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Imitación y Juegos Evolutivos en Economía*

Imitation and Evolutionary Games in Economics

Elvio Accinelli

Edgar J. Sánchez Carrera

Facultad de Economía de la UASLP. Av. Pintores S/N Fraccionamiento Burócratas del Estado, CP 78263.

San Luis Potosí, SLP, México. Tel. oficina (52-444) 8131238 ext. 120.

E-mails: elvio.accinell@eco.uaslp.mx, edgar.carrera@uaslp.mx www.econ-pol.unisi.it/carrera

Recibido el 6 de marzo de 2012.

Aceptado el 22 de mayo de 2012.

Resumen

El presente es un artículo de divulgación científica basado en Sanchez Carrera (2012), Accinelli y Carrera (2011a,b), donde se argumenta que los agentes económicos optan por imitar el comportamiento de sus pares más exitosos. Se muestra que bajo estas condiciones la evolución económica, dependerá de las reglas de imitación seguidas, así como de qué y a quién se imita con mayor probabilidad. Esto dependerá de las condiciones iniciales existentes en el momento en que los agentes deben decidir, y de acuerdo a lo dicho anteriormente, sobre estas condiciones, es que debe influir la política económica. Se concluye que la intervención de un planificador central es crucial para corregir situaciones iniciales, dado que las mismas determinan las estrategias estables.

Abstract

Following Sanchez Carrera (2012) and Accinelli & Carrera (2011a,b), we argue that agents without enough information to determine the expected value of their strategic actions, then they choose to imitate the behavior of their peers. Under these conditions, economic developments will depend on the imitation rules followed and what and who are most likely mimics. This will depend on the initial conditions existing at the time the agents must decide, and hence it should influence economic policy. We conclude that

* Agradecimientos. A Vicente German-Soto por su estimulación y apoyo. Al dictaminador anónimo por sus comentarios tan útiles

para mejorar la comprensión del texto. Por supuesto, cualquier error que prevalece es debido a la testarudez de los autores que toman completa responsabilidad.

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policy maker’s intervention is crucial to arrange the initial state of the economy. Keywords : Dinámica del replicador; Imitación y Racionalidad; Teoría de Juegos Evolutivos; Trampas de pobreza; Valor umbral. JEL classification : C70; C72; C73; I30; O10; O40.

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1 Introducción

La teoría de juegos se ha desarrollado como un instrumento para entender el

conflicto y sus posibles soluciones. Ciertamente no es tanto predictiva como

normativa. Explica más como deberían ser o pueden ser las soluciones a los

conflictos que como son o serán realmente. Recordemos que la teoría de

juegos es básicamente una teoría que se basa en la racionalidad. Esto es,

describe el comportamiento de individuos que eligen estrategias, elaboran

planes buscando maximizar el resultado obtenido al resolverse el conflicto. Por

una parte la elección estratégica racional, es el concepto central de la teoría de

juegos y para ser racional, debe tener en cuenta no sólo, lo que cada uno

quiere lograr, sino también lo que puede lograr dado que la acción de los otros

lo limita. No hay maldad ni bondad preestablecida, no se busca en principio

castigar o premiar al otro u otros, sino tomar la mejor opción

independientemente del efecto que esto pueda tener sobre los demás

individuos, a no ser que beneficiar o perjudicar a alguien sea parte del objetivo

buscado, o sea parte de la solución.

Por otra parte, en teoría de juegos, la racionalidad supone que cada uno de los

participantes del conflicto, sabe que los demás saben que él sabe que todos

buscan lo mejor sabiendo que los demás hacen lo mismo. Yo sé que tú sabes,

que yo sé que tú sabes; repetido hasta el infinito y actuar tomado esto en

consideración, es ser racional. Si la cadena se rompe, la racionalidad se ve

limitada en principio.

¿Cómo entonces una teoría basada en la racionalidad de los individuos

participantes, en castigos y premios posibles, en alianzas estratégicas, etc.,

puede transportarse a conflictos que enfrentan a individuos no racionales?

Ciertamente esto no tiene en principio una respuesta trivial. Si bien podemos

aceptar que la naturaleza resuelve la evolución mediante el conflicto, no parece

claro que fuera un conflicto entre individuos que operan en la forma supuesta

por la teoría de juegos. No obstante la teoría de los juegos evolutivos es una

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teoría que básicamente pretende explicar el conflicto en el mundo animal y

natural. ¿Cómo logra traducir estas reglas racionales a conflictos de individuos

que actúan en principio de otra forma? En teoría de juegos evolutivos, el

concepto de racionalidad es suplantado por el de la selección natural. Los

individuos actúan en el mundo natural respondiendo directamente a su código

genético, no eligen, al menos no en el sentido de elegir de acuerdo a un plan en

el que se prevén resultados posibles.

Se supone que los individuos (animales o vegetales) disponen de un plan

preestablecido (genotípicamente), entre todas aquellas posibilidades triunfan,

es decir se reproducen con mayor facilidad aquellos, cuyo código genético les

impone actuar de determinada forma y no de otra. Es decir, el individuo que

obtiene una solución maximizadora es aquel que es capaz de trasmitir su

código genético a un mayor número de descendientes. Mientras que el

individuo racional elige entre diversos planes posibles; los individuos pueden

representar determinados planes posibles, determinadas estrategias que cada

uno sigue imperiosamente, y solamente triunfan entre éstos, aquellos individuos

cuyo código genético les permite la respuesta más adecuada para sobrevivir y

reproducirse. En tanto que una supervivencia prolongada implica mayor número

de posibles descendientes, estos dos conceptos son equivalentes en el sentido

de la preservación de la especie. Individuos mas longevos tienen mayor

probabilidad de tener descendientes, en este sentido podemos decir que una

estrategia que permita a un individuo una vida más larga es también una

estrategia que le permitirá un mayor número de descendientes. Esta es la

respuesta maximizadora, es decir aquella que permite al individuo que se

comporta acorde a ella, o que es portador del genotipo que a tal conducta

obliga, vivir más tiempo o tener más descendientes, es decir ser mas exitoso.

De esta forma, el objetivo del juego es tener descendencia, preservar la especie

o sobrevivir. La estrategia mejor, está definida por la presión natural, en el

sentido de que el individuo más exitoso será aquel que siga un comportamiento

de mejor adaptación, todos los individuos se ven igualmente presionados, y del

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comportamiento de cada uno dependerá el éxito propio. Es la selección natural

la fuerza encargada de “maximizar”, es decir de elegir aquella conducta más

exitosa, en el sentido de la preservación de la especie, la que en definitiva

prevalecerá en las generaciones futuras. La sección 2 de este artículo explicará de

manera más formal el concepto de racionalidad en la teoría de juegos evolutivos.

Además de la divulgación científica, como propósito, este trabajo muestra que

la teoría de juegos evolutivos es una herramienta adecuada, alternativa y

moderna para analizar la evolución de un sistema económico social donde los

agentes económicos se comportan de acuerdo al aprendizaje por imitación, y la

economía evoluciona por los principios de la selección natural de aquellos

agentes más exitosos. En particular, son las posibles sendas de crecimiento

económico, las que en última instancia, como un resultado de conductas

individuales de los agentes económicos darán la dirección de la economía.

Sabemos que el camino por el cual la economía transita (como sistema) es el

resultado de la acción de diferentes individuos o grupos con objetivos y

comportamientos diversos, que interactúan en un mismo lugar y tiempo. Como

resultado de esta interacción social, propia de cada economía o país, se

concretarán solo aquellas sendas de crecimiento económico, basadas en

estrategias evolutivamente estables seguidas por los agentes económicos,

quienes eligen bajo la presión de condiciones iniciales determinadas y propias

de cada país o economía en particular (véase Accinelli, Brida and Carrera,

2009; Accinelli et al., 2010; Accinelli & Carrera, 2011a 2011b; Sanchez Carrera,

2012). Por tanto, el objetivo primordial es dar una revisión bibliográfica y una

difusión de conceptos básicos de una teoría novedosa, que puede aplicarse de

manera exitosa para el estudio de los fenómenos económicos como las trampas

de pobreza (Sanchez Carrera, 2012).

Consideramos que en situaciones de información imperfecta, la imitación por

parte de los agentes económicos racionales, de aquellas conductas

consideradas las más exitosas, se transforma en una de las claves para

entender la evolución futura de una determinada economía. Según que, y a

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quienes se imite, la economía evolucionará por una senda de alto crecimiento

hacia un estado estacionario Pareto superior, o hacia un estado estacionario

bajo.

Es de notar que extendemos el concepto de comportamiento racional, a aquel

que bajo información imperfecta, supone la imitación del comportamiento

considerado, por el individuo que debe elegir su comportamiento futuro, como el

más exitoso. El éxito de las diferentes conductas seguidas por los agentes

económicos dependerá de las condiciones iniciales existentes. Estas

determinan cuál es la conducta que con mayor probabilidad, en un momento

determinado, los agentes económicos imitarán. Por tanto, el éxito de conductas

que tiendan al perfeccionamiento del capital humano o de la inversión en

investigación y desarrollo, dependerá de condiciones económicas subyacentes,

bien determinadas, imperantes en la economía, en el momento en que la

elección se lleva a cabo (ver Accinelli-Carrera 2011a, b). La acción del

planificador central es considerada en el trabajo mencionado, como un

elemento determinante para definir las condiciones iniciales que hacen que el

comportamiento individualmente racional de los agentes económicos sea

consistente con la evolución de la economía por una senda de alto desempeño

social.

Precisamente es la imitación del más exitoso, el que define el tipo de

crecimiento o senda (ruta) de la economía, por lo que el punto está en crear

aquellas condiciones que hagan que el más exitoso, sea el individuo que se

capacita (mayor educación con calidad), o el empresario que invierte en

desarrollo e investigación. El proceso que permite el crecimiento de estos

grupos se retroalimente, unos precisan de los otros para desarrollarse.

Trabajadores y empresarios imitarán el comportamiento de aquellos individuos,

que resultan más exitosos, o al menos entiendan, dada la información

disponible. Al aumentar el beneficio esperado de la educación, esto hará que

los trabajadores no especializados aumenten la frecuencia con que se

pregunten si deben cambiar o no de actitud, así como la frecuencia con que

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obtienen una respuesta afirmativa, análogamente los empresarios.

El resto del presente trabajo se desarrolla de la siguiente forma. En la siguiente

sección 2, nos referimos al concepto de juegos evolutivos y sus posibilidades

para explicar el crecimiento económico. Introduciremos la dinámica del

replicador, como sustrato matemático para explicar la dinámica económica en el

marco de la teoría del crecimiento a partir de conceptos microeconómicos,

agentes maximizadores de beneficios y firmas que interactúan. En la sección 3

se analiza la dinámica por imitación y su posibilidad de modelarla a partir de la

dinámica del replicador, esto es el centro de este trabajo, ya que es el que

muestra la posibilidad de describir las trampas de pobreza como resultado de la

acción de agentes racionales, en un marco de incertidumbre, que concluye en

un resultado socialmente bajo, aunque pueda ser individualmente maximizador.

Finalmente se ofrecen consideraciones generales sobre los principales

resultados del análisis.

2 Juegos Evolutivos

Referencias básicas sobre la teoría de juegos evolutivos son los siguientes

libros: Gintis (2009), Hofbauer & Sigmund (2002), Vega-Redondo (1996) y

Weibull (1995).

La teoría de juegos no-cooperativos es ya una herramienta estándar para la

modelación de conflictos entre agentes económicos racionales, donde el

equilibrio de Nash ( NE ) es la piedra angular como predicción y resultado del

juego. En un equilibrio de Nash la estrategia de cada jugador maximiza sus

beneficios dadas las estrategias adoptadas por los otros jugadores. Ningún

jugador, por lo tanto, tiene un incentivo para desviarse (unilateralmente) del

resultado de Nash, ya que es la mejor situación para cada jugador y para el

propio grupo. Sin embargo en muchas situaciones, el equilibrio de Nash no es

único, esto a dado lugar a múltiples refinamientos del concepto de ,NE ver por

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ejemplo E. Van Damme (1996). Un refinamiento clave del concepto de equilibrio

de Nash, en la teoría de juegos evolutivos, es la noción de "estrategia

evolutivamente estable" ( ESS por sus siglas en ingles: evolutionarily stable

strategy). El concepto fue concebido por Maynard Smith y Price (1973), véase

también Maynard Smith (1972, 1974). El concepto se refiere fundamentalmente

a la permanencia intergeneracional de cierto comportamiento en una población

de individuos, (originariamente bacterias). Una ESS representa un

comportamiento poblacional, que se trasmite de generación en generación y

que es capaz de contrarrestar la aparición de comportamientos mutantes.

Rigurosamente se trata de un comportamiento estable frente a mutaciones y

que es a su vez, asintóticamente estable con respecto a la llamada dinámica del

replicador.

Este último resultado muestra que el comportamiento racional no es necesario

para obtener un equilibrio estable. El comportamiento heredado por una

población de individuos y que es capaz de trasmitirlo, puede representar una

ESS cuando su desempeño es más exitoso que el de los posibles

comportamientos mutantes. Esto es independiente de toda consideración sobre

el desarrollo de la población hacia niveles superiores. En tanto que el

comportamiento asegure a cada individuo de la población un desempeño

elevado, estos mantendrán su comportamiento y sus características como

especie o población. Naturalmente este éxito individual, esta soportado en las

condiciones iniciales existentes, de modificarse estas suficientemente, el

comportamiento mutante puede ser mas exitoso.

Los juegos evolutivos toman en cuenta: i) un proceso de selección que favorece

a algunas especies o poblaciones sobre las demás, y ii) un proceso que crea

esta especie, llamada el proceso de mutación. En la teoría de juegos evolutivos,

las variedades en cuestión se representan por comportamientos diferentes, y

dentro de una población hay diferentes tipos de comportamientos posibles

donde aquellos más exitosos tienden a hacerse más frecuentes, no obstante

pueden convivir dentro de una especie individuos con diferentes

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comportamientos.

En términos de la teoría de juegos, son comportamientos las estrategias puras

que un jugador puede elegir. En la naturaleza, el mecanismo de selección de

base es la supervivencia y la reproducción biológica, y el proceso de mutación

es básicamente una genética. En la economía el éxito se mide, ya no por la

cantidad de descendientes, sino por beneficios y utilidades, la mutación es la

experimentación de los agentes económicos, sus externalidades y sus errores

que dan lugar a un proceso de aprendizaje.

Así, el punto de partida en un modelo evolutivo, aplicado a modelos

económicos, es la creencia de que la gente no siempre actúa de manera

perfectamente racional. Las estrategias, más que surgir como resultado de un

proceso de razonamiento perfectamente racional, en el que cada jugador

resuelve el juego, a partir del supuesto de conocimiento común, surgen de un

proceso de ensayo y error de aprendizaje, en el que los jugadores encuentran

que algunas estrategias funcionan mejor que otras, proceso este en el que la

imitación juega un papel importante. La toma de decisiones individuales, si bien

afectada por la sociedad o el entorno en el que los agentes económicos se

desempeñan, en principio atiende a objetivos propiamente individuales, que

pueden o no coincidir con el interés social. Al adoptar este enfoque, la teoría de

juegos evolutivos supone que el comportamiento de los agentes aun en el caso

de no ser perfectamente racional, puede llevar a un resultado ''perfectamente

racional'' en equilibrio, o contrariamente, decisiones perfectamente racionales,

desde el punto de vista individual, pueden dar lugar análogamente al hecho de

que no es la especie mas evolucionada la que sobrevive, sino la que mejor que

se adapta, a un comportamiento social pobre.

2.1 El juego poblacional y la dinámica del replicador

Describiremos lo que significa un juego poblacional, pero primero permítanos

recordar algunas nociones básicas de los juegos en forma normal o estratégica.

Sea },...2,1{ nI = el conjunto de jugadores, para cada jugador Ii ∈ sea iS

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su conjunto (finito) de acciones disponibles. La elección determinística de una

acción ii Ss ∈ por un jugador Ii ∈ , es llamada una estrategia pura para i .

Un vector iIin Ssss ∈×∈= ),...,( 1 , donde ii Ss ∈ es la estrategia pura adoptada

por Ii ∈ , es llamado un perfil de estrategias puras o una configuración. El

espacio de todos los perfiles de estrategias puras en el juego es el producto

cartesiano iIi SS ∈×= del conjunto de acciones de los jugadores (usualmente

llamado el espacio de configuraciones).

Para cualquier configuración Ss ∈ y cualquier jugador i, el número real )(siπ

indica el beneficio, pago o utilidad correspondiente a la estrategia ii Ss ∈ del

−i ésimo jugador dada la configuración .Ss ∈ Así la función RSi →:π

define la función de pagos para cada jugador. El vector, ))()),....(()( 1 spss nππ =

corresponde a los pagos recibidos por los diferentes jugadores, cuando se

adopta el perfil .s

Definición 1. Un juego estratégico se describe por la lista ),,( πSI=Γ donde

I es el conjunto de jugadores, S es su espacio de configuraciones y π el

vector de funciones de pagos de los jugadores.

Una estrategia mixta para cada jugador Ii ∈ es una distribución de

probabilidad sobre el conjunto de acciones o estrategias puras iS .

Representamos el conjunto de estrategias mixtas por 1−∆ ini esto es el simplex

1−in dimensional. Este conjunto está formado por todas las distribuciones de

probabilidad sobre el conjunto de estrategias puras, siendo cada uno

representada por un vector ),,...,( 1 iimii xxx = donde |,| ii Sm = mientras )( ji sx

(a veces para abreviar usaremos la notación ijx ) representa la probabilidad de

que el −i ésimo jugador utilice la −j ésima estrategia pura. Una estrategia

pura es una distribución de probabilidades concentrada. Estrategias puras son

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sólo casos extremos de estrategias mixtas con probabilidad uno y el resto cero.

Estas pueden ser representadas por los vectores canónicos )0,...1,...,0(=ije

cuyas coordenadas son todas nulas con excepción de la −j ésima que vale 1,

indicando que es esta la estrategia que el jugador i esta siguiendo.

Definición 2. Un perfil de estrategias mixtas es un vector ),...,( 1 nxxx = de

distribuciones de probabilidad, es decir Ii ∈∀ , 1−∆∈ imiix . Denotamos por

( )mmiIi

i 1−∈ ∆×=∆ el producto cartesiano de los conjuntos de estrategias mixtas de

todos los jugadores. Llamamos a este conjunto, espacio de estrategias mixtas.

Escribimos como ( )ii yx −, el perfil estratégico en el cual el jugador Ii ∈ juega

la estrategia iix ∆∈ y todos los otros juegan de acuerdo al perfil ∆∈y .

Los pagos del jugador Ii ∈ asociados con el perfil de estrategias mixtas x

están dados por el pago esperado:

( ) ( ),)( spsxxu iSs

i ∑∈

=

donde ( )iis

ni xsx 1=×= es el producto de probabilidades asignado por cada

estrategia mixta del jugador 1−∆∈ imiix a la estrategia pura Ssi ∈ .

El juego ),,( πSI=Γ se extiende considerando estrategias mixtas y pagos

esperados, como ( ).,, uI ∆=ϒ

2.2 Estado o perfil poblacional y ESS

La teoría de juegos evolutivos considera poblaciones de agentes tomadores de

decisiones. Cada individuo o agente, puede elegir actuar en cada momento de

acuerdo a uno de los comportamientos posibles para su población.

Consideraremos a cada población como un jugador, que sigue un

comportamiento mixto, donde la estrategia mixta seguida por la población,

corresponde a una distribución de los individuos sobre el conjunto de

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estrategias puras. La elección estratégica divide a cada una de las poblaciones

en subconjuntos de individuos caracterizados por la estrategia adoptada. Estos

subgrupos o subpoblaciones, pueden denominarse clubes. La adherencia de un

individuo a un club u otro se determina por la estrategia o comportamiento

adoptado. Cada individuo podrá pertenecer a más de un club, representando

una estrategia mixta la probabilidad de encontrar a un individuo determinado en

un club dado, o bien el porcentaje de individuos que adhieren a uno u otro club.

Ambas caracterizaciones dan los mismos resultados, si consideramos el

comportamiento del individuo promedio en cada población. Ambas representan

la probabilidad de encontrar un individuo de la población, siguiendo una

estrategia determinada en un momento determinado.

Formalmente, si por },...,2,1{ ni ∈= representamos a cada población, y por

S i ��1, . . .m i� al conjunto de comportamientos posibles, o estrategias puras,

para cada población, im corresponde a la cantidad de comportamientos

posibles para la población −i ésima, por lo que .#|| iii SSm == El conjunto de

estrategias mixtas será entonces, el conjunto de distribuciones posibles de los

individuos de cada población sobre iS y lo representaremos por

)....,( 1 iimii xxx = De esta forma ),(txij representa la probabilidad de que, el

individuo típico de la −i ésima población siga, en un momento ,t el −j ésimo

comportamiento posible, por lo que 1)( −∆∈ imii tx siendo:

=∈=∆ ∑=

+− 1:

1

1ij

n

j

ni

mi xRx

i

ii

el simplex −−1im dimensional.

Definición 3. Equivalentemente, )(txij representa el porcentaje de individuos,

dentro de la −i ésima población, que siguen en el momento t el

comportamiento ,j o que están afiliados al −j ésimo club.

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Consideremos que la economía la forman un conjunto finito de poblaciones

{ },,...,1 nI = las que a su vez, se dividen, en una cantidad finita de

subpoblaciones, las que corresponden al comportamiento seguido por los

individuos, es decir, ijP será la subpoblación de los individuos que siguen el

comportamiento iSj ∈ dentro de la población .Ii ∈

Si por RSS iii →× −:π representamos la función de beneficios

correspondiente a la −i ésima población, siendo ,jiji SS =/− ×= podemos

representar un juego, o una economía, por ),,( iiSI π=Γ , donde nI ,...,1=

representa a los jugadores, o poblaciones y iS el espacio de estrategias puras

posibles para cada población.

Definición 4. Un estado poblacional o perfil poblacional en un instante t del

juego o de la economía Γ , se representa por un vector de distribuciones

{ })(),...,(1 txtx m donde cada },...,1{,)( 1 nitx imii ∈∀∆∈ −

En lo siguiente asumiremos siempre que las poblaciones son constantes, así no

aparecen problemas derivados por consideraciones demográficas. Además

asumiremos que todas las poblaciones son del mismo tamaño.

En lo que sigue utilizaremos la notación:

• is− o ix− para representar las estrategias puras o mixtas, seguidas por

todos los jugadores que no son i .

• jiji SS =/− ×= y .1−=/− ∆×=∆ jn

jiji

Hay dos tipos de modelado de juegos poblacionales:

1) Juegos en contra del campo. Estos juegos tienen las siguientes

características: i) no hay un oponente específico para un agente dado, y ii)

los pagos dependen de lo que todos en la población están haciendo.

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2) Juego por emparejamiento. Describe las situaciones en que un

determinado agente juega contra oponentes que han sido seleccionado al

azar (por naturaleza) entre las otras poblaciones.

Juegos en contra del campo

Consideremos una economía con n poblaciones, para simplificar la notación

consideremos que cada población se divide en m subpoblaciones. El estado

de la economía, en un momento dado, representado por un vector de

distribuciones .)( 1 nmx −∆∈ Supongamos que un agente económico

perteneciente a una cierta población, Ii ∈ (firmas, trabajadores, científicos,

estudiantes, etc.) puede elegir entre un conjunto S de estrategias puras,

adopta una estrategia .1−∆∈ mix Por )(sxi representaremos la probabilidad de

que el individuo se comporte de acuerdo a la estrategia pura .iSs ∈ Su pago

esperado será denotado por:

( ) ).,()(, xssxxx iSs

ii ππ ∑∈

=

Este pago esperado, representa el éxito esperado de la estrategia adoptada, la

que puede ser medidos en términos de utilidad esperada, beneficios esperados,

o en el caso de poblaciones animales la esperanza de sobrevida, cuando el

individuo sigue el comportamiento σ y se enfrenta a individuos que se

comportan de acuerdo a .x

Estamos interesados en la conducta individual que maximice el pago esperado

para cada agente dado el campo vectorial x . Es decir, una condición necesaria

para la estabilidad evolutiva es ( ).,maxarg ∗

∆∈

∗ ∈ xσπσσ

Así, un vector ∗x es un equilibrio, si la distribución ∗ix correspondiente a la

población −I ésima corresponde a una mejor respuesta del comportamiento

promedio, al estado poblacional, .∗x Es decir si

.,),(),( 1 Iiyxxxxx imiiiiii ∈∀∆∈∀≥ −∗∗∗ ππ

Equivalentemente un estado poblacional será un equilibrio, si corresponde a un

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perfil estratégico tal que, cada estrategia seguida por el jugador promedio

dentro de cada población, maximiza el retorno esperado dado el estado

poblacional. Obsérvese que, en tanto que cada jugador de cada población elige

aquella estrategia que maximiza su retorno esperado, dado que, las diferentes

poblaciones se distribuyen de acuerdo al vector x, entonces todos los

individuos de una población determinada optarán por la misma estrategia. Es en

definitiva, el comportamiento individual el que acaba definiendo el

comportamiento de la economía. Este comportamiento corresponde al equilibrio

de Nash.

La condición de estabilidad es de gran importancia, en tanto que ella determina

si un determinado equilibrio es o no observable. Considere un perfil estratégico ∗x tal que la distribución ∗

ix dentro de cada población corresponde a una

estrategia maximizadora contra el campo .∗x Ahora, suponga que una

mutación ocurre y el campo se modifica, pasando a ser .εx Entendemos por

mutación, un cambio en el comportamiento de algunos individuos, respecto al

seguido en ∗x que afecta solo a una parte relativamente pequeña de ellos.

Después de que la mutación ocurre, nos encontraremos ante un nuevo perfil de

distribuciones, el cual será denotado por .εx Sólo consideraremos en principio

mutaciones que no afecten mas que a un grupo pequeño de individuos, de

forma tal que .|| εε <− xx

Definición 5. Diremos que una estrategia ∗ix es evolutivamente estable

contra el campo ∗x si verifica:

1) Iixxxxx miiiiii ∈∀∆∈∀≥ −∗∗ 1),,(),( ππ y si a la vez se verifica la condición de

estabilidad:

2) Existe 0>ε tal que εεππ εε ˆ0),,(),( 1 <<∀∆∈∀≥ −∗ yxxxxx miiiiii ,

verificándose la desigualdad estricta para al menos un .Ii ∈

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En otras palabras ∗ix es una ESS contra el campo, si continua siendo

maximizadora del valor esperado de los individuos de la población −i ésima

aun, luego de que una mutación (no muy grande) en el comportamiento de la

economía, ocurre.

En algunos casos consideraremos como determinadas las distribuciones

correspondientes a todas las poblaciones menos una, y nos ocuparemos de

encontrar la estrategia maximizadora de esta población actuando contra x�i.

Es decir buscaremos aquella estrategia mixta ∗ix de la población −i ésima tal

que 1),(),( −−−

∗ ∆∈∀≥ imiiiiiiii yxyxy ππ y que verifique la condición de estabilidad

frente a mutaciones de ix− . Diremos entonces que la estrategia ∗iy seguida

por la i � ésima población es ESS contra el campo determinado por x�i.

Por otro lado, un juego por emparejamiento describe una situación en la cual un

cierto agente juega contra oponentes que son seleccionados aleatoriamente

entre los individuos de cada población y para lo cual los pagos dependen

únicamente de las estrategias seguidas por cada uno de ellos. Entonces, el

valor esperado asociado a una distribución o estrategia mixta 1−∆∈ miix cuando

el estado poblacional es x quedará definido por:

( ) ( ).,)()(),(, iiiiiiSs

iiiii sssxsxxxxx −−−∈

− ∑== πππ

donde el vector s de estrategias puras se escribe como ,),( iiii SSsss −− ×∈=

mientras que el perfil .),( 1i

miii xxx −

−− ∆×∆∈= Consecuentemente

).,()(),()( jijjijiiii sspsxsspsx =/−−− Π=

A los efectos de no desviar la atención consideremos que dentro de cada

población existen m conductas posibles de ser elegidas por cada agente,

),,...,( 1 imii ssS = una proporción ijx de los agentes en la población i adoptan

la conducta js a ellos los llamaremos −j estrategas, de forma tal que una

estrategia mixta, corresponde a una distribución porcentual de los individuos de

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cada población en clubes.

Supongamos una economía en la que cada población actúa de acuerdo a un

perfil estratégico .x Diremos que el comportamiento poblacional muta, si

algunos de los individuos cambian de manera inesperada su comportamiento.

Llamaremos al perfil posterior a la mutación perfil mutante y será representado

por .εx Supondremos que estas mutaciones no afectan muchos individuos por

lo que .|| εε <− xx definiremos a continuación estrategias evolutivamente

estables ( EES�.

Definición 6. Una estrategia ∗x es ESS para un juego de emparejamiento de

n poblaciones, si y sólo si ∗≠∀ ii xx se tiene que:

1) La condición de equilibrio, ( ) ( ) Iixxxx iiiiii ∈∀≥ ∗−

∗−

∗ ,, ππ y además se verifica

la siguiente condición de estabilidad:

2) Para toda estrategia ∆∈y existe yε tal que

( ) ( ) yiiiiii xypxx εεπ εε ≤<∀≥ −−∗ 0,, siendo xyx )1( εεε −+= el perfil pos-

mutación, con estricta desigualdad para al menos una población .Ii ∈

La condición de estabilidad indica que para ser ESS una estrategia

),...,( 1 nxxx = debe verificar que, para cada población ,Ii ∈ la estrategia mixta

correspondiente, definida por x debe continuar siendo una mejor respuesta

cuando una mutación ocurre en el perfil poblacional. Más aun el desempeño

correspondiente a alguna de las estrategias mixtas ,ix existentes antes de

que la mutación ocurriera, debe ser mejor que el de la mutante correspondiente

.iy

Una gran parte de la literatura de juegos evolutivos, fundamentalmente

aplicados a la biología, se basa en los llamados juegos simétricos, los que se

refieren a individuos que se aparean con otros individuos de su propia

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población. El éxito de cada tipo de comportamiento (determinado

genéticamente) depende del número de descendientes que el portador del tipo

genético determinado es capaz de alcanzar y por lo tanto la capacidad de

trasmisión de los genes que determinan tal comportamiento. en este caso, las

fuerzas de la naturaleza seleccionan el comportamiento Ss ∈∗ si dado que la

población se distribuye de acuerdo al vector de probabilidades x el número de

descendientes del individuo que sigue este comportamiento ),( xsui∗ es mayor

o igual que el que obtendría siguiendo cualquier otro tipo de comportamiento, o

estrategia pura, esto es .),(),( Ssxsuxsu ii ∈∀≥∗ Sin embargo en economía los

juegos anti-simétricos son mas frecuentes, pues es resultado económico

depende de los comportamientos seguidos por diferentes poblaciones, firmas y

trabajadores por ejemplo, compradores y vendedores, etc.

En lo que sigue nos dedicaremos a analizar juegos asimétricos de dos

poblaciones.

Consideremos dos poblaciones polimórficas, esto es poblaciones compuestas

por individuos que siguen diferentes comportamientos. Dichas poblaciones

serán representadas por el índice }.2,1{∈τ Estas poblaciones se dividen a su

vez en subpoblaciones, cada individuo pertenece en un instante t a una y sólo

una de estas subpoblaciones.

Intuitivamente, decimos que x es una ESS si y sólo si después de darse una

mutación en alguna población τ , cada ix continua siendo una mejor

respuesta a la distribución poblacional, post-mutación w . A partir de la

definición se concluye que una ESS de un juego asimétrico debe ser un

equilibrio de Nash estricto.

2.3 La dinámica del replicador

La dinámica del replicador ( RD ) modela explícitamente un proceso de

selección, especificando como un perfil poblacional, evoluciona en el tiempo. La

formulación matemática de la dinámica del replicador se debe a Taylor y Jonker

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(1978). En el caso en el que se consideran poblaciones animales, la utilidad

asociada a una determinada estrategia, que en estos casos esta determinada

genéticamente corresponde a capacidad de adaptación, sobrevida o número de

descendientes del portador de los genes que determinan la conducta

observada. En definitiva mas descendientes tendrán aquellos individuos mejor

adaptados o con esperanzas de sobrevida mayor, por lo que en definitiva es

este número el que determina la eficiencia evolutiva de una determinada

composición genética. La tasa de crecimiento de la fracción poblacional que

adopta una estrategia pura i es igual a la diferencia entre el número esperado

de descendientes de los individuos que manifiestan una determinada conducta

menos el pago promedio que hay en la población. En otras palabras, la

proporción (fracción) de agentes que adoptan la estrategia is crece (decrece)

si su pago es mayor (menor) que el pago promedio dado en la población. En

términos matemáticos, esto puede expresarse mediante el sistema dinámico:

[ ] .),(),( iii xxxxsx ππ −=&

Que corresponde a individuos que sea aparean con individuos de su propia

población.

Las mejores respuestas al estado actual x , corresponden a aquellas

estrategias que tienen la mayor tasa de crecimiento en la población, las

segundas mejores respuestas tienen la segunda tasa de crecimiento más alta, y

así sucesivamente. Aunque las estrategias puras más exitosas crecen más

rápido que los de menos éxito, el pago promedio de la población no tiene

porque crecer con el tiempo. La razón de esta posibilidad es que si un agente

se sustituye por un agente con una mejor estrategia, entonces los opositores

enfrentando a este nuevo agente pueden recibir pagos más bajos, lo cual no

afectará el promedio.

Como ya fue dicho en la teoría económica es más común enfrentarnos a juegos

poblacionales asimétricos. En este caso analizaremos la evolución

correspondiente a un juego de dos poblaciones diferentes. En forma similar al

20

caso de los juegos simétricos podemos plantear el sistema dinámico siguiente,

para explicar la evolución porcentual de una determinada subpoblación de una

población dada:

x֠ i��t��x i

��t� ��si�,x��t����

j�1

m �

x j��t�� sj

�,x��t� , #

para cada estrategia ),...( 1τ

τ

ττmxxx = con poblaciones { }2,1∈τ .

Es natural pensar que los agentes económicos racionales, se guían por el

comportamiento o estrategia que en cada momento suponga mayores

beneficios esperados. Aseveración esta, que justifica la utilización de la

dinámica del replicador en economía para explicar la evolución poblacional.

Esta dinámica garantiza el incremento del porcentaje de individuos que siguen

comportamientos cuyos beneficios esperados son mayores que el promedio.

Este incremento supone la existencia de un proceso aprendizaje a lo largo del

tiempo.

Consecuentemente, se deduce del sistema definido por la dinámica del

replicador que un estado poblacional ∆∈x es estacionario si y sólo si, para

cada población τ y cada estrategia pura ττ Ssi ∈ en uso obtiene el mismo

pago. Así, Ii ∈∀ , { } ,,2,1, ′≠∈′ ττττ el conjunto común de estados

estacionarios es: ( ){ }.)(,:: xxsx io ππ τττ =∆∈=∆ ′

La relación entre el replicador RD y las estrategias evolutivamente estables

ESS es que éstas son un punto asintóticamente estable de la dinámica del

replicador, pero no todos los puntos asintóticamente estables tienen por qué ser

una ESS .

Zeeman (1992) muestra el siguiente resultado:

Una ESS es un punto atractor en su correspondiente dinámica del replicador,

pero no todo punto atractor de la dinámica del replicador corresponde a una

ESS .

Este resultado es formalmente probado por Zeeman (1992) y se demostró por

21

primera vez por Taylor y Jonker (1978) y está en Hofbauer et al. (1979) bajo el

supuesto de que una ESS es regular, llegando a la conclusión de que la

atracción es hiperbólica.

3. Aprendizaje por imitación

Blackmore (1999) no sólo se refiere a la efectividad que la imitación tiene para

el proceso de aprendizaje, sino también a la sofisticación requerida para

considerar el momento de imitar. La imitación lejos de contradecir la

racionalidad, es una manera a través de la cual se expresa. Para explicar la

imitación como regla de conducta de los agentes económicos, podemos partir

de que lo hacen de manera racional. La imitación racional puede ser explicada

de la siguiente manera: Un agente, A, se dice que imita la conducta de otro

agente, B, cuando las observaciones de la conducta de B afectan a A, de

manera tal que la conducta subsiguiente de este se asemeja cada vez más a la

conducta observada de B. Un agente puede decirse que actúa racionalmente

cuando, enfrentado a una elección entre diferentes cursos comportamientos,,

elige aquel que es mejor a sus intereses. En el momento de esta decisión

tendrá en cuenta sus creencias acerca de las posibles consecuencias de tales

acciones y los efectos que de estas acciones bajo las restricciones que

imponen las acciones seguidas por el resto de los agentes económicos (para

más detalles sobre teoría de la imitación, Sanditov, 2006).

Durlauf (2001) muestra que la conducta por imitación se debe a:

1) Factores psicológicos, un deseo intrínseco de comportarse como los demás.

2) Interdependencia en las restricciones que los agentes enfrentan, esto es

porque los costos de una conducta dada dependen de si los demás se

comportan similarmente, o bien:

3) Interdependencia en la transmisión de la información, así que la conducta de

otros altera la información acerca de los efectos de tales conductas

disponibles a un agente dado.

22

En este trabajo consideramos la imitación como un proceso con las siguientes

características:

1) Suponemos que en cada momento t con cierta probabilidad los individuos

tienen el impulso de revisar su estrategia o conducta (pura) actual. Estos

impulsos llegan de acuerdo a un proceso de Poisson, así la probabilidad de

tener impulsos simultáneos de los agentes en la población es simplemente

cero, y las probabilidades con que diferentes individuos se transforman en

revisores de sus propias conductas, son independientes. Por lo que el

proceso global es también un Proceso de Poisson, tal que la intensidad del

proceso global es la suma de las intensidades de los procesos individuales.

2) Una vez que un agente es revisor, deberá decidir si cambia o no su

conducta, y en caso de decidir cambiar, cuál elegir.

3) De esta forma el proceso de cambio de comportamiento de los diferentes

agentes se compone de dos elementos básicos. El primero es una

especificación la probabilidad con la cual los agentes de la población revisan

su conducta actual. El segundo elemento es una especificación de la

probabilidad de elección de cambio de conducta por parte de un agente

revisor que debe elegir su comportamiento futuro.

4) Una posibilidad es que el revisor decida seguir la regla de la mayoría, o

imitar el comportamiento de sus vecinos, o bien del primero con quien se

encuentre.

Björnerstedt y Weibull (1996) fueron de los primeros en estudiar este tipo de

modelos de conducta por imitación, donde aquellos agentes revisores de su

conducta deciden imitar a otros dentro de su población, y así mostraron que se

puede llegar a una dinámica del tipo replicador bien estudiada por la teoría de

juegos evolutivos. En particular, son bien conocidos los procesos de imitación

por insatisfacción, esto es la frecuencia con que un individuo se transforma en

revisor, disminuye con los resultados obtenidos. Es este un supuesto natural,

que consideraremos en este trabajo. Además, si cada agente revisor selecciona

su próxima estrategia o conducta por imitación de la mayoría, es coherente

23

considerar que este elegirá por ejemplo imitar la conducta seguida por el

primero con el que se tope, pues la probabilidad de que el comportamiento del

primer individuo con el que se encuentre sea el de la mayoría es la máxima.

Avances teóricos para el desarrollo de la teoría de imitación han sido las

aportaciones cruciales de Vega-Redondo (1997) y Schlag (1998, 1999).1

Así, la imitación define un proceso dinámico dentro de una población o conjunto

de poblaciones, tal que una vez definidas las reglas de conducta (es decir cómo

se imita) es pasible de ser modelado mediante un sistema de ecuaciones

diferenciales, cuya solución determina la evolución futura de la economía o de

las poblaciones que la definen, una vez que las distribuciones iniciales quedan

determinadas.

A medida que el tiempo transcurre los agentes, frecuentemente se preguntarán

si la conducta por ellos seguida hasta el momento es o no la mejor posible.

Cambiar de estrategia o de club es una posibilidad posterior a la realización de

tal interrogante. Este proceso sigue una regla de conducta, la que a su vez

define un sistema de ecuaciones diferenciales, que describe la evolución de la

frecuencia relativa con la cual alguna estrategia pura ocurre en una población.

Hay una ecuación diferencial para cada estrategia pura disponible para cada

población y cada ecuación diferencial describe la evolución del porcentaje

poblacional que adoptó tal estrategia pura, esto es el número τix para todo

1 ���N y 1 �i �n� . Esta ecuación representa el flujo esperado neto de

individuos hacia cada clase, subpoblación o club de estrategistas.

Para cada población � representamos el conjunto de perfiles de estrategias

1Schlag (1998) analiza cuál es la regla de imitación que un agente debe seguir, cuando él tiene la oportunidad de imitar a los demás dentro de su conjunto poblacional pero está restringido por memoria e información. Schlag considera que si un agente desea una regla de aprendizaje por imitación que conduzca a la no disminución de beneficios esperados (en el tiempo) bajo todas las situaciones de estado estacionario, entonces tal agente debe (i) siempre imitar (no experimentar) al cambiar de estrategia, (ii) no imitar nunca a un agente cuyo beneficio esperado es menor que el suyo, e (iii) imitar a los agentes cuyos beneficios esperados son mejores que los suyos con una probabilidad que es proporcional a esta diferencia en beneficios.

24

mixtas por � como anteriormente, m� es la cardinalidad del conjunto de

estrategias puras disponibles para al población �� �1, . . . ,N� .

Definición 6. Una regla de conducta es un mapeo para la presente conducta

agregada, en cada población N,...,1=τ por el campo vectorial : n nR τ ττϕ ×∆ → ,

a tasas de cambio condicionadas, definido como

( ) ( ) ( ) ( )( ))(),...,(),...,(),...,(

)(

111111 xpxrxpxrxpxrxpxr

x

nnnnnnτ

ττ

τ

ττ

τ

τ

τ

τ

ττττ

τφ

=

=

siendo τn el número de clubes diferentes, en la población .τ Los dos

elementos básicos son:

1) La tasa de probabilidad ( )xriτ de revisión con la que agentes evalúan su

conducta presente. Esta tasa depende del performance de la estrategia pura

del agente y de otros aspectos relacionados con el actual estado

poblacional,2 x .

2) La probabilidad )(xpijτ con la que un agente revisor i � estratega cambiará

a ij ≠ . El vector de estas probabilidades es: ( ))(),...,()( 11 xpxpxp N

ikii =τ ,

donde ττ ∆∈)(xpi . Esta distribución depende del performance de la actual

estrategia comparada con sus opuestas y otros aspectos como el actual

estado poblacional, x .

Como ya fue dicho podemos suponer que los tiempos de revisión de un agente

son tiempos de llegada de un proceso de Poisson, con tasa ).(xriτ Si

suponemos que el número de individuos en cada club es alto, y las

probabilidades de que se pregunten si deben o no cambiar su estrategia

2Esta es la conocida "tasa de conducta con inercia" (ver Bjornerstedt & Weibull, 1996; Weibull, 1995 y Schlag, 1998; 1999) que indica como un agente reconsidera su actual conducta o estrategia con una

probabilidad r � �0,1� en cada periodo.

25

variables aleatorias independientes, resulta que podemos suponer que en

agregado, a los largo de la población entera, tenemos un proceso de Poisson

con tiempo de llegada ).()( xpxrx ijiiτττ Luego por la ley de los grandes números,

modelamos este proceso estocástico agregado como un flujo determinista: La

salida de subpoblación o del club i es:

�j�i

x i�ri

��x�p ij��x�. #

La entrada a la subpoblación o al club i es:

�j�i

x j�rj

��x�p ji��x�. #

El flujo es la diferencia entre la entrada y salida y determina cuando la

frecuencia con la cual observamos individuos siguiendo una estrategia dada,

dentro de una población aumenta o disminuye.

Agrupando términos, obtenemos:

x֠ i���

i

n�

x jrj��x�pji

��x���i

n�

x iri��x�p ij

��x�. #

Donde )(xriτ depende del beneficio actual del agente i que a su vez

depende del estado poblacional, x , comprendiendo los diferentes tipos de

agentes. A su vez )(xp ji depende de los beneficios comparados entre los

agentes i y j . Lo análogo vale para el agente j . Así:

• [ ]1,0)( ∈xriτ es una función decreciente de los beneficios esperados del

agente i . Esto es, a mayores beneficios de i menor la probabilidad, τir ,

de realización de la pregunta sobre la actual estrategia seguida.

• [ ]1,0)( ∈xpij define la probabilidad con que un agente revisor decide

cambiar su estrategia actual i por la −j ésima. Es una función de la

26

percepción individual de la diferencia de beneficios, .)( ττ ππ ij x − la

probabilidad de que un agente que sigue la −i ésima estrategia decida

adoptar la estrategia −j ésima será positiva, cuando la percepción del

agente de esta diferencia, sea positiva. Es natural pensar que esta

percepción dependa directamente de los verdaderos valores. Sera más

ajustada a la realidad, cuanta más información el agente posea.

El valor de τijp se modifica con el tiempo y el estado actual de la economía o

población. El porcentaje de agentes está dado por τjx que naturalmente varía

con el tiempo. Obsérvese que el sistema de ecuaciones que definen la

evolución poblacional, es un sistema acoplado, este hecho dificulta su

resolución analítica. Ante esto se presentan dos alternativas: i) buscar

soluciones numéricas, o ii) realizar hipótesis significativas que permitan resolver

el sistema de manera analítica. Esta segunda opción ha sido explorada en

Accinelli, Brida & Carrera (2009) y Accinelli & Carrera (2011), mientras que la

primera aproximación es parte de líneas actuales de investigación de los

referidos autores. En el caso de existir incertidumbre sobre los beneficios

esperados, cada revisor ( ) },{ nccij ∈=/ , debe elegir formas de estimarlos. Esta

elección influirá directamente en la forma y complejidad del sistema dinámico

que resume la evolución poblacional.

Definición 7. Un agente económico i que es revisor, imitará a un estratega

j con probabilidad τijp , igual a:

P����ej,������ei,���x j��

���ej,x���x j� if ��ej,x����0

0 if ��ej,x����0

#

donde |),(),(|

1ττττλ −− +

=xeuxeu ji

, ∀ },{ MR∈=/− ττ y },{ nccji ∈=/ .

27

Por lo tanto la dinámica del replicador puede escribirse como:

x֠ i��f j

����ej,x�������e i,x���x i�x j

��f i����ei,x�������e j,x���x j

�x i� #

donde la función ( ) )(xrf iiiτττ π = es simplemente la tasa de probabilidad de

revisión de −i estratega. Consideramos tal función ser específica en pagos

propios, así, la propensión de cambio de conducta es decreciente en el pago

propio del agente i , esto es (ver Weibull, 1995):

,)()( ττττττ παπ iiiii xrf β−==

con 0, ≥ττ βα y ≥τ

τ

βα τπ i asegurando que [ ]1,0)( ∈ττ π iif . Así, con respecto al

pago del −i estratega, τπ i si éste crece en promedio, su tasa de probabilidad

de revisión, )()( τττ π iii fxr = , decrecerá. Para simplificar, etiquetemos la

notación τττ ππ ii xe =− ),( y τττ π jj xeu =− ),( , entonces, podemos escribir:

[ ].)()()1( τττττττττ ππλ jiiijjiii ufufxxx −−=&

Por lo tanto, considerando la anterior regla de imitación, obtenemos el sistema

de ecuaciones de la dinámica del replicador para agentes económicos

impulsados por imitación, i.e.:

x֠ i���x i

��1�x i��☺�

i��j

�

i��j

� . #

Tal sistema describe la dinámica del replicador como un proceso dinámico en el

que sólo las estrategias más eficientes son replicadas. EL sistema ( )′ττji xx && para

todo ,,...,2,1, τmji = con poblaciones { },2,1, ∈′ττ ′≠ ττ , admite cinco

estados estacionarios o equilibrios dinámicos, i.e. estados o perfiles

poblacionales:

),()1,1(),0,1(),1,0(),0,0( 21cc xxPy =

28

donde 1cx es el porcentaje umbral de aquellos agentes de la población 1 que

deciden imitar y adoptar la conducta c (ej. cooperación); siendo 2cx el

porcentaje umbral de aquellos agentes de la población 2 que deciden imitar y

adoptar la conducta c . Note que, ),( 21cc xxP = es un equilibrio de Nash en

estrategias mixtas interior al cuadrado ]1,0[]1,0[ ×=C .

La siguiente proposición resume las principales características de las

posibilidades evolutivas, de una economía en la que los agentes económicos,

imitan la conducta seguida por aquellos individuos que, dada la distribución

poblacional y la información disponible, aparecen como los más exitosos. En

este nuestro último caso, si las condiciones iníciales de la economía son tales

que se está por encima del umbral, Pxi > , entonces la cooperación se dará

como conducta única y la economía evolucionará hacia una senda con

equilibrio sostenido y de crecimiento. Caso contrario cuando el número de

agentes económicos está por debajo del umbral, entonces estos agentes por

imitación deciden no cooperar y la economía va encaminada a una trampa de

pobreza con agentes no cooperativos, estado )0,0( .

Proposición 1 (Accinelli et al. (2010) y Sanchez Ca rrera (2012)). Cuando los

agentes económicos revisores de su propia conducta, cambian de

comportamiento o estrategia, de acuerdo con las normas de imitación de sus

pares, dada la información disponible y el actual estado o perfil poblacional,

como más exitosos, entonces:

• Los equilibrios )0,0( y )1,1( son atractores para el sistema dinámico

replicador y por lo tanto definen perfiles estratégicos evolutivamente

estables ( ESS ), que son respectivamente equilibrios de Nash: )1,0;1,0( y

)0,1;0,1( .

• El equilibrio ( )21, cc xxP = define un valor umbral de agentes económicos

cooperativos con el crecimiento sostenido, en el sentido de que si las

29

condiciones iniciales están por encima de tal umbral, la trayectoria como

solución del sistema dinámico converge hacia el atractor alto (1,1), de

crecimiento sostenido. Mientras que si los valores iniciales se encuentran

por debajo de tal umbral, se convergirá hacia el atractor bajo, )0,0( , de

equilibrio no-cooperativo.

La demostración generalizada de éste teorema se puede encontrar en

Sanchez-Carrera (2012), y una aplicación para juego de firmas y trabajadores

se encuentra en Accinelli et al. (2010).

Por lo tanto, la imitación tiende entonces a replicar el comportamiento de la

mayoría. Si se quiere modificar este proceso, deben cambiarse suficientemente

las condiciones que hacen que tal comportamiento sea una mejor respuesta,

para así tener una economía con crecimiento sostenido de largo plazo.

Así, la economía puede converger a un equilibrio con nivel bajo aun basándose

en elecciones racionales de los agentes, entendiendo por nivel bajo una

situación en la que predominan los perfiles no deseables como la no-

cooperación. La economía requiere un número límite de agentes con perfil alto

o deseable para librar la trampa de pobreza. El número de agentes económicos

con nivel alto, inicialmente existentes, que permite a la economía seguir una

senda de alto crecimiento, debe ser mayor al umbral P�.

4. Comentarios finales

Actualmente existen innumerables aplicaciones de la teoría de juegos

evolutivos a la teoría económica y a la dinámica de poblaciones humanas.

Estos modelos permiten conocer las posibles tendencias de la evolución en el

comportamiento de poblaciones humanas con respecto, por ejemplo a su medio

ambiente, y alertan sobre la fragilidad de determinados comportamientos

deseables y la consecuente necesidad de crear leyes e incentivos para

mantener conductas y/ o costumbres destinadas a desaparecer por la acción de

30

una dinámica inexorable. Cuáles son estas leyes, o cómo crearlas en principio

no son temas de la teoría de juegos, aunque una vez definidas, su

implementación pueda serlo.

En conclusión, la teoría de juegos evolutivos nos ayuda a modelar como la

racionalidad individual de los agentes económicos puede dar lugar a resultados

socialmente eficientes o ineficientes, dependiendo de qué sea lo que con mayor

probabilidad imitarán los individuos. Tal probabilidad depende de condiciones

iniciales, que determinan cuál comportamiento individual es más exitoso en un

momento determinado. A partir de fijadas las reglas de conducta, y establecido

el sistema dinámico que las representa, las soluciones de este corresponderán

a trayectorias posibles por las que evolucionará la economía. Las condiciones

iníciales determinan por cuál de ellas la economía evolucionará. Esta trayectoria

corresponde a una sucesión continua de distribuciones de probabilidad en el

conjunto de los comportamientos posibles de los individuos de cada población,

que evoluciona con el tiempo y que converge a atractores determinados por el

sistema dinámico. La acción del planificador central, debe entonces dirigirse

hacia la evaluación correcta de las condiciones iniciales imperantes,

modificarlas si es necesario para quitar a la economía de la trampa de pobreza.

Debe atenderse a que una mala evaluación de estas condiciones o el

establecimiento de una política de incentivos incorrecta, puede agravar la

situación existente, en la medida que puede hacer aparecer aun como mas

exitoso, el comportamiento menos deseado socialmente.

Se concluye entonces que cuando las condiciones iniciales no eran las

deseables; la elección racional libre de los agentes económicos no es suficiente

para salir de la cuenca de atracción de una trampa de pobreza, más aun, esta

convergencia puede verse acelerada, precisamente por el comportamiento

racional de los agentes económicos. Es aquí cuando es válida la intervención

de un planificador central o hacedor de políticas económicas, ya que una vez

identificadas las variables que determinan el umbral es entonces que se tienen

que diseñar mecanismos para disminuir tal umbral con el objetivo de que las

31

condiciones iniciales de la economía se encuentre por encima del umbral y así

los agentes económicos lleven a la economía a una senda de crecimiento

sostenido. Note que una vez superado el umbral, la intervención del planificador

debe necesariamente desaparecer. A partir de la superación de estos valores,

la economía por sí sola, bajo la acción de sus propias leyes, y la racionalidad

los agentes económicos, evolucionará por una senda de crecimiento económico

alto y sostenido, alcanzando un estado estacionario de alto desempeño. La

incapacidad para detectar estos valores umbrales y definir una correcta política

económica, puede explicar por qué se observan índices tan dispares en el

bienestar social de diferentes países, aún bajo la globalidad creciente de la

economía actual.

32

Referencias

• Accinelli, E. Brida, G. and Carrera, E. (2009), "Imitative Behavior in a Two

Population Model," Annals of the International Society of Dynamic

Games , vol. XI..

• Accinelli, E. and E. Sánchez Carrera (2010), Los fundamentos estratégicos

de las trampas de pobreza PERSPECTIVAS Revista de Análisis de

Economía, Comercio y Negocios Internacionales 4(1), pp. 3-43.

• E. Accinelli, London S., Punzo L. and E. Sánchez Carrera (2010), “Dynamic

Complementarities, Efficiency and Nash Equilibria for Populations of Firms

and Workers”, Journal of Economics and Econometrics 53(1), pp. 90-

110.

• Accinelli, E. and E. Sánchez Carrera (2011a), "The Evolutionary Game of

Poverty Traps" Forthcoming in The Manchester School . DOI:

10.1111/j.1467-9957.2011.02262.x

• Accinelli, E. and E. Sánchez Carrera (2011b), "Strategic complementarities

between innovative firms and skilled workers: the poverty trap and the

policymaker's intervention" Structural Change and Economic Dynamics

22(1), pp.30-40.

• Apesteguia, J., S. Huck and J. Oechssler (2007), "Imitation-theory and

experimental evidence," Journal of Economic Theory 136, pp. 217-235.

• Axelrod, Robert (1984), The Evolution of Cooperation , New York: Basic

Books, ISBN 0-465-02122-2.

• Blackmore, S. (1999), The Meme Machine, Oxford; Oxford University Press.

• Björnerstedt, J. and J.W. Weibull (1996), "Nash Equilibrium and evolution by

imitation," The Rational Foundations of Economic Behaviour , Eds. K.

Arrow et al., Macmillan, London, pp. 155--171.

• Border, Kim (1985), Fixed point theorems with applications to

economics and game theory . Cambridge University Press. Reprinted

33

version 1999.

• Durlauf, S. (2001), "The Memberships Theory of Poverty: The Role of Group

Affiliations in Determining Socioeconomic Outcomes," in Understanding

Poverty in America , S. Danziger and R. Haveman eds., Cambridge:

Cambridge: Harvard University Press.

• Gaunersdorfer, A. J. Hofbauer and K. Sigmund (1991), "On the Dynamics of

Assymetric Games," Theoretical Population Biology 39, pp. 345-357.

• Gintis, H. (2009), Game Theory Evolving , Second Edition, Princeton

University Press.

• Hofbauer, J. Schuster, P. and Sigmund, K. (1979), "A note on evolutionary

stable strategies and game dynamics," Journal of Theoretical Biology 81,

pp. 609-612.

• Hofbauer, J. and K. Sigmund, (2002), Evolutionary Games and Population

Dynamics , Cambridge University Press.

• Maynard Smith, J. (1972), On Evolution . Edinburgh University Press.

• Maynard Smith, J. and Price, G.R. (1973), “The Logic of Animal Conflict”,

Nature 246, pp. 15-18.

• Maynard Smith, J. (1974), "The theory of games and the evolution of animal

conflict," Journal of Theoretical Biology 47, pp. 209--22.

• Maynard Smith, J. (1982), Evolution and the Theory of Games , Cambridge

University Press.

• Nachbar, J. H. (1990), "Evolutionary selection in dynamic games,"

International Journal of Game Theory 19, pp. 59-90.

• Sanditov, B. (2006), "Essays on Social Learning and Imitation," Ph.D. thesis,

Maastrictht University.

• Sanchez Carrera, E. (2012), “Imitation and evolutionary stability of poverty

traps,” Journal of Bioeconomics 14, pp. 1-20.

• Schlag, K. H. (1998), "Why Imitate, and if so, How?" A Boundedly Rational

Approach to Multi-Armed Bandits", Journal of Economic Theory 78(1), pp.

34

130-156.

• Schlag, K. H. (1999), "Which One Should I Imitate", Journal of

Mathematical Economics 31(4), pp. 493-522.

• Selten, R. (1975), "Reexamination of the Perfectness Concept for

Equilibrium Points in Extensive Games," International Journal of Game

Theory 4(1), pp. 25-55.

• Selten, R. (1980), "A note on evolutionarily stable strategies in asymmetrical

animal conflicts," Journal of Theoretical Biology 84, pp. 93-101.

• Taylor, P.D. and L.B. Jonker, (1978), "Evolutionary Stable Strategies and

Game Dynamics", Math. Biosci ., 40, pp. 145-156.

• Van Dame, E. (1991) Stability and Perfectin of Nash Equilibrium Springer-

Verlag.

• Vega-Redondo, F. (1996), Evolution, Games, and Economic Behavior ,

Oxford University Press.

• Vega-Redondo, F. (1997), "The evolution of Walrasian behavior,"

Econometrica 65, pp. 375--384.

• Weibull, W. J. (1995), Evolutionary Game Theory, The Mit Press.

• Zeeman, A. C. (1992), "Population Dynamics from Game Theory", in Z.

Nitecki and C. Robinson, eds., Global Theory of Dynamical Systems , pp.

471-497. Springer-Verlag. Lecture Notes in Mathematics 819.