Identidades trigonométricas

Objetivos:

Conocer las relaciones básicas entre las razones trigonométricas de una cierta variable.

Aplicar las relaciones anteriores de la demostración de igualdades y simplificación de expresiones que contiene razones trigonométricas diversas de una cierta variable.

Definición

Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de un acierta variable; las cuales se verifican para todo valor de la variable, que no indetermina la razón trigonométrica existente en la igualdad.

Clasificación

I. I.T. Reciprocas

sen x .csc x=1 ;∀ x≠nπ ;n∈Z⟶ csc x= 1s en x

cos x . sec x=1 ;∀ x ≠ (2n+1 ) π2;n∈Z⟶ sec x= 1

cos x

tan x .cot x=1;∀ x≠n π2;n∈Z⟶ cot x= 1

tan x

II. I.T. Por División

tan x=sen xcos x

;∀ x≠ (2n+1 ) π2;n∈Z

cot x= cos xsen❑x

;∀ x≠n π2;n∈Z

III. I.T. Pitágoras

sen2 x+cos2 x=1;∀ x∈ R⟶{ sen2 x=1−cos2 x¿cos2 x=1−sen2 x

tan2 x+1=sec2 x ;∀ x≠ (2n+1 ) π2;n∈R⟶ { sec2 x−tan2 x=1¿ tan2 x=sec2 x−1

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TRILCE

26Identidades

trigonométricas I COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE COLEGIO TRILCE

Identidades trigonométricas

cot2 x+1=csc2 ;∀ x≠nπ ;n∈R⟶ { csc2 x−cot2 x=1¿cot2 x=csc2 x−1

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Identidades trigonométricas

Los tipos de ejercicios que vamos a trabajar a partir de este capítulo son los de; demostración de igualdades; simplificación de expresiones y ejercicio con condición, En esta clase, veremos los dos primeros tipos, con los siguientes ejemplos:

Tipos demostración:

1.- Demostrar:

sen3 x . csc x .cot2 x=cos2 x

Resolución:

Trabajando en el miembro, pasaremos a senos y cosenos; tratando de que al reducir nos quede la expresión del segundo miembro.

sen3 x .1senx

x .cos2 xsen2 x

=cos2 x

Reduciendo:

cos2 x=cos2 x (Demostrado)

2.- Demostrar:

sen3 x . csc x .cos3 x . secx=1

Resolución:

Pasando senos y cosenos:

sen3 x .1senx

.cos3 x .1cosx

=1

Reduciendo:

sen2 x .cos2 x=1⟶1=1(Demostrado)

1

3.- Demostrar: [(senx+cosx)2−1 ] . tanx=2 sen2 xResolución:

Recuerde que: (a+b )2=a2+2a+b2

En el primer miembro:

[ ( sen2 x+2 sex . cosx+cos2 x )−1 ] . tanx=2 sen2 x 1

(1+2 senx . cosx−1 ) . tanx=2 sen2 x

Pasando a senos y cosenos:

2 senx . cosx .senxcosx

=2 sen2 x

Reduciendo:

2 sen2 x=2 sen2 x(Demostrado)

Tipo de simplificación:

1.- Simplificar:C=senx.cot x . cosx. ( tan2 x+1 )

Antes de pasar a senos y cosenos, reconozca:

tan2 x+1=sec2 x

Luego: C=senx.cot x . cosx. sec2 x

C=senx. cosxsenx

. cosx.1

cos2 x

Reduciendo:

C = 1

2.- Simplificación:

L=senx .tanx+cosx

Resolución:

Pasando a senos y cosenos: L=senx .tanx+cosx

L=senx . senxcosx

+cosx

Operando:

L= sen2 x+cos2 xcosx

Pero: sen2 x+cos2 x=1

Luego: L= 1cosx

=secx

3.- Reducir:

Resolución:

Pasando a senos y cosenos:

C=( 1secx

− cosx1 )( senxcosx

+ senxcosx )senx

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Identidades trigonométricas

Operando:

C=( 1−cos2 xcosx )( sen2 x+cos2 xsenx. cosx )senxPero:1−cos2 x=sen2 x ;sen2 x+cos2 x=1

Luego:C= sen2 x

cosx.

1cosx . senx

. senx

Reduciendo:

C= sen2 x

cos2 x=tan 2 x

1.- Demostrar: senx. cotx+2cosx=3cosx

2.- Demostrar: tanx . cosx+cotx . senx=cosx+senx

3.- Demostrar: sen4 x . csc2 x+cos4 x . sec2 x=1

4.- Simplificar: C=sen2 x . cotx . secx

5.- Simplificar: C=(senx+cosx )2−1

senx

4.- Reducir:

C=( senx+2cosx )2 . (2 senx−cosx )2

Resolución:

En este caso solo nos queda desarrollar los binomios:

C=sen2 x+4 senx. cosx+4cos2 x+4 sen2 x−4 senx .cosx+cos2 x

Reduciendo:C=5 sen2 x+5cos2 x

C=5 ( sen2 x+cos2 x )⟶ C = 5

1

6.- A qué es igual: k=tanx . cosx . senx

7.- Reducir: k=(1−sen2 x ) secx

8.- Reducir: k= tanx+1senx+cosx

9.- Reducir: k=(senx+cosx)2−2 senx. cosx

10.- Si: tanx−cotx=√3 ; calcule :k=tan 2 x+cot2 x

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Test de aprendizaje previo

Identidades trigonométricas

1.- Demostrar que:

tanx . secx .cot2=cscx

2.- Demostrar que:

sen3 x .cot2 x . cscx . secx=cosx

3.- Demostrar que:

sen4 x . csc2 x+cos4 x . sec2 x=1

4.- Demostrar que:

sen5 x . csc3 x+cos5 x . sec 3 x=1

5.- Demostrar que:

[ ( senx+cosx )2−1 ]cscx=2cosx6.- Demostrar que:

[ ( senx+cosx )2−1 ] secx=−2 senx

7.- Demostrar que:

(tanx+cotx). sen2 x=tan x

8.- Demostrar que:

(tanx+cotx).cos2 x=cotx

9.- Demostrar que:

(secx−cosx)(cscx−senx)=senx.cos x

10.- Demostrar que:

(secx−senx .tanx)(cscx−cosx. cotx)=senx . cosx

11.-Simplificar:C=senx (1+cotx )+cosx(1−tanx)

a) 2 b) 1 c) 2senx

d) 2cosx e) 0

12.-Simplificar:L=tanx (1+cotx )−sen2 x . cscx

a) tanx b) 2tanx c) cosx

d) 2cosx e) senx

13.-Reducir:C=senx (1+senx−cosx )+cosx (1+cosx+senx )−1

a) Senx b) cosx c) 2senx.cosx

d) senx + cosx e) senx-cosx

14.-Reducir:C=senx ( csc x−s enx )+cosx ( sec x+cos x )+1

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

15.-Reducir:C= sen2 x−sen4 x

cos2 x−cos4 x

a) tan2x b) cot2x c) 1

d) sec2x e) csc2x

16.-Reducir:C= sen4 x−sen6 x

cos4 x−cos6 x

a) 1 b) tan2x c) cot2x

d) tan4x e) cot4x

17.-Reducir:

c=(3 senx+2cosx)2+(2 senx−3c osx )2

a) 7 b) 5 c) 12

d) 13 e) 15

18.-Reducir:

c=(3 senx+2cosx )2+(senx−3cosx )2

a) 3 b) 4 c) 5

d) 9 e) 10

19.-Reducir:

c= 1secx+tanx

+ 1secx−tanx

a) 2 b) 2secx c) 2tanx

d) 2cscx e) 2cotx

20.-Reducir:

c= 1cscx−cot x

+ 1c sc x+cot x

a) 2 b) 2secx c) 2tanx

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Practiquemos

Identidades trigonométricasd) 2cscx e) 2cotx

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