II. Dinámica Relativista LICENCIATURA EN TECNOLOGÍA...
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II. Dinámica Relativista
LICENCIATURA EN TECNOLOGÍA
FÍSICA MODERNA
II. DINÁMICA RELATIVISTA
a) Velocidades Relativistas.
b) Dinámica Relativista.
c) Aceleración bajo una fuerza constante.
d) Invariantes Relativistas.
e) Transformación de campos electromagnéticos.
M. en C. Angel Figueroa Soto. [email protected] de Geociencias, UNAM http://www.geociencias.unam.mx/~angfsoto/
II. Dinámica Relativista
Objetivo: comportamiento de la naturaleza dado los postulados :
1.- Como suceden los fenómenos vistos desde diferentes marcos de referencia.
2.- Principio de Causalidad.
3.- Interacción de cuerpos entre sí
Newton, Lagrange, Hamilton, Poincaré, Einstein
II. Dinámica Relativista
02
21
m vmvv
c
S S’v t
Velocidades Relativistas.
Cantidad de Movimiento. Masa y Energía
( )dP d mvFdt dt
II. Dinámica Relativista
0 0 0 0
( ) ( ) ( )s s s s
cd mv dsE F ds ds d mv d mv v
dt dt
S S’v t
Velocidades Relativistas.
Cantidad de Movimiento. Masa y Energía
S’s
02 20 0
( ) ( )1
mv v
cm vE d mv v d v
v c
II. Dinámica Relativista
S S’v t
Velocidades Relativistas.
Cantidad de Movimiento. Masa y Energía
S’s
22 2 20
02 21c o
m cE m c mc m cv c
20c TE E m c
20T cE E m c
II. Dinámica Relativista
S S’v t
Velocidades Relativistas.
Cantidad de Movimiento. Masa y Energía
S’s
Para bajas velocidades:
¿?
2
2 1vc
2
22 2
1 1121
vcv c
2 20
12c oE m c m v
II. Dinámica Relativista
S S’v t
Velocidades Relativistas.
Obtener
2
2
'1
x vtxvc
2
2
2
'1
vt xct
vc
'y y
'z z
' ?dx ' ?dt
x’
t’
vx’
II. Dinámica Relativista
Velocidades Relativistas.
2
2
'1
x vtxvc
2
2
2
'1
vt xct
vc
'y y
'z z
2 2'
1dx vdtdx
v c
2
2 2'
1
vdt dxcdtv c
Velocidad medida desde el sistema de referencia S’:
' ''x
dxvdt
S S’v tx’
t’
vx’
II. Dinámica Relativista
Velocidades Relativistas.
Obtener las velocidades medida desde el sistema de referencia S’:
' ''x
dxvdt
' ''y
dyvdt
' ''z
dzvdt
S S’v tx’
t’
vx’
II. Dinámica Relativista
Velocidades Relativistas.
Obtener las velocidades medida desde el sistema de referencia S’:
'
21
xx
x
v vv v vc
2
2'
1
1
y
y
x
vvc
vv vc
2
2'
1
1
z
z
x
vvc
vv vc
S S’v tx’
t’
vx’
II. Dinámica Relativista
Velocidades Relativistas. Transformaciones Inversas
Velocidades desde el sistema S:
'y y'z z
?dx ?dt Velocidad medida desde el sistema de referencia S:
xdxvdt
2
2
2
' '
1
vt xct
vc
2
2
' '
1
x vtxvc
ydyvdt
zdzvdt
S S’v tx
t
vx
II. Dinámica Relativista
Análisis Vectorial y Matricial
Que es un Escalar, Vector, Matriz.
Sistema de Coordenadas.
Suma, Resta, Productos Escalar y Vectorial de Vectores.
Suma, Resta, Multiplicación de Matrices. Orden y Rango de matrices.
II. Dinámica Relativista
Análisis Tensorial
Los tensores son importantes en muchas áreas de la física, como relatividad general y electrodinámica.
Los escalares y los vectores son un caso especial de los tensores.
Un escalar está especificado por un número real y es un tensor de rango 0.
En el espacio de tres dimensiones, un vector es especificado por 3=31
números reales, y es un tensor de rango 1.
Un tensor de rango n tiene 3n componentes.
Describir el mundo físico por medio de las matemáticas, pero una predicción física debe de ser independiente de la convección matemática, tal como el sistema coordenado con su origen arbitrario o la orientación de sus ejes.
II. Dinámica Relativista
Análisis Tensorial
Tensor de Rango 1
Tensor de Rango 2
11 12 13 1'
21 22 23 2
31 32 33 3
i ij j ij jj
a a a AA a A a A a a a A
a a a A
11 12 13
21 22 23
31 32 33
kl
A A AA A A A
A A A
'ij kl lj kl
iA a b C
II. Dinámica Relativista
Análisis Tensorial
En general, los tensores son sistemas de componentes organizados por uno o más índices que transforman, de acuerdo a reglas específicas bajo un conjunto de transformación.
El número de índices es llamado el rango del tensor.
En Cuatro dimensiones, las transformaciones son las transformaciones de Lorentz, y los tensores de rango 1 son llamados cuadri vectores
1 2 3ˆ ˆ ˆx y zx x x
' '
' j
i j ij
xx x x
II. Dinámica Relativista
Análisis TensorialConvenio de suma de Einstein
Tensor Simétrico.
Tensor Anti simétrico.
Delta de Kronecker
Símbolo de Levi-CivitaTensor de Rango 3
mn nmA A
mn nmA A
ij
ijk101
ijk pqk ip jq iq jp
ijk jki kij
ijk ikj jik kji
10
II. Dinámica Relativista
Análisis Tensorial
Producto Escalar
i i ic a b
Producto Vectorial.
Rotacional y Divergencia
A B C i ijk j kc a b
A B C
( )i ijk j kA A A
( )i i iA A A
II. Dinámica Relativista
Análisis Tensorial
( )i klm l m i i ilm l m ilm i l ma b c a b c a b c
( )A B C
lmi i l m l lmi m ia b c b c a ( )B C A
mil i l m m mil i la b c c a b ( )C A B
iml i l m i iml m la b c a c b ( )A C B
mli i l m m mli l ia b c c b a ( )C B A
II. Dinámica Relativista
Análisis Tensorial
( )D A B C
( ) ( )i ijk j k ijk j lmn m n kd a B C a b c
i ijk j kmn m nd a b c
i ijk kmn j m n ijk mnk j m nd a b c a b c
( )i im jn in jm j m nd a b c
i im jn j m n in jm j m nd a b c a b c
i ii jj j i j ii jj j j id a b c a b c
i i j j i j jd b a c c a b ( ) ( )D B A C C A B
II. Dinámica Relativista
Análisis Tensorial
( ) ( )A B C D
( )( )ijk j k ipq p q ijk j k ipq p q jki pqi j k p qa b c d a b c d a b c d
( ) ( )i iA B C D
( )jki pqi j k p q jp kq jq kp j k p qa b c d a b c d
jp kq j k p q jq kp j k p q jj kk j k j k jj kk j k k ja b c d a b c d a b c d a b c d
j k j k j k k j j j k k j j k ka b c d a b c d a c b d a d b c
( )( ) ( )( )A C B D A D B C
II. Dinámica Relativista
Transformación de Campos Electromagnéticos
Ecuaciones de Maxwell
( , )
( , )( , )
( , )
E E r t
B B r tr t
J J r t
0
t
t
E
B
E B
B E J
Ley de Gauss campo Eléctrico
Ley de Gauss campo Magnético
Ley de Faraday
Ley de Ampere
x x y y z z i iE E E E E
B A
( )i i ijk j kB A A
II. Dinámica Relativista
Ecuaciones de Maxwell
( , )
( , )( , )
( , )
E E r t
B B r tr t
J J r t
0
t
t
E
B
E B
B E J
Ley de Gauss campo Eléctrico
Ley de Gauss campo Magnético
Ley de Faraday
Ley de Ampere
( )tE A
( ) 0tE A
tE A
tE A
0i i t iE A
II. Dinámica Relativista
Ecuaciones de Maxwell
( , )
( , )( , )
( , )
E E r t
B B r tr t
J J r t
0
t
t
E
B
E B
B E J
Ley de Gauss campo Eléctrico
Ley de Gauss campo Magnético
Ley de Faraday
Ley de Ampere
( )t tE
( ) ( ) 0tB E J
0t E J
0t J
Ley de Conservación de la carga eléctrica
II. Dinámica Relativista
Ecuaciones de Maxwell
( , )
( , )( , )
( , )
E E r t
B B r tr t
J J r t
0
t
t
E
B
E B
B E J
Ley de Gauss campo Eléctrico
Ley de Gauss campo Magnético
Ley de Faraday
Ley de Ampere
Definimos los cuadrivectores:
Cuadri Velocidad
Cuadri Operador:
Cuadripotencial:
( , , , ) ( , )t x y z t
( , )A
0 1, 1 ,xA 2 ,yA 3 zA
0 ,t 1 ,x 2 ,y 3 z
( , , , )t x y zV V V V V 2 2,
1t
cVv c
2 2
,1
iVVv c
II. Dinámica Relativista
Ecuaciones de Maxwell
( , )
( , )( , )
( , )
E E r t
B B r tr t
J J r t
0
t
t
E
B
E B
B E J
Ley de Gauss campo Eléctrico
Ley de Gauss campo Magnético
Ley de Faraday
Ley de Ampere
Definimos la cuadri corriente:
El campo Electromagnético:
( , )j J
F
0 ,j 1 ,xj J 2 ,yj J
3 zj J
, 0,1,2,3
II. Dinámica Relativista
Ecuaciones de Maxwell
El campo Electromagnético: F
0 0 0 0 0( )i i i t i i t i i iF A A E
II. Dinámica Relativista
8. Un hombre abandona la tierra en una nave cohete que hace el recorrido de ida y vuelta a una estrella, situada a una distancia de 4 años-luz a la velocidad de 0.9c (OJO: Distancia y velocidad medidas desde la tierra). A su regreso a la tierra ¿cuánto tiempo es más joven que su hermano gemelo que permaneció en ella? (Un año luz es igual a 9.46 x 1015m).
Tiempo desde el sistema S
Tiempo desde el sistema S’
02
21
ttv
c
:t
0 :t220 1 vt tc
15(2)(4)(9.46 10 ) 8.80.9
dt añosv c
0 3.8t años
0 5t t años