IES L’ASSUMPCIÓ … · k) El cost de x quilos de peres que estan a 0,80 €/ kg. l) L’àrea...

ARITMÈTICA I ÀLGEBRA Tema 9: Equacions de primer grau amb una incògnita. Exercicis resolts en vídeo www.josejaime.com/videosdematematicas

IES L’ASSUMPCIÓ http://www.ieslaasuncion.org MATEMÀTIQUES 1r ESO

1. EQUACIONS : SIGNIF ICAT I UTILITAT

Una equació expressa, per mitjà d’una igualtat algebraica, una relació o condició entre quantitats, el valor de la qual, de moment, no coneixem.

Les quantitats desconegudes s'anomenen incògnites i es representa amb la lletra "x" (o qualsevol altra lletra).

Resoldre una equació és trobar el valor, o els valors, que han de prendre les lletres (incògnites) perquè la igualtat siga certa.

Exemple 1 : La mitat d’un número és igual a la seua quinta part més sis unitats. Quin és el número?

x="número demanat" Equació : 652

+= xx Solució : 20=x

Exemple 2 : L’edat de Teresa coincidix amb la quinta part de què tindrà d’ací a 28 anys. Quina edat té actualment Teresa?

x="Edat actual de Teresa" Equació : 5

28+= xx Solució : 7=x anys

Exemple 3 : Una habitació rectangular és tres metres més llarga que ampla i la seua superfície és de 28 m2. Quant mesura d’ampla? x="metres d’ample" Equació : 28)3( =+⋅ xx Solució : 4 m

2. EQUACIONS : ELEMENTS I NOMENCLATURA .

Membres d’una equació: Són cada una de les expressions que apareixen a un costat i a l’altre del signe d’igualtat.

Termes: Són els sumands que formen els membres.

Incògnites: Són les lletres que apareixen en l’equació.

Solucions: Són els valors que han de prendre les lletres perquè la igualtat siga certa.

Grau d’una equació: És el major dels graus dels monomis que formen els membres, una vegada reduïda l’equació.

Equacions equivalents: Dos equacions són equivalents quan tenen les mateixes incògnites i les mateixes solucions.

Exemple: L’equació xx −=+ 913 és una equació de primer grau amb una incògnita.

Equacions equivalents a xx −=+ 913 són: 84 =x i també

2=x (veure imatge).

La solució de l’equació xx −=+ 913 és 2=x



3. TRADUCCIÓ D’ENUNCIATS.



4. TRANSPOSICIÓ DE TERMES

La transposició de termes és una tècnica bàsica que permet transformar les equacions en altres equivalents més senzilles, portant els termes d’un membre a un altre de la igualtat.

La transposició de termes es basa en el principi següent:

Al sumar, restar, multiplicar o dividir el mateix n úmero en els dos membres d’una equació, s’obté una altra equació equivalent.

Primer cas: abxbax −=⇒=+

El que està sumant en un membre passa restant a l’altre membre: Exemple: 3443 −=⇒=+ xx

Segon cas: abxbax +=⇒=−

El que està restant en un membre passa sumant a l’altre membre: Exemple: 2552 +=⇒=− xx

Tercer cas: a

bxbxa =⇒=⋅

El que està multiplicant en un membre passa dividint a l’altre membre:

Exemple: 2

662 =⇒= xx

Quart cas: abxba

x ⋅=⇒=

El que està dividint en un membre passa multiplicant a l’altre membre:

Exemple: 3443

⋅=⇒= xx

5. RESOLUCIÓ D ’ EQUACIONS SENZILLES

El mètode per a resoldre una equació consistix a anar transformant-la, per mitjà de successius passos, en altres equivalents més senzilles fins a aïllar la incògnita.

Per a transformar una equació en una altra equivalent més senzilla, utilitzarem dos recursos:

• Reduir els seus membres.

• Traslladar els termes.



Exemple 1:

Exemple 2:

Exemple 3:

Exemple 4:

Exemple 5:

6. EQUACIONS AMB DENOMINADORS

Quan en els termes d’una equació apareixen denominadors, la transformarem en una altra equivalent que no els tinga. Per això, multiplicarem els dos membres de l’equació per un número que siga múltiple de tots els denominadors.

El múltiple més adequat és el més xicotet; és a dir, el mínim comú múltiple dels denominadors.

Exemple:

Una estratègia semblant:



7. PROCEDIMENT GENERAL PER A LA RESOLUCIÓ D ’ EQUACIONS DE PRIMER GRAU

Per a resoldre equacions de primer grau, convé organitzar el treball segons les fases que s’exposen en l’exemple següent:

Exemple:

8. RESOLUCIÓ DE PROBLEMES



EXEMPLES:

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-



EXERCICIS: Tema 9: Equacions de primer grau amb una incògnita

1. a) Què és l’àlgebra?. Què és l’aritmètica? Proposa un problema aritmètic i un algebraic. b) Quina és la propietat distributiva del producte respecte de la suma?. Coneixes alguna propietat més dels nombres enters? c) Quina és la diferència entre una expressió algebraica, una igualtat algebraica i una equació algebraica? Proposa exemples de cada cas.

2. Definix i proposa exemples de: a) Monomis. b) Coeficient, part literal i grau d’un monomi. c) Monomis semblants. d) Polinomis i grau d’un polinomi.

3. Operacions amb polinomis. Simplifica les expressions algebraiques i indica el grau del polinomi resultant: a) xx + b) xx ⋅ c) xx 35 − d) )32(4 xxx −−

e) 22 xx + f) 32)12(3 ++− xx g) xxxx −+− 235 22 h) 52 xx ⋅

i) 53 43 xx ⋅ j) yxx 2632 ⋅ k) 12

−+−5

1310 2 xyx l) 523 22 −+ xyxy

m) ( ) 23 bbba −− n) ( ) bababbab 4434 ++−− ñ) ( ) 5223 232 +++−−− xyyxxyxxyx

4. Troba el valor numèric de les següents expressions algebraiques per als valors que s’indiquen: a) 95 −x en 2−=x b) 192 +− xx en 3=x c) 232 23 +++ xxx en 1−=x

5. Escriu en llenguatge algebraic les expressions següents: a) Tenia x € i m’han donat 23 €. Quants euros tinc ara? b) El costat d’un quadrat mesura x metres. Quant mesura el perímetre? c) El costat de tres quadrats iguals mesura x metres. Quina és l’àrea dels 3 quadrats? d) El doble del número x. e) El doble de x més cinc. f) El doble del resultat de sumar-li cinc a x. g) La mitat del número x. h) La mitat de x menys cinc. i) La mitat del resultat de restar-li cinc a x. j) La distància recorreguda en x hores per un camió que va a 60 km/h. k) El cost de x quilos de peres que estan a 0,80 €/kg. l) L’àrea d’un triangle de base 0,80 m’i altura x metres. m) L’edat de Pedro, sent x la del seu iaio, que tenia 60 anys quan va nàixer Pedro.

6. Llig i completa la taula. * El sou mensual de Pablo és de x euros. * El gerent de l’empresa gana el doble que Pablo. * L’enginyer cap gana 400 € menys que el gerent. * El senyor López gana un 10% menys que Pablo. * Al senyor de la neteja li falten 80 € per a guanyar la tres quartes parts del sou de Pablo.

Empleat Pablo Gerent Enginyer Sr. López Sr. Neteja

x

7. Còpia i completa la taula, atenent als enunciats següents: * Cristina té x anys. * Alberto, el seu espòs, té 3 anys més. * Javier, son pare, li doblega l’edat.



* Marta, sa mare, té 5 anys menys que son pare. * Loli i Mar són les seues filles bessones. Les va tindre amb 26 anys. * Javi, el xicotet, té la mitat d’anys que les bessones.

Cristina Alberto Javier Marta Loli i Mar Javi

Edat x

Equacions

8. Què és una equació?Què és resoldre una equació?. Proposa distints tipus d’equacions. Donades les següents equacions, comprova quin dels valors daus és l’arrel o solució i doní quins són de primer grau amb una incògnita:

a) 82 =x , 1=x , 3=x b) –2x + 7 = 5, x= 1, x = – 5 c) xxxx =++− 32 23 , 1,1 −== xx d) 122 −=− xx , 2,3 == xx e) 2x + 3 = 15, x = 4, x = 6 f) 3x+i=3, (x,y)=(–1, 6) , (x,y)=(0, 6)

9. Quan dos equacions són equivalents?. De les següents equacions, quins són equivalents? a) 2x + 7 = 17 b) – 4x + 9 = 1 c) 3x–l = 5 d) –x +5 = 0

10. Explica la regla de la suma, de la resta, del producte i de la divisió que ens permet traslladar termes d’una equació. Resol les següents equacions i comprova que la solució obtinguda verifica l’equació:

a) 62 =+x b) 62 =−x c) 62 =x d) 62

=x

e) xx +=− 643 f) 6)32(2 =−x g) 53

32 =−x h) 4

53

12 +−=− xx

i) xx +=− 6)32(2 j) xxx 6)2(6)10(4 −−−=− k) 6)2(3)1(2 +=−−+ xxx

11. Resol les següents equacions i comprova que la solució obtinguda verifica l’equació:

a) 9

536

54

1 +=−−− xxx (sol: x=6) b) 67

1445

342

713 xxxx +−−=−−+ (sol: x=1/4)

c) 43

742

532 −=+−+− x

xx (sol x= –1) d) 1

61

23 −=+−+ xx

(sol: x= –7)


a) 45

452

21 xx =−− (sol: x=1) b)

45

452

21 xx =−⋅ (sol: x= –5/8)


a) 3

25

7 −=− xx (sol: x=–11/2) b)2

37

5−

=− xx

(sol: x=–11/2)

c) 19)42(43 +=+ xx (sol: x=32) d)

25

34

−=

− xx (sol: x=7)


a) ( )238

3

4

1

4

33

16

32

8

16 −−

−=

−−+xx

xx (sol: 5/3) b) ( ) x

xxxx 3

2

35

3

2

2

3122 +−−=

−−+−− (sol: x=–3/4)


a) xx

x =+

−−− 1

3

21

3

2 (sol:–1) b) 1

2

2

32

2

1−=

−+−− x

xxx (sol: x=0)



16. Resol les equacions següents:

a) 5

1

4

48

4

3

2

15

4

38 =

+−−−− yy (sol: x=159/25) b)

( )zz

z3

2

1

3

252

3

4 −=−

− (sol: –71/4)

17. Escriu una equació amb tres termes en cada membre que tinga com a solució 1−=x

Problemes de plantejaments d’equacions

18. Resol mentalment per tanteig els problemes següents: a) Oscar té 2 € més que la seua germana Sonia. Si entre els dos tenen 16 €, quants diners té cada un? b) Si Alba té 3 € més que el seu cosí Carlos i entre els dos tenen 13 €, quants diners té cada un? c) Marta té el doble de diners que el seu germà Luis i entre els dos tenen 15 €. Quants diners té cada un? d) Julia té el triple de diners que la seua cosina María. Si entre les dos tenen 16 €, quants diners té cada una?

19. Calcula dos nombres enters consecutius la suma del qual siga 27.

20. Calcula un número sabent que el dit número més la seua mitat és igual a 39.

21. Susana té el doble de diners que el seu cosí Tomás. Si entre els dos tenen 70,2 €, quants diners té cada un?

22. En un triangle isòsceles cada un dels costats iguals mesura 6 m més que el desigual. Si el perímetre mesura 36 m, quant mesura cada costat?

23. Calcula les dimensions d’un camp de futbol, sabent que el llarg és el doble de l’ample i que el perímetre mesura 294 m.

24. Calcula un número sabent que el dit número més la seua mitat, més la seua tercera part és igual a 22.

25. Silvia gasta la mitat de la seua paga en el cine i un sext en llepolies. Si encara li queden 4 €, quant li han donat de paga?

26. En un jardí, entre salzes, palmeres i pins hi ha 91 arbres. Si el nombre de palmeres és el doble que el de salzes i el de pins el doble que el de palmeres, quants arbres hi ha de cada classe?

27. Calcula tres nombres enters consecutius sabent que la seua suma és 45.

28. Cada costat d’un triangle mesura 5 m més que l’anterior. Si el perímetre mesura 37,5 m, quant mesura cada un dels costats?

29. El perímetre d’un rectangle mesura 26 m. El costat major mesura 3 m més que el menor. Quant mesura cada costat?

30. Troba dos números sabent que u és 5 unitats major que l’altre i que entre ambdós sumen 105.

31. El triple d’un número menys 7 és igual a 38. Quin és el número?

32. Troba dos números sabent que u és 5 vegades major que l’altre i que entre els dos sumen 42.

33. Troba un número sabent que la mitat del dit número més la seua tercera part, més la seua quarta part és igual a 26.

34. Troba un número sabent que el quàdruple del dit número més la seua quarta part és igual a 34.

35. Vaig comprar una camisa i una jaqueta per 72 €. La jaqueta va costar 12 € més que la camisa. Quant va costar cada peça?

36. Repartix 800 € entre María i Juan, de manera que María reba 200 € més que Juan.

37. Troba tres nombres enters consecutius que sumixen 72.

38. Un número més el doble del dit número, més la mitat del mateix número sumen 112. Calcula el número.

39. Els costats d’un romboide es diferencien en 7,5 m. Si el perímetre mesura 115 m, quant mesura cada costat?

40. Un nombre enter més el doble del següent és igual a 71. Calcula el número.



41. En un centre escolar hi ha 17 xiques més que xics, i en total hi ha 1087 alumnes. Quants alumnes són xics i quants són xiques?

42. Una parcel· la de forma rectangular mesura 15 metres més de llarg que d’ample. Si el perímetre mesura 170 m, calcula quant mesura de llarg i d’ample.

43. Antonio, Santiago i Paloma són guàrdies de seguretat que han cobrat 1057 € per fer un treball. Santiago ha treballat la mitat de dies que Antonio, i Paloma el doble de dies que Antonio. Quant ha cobrat cada un?

44. Tenim 113 taronges repartides en 3 caixes. La mitjana té 5 taronges més que la xicoteta, i la major té 7 més que la mitjana. Quantes taronges té cada caixa?

45. En un corral, entre conills i gallines, hi ha 55 caps i 160 potes. Quants conills i gallines hi ha en el corral?

46. Alba té 13 croms més que la seua germana María. Si entre les dos tenen 67 croms, quants croms té cada una?

47. Calcula tres números parixes consecutius la suma del qual siga 42.

48. Els tres angles d’un triangle són nombres enters consecutius. Quant mesura cada un?

49. Un autobús transporta 10 vegades més persones que un cotxe. Si entre els dos porten 55 persones, quantes persones porta cada un?

50. Vaig comprar un pantaló, unes sabates i una corbata per 72 €. Les sabates van costar el doble que la corbata, i el pantaló igual que les sabates més la corbata. Quant va costar cada cosa?

51. Repartix 574 € entre Óscar, Sonia i Alba, de manera que Sonia reba el doble que Oscar i Alba el doble que Sonia.

52. Troba quatre nombres enters consecutius que sumixen 154.

53. Un número més el triple del dit número menys la tercera part del mateix número fan 33. Calcula el dit número.

54. Repartix 28 bombons entre Marta, Juan i Luis, de manera que a Juan li corresponga la mitat que a Marta i a Luis la mitat que a Juan.

55. Una parcel· la de forma rectangular mesura el doble de llarg que d’ample. Si el perímetre mesura 270 m, calcula quant mesura de llarg i d’ample.

56. En un aparcament, entre cotxes i motos, hi ha 65 vehicles i 190 rodes sense comptar les de reposat. Quants cotxes i motos hi ha?

57. Juana té 5 € menys que Ana, i esta té 5 € menys que Antonio. Si entre els tres tenen 30 €, quant té cada un?

58. Calcula tres números imparells consecutius la suma del qual siga 57.

59. Pablo va llegir en un dia la quarta part de les pàgines d’un llibre, i l’endemà, una tercera part. Si encara li queden per llegir 75 pàgines, quantes pàgines té el llibre?

60. Álvaro escala una muntanya en 4 dies. El primer dia ascendix un terç del total, el segon un altre terç, el tercer ascendix la mitat del que li queda, i el quart puja 300 m. Quina altura té la muntanya?

61. Verónica té hui 10 € més que José. Son pare els dóna l’endemà 5 € a cada un i resulta que Verónica té el doble de diners que José. Quants diners té hui cada un?

62. Pilar té 23 anys més que el seu fill Juan. D’ací a 7 anys l’edat de Pilar serà el doble que la del fill. Quants anys té actualment cada un?

63. La suma del perímetre d’un quadrat i un triangle equilàter és 56 cm. Sabent que el costat del triangle i el del quadrat són iguals, quant mesura el costat?

64. Roberto té el triple d’anys que el seu fill Julio; David, el fill xicotet, té la mitat d’anys que Julio, i entre els tres sumen 63 anys. Quina edat té cada un?



65. Amb els diners que tinc més la mitat del que tinc, més la mitat de la mitat del que tinc, més un euro, tindria 64 €. De quants diners dispose?

66. Cristina va comprar bulbs de nards. Al créixer, es van partir en dos i va obtindre el doble de bulbs. La tardor següent va tornar a plantar-los, i de nou tots els bulbs es van partir en dos. Quants bulbs va comprar, si eixa tardor va tindre en el seu jardí 100 nards?

67. Un quilo de cireres costa dos euros més que un de peres. Amèlia ha pagat 8 € per tres quilos de peres i un de cireres. A com estan les unes i les altres?

68. Un retolador costa mig euro més que un bolígraf. Tres bolígrafs i dos retoladors m’han costat 5 € Quant costa un bolígraf? I un retolador?

69. La base d’un rectangle és doble que l’altura i el perímetre mesura 48 cm. Quines són les dimensions del rectangle?

70. El preu de les taronges ha pujat 0,20 € per Quilo. Cinc quilos costaven ahir el mateix que hui Quatre. A com estan hui les taronges?

71. Si a un cànter li afegires 13 litres d’aigua tindria el triple que si li tragueres dos. Quants litres d’aigua hi ha en el cànter?

72. En el meu col·legi, entre alumnes i alumnes som 624. El nombre de xiques supera en 36 al de xics. Quants xics hi ha? I xiques?

73. Sabent que un iogurt de fruites és 5 cèntims més car que un natural, i que sis de fruites i quatre naturals m’han costat 4,80 €, quant costa un iogurt natural? I un de fruites?

74. Roberta té un any menys que la seua germana Marta, i ja tenia cinc quan va nàixer Antonio, el més xicotet. Quina és l’edat de cada u, sabent que entre els tres, ara, sumen 35 anys?

75. En una ferreteria es venen claus en caixes de tres grandàries diferents. La caixa gran conté el doble d’unitats que la mitjana, i esta, el doble que la xicoteta. Si compres una caixa de cada grandària, t’emportes 500 unitats. Quants claus té cada caixa?

76. Un quilo de xirimoies costa el doble que un de taronges. Per tres quilos de xirimoies i quatre de taronges s’han pagat 11 €. A com estan les unes i les altres?

77. Una bossa de quilo de fesols costa el mateix que tres bosses de quilo de llentilles. Per dos bosses, una de cada producte, he pagat 6 €. Quant costava cada bossa?

78. Un granger ha comptat, entre estruços i cavalls, 27 caps i 78 potes. Quants cavalls hi ha en la granja? I estruços?

79. En una cafeteria, entre cadires (de 4 potes) i tamborets (de 3 potes) hem comptat 44 seients amb 164 potes. Quantes cadires i quants tamborets hi ha?

80. Irene ha tret de la vidriola 14 monedes, unes de 20 cèntims i altres de 10 cèntims. Entre totes valen dos euros. Quantes ha tret de cada classe?

81. En un concurs de 50 preguntes, donen tres punts per cada encert i lleven dos per cada fallada. Quantes preguntes ha encertat un concursant que ha obtingut 85 punts?

82. Pedro té 8 anys més que la seua germana Rosa. D’ací a 5 anys, l’edat de Pedro serà doble que la de Rosa. Quants anys té hui cada un?

83. Mónica té 12 € més que Javier i esperen que demà els donen 5 € de paga a cada u. En eixe cas, Mónica tindrà demà el doble que Javier. Quant té hui cada un?

84. Victòria té 50 segells més que Aurora, i si li donara 8 segells, encara tindria el triple. Quants segells té cada una?

IES L’ASSUMPCIÓ … · k) El cost de x quilos de peres que estan a 0,80 €/ kg. l) L’àrea...

Documents

Transcript of IES L’ASSUMPCIÓ … · k) El cost de x quilos de peres que estan a 0,80 €/ kg. l) L’àrea...