Introducción Ecuación logística Puntos de mezcla Polinomios críticos Conclusiones

Identificaciónde puntos de mezcla de las bandas caóticas

en la ecuación logística

Miguel Rebollo

Taller de CaosMáster en Física de Stmas. Complejos

Univ. Politécnica de Madrid

Enero, 2012

@mrebollo Taller Caos. MFSC. UPMIdentificación de puntos de mezcla de las bandas caóticas en la ecuación logística

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Introducción

Además de las bifurcaciones, el los mapas de sistemas dinámicosdiscretos aparecen otros puntos que son importantes en el estudiodel comportamiento de los sistemas

punto de Feigenbaum-Myrberg: punto de acumulación de losdesdoblamiento de periodo 1,2,4,8,. . .punto de Misiurewicz: puntos en los que cambia el peridopuntos vacíos o puntos de mezcla

ObjetivoEn este trabajo se estudian los puntos de mezcla y cómocalcularlos a partir de sistemas de polinomios

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Contenidos

1 Introducción

2 Ecuación logística

3 Bifurcaciones inversas y puntos de mezcla

4 Identificación de los puntos de mezcla mediante polinomioscríticos

5 Conclusiones

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Mapas logísticos

Modelo de crecimiento de poblaciones creado por Verhulst(1845)

xn+1 = r · xn(1− xn)

múltiples aplicaciones en diversos camposinterés por el comportamiento caótico que emerge a partir deciertos valores del parámetro r

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Puntos de mezcla en el digrama de bifurcación

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Histograma de bifurcación

En el punto que pasa de una órbita de periodo 6 a una de perido 3las barras están agrupadas por parejas

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Identificación de puntos vacíos

Cuando r = 4 los puntos se distribuyen por toda la banda. A partirde r = 3,6785 . . . esta banda se desdobla en 2. Puede verse elhueco en la serie temporal y en el histograma

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Polinomios críticos

Definition (Polinomios críticos (Zeng et al., 1984))

Sea un mapa unidimensional xn+1 = f (r , xn) y x0 un punto inicialque produce órbitas superestables. Los polinomios críticos son unsistema de polinomios de la forma

Pn+1 = f (r ,Pn)

En el caso del mapa logístico Pn+1 = rPn(1− Pn)

P0 = 1/2P1 = r1/2(1− 1/2) = r/4P2 = r · r/4(1− r/4) = r2(1− r/4)/4 = r2/4− r3/16P3 = . . .

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Puntos de mezcla como cruces de los polinomios críticos

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Superposición de los polinomios críticos

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Cálculo de los puntos de mezcla

Puntos de mezcla en la intersección de 2 polinomiosLos puntos de mezcla se encuentran en la intersección de al menos2 polinomios críticos Pi y Pj . Para hallarlos, basta con calcular lasraíces de Pi − Pj = 0, siendo Pi el polinomio de mayor grado

Por ejemplo, en la figura, el punto de mezcla de la banda caóticade periodo 1 con la banda caótica de periodo 2 se encuentra en laprimera intersección entre P3 y P4.

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Aproximación al diagrama de bifurcación

Si aumentamos el número depolinomios obtenemos undiagrama semejante al debifurcación (imagen generadacon 500 polinomios)

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Aproximación al diagrama de bifurcación

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Conclusiones

Los puntos de mezcla tienen propiedades interesantes en elestudio de las bifurcacioneslos puntos de mezcla son intersecciones de dos o máspolinomios críticoshallar los puntos de mezcla es equivalente a obtener las raícesde un polinomioinconveniente: el grado de dichos polinomios crece muyrápidamente (2n + 1)

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