I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de … Reales de Variable Real I. E. S. Siete Colinas...

Funciones Reales de

Variable Real

I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas

Matemáticasde

2º de Bachillerato

Por Javier Carroquino CaZas Catedrático de matemáticas

del I.E.S. Siete Colinas

Ceuta 2004

Funciones Reales de

Variable Real

Javier Carroquino Cañas

Matemáticas de 2º de bachillerato–•–

Ciencias de la Naturaleza y la SaludTecnología

Funciones Reales De

Variable RealPor

Javier Carroquino CañasCatedrático de matemáticas

I.E.S. Siete Colinas (Ceuta)Departamento de Matemáticas

Ceuta 2004

© Javier Carroquino CañasI.E.S. Siete Colinas (Departamento de Matemáticas)Funciones Reales de Variable Real

Depósito Legal : CE&68&2004

ISBN : 84&6888&8199&6

Número de Registro : 6296704

Ceuta 2004

Prólogo

Es el concepto y el estudio de las “funciones realesde variable real” uno de los temas de matemáticas

que mayor aplicación tiene en las ciencias aplicadas dediversa índole, tales como Física, Tecnología,Astronomía, Economía, etc, para conseguir alguno delos tradicionales objetivos que el ser humano intentaalcanzar, esto es, conocer, descubrir, predecir, etc.

Por eso, no debe sorprender al estudiante queenfoque sus estudios posteriores hacia alguna de lasdisciplinas mencionadas, que se encuentre, en muchoscasos, con un programa exhaustivo sobre este tema queiniciamos en estos apuntes enfocados para estudiantes debachillerato y que serán la antesala que habilita para unestudio más profundo en temas y cursos superiores.

Aunque el concepto de función, en su origen, estárelacionado con aquellos fenómenos naturales en los quedos o más variables están sujetas a cambios que seinfluyen entre sí, no es hasta el siglo XIX cuando PeterGustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) define elconcepto de función como una relación entre dosvariables, definición que se acepta hasta hoy día.

En este tema de iniciación se desarrollan losconceptos teóricos suficiente para introducir al alumnoen el mundo de las funciones en sus aspectos generalescon el fin de que adquiera unos conocimientos y unadestreza suficientes para asimilar con facilidad lo quesería posteriormente un estudio profundo sobreauténticas funciones que puedan aparecer en el desarrollode un verdadero problema real correspondiente a uno delos campos mencionados anteriormente, por ejemplo, eltecnológico.

IMatemáticas de 2º de bachillerato Funciones reales de variable real

Índice

Página

1.Función real de variable real ......................... 1Ejemplo 1 .......................................... 2Ejemplo 2 .......................................... 3Ejemplo 3 .......................................... 4

2.Grafo de una función real de variable real ............. 4Ejemplo 4 ........................................... 5

3.Dominio de una función real de variable real ........... 6Ejemplo 5 ........................................... 6Ejemplo 6 ........................................... 7Ejemplo 7 ........................................... 7Ejemplo 8 ........................................... 7

4.Imagen o recorrido de una función real de variable real.. 8Ejemplo 9 ........................................... 8Ejemplo 10 .......................................... 9Ejemplo 11 .......................................... 9

5.La función cero ........................................ 106.La función unidad ...................................... 107.La función identidad ................................... 118.Operaciones con funciones .............................. 11

8.1.Suma de funciones ............................... 11Ejemplo 12 .................................... 12

8.2.Propiedades de la suma de funciones ............ 128.2.1.Ley de composición interna .............. 128.2.2.Asociativa .............................. 138.2.3.Conmutativa ............................. 13

Ejemplo 13 .............................. 138.2.4.Existencia de elemento neutro ........... 138.2.5.Existencia de elemento opuesto o simét... 14

Ejemplo 14 .............................. 148.3.El grupo conmutativo de las funciones .......... 148.4.Resta de funciones .............................. 15

Ejemplo 15 .................................... 158.5.Producto de funciones ........................... 15

Ejemplo 16 .................................... 168.6.Propiedades del producto de funciones ........... 17

8.6.1.Ley de composición interna .............. 178.6.2.Asociativa .............................. 178.6.3.Conmutativa ............................. 178.6.4.Existencia de elemento neutro ........... 188.6.5.Existencia de elemento inverso .......... 18

Ejemplo 17 ............................... 188.7.Cociente de funciones .......................... 19

Ejemplo 18 .................................... 198.8.Potencia de exponente natural de una función ... 20

Ejemplo 19 .................................... 208.9.Potencia de exponente entero de una función .... 20

Ejemplo 20 .................................... 218.10.Raíz de índice n de una función ............... 21

Ejemplo 21 .................................... 21

IIMatemáticas de 2º de bachillerato Funciones reales de variable real

Página

8.11.Potencia de exponente racional de una función... 21Ejemplo 22 ..................................... 22

8.12.Producto de un número real por una función ..... 22Ejemplo 23 ..................................... 22

8.13.Propiedades del producto de nº real por función. 238.13.1.Ley de composición externa .............. 238.13.2.Asociatividad respec.del produc. de nos.. 23

Ejemplo 24 ............................... 238.13.3.Asociat. respec.del produc.de func...... 23

Ejemplo 25 ............................... 238.13.4.Distributividad respec.de la suma de nos. 24

Ejemplo 26 ............................... 248.13.5.Distribut. respecto de la suma de func.. 24

Ejemplo 27 ............................... 258.14.El espacio vectorial de las funciones .......... 25

9.Composición de dos funciones............................. 25Ejemplo 28 .......................................... 269.1.Propiedades de la composición de funciones ...... 26

9.1.1.Asociativa ............................... 269.1.2.Elemento neutro .......................... 27Ejemplo 29 ..................................... 27

9.2.Dominio de la función composición de dos func.... 27Ejemplo 30 ..................................... 28

10.Correspondencia inversa o recíproca de una función...... 29Ejemplo 31 .......................................... 29Ejemplo 32 .......................................... 30Ejemplo 33 .......................................... 30Ejemplo 34 .......................................... 30Ejemplo 35 .......................................... 31Ejemplo 36 .......................................... 31Ejemplo 37 .......................................... 3210.1.Propiedades de una función y su recíproca....... 32

Ejemplo 38 ..................................... 3311.Imágenes borrosas de valores borrosos .................. 33

Ejemplo 39 .......................................... 35Ejemplo 40 .......................................... 36Ejemplo 41 .......................................... 37Ejemplo 42 .......................................... 38Ejemplo 43 .......................................... 39Ejemplo 44 .......................................... 39Ejemplo 45 .......................................... 40Ejemplo 46 .......................................... 40

12.Formas explícita e implícita de la expresión de una función. 41Ejemplo 47 .......................................... 41Ejemplo 48 .......................................... 42

13.Clasificación de las funciones ........................ 42Ejemplo 49 .......................................... 43

Matemáticas de 2º de bachillerato Página 1 Funciones reales de variable real

fx f x y

siendo

f la funciones el conjunto inicial y final

x es la real es decir xy es la imagen de x mediante f y

:( )

., ,

" " ( )

R R Rvariable R

R

→→ =

∈

∈

fx f x y

siendo

f la funciones el conjunto inicial y el final


:( )

., ,

" " ( )

A R A Rvariable A

R

→→ =

∈

∈

CC omenzamos este tema dedicado a las funciones reales de variable real definiendoel concepto de función y los elementos más importantes que las caracterizan.Continuaremos con las distintas operaciones que pueden realizarse con las

funciones para posteriormente iniciarnos en algunos conceptos intuitivos que permitirá en temassucesivos adquirir una destreza en la visión y representación gráfica de una función, dejando unaformalización más teórica para temas posteriores en los que se requerirán conceptos tales comolímites y derivadas. Finalizaremos con una clasificación de las funciones.

1.Función real de variable real.-

3 Sea ú el conjunto de los números reales.3 Una función real de variable real es una aplicación del conjunto ú, o un subconjunto de

ú, en ú. Esto significa que a cada elemento x (de ú o de Adú) le corresponde otroelemento de ú.

3 La idea del punto anterior se expresa de la siguiente forma:

La expresión anterior nos indica que todos los números x de ú o únicamente una partede los números reales tienen imagen mediante la función f. Una función real de variable real también puede expresarse de la siguiente forma:

En este caso A es un subconjunto de ú ( Adú ) y la función f está definida en A, lo cualnos advierte de antemano que únicamente los números x0A pueden tener imagenmediante f , esto es, nos garantiza que si x0ú y xóA, entonces f (x) no existe (o no estádefinido).Puede ocurrir que al definir una función deseemos expresar de una forma concreta losconjuntos inicial (de donde parte la función) y final (a donde llega la función), es decir,que también deseamos especificar por donde se “mueven” las imágenes de f . Veamos:

Funciones reales de variable real


fx f x y

siendo

f la funciones el conjunto inicial y el final


:( )

., ,

" " ( )

A B A Bvariable A

B

→→ =

∈

∈

f

x f x xx

:

( )

R R →

→ =−

2

1

( )

( ) ( )

La imagen de x es f la imagen de es



La imagen de es f

= =−

=−

=

= =−

= =

= =−

=−

=− −

=−

=−

− −−

−−

0 0 00 1

01

0 0 0

2 2 22 1

41

4 2 4

19

10

2 22

2 12

2 1

2

2

32

32

32

2

32

94

52

32

910

2

( ) " "

( ) " "

( ) " "

f x NO tiene imagen mediante f( )1 11 1

10

12

=−

= ∉ ⇒ =R

En este caso la definición nos indica, además de que x0Adú, las imágenes de loselementos de A pertenecen al conjunto B, es decir, f (x) = y0Bdú, esto es, “fuera” de Bno hay imágenes de elementos x.

Ejemplo 1.-

Definamos la función que transforma a cada número real en su cuadrado, dividido porsí mismo menos uno:

Hallemos la imagen de algunos números:

Nos hacemos la siguiente pregunta: ¿Todos los números reales tienen imagen mediante f ?Vamos a ver que x = 1 no la tiene:

En este ejemplo hemos definido una función de la forma y observado que no todosf :R R→los elementos del conjunto inicial tienen imagen. Si queremos expresar la función indicando quetodos los números del conjunto inicial tienen imagen, podemos expresarlo del siguiente modo:Sea el subconjunto de ú, . Definimos la función:{ }A R= − 1


f

x f x xx

Notese que x A f x existe:

( ), ( ) .

A R→

→ =−

∀ ∈2

1

[ ][ ]

[ ]

Llamamos

V Volumen de mercurio Identificamos V

x litros xf es la funcion que buscamosf x y peso recipiente peso mercurio

Definimos la funcion pedida

fx f x x

= =

= ∈

= = +

→

→ = ′ + ′

. ,

. ,.

( ):

: ,( )

0 6

0 6

0 61 5 13 6

R

para x l la funcion no esta definida aunque fpara x l la funcion no esta definida por ser x litros negativos

= = ′= − =

8 8 110 32

, ( )

f kg( ) .2 4 1 5 13 6 2 4 34 14′ = ′ + ′ ⋅ ′ = ′

f x y es una funcion generica nof x x es una funcion concreta

( ) ( ).( ) .

== ′ + ′

determinada1 5 13 6

y f x siendox la iable independientey la iable dependiente su valor depende de xf es la funcion

=

( )

varvar ( )

.

Ejemplo 2.-Imaginemos un recipiente preparado para contener y transportar mercurio que tiene una

capacidad de seis litros y cuyo peso vacío es de 1´5 kg. Sabemos que la densidad del mercurioes de 13´6 kg/dm3. Queremos definir la función que relaciona el peso total del recipiente segúnla cantidad de mercurio que contenga.

Veamos:Considerando que 1 dm3 = 1 litro y que un litro de mercurio pesa 13´6 kilos:

Nótese en este ejemplo que la función está definida únicamente en los valores quepermite la capacidad del depósito, es decir:

Si queremos saber el peso del recipiente cuando contiene 2´4 litros:

3 En general, una función que tenemos determinada mediante la fórmula que relaciona elvalor de x con su imagen y, se expresa abreviadamente mediante esa fórmula, es decir:

3 En una función y = f (x), llamaremos:

3 A partir de ahora, emplearemos el término “función” para referirnos de un modoabreviado a “función real de variable real”.


f x g x h x t x etcF x G x H x I x etc

( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; .... .( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ; .... .

x g= → = + =+ ⋅ =+ ⋅ = ⋅ =24 24 24 2 3 2 6 2 6 2 63 2 2( )

[ )[ )

g

x g x xNotese que todo numero de tiene imagen

: ,

( ), .

00

+ ∞ →

→ = +

+ ∞

R

{ }R R R R× = ∈ ∈( , ) ,x y x y

{ }G x y f x yf = ∈ × =( , ) ( )R R

Entoncesx y G si f x yx y G si f x y

f

f

:( , ) ( )( , ) ( )

∈ =

∉ ≠

3 En general a las funciones se las identifica utilizando letras minúsculas del alfabeto,aunque en muchos casos se emplean las misma letras en mayúsculas, es decir:

Ejemplo 3.-Sea la función . Contestemos a las siguientes preguntas:g x x( )=+

¿Cuál es la imagen de 24?

Encuentra algún número que no tenga imagen.

Si x entonces g x x Los numeros negativos no tienen imagenPor ejemplo x no tiene imagen mediante g

< =+ ∉= −

01( ) . .

, .R

Definir la función de modo que todo elemento del conjunto inicial tenga imagen.

Hallemos la imagen de x = 53

( )g 5 5 5 1 307660483 3 6= + =+ = ′ .....

2.Grafo de una función real de variable real.-

‘ Sea una función real de variable real.f R R

x f x y:

( )→→ =

‘ Consideremos el producto cartesiano ú×ú, es decir:

Recordemos que a los elementos de ú×ú, es decir, a los (x,y) se les denomina “paresordenados”. Al elemento x se le llama “primera componente del par” y a y “segundacomponente del par”

‘ Consideremos ahora el conjunto formado por todos los elementos de ú×ú tales que lasegunda componente (y) sea la imagen de la primera (x), es decir, todos los paresordenados (x,y) tales que f (x) = y.¡Pues bien! A dicho conjunto se le denomina Grafo de la función f . Se expresa:

‘ Aclaremos el punto anterior.

Supongamos un par ordenado cualquiera (x,y)0ú×ú.


( ) ( )

( )

12

87

12

87

12

12

12

1 62

72

2 53

1 5 4 87

, − −

+

∈ ⇔ =

=⋅ −+

=−

=−

=−

G h Debemos ver si esta igualdad es Verdad o Falsa

h La igualdad propuesta es Verdad

h

( ) ( )

( )

2 2

2 2 2 52 3

4 55

15

14

14

14, − −∈ ⇔ =

=⋅ −+

=−

=−

≠−

G h Debemos ver si esta igualdad es Verdad o Falsa

h La igualdad propuesta es Falsa

h

( ) ( )

( )

54

54

54

54

54

54

52

522 5

35

5 512

12

, .b G h b Debemos hallar la imagen de y obtenemos b

h b

h∈ ⇔ =

=⋅ −+

=−

= =− ⇒ =−−

( )

( )

a G h a La imagen de a debe ser

a G aa

Se trata de una ecuacion de incognita a

solvemos a a a a

h

h

, ( )

,

Re : ; ;

83

83

83

83

2 53

83

6 15 8 24 2 39 392

19 5

∈ ⇔ =

∈ ⇔−+

=

− = + − = =− =− ′

( )

( )

− ∈ ⇔ − = −

− =⋅ − −− +

=−

∉ ⇒ − ⇒ − ∉

3 3 3

3 2 3 53 3

110

3 3

, ( ) .

( ) ( ) ,

y G h y Debe ocurrir que tenga imagen

h No existe imagen de y G

h

hR

Ejemplo 4.-

Sea la función . Contestemos a las siguientes preguntas:h x xx

( ) = −+

2 53

a) ¿Pertenece el par ordenado al grafo de la función h?( )12

87, −

Veamos:

Por tanto: ( )12

87, − ∈Gh

b) ¿Pertenece el par ordenado al grafo de la función h?( )2 14, −

Veamos:

Por tanto: ( ) ( )2 214

14, ,− −∈ × ∉R R pero Gh

c) ¿Qué valor debe tomar b para que ?( )54 ,b Gh∈

Veamos:

d) Halla el valor de a sabiendo que ( )a Gh, 83 ∈

Veamos:

Por tanto ( )− ∈392

83, Gh

e) ¿Algún par del grafo tiene como primera componente a &3?Es decir: ¿ › (&3 , y)0Gh ? Veamos:


Puede ocurrirque x tenga imagen es decir f x existe

oque x no tenga imagen es decir f x no existe

:( , ( ) )

( , ( ) )

{ } { }D x f(x) existe x f(x) f = ∈ = ∈ ∈R R R

Dos formas de expresarlo.

x D f x existex D f x no existe

f

f

∈ ⇔

∉ ⇔

( )( )

π π π π π

π π π π π2

32

52

72

2 12

0 1 2 3

232

52

72

2 12

0 1 2 3

; ; ; ; ...... ; ( ) ; ..... , , , ,.....

; ; ; ; ...... ; ( ) ; ..... , , , ,.....

k k

k k

+=

− − − − − +=

{ } { }D x tg x existef = ∈ = − ± ± ± ± =

∪ − − ∪ − ∪ ∪ ∪

R R π π π π

π π π π π π π π

232

52

72

32 2 2 2 2

32

32

52

, , , ,......

...... ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) .......

3.Dominio de una función real de variable real.-

Sea f : ú6 ú una función real de variable real. Sea x un número real, es decir, x0ú

Es decir, habrá números reales que tengan imagen y números que no tengan imagenmediante la función f (puede ocurrir que todos la tengan).

¡Pues bien! Al conjunto formado por todos los números que tienen imagen se ledenomina Dominio de la función f. Se expresa de la forma: Df

Por tanto:

En definitiva:

Ejemplo 5.-Sea la función (tangente de x). Contestemos a algunas cuestiones:t x tg x( ) =

a) ¿Pertenece al dominio de t el número real ? (nótese que x son radianes).x = π4

Veamos: t tg tg Dt( ) ºπ π π4 4 445 1= = = ∈ ⇒ ∈R

b) ¿Pertenece al dominio de t el número real ?x = π2

Veamos: t tg tg Dt( ) ºπ π π2 2 290= = ∉ ⇒ ∉R

Recuérdese que no existe la tangente de 90º.c) ¿Qué números no tienen imagen mediante la función t ?

Recordando la razones trigonométricas de un ángulo, sabremos que los ángulos:

no tiene tangente.d) Determinar el dominio de la función t

Ya sabemos qué números no tiene imagen. El resto sí tienen y por tanto constituyen eldominio de la función t. Vamos a expresarlo de distintas formas:


{ }D x f x Conjunto de numeros con imagenf = ∈ ∈ =R R( ) &

x tiene imagen f x x x⇔ ∈ ⇔ ∈ ⇔ ≥− −( ) R R2 85

2 85 0

2 85

0 52 8

55 0 2 8 0 2 8 8 0 8 2 8

12

212

8 4

x xx x x

x x Solucion de la inecuacion

−≥ ⋅

−≥ ⋅ − ≥ − + ≥ + ≥

⋅ ≥ ⋅ ≥ ←

; ; ; ;

; & .

{ } [ )D x R xf = ∈ ≥ = + ∞4 4,

x no tiene imagen g x g x x⇔ ∉ ⇔ = ⇔ − =( ) ( )R 30

2 4 0

x x x Solucion ecuacionxx

2 2 1

2

4 0 4 4 22

2− = = = ± =±

= −=

; ; .

{ } ( ) ( ) ( )Dg = − − = −∞ − ∪ − ∪ + ∞R 2 2 2 2 2 2, , , ,

Obsérvese de que modo hemos expresado el conjunto “todo ú excepto los números queno tiene imagen”

Ejemplo 6.-Sea la función . Queremos determinar su dominio.f x x( )=+ −2 8

5

Veamos:

Ahora veremos que números tienen imagen:

Es decir, tienen imagen los números x tales que verifican la inecuación 2 85 0x− ≥

Resolvamos la inecuación:

Por tanto: El dominio de f está formado por todos los números reales mayores o iguales que 4.

Ejemplo 7.-Sea la función . Hallemos el dominio de g. g x

x( ) =

−3

42

En este caso, en lugar de hallar los números que tienen imagen, comenzaremos por hallarlos que no tienen. Es decir:

Por tanto: No tienen imagen los números x tales que verifican la ecuación x2 4 0− =Resolvamos la ecuación:

El dominio estará formado por todos los números reales excepto &2 y 2.

Ejemplo 8.-Sea la función . Hallemos el dominio de h.h x

x( ) =

+3

42

En este caso observamos que œx0ú, h(x)0ú , por lo que Dh = ú = (&4 , 4)


{ }f g f y x que verifique f x y( ) Im ( ) ( )R R R= = ∈ ∃ ∈ =

y RSi x R f x y entonces y g f

Si x R f x y entonces y g f∈ ⇒

∃ ∈ = ∈

/∃ ∈ = ∉

( ) Im ( )

( ) Im ( )

( )x y Gx Df x y g ff

f,( ) Im ( )

∈ ⇒∈

= ∈

g a b a b a b a b

b

( ) = ⇒ − = ⇒ = + ⇒ =

↓

+5 4 5 4 45

es un numero supuestamente conocido

Buscamos a g a Es decir a buscamos aa a a a

∈ = − =

− = = + = =

R ( ) . ( ); ; ;

113

113

113

113

233

2315

5 45 4 5 4 5

Img R( ) ( , )g = = −∞ +∞

4.Imagen o recorrido de una función real de variable real.-

Sea f : ú6 ú una función real de variable real.Al conjunto formado por todos los números reales (del conjunto final) que son imagen

de algún elemento del conjunto inicial, se le denomina “Conjunto imagen o recorrido de f”. Seexpresa por Img(f) o también f (ú) o f (A) (en este último caso si el conjunto inicial es A).

Matemáticamente se define:

Nótese que tanto el dominio como la imagen de una función son subconjuntos de ú.Resumiendo:

Nótese también lo siguiente:

Nota: Si b es la imagen de a, se dice que a es la antiimagen de b.

Ejemplo 9.-

Sea la función definida de la forma: ¿Cuál es su recorrido?g R R

x g x x:

( )→→ = −

5 4

Veamos:Imaginemos un número cualquiera b0ú. Nos preguntamos: ¿ › a 0ú * g(a) = b ?

Es decir,si consideramos un número cualquiera b, su “antiimagen” mediante la función g se obtiene“sumándole 4 y dividiendo por 5 "

Por ejemplo: ¿De qué numero es la imagen 11/3 ? Veamos:

Es decir, , es decir, la “antiimagen” de 11/3 es 23/15.g( )2315

113=

Conclusión: Todo número real y es imagen de algún x. Esto nos indica que la imageno recorrido de la función g es todo ú.


a a a a2 2 25 1 1 5 4 4+ = = − = − =± − ∉; ; ; R

a a a aa

a2 2 2 1

2

5 10 10 5 5 55

5+ = = − = =± ⇒

=

= −

; ; ;

( ) ( )p p5 5 10= − =

p a b a b a b a b( ) ; ; ;= + = = − =± −2 25 5 5

∀ ∈ − ≥ ≥b b es decir bR 5 0 5, ,

¿ x sen x ¿ x x arcsenSabemos que x rad arcsen x rad arcsen

x rad arcsen x rad arcsenx rad arcsen x rad arcsen

∃ ∈ = ⇔ ∃ ∈ =

= = = =− =− == = = =− =− == = = =− =− =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

R R12

12

1 612 2 6

12

356

12 4

56

12

313

612 4

136

12

30 30150 150390 390

? ?: º ; º

º ; ºº ; º

π π

π π

π π

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Puede ocurrir que un mismo número b sea imagen de dos o mas números (incluso deinfinitos). Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 10.-Sea la función . Contestemos a las siguientes cuestiones:p x x( )= +2 5

a) ¿Qué número tiene por imagen a 1? Veamos:Buscamos un número a tal que p(a) = 1, es decir, a2 + 5 = 1 (ecuación de 2º grado).Resolvamos la ecuación:

Es decir, no existe ningún número a real tal que p(a) = 1, esto es, ningún número tienepor imagen a 1.

b) ¿Qué número tiene por imagen a 10? Veamos:Buscamos un número a tal que p(a) = 10, es decir, a2 + 5 = 10 (ecuación de 2º grado)Resolvamos la ecuación:

Por tanto, hay dos números que tiene por imagen a 10, , es decir:5 5y −

c) Hallemos la imagen o recorrido de la función p.Para ello debemos averiguar que números son imagen de alguien, es decir:

Esto significa lo siguiente: Si b es un número tal que b&5 $0 entonces hay dos númeroscuyas imágenes son b. Esos números son a b y a b1 25 5= − − = −Por tanto, los números que son imagen de otro u otros son:

De este modo: { } [ )Img( ) ,p y R y= ∈ ≥ = + ∞5 5

Ejemplo 11.-Sea la función y = sen x (función seno). Contestemos a algunas preguntas.

a) ¿Es y = 0´5 la imagen de algún x ? Veamos:

Observamos que existen infinitos números cuyas imágenes son iguales a 0´5. Es decir,


x ky

x kcon k y sus opuestos

= +

= +

=

π

π

π

π

6

56

2

20 1 2 3( , , , ,....)

[ ] [ ]∀ ∈ − ∈

=

y existe un angulo arco xtal que sen x y

1 1 0 2, , ( ) , π

Ox O x

Es decir x es O x:

( ), ( )

R R R

→→ =

∀ ∈ =0

0

( )O O O O O O( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 17 0127

3= = − = = − = − =π

{ }G x xO = ∈ ⊂ ×( , )0 R R R

Ux U x

Es decir x es U x:

( ), ( )

R RR

→→ =

∀ ∈ =1

1

todos los números:

b) Hallemos el dominio y el recorrido de la función y = sen x :Dando por hecho que conocemos la función y = sen x, sabemos que cualquier númeroreal x (ángulo en radianes) tiene seno, es decir, existe sen x.Por tanto: Dominio = D = ú = (&4 , + 4)Sabemos que œx 0ú se verifica que &1 #sen x #1, es decir, el recorrido debe ser [&1,1]o estar contenido en ese intervalo.Ahora bien, debemos saber que (recordar el círculo trigonométrico y la función seno) que

Por tanto: Imagen = Img = [&1 , 1]

c) ¿Es y = 2 imagen de algún número?.Acabamos de ver que el conjunto imagen de la función y = sen x es [&1 , 1]. Como severifica que 2ó[&1 , 1], la respuesta es no.

5.La función cero.-

Se denomina función cero a aquella que transforma todo número real en el cero, es decir,la imagen de cualquier número x es igual a 0. La expresaremos por O(x). Por tanto:

Por ejemplo:

Según lo visto, podemos poner que DO = ú e Img(O)={0}Además, el grafo de la función estará formado por todos los pares ordenados tales que

la segunda componente es cero, es decir:

6.La función unidad.-

Se llama función unidad a aquella función que transforma todo número real en el uno,es decir, la imagen de cualquier número x es igual a 1. La expresaremos por U (x). Por tanto:


{ }G x xU = ∈ ⊂ ×( , )1 R R R

{ }G x xI = ∈ ×( , ) R R

Ix I x x

Es decir x es I x x:

( ), ( )

R RR

→→ =

∀ ∈ =

( )

fx f x

yg

x g xson dos funciones

f gx f g x

de que f g x f x g x

:( )

:( )

:( )( )

( )( ) ( ) ( )

R R R R

R Rmodo

→→

→→

+ →

→ +

+ = +

Según la definición de función unidad, podemos poner que DU = ú e Img(U)={1}Además, el grafo de esta función estará formada por todos los pares tales la segunda

componente sea 1, es decir:

7.La función identidad.-

Se llama función identidad a aquella función que transforma todo número real en símismo, es decir, la imagen de x es el propio x. La expresamos como I(x). Por tanto:

Por ejemplo: ( ) ( )I I I I I etc( ) ; ( ) ; ( ) ; ; ; .0 0 1 1 1 1 33 331123

1123

5 5= = − = − = − =−

Como todo número x tiene imagen y es el propio x, podemos poner que DI = ú e Img(I) = úDado que la imagen de un número coincide con su antiimagen (x = y), el grafo estará

formado por todos los pares ordenados tales que la primera y segunda componentes son iguales.

8.Operaciones con funciones.-

Ya sabemos lo que es una función real de variable real y elementos que las caracterizan,tales como su grafo, dominio y recorrido o imagen. En este apartado veremos algunasoperaciones que se pueden realizar con funciones, tales como suma, resta, producto, cociente,producto de un número real por una función y composición de dos funciones.

8.1 Suma de funciones.-3 Sean dos funciones reales de variable real.f R R y g R R: :→ →3 Definimos la suma “f + g ” ( “f más g” ) como la función que actúa( )f g R R+ →:

del siguiente modo:

E sdecir: “La imagen de x mediante f + g es igual a la imagen de x mediante f más la imagen de x mediante g “

3 Obsérvese lo siguiente:En la definición de suma de dos funciones aparece dos veces el símbolo % , pero debeentenderse que corresponden a dos operaciones totalmente distintas, es decir, mientrasla que aparece a la izquierda de la igualdad “f + g” es “suma de funciones”, la que


fx f x x x

gx g x x x x

:( )

:( )

R R R R→

→ = − +

→

→ = − + −5 2 2 12 2

354

3 23

2

( )( )

( )

( )

( ) ( ) ( )

f g R R

x f g xtal que f g x f x g x

f g x f x g x x x x x x

x x x x x xf x g x

+ →

→ +

+ = +

+ = + = − + + − + − =

= + − + − + + − = + + +

:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

5 2 2 1

5 2 2 1 1

2 23

54

3 23

2

54

3 23

2 23

54

3 133

2 43

1 244 344 1 2444 3444

( )f g+ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + = + + + = + = + =( )2 54 23 13

3 22 43 2 1 10 52

383 1 11 60

3 11 20 31

{ }F = f f R R: →

aparece a la derecha “f (x) + g (x)” es “suma de números reales”.3 Puede apreciarse que la función suma de dos funciones f y g se “construye” sumando

las imágenes de f y g, es decir, f (x) y g (x).

Ejemplo 12.-Consideremos las siguientes funciones reales de variable real:

Vamos a construir la función suma de ambas, es decir, f + g :

Por tanto:

H a g a m o salgunas comprobaciones. Para ello consideremos un valor cualquiera, por ejemplo x = 2.T La imagen de x = 2 mediante f es : f ( )2 5 2 2 2 20 22 2

343

623= ⋅ − ⋅ + = − + =

T La imagen de x = 2 mediante g es : g( )2 2 2 2 2 1 10 354

3 23

2 83

313= ⋅ − ⋅ + ⋅ − = − + =

T La imagen de x = 2 mediante f + g es:

Obsérvese que: { {

( ){

6232

3132 2

62 313

933

31f g f g( ) ( ) ( )

+ =+

= =+

8.2 Propiedades de la suma de funciones.-

Llamemos F al conjunto de todas las funciones reales de variable real, es decir:

Hemos definido la suma de funciones, es decir, la suma en el conjunto F. Ahora veremosque propiedades tiene esta operación.

8.2.1. Ley de composición interna.-La suma de dos funciones reales de variable real es otra función real de variable real.

( )f g x x x x+ = + + +( ) 54

3 133

2 43 1


( )[ ] ( ) [ ]

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )

f g h x f g x h x f x g x h x f x g x h x

f x g h x f g h x f g h f g h c q dsuma de tres numeros

+ + = + + = + + = + + =

+ + = + + ⇒ + + = + +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) . . .

1 2444 3444

( ) ( )f g x f x g x g x f x g f x f g g f c q dsuma de dos numeros

+ = + = + = + ⇒ + = +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . .1 24 34

∃ ∈ ∀ ∈ + = + =

↑

O f se verifica que f O O f f

Es la funcion cero

F F

&

( ) ( )f O x f x O x f x f x O f x f xPor f O O f f c q d

+ = + = + = + = + =

+ = + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). . .

0 0tanto

Matemáticamente se expresa del siguiente modo: œ f, g 0 F, se verifica que ( f + g ) 0 F

8.2.2. Asociativa.-La suma de funciones es asociativa, es decir:

œ f, g , h 0 F, se verifica que ( f + g ) + h = f + ( g + h)Demostración:Debemos demostrar que [( f + g ) + h](x) = [f + ( g + h)](x) œx que tenga imagen.Veamos:

8.2.3. Conmutativa.-La suma de funciones es conmutativa, es decir: œ f, g 0 F, se verifica que f + g = g + fDemostración:Debemos demostrar que œx que tenga imagen es ( f + g )(x)=( g + f )(x)Veamos:

Ejemplo 13.-Sean las funciones . Vamos comprobar laf x y g x xx

x( ) ( )= = ++2 3 1 4propiedad conmutativa.

( ) ( )f g x f x g xx

xx x

xx

g x f x g f x+ = + =+

+ + = + ++

= + = +( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3

1 4 1 42 3

8.2.4. Existencia de elemento neutro.-Existe una función que es neutra para la suma de funciones, es decir, cualquier función

f sumada con ella es igual a f. Esa función es la función cero. Expresemos esta propiedadmatemáticamente.

Demostración:Debemos demostrar que œx que tenga imagen es ( f + O )(x)=( O + f )(x) = f (x)Veamos:


∀ ∈ ∃ − ∈ + − =f f f f O funcion ceroF F, ( ) ( ) ( )

f R Rx f x

x f xEsta funcion transforma los numeros en:

( )( )

→→

( )− →

→ − = −

−f R Rx f x f x

x f xEsta funcion transforma los numeros en:

( ) ( )( )

( )[ ]Si x D f entonces f f x f x f x f x f x∈ + − = + − = − = ∈( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0 R

( ) ( )− = − = − − = − +−+

−+ ←f x f x x

xxx funcion opuesta de f( ) ( ) .3 35 4

75 4

7

( )

x f

x f

= → = − ⋅ −+ =

−=

= → − = − +⋅ −+ =

− += −

4 4 3 5 4 44 7

33 1611

1711

4 4 35 4 44 7

33 1611

1711

( )

( )

8.2.5. Existencia de elemento opuesto o simétrico.-Para cualquier función, existe otra función tal que sumando ambas el resultado es la

función cero. Si f es la función, la función que cumple la propiedad mencionada se expresa &f y se

denomina “función opuesta o simétrica de f ”. Matemáticamente se expresa del siguiente modo:

Dada una función f, veamos como se obtiene su opuesta:

Veamos como actúa la función opuesta de f :

Es decir, la función f transforma al número x en el número f (x) y la función&f transforma al mismo número x en el número opuesto de f (x), es decir, & f (x).

Demostración:Debemos demostrar que f + (&f ) = O (función cero). Veamos:

Es decir, la función f + (&f ) transforma todo número real (que tenga imagen) en el cero,es decir, f + (&f ) = O c.q.d.

Observación: Si &f es la función opuesta o simétrica de f , también f es la opuesta de &f.

Ejemplo 14.-Dada la función , queremos hallar su opuesta o simétrica. Veamos:f x x

x( ) = − −+3 5 4

7

Nótese que :

8.3.El grupo conmutativo de las funciones.-

L Hemos considerado el conjunto de las funciones reales de variable real, al que hemosllamado F.

L Hemos definido la operación “suma de funciones”, es decir, suma en F.


{ }F ,+ ← Grupo conmutativo de las funciones

( ) [ ]

f R R

x f x

g R R

x g x

g R R

x g x

La funcion f g se construye

f g x f g x f x g x f x g x

:

( )

:

( )

:

( )( )

:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

→

→

→

→

− →

→ −

−

− = + − = + − = −

( ) ( ) ( ) ( )f g x f x g x

x

x

x

x

x x x

x

x x x

x

x

x

cuerdese que x x x

− = − =−

−+

+=

− + −

−=

− + −

−=

−

−

↓

− = + −

( ) ( ) ( )

Re ( ) ( )

2

2 1

2

1

2 2 12 1

2 2 2

2 1

22 1

2 1 1 1

L Hemos visto las propiedades de la suma en F : Ley de composición interna, asociativa,conmutativa, existencia de elemento neutro y existencia de elemento opuesto.

L Pues bien: El conjunto F con la operación suma y las propiedades mencionadas, se diceque es una estructura de “grupo abeliano” o “grupo conmutativo”. Se expresa de forma:

8.4.Resta de funciones.-

e Sean f y g dos funciones reales de variable real.e Se define la resta “f menos g” y se expresa f & g como la suma de f con e l opuesto de g.

Matemáticamente:

e Resumiendo: ( f &g )(x) = f (x) & g (x)

Ejemplo 15.-

Dadas las funciones , queremos hallar f & gf xx

xy g x

xx

( ) ( )=−

=+

+

2

2 1

21

Veamos:

Por tanto:

8.5.Producto de funciones.-

‹ Sea f y g dos funciones reales de variable real.‹ Se define el producto de la función f por la función g, expresándose de forma f · g como

aquella función que transforma cada número x (que tenga imagen) en su transformado

( )( )f g xx

x− =

−

−

22 1


( )( )

( )

f

x f xy

g

x g xdos funciones

f g

x f g xsiendo f g x f x g x

:

( )

:

( ).

:

( )( ) ( ) ( )

R R R R

R R

→

→

→

→

⋅ →

→ ⋅⋅ = ⋅

{ }g x x Por x D Dg g( ) . ;∉ ⇔ = = ∉ = −R tanto R2 0 0 0

( )f g x f x g x

siendoproducto de funcionesproducto de numeros

⋅ = ⋅

↓ ↓

( ) ( ) ( )

( ) ( ):

( ): .( ): .

1 2

12

( )( ) ( )

( )

( )( )

f g x f x g xxx

xx

x x

x xx x x

x x

x x x

x x

x x x

x x

⋅ = ⋅ =−

+⋅

+=

− ⋅ +

+ ⋅=

− + −

+=

=⋅ − + −

⋅ +=

− + −

+

( ) ( ) ( )4 25 1

2 12

4 2 2 1

5 1 24 3 2 2 4 2

10 2 2

2 2 3 2 2 1

2 5 22 3 2 2 1

5 2

( )x

f

g

f g

= ⇒

= =

= =

⋅ = =

⋅ −⋅ +

+⋅

⋅ − + ⋅ −⋅ +

2

2

2

2

4 2 25 2 1

611

2 12 2

54

2 2 2 2 2 15 2 2

1522

2

3 2

2

( )

( )

( )

mediante f por su transformado mediante g. Es decir:

Nótese que en la última expresión aparecen dos productos. Debe quedar claro que:

Ejemplo 16.-

Sean las funciones .f xxx

y g xx

x( ) ( )=

−

+=

+4 25 1

2 12

’ Hallemos la función producto f · g :

Por tanto:

’ Hallemos la imagen de x =2 mediante f , g y f · g :

’ Obsérvese que ( ) { {f g f g⋅ = ⋅ = ⋅ =⋅⋅

=⋅⋅

=( ) ( ) ( ) ;2 2 2 1522

611

54

6 511 4

3 511 2

1522

1522

611

54

1 24 34

’ Hallemos el dominio de cada una de las funciones f , g y f · g :

( )f g xx x x

x x⋅ =

− + −

+( )

2 3 2 2 1

5 2


( )[ ] ( ) [ ]

[ ] ( ) [ ]( ) ( )

f g h x f g x h x f x g x h x f x g x h x

f x g x h x f x g h x f g h x c q d

f g h f g h

producto de tres numeros

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . .

:

1 244 344

Por tanto

( ) ( )f g x f x g x g x f x g f x c q d

f g g foducto de numeros

⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . . .Pr

1 24 34

Por tanto

{ }( )

{ } ( )

f x Por x= D D

f g x x x solvamos esta ecuacion

x x x xx es una solucion

si x x x

Por to D

f f

f g

( ) ;

( ) ; Re & :

;&

; ;

tan : , ( , ) , ( , )( )

∉ ⇔ − ∉ = − −

⋅ ∉ ⇔ + =

+ = = − ⇒=

≠ = − = −

= − − = −∞ ∪ ∪ + ∞⋅− −

R 5x +1 = 0. tanto R

R

R

15

15

5 0

5 0 50

0 5 1 15

0 0 0

2

2 2

15

15

15

8.6. Propiedades del producto de funciones.-

Hemos visto una nueva operación que podemos hacer con los elementos del conjunto F,es decir, con las funciones, la operación producto. Ahora veremos qué propiedades tiene estaoperación.

8.6.1. Ley de composición interna.-El producto de dos funciones reales de variable real es otra función real de variable real.

Matemáticamente se expresa: œ f, g 0 F , se verifica que (f · g) 0 F

8.6.2. Asociativa.-El producto de funciones es asociativo, es decir:

œ f, g, h 0 F , se verifica que [(f · g)· h] = [f · (g · h )]Demostración:Debemos demostrar que [(f · g)· h](x) = [f · (g · h )](x) œx que tenga imagen.

Veamos:

OBSERVACIÓN: En la demostración anterior puede apreciarse que se “mezclan” lasoperaciones “producto de funciones” y “producto de números”,debiéndose distinguir en cada momento cada una de ellas. Es decir:f · g = producto de funciones. f (x) · g(x) = producto de números.

8.6.3. Conmutativa.-El producto de funciones es conmutativo, es decir: œ f, g 0 F , es f · g = g · fDemostración:Debemos demostrar que (f · g)(x) = (g · f )(x) œx que tenga imagen.


( ) ( )( ) ( )

f U x f x U x f x f x f x U x f x U f x

es decir f U x U f x f x f U U f f c q d

⋅ = ⋅ = ⋅ = = ⋅ = ⋅ = ⋅

⋅ = ⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) . . .

1 1

f

x f xes una funcion

f

x f xf x

es la inversa de f:

( ).

:

( )( )

.R R

R R→

→

→

→ =

−

−

1

1 1

( )f f x f x f x f xf x

f xf x

f f U

siempre que f x

⋅ = ⋅ = ⋅ = = ⇒ ⋅ =

↓≠

− − −1 1 11 1

0

( ) ( ) ( ) ( )( )

( )( )

( )

8.6.4. Existencia de elemento neutro.-Existe una función que es neutra para el producto, es decir, cualquier función f

multiplicada por ella, da como resultado f. Esa función es la función unidad U.Matemáticamente:

› U0 F * œ f 0 F se verifica que f · U = U · f = fDemostración:Debemos demostrar que (f · U) (x) = (U · f )(x) = f (x) œ x0Df

8.6.5. Existencia de elemento inverso.-Para toda función (excepto para la función cero) existe otra función tal que multiplicadas

ambas el resultado es la función unidad. Si f es la función dada, la función que aseguramos que existe la expresaremos f &1 y se

denomina “función inversa de f ”. Es decir:œ f 0 F , › f &1 0 F * f · f &1 = f &1 · f = U

Veamos como se obtiene la función inversa de una función f :

Nótese que la imagen de x mediante la función f &1 es igual al cociente entre 1 y la

imagen de x mediante f, es decir, , lo cual nos indica que si f(x) = 0 entoncesf xf x

− =1 1( )( )

f &1 (x) no existe.

Demostración:Debemos demostrar que œx0Df con f (x)…0 es (f · f &1)(x) = U (x) =1

Ejemplo 17.-Sea la función definida de la forma . Contestemos a los siguientesf x x( ) = +6 8

apartados:a) Determina el dominio de f.b) Halla la función inversa de f.c) Halla el dominio de la inversa de f.d) Comprueba que el producto de ambas funciones es la función unidad en todo ú

excepto en los números x en que f (x) = 0Veamos:


6 8 0 8 66

834

0 75+ = ⇒ = − ⇒ =−

= − = − ′x x x

( ) ( )

( )

f f x f x f x xx

xx

x R x

Notese que si x es f f

⋅ = ⋅ = + ⋅+

=++

= ∀ ∈ ≠

= ⋅ =+ ⋅+ ⋅

= ∉

− − −

− − −−

−

1 1 34

34

1 34

343

4

6 8 16 8

6 86 8

1

6 86 8

00

( ) ( ) ( )

( ) R

fg

f g fg

En forma abreviada fg

x f xg x

f xg x

f x g x

= ⋅ = ⋅

= = ⋅ = ⋅

−

−

1

1

1

1: ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

fg

x f xg x

x x xx x

x x xx x

x xx

xx

= = =

− + ⋅ +

− ⋅=

− + +−

− +−

+

( ) ( )( )

3 5 56

2 1

2 3 2

2

2 3 5 5 2 16

6 7 5 56

a) Está claro que œx0ú, f (x) = 6 + 8 x es también un número real. Por tanto, Df = ú

b) La función inversa de f es : f x f x x−

+= =1 1 16 8( ) ( )

c) Observamos que un número x no tiene imagen mediante f &1 si 6+8 x = 0. Es decir:

Por tanto: { } ( ) ( )Df −

= − − ′ = −∞ − ′ ∪ − ′ + ∞1 0 75 0 75 0 75R , ,d)

8.7.Cociente de funciones.-

Sean dos funciones reales de variable real f y g.

Se define el cociente o división “f partido por g “ y se expresa como “el productofg

de la función f por la inversa de la función g “, es decir:

Ejemplo 18.-

Sean las funciones . Hallemos f x x xx

y g x xx

( ) ( )=− +−

=+

3 5 56 2 1

2fg

Veamos:

Por tanto: fg

x x x xx x

=

− + +−

( ) 6 7 5 56

3 2

2


fx f x y una funcion esdecir f y n

f f f f f

f R R

x f x yAclaremos esta

f x f f f f x f x f x f x f x

n

n veces

n

n n

n

n veces n veces

:( )

& ,

:

( )& :

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

R RN

expresion

→→ =

∈ ∈

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∈

→

→ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =

F

F1 244 344

1 244 344 1 24444 34444 [ ]f x yn n( ) =

( ) ( )( ) ( ) ( )

f x f f x f x f x x x x x x

f x f f f x f f x f x f x x x x

x x x

2 2 2

3 2 2 2

3 2

2 3 2 3 2 3 4 12 9

4 12 9 2 3

8 36 18 27

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

= ⋅ = ⋅ = − ⋅ − = − = − +

= ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅ = − + ⋅ − =

= − − −

8.8.Potencia de exponente natural de una función.-

Sea f una función y n un número natural, es decir, f 0 F y n 0ù .Se define la potencia “ f elevado a n “ como el producto de la función f por sí misma

n veces. Se expresa f n . Matemáticamente::

Por tanto, la función f n transforma el número real x en el número f (x) elevado a n.

Ejemplo 19.-Sea la función . Hallemos las funciones f 2 y f 3. f x x( ) = −2 3

Por tanto: f x x xf x x x x

2 2

3 3 2

4 12 98 36 18 27

( )( )

= − +

= − − −

Por conveniencia, definimos que:

8.9.Potencia de exponente entero de una función.-

Imaginemos ahora que el exponente de la función f es un número entero negativo, esdecir, n 0ù y tenemos f &n . En este caso se define la potencia del siguiente modo:

f U es decir f x y U x funcion unidadf x f x y

0 0 0

1

1= = = =

= =

, , ( ) ( )( ) ( )


ff

es decir f xf

xf x

nn

nn n

− −= =

=

1 1 1, , ( ) ( )( )

[ ] ( )g x

gx

g x g x xx

xx

xx x

− =

= = =

−

=−

=− +

22 2 2

2

2 2

4

4

2

1 1 1 15

15 10 25

( ) ( )( ) ( )

( )f R R

x f x yfuncion

f R R

x f x f x y

n

n n n

:( )

:

( ) ( )→→ =

→

→ = =

( ) ( )r R R

x r x h x h x x x x

Por to r x x

:

( ) ( ) ( )

tan : ( )

→

→ = = = = =

=

3 3 63 2 33 2

2

27 3 3

3

Ejemplo 20.-

Sea la función . Hallemos la función g&2g x xx

( ) = − 52

Por tanto:

8.10.Raíz de índice n de una función.-

Sea f una función y n un número natural, es decir, f 0 F y n 0ù.

Definimos la función “raíz n-ésima de f “ y se expresa , de la siguiente forma:fn

Nótese que la imagen de x mediante es la raíz n-ésima de la imagen de x mediante ffn

Ejemplo 21.-Sea la función . Hallemos la función h x x( ) = 27 6 r h= 3

8.11.Potencia de exponente racional de una función.-

Sea f una función y un número racional, es decir, f 0F y 0Q.nk

nk

Definimos la función “f elevado a “ y se expresa por , de la siguiente forma:nk f

nk

g x xx x

− =− +

24

2 10 25( )


( )∀ ∈∀ ∈

→

→ = ⋅

α αα α

R R Rf

se define la funcionf

x f x f xF

:( ) ( )

( )f f es decir f x f x f xnk

nknk nk nk= = =( ) ( ) ( )

( )g x f x f x x x x x x

Por g x x

( ) ( ) ( )

( )

= = = = = ⋅ = ⋅ =

=

23 23 23 2 23 23 23 63 23 23

23

8 8 8 2 4

4tanto

( ) ( )3 3 3 6 2 5 3 18 6 15 93 2 3 2f x f x x x x x x x( ) ( )= ⋅ = ⋅ − − + = − − +f ( )2 6 2 2 2 5 2 3 333 2= ⋅ − ⋅ − ⋅ + =

( ) ( )f x

f xObservamos que f x f x

( )( )

( ) ( )=

=

= ⋅ = ⋅ =33

3 993 3 3 33 99

Ejemplo 22.-

Sea la función . Hallemos la función f x x( ) = 8 g f=23

Por ejemplo: x g= − → − = ⋅ − = ⋅ = ⋅ =1 1 4 1 4 1 4 1 423 3( ) ( )

8.12.Producto de un número real por una función.-

• Sea α un número real y f una función real de variable real.• Definimos el producto del número real α por la función f y lo expresamos de la forma

α·f o simplemente α f como la función que transforma a cualquier número x (deldominio de f ) en el producto de α por f (x). Es decir:

La función α f se llama “función producto de α por f “ o simplemente “α por f “Nótese que en la expresión α f tenemos el producto de un número por una función,mientra que la expresión α · f (x) es el producto de dos números.

Ejemplo 23.-Sea la función y el número α = 3.f x x x x( ) = − − +6 2 5 33 2

Vamos a construir la función α f :

Hallemos la imagen de x =2 mediante f :

Hallemos la imagen de x =2 mediante 3f : ( )3 2 18 2 6 2 15 2 9 993 2f ( ) = ⋅ − ⋅ − ⋅ + =

Comprobemos que ( )3 3f x f x( ) ( )= ⋅


∀ ∈ ∀ ∈ ∈α αR y f se verifica que fF F

( ) ( )α β α β⋅ = ⋅

↓ ↓ ↓ ↓

f f

es producto de numeroses producto de numero por funcion

( ) &

( ) & &

( ) ( ) ( ) ( )

12

1 2 2 2

( )[ ] ( ) ( )

( ) ( )[ ] [ ] ( )[ ] ( )

( )[ ] ( )[ ]

2 5 10 10 10 3 2 30 20

2 5 2 5 2 5 2 5 3 2 2 15 10 20 20

2 5 2 5 30 20

⋅ = = ⋅ = ⋅ − = −

= = ⋅ ⋅ = ⋅ − = ⋅ − = −

= = −

f x f x f x x x

f x f x f x x x x

Notese que f x f x x

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

& . ( ) ( )

( ) ( )∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ = ⋅α α αR y f g se verifia que f g f g, F

8.13. Propiedades del producto de número real por función.-

El producto de un número real por una función tiene las siguientes propiedades:

8.13.1. Ley de composición externa.-El producto de un número real por una función da como resultado una función. Es

decir:

8.13.2. Asociatividad respecto del producto de números.-( ) ( )∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ = ∈α β α β α β, R y f se verifica que f fF F

Nótense las operaciones que aparecen en la última igualdad:

Ejemplo 24.-Sea la función . Hallemos las funciones (2·5) f y 2 (5 f ) :f x x( ) = −3 2

8.13.3. Asociatividad respecto del producto de funciones.-

Demostración:

( )[ ] ( ) [ ] ( ) ( )[ ]α α α α α αf g x f g x f x g x f x g x f x g x f g xproducto de numeros

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 244 344

Es decir: c.q.d.( ) ( )α αf g f g⋅ = ⋅

Ejemplo 25.-

Sean las funciones y el número α = 4f x x y g xx

( ) ( )= − =2 1 1

L Hallemos la función : f g⋅ ( ) ( )f g x f x g x xx

xx

⋅ = ⋅ = − ⋅ =−( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1


( )[ ] ( )4 4 4 2 1 8 4f g x f g x xx

xx

⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅−

=−( ) ( )

( )[ ] ( ) ( )4 4 8 4 1 8 4f g x f x g x xx

xx

⋅ = ⋅ = − ⋅ =−( ) ( ) ( )

∀ ∈∀ ∈

+ = +α β

α β α β,

( )R

fse verifica que f f f

F

[ ] ( )( ) ( ) ( )α β α β+ = + ∀f x f f x x que tenga imagen

[ ]

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) (

α β α β α β α β

α β α β α

+ = + ⋅ = ⋅ + ⋅ = + =

= ⋅ + ⋅ = + = +

f x f x f x f x f x f x

f x f x f x f x fproducto de numeros suma de numeros suma de numeros

producto y suma de numeros productodenumero por funciony suma de numeros

1 244 344 1 2444 3444 1 2444 3444

1 2444 3444 1 2444 3444β f x)( )

( )[ ] ( ) ( )g x f x f x f x x x( ) ( ) ( ) ( )= + = = ⋅ = ⋅ − = −5 3 8 8 8 5 4 40 32

( )∀ ∈∀ ∈

+ = +α

α α βR

f gse verifica que f g f g

, F

L Hallemos la función : ( )4 f g⋅

L Hallemos la función : 4 f ( ) ( )4 4 4 2 1 8 4f x f x x x( ) ( )= ⋅ = ⋅ − = −

L Hallemos la función :( )4 f g⋅

Nótese que : ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )4 4 4 4f g x f g x f g f g⋅ = ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅( ) ( )

8.13.4. Distributividad respecto de la suma de números.-

Demostración:Debemos demostrar que

Veamos:

Ejemplo 26.-Dados los números 5 y 3 y la función f (x) = 5&4x , construir la función g = (5+3) f

Veamos:

Por tanto: g x x( ) = −40 32

8.13.5. Distributividad respecto de la suma de funciones.-

Demostración:Debemos demostrar que:


[ ] [ ]

( ) ( ) ( )

α α α α α

α α α α

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) . . .

f g x f g x f x g x f x g x

f x g x f g x c q dproducto de numeros suma y producto de numeros

+ = ⋅ + = ⋅ + = ⋅ + ⋅ =

= + = +

1 244 344 1 244 344

( )

( )

32

32

32

32

3 2 32 1

9 62

32 1

1 9 6 32 1

9 6 9 6 32 1

3 9 3 62 2

2 2

2 2 3 3 2

2

f g x f x g x xx

xx

xx

xx

x x x xx x

x x x xx x

x x xx x

+ = + =−

+

+

=

−+

+=

=+ ⋅ − + ⋅

⋅ +=

− + − +⋅ +

=+ + −

+

( ) ( ) ( )( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )g f R R

x g f xsiendo g f x g f x

o

oo

:( )

( ) ( )→

→

=

[ ] ( )α α α( ) ( ) ( )f g x f g x x que tiene imagen+ = + ∀Veamos:

Ejemplo 27.-Dadas las funciones , construir la función f x y g xx

xx

x( ) ( )= =−+

3 21

2 ( )32 f g+

Veamos:

Por tanto: [ ]32

3 2

2

3 9 3 62 2

( ) ( )f g x x x xx x

+ =+ + −

+

8.14. El espacio vectorial de las funciones.-

El conjunto de las funciones reales de variable real (F) con las operaciones “suma defunciones” y “producto de un número real por una función” y las propiedades vistas, se diceque una estructura de Espacio Vectorial sobre ú. Se expresa de la forma: {F , + , · ú}

9. Composición de dos funciones.-Sean f y g dos funciones reales de variable real, es decir: R R R Rf gy → →Definimos la función composición f y g y se expresa de la forma g B f como la función queactúa de la siguiente forma:

Es decir:3 Tenemos un número x 0ú3 Sobre ese número x actúa la función f y obtenemos su imagen mediante f, f (x) = y0ú3 Sobre esta imagen f (x) = y actúa la función g y obtenemos z : g (f (x)) = g (y) = z 0ú3 En realidad, g B f es una función que transforma el número x en el número z.3 Por tanto (g B f )(x) = zEsquemáticamente puede expresarse del siguiente modo:


R Rx f x x x

yR Rx g x x

f g →

→ = +

→

→ = −

( ) ( )3 2 52 2

( ) ( ) ( )g f x g f x g y y x x x x x

Hemos llamado y f x x x

o ( ) ( ) ( )

( )

= = = − = + − = + + −

↓

= = +

2 2 2 4 3 2

2

5 3 2 5 9 12 4 5

3 2

( )[ ] ( )( ) ( ) ( )( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )

h g f x h g f x h g y h g y h z t

h g f x h g f x h g f x h g y h z t

o o o o

o o o

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

= = = = =

= = = = =

El objetivo es encontrar la expresión de la función g B f , es decir, la expresión que“pasa” directamente de x a z. Veamos un ejemplo:

Ejemplo 28.-Sean las funciones f y g definidas de la siguiente forma:

Vamos a determinar la función composición f y g, es decir, g B f . Veamos:

Por tanto:

Hagamos alguna comprobación. Supongamos que deseamos hallar la imagen de x = 3 mediantela función g B f , es decir, queremos hallar (g B f )(3) .Podemos actuar de dos formas:ÎUna forma: ( ) ( )g f g f go ( ) ( ) ( )3 3 33 33 5 1089 5 10842= = = − = − =

Ï Otra forma: ( )g fo ( )3 9 34 12 33 4 32 5 729 324 36 5 1084= ⋅ + ⋅ + ⋅ − = + + − =Nótese que en Î se ha utilizado un paso intermedio, es decir, se ha obtenido la imagen de 3mediante f, que es 33, y posteriormente se ha obtenido la imagen de 33 mediante g. En Ï se haobtenido la imagen de 3 directamente con la función g B f .Es evidente que ( ) ( )g f g fo ( ) ( )3 3 1084= =

9.1. Propiedades de la composición de funciones.-La composición de funciones tiene las siguientes propiedades:

9.1.1. Asociativa.- Si f, g y h son tres funciones, se verifica que (fBg)Bh = fB(gBh)Demostración:

Es decir, [(fBg)Bh](x) = [fB(gBh)](x) œx 0ú que tenga imagen.

( )g f x x x xo ( ) = + + −9 12 4 54 3 2


( )( ) ( )

f I x f I x f x f I f

I f x I f x f x I f f

o o

o o

( ) ( ( )) ( )

( ) ( ) ( )

= = ⇒ =

= = ⇒ =

R Rx f x x x

yR Rx g x x

f g →

→ = +

→

→ = −

( ) ( )3 2 52 2

( ) ( ) ( ) ( )( )

f g x f g x f y y y x x

x x x x x x x x

o ( ) ( ) ( )= = = + = − + − =

= − + + − = − + + − = − +

3 2 3 5 2 5

3 10 25 2 10 3 30 75 2 10 3 28 65

2 2 2 2

4 2 2 4 2 2 4 2

9.1.2. Elemento neutro.-La función identidad es neutra para la composición de funciones, es decir:

œf 0 F se verifica que f BI = IBf = f Por tanto, al componer una función cualquiera con la función identidad, obtenemos esa

función.Demostración:

Quede claro que la composición de funciones no es conmutativa, es decir, en general:Si f y g son dos funciones, ocurre que f Bg… gBf

Para demostrar esto es suficiente con un ejemplo en el que se compruebe la noconmutatividad. Veamos:

Ejemplo 29.-Sean las funciones f y g definidas en el ejemplo 28:

En dicho ejemplo obtuvimos la función g B f . Ahora obtendremos la función f B g(composición de g y f ). Veamos:

Por tanto:

Puede observarse que son dos funciones distintas.

9.2. Dominio de la función composición de dos funciones.-Supongamos dos funciones f y g tales que sus dominios sean Df y Dg. Consideremos la composición de f y g, es decir, gBf. Nos preguntamos: ¿Cómo será el dominio de la función gBf ?

Veamos:

( )( )g f x x x x

f g x x x

o

o

( )

( )

= + + −

= − +

9 12 4 5

3 28 65

4 3 2

4 2


R Consideremos un x0Df , es decir, existe f (x) y llamamos f (x) = yi Puede ocurrir que y 0Dg. En este caso existe g(y) = z y por tanto también existe

g (f (x)) = (gBf )(x). Esto significa que x0DgBf i Puede ocurrir que y óDg. En este caso no existe g(y) y por tanto tampoco puede

existir (gBf )(x). En definitiva, x óDgBf R Consideremos un xóDf , es decir, no existe f (x) y por tanto no puede existir g(f (x)), o

sea, no existe (gBf )(x). Esto significa que x óDgBf .

Conclusión:

La siguiente figura ilustra de un modo gráfico lo expresado anteriormente, es decir, comoel dominio de gBf está formado por los números reales que pertenecen al dominio de f y cuyasimágenes (mediante f ) pertenecen al dominio de g :

Ejemplo 30.- Sean las funciones . Queremos determinarf x x y g x L x( ) ( ) ( )= + + = −5 2

el dominio de la función gBf.Veamos:

‘ El dominio de la función f es: { } { } [ )D x f(x) x R xf = ∈ ∈ = ∈ ≥ − = − + ∞R R 5 5,

Esto nos indica que , es decir, D Dg f fo ⊂ [ )Df ⊂ − + ∞5,

‘ Para que un pertenezca también a DgBf , debe ocurrir que su[ )x Df∈ − + ∞ =5,

imagen f x x Dg( ) = + + ∈5

‘ Veamos el dominio de g : { } { } ( )D y R y y R yg = ∈ − > = ∈ > = + ∞2 0 2 2,‘ Según el apartado anterior, f (x) = y pertenece al dominio de la función g si ocurre que

, es decir, si ocurre que , esto es, x >&1.( )f x x y( ) ,= + + = ∈ + ∞5 2 x + >5 4Conclusión: El dominio de la función gBf está formado por el conjunto de todos los números

reales tales que pertenecen al dominio de f y además sus imágenes f (x)pertenecen al dominio de g.

{ }D x x D y f x Dg f f go = ∈ ∈ ∈R ( )


{ } ( )D x R x D y f x Dg f f go = ∈ ∈ ∈ = − + ∞( ) ,1

10. Correspondencia inversa o recíproca de una función.-

Si A y B son dos conjuntos (pueden ser de números u otro tipo de objetos), unacorrespondencia de A en B es una relación que se establece entre los elementos del conjunto Ay del conjunto B, de tal modo que a cada elemento de A le hacemos “corresponder” algúnelemento de B (entiéndase que puede ser ninguno, uno, dos, tres, ....). Las correspondencias entreconjuntos se suelen expresar con letras tales como f , g, h, etc. En la expresión “correspondenciade A en B”, al conjunto A se le llama conjunto inicial y al conjunto B se le llama conjunto final.Veamos un ejemplo:

Ejemplo 31.- Consideremos un conjunto A formado por cinco estudiantes y un conjunto B formado por

cuatro asignaturas :A={álvaro, elena, inés, olga, ugo } y B={ciencias, dibujo, lengua, mates}Establecemos la correspondencia de A en B que hace corresponder a cada estudiante

las asignaturas que ha suspendido:

En este caso observamos que álvaro no ha suspendido ninguna asignatura (no lecorresponde ningún elemento de B), elena ha suspendido una asignatura (le corresponde lengua),a inés le corresponden dos elementos de B, etc.

Una correspondencia de A en B se dice que es una aplicación si a cada uno deelementos de A (conjunto inicial) le corresponde un sólo elemento de B (conjunto final).

Según la definición de aplicación, podemos decir que la correspondencia del ejemplo 31no es una aplicación de A en B, puesto que no a todos los elementos de A les corresponde algúnelemento de B (por ejemplo a álvaro) y hay elementos de A a los que les corresponde más de unelemento de B (por ejemplo a olga).

Una función real de variable real f es una correspondencia de ú en ú, ya que hacecorresponder números reales con números reales. Ahora bien, si consideramos como conjuntoinicial el dominio de f ( Df ), entonces tenemos que “a cada elemento de Df le corresponde unúnico elemento de ú”, por lo que una función f es una aplicación de su dominio ( Df ) en ú.

Veamos un ejemplo de una correspondencia entre dos conjuntos que también es unaaplicación entre ellos:


A B correspondencia del conjunto A en B

B A correspondencia del conjunto B en A

f

f

→

→−1

A B a A a es f a ff → ⇔ ∀ ∈ ≠ ≠aplic. inyectiva , , ( ) ( )α α α

Ejemplo 32.- Consideremos ahora la siguiente correspondencia entre los mismos conjuntos tratados

en el ejemplo 31:

Ejemplo 33.-

Sea la función f

x f x x:

( )R R→

→ = +

2 5Se trata de una correspondencia de ú en ú que también es aplicación, ya que todo número

real tiene imagen ( œx 0ú, x2 + 5 existe ) y además esa imagen es única.

Ejemplo 34.-

La función es una correspondencia de ú en ú que no esf

x f x x

:

( )

R R→

→ = + −

1

aplicación, ya que los números menores que 1 no tienen imagen (no les corresponde ningúnnúmero). Ahora bien, si consideramos como conjunto inicial el dominio de la función, es decir,Df = [1 , 4) tendremos una aplicación :

[ )[ )

f

x f x xes una aplicacion de en

: ,

( ),

1

11

∞ →

→ = + −

∞

RR

En una aplicación f de A en B, si a0A se corresponde con b0B, decimos que b es laimagen de a mediante la aplicación f. Se expresa f (a) = b.

Una aplicación entre dos conjuntos A y B se dice que es inyectiva cuando “todos loselementos del conjunto inicial A tiene imágenes distintas”. Dicho de otra forma: “dos elementosde A, que sean distintos, tienen imágenes distintas”. Es decir:

Supongamos que ahora en una correspondencia f de A en B intercambiamos losconjuntos inicial y final manteniendo la correspondencia entre sus elementos, es decir, cadaelemento de B que era correspondiente de alguno o algunos elementos de A, se siguecorrespondiendo con esos elementos, pero siendo ahora origen mientras los de A son finales. Aesta correspondencia se le denomina correspondencia recíproca o inversa de f y se expresa f&1.

Es decir:

En este caso la correspondenciade A en B es también unaaplicación ya que a cada elementode A le corresponde un sóloelemento de B


f x y f y x Buscamos y− = ⇔ =1( ) ( )

Si a0A se corresponde con b0B mediante la correspondencia f, entonces b0B secorresponde con a0B mediante la correspondencia f &1.

Las correspondencias f y f &1 son mutuamente recíprocas o inversas.Si f es una correspondencia no aplicación, puede ocurrir que f &1 sea correspondencia

y aplicación. También puede ocurrir que f sea aplicación y f &1 no lo sea.

Ejemplo 35.- Construyamos la correspondencia recíproca de la expresada en el ejemplo 32.

Podemos apreciar que esta correspondencia, recíprocade la del ejemplo 32, no es una aplicación ya que hayun elemento del conjunto inicial (“dibujo”) que no secorresponde con nadie del conjunto final. Además, hayelementos del conjunto inicial que se correspondencon dos elementos del conjunto final.Tenemos así el caso de una correspondenciaaplicación cuya recíproca no es aplicación.

Hemos dicho que una función real de variable real es una aplicación de su dominio D(conjunto inicial) en ú (conjunto final). Su recíproca será una correspondencia de ú en D quepodrá ser o no una aplicación. Veamos como se halla la correspondencia recíproca de unafunción:

Sea f

x f x yuna funcion Buscamos

f

x f x y

:( )

.:

( )

R R R R→→ =

→

→ =

−

−

1

1

f x y f y x

f

−

−

= ⇔ =

↓

1

1

( ) ( )

Buscamos la expresion que determina a la funcionEl desarrollo de esta última expresión nos permitirá determinar la correspondencia f &1

Veamos un ejemplo:

Ejemplo 36.-

Sea la función f

x f x x:

( )R R→→ = +

2 5

Buscamos Es decir, buscamos f &1 = fórmula.f

x f x

−

−

→

→ =

1

1

:

( ) ?

R R

Veamos:

Observa que esta función transforma cadanúmero real en su doble más cinco.


f y y y x y x yx

( ) ; ; ;= + + = = − =−

2 5 2 5 2 55

2

x f f transforma en

x f f transforma en

= → = ⋅ + = + =

= → =−

= =− −

8 8 2 8 5 16 6 21 8 21

21 2121 5

2162

8 21 81 1

( )

( )

f x y Buscamos y formula

f x y f y x

y x

y x

−

−

= ←

= ⇔ =

=

= ±

1

1

2

( ) ( )

( ) ( )

Por tanto: es la función recíproca de la función ,f x x( ) = +2 5es decir, la recíproca transforma cada número x en lamitad de x&5.

Hagamos alguna comprobación:

Es decir: f f( ) ( )8 21 21 81= ⇔ =−

Nótese en este caso que tanto f como f &1 son funciones, puesto que son aplicaciones de ú en ú.

Ejemplo 37.-Sea la función . Hallemos la correspondencia recíproca (o inversa) de f yf x x( ) = 2

comprobemos si se trata o no de una función:

Es decir: Esta es la correspondencia recíproca de f x x( ) = 2

Nótese que es una correspondencia que hace correspondera cada número real x0[0 , +4) dos números, su raíz positivay su raíz negativa. No es una función, ya que un número no

puede tener dos imágenes.

Por ejemplo: x f ff f= → = = → = ± =−

−−5 5 5 25 25 25

55

2 11

( ) ( )

10.1. Propiedades de una función y su recíproca.-

Sea f una función y f &1 su recíproca. Recordemos que I es la función identidad.Se verifica lo siguiente:

a) f Bf &1 = I b) f &1 B f = I

En efecto, vamos a demostrarlo:

f xx− =−1 52

( )

f x x− = ±1( )


a) Sea x0ú (que tenga imagen). Llamemos f &1(x) = yRecordemos que f x y f y x− = ⇔ =1( ) ( )Apliquemos la función composición f Bf &1 a x : (f Bf &1 )(x) = f (f &1(x)) = f (y) = xEs decir, la función f Bf &1 transforma cada número x en x.Por tanto: f Bf &1 = I c.q.d.

b) De manera análoga demostramos este apartado:Llamaremos f (x) = yRecordemos que f x y f y x( ) ( )= ⇔ =−1

Apliquemos la función composición f &1 B f a x : (f &1 B f )(x) = f &1 ( f (x)) = f &1 (y) = x Es decir, la función f &1 B f transforma cada número x en x.

Por tanto: f &1 B f = I c.q.d.

Ejemplo 38.-Sea la función . Contestemos a las siguientes cuestiones:g x x( ) = −4

352

a) Hallar la recíproca de g. ¿Es una función?b) Hallar la imagen de x = 6 mediante g, es decir, g(6)c) Hallar la imagen de g(6) mediante g&1, es decir, g&1(g(6)).d) Comprobar que g&1(g(6)) = 6

Veamos:a) Buscamos g&1(x) = y , es decir, g&1(x) = fórmula.

g x y g y x Buscamos y

g y y

y x y x y yx x

−

+ +

= ⇔ =

= −

− = = + = =

1

43

52

43

52

43

52

43

2 52

6 158

( ) ( )

( )

; ; ;Por tanto:

Es la recíproca de la función g. Puedeobservarse que se trata de una función,ya que todo número real tiene una solaimagen.

b) g( )6 6 8 5 543

52

52

16 52

112= ⋅ − = − = = = ′−

c) g g g− −= =⋅ +

=+

= =1 1 112

1126

6 158

33 158

488

6( ( )) ( )

d) Observamos que ( )g g g− −= =1 1 1126 6( ( ))

11. Imágenes borrosas de valores borrosos.-

En matemáticas, la expresión x = 3 se refiere a que la variable x toma un valor concreto,el 3, esto es, está perfectamente determinada. Ahora bien, podemos referirnos a x como unnúmero muy próximo o infinitamente próximo a 3, es decir, no nos referimos a un valor concreto

g xx− =+1 6 158

( )


y determinado, sino a un número o números que están infinitamente próximos a 3, esto es, unvalor ambiguo no concreto. Por tanto, podemos expresar la idea:

x = nº infinitamente próximo a 3Este concepto está dentro de lo que en matemáticas se llama borroso puesto que serían

valores factibles para x, por ejemplo, los siguientes:x = 3´001 ; x = 3´0001 ; x = 3´0000025 ; x = 3´00000000094 ; ....... etc. (1)

o también:x = 2´999 ; x = 2´99999 ; x = 2´99999999045 ; x = 2´9999999999999 ; ..... etc. (2)

entendiendo que el término “número muy o infinito próximo a 3" es un término subjetivo puestoque si comparamos entre los números x = 2´999 y x = 2´99999999999, no cabe duda de queel segundo está mucho más próximo a 3 que el primero.

Obsérvese que en la lista (1) los números están muy próximos a 3 pero un poco mayoresque 3, es decir, “están a la derecha de 3". Los números de la lista (2) son menores que 3 y sedice que “están a la izquierda de 3".

Expresaremos estos conceptos de la siguiente forma:

Expresa la idea de números muy o infinitamente próximos a 3 por su derecha, esdecir, un poco mayores que 3.

Expresa la idea de números muy o infinitamente próximos a 3 por su izquierda, esdecir, un poco menores que 3.

Gráficamente se representaría en la recta real del siguiente modo:

En general, si a es un número real, consideraremos que:

Expresa la idea de números muy o infinitamente próximos a a por su derecha.

Expresa la idea de números muy o infinitamente próximos a a por su izquierda.

Del mismo modo que hemos expresado la idea de número infinitamente próximo a otro,podemos expresar la idea de “número infinitamente grande positivo” y “número infinitamentegrande negativo”. Debe comprenderse que ambas ideas están dentro de lo que hemosdenominado “conceptos borrosos”. Dichas ideas las expresaremos del siguiente modo:

Expresa la idea de números muy grandes o infinitamente grandes positivos.Estarían dentro de esta idea, por ejemplo: 1025 ; 2108 ; e39 ; 99.896.175.047 ; etc.Debe entenderse que considerar a estos números infinitamente grandes positivoses subjetivo (por eso el concepto de “valor borroso”).Expresa la idea de números muy grandes o infinitamente grandes negativos.Ejemplo se estos números: &1025 ; &2108 ; &e39 ; &99.896.175.047 ; etc. Debe

x = 3+

x = 3 &

x = a+

x = a&

x = %4

x = &4


entenderse que considerara estos números infinitamente grandes positivos essubjetivo (por eso el concepto de “valor borroso”).

También podemos expresar la idea de que una sucesión de números se aproxima cada vezmás a otro número fijo por su derecha o por su izquierda. Veamos:

Expresa la idea de que x no es un valor fijo, sino una sucesión de infinitos númerosque se aproximan cada vez más al número a por la derecha de este. Estaaproximación es tanta como podamos imaginar, sin llegar a ser x = a.

Expresa la idea de que x no es un valor fijo, sino una sucesión de infinitos númerosque se aproximan cada vez más al número a por la izquierda de este (son menoresque a). Esta aproximación es tanta como podamos imaginar, sin llegar a ser x = a.

Del mismo modo:Expresa la idea de que x son los números de una sucesión que cada vez se acercamás a %4, siendo esta aproximación tanta como podamos imaginar.

Expresa la idea de que x son los números de una sucesión que cada vez se acercamás a &4, siendo esta aproximación tanta como podamos imaginar.

Ejemplo 39.-Una sucesión de números que concuerde con la idea x 6 2´5% podría ser:

{ 2´51 , 2´501 , 2´5001 , 2´50001 , 2´500001 , 2´5000001 , ....... } 6 2´5%

Una sucesión de números que concuerde con la idea x 6 2´5& podría ser: { 2´49 , 2´499 , 2´4999 , 2´49999 , 2´499999 , 2´4999999 , ....... } 6 2´5&

Una sucesión de números que concuerde con la idea x 6%4 podría ser:

{ 54 , 504 , 5004 , 50004 , 500004 , 5000004 , 50000004 , 500000004 , ....... } 6 %4Nótese que en esta sucesión siempre habrá un elemento mayor que cualquier número quenosotros podamos imaginar, por muy grande que este sea.

Una sucesión de números que concuerde con la idea x 6&4 podría ser:{ x = &10 n * n0ù } 6&4

Nótese que es una forma abreviada de expresar la sucesión:{-1 , -10 , -100 , -1000 , -10000 , -100000 , -1000000 , ...... } 6&4

Si f (x) es una función real de variable real y consideramos para la variable x valoresborrosos, es decir, valores no concretos, tendremos que las imágenes de esos valores o no existeo serán borrosos. Veamos:

Significa que “para valores de x infinitamente próximos a a por su derecha, lasimágenes de esos valores son infinitamente grandes positivas”. Cuanto máscerca esté x de a, mayor es la imagen y tan grande como podamos imaginar.

Significa que “para valores de x infinitamente próximos a a por su derecha, lasimágenes de esos valores son infinitamente grandes negativas”. Cuanto máscerca esté x de a, mayor es la imagen y tan grande (negativa) como podamos

x 6 a%

x 6 a&

x 6 %4

x 6 &4

f (a%) = %4

f (a%) = &4


{ } ( ) ( )Df = − = −∞ ∪ + ∞R 0 0 0, ,

imaginar. Significa que “para valores de x infinitamente próximos a a por su izquierda,las imágenes de esos valores son infinitamente grandes positivas”. Cuanto máscerca esté x de a, mayor es la imagen y tan grande como podamos imaginar. Significa que “para valores de x infinitamente próximos a a por su izquierda,las imágenes de esos valores son infinitamente grandes negativas”. Cuanto máscerca esté x de a, mayor es la imagen y tan grande negativa como imaginemos

Significa que “para valores de x infinitamente grandes positivos, sus imágenesson infinitamente grandes positivas”. Cuanto mayor sea x, mayor es su imagen,la cual puede ser tan grande como queramos. Significa que “para valores de x infinitamente grandes positivos, sus imágenesson infinitamente grandes negativas”. Cuanto mayor sea x, menor es suimagen, la cual puede ser tan grande negativa como imaginamos.

Significa que “para valores de x infinitamente próximos a a por su derecha, lasimágenes están infinitamente próximas a b por su derecha”. Cuanto máspróximo esté x de a, más lo estará su imagen de b. Esta aproximación es tantacomo podamos imaginar, sin llegar a ser f (a+) = b.

Significa que “para valores de x infinitamente grandes positivos, las imágenesestán infinitamente próximas a b por su derecha”. Cuanto más se aproxime xa %4, más se aproxima f (x) a b. Esta aproximación es tanta como podamosimaginar. Significa que “para valores de x infinitamente grandes negativos, lasimágenes están infinitamente próximas a b por su izquierda”. Cuanto más seaproxime x a &4, más se aproxima f (x) a b. Esta aproximación es tanta comopodamos imaginar.

De forma similar podemos interpretar las siguientes expresiones:f (a+) = b& ; f (a&) = b+ ; f (a&) = b& ; f (&4) = +4 ; f (&4) = &4 ; f(%4) = b& ; f(&4) = b+

Ejemplo 40.-Sea la función . Observamos que el dominio es todo ú excepto 0, es decir:f x

x( ) =

5

Esto significa que para x = 0 no existe imagen, es decir: f ( )0 50= ∉ R

Nos hacemos la siguiente pregunta:Para x = 0 no existe la función, pero ¿qué ocurre en las proximidades de x = 0?, es decir,

¿qué ocurre cuando x = 0+ y x = 0&?

Contestemos a esta pregunta:x f

x f

= → = = + ∞

= → = = − ∞

+ ++

− −−

0 05

0

0 05

0

( )

( )

Es decir: Para x = 0 no existe imagen, pero para valores de x infinitamente próximos a 0 por suderecha las imágenes se hacen infinitamente grandes positivas y para valores de x infinitamentepróximas a 0 por su izquierda, las imágenes de hacen infinitamente grandes negativas.

f (a&) = %4

f (a&) = &4

f (%4) = &4

f (%4) = %4

f (a+) = b+

f (%4) = b+

f (&4) = b&


( )

( )

( )

( )

x

x f

x f

x f

etc

x

x f

x f

=

= ′ → ′ =′

=

= ′ → ′ =′

=

= ′ → ′ =′

=

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

= − ′ → − ′ =− ′

= −

= − ′ → − ′

+

−

0

0 1 0 15

0 150

0 01 0 015

0 01500

0 001 0 0015

0 0015000

0

0 1 0 150 1

50

0 01 0

.

( )

( )

015

0 01500

0 001 0 0015

0 0015000

=− ′

= −

= − ′ → − ′ =− ′

= −

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

x f

etc.

x f

x f

= +∞ → +∞ = =

= −∞ → −∞ = =

+∞+

−∞−

( )

( )

5

5

0

0

Hagamos algunas comprobaciones con calculadora:

Observa que si queremos que una imagen sea mayor (o menor) que un número que imaginemos,solo tenemos que tomar un valor para x que esté suficientemente próximo a 0.

Veamos ahora qué le ocurre a la función si tomamos valores para x infinitamente grandes:

Hagamos algunas comprobaciones con la calculadora:

x

x f

x f

x fetc

x

x f

x f

x f= +∞

= → = = ′

= → = = ′

= → = = ′⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= −∞

= − → − = = − ′

= − → − = = − ′

= − → −

−

−

100 100 0 05

1000 1000 0 005

10000 10000 0 0005

100 100 0 05

1000 1000 0 005

10000 10000

5100

51000

510000

5100

51000

( )

( )

( )

( )

( )

( ) = = − ′⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

−5

10000 0 0005etc

Podemos observar que una imagen f (x) puede aproximarse a 0 tanto como podamos imaginar.

Ejemplo 41.-

Sea la función . Observamos que g(4) no existe, es decir, 4óDgg xx

( ) =−−24

¿Cómo se comporta la función en las proximidades de x = 4?

Veamos:x g

negativopositivo

x gnegativonegativo

= → =−−

=−

= = − ∞

= → =−−

=−

= = + ∞

+ ++ +

− −− −

4 42

4 42

0

4 42

4 42

0

( )

( )

¿Cómo se comporta la función g(x) en el infinito?

Es decir, si la variable x toma valores infinitamente grandespositivos, las imágenes están infinitamente próximas a 0 por suderecha y si toma valores infinitamente grandes negativos, lasimágenes están infinitamente próximas a 0 por si izquierda.

Si x está infinitamentepróximo a 4 por su derecha,l a s i m á g e n e s s o ninfinitamente grandesnegativas y si x lo está ......


x g

x g

x g

x g

= ′ → ′ =−

′ −=

−′

= −

= ′ → ′ =−

′ −=

−− ′

=

= → =−

−=

−= − ′

= − → − =−

− −=

−−

= ′

4 0001 4 00012

4 0001 42

0 000120000

3 9999 3 99992

3 9999 42

0 000120000

10004 100042

10004 42

100000 0002

9996 99962

9996 42

100000 0002

( )

( )

( ).

( ).

( ) ( )

( ) ( )

x hnegativopositivo

x hnegativopositivo

= − → − =−

− +=

−=−

= = − ∞

= − → − =−

− +=

−=−

= = − ∞

+ ++

+

+

+

+

+

− −−

−

−

−

+

+

3 33

3 3

3

0

30

3 33

3 3

3

0

30

2 2

2 2

( )

( )

Veamos:

x g

x g

= +∞ → +∞ =−

+∞ −=

−+∞

=

= −∞ → −∞ =−

−∞ −=

−−∞

=

−

+

( )

( )

24

20

24

20


Ejemplo 42.-Sea la función . Apréciese como

( )h x

xx

( ) =+ 3 2 ( )

h( )− =−

− +=

−∉3

33 3

302 R

Vemos que &3 no tiene imagen. Veamos qué ocurre en las proximidades de &3.

Veamos que ocurre cuando x toma valores infinitamente grandes.

( )

( ) ( )

x hpositivopositivo

x hnegativopositivo

= +∞ → +∞ =+∞

+∞ +=

+∞+∞

= =

= −∞ → −∞ =−∞

−∞ +=

−∞

−∞=

−∞+∞

= =

+

−

( )

( )

30

30

2 2

2 2 2


( ) ( )

( )

x h

x h

= − ′ → − ′ =− ′

− ′ +=

− ′

− ′=

− ′′

= −

= → =+

= = = ′

3 0001 3 00013 0001

3 0001 3

3 0001

0 0001

3 00010 00000001

300010000

997 997997

997 3997

1000997

10000000 000997

2 2

2 2

( )

( )

Cuando x toma valores infinitamente grandespositivos, las imágenes están infinitamente próximas a0 por su izquierda y si x toma valores infinitamentegrandes negativos, las imágenes están infinitamentepróximas a 0 por su derecha.

En estas comprobacionespuede apreciarse lacoherencia de losresultados con la ideaexpresada sobre elcomportamiento de lafunción. Apréciese comoc u a n t o m á s n o sacercamos a 4, másgrande (positiva onegativa) es la imagen.

En este caso se verificaque cuando x toma valoresinfinitamente próximos a&3, por su derecha o porsu izquierda, lasi m á g e n e s s o ninfinitamente grandesnegativas.

Nótese que en ambos casosel numerador y eldenominador son infinitos,pero el denominador esinfinitamente mayor que elnumerador, por lo que elcociente es cero.


( ) ( )f xx

x xx xx x

podemos simplificar siempre y cuando xxx

( )( )

( ) ( )( )

( )=−

− ⋅ −=

+ ⋅ −− ⋅ −

= ≠ =+−

2 255 1

5 55 1

551

( )f ( )( )

55 25

5 5 5 100

2

=−

− ⋅ −= ∉ R

f xxx

si x

no existe si x( ) =

+−

≠

=

51

5

5

x f no sabemos si o

x f no sabemos si o

= → =+−

= ≈ ′ ′ ′

= → =+−

=−≈ ′ ′ ′

+ ++

+

+

++ −

− −−

− −+ −

5 55 55 1

104

2 5 2 5 2 5

5 55 55 1

104

2 5 2 5 2 5

( ) ( )

( ) ( )

x f

x f

= ′ → ′ =′ +′ −

=′′

= ′ ′

= ′ → ′ =′ +′ −

=′′

= ′ ′

−

+

5 001 5 0015 001 55 001 1

10 0014 001

2 499625094 2 5

4 999 4 9994 999 54 999 1

9 9993 999

2 500375094 2 5

( ) ( )

( ) ( )

x f= +∞ → +∞ =+ ∞ ++∞ +

= +( )21

1

Ejemplo 43.-

Sea la función . Observamos que x = 5 no tiene imagen, ya que:( )f xx

x x( )

( )=

−− ⋅ −

2 255 1

Veamos lo que ocurre en las proximidades de x = 5:

Es decir, la función f (x) puede definirse del siguiente modo:

Veamos qué ocurre cuando x = 5+ y cuando x = 5& :

Hagamos alguna comprobación con calculadora:

NOTA Es posible en este ejemplo determinar a simple vista que f (5+)=2´5& y f (5&)=2´5+ con un poco de habilidad.

Ejemplo 44-Sea la función . Queremos saber:f x

xx

( ) =++

21

a) ¿Cómo se comporta la función cuando x se hace infinitamente grade positivo?b) ¿Cómo se comporta la función cuando x se hace infinitamente grade negativo?

Veamos:a) Cuando x es un número infinitamente grande positivo, el numerador x + 2 y el

denominador x +1 son dos números aproximadamente iguales (cuanto mayor seax, “más iguales” serán x + 2 y x + 1). No obstante, el numerador será “un poco”mayor que el denominador. Considerando este razonamiento:

En cualquier caso,para valores de xi n f i n i t a m e n t epróximos a 5 porsu derecha oizquierda, lasimágenes estáni n f i n i t a m e n t epróximas a 2´5.


x f

x f

= → = = ′

= → = = ′

1000 100010021001

1 000999

10000 100001000210001

1 0000999

( ) .....

( ) .....

x f

x f

= − → − =−−

= ′

= − → − =−−

= ′

1000 1000998999

0 99899899

10001 1000199991000

0 9999

( ) .....

( )

( )

( )

x g e

x g ee

= +∞ → +∞ = = ′ = + ∞

= −∞ → −∞ = = =′

=+∞

=

+∞ +∞

−∞+∞ +∞

+

( ) ....

( )....

2 718281821 1

2 71828182

10

x f= −∞ → −∞ =−∞ +−∞ +

= −( )21

1

Es decir, para valores de x infinitamente grandes positivos, las imágenes son númerosque están infinitamente próximos a 1, pero “un poco mayores que 1".

Comprobemos:

b) Cuando x es un número infinitamente grande negativo, el numerador x + 2 y eldenominador x + 1 son dos números negativos aproximadamente iguales (cuantomayor sea x, “más iguales” serán x + 2 y x + 1). No obstante, el numerador será“un poco” mayor que el denominador (el numerador está a la derecha deldenominador). Considerando este razonamiento (teniendo en cuenta que es uncociente entre números negativos):

Es decir, para valores de x infinitamente grandes negativos, las imágenes sonnúmeros que están infinitamente próximos a 1, pero “un poco menores que 1".Comprobemos:

Ejemplo 45-Sea la función . Queremos saber su comportamiento para valores de xg x ex( ) =

infinitamente grandes positivos y negativos.Veamos:

Por tanto: Para valores de x infinitamente grandes positivos, las imágenes soninfinitamente grandes positivas y para valores de x infinitamente grandesnegativos, las imágenes son números infinitamente próximos a cero, peropositivos.

Ejemplo 46-

Sea la función . ¿Cómo se comporta cuando x = +4 y x= &4?h xex

x

( ) =


x he

= +∞ → +∞ =+∞

=′

+∞=

+∞+∞

= + ∞+∞ +∞

( )( ....)2 71828182

x he

ee= −∞ → −∞ =

−∞=

−∞=

−∞ ⋅=−∞ ⋅ ∞

=−∞

=−∞

=−∞

+∞−+∞

( )1

21 1 1 1

0

x he

x he

con calculadora= → = = ′ ⋅

= − → − =−

= − ′ ⋅

−−

100 100100

2 688117142 10

100 100100

3 720075976 10

10041

10046

( )

( )

y x

y xx y

= +

= +− + =

53

12

6 10 310 6 3 0

forma explicita

forma implicita

Veamos:

Aclaremos este caso: Tanto el numerador como el denominador son infinitamentegrandes positivos, pero el infinito del numerador es infinitamentemayor que el del denominador. Esto hace que el cociente sea %4.

Cuando x toma valores infinitamente grandes negativos, las imágenes están infinitamentepróximas a 0 por su izquierda.

Hagamos alguna comprobación:

Debe entenderse que el primer número es “infinitamente grande positivo” y el segundoes un número negativo “infinitamente próximo a cero”

12. Formas explícita e implícita de la expresión de una función.-

Hemos visto que una función viene determinada por una expresión y = f (x), en la que“x” es la variable independiente e “y” la variable dependiente (su valor depende de x).

La forma de expresión “y = f (x)”, es decir, la variable dependiente “y” está despejada y“a un lado de la igualdad” mientras que la variable independiente “x” está “al otro lado”, sellama forma explícita de la función f (x). Si expresamos ambas variables a un “lado” eigualamos a cero, es decir, f (x , y) = 0, tendríamos la expresión en forma implícita.

En algunos casos es posible pasar de una forma a otra, pero hay funciones en las quepasar de forma implícita a forma explícita (esto es, despejar la variable “y”) puede resultarcomplicado e incluso que la función no pueda expresarse en forma explícita.

Ejemplo 47-La función está expresada en forma explícita (la variable dependiente estáy x= +5

312

despejada). Vamos a expresarla en forma implícita:


f x a a x a x a x a x a xsiendo a a a a a y n

nn

nn

n n

( ), , ,...., ,

= + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ +∈ ∈

−−

−

0 1 22

33

11

0 1 2 1 R N

Funciones

A ebraicasRacionales

Enteras o polinomicasFraccionarias

Irracionales

TrascendentesTrigonometricasExponencialesLogaritmicas

lg

xex

xe x e xx

Le L xx

y Le L x Lx y L x Lx

y L x Lx

yy y

y

22 2

2

11 1 1

1 2 1 2 1 1

12

+= = + =

+

=+

⋅ = + − ⋅ = + −

=+ −

; ;

; ( ) ; ( )

: ( )& .

tomamos logaritmos neperianos:

Despejando expresion en forma explicita

Ejemplo 48.-

La siguiente función está expresada en forma implícita. Queremosxex

y2

11 0

+− =

pasarla a forma explícita. Veamos:Se trata de despejar la variable dependiente y :

13. Clasificación de las funciones.-

Hemos visto que una función real de variable real es una correspondencia entre númerosreales que es también una aplicación de ú (o un subconjunto de ú) en ú. Una función vienedeterminada por una fórmula que expresa esa relación. Según el “aspecto” de esa fórmula, lasfunciones se clasifican del siguiente modo:

Funciones algebraicas: Son aquellas en las que la variable x está afectada por lasoperaciones de adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación de exponenteracional.

Funciones racionales enteras o polinómicas: Tienen forma de polinomio. Suaspecto es:

Funciones racionales fraccionarias: Son cociente de dos funciones polinómicas. Su aspecto es:


f x a a x a x a x a x a xb b x b x b x b x a x

nn

nn

kk

kk( ) = + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ +

+ + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ +−

−

−−

0 1 22

33

11

0 1 22

33

11

Nótese que el grado del polinomio numerador (n) y el del denominador (k) notienen por qué ser iguales.

Funciones irracionales : Cuando la variable independiente aparece bajo el signo radical o elevada a exponente racional no entero.

Funciones trascendentes : Cuando no son algebraicas.

Ejemplo 49-Veamos algunas funciones concretas que identificamos según la clasificación anterior:

3 es una función polinómica de grado 0 (función algebraica racional)f x( ) = −2

3 es una función polinómica de grado 1 (función algebraica racional)g x x( ) = −32 2

3 es una función polinómica de grado 2 (función algebraica racional)h x x x( ) = − +53 2 π

4 es una función racional fraccionaria ( algebraica racional).r x x xx x e

( ) = − +− + −

3 2 67

4

52 5

; es una función algebraica irracional.s x x x x( ) = + − +7 3 13 2

; es una función algebraica irracional.q x x xx

( ) = −+

2 31 15

3

S es una función trascendente trigonométrica.m x sen x tg xx

( )cos

=−

+2

1

S es una función trascendente exponencial.u x e x( ) = +5 1

S es una función trascendente logarítmica.( )v x L x x( ) = +3

R es una función que se obtiene al operar funciones de distintos tiposw x Lx xx x( ) = + +⋅

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I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de … Reales de Variable Real I. E. S. Siete Colinas...

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