ISOMETRAS Y TESELACIONES

TRASLACIONES Las traslaciones, son aquellas isometras que permiten desplazar en lnea recta todos los puntos del plano. Este desplazamiento se realiza siguiendo una determinada direccin, sentido y distancia, por lo que toda traslacin queda definida por lo que se llama su vector de traslacin. OBSERVACIONES Una figura conserva todas sus dimensiones, tanto lineales como angulares. Una figura jams rota; es decir, el ngulo que forma con la horizontal no vara. No importa el nmero de traslaciones que se realicen, siempre es posible resumirlas en una

nica. EJEMPLOS 1. Cul(es) de los siguientes casos representa(n) una Traslacin?

I) II) III)

A) Slo I B) Slo II C) Slo III D) Slo I y II E) Slo I y III

2. En la figura 1, cul es el vector de traslacin que se aplic al tringulo A para

obtener el tringulo B?

A) (8, - 4)

B) (8, 4)

C) (4, -10)

D) (10, 4)

E) (10, - 4)

1

A

B

0

2

4

6

8

1 3 5 8 10 11 12

3

5

7

2 4 6 7 9 13 14 15 16

fig. 1

Gua PrcticaSegundos medios

Fuente: Pre Universitario Pedro de Valdivia

2

ROTACIONES Las rotaciones, son aquellas isometras que permiten girar todos los puntos del plano. Cada punto gira siguiendo un arco que tiene un centro y un ngulo bien determinados, por lo que toda rotacin queda definida por su centro de rotacin y por su ngulo de giro. Si la rotacin se efecta en sentido contrario a como giran las manecillas del reloj, se dice que la rotacin es positiva o antihoraria; en caso contrario, se dice que la rotacin es negativa u horaria. OBSERVACIONES Una rotacin con centro P y ngulo de giro , se representa por R (P, ). Si la rotacin

es negativa, se representa por R (P, - ). Si rotamos el punto (x, y) con respecto al origen 0 ( 0, 0 ) en un ngulo de giro de 90,

180 , 270 o 360 , las coordenadas de los puntos obtenidos estn dados en la siguiente tabla.

Punto Inicial R (0, 90) R (0, 180) R (0, 270) R (0, 360)

( x, y ) ( -y, x ) ( -x, -y ) ( y , -x ) ( x , y ) EJEMPLOS 1. Cul de las siguientes alternativas representa una rotacin de la figura en 45 con

centro p? A) B) C) D) E) 2. Al aplicar una rotacin de centro en el origen y ngulo de giro de 270, en sentido

antihorario, al punto A de la figura 1, se obtiene el punto A cuyas coordenadas son

A) (2, 7) B) (-2, -7) C) (7, -2) D) (7, 2) E) (-7, -2)

p

p

p

p p

p

fig. 1

1

4 3 2

6 7

5

-2 -1

A

x

y

3

TRANSFORMACIONES ISOMTRICAS EN EL PLANO SIMETRAS Las simetras o reflexiones, son aquellas transformaciones isomtricas que invierten los puntos y figuras del plano. Esta reflexin puede ser respecto de un punto (simetra central) o respecto de una recta (simetra axial). SIMETRA CENTRAL Dado un punto fijo O del plano, se llama simetra (reflexin) con respecto a O a aquella isometra que lleva cada punto P del plano a una posicin P de modo que P est en la recta OP, a distinto lado con respecto a O, y OP = OP ' . El punto O se llama centro de la simetra y P, P puntos correspondientes u homlogos de la simetra. OBSERVACIONES Una simetra (reflexin) respecto de un punto O equivale a una rotacin en 180 de centro O. Los trazos de la figura original son paralelos con los trazos homlogos de la figura

transformada. El sentido de la figura no cambia respecto al giro de las manecillas del reloj. Todo punto del plano cartesiano A(x, y) tiene su simtrico A(-x, -y) con respecto al

origen O(0, 0). EJEMPLOS 1. Al segmento AB de la figura 1, se le aplica una simetra (reflexin) con respecto al punto P,

resultando un segmento AB, entonces las coordenadas de B son

A) (2, 2) B) (2, 5) C) (5, 2) D) (2, 3) E) (2, -1)

2. Mediante una reflexin con respeto a O, la figura sombreada se reflej en la figura

punteada. Esto se verifica mejor en A) B) C) D) E)

O O O

O

1

4

5

2 4

P

B

A

fig. 1

O

4

SIMETRA AXIAL Dada una recta fija L del plano , se llama simetra axial con respecto a L o reflexin con respecto a L, a aquella isometra tal que, si P y P son puntos homlogos con respecto a ella,

PP L y, adems, el punto medio de PP est en L. La figura 1, muestra dos tringulos simtricos respecto de L. OBSERVACIONES En una simetra axial, las figuras cambian de sentido respecto del giro de las manecillas del

reloj. No es posible superponer, mediante traslaciones y/o rotaciones, los tringulos congruentes

PQR y PQR. Los puntos de la recta L permanecen invariantes ante esta reflexin. Todo punto del plano cartesiano A (x, y) tiene un simtrico A (x, -y) con respecto al eje

de las abscisas y un simtrico A (-x , y) con respecto al eje de las ordenadas. EJEMPLOS 1. En cul de los siguientes casos se verifica mejor una simetra axial con respecto a L? A) B) C) D) E) 2. Al tringulo ABC de la figura 2, se le aplica una simetra (reflexin) respecto a la recta

L (L // Eje y). Entonces, las coordenadas del vrtice C se transforman en

A) (-7, -2) B) (-7, 2) C) (-3, -2) D) (-3, 2) E) (3, 2)

5 4

3 2 1

-1 -2

-3 -4 -5

-1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5

L

B

A

C

y

x

fig. 2

L Q

R P

P

R

Q fig. 1

5

EJE DE SIMETRA Es aquella recta que atraviesa una figura dividindola en dos partes simtricas con respecto a la recta. OBSERVACIONES Existen figuras que no tienen eje de simetra. Existen figuras que tienen slo un eje de simetra. Existen figuras que tienen ms de un eje de simetra. La circunferencia tiene infinitos ejes de simetra. EJEMPLOS 1. Cuntos ejes de simetra tiene un cuadrado?

A) Uno B) Dos C) Cuatro D) Ocho E) Infinitos

2. Cuntos ejes de simetra tiene la letra z?

A) Ninguno B) Uno C) Dos D) Tres E) Cuatro

3. Cuntos ejes de simetra tiene un tringulo equiltero?

A) Uno B) Dos C) Tres D) Seis E) Ninguno

Eje de Simetra

6

TESELACIN DEL PLANO Es la entera divisin del plano mediante la repeticin de una o ms figuras que encajan perfectamente unas con otras, sin superponerse ni dejando espacios vacos entre ellas. Esta particin del plano suele llamarse tambin mosaico o embaldosado. Las figuras siguientes muestran teselaciones del plano. OBSERVACIONES Todos los tringulos y todos los cuadrilteros teselan por si mismo el plano. (fig. 1) Los nicos polgonos regulares que teselan por si mismo el plano son: el tringulo equiltero,

el cuadrado y el hexgono regular, ya que en estos polgonos sus ngulos interiores son divisores de 360.

Si queremos teselar el plano utilizando dos o ms polgonos, es necesario que en cada vrtice la suma de todos los ngulos sea 360 (fig. 2).

El artista holands Maurits Escher realiz notables teselaciones (fig. 3). EJEMPLOS 1. Es imposible teselar el plano utilizando solamente un

A) Deltoide B) Romboide C) Trapezoide D) Pentgono regular E) Hexgono regular

2. Las siguientes figuras (baldosas) estn construidas a partir de un hexgono regular. Si los

sacados y/o agregados son congruentes en cada figura, con la repeticin de cul(es) de ellas es posible embaldosar un patio?

I) II) III)

A) Slo con I B) Slo con III C) Slo con I o con II D) Slo con I o con III E) Con I, con II o con III

fig. 1 fig. 2 fig. 3

7

EJERCICIOS 1. Al aplicar una traslacin a la figura 1, se obtiene

A) p B) q C) r D) t E) s

2. Al aplicar una rotacin de centro O y ngulo de giro de 180 a la figura 2, se obtiene A) B) C) D) E) 3. Cuntos ejes de simetra tiene un rectngulo?

A) Uno B) Dos C) Cuatro D) Ocho E) Infinitos

4. En cul de las siguientes figuras no se muestra una simetra (reflexin) con respecto

a la recta L? A) B) C) D) E)

O

fig. 2

L L L L L

fig. 1

p q r s t

fig. 3

8

5. El cuadrado ABCD de la figura 4 ha sido transformado, mediante un vector traslacin, en el cuadrado achurado. Cul(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s) ?

I) El vector traslacin fue T(2,0).

II) Los puntos B y C permanecen invariantes.

III) El rea del cuadrado permanece constante.

A) Slo I B) Slo I y II C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III

6. Qu figura se obtiene al aplicar una rotacin de centro O y un ngulo de giro de 90, en

sentido antihorario, a la figura 5?

A) B) C)

D) E)

O

fig. 5

y

4

2

-2 2

fig. 4

B

C

A

D

9

7. A todos los puntos del plano cartesiano (fig. 6) se les aplica una simetra (reflexin) con respecto al punto E de coordenadas (2, 3). Cules son las coordenadas del punto homlogo de B?

A) (1, -1) B) (1, 0) C) (1, 3) D) (2, -1) E) (0, 1)

8. En la figura 7, PQRS es un cuadrado simtrico al cuadrado P Q R S con respecto al

eje y. Cules son las coordenadas del punto de interseccin de las diagonales del cuadrado P Q R S?

A) (2, -4) B) (4, 2) C) (-5, 2) D) (-4, -2) E) (-4, 2)

fig. 6

A E

B

C

y

x

5

1

1 3

7

R R

S S

P

Q

P

Q

y

4

1

2 5 x 6

fig. 7

10

9. Mediante una rotacin de centro O y ngulo de 90 (en cualquier sentido), el ABC ocupa la posicin A B C. Esto no se cumple en

A) B) C) D) E) 10. Si el grfico de la funcin f(x) se obtiene por reflexin del grfico de la funcin g(x) con

respecto al eje y, cul(es) de los siguientes grficos no representa esta situacin?

A) B) C) D) E)

A

B

C

A

B C

O

A

B

C

A

B

C

O

A

B

C A

B C

O

B = C C = A

O

A B

g(x) f(x)

y

x

g(x) f(x)

y

x

g(x) f(x)

y

x g(x)

f(x)

y

x

g(x) f(x)

y

x

A

B

C

A

B C

O

11

11. Las siguientes figuras estn construidas a partir de un cuadrado. Si los sacados y agregados son congruentes en cada figura, con la repeticin de cual(es) de ellas es posible teselar el plano?

I) II) III)

A) Slo con I B) Slo con II C) Slo con I o con II D) Slo con I o con III E) Con I, con II o con III

12. Al romboide ABCD de la figura 8 se le ha trazado las diagonales y numerado los cuatro

tringulos que se generan. Cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) El 1 es una simetra (reflexin) centro en P del 3. II) El 2 es una rotacin de 180 y centro P del 4. III) El ABC es una simetra (reflexin) del CDA cuyo eje de simetra pasa por

AC .

A) Slo I B) Slo I y II C) Slo I y III D) Slo II y III E) I, II y III

13. En la figura 9, el cuadrado ABCD es simtrico (reflejo) con el cuadrado EFGH respecto a L,

entonces cules de las siguientes proposiciones son siempre verdaderas? I) AC // EG II) DBH GEC

III) AF L A) Slo II

B) Slo III C) Slo I y II D) Slo II y III E) I, II y III

A B

2

3 1

4

P

D C

fig. 8

D

C A

G

B

E

H

F L

fig. 9

12

14. En la figura 10, cul es el punto simtrico del punto A(-1, -3) con respecto a la recta x = 4?

A) (-1, 3) B) (8, 3) C) (8, -3) D) (9, 3) E) (9, -3)

15. Sobre los segmentos AB, CD y EF se han construido rectngulos congruentes, como se

muestra en las figuras que aparecen en (I), en (II) y en (III). Cules de estas figuras tienen slo un eje de simetra?

I) II) III)

A) Slo I y II B) Slo I y III C) Slo II y III D) I, II y III E) Ninguna de ellas

16. Un tringulo ABC tiene coordenadas A(3, -4), B(3, 5) y C(-2, 5). Si se aplica una traslacin

segn el vector (p, q) y las nuevas coordenadas de A son A(7, 5), cul(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) (p, q) = (4, 9) II) B = (7, 14) III) C = (2, 13)

A) Slo I B) Slo II C) Slo I y II D) Slo II y III E) I, II y III

-3

4

-1

A

x

y

fig. 10

A B

C

D

E

F

13

17. En la figura 11, hay un tringulo rectngulo issceles con un rombo.

Cul de las siguientes opciones representa mejor una simetra axial de la figura con respecto a AB ?

A) B) C) D) E) 18. El trazo de la figura 12 intersecta a los ejes en los puntos (3, 0) y (0, 6).

Si al trazo se le realiza primero una rotacin en 180 con respecto al origen (0, 0), y despus un desplazamiento de 2 unidades hacia abajo, cul de los siguientes grficos representa mejor esta situacin?

A) B) C)

D) E)

B

A

fig. 11

y

x 3

6 fig. 12

y

x

-6

-3

y

x

-8

-3

-2

y

x -6

-3

y

x 6

-3

y

x

3

6

14

19. En el sistema cartesiano se le aplic una traslacin al segmento AB obtenindose el segmento A B. Se puede determinar el vector de traslacin si: (1) Se conocen las coordenadas de A y B.

(2) Se conocen las coordenadas de B y A. A) (1) por s sola B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola, (1) (2) E) Se requiere informacin adicional

20. En la figura 13, ABCD es un cuadriltero y P es el punto de interseccin de las diagonales.

El tringulo ABP es una simetra (reflexin) del tringulo CDP con centro en P si:

(1) ABCD es un paralelogramo.

(2) DP = PB y CP = PA

A) (1) por s sola B) (2) por s sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por s sola, (1) o (2) E) Se requiere informacin adicional

A B

D C

P fig. 13