i · MATEMÁTICAS BÁSICAS . El dominio de estas funciones queda restringido al conjunto de...
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x
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
y sen(t) y cos(t) para un t positivo En dicha
(xy) que mide t radianes es el aacutengulo AOP y las lente cos(t) y sen(t)
(-x -y)
x
FIGURA 38
bull cos(t+n2)=-sent sen(t+n2 ) = cost tER (Verla figura 39 siguiente)
y
( -yx)
i
FIGURA 39
bull cos t = cos(- t) sen(- t) = -sen t para todo tER (Ver la figura 40 siguiente)
te)
FIGURA 40
y
x
Las otras funciones trigonomeacutetricas se definen a partir de seno y coseno como sigue
sen t cost 1 1 tant = -- cott = -- sect = -- csct =- shycost sen t cos t sen t
97
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
El dominio de estas funciones queda restringido al conjunto de nuacutemeros reales t para los cuales el denominador no se anula
rr 1nterpretaeioacuten geomeacutetrica de tant see t eot t y ese t para 0lt t lt -
2
y y
xx
FIGURl 41
Aplicando teorema de Pitaacutegoras se deduce de las figuras anteriores que
I + tan 2 t == see 2 t I y I I + eot 2 t = ese 2 t
propiedades estas que son vaacutelidas para todo nuacutemero real t para el cual esteacuten definidas las funciones involucradas en ellas
Observe que cuando t se acerca a rr 2 con valores menores que rr 2 tant toma valores
positivos cada vez maacutes grandes a medida que t se acerca maacutes y maacutes a rr2 anaacutelogamente si
t se acerca a 0 con valores positivos eot t toma valores positivos cada vez mayores
Algunas identidades trigonomeacutetricas baacutesicas
Propiedades como
sen 2 t + eos 2 t = l
eos( t + rr) = - eos t
eos( - t) = eos t
sen(-t)=-sent 2 2I +tan t = see t
21+eot 2 t = ese t
a las cuales ya nos hemos referido son llamadas identidades trigonomeacutetricas A continuacioacuten recordamos otras de tales identidades
J sen(a+~) = senaeos~+sen~eosa I y I eos(a+~)=eosaeos~ - senasen~
98
Prueba Veacutease la figura 42 siguiente
(
2
3
4
5 2
2 1+ eos a = _ ---1
Prueba
miembro
Prueba Se ob
eos( - ~) = eos ~
sen a eos ~ = ~ [ sen
MATEMAacuteTlCAS BAacuteSICAS
Prueba Veacutease la figura 42 siguiente sido al conjunto de nuacutemeros reales t para los
n t t y ese t para O lt t lt -
2
y
FIGURA 4 2
2 22 sen(2a)=2senaeosa 1 y I eos(2a) = eos a-sen a
Prueba sen(2a) = sen(a + a) == sen aeos a + sen aeos a == 2 sen aeos a y 2eos(2a) = eos(a + a) = eosaeosa - sen asen a = eos a - sen 2 a
3 __ _ o=2s a I sen 2 a == _ = (= --J---_eo_s_2 a =_-1 +~-e_ (2==)--J1 y L______-1 -==eo2s2a~)2 2 2Prueba eos a + sen 2 a==1 y eos a- sen a == eos(2a) Sumando miembro a
miembro estas dos igualdades se obtiene 2 eos 2 a = I + eos(2a) de donde
2 1+eos(2a)eos a =
2 La otra identidad se obtiene restando las mismas dos igualdades
4 sen(a-~) = senaeos~-sen~eosa y eos(a - ~) = eosaeos~+senasen~1 1
Prueba Se obtienen de 1 teniendo en cuenta que sen(-~)== -sen~ y
eos( - ~) == eos ~
5 senaeos~==~[sen(a+~)+sen(a-~)] eosaeos~==~[cos(a+~)+eos(a-~)]2 2
~--------------------------~
sen a sen ~ = ~ [ cos( a - ~) - eos( a + ~) ]2
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MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
Prueba Como
sen(a + ~) =sen acos ~ + sen ~cosa y sen(a - ~) =sen acos~ - sen acos~
Entonces sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores se obtiene
sen(a +~)+ sen(a - ~) = 2sen acos~
De donde sen acos ~ =~ [sen(a +~)+ sen(a - ~ ) ] Anaacutelogamente se prueban las otras 2
dos identidades
Ejemplo sen( 4x )cos(3x) = ~ [sen(7x) + sen x ] cos( 4x )cos(3x) = ~ [cos(7x) + cos x ]2 2
1sen(4x )sen(3x) = - [ cos x - cos(7x)]
2
Leyes de seno y coseno
Ley de seno En todo triaacutengulo ABC (Vea la figura 43 siguiente)
B
A
se tiene que
sena sen ~ sen y=
a b c
Prueba De la figura 44 siguiente
B
FIGURA 43
A
FIGURA 44
100
b sese tiene que sen a = h = a sen ~ luego shy
Por otra parte de la figura 45 siguiente
J I p
I I
I
180lt
~
I
se tiene que
es decir
csen
De donde
Ley de coseno En todo t
se tiene que
_
a
rr=uumlhrEJcMAbEFE Gu
y sen(a -~) = sen acos~ - sen acos ~
las dos igualdades anteriores se obtiene
l(a - ~) ] Anaacutelogamente se prueban las otras
l
MATEMAacuteT1CAS SAacuteS1CAS
sena sen ~ se tiene que bsena = h = asen~ luego -- = - -o
a b
Por otra parte de la figura 45 siguiente
I
p---- H ---------shy
1800 f --- B
A FIGlJRA45
se tiene que c sen a = H = a sen(1800
- y)
es decir
csena = a[~cosy -senY~l = aseny o - 1
De donde sena sen y
== a c
Ley de coseno En todo triaacutengulo ABe (Vea la figura 46 siguiente)
B
A FIGURA 46
se tiene que
a 2 == b 2 + c 2 - 2bc cos a
b 2 == a 2 + c 2 - 2ac cos ~
c 2 == a 2 + b2 - 2abcosy
1
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MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
El dominio de estas funciones queda restringido al conjunto de nuacutemeros reales t para los cuales el denominador no se anula
rr 1nterpretaeioacuten geomeacutetrica de tant see t eot t y ese t para 0lt t lt -
2
y y
xx
FIGURl 41
Aplicando teorema de Pitaacutegoras se deduce de las figuras anteriores que
I + tan 2 t == see 2 t I y I I + eot 2 t = ese 2 t
propiedades estas que son vaacutelidas para todo nuacutemero real t para el cual esteacuten definidas las funciones involucradas en ellas
Observe que cuando t se acerca a rr 2 con valores menores que rr 2 tant toma valores
positivos cada vez maacutes grandes a medida que t se acerca maacutes y maacutes a rr2 anaacutelogamente si
t se acerca a 0 con valores positivos eot t toma valores positivos cada vez mayores
Algunas identidades trigonomeacutetricas baacutesicas
Propiedades como
sen 2 t + eos 2 t = l
eos( t + rr) = - eos t
eos( - t) = eos t
sen(-t)=-sent 2 2I +tan t = see t
21+eot 2 t = ese t
a las cuales ya nos hemos referido son llamadas identidades trigonomeacutetricas A continuacioacuten recordamos otras de tales identidades
J sen(a+~) = senaeos~+sen~eosa I y I eos(a+~)=eosaeos~ - senasen~
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Prueba Veacutease la figura 42 siguiente
(
2
3
4
5 2
2 1+ eos a = _ ---1
Prueba
miembro
Prueba Se ob
eos( - ~) = eos ~
sen a eos ~ = ~ [ sen
MATEMAacuteTlCAS BAacuteSICAS
Prueba Veacutease la figura 42 siguiente sido al conjunto de nuacutemeros reales t para los
n t t y ese t para O lt t lt -
2
y
FIGURA 4 2
2 22 sen(2a)=2senaeosa 1 y I eos(2a) = eos a-sen a
Prueba sen(2a) = sen(a + a) == sen aeos a + sen aeos a == 2 sen aeos a y 2eos(2a) = eos(a + a) = eosaeosa - sen asen a = eos a - sen 2 a
3 __ _ o=2s a I sen 2 a == _ = (= --J---_eo_s_2 a =_-1 +~-e_ (2==)--J1 y L______-1 -==eo2s2a~)2 2 2Prueba eos a + sen 2 a==1 y eos a- sen a == eos(2a) Sumando miembro a
miembro estas dos igualdades se obtiene 2 eos 2 a = I + eos(2a) de donde
2 1+eos(2a)eos a =
2 La otra identidad se obtiene restando las mismas dos igualdades
4 sen(a-~) = senaeos~-sen~eosa y eos(a - ~) = eosaeos~+senasen~1 1
Prueba Se obtienen de 1 teniendo en cuenta que sen(-~)== -sen~ y
eos( - ~) == eos ~
5 senaeos~==~[sen(a+~)+sen(a-~)] eosaeos~==~[cos(a+~)+eos(a-~)]2 2
~--------------------------~
sen a sen ~ = ~ [ cos( a - ~) - eos( a + ~) ]2
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MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
Prueba Como
sen(a + ~) =sen acos ~ + sen ~cosa y sen(a - ~) =sen acos~ - sen acos~
Entonces sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores se obtiene
sen(a +~)+ sen(a - ~) = 2sen acos~
De donde sen acos ~ =~ [sen(a +~)+ sen(a - ~ ) ] Anaacutelogamente se prueban las otras 2
dos identidades
Ejemplo sen( 4x )cos(3x) = ~ [sen(7x) + sen x ] cos( 4x )cos(3x) = ~ [cos(7x) + cos x ]2 2
1sen(4x )sen(3x) = - [ cos x - cos(7x)]
2
Leyes de seno y coseno
Ley de seno En todo triaacutengulo ABC (Vea la figura 43 siguiente)
B
A
se tiene que
sena sen ~ sen y=
a b c
Prueba De la figura 44 siguiente
B
FIGURA 43
A
FIGURA 44
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b sese tiene que sen a = h = a sen ~ luego shy
Por otra parte de la figura 45 siguiente
J I p
I I
I
180lt
~
I
se tiene que
es decir
csen
De donde
Ley de coseno En todo t
se tiene que
_
a
rr=uumlhrEJcMAbEFE Gu
y sen(a -~) = sen acos~ - sen acos ~
las dos igualdades anteriores se obtiene
l(a - ~) ] Anaacutelogamente se prueban las otras
l
MATEMAacuteT1CAS SAacuteS1CAS
sena sen ~ se tiene que bsena = h = asen~ luego -- = - -o
a b
Por otra parte de la figura 45 siguiente
I
p---- H ---------shy
1800 f --- B
A FIGlJRA45
se tiene que c sen a = H = a sen(1800
- y)
es decir
csena = a[~cosy -senY~l = aseny o - 1
De donde sena sen y
== a c
Ley de coseno En todo triaacutengulo ABe (Vea la figura 46 siguiente)
B
A FIGURA 46
se tiene que
a 2 == b 2 + c 2 - 2bc cos a
b 2 == a 2 + c 2 - 2ac cos ~
c 2 == a 2 + b2 - 2abcosy
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MATEMAacuteTlCAS BAacuteSICAS
Prueba Veacutease la figura 42 siguiente sido al conjunto de nuacutemeros reales t para los
n t t y ese t para O lt t lt -
2
y
FIGURA 4 2
2 22 sen(2a)=2senaeosa 1 y I eos(2a) = eos a-sen a
Prueba sen(2a) = sen(a + a) == sen aeos a + sen aeos a == 2 sen aeos a y 2eos(2a) = eos(a + a) = eosaeosa - sen asen a = eos a - sen 2 a
3 __ _ o=2s a I sen 2 a == _ = (= --J---_eo_s_2 a =_-1 +~-e_ (2==)--J1 y L______-1 -==eo2s2a~)2 2 2Prueba eos a + sen 2 a==1 y eos a- sen a == eos(2a) Sumando miembro a
miembro estas dos igualdades se obtiene 2 eos 2 a = I + eos(2a) de donde
2 1+eos(2a)eos a =
2 La otra identidad se obtiene restando las mismas dos igualdades
4 sen(a-~) = senaeos~-sen~eosa y eos(a - ~) = eosaeos~+senasen~1 1
Prueba Se obtienen de 1 teniendo en cuenta que sen(-~)== -sen~ y
eos( - ~) == eos ~
5 senaeos~==~[sen(a+~)+sen(a-~)] eosaeos~==~[cos(a+~)+eos(a-~)]2 2
~--------------------------~
sen a sen ~ = ~ [ cos( a - ~) - eos( a + ~) ]2
99
MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
Prueba Como
sen(a + ~) =sen acos ~ + sen ~cosa y sen(a - ~) =sen acos~ - sen acos~
Entonces sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores se obtiene
sen(a +~)+ sen(a - ~) = 2sen acos~
De donde sen acos ~ =~ [sen(a +~)+ sen(a - ~ ) ] Anaacutelogamente se prueban las otras 2
dos identidades
Ejemplo sen( 4x )cos(3x) = ~ [sen(7x) + sen x ] cos( 4x )cos(3x) = ~ [cos(7x) + cos x ]2 2
1sen(4x )sen(3x) = - [ cos x - cos(7x)]
2
Leyes de seno y coseno
Ley de seno En todo triaacutengulo ABC (Vea la figura 43 siguiente)
B
A
se tiene que
sena sen ~ sen y=
a b c
Prueba De la figura 44 siguiente
B
FIGURA 43
A
FIGURA 44
100
b sese tiene que sen a = h = a sen ~ luego shy
Por otra parte de la figura 45 siguiente
J I p
I I
I
180lt
~
I
se tiene que
es decir
csen
De donde
Ley de coseno En todo t
se tiene que
_
a
rr=uumlhrEJcMAbEFE Gu
y sen(a -~) = sen acos~ - sen acos ~
las dos igualdades anteriores se obtiene
l(a - ~) ] Anaacutelogamente se prueban las otras
l
MATEMAacuteT1CAS SAacuteS1CAS
sena sen ~ se tiene que bsena = h = asen~ luego -- = - -o
a b
Por otra parte de la figura 45 siguiente
I
p---- H ---------shy
1800 f --- B
A FIGlJRA45
se tiene que c sen a = H = a sen(1800
- y)
es decir
csena = a[~cosy -senY~l = aseny o - 1
De donde sena sen y
== a c
Ley de coseno En todo triaacutengulo ABe (Vea la figura 46 siguiente)
B
A FIGURA 46
se tiene que
a 2 == b 2 + c 2 - 2bc cos a
b 2 == a 2 + c 2 - 2ac cos ~
c 2 == a 2 + b2 - 2abcosy
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MATEMAacuteTICAS BAacuteSICAS
Prueba Como
sen(a + ~) =sen acos ~ + sen ~cosa y sen(a - ~) =sen acos~ - sen acos~
Entonces sumando miembro a miembro las dos igualdades anteriores se obtiene
sen(a +~)+ sen(a - ~) = 2sen acos~
De donde sen acos ~ =~ [sen(a +~)+ sen(a - ~ ) ] Anaacutelogamente se prueban las otras 2
dos identidades
Ejemplo sen( 4x )cos(3x) = ~ [sen(7x) + sen x ] cos( 4x )cos(3x) = ~ [cos(7x) + cos x ]2 2
1sen(4x )sen(3x) = - [ cos x - cos(7x)]
2
Leyes de seno y coseno
Ley de seno En todo triaacutengulo ABC (Vea la figura 43 siguiente)
B
A
se tiene que
sena sen ~ sen y=
a b c
Prueba De la figura 44 siguiente
B
FIGURA 43
A
FIGURA 44
100
b sese tiene que sen a = h = a sen ~ luego shy
Por otra parte de la figura 45 siguiente
J I p
I I
I
180lt
~
I
se tiene que
es decir
csen
De donde
Ley de coseno En todo t
se tiene que
_
a
rr=uumlhrEJcMAbEFE Gu
y sen(a -~) = sen acos~ - sen acos ~
las dos igualdades anteriores se obtiene
l(a - ~) ] Anaacutelogamente se prueban las otras
l
MATEMAacuteT1CAS SAacuteS1CAS
sena sen ~ se tiene que bsena = h = asen~ luego -- = - -o
a b
Por otra parte de la figura 45 siguiente
I
p---- H ---------shy
1800 f --- B
A FIGlJRA45
se tiene que c sen a = H = a sen(1800
- y)
es decir
csena = a[~cosy -senY~l = aseny o - 1
De donde sena sen y
== a c
Ley de coseno En todo triaacutengulo ABe (Vea la figura 46 siguiente)
B
A FIGURA 46
se tiene que
a 2 == b 2 + c 2 - 2bc cos a
b 2 == a 2 + c 2 - 2ac cos ~
c 2 == a 2 + b2 - 2abcosy
1
101
_
a
rr=uumlhrEJcMAbEFE Gu
y sen(a -~) = sen acos~ - sen acos ~
las dos igualdades anteriores se obtiene
l(a - ~) ] Anaacutelogamente se prueban las otras
l
MATEMAacuteT1CAS SAacuteS1CAS
sena sen ~ se tiene que bsena = h = asen~ luego -- = - -o
a b
Por otra parte de la figura 45 siguiente
I
p---- H ---------shy
1800 f --- B
A FIGlJRA45
se tiene que c sen a = H = a sen(1800
- y)
es decir
csena = a[~cosy -senY~l = aseny o - 1
De donde sena sen y
== a c
Ley de coseno En todo triaacutengulo ABe (Vea la figura 46 siguiente)
B
A FIGURA 46
se tiene que
a 2 == b 2 + c 2 - 2bc cos a
b 2 == a 2 + c 2 - 2ac cos ~
c 2 == a 2 + b2 - 2abcosy
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