos previos:

Menor complementario de un elemento de la matriz A.-• Supongamos un elemento cualquiera aij de la matriz A. Es decir, ese elemento ocupa la

posición fila i, columna j.• Imagina que de la matiz A eliminamos esa fila (fila i) y esa columna (columna j). Es

evidente que obtenemos otra matriz cuadrada de orden 3×3.• Al determinante de esa matriz 3×3 se le denomina menor complementario del elemento

aij y se expresa αij. Es decir:


( )A a M y a un elemento cualquiera de A

menor complementario de a numero real

ij ij

ij ij

= ∈

= = =

×4 4

α

Determinante que resulta de eliminar la fila i, columna j

.

α 23

6 1 22 3 10 8 6

6 3 6 2 8 2 0 1 1 2 3 0 1 8 6 6 1 2 136= − − = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =

β31

45 4

5125

23 3

3 2 3 612 30

5185

3 6=−−

= ⋅ − − − ⋅ = − + =− +

= = ′( ) ( )

( )A siendo menor complementario de aiji j

ij ij ij= − =+1 .α α

sii j par A

i j impar Aij ij

ij ij

+ = ⇒ =

+ = ⇒ = −

αα

Ejemplo 46.-

Sea la matriz . Hallemos α23A y el elemento a=

−− −

− −−

= −

6 1 3 23 3 4 12 3 5 10 8 3 6

423

NOTA: La definición anterior es válida para las matrices cuadradas de cualquier orden.

Ejemplo 47.-

Sea la matriz cuadrada . Hallemos el menor complementario de b31B =−−

7 23 3

6 5

45

14

52

Adjunto de un elemento de la matriz A.-– Supongamos un elemento cualquiera aij de la matriz A. Es decir, ese elemento ocupa la

posición fila i, columna j.– Se define el adjunto de aij (se expresa Aij) del siguiente modo:

– Nótese que :


( ) ( )A232 3

2351 1 136 1 136 136= − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = −+ α

( ) ( )B313 1

3141 1

185

1185

185

3 6= − ⋅ = − ⋅ = ⋅ = = ′+ β

A a a A a A a A a Aij k k k k k k k k= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅1 1 2 2 3 3 4 4

A a a A a A a A a Aij t t t t t t t t= = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅1 1 2 2 3 3 4 4

A =

−− −

−− −

8 2 7 22 1 5 20 3 0 02 1 3 4

Ejemplo 48.-Consideremos la misma matriz A del ejemplo 45. Hallemos A23

NOTA: La definición anterior es válida para matrices cuadradas de cualquier orden. Ejemplo 49.-

Consideremos la matriz B del ejemplo 46. Hallemos B31

Determinante de una matriz cuadrada de orden 4×4.-

H Supongamos una matriz cuadrada de orden 4, es decir, . ( )A a Mij= ∈ 4

H Queremos obtener el determinante de la matriz A, es decir, .A aij=H Para ello actuamos de la siguiente forma:

± Elegimos una línea cualquiera de la matriz, es decir, una fila o una columna.± Multiplicamos cada elemento de esa línea por su adjunto, es decir, cada elemento

aij de esa línea por su adjunto Aij.± Los cuatro resultados obtenidos (cada línea tiene cuatro elementos) se suman y

el resultado de esa suma es el determinante de la matriz A.Es decir:

Supongamos que elegimos la fila k (1#k#4). Entonces:

Si elegimos la columna t (1#t#4). Entonces:

OBSERVACIONES:º Lógicamente, el determinante de A será independiente de la línea que elijamos,

es decir, elijamos la línea que elijamos, el resultado será el mismo.º Nótese que para hallar un determinante de una matriz 4×4 hay que hallar cuatro

determinantes de orden 3×3 (cada adjunto es un determinate 3×3).º Si en una línea (fila o columna) hay muchos ceros, conviene que esa sea la línea

elegida. Esta elección nos simplifica el trabajo puesto que tendremos sumandosque serán 0·Aij = 0, ahorrando tener que hallar Aij.

Ejemplo 50.-Hallemos el determinante de


A A A A A= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + + + =0 0 0 0 0 0 0 0 021 22 23 24

( ) ( ) ( )

A A A A A A=

−− −

−− −

= ⋅ + − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − ⋅ =

= − ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ − −− −

= ⋅ − + − − − − = −+

8 2 7 22 1 5 20 3 0 02 1 3 4

0 3 0 0 3

3 1 3 18 7 22 5 22 3 4

3 160 12 28 20 48 56 900

31 32 33 34 32

3 232

5

( )

α

( ) ( ) ( )

( )

A A A A A=

−− −

−− −

= ⋅ + − ⋅ + ⋅ + − ⋅ =

= ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ = − ⋅−

−−

− ⋅−−

−− ⋅

−−

−=

= − ⋅ − + + + − − − ⋅ +

+ + +

8 2 7 22 1 5 20 3 0 02 1 3 4

2 2 0 4

2 1 2 1 4 1 22 1 50 3 02 1 3

28 2 70 3 02 1 3

48 2 72 1 50 3 0

2 18 0 0 30 0 0 2 72 0

14 24 34 44

1 414

2 424

4 444

( ) ( )

α α α

( ) ( )+ + − − − ⋅ + + − + − = − − − = −0 42 0 0 4 0 42 0 0 120 0 24 228 648 900

Lo más rápido es elegir la fila 3 (es la que tiene más ceros).

Para comparar y comprobar el resultado, vamos a elegir otra línea, por ejemplo, lacolumna 4. Veamos:

Observamos que el cálculo se reduce sensiblemente al elegir una línea con más ceros.

Ejemplo 51.-

Hallemos el determinante de la matriz A =

−

− −

9 9 70 0 0 01 4 92 8 3 5

35

83

Eligiendo para el desarrollo la fila 2, tenemos:

OBSERVACIÓN: Si en una matriz hay una fila o columna que son todos ceros, sudeterminante es igual a cero.

Determinante de una matriz cuadrada de orden cualquiera n×n.- El método expuesto anteriormente para el cálculo del determinante de una matriz

cuadrada de orden 4, es válido para cualquier matriz cuadrada de orden n (incluidas de orden 2y 3). No obstante conviene decir lo siguiente:( Si n es un número grande, el método es muy largo. Fíjate que si n=5 y desarrollamos por


A a A a A a A a A a A= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅12 12 22 22 32 32 42 42 52 52

At =

−− −

−− −

8 2 0 22 1 3 17 5 0 32 2 0 4

( )A At t=

−− −

−− −

= − ⋅ = − ⋅ − ⋅−

−− −

= ⋅ − − + − − − = −

8 2 0 22 1 3 17 5 0 32 2 0 4

3 3 18 2 27 5 32 2 4

3 160 28 12 20 48 56 90023 ( )

una línea, cada uno de los cinco adjuntos es un determinante de orden 4 que hay quehallar por el método anterior. Imagina lo que ocurre si n=10.

( Veremos más adelante un método que reduce sensiblemente el cálculo de determinantes,aunque no deja de ser largo.

( Actualmente los programas informáticos especializados son capaces de realizar estoscálculos en pocos segundos (dependiendo del orden de la matriz tardará algo más omenos).

Ejemplo 52.-En el caso de una matriz cuadrada de orden 4, , su determinante es,( )A a Mij= ∈ 5

suponiendo que elegimos para desarrollar la columna 2:

Nótese que ahora habría que desarrollar cada uno de los cinco adjuntos por una línea, yaque cada adjunto es un determinante de orden 4×4.

25. Propiedades de los determinantes.-Veremos las propiedades que tienen los determinantes. Algunas de ellas nos servirán para

establecer un método que reduce sensiblemente su cálculo. Veamos:

Propiedad 1.- El determinate de una matriz cuadrada es igual al determinante de su traspuesta.

Es decir: A M matriz cuadrada

A M su traspuestaEntonces A A

nt

n

t∈

∈

=:

No vamos a demostrar esta propiedad (aunque la demostración es sencilla), pero sívamos a comprobarla con un ejemplo:

Ejemplo 53.-Consideremos la matriz A del ejemplo 49. Vimos que: Determinante de A =& 900Consideremos ahora su traspuesta:

Hallemos su determinante:


( )A B C C es decir A C= − = − − = =, ,

( ) ( )

B y su

B

=

− −− −

−−

=

− −− −

−−

=

= − ⋅ = − ⋅ − = ⋅− −

− − = ⋅ + + + + − =

2 1 3 42 1 5 2

0 3 0 08 2 7 2

2 1 3 42 1 5 2

0 3 0 08 2 7 2

3 3 1 32 3 42 5 28 7 2

3 20 56 48 160 28 12 900325

32

determinante B

β

( ) ( )

C y su C

C

=

− −− −

−−

=

− −− −

−−

=

= − ⋅ = − ⋅ − = − ⋅− −

− − = − ⋅ + + + + − = − ⋅ = −

2 3 1 42 5 1 20 0 3 08 7 2 2

2 3 1 42 5 1 20 0 3 08 7 2 2

3 3 1 32 3 42 5 28 7 2

3 20 56 48 160 28 12 3 300 900336

33

determinante

γ

B k A= ⋅

Propiedad 2.- Si en una matriz cuadrada A intercambiamos la posición de dos líneas paralelas(es decir, dos filas o dos columnas), obtenemos otra matriz B (distinta de laanterior). Pues bien, sus determinantes son “iguales y de signo contrario”Es decir: A B= −Nótese que si en la matriz B intercambiamos otras dos líneas paralelas (no tienenque ser las mismas de antes), obtendremos otra matriz C. Pues bien:

No demostraremos esta propiedad, pero la comprobaremos con un ejemplo:

Ejemplo 54.-Consideremos la misma matriz A de los ejemplos 49 y 52. Intercambiemos de posición

las filas 1 y 4. Obtenemos la matriz B siguiente:

Es decir, A B= − = −900Ahora, en la matriz B intercambiamos la posición de las columnas 2 y 3. Obtenemos C:

Es decir: A B C= − = = − 900

Propiedad 3.- Si A es una matriz cuadrada y multiplicamos todos los elementos de una línea(fila o columna) de A por un mismo número k, obtenemos otra matriz distinta B(que también será cuadrada y del mismo orden). Pues bien:


A

B k k k k k k k k A

=−

− −= − + + − =

=−

− −= − + + − = = ⋅

6 2 82 1 04 3 2

12 48 32 8 60

6 2 82 0

4 3 212 48 32 8 60

( )

1 32 11 5

1 3 12 1 31 5 5

1 3 12 1 31 5 5

5 10 9 1 15 30 12 18

3292

152

32

32

32

32

32

32

−− − =

− ⋅− ⋅ −

⋅= ⋅

−− − =

= ⋅ − + − + − = ⋅ − = −

( )

( )

Es decir, el determinante de la nueva matriz B es igual al producto de k por eldeterminante de la matriz A.En este caso tampoco demostraremos esta propiedad, pero lo comprobaremos conun ejemplo:

Ejemplo 55-

Sea la matriz y k un número real cualquiera. A =−

− −

6 2 82 1 04 3 2

Multipliquemos la fila 2 por k. Obtenemos la matriz B k k=−

⋅− −

6 2 82 0

4 3 2Hallemos los determinantes de A y B:

La propiedad anterior permite sacar un factor común se encuentre en una línea deldeterminante. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 56.-Hallemos un determinante 3×3 que tiene un factor común en la tercera columna:

Propiedad 4.- Si en una matriz cuadrada hay dos líneas paralelas (dos filas o dos columnas)que son iguales, entonces su determinante es igual a cero.En efecto, supongamos que la matriz A tiene dos filas iguales. Si intercambiamosla posición de esas dos filas obtenemos exactamente la misma matriz A.Por la propiedad 2, tenemos que *A*=&*A*, es decir, un número es igual a suopuesto, lo cual implica que *A*= 0.


A =−

− − = + − + − − =2 6 6

5 2 21 5 5

20 150 12 12 20 150 0

( )( ) ( )

A a M matriz cuadrada

Supongamos que Linea k LineaA a

ij nij

= ∈

= ⋅

⇒ = =

.

α β0

A k B k

La matriz B tiene dos lineas iguales por lo que BEl factor comun k puede salir fuera propiedad

= ⋅ = ⋅ =

↓ ↓

↓ =

0 0

03

,( )

7 4 8 15 6 2 2

3 1 12 0 2 5

7 4 8 12 2 3 2 1 2 1

3 1 12 0 2 5

2

7 4 8 13 1 13 1 1

2 0 2 5

2 0 052

52

52

5252

−−−− −

=

−⋅ ⋅ ⋅ − ⋅

−− −

= ⋅

−−−− −

= ⋅ =( )

Dos filas iguales1 2444 3444

A

a a a a

a a a a

a a a a

matriz cuadrada de orden n

n

i i i in

n n n nn

=

11 12 13 1

1 2 3

1 2 3

K

L L L L L

K

L L L L L

K

Ejemplo 57.-

Hallemos el determinate de la matriz (iguales columnas 2ª y 3ª)A =−

− −

2 6 65 2 21 5 5

Propiedad 5.- Si en una matriz cuadrada una línea (fila o columna) es proporcional (múltiplo)de otra paralela, su determinante es igual a cero. Es decir:

En efecto:

Ejemplo 58.-Hallemos un determinante 4×4 cuya fila 3 es la mitad de la fila 2 ( la 2ª el doble de la

3ª)

Propiedad 6.- Si en una matriz descomponemos cada uno de los elementos de una línea(Fila o columna) en suma de dos sumandos cualesquiera, entonces eldeterminante de esa matriz puede descomponerse en suma de otros dosdeterminantes, de tal modo que en uno de ellos aparece uno de los sumandos enesa línea y en el otro determinante aparece el otro sumando de esa línea. Es decir:


6 5 53 1 47 3 6

6 5 52 1 1 0 2 2

7 3 6

6 5 52 1 27 3 6

6 5 51 0 27 3 6

6 5 53 1 47 3 6

36 45 140 35 72 90 96

6 5 52 1 27 3 6

36 30 70 35 36 60

−−

− −=

−+ − + +

− −=

−−

− −+

−

− −

=−

−− −

= − − + − + = −

=−

−− −

= − − + − + =

A B C

Hallemos los A B y C

A

B

1 244 344 1 244 344 1 244 344

determinantes ,

−

=−

− −= − − − − + = −

− = = + = − −

5

6 5 51 0 27 3 6

0 15 70 0 36 30 91

96 5 91

C

Observamos que A B C

A

a a a a

b c b c b c b c

a a a a

n

i i i i i i in in

n n n nn

= + + + +

11 12 13 1

1 1 2 2 3 3

1 2 3

K

L L L L L

K

L L L L L

K

A

a a a a

b c b c b c b c

a a a a

a a a a

b b b b

a a a a

a a a a

c c c c

a a a a

n

i i i i i i in in

n n n nn

n

i i i in

n n n nn

n

i i i in

n n n nn

= + + + + = + =

11 12 13 1

1 1 2 2 3 3

1 2 3

11 12 13 1

1 2 3

1 2 3

11 12 13 1

1 2 3

1 2 3

K

L L L L L

K

L L L L L

K

K

L L L L L

K

L L L L L

K

K

L L L L L

K

L L L L L

K

Es decir A B C: = +

Supongamos que los elementos de la fila i los descomponemos en suma de dossumandos:

El determinante de A se puede obtener como suma de dos determinantes:

Ejemplo 59.-En este ejemplo vamos a comprobar con un determinante 3×3 la propiedad anterior.

OBSERVACIÓN: Nótese que la propiedad anterior permite que un determinante


A

a a aa a aa a a

a a a

sustituimos la columna j por sucombinacion lineal


a a

j h k

j h k

j h k

nj nh nk

h k h k

h k h k

h k h k

nh

= = =

=

⋅ + ⋅⋅ + ⋅⋅ + ⋅

⋅ + ⋅

L L L L

L L L L

L L L L

L L L L L L L

L L L L

L L L L

L L L L

L L L L

L L L L L L L

L

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

α βα βα β

α β nk nh nk

h h k

h h k

h h k

nh nh nk

k h k

k h k

k h k

nk nh nk

a a

desglosamos en suma de dos s

a a aa a aa a a

a a a

a a aa a aa a a

a a a

L L L

L L L L

L L L L

L L L L

L L L L L L L

L L L L

L L L L

L L L L

L L L L

L L L L L L L

L L L L

= =

=

⋅⋅⋅

⋅

+

⋅⋅⋅

⋅

=

determinante

ααα

α

βββ

β

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1 1 1

2 2 2

3 3 3 0 + =0 0

ya que los dos determinantes anteriores tienen una columna multiplo de otra

pueda descomponerse en suma de dos o más determinantes.

Propiedad 7.- Si en una matriz cuadrada, una línea (fila o columna) es combinación lineal deotras dos (o más) lineas paralelas, entonces su determinante es igual a cero.

NOTA: Aclaremos el significado de “línea combinación lineal de otras dos paralelas” Lo veremos para el caso de columnas. Para filas la idea es similar.

n Supongamos una matriz cuadrada A de cierto orden n.n Imaginemos tres columnas: columna j, columna h y columna k.n Se dice que la columna j es combinación lineal de las columnas h y k si existen

dos números reales α y β tales que cada elemento de la columna j es igual a α porsu correspondiente de la columna h más β por su correspondiente de la columnak. Es decir:

columna j columna h columna k a1j = α·a1h + β·a1k a2j = α·a2h + β·a2k a3j = α·a3h + β·a3k ············································································

anj = α·anh + β·ank¡Pues bien! Cuando esto ocurre en una matriz cuadrada, su determinante es cero.En efecto: Supongamos una matriz cuadrada A de orden n tal que la columna j escombinación lineal de las columnas h y k. Hallemos su determinante:


A notese que

A

=−

− −−

= ⋅ − ⋅ − = += ⋅ − − ⋅ − = − +

− = ⋅ − ⋅ = −

= + − + − + = − =

2 3 73 2 5

13 0 1

13 2 2 3 3 4 90 2 3 3 2 6 6

1 2 7 3 5 14 15

4 0 195 182 0 9 186 186 0

( )( ) ( )

Ejemplo 60.-Vamos a calcular el determinante de una matriz 3×3 cuya 3ª fila es el doble de la 1ª

menos el triple de la 2ª. Veamos:

Propiedad 8.- Si A es una matriz cuadrada y una línea de ella (fila o columna) lamultiplicamos por un número k y posteriormente esa nueva línea se la sumamos a otralínea paralela, el resultado será otra matriz B del mismo orden y diferente de A,únicamente, en esa línea sobre la que hemos sumado.

Pues bien, se verifica que * A * = * B * Es decir, los determinantes de ambas matrices son iguales.En efecto, vamos a verlo para una fila. Para columna sería similar.

Aa a a a

a a a aM Hemos resaltado las filas i y h

Ahora a la fila i le sumamos el producto de k por la fila h y obtenemos

Ba k a a k a a k a a k a

a a a a

i i i in

h h h hn

n n

i h i h i h in hn

h h h hn

=

∈

=+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

×

L L L L L

L

L L L L L

L

L L L L L

L L L L L

L

L L L L L

L

L L L

1 2 3

1 2 3

1 1 2 2 3 3

1 2 3

:

L L

L L L

L

L L L

L

L L L

L L L

L

L L L

L

L L L

L L L

L

L L L

L

L L L

=

=+ ⋅ + ⋅

= +⋅ ⋅

=

Vamos a ver que B A

Ba k a a k a

a a

a a

a a

k a k a

a a

i h in hn

h hn

i in

h hn

h hn

h hn

1 1

1

1

1

1

1

= *A* + 0 = *A* ya que el 2º sumando es un determinante con una fila múltiplo de otra.


A Vamos a restar a la fila el doble de la fila

B

Vamos a calcular A y B

A

B

=−

−−

=−

−− ⋅ − ⋅ − − − ⋅

=−

−−

=−

−−

= − + − − + =

=−

−−

=

3 8 72 5 54 1 3

3 2

3 8 72 5 5

4 2 2 1 2 5 3 2 5

3 8 72 5 50 11 13

3 8 72 5 54 1 3

45 14 160 140 15 48 84

3 8 72 5 50 11 13

195

:

( )

− + − − + =154 0 0 165 208 84

C Hallemos el de C

C A B

=− +

− + −− +

= −−

= −−

= + + + − + = = =

3 8 7 82 5 5 54 1 3 1

3 8 12 5 04 1 2

3 8 12 5 04 1 2

30 2 0 20 0 32 84

( ) :determinante

Ejemplo 61.-En este ejemplo comprobaremos la propiedad anterior. Para ello consideremos la matriz:

Ejemplo 62.- Consideremos la misma matriz A del ejemplo 60. Ahora vamos a realizar otra operación

sobre otra línea, distinta de la anterior. Obtendremos otra matriz C. Veremos que el determinantede C es igual que el de A y el de B:

“a la tercera columna de A le sumamos la segunda columna”

OBSERVACIÓN: Esta propiedad es muy interesante ya que si tenemos un determinante quequeremos calcular y no tiene ceros (o tiene pocos ceros), podemos operar sobreuna fila o columna y conseguir que algunos términos se conviertan en ceros, locual, como vimos, simplifica el cálculo del determinante (en los ejemplos 60 y61 vemos como se “crearon” ceros sin que el valor del determinante varíe).La siguiente propiedad se refiere a esta posibilidad, es decir, la de reducir elcálculo de un determinante de orden 4×4 o superior.


Tenemos A

a

a

a

B a

j

ij

nj

mediante transformacionesconaseguimos otra matriz

ij=

→ → → → → → =

L L

L L L

L L

L L L

L L

1 244 344

L L

L L L

L L

L L L

L L

1 0

0

Propiedad 9.-Para calcular el determinante de una matriz cuadrada, se puede calcular el deotra matriz distinta que tiene todos los elementos de una línea, excepto uno, iguales acero, pero de tal modo que ambos determinantes son iguales. Las propiedades vistaanteriormente permiten “ir haciendo ceros en una línea”.Es decir:n Tenemos una matriz cuadrada A y queremos calcular *A*. Ya sabemos como

se hace, pero hemos visto que si A no tiene “muchos” ceros en una línea, elproblema es fácil pero con un cálculo muy largo.

n Por la propiedad 8 sabemos que “operando” sobre una línea (fila o columna),podemos ir haciendo ceros en ella, es decir, obtenemos matrices distintas, perotodas tienen igual su determinante (que es lo que buscamos).

n Cuando todos los elementos de una línea, excepto uno, son ceros, el problema sesimplifica bastante al reducirse un grado el orden de determinate (pasa de n a n-1)El proceso lo continuamos hasta siguiendo el proceso hasta llegar a un últimodeterminante de orden 3, en cuyo caso aplicamos la regla de Sarrus.

n Puede ocurrir que al operar aparezca una línea en la que todos los elementos sehacen cero. En este caso, el determinante es igual a cero.

n Aclaremos que la línea (fila o columna) sobre la que actuar para hacer ceros laelegimos nosotros en función de la facilidad que presenten. Por ejemplo, si enuna línea hay dos ceros y en las demás hay uno o ninguno, esa puede ser laelección más conveniente.

Es decir:

Las matrices A y B son distintas (la matriz B tiene la columna j con todos los elementosceros excepto uno). Sin embargo, *A*=*B*

NOTAS: Antes de ver el proceso con un ejemplo, especifiquemos la terminología queemplearemos:

‚ La expresión Fi significa “fila i”. Por ejemplo: F3 significa “fila 3”‚ La expresión Cj significa “columna j”. Por ejemplo: C2 significa “columna 2"‚ Las expresiones α·Fk y α· Ck significan “mul t ip l i camos la f i la k (o

columna k) por α.‚ La expresión Fi + α·Fk significa “a la fila i le sumamos el producto de α

por la fila k” (puede ser una resta)‚ La expresión Cj + α·Ck significa “a la columna j le sumamos el producto

de α por la columna k” (puede ser resta)‚ La expresión Fi + Fk significa “a la fila i le sumamos la fila k” (puede

ser columnas y pueden ser restas)


[ ] [ ]{

[ ]{A

C CC C

C C=

− −−

− −−

=

− − −−

−− −

=

− − −

−− −

=− ⋅− ⋅

+⋅

3 2 4 51 3 2 12 3 1 4

3 5 2 6

3 11 2 51 0 0 12 9 3 4

3 4 8 6

3 11 2 21 0 0 02 9 3 2

3 4 8 92 13 1

4 132

Ejemplo 63.- En este ejemplo vamos a calcular un determinante 4×4 por el método de transformaciones

en líneas. Veamos:

Queremos calcular el determinante de . No hay ni un cero.A =

− −−

− −−

3 2 4 51 3 2 12 3 1 4

3 5 2 6Hemos decidido hacer ceros en la primera columna. Para ello las operaciones que hay que

realizar son sobre filas. Entre corchetes pondremos el elemento que vamos a hacer cero:

[ ]

}

[ ]}

[ ]}

( )

A

Desarrollando por la primera columna

A A A A A

F F F F F F

=

− −−

− −−

=

− −−

− −−

=

− −−

−

=

=

− − −−

−

= =

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = − ⋅ = −

− + ⋅ − ⋅3 2 4 51 3 2 12 3 1 4

3 5 2 6

3 2 4 51 3 2 12 3 1 4

0 7 6 11

3 2 4 51 3 2 10 9 3 20 7 6 11

0 11 2 21 3 2 10 9 3 20 7 6 11

0 1 0 0 1

4 1 3 2 1 22 3

11 21 31 41 213

21α α

( )

21

11 2 29 3 27 6 11

363 108 28 42 132 198 175

= −− − −

−=

= − − + − + − + =

OBSERVACIONES:k Recordamos que para hacer ceros en una columna, las operaciones son sobre filask Cuando se tiene experiencia y habilidad, es posible realizar dos operaciones

(hacer dos ceros) simultáneamente (esto ahorra escritura).k Los “1" y “-1" también facilitan mucho el proceso.

Ejemplo 64.- Ahora vamos a calcular el determinante de la misma matriz A del ejemplo anterior, pero

haciendo ceros en la segunda fila. En este caso habrá que operar con columnas. Veamos:


( )

( )

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = − ⋅ = −− − −

− −=

= − − + + − − + = − − =

1 0 0 0 111 2 29 3 24 8 9

297 144 16 24 176 162 175 175

21 22 23 24 213

21A A A A A α

( )

[ ] }

[ ]}

[ ][ ]

}

( )

A

Desarrollamos por la tercera columna

A

F F FF FF F

=

−−

− −−

=

−−− −

−

= ⋅

−−− −

−

=

= ⋅

−−

−− −

= =

⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅

+ ⋅ ⋅− ⋅− ⋅

3 4 2 54 3 4 32 7 3 4

5 2 5 9

3 4 2 52 11 0 132 7 3 4

5 2 5 9

2

2 12 11 0 132 7 3 4

5 2 5 9

2

2 12 11 0 13

1 012 0

2 1 2 1

2 1 112

3 14 12

32

52 3

5

32

52

52

232

252

72

134

13α ( )= ⋅−

−− −

= ⋅ − − − + + =

⋅−

= −

22 11 13

112

2 7 390 276

235092

3509

52

232

252

72

63254

3252

3854

Desarrollando por la segunda fila:

Vemos como el resultado obtenido es independiente de la línea y el camino elegido.Ahora vamos a calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden 4 en el que no

hay ni “0" ni “1" ni “-1". En este caso es conveniente “convertir” algún número en “1", perorecordemos la propiedad de que si multiplicamos una línea de una matriz por un número k,entonces el determinante de la nueva matriz es el de la anterior por k. Esto significa que simultiplicamos en el determinante una línea por k, debemos poner fuera 1/k para mantener laigualdad. Veamos:

Ejemplo 65.-Hallemos el siguiente determinante *A* de orden 4. Nótese que no hay ni “1" ni “0".

Destaquemos de este ejemplo que hemos ido poniendo entre corchetes aquellos númerossobre los que tenemos intención de actuar, es decir, convertir en 0 o en 1. También insistimosen que al multiplicar la fila 1 por ½ hemos multiplicado el determinante por 2 para que laigualdad se mantenga ya que al multiplicar esa fila por ½ el determinante queda dividido por 2.

26. Sobre el signo de los adjuntos. Regla nemotécnica.-Hemos visto que para hallar un determinante de orden 4 o superior desarrollamos por una

línea utilizando los adjuntos Aij que a su vez es igual al menos complementario αij con el signo% o & delante. Una regla nemotécnica sencilla para recordar el signo que debe ir delante es


+ − + −− + − ++ − + −− + − +

L

L

L

L

L L L L L

A

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

A

A A A AA A A AA A A A

A A A A

n

n

n

n n n nn

n

n

n

n n n nn

− =

= ⋅

1

11 21 31 1

12 22 32 2

13 23 33 3

1 2 3

11 21 31 1

12 22 32 2

13 23 33 3

1 2 3

1

L

L

L

L L L L L

L

L

L

L

L L L L L

L

recordar el siguiente “determinante” construido con los signos % o & que lleva delante el menorcomplementario que ocupa la posición que ocupa el signo en ese lugar:

De este modo sabemos, por ejemplo que A42 = α42 y A43 = &α43 etc.

OBSERVACIÓN: Todo lo expuesto para el cálculo del determinante de una matriz cuadradade orden 4 es válido para órdenes 5, 6, 7, .... El no realizar un ejemplopara calcular el determinante de una matriz cuadrada 5×5 se debe a queel proceso es excesivamente largo. Es recomendable que el alumno haga“al menos” un determinante 5×5 para comprobarlo.

27. Cálculo de la inversa de una matriz cuadrada.-Hemos visto el concepto de matriz inversa de una matriz cuadrada (las matrices no

cuadradas no tienen inversa e, incluso, hay matrices cuadradas que tampoco tienen). En esteapartado veremos dos métodos para calcular la inversa de una matriz en el caso en que existadicha inversa.

Cálculo de la inversa por el método de los adjuntos:Diremos paso a paso como se halla la inversa de una matriz por este método y

posteriormente haremos un ejemplo.@ Supongamos una matriz cuadrada A de orden n. Queremos hallar su inversa A&1

@ Recordemos que se debe cumplir que A·A&1 = A&1·A = I@ Hallamos el determinante de A, es decir, *A*@ Si *A*…0 la matriz tiene A inversa.

Si *A*= 0 la matriz A no tiene inversa. En este caso se acabó el problema.@ Hallamos todos los adjuntos de la matriz A, es decir:

A11 , A12 , A13 , ..... , A1n , A21 , A22 , ......, A2n , ...... , An1 , An2 , .... , Ann@ ¡Pues bien!, la matriz inversa de A se construye de la siguiente forma:


A A

A A

A

11 12

13 14

21

3 2 13 1 45 2 6

18 6 40 5 24 36 111 2 12 1 43 2 6

6 4 24 3 8 24 43

1 3 12 3 4

3 5 618 10 36 9 20 36 89

1 3 22 3 13 5 2

6 20 9 18 5 12 60

2 4 53 1 45 2 6

12

=−

−−

= − + + − + − = = −−

− −−

= − − − + − + + = −

=−

− = + + + − + = = − − −−

= − − − − − + − =

= −− −

−−

= − +

; ( )

; ( )

( 30 80 25 16 72 93 4 52 1 43 2 6

18 20 48 15 24 48 67

3 2 52 3 43 5 6

54 50 24 45 60 24 413 2 42 3 1

3 5 218 40 6 36 15 8 65

2 4 53 2 15 2 6

24 30 20 50 4 72 323 4

22

23 24

31 32

+ − − − = − =−

− −−

= − − + − + + =

= −− −

− = − + − + − − = − =−

− −−

= − − + − + + = −

=− −

−−

= − + − + + − = − = −

) ;

( ) ;

;

A

A A

A A−−

−= − + − + − − = −

=− −

− = − + + + + = = −−

−= − − + − − − − =

= −− −

−−

= =−−

− −= − = −

− −−

−= −

51 2 13 2 6

36 10 12 30 6 24 34

3 2 51 3 13 5 6

54 25 6 45 15 12 1073 2 41 3 23 5 2

18 20 12 36 30 4 80

2 4 53 2 13 1 4

133 4 51 2 12 1 4

23 2 51 3 12 3 4

4

33 34

41 42 43

( )

; ( )

; ;

A A

A A A ; A44

3 2 41 3 22 3 1

15=−

− −=

A−

− −

− − −

− −

−

=

= ⋅

− −− − −

− −−

1

11175

9175

32175

13175

43175

67175

34175

2175

89175

41175

107175

4175

60175

65175

80175

15175

1175

11 9 32 1343 67 34 2

89 41 107 460 65 80 15

Nótese que la matriz construida con los adjuntos está escrita “al revés”, es decir, en cadacolumna j están puestos los adjuntos de los elementos de la fila j de la matriz A. Por ejemplo,en la columna 3 de A&1 aparecen los adjuntos de la fila 3 de A. Obsérvese también que en todoslos elementos de la matriz A&1 hay un factor común que puede salir fuera (recuérdese “productode un número real por una matriz”).

Ejemplo 66.-

Consideremos la matriz del ejemplo 62, es decir, A =

− −−

− −−

3 2 4 51 3 2 12 3 1 4

3 5 2 6Vimos que * A *= 175. Ahora, para construir la matriz inversa de A necesitamos hallar

todos los adjuntos de los elementos de A. Veamos:

La matriz inversa queda:


A es la inversa de A A A I

Hallemos el producto A A

A A

− −

−

−

− −

− − −

− −

−

− −

⇔ ⋅ =

⋅

⋅ =

− −−

− −−

⋅

=

=

+ + − − − + +

1 1

1

1

11175

9175

32175

29175

43175

67175

34175

2175

89175

41175

107175

4175

60175

65175

80175

15175

33175

86175

356175

300175

27175

134175

164175

325175

96175

3 2 4 51 3 2 12 3 1 4

3 5 2 668

175428175

400175

87175

4175

16175

75175

11175

129175

178175

60175

9175

201175

82175

65175

32175

102175

214175

80175

29175

6175

8175

15175

22175

129175

89175

240175

18175

201175

41175

260175

64175

102175

107175

320175

58175

6175

4175

60175

33175

215175

178175

360175

27175

335175

82175

390175

96175

170175

+ − + − −− + − + − + − + − − − −− − + + + − − − + − + +− − + + + − − −

− −

− −

− − 214175

48175

87175

10175

8175

90175

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

+ − + +

=

=

= ⇒I Comprobacion O K. .

A

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

A

A A AA A AA A A

A A AA A AA A A

Hallemos los adjuntos de la matriz A

A A A

− =

= ⋅

= ⋅

=−− −

= = −−

= =−

1

11 21 31

12 22 32

13 23 33

11 21 31

12 22 32

13 23 33

11 21 31

12 22 32

13 23 33

11 12 13

1 1102

1 05 3

33 05 3

93

:

; ;1

5 510

4 65 3 42

2 65 3 24

2 45 5 30

4 61 0

62 63 0

182 43 1

14

21 22 23

31 32 33

−= −

= −−

− −= =

−−

= = −−

=

=−

−= − = −

−= − =

−= −

A A A

A A A

; ;

; ;

Ejemplo 67.-Comprobemos que la matriz hallada en el ejemplo anterior e la inversa de A.

Ejemplo 68.-

Sea la matriz del ejemplo 44 : . Vimos en ese ejemplo que *A*=102A =−

−− −

2 4 63 1 05 5 3

Hallemos su matriz inversa:


A A− ⋅ = ⋅−

−− −

⋅−

−− −

=

= ⋅+ − − + − + ++ − − + − + +

− + − − − + + +

= ⋅

=

=

1

102102

0102

0

1102

3 42 69 24 1810 30 14

2 4 63 1 05 5 3

1102

6 126 30 12 42 30 18 0 1818 72 90 36 24 90 54 0 5420 90 70 40 30 70 60 0 42

1102

102 0 00 102 00 0 102

1020

102102102

0102

0102

0102

102102

1 0 00 1 00 0 1

=

= ⇒I Comprobacion O K. .

B No existe B=−

− −−

= − − + + − = ⇒ −2 5 3

2 3 14 2 2

12 12 20 36 4 20 0 1

Construyamos la matriz inversa:

A matriz inversa de A−

−

−

− −

=

= ⋅−−

− −

1

3102

42102

6102

9102

24102

18102

10102

30102

14102

1102

3 42 69 24 1810 30 14

Ejemplo 69.-Comprobemos que la matriz A&1 del ejemplo anterior es la inversa de A :

Ejemplo 70.-

Hallemos la matriz inversa de B =−

− −−

2 5 32 3 14 2 2

Previamente debemos hallar su determinante:

Es decir, ò B&1 0M3 * B·B&1 = I

Ejemplo 71.-

La matriz no tiene inversa ya que C =−−

2 23 2 6

C =−−

= − + =2 2

3 2 66 2 6 2 0

NOTA: La inversa de una matriz es ella misma, es decir, In I In− =1


a a aa a a

a a a

n

n

n n n

11 12 1

21 22 2

1 2 2

1 0 00 1 0

0 0 1

L

L

L L L L

L

L

L

L L L L

L

a a aa a a

a a a

n

n

n n n

Transformaciones sobre A e I

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

AA

n

n

n n nn

11 12 1

21 22 2

1 2 2

1 0 00 1 0

0 0 1

1 0 00 1 0

0 0 1

11 21 1

12 22 2

1 2

L

L

L L L L

L

L

L

L L L L

L

6 7444 8444

L

L

L L L L

L

L

L

L L L L

L

→ → → → → → → →

( ) ( )Inicio A I I A Final del procesoTransformaciones sobre A y sobre I

= → → → → → → → → → → =−6 74444 84444

1 .

} } }

}

3 52 4

1 00 1

12 4

00 1

10

01

10 1

0 1 00 1

1 2 1 23

22

153 2

53

13

2 53

223

13

23

53

13

222

322

422

522

222

322

−

→

−

→

−−

→

−−

→

−

⋅ − ⋅ ⋅

+ ⋅

F 13 F F F

F F

Cálculo de la inversa por el método de transformaciones sobre líneas:Este es otro método para calcular la inversa de una matriz cuadrada. Explicaremos

únicamente el procedimiento, sin entrar en detalles. Se basa en las propiedades de las matricesy determinantes vistas anteriormente. Veamos:” Sea una matriz cuadrada, de orden n, A cuya matriz inversa A&1 queremos encontrar.

” Situamos la matriz A y la matriz In juntas y de la siguiente forma: , es decir:( )A I

” En la matriz A vamos realizando operaciones sobre sus líneas (filas y/o columnas), hastaconseguir que A “se convierta” en In. Todas las operaciones que realicemos sobre A (lamatriz de la izquierda), las realizamos idénticamente sobre In (la matriz de la derecha).

” Cuando hallamos conseguido que A “se convierta” en In, la matriz de la derecha In sehabrá convertido en otra matriz. ¡Pues bien!, precisamente esa matriz es A&1 .

” Resumiendo:

Más claro:

” Si observamos que no es posible llegar a la matriz In, por ejemplo porque aparece unalínea en que todos son “ceros” (nótese que en cada línea hay un 1 en la diagonalprincipal y el resto son 0), la causa es que la matriz A no tiene inversa.

Veamos un ejemplo:

Ejemplo 72.-

Hallemos la matriz inversa de por el método de transformaciones.....A =−

3 52 4


A Notese que A−− −

=

=

=

−= + =1

422

522

222

322

211

522

111

322

3 52 4

12 10 22

} }

}

2 4 63 1 05 5 3

1 0 00 1 00 0 1

8 14 03 1 05 5 3

1 0 20 1 00 0 1

34 0 03 1 05 5 3

1 14 20 1 00 0 1

1 0 03 1 05 5 3

0 1 00 0 1

1 3 1 2

11

34

2 14

134

1434

234

−−− −

→−

−− −

−

→

−− −

−

→ −− −

− ⋅ + ⋅

⋅ −

F F F F

F }

}

}

→

−− −

→ −−

→

− ⋅− ⋅

−

− −

− −

− ⋅−

− −

−

⋅ −⋅ −

−

−

−

F FF F

F F

FF

2 13 1

3 2

2

31

3

35

134

1434

234

334

834

634

534

7034

4434

51

341434

234

334

834

634

1034

3034

1434

1 134

1434

234

334

834

634

10

1 0 00 1 00 5 3

1 0 00 1 00 0 3

1 0 00 1 00 0 1

( )

10230

10214

102−

La matriz inversa es

Ejemplo 73.-Comprobemos que la matiz hallada en ele ejemplo anterior es la inversa de A:

A A⋅ =−

⋅

−

⋅ =

+ −− +

⋅ =

=

−1

2222

022

022

2222

3 52 4

4 52 3

122

12 10 15 158 8 10 12

122

1 00 1

Ejemplo 74.-Hallar por transformaciones de líneas la inversa de la matriz del ejemplo 67 :

Por tanto, la matriz inversa es:

ver el ejemplo 67A−

−

−

− −

=

= ⋅−−

− −

1

134

1434

234

334

834

634

10102

30102

14102

1102

3 42 69 24 1810 30 14


3 2 4 51 3 2 12 3 1 43 5 2 6

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

3 2 4 51 3 2 10 9 3 20 4 8 9

1 0 0 00 1 0 00 2 1 00 3 0 1

3 2 4 53 9 6 30 9 3 20 4 8 9

1 0 0 00 3 0

3 24 2

2

23

3

− −−

− −−

→

− −−

− − −

→

− −−

− −

+ ⋅− ⋅

⋅

F FF F

F

00 2 1 00 3 0 1

3 2 4 50 11 2 20 9 3 20 4 8 9

1 0 0 01 3 0 0

0 2 1 00 3 0 1

3 2 4 50 99 18 180 99 33 220 4 8 9

1 0 0 09 27 0 0

0 22 11 00 3 0 1

3

2 1

23

3 2

911

−

→

− −

− −

−

−

→

− −

− −

−

−

→

−⋅⋅

−

F FFF

F F

− −

− −

−−−

→

− −

− −

−−−

→

− −

−

−

⋅

+

2 4 50 99 18 180 0 15 40 4 8 9

1 0 0 09 27 0 0

9 5 11 00 3 0 1

3 2 4 50 10 0 15 40 4 8 9

1 0 0 00 0

9 5 11 00 3 0 1

3 2 4 50 10 0 15 40 0

1 0 0 0

21

99

4 2

211

211

111

311 4

211

211

8011

10711

F

F F111

311

411

2111

11

211

211415

111

311

35

13

1115

80211

2114153853

111

311

35

0 09 5 11 0

0 1

3 2 4 50 10 0 10 0 80 107

1 0 0 00 0

04 21 0 11

3 2 4 50 10 0 10 0 0

1 0 0 00 0

21

153

4 3

−− −

→

− −

−

−−

− −

→

− −−

−

⋅⋅

+ ⋅

FF

F F13

1115

1433

17635

211

211415

111

311

35

13

1115

1235

1335

1635

335

5

211

197

137

167

37

59

044 11

3 2 4 50 10 0 10 0 0 1

1 0 0 00 0

0

3 2 4 00 1 00 0 1 00 0 0 1

43

385

1 42

211 4

3415 4

−

→

− −−

−−

→

− −−

⋅

+ ⋅− ⋅− ⋅

F

F FF FF F 385

131385

32385

6385

89175

41175

107175

4175

1235

1335

1635

335

197

137

167

37

43175

67175

34175

2175

89175

41175

107175

4175

1235

1335

1635

335

2

389

2211 3

1 2

3 2 4 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

3 0 4 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

− −− −−

→

− −− − −

− −−

→− ⋅+ ⋅

F FF F

175191175

332175

71175

43175

67175

34175

2175

89175

41175

107175

4175

1235

1335

1635

335

4

33175

27175

96175

87175

43175

67175

34175

2175

89175

41175

107175

4175

1235

1335

1635

335

1 3

113

3 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

1 0 0 00 1 0 00 0

−− − −

− −−

→

− −− − −

− −−

→− ⋅⋅

F FF

1 00 0 0 1

11175

9175

32175

29175

43175

67175

34175

2175

89175

41175

107175

4175

1235

1335

1635

335

− −− − −

− −−

Ejemplo 75.-Hallemos, por el método de transformaciones de líneas, la inversa de la matriz del

ejemplo 65 (su determinante se halló en el ejemplo 62).

Ya tenemos la matriz inversa de A. Ahora vamos a expresarla de distintas formas. En elejemplo 65 tenemos dicha matriz.


A− =

− −− − −

− −−

=

− −− − −

− −−

= ⋅

− −− − −

− −−

1

11175

9175

32175

29175

43175

67175

34175

2175

89175

41175

107175

4175

1235

1335

1635

335

11175

9175

32175

29175

43175

67175

34175

2175

89175

41175

107175

4175

60175

65175

80175

15175

1175

11 9 32 2943 67 34 2

89 41 107 460 65 80 15

A B y C son matrices conocidasBuscamos una matriz X que verifique la igualdad A X B CLa forma de hallar X que C B y A esA X C B llamemos C B DA X D Hallamos AA A X A DI X A D Como I X XX A D Observa que A debe ser cuadrada para que exista A

, .:

, :⋅ + =

−⋅ = − − =⋅ =

⋅ ⋅ = ⋅⋅ = ⋅ ⋅ == ⋅

−

−

− −

−

− −

suponiendo existan1

1

1 1

1

1 1

A MC B D M

X M segun el producto de matrices

C B D

X A D Tenemos que hallar AFF F F

∈− = ∈

⇒ ∈

− = −

−

=

+−

=

−

=

= ⋅

−

→

−

→

−

×

××

− −

⋅⋅ −

2 2

2 12 1

1 1

52

35

47

3 45 7

72

2 35 4

1 00 1

10 1510 8

5 00 2

10 150 23

5 012 2 1

( )

−

→−

−

→

−

→

−

⋅ + ⋅ ⋅

5 2

10 150 1

5 0 10 00 1

1 00 12

123 1 2 1

1105

23223

15

4023

3023

523

223

423

323

523

223

F F F F

28. Ecuaciones de matrices.-

Las operaciones que hemos visto con matrices y el cálculo de la matriz inversa, nospermite resolver algunas ecuaciones en las que la incógnita, coeficientes y términosindependientes son matrices. Es decir:

Ejemplo 76.-

Dadas las matrices , hallar la matriz X sabiendo queA B y C=−

=

−

=

2 35 4

47

35

,

A X B C⋅ + =Veamos:


X A D Ecuacion resuelta= ⋅ =

⋅

−

=

−−

=

−

− − −1

423

323

523

223

2823

623

3523

423

222339

23

72

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

A MX A C B D M

X a b M

X A C B X A D X A A D A X I D APor X D A Como la matriz A es la misma del ejemplo anteriorD C B

X

∈⋅ = + = ∈

⇒ = ∈

⋅ = + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅= ⋅

= + = − + − = − −

= − − ⋅

= − + − − = −

×

××

− − −

−

−

2 2

1 21 2

1 1 1

1

423

323

523

223

823

1023

623

423

223

1023

3 8 5 6 2 2

2 2

tanto :

solucion

( ) ( ) ( ) ( ) {A B A B A B B A A B B A A I A A A II A

⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =− − − − − − −1 1 1 1 1 1 1123

Tenemos ya la matriz inversa de A: . Por tanto:A−−

=

1

423

323

523

223

Ejemplo 77.-

Dadas las matrices , hallar otra( ) ( )A B y C=−

= − = −

2 35 4

5 6 3 8;

matriz X tal que: X A B C⋅ − =Veamos:

29. Propiedades de la matriz inversa.-

Hemos visto el concepto de matriz inversa de otra matriz, qué matrices no tienen inversay cuales tienen inversa. También hemos visto dos métodos para hallar la inversa de una matriz.Ahora veremos las propiedades que tiene una matriz y su inversa.

1ª) Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden. El producto A·B es otra matrizcuadrada del mismo orden. Pues bien, si A&1 y B&1 existen, entonces:

En efecto:

2ª) La matriz inversa de una matriz, si existe, es única.

( A·B )&1 = B&1 · A&1


A

BDos matrices cuadradas deorden

Hallemos la inversa de A

Por to A

F F F F F

=−

=−

−

→

−−

→

−−

→

−

− ⋅ ⋅ + ⋅

−

1 34 5

3 23 3

2

1 34 5

1 00 1

1 30 17

1 04 1

1 30 1

1 0 1 00 1

2 1 21

17 1 244

171

17

35

173

174

171

17

.

:

tan 15

173

174

171

17

15

15

235

25

15

15

15

215

15

15

1

3 23 3

1 00 1

3 20 5

1 01 1

3 20 1

1 0 3 00 1

1 00 1

2 1 215 1 2

11

3

=

−

→

−

→

−

→

−

→

⇒ =

−

+ ⋅ − ⋅−

⋅−

−−

Hallemos la inversa de B

B

F F F F F

F

:

−

15

215

15

15

A B⋅ =−

⋅

−

=

− − −− + +

=

− −

1 34 5

3 23 3

3 9 2 912 15 8 15

12 73 23

− −

→

− −

→

− −

+ ⋅ ⋅12 73 23

1 00 1

12 70

1 01

12 70 1

1 02

14 1 2

485

854

14

185

485

F F F

En efecto, vamos a suponer que la matriz A tiene dos inversas X e Y. Demostraremos quenecesariamente debe ser X = Y.

X inversa de A Y A·X=X·A = IY inversa de A Y A·Y=Y·A = I

X = X·I = X·( A·Y ) = ( X·A )·Y = I·Y = Y Y X = Y c.q.d.

3ª) La inversa de la inversa de una matriz es esta matriz. Es decir:

4ª) La inversa de la traspuesta de una matriz es igual a la traspuesta de la inversa. Es decir:

Ejemplo 78.- En este ejemplo vamos a comprobar la primera propiedad de las matrices inversas.

Hallemos el producto A·B:

Ahora hallemos la inversa de A·B, es decir, (A·B)&1

(A&1 )&1 = A

(At )&1 = (A&1 )t


( )F F F A B1 2 11

1279285

2885

185

485

23255

7255

185

485

123255

7255

185

485

12 00 1

1 00 1

+ ⋅ ⋅ − → −

→

− −

⇒ ⋅ =

− −

−

( )

A A

A

t

F F F F F

t

=−

⇒ =

−

−

→

→

→

⇒ =

+ ⋅ ⋅ − ⋅

−−

−

1 34 5

1 43 5

1 43 5

1 00 1

1 40 17

1 03 1

1 40 1

1 0

1 00 1

2 1 21

17 1 23 317

117

4

517

417

317

117

15

174

173

171

17

( )

( ) ( )

A

Observamos que A A

tt

t t

−− −

−

−

− −−

−

=

=

= =

15

173

174

171

17

517

417

317

117

1 15

174

173

171

17

Ahora hallemos el producto B&1 · A&1 :

B A− −−

−

− −

⋅ =

⋅

=

− +− +

=

− −

1 1

15

215

15

15

517

317

417

117

117

8255

385

2255

117

485

385

185

23255

7255

185

485

Observamos que (A·B)&1 = B&1·A&1

Ejemplo 79.- Este ejemplo es para comprobar la propiedad 4 de la inversa de una matriz.Consideremos la matriz A del ejemplo anterior. En ese ejemplo hallamos su inversa.Ahora vamos a hallar la traspuesta At y la inversa de la traspuesta (At)&1

Hallemos ahora la traspuesta de la inversa, es decir, (A&1)t

30. Menor de una matriz.-

E Sea A una matriz de orden m×n, es decir, A0Mm×nE Si en la matriz A eliminamos algunas filas y/o algunas columnas, nos queda una matriz

B de orden k×t, es decir, B0Mk×t (evidentemente k#m y t#n). La matriz B se dice quees una submatriz de A.

E Si B fuese una matriz cuadrada de orden h (evidentemente h # minimo{m,n}), a sudeterminante *B* se le llama menor de orden h de la matriz A. Es evidente que en unamatriz de orden m×n puede haber más de un menor de orden h.

E Si el menor está formado por las h primeras filas y las h primeras columnas de A, se dice


Submatriz de A S M= =−

∈ ×

1 3 62 5 8 2 3

2 3 53 5 4

10 9 7186 1 4 6

1 2 52 3 43 10 7

265 3 4 6

1 2 32 3 53 10 9

170 33

− − −−

=

− − =

= − −−

=

hemos e inado las columnas y

hemos las columnas y

M Este es el menor principal de orden

lim , .

,eliminado

M Este es el menor primcipal de orden

hemos la fila y las columnas y

hemos la fila y las columnas y

hemos l a fila y las columnas y

2

1 22 3

10 2

1 32 5

11 3 2 4 5 6

5 49 7

71 1 1 2 4 6

1 23 10

4 2 3 4 5 6

=−

= −

−= −

− −−

= −

=

suprimido

suprimido

suprimido

, ,

, ,

, ,

que es el menor principal de orden h de A.

Ejemplo 80.-

Sea la matriz A M= − − −− −

∈ ×

1 2 3 4 5 62 3 5 4 4 83 10 9 6 7 5

3 6

Si eliminamos la fila 3 y las columnas 2, 4 y 5 tenemos una submatriz de A:

Veamos algunos menores de la matriz A, de orden 3 (sólo podemos eliminar columnas):

Algunos menores de orden 2 :

El menor principal de orden 1 es M1 1 1= =Otros menores de orden 1 son: 2 2 5 5= − = −; .etcNo confundir con el valor absoluto.


fila h fila kofila h fila k fila sofila h fila k fila s fila tetcsiendo numeros reales

= ⋅

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ +

α

α β

α β γ

α β γ.

, , , ....

Aa a a a

a a a a¿Es la fila h multiplo de la fila k

k k k kn

h h h hn

=

L L L L L

L

L L L L L

L

L L L L L

1 2 3

1 2 3

?

a aa a

a aa a

a aa a

a aa a

k k

h h

k k

h h

k k

h h

k kn

h hn

1 2

1 2

1 3

1 3

1 4

1 4

1

1

; ; ; ;⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

A

a a a a

a a a a

a a a a

¿Es la filah combinacion lineal de lask y s

k k k kn

s s s sn

h h h hn

=

L L L L L

L

L L L L L

L

L L L L L

L

L L L L L

1 2 3

1 2 3

1 2 3

?

31. Propiedad de los menores de una matriz.-

El valor de los menores de una matriz nos da información sobre si una línea (fila ocolumna) es combinación lineal de otra u otras líneas paralelas a ella. Es decir, podemos sabersi, por ejemplo:

Veamos como se obtiene esa información (lo haremos para filas, para columnas essimilar):Î Supongamos una matriz A de orden m×n y dos filas de ella, la fila k y la fila h. Queremos

saber si una de esas filas es combinación lineal de la otra (una es múltiplo de la otra).

Ï Supongamos que uno o los dos elementos ak1 y ah1 son distintos de cero (basta con quelo sea uno solo). Consideremos todos los menores de orden 2 que pueden construirse conesas dos filas manteniendo fija la primera columna con esos dos elementos:

Si todos estos menores son iguales a cero, entonces la fila h es múltiplo de la fila k (y lafila k es múltiplo de la fila h). Se dice que ambas filas son linealmente dependientes.Si alguno de esos menores es distinto de cero, entonces ninguna de esas dos filas esmúltiplo de la otra. Se dice que las filas k y h son linealmente independientes

Ð Imaginemos ahora tres filas de A, es decir, fila h, fila k y fila s. Queremos saber si, porejemplo, la fila h es combinación lineal de las filas k y s.



y Ma aa a

a a a ak k k kn

s s s sn

h h h hn

k k

s sk s k s

1 2 3

1 2 3

1 2 3

21 2

1 21 2 2 1

L

L

L

= = ⋅ − ⋅

a a aa a aa a a

a a aa a aa a a

a a aa a aa a a

a a aa a aa a a

k k k

s s s

h h h

k k k

s s s

h h h

k k k

s s s

h h h

k k kn

s s sn

h h hn

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 4

1 2 4

1 2 4

1 2 5

1 2 5

1 2 5

1 2

1 2

1 2

; ; ; ;⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

3 19 3

9 9 03 29 6

18 18 03 69 18

54 54 0

3 59 15

45 45 03 09 0

0 0 0

−−

= − =− −

= − + =− −

= − + =

− −= − + =

−= + =

; ;

;

Ñ Consideremos la matriz formada por esas tres filas y de ella el menor principal de orden2, es decir:

Ò Manteniendo fijo ese menor, construimos todos los menores de orden 3 aumentando unafila y una columna del siguiente modo:

Si M2 … 0 y todos estos menores de orden 3 son iguales a cero, entonces podemosasegurar que la fila h es combinación lineal de las filas k y s.Si M2 … 0 y alguno estos menores de orden de orden 3 es distinto de cero, entoncespodemos asegurar que la fila h no es combinación lineal de las otras dos, es decir, lastres filas son linealmente independientes.

ç Lo visto anteriormente es extensible a cuatro, cinco, ... filas o columnas.

Ejemplo 81.-

Sea la matriz . Contestemos a las preguntas:A =

−− − −− − − −− − −

− − −

3 1 2 6 5 02 1 4 4 5 29 3 6 18 15 01 1 10 2 15 4

5 2 2 10 0 2¿Es la fila 3 múltiplo de la fila 1? Veamos:Consideremos y calculemos todos los menores de orden 2 formados con las filas 1 y 3,manteniendo fijo elemento a11:

Observamos que todos esos menores son cero. Por tanto:La fila 3 es múltiplo (combinación lineal) de la fila 1

NOTA: A simple vista se observa que (fila 3)=&3·(fila 1)


M

Esto nos indica que las filas y son linealmente independientes

2

3 12 1

3 2 1 0

1 2

=−

−= − = ≠

3 1 22 1 41 1 10

30 4 4 2 12 20 03 1 62 1 41 1 2

6 12 4 6 12 4 0

3 1 52 1 51 1 15

45 10 5 5 15 30 03 1 02 1 21 1 4

12 0 2 0 6 8 0

−−−

= − + + − − =−

− −− −

= − − − + + + =

−−−

= − + + − − =−

− −− −

= − + − − + + =

;

;

3 1 22 1 4

5 2 26 8 20 10 24 4 0

3 1 62 1 4

5 2 1030 24 20 30 24 20 0

3 1 52 1 5

5 2 00 20 25 25 30 0 0

3 1 02 1 2

5 2 26 0 10 0 12 4 4 0

−−

− −= − + − − + + =

−− −

−= + + − − − =

−−

−= + − − + − =

−− −

− −= − + + − − + = − ≠

;

;

¿Es la fila 4 combinación lineal de las filas 1 y 2? Veamos:Consideremos y calculemos el menor principal de orden 2 :

Ahora, manteniendo los elementos de M2 construimos y calculamos los menores deorden 3 que pueden formarse con la fila 4:

Como todos los menores son iguales a cero, podemos asegurar que:La fila 4 es combinación lineal de las filas 1 y 2.

NOTA: Puede observarse que (fila 4) = (fila 1) + 2·(fila 2) En este caso también podemos decir que la fila 2 es combinación lineal de las filas 1y 4 ya que: (fila 2) = ½ ·(fila 4) & ½ · (fila 1).

¿Es la fila 5 combinación lineal de las filas 1 y 2? Veamos:Actuamos como antes:

Observamos que hay un menor (el último) distinto de cero. Por tanto:La fila 5 no es combinación lineal de las filas 1 y 2

32. Rango de una matriz.-

Sea A una matriz de orden m×n. Se llama rango de la matriz A al número natural h tal que:L Existe algún menor de A, de orden h, que sea distinto de cero.L Todos los menores de A, de orden superior a h, no existen o son iguales a cero.


rango A hM M menor de A de orden hT menor de orden h es T oT noexiste

= ∈ ⇔∃ ≠∀ = > =

N0

0( , ).

, ( )

rang A h= ≤3

1 3 1 2 3≤ ≤ =rang A es decir rang A o, , ,

M rang o2

5 21 1

5 2 3 0 2 3=−

−= − = ≠ ⇒ =

M3

5 2 11 1 37 4 7

35 4 42 7 60 14 81 81 0

5 2 01 1 57 4 10

50 0 70 0 100 20 0

5 2 21 1 27 4 0

0 8 28 14 40 0 18 0

=−

− −− −

= − − − + + + = − + =

−−−

= + + − − − =

− −−−

= + + − − − = − ≠

rang A=3

Es decir:

Escribiremos rang A = h

Ejemplo 82.-

Sea la matriz .Queremos hallar su rango.A =− −

− −− −

5 2 1 0 21 1 3 5 27 4 7 10 0

Veamos:S La matriz A es de orden 3×5. Esto nos indica que el mayor orden posible para los

menores de A es 3, es decir, no hay menores de A de orden superior a 3. Por tanto:

S Observamos que hay menores de orden 1 que son distintos de cero. Por ejemplo,el menor principal de orden 1 es M1=*5*=5…0.Por tanto:

S Veamos si hay algún menor de orden 2 que sea distinto de cero:

Como hay un menor de orden 2 (en este caso el principal) que es distinto de cero,podemos asegurar que el rango es, al menos, 2.

S Veamos si hay algún menor de orden 3 que sea distinto de cero. Si lo hubiese, elrango sería 3.

Hemos encontrado un menor de orden 3 que es distinto de cero. Por tanto:


rang rang rang rang00

022

31

02

00

132 1

5

= −

=−

= −

=; ; ;π

rangC o=1 232

323

2 46 6 0

31 2

3 3 6 0− −

= − + =−

= − − = − ≠;

Ejemplo 83.-Dadas las matrices , es( ) ( ) ( )A B y O= − = − =2 0 9 0 0 0 1 0 0 0;

evidente que:rang A = 1 ; rang B = 1 y rang O = 0

Ejemplo 84.-Es evidente que:

Ejemplo 85.-

Hallemos el rango de la matriz . Observamos que C0M3×2.C = − −−

32 32 4

1 2. No puede ser cero al haber algún menor de orden 1 que no es cero.

Por tanto: rang C = 2

33. Propiedades del rango de una matriz.-

Veamos algunas propiedades del rango de una matriz que nos permitirán hacer más fácilsu cálculo.Î Si en una matriz A intercambiamos dos filas o dos columnas, obtenemos otra matriz

distinta B. Pues bien:

Ï Si una matriz A tiene una línea (fila o columna) cuyos términos son todos ceros yeliminamos esa línea, obtenemos otra matriz B. Pues bien:

Ð Si una matriz A tiene una línea (fila o columna) que es combinación lineal de otra u otras

rang A = rang B

rang A = rang B


rang rang rang7 3 4 1 50 2 3 1 96 5 2 7 4

7 3 4 1 56 5 2 7 40 2 3 1 9

7 3 5 1 46 5 4 7 20 2 9 1 3

− − −−

−

=− − −

−−

=− − −

−−

rang rang a simple vista6 9 7 50 0 0 0

1 3

6 9 7 51 3

223

75

23

75

−

−

=−−

= ( )

rang A rang B se aprecia mentalmente= =2 ( )

rang A rang A se calcula mentalmentet= =2 ( )

y eliminamos esa línea, obtenemos otra matriz B. Pues bien:

Ñ El rango de una matriz A es igual al rango de su traspuesta. Es decir:

Ejemplo 86.-

La segunda matriz se obtiene intercambiando las filas 2ª y 3ª en la primera matriz.La tercera matriz se obtiene intercambiando las columnas 3ª y 5ª en la segunda matriz.

Ejemplo 87.-

Ejemplo 88.-

Sea la matriz . Obsérvese que la fila 3 es combinación lineal deA =−

− −−

5 3 12 4 1

4 6 1las dos primeras. Dicha combinación es: (fila 3) = 2·(fila 1) + 3·(fila 2)

Eliminando la fila 3 obtenemos la matriz B =−

− −

5 3 12 4 1

Se verifica que:

Ejemplo 89.-

Sea una matriz y su traspuesta.A y At=−

=

−

7 33 5

7 33 5

rang A = rang B

rang A = rang At


M


a a a a

h

h

h

h

h h h hh

= ≠

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

1 2 3

0

L

L

L

L L L L L

L

M

a a a aa a a a

a a a aa a a a

Hemos utilizado la fila k y la columna h

a a a aa a a a

a a a aa a a a


a a

h

h h

h h

h h hh hh

k k kh kh

h h

h h

h h hh hh

k k kh kh

+

+

+

+

+

+

+

+

+

= = +

= +

1

11 12 1 1 1

21 22 2 2 1

1 2 1

1 2 1

11 12 1 1 2

21 22 2 2 2

1 2 2

1 2 2

11

0 1

0 2

L

L

L L L L L

L

L

L

L

L L L L L

L

L

12 1 1 3

21 22 2 2 3

1 2 3

1 2 3

0 3

L

L

L L L L L

L

L

a aa a a a

a a a aa a a a


h h

h h

h h hh hh

k k kh kh

+

+

+

+

= +

.........................................................................................................................

34. Cálculo del rango de una matriz. Teorema.-

} Sea A una matriz de orden m×n (m filas y n columnas).} Supongamos que su menor principal de orden h es distinto de cero, es decir:

} Supongamos ahora una fila k tal que k>h (es decir, la fila k está por debajo de la fila h)y que verifica lo siguiente:“Todos los menores de orden h+1 que se forman manteniendo fijo Mh, con la fila k y lascolumnas siguientes a h, son ceros”¡Pues bien! En este caso, la fila k es combinación lineal de las h primeras filas.Es decir:


a a a aa a a a

a a a aa a a a

Hemos utilizado la fila k y columna n ultima

h n

h n

h h hh hn

k k kh kn

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

0

L

L

L L L L L

L

L

= ( )

a a aa a aa a a

a a aa a aa a a

a a aa a aa a a

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 14

21 22 24

31 32 34

11 12 15

21 22 25

31 32 35

0= = =

a a aa a aa a a

ya a aa a aa a a

11 12 11

21 22 21

31 32 31

11 12 12

21 22 22

31 32 32

0 0= =

Cuando esto ocurre, podemos asegurar que: la fila k es combinación lineal de las h primeras filas

Esto nos permitiría eliminar la fila k de la matriz A y obtenemos otra matriz B (con unafila menos) que tiene el mismo rango que A.

Demostración:Para mejor comprensión, vamos a demostrarlo para el caso de una matriz A de orden 4×5

y para h = 2, pero debe entenderse que el proceso es extensible a cualquier orden m×n ycualquier valor h que sea posible según la matriz A. Veamos:

a Sea una matriz A

a a a a aa a a a aa a a a aa a a a a

M=

∈ ×

11 12 13 14 15

21 22 23 24 25

31 32 33 34 35

41 42 43 44 45

4 5

a Supongamos que el menor principal de orden 2 es distinto de cero: Ma aa a2

11 12

21 22

0= ≠

a Consideremos la fila 3 de A y supongamos que todos los menores de orden 3 queconstruimos manteniendo M2 y añadiendo los elementos de dicha fila son cero, es decir:

a Vamos a demostrar que la fila 3 es combinación lineal de las filas 1 y 2. En efecto:Además de ser iguales a cero los tres determinantes del punto anterior, también lo son:

El motivo es que cada uno de esos determinantes tienen dos columnas iguales.

a Ahora vamos a desarrollar cada uno de los cinco determinantes anteriores por loselementos de la última columna. Cada desarrollo será igual a su valor, es decir, cero.


( )( )( )( )( )

:

;

1 02 03 04 05 0

13 13 23 23 33 33

14 13 24 23 34 33

15 13 25 23 35 33

11 13 21 23 31 33

12 13 22 23 35 32

1321 22

31 3223

11 12

31 32

a A a A a Aa A a A a Aa A a A a Aa A a A a Aa A a A a A

Notese que hemos llamado

Aa aa a

Aa aa a

y A

⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅ + ⋅ + ⋅ =

= = 3311 12

21 22

=a aa a

( )

( )

( )

( )

( )

4

5

1

2

3

3113

3311

23

3321 11 21

3213

3312

23

3322 12 22

3313

3313

23

3323 13 23

3413

3314

23

3324 14 24

3113

3315

23

3325

a AA

a AA

a a a

a AA

a AA

a a a

a AA

a AA

a a a

a AA

a AA

a a a

a AA

a AA

a

= − ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅

= − ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅

= − ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅

= − ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅

= − ⋅ − ⋅

α β

α β

α β

α β

= ⋅ + ⋅

α βa a15 25

n de filasn de columnas

elementorang A

ºº

==≠

⇒ ≤ ≤

340

1 3algun

Considerando que , podemos despejarAa aa a

a a a a3311 12

21 2211 22 12 21 0= = ⋅ − ⋅ ≠

en las cinco ecuaciones anteriores los valores a33 , a34 , a35 , a31 y a32 :

Es decir, la fila 3 ( a31 a32 a33 a34 a35 ) es combinación lineal de las filas 1 y 2 c.q.d.

Ejemplo 90.-

Queremos hallar el rango de la matriz Veamos:A M=−−−

∈ ×

1 3 2 12 2 0 38 12 4 7

3 4


M rang A2

1 32 2

2 6 4 0 2 3=−−

= − + = ≠ ⇒ ≤ ≤

M3

1 3 22 2 08 12 4

8 48 32 24 0

1 3 12 2 38 12 7

14 24 72 16 36 42 16 0

=−−−

= − − + + =

−−−

= − − − + + + = − ≠

F F F F5 1 3 4= ⋅ + ⋅ + ⋅α β γ

rang A numero de filas linealmente independientesnumerodecolumnas linealmente independientes

= == .

{ }rang A n filas n columnas≤ min º , º

Veamos el menor principal de orden 2:

Veamos ahora los menores de orden 3 construidos a partir del menor principal de orden 2:

Por tanto: rang A = 3

Además de obtener el rango de A, sacamos las siguientes conclusiones:û La fila 3 de la matriz A no es combinación lineal de las filas 1 y 2. Si la fila 3 fuese

combinación lineal de las otras dos, podríamos eliminarla y obtendríamos otra matriz Bcuyo rango sería 2, es decir, sería rang A = rang B = 2.

û Ninguna de las tres filas de A es combinación lineal de las otras dos. Si una fila fuesecombinación lineal de las otras dos, podríamos eliminarla y obtendríamos otra matriz Bcuyo rango sería 2.

û Una de las cuatro columnas es combinación lineal de las otras tres. Es posible que cadauna de ellas sea combinación lineal de las otras tres. Si eliminamos una columna que seacombinación lineal de las otras tres, obtenemos otra matriz B cuyo rango es 3.

35. Dependencia e independencia lineal de líneas en una matriz.-

. Sea una matriz A de orden m×n.

. Supongamos que una fila de A es combinación lineal de otras filas. Por ejemplo:Supongamos que la fila 5 es combinación lineal de las filas 1, 3 y 4. Es decir:

. Entonces se dice que las filas 1, 3, 4 y 5 son linealmente dependientes.

. Si ninguna de esas filas puede ponerse como combinación lineal de las otras cuatro, sedice que las cinco filas son linealmente independientes.

. Todo lo dicho para filas es válido para columnas. En definitiva:


F F F F5 1 3 42 32

= ⋅ − + ⋅

2 32

12

12

341 5 3 4 1 5 3 4⋅ = + − ⋅ = ⋅ + ⋅ − ⋅F F F F F F F F;

M rang A o o2

8 32 6

48 6 54 0 2 3 4=−

= + = ≠ ⇒ =

M3

8 3 42 6 14 15 6

288 120 12 96 120 36 0

8 3 52 6 04 15 5

240 150 120 30 0

8 3 12 6 54 15 9

432 30 60 24 600 54 0

=−

−−

= − + − − + =

−

−= − − + =

−

− −= − − − − + − =

Ejemplo 91.-Imaginemos una A matriz que tiene 6 filas. Supongamos que la fila 5 es combinación

lineal de las filas 1, 3 y 4, de tal modo que dicha combinación es:

Entonces la fila 1 también es combinación lineal de las filas 3, 4 y 5. En efecto:

Del mismo modo obtendríamos que la fila 3 es combinación lineal de las otras 3.

Ejemplo 92.-

Sea la matriz Queremos saber elA M=

−−

− −− − −

∈ ×

8 3 4 5 12 6 1 0 54 15 6 5 96 9 5 5 4

4 5

número de filas y de columnas linealmente independientes. Veamos:Sabemos que rang A n filas lin indep n colum lin indep= =º . . º . . .Hallemos el rango de A:

Hallemos los menores de orden 3 construidos a partir de M2 :

Por tanto: La fila 3 es combinación lineal de las dos primerasEs decir: Las filas 1, 2 y 3 son linealmente dependientes.Es posible poner alguna (o todas) de esas tres filas como combinación lineal de las otras dos.


B con rang A rang B o o=−

−− − −

= =8 3 4 5 12 6 1 0 56 9 5 5 4

1 2 3

8 3 42 6 16 9 5

240 72 18 144 72 30 0

8 3 52 6 06 9 5

240 90 180 30 0

8 3 12 6 56 9 4

192 18 90 36 360 24 0

−−

− −= − + − + + − =

−

− −= − + + − =

−

−= + + + − + =

rang A n de filas lin indepn de columnas lin indep

= = ==

2 º . .º . .

Eliminando la fila 3 de A obtenemos otra matriz B tal que rang A = rang B

Consideremos el menor principal de orden 2 de B (es el mismo de antes): M2=54…0

Por tanto: La fila 3 de B (fila 4 de A) es combinación lineal de las filas 1 y 2 de B (1 y 2 de A)Eliminando la fila 3 de B obtenemos otra matriz C tal que:

C M ran g A rang B rangC o=−

−

∈ = = =×

8 3 4 5 12 6 1 0 5

1 22 5

Como hemos visto que M rangC2

8 32 6

54 0 2=−

= ≠ ⇒ =

Conclusión:

I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas · Matemáticas de 2º de bachillerato...

Documents

Transcript of I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas · Matemáticas de 2º de bachillerato...