IMPLEMENTACIÓN DE UN PROGRAMA DE REFUERZO …
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"IMPLEMENTACIÓN DE UN PROGRAMA DE REFUERZO APLICANDO EL MÉTODO DE POLYA PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PARA FAVORECER EL RENDIMIENTO ACADÉMICO EN MATEMÁTICA DE ESTUDIANTES DE BAJO RENDIMIENTO DE QUINTO PRIMARIA DEL COLEGIO EL SAGRADO CORAZÓN DE JESÚS." CAMPUS CENTRAL GUATEMALA DE LA ASUNCIÓN, MARZO DE 2018 LAURA SOFIA ORTEGA GRAJEDA CARNET 20875-16 TESIS DE GRADO LICENCIATURA EN EDUCACIÓN Y APRENDIZAJE FACULTAD DE HUMANIDADES UNIVERSIDAD RAFAEL LANDÍVAR
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"IMPLEMENTACIÓN DE UN PROGRAMA DE REFUERZO APLICANDO EL MÉTODO DE POLYAPARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PARA FAVORECER EL RENDIMIENTO ACADÉMICO
EN MATEMÁTICA DE ESTUDIANTES DE BAJO RENDIMIENTO DE QUINTO PRIMARIA DELCOLEGIO EL SAGRADO CORAZÓN DE JESÚS."
CAMPUS CENTRALGUATEMALA DE LA ASUNCIÓN, MARZO DE 2018
LAURA SOFIA ORTEGA GRAJEDA CARNET 20875-16
TESIS DE GRADO
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN Y APRENDIZAJEFACULTAD DE HUMANIDADES
UNIVERSIDAD RAFAEL LANDÍVAR
HUMANIDADESTRABAJO PRESENTADO AL CONSEJO DE LA FACULTAD DE
"IMPLEMENTACIÓN DE UN PROGRAMA DE REFUERZO APLICANDO EL MÉTODO DE POLYAPARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS, PARA FAVORECER EL RENDIMIENTO ACADÉMICO
EN MATEMÁTICA DE ESTUDIANTES DE BAJO RENDIMIENTO DE QUINTO PRIMARIA DELCOLEGIO EL SAGRADO CORAZÓN DE JESÚS."
TÍTULO Y GRADO ACADÉMICO DE LICENCIADA EN EDUCACIÓN Y APRENDIZAJE
PREVIO A CONFERÍRSELE
GUATEMALA DE LA ASUNCIÓN, MARZO DE 2018CAMPUS CENTRAL
LAURA SOFIA ORTEGA GRAJEDA POR
TESIS DE GRADO
UNIVERSIDAD RAFAEL LANDÍVARFACULTAD DE HUMANIDADES
LICENCIATURA EN EDUCACIÓN Y APRENDIZAJE
ING. JOSÉ JUVENTINO GÁLVEZ RUANO
DRA. MARTA LUCRECIA MÉNDEZ GONZÁLEZ DE PENEDO
P. JULIO ENRIQUE MOREIRA CHAVARRÍA, S. J.
LIC. ARIEL RIVERA IRÍAS
LIC. FABIOLA DE LA LUZ PADILLA BELTRANENA DE LORENZANA
SECRETARIA GENERAL:
VICERRECTOR ADMINISTRATIVO:
VICERRECTOR DE INTEGRACIÓN UNIVERSITARIA:
VICERRECTOR DE INVESTIGACIÓN Y PROYECCIÓN:
P. MARCO TULIO MARTINEZ SALAZAR, S. J.
VICERRECTORA ACADÉMICA:
RECTOR:
AUTORIDADES DE LA UNIVERSIDAD RAFAEL LANDÍVAR
AUTORIDADES DE LA FACULTAD DE HUMANIDADES
DECANO: MGTR. HÉCTOR ANTONIO ESTRELLA LÓPEZ, S. J.
VICEDECANO: DR. JUAN PABLO ESCOBAR GALO
SECRETARIA: MGTR. ROMELIA IRENE RUIZ GODOY
REVISOR QUE PRACTICÓ LA EVALUACIÓN
NOMBRE DEL ASESOR DE TRABAJO DE GRADUACIÓNMGTR. MARIA GABRIELA QUIÑONEZ CASTELLANOS
MGTR. MANUEL DE JESUS ARIAS GUZMAN
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AGRADECIMIENTOS
A DIOS Y NUESTRA MADRE DEL CIELO, MARÍA
Por ser eje central de mi vida y por la bendición que me otorgan al culminar esta carrera.
A MI MAMÁ, KARIN
Por su apoyo incondicional y por ser mi pilar y mayor ejemplo de constancia y
perseverancia.
A MI ABUELITA, ANA ROSA
Por ser mi mayor inspiración en cada proyecto que realizo, pero principalmente por ser
mi modelo a seguir en el campo de la docencia.
A MI HERMANO, JOSÉ PABLO
Por sus consejos, puntos de vista fuera de lo común y por motivarme, a su manera, a
seguir adelante.
A MI NOVIO, ERICK
Por las desveladas en compañía, el amor y paciencia que me ha demostrado a lo largo
de cada uno de los pasos para alcanzar mis sueños.
A MIS AMISTADES
Por ser mis escuchas en momentos de estrés, por ser mi apoyo y mis motivadores
personales.
A MIS SUEGROS, ERIK Y PATY
Por siempre estar al pendiente de mí, por su cariño incondicional y por sus palabras de
aliento.
A MIS ESTUDIANTES
Por ser las generadoras principales de esta investigación, por las sonrisas diarias a lo
largo del programa y porque es su formación integral, prioridad para mi desarrollo como
educadora.
A LA LICDA. JACQUELINE DE FETZER Y EL ING. GUILLERMO GONZÁLEZ
Por confiar en mi trabajo y brindarme el apoyo y los recursos necesarios para llevar a
cabo la presente investigación.
AL COLEGIO “EL SAGRADO CORAZÓN DE JESÚS”
Por la formación constante, no sólo como ex alumna, sino como educadora.
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ÍNDICE
I. INTRODUCCIÓN ......................................................................................................... 6
1.1 Matemática....................................................................................................... 14
1.1.1 Definición ....................................................................................................... 14
1.1.2 Importancia de la Matemática en la Educación ............................................. 15
1.1.3 Aprendizaje y Enseñanza de la Matemática .................................................. 16
1.1.3.1 Rol del maestro en el proceso de aprendizaje y enseñanza de la Matemática ................................... 18
1.1.3.2 Rol del estudiante en el proceso de aprendizaje y enseñanza de la Matemática ............................... 19
1.1.4 Metodología para la clase de Matemática ..................................................... 20
1.2 Resolución de Problemas .................................................................................... 21
1.2.1 Definición ....................................................................................................... 21
1.2.2 Proceso de resolución de problemas ............................................................. 21
1.2.3 Estrategias de resolución............................................................................... 22
1.3 Método de Polya .................................................................................................. 23
1.3.1 Historia........................................................................................................... 23
1.3.2 Definición del Método de Polya ..................................................................... 24
1.3.3 Importancia del Método de Polya .................................................................. 24
1.3.4 Pasos del Método de Polya ........................................................................... 24
1.4 Rendimiento Académico ...................................................................................... 27
1.4.1 Definición ....................................................................................................... 27
1.4.2 Factores que influyen en el rendimiento académico ...................................... 28
1.4.3 Características de los estudiantes con bajo rendimiento académico ............. 30
II. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA ...................................................................... 32
2.1 Objetivos .............................................................................................................. 33
2.2 Hipótesis .............................................................................................................. 34
2.3 Variables .............................................................................................................. 35
2.4 Definición de variables ......................................................................................... 36
2.5 Alcances y Límites ............................................................................................... 37
5
2.6 Aportes ................................................................................................................. 38
III. MÉTODO ................................................................................................................. 39
3.1 Sujetos ................................................................................................................. 39
3.2 Instrumentos ........................................................................................................ 39
3.3 Procedimiento ...................................................................................................... 40
3.4 Diseño y metodología estadística ........................................................................ 41
IV. PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS ................................................ 42
4.1 Resultados del grupo control ............................................................................... 42
4.2 Resultados del grupo experimental ...................................................................... 44
4.3 Comparación de resultados ................................................................................. 46
V. DISCUSIÓN .............................................................................................................. 48
VI. CONCLUSIONES .................................................................................................... 54
VII. RECOMENDACIONES ........................................................................................... 55
VIII. REFERENCIAS ..................................................................................................... 56
IX. ANEXOS .................................................................................................................. 61
9.1 Programa experimental para la resolución de problemas basado en el Método de
Polya .......................................................................................................................... 61
9.1.1 Datos generales ............................................................................................. 61
9.1.2 Descripción .................................................................................................... 61
9.1.3 Objetivos ........................................................................................................ 62
9.1.4. Materiales y recursos .................................................................................... 62
9.1.5 Planificación de sesiones............................................................................... 62
9.2 Ejemplo de hoja guía para la aplicación del Método de Polya ............................. 65
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RESUMEN
La presente investigación tiene como objetivo determinar si, al implementar un programa
de refuerzo aplicando el método de resolución de problemas de Polya favorece el
rendimiento académico en Matemática, con el fin de que los maestros puedan aplicarlo
con sus estudiantes, y éstos lo aprendan de forma significativa y lo pongan en práctica
en la resolución de problemas matemáticos.
La investigación es cuantitativa con un diseño cuasi experimental, trabajada con un grupo
control y un grupo experimental. Las variables que se tomaron en cuenta son el
rendimiento académico de los estudiantes en la segunda y cuarta unidad y la aplicación
del Método de Polya como variable independiente.
Para el experimento se seleccionaron un total de 25 estudiantes de quinto primaria que
presentaron en la segunda unidad una nota por debajo de los 75 puntos en la materia de
Matemática, se separaron de manera aleatoria formando el grupo control con 12
estudiantes y el experimental con un total de 13 estudiantes.
En la aplicación del programa, a los estudiantes del grupo experimental, se utilizaron
hojas guiadas de problemas con los pasos ordenados del Método de Polya, estrategias
lúdicas y de resolución variadas, trabajo cooperativo, discusiones y argumentaciones en
equipo.
El análisis estadístico de los resultados comparando las notas obtenidas en la segunda
y cuarta unidad en Matemática por los sujetos del experimento, se llevó a cabo con el
programa Microsoft Excel 2016.
Los resultados de la investigación muestran que la implementación del programa de
refuerzo aplicando el Método de Polya sí incrementa de forma significativa el rendimiento
académico de los estudiantes.
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I. INTRODUCCIÓN
La matemática es una ciencia exacta que se desarrolla en las aulas con el fin de construir
en los estudiantes una base de lógica que los ayude no sólo numéricamente sino
principalmente en el desenvolvimiento del razonamiento y de los procesos ordenados
para encontrar soluciones, por lo mismo, la matemática es una materia que más que
estar enfocada en contenidos debe ser enfocada en los procesos que ésta desarrolla.
(Carrasco, 2004).
Por su parte Araya (2000) asegura que la resolución de problemas en la materia de
Matemática desarrolla habilidades cognitivas y de organización, que luego ayudarán al
estudiante a contar con una base destrezas para la vida laboral, por lo que es necesario
que los currículos cuenten con una buena base que fomente la resolución de problemas,
y que estos sean desarrollados y formulados por los maestros fundamentándose en el
contexto de los mismos estudiantes,
Según Ebner (2002) en general, los estudiantes tienden a mostrar dificultad en la parte
más aplicada de la matemática, la resolución de problemas. Se muestran capaces de
automatizar procesos de las operaciones básicas, pero carecen de la comprensión y el
análisis necesario para la resolución de problemas.
La educación del siglo XXI exhorta a los maestros, a buscar herramientas metodológicas
para ayudar y guiar a las estudiantes en el proceso de aprendizaje. La metodología con
la que se imparte la materia y con la que se motiva el proceso de resolución de problemas
es un elemento clave para el alcance satisfactorio de la competencia de resolución, y por
ende para la obtención de mejores resultados en el rendimiento de los estudiantes
(Martínez-Otero, 1997).
Por ello, es importante que el proceso de aprendizaje y enseñanza de la Matemática esté
enfocado en reconocer, fortalecer y potencializar el talento de los estudiantes para la
resolución de problemas, fomentando que todos son capaces de alcanzar dicha
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competencia si cuentan con las herramientas necesarias para lograrlo. Estas
herramientas deben ser proporcionadas por los maestros, y basadas en la diversidad
que existe al momento de resolver una misma interrogante.
Ante dicho problema, la presente investigación tiene como objetivo la creación e
implementación de un programa, aplicando y desarrollando el método de Polya para la
resolución de problemas, que confronte la problemática y promueva una mejora
significativa en el rendimiento académico de los estudiantes.
Con dicho programa, se espera que los sujetos de esta investigación no sólo puedan
mejorar su rendimiento académico en Matemática sino, además, potencialicen la
competencia de resolución de problemas, que es esencial no sólo para la materia, sino
principalmente para afrontar situaciones de la vida cotidiana. Se espera además que la
investigación sea fuente de motivación para encontrar métodos alternativos que permitan
a los maestros mejorar el proceso de aprendizaje y enseñanza de la resolución de
problemas.
En Guatemala existen varias investigaciones que han promovido el método de Polya
como fundamento para la mejora del proceso de aprendizaje de la resolución de
problemas, así como estudios que promueven programas para la mejora del rendimiento
académico de los estudiantes. A continuación, se detallan algunas de dichas
investigaciones.
En relación a la aplicación del Método de Polya, Escalante (2015) realizó una
investigación con enfoque cuantitativo que buscaba el desarrollo y aplicación de los
pasos del Método de Polya en un grupo de 25 estudiantes de quinto primaria de la
Escuela Oficial Rural Mixta “Bruno Emilio Villatoro López” del municipio de La
Democracia, departamento de Huehuetenango. En el desarrollo del programa planteado
por la investigadora, los estudiantes debían primero comprender, luego reflexionar y
ejecutar pasos y por último comprobar su respuesta. En esta investigación se utilizaron
9
dos evaluaciones con el objetivo de observar el progreso de los estudiantes al aplicar el
método de Polya de resolución de problemas.
En la evaluación diagnóstica se obtuvo una media aritmética de por arriba del 60% y en
la evaluación final los estudiantes alcanzaron una media aritmética de por arriba del 85%,
lo que demuestra que el empleo del método de Polya fue significativo se obtuvieron
resultados de mejora. Esto comprueba que al aplicar el método de Polya en la resolución
de problemas matemáticos, los niños de quinto primaria de dicha investigación
alcanzaron los objetivos propuestos en la investigación. En la investigación se
recomienda, capacitar a los maestros de dicha escuela en la aplicación del método de
Polya con el fin de implementarlo como parte del currículo de Matemática en toda la
primaria.
Por otro lado, Ruiz (2015) planteó como objetivo principal de investigación el establecer
si la competencia de resolución de problemas es un eje transversal esencial de la
educación y fundamentar de forma descriptiva que la resolución de problemas es la clave
para la vida futura laboral de los estudiantes. Para ello se realizó una encuesta a 30
sujetos de diferentes ámbitos profesionales, sobre cómo la resolución de problemas
formaba parte de su vida cotidiana y cómo ellos cambiarían el aprendizaje de dicha
competencia en las escuelas. En base a los resultados de dichas encuestas, se
encontraron claves para mejorar las metodologías de resolución de problemas tales
como la validación a la diversidad de estrategias, la aplicación de pasos ordenados y
automatizados y la contextualización de los problemas que se proporcionan en las aulas.
Así mismo, se concluyó que la competencia de resolución de problemas, más allá de ser
vital para el desarrollo pleno de los estudiantes en las aulas, es un elemento clave para
el éxito de sus vidas profesionales. Se recomendó rediseñar el programa de estudios de
la clase de Matemática, con el fin de que éste esté enfocado en un aprendizaje basado
en la resolución de problemas.
Por su parte, Véliz (2015) enfocó su investigación en comprobar la influencia de la
metodología aplicada por los maestros para el proceso de enseñanza de la Matemática
10
sobre el rendimiento académico de los estudiantes. Para ello se realizó un estudio con
64 estudiantes de sexto grado de primaria divididos en dos secciones y sus 2 maestros.
Para establecer el rendimiento de los estudiantes, se utilizó como referencia los
resultados obtenidos en pruebas realizadas por el investigador. Además, mediante la
observación y entrevistas a los maestros involucrados, se logró evidenciar la metodología
que utilizaban los maestros para enseñar Matemática. Los resultados de las pruebas
mostraron que una de las dos secciones logró obtener un promedio arriba de la media
en la prueba, mientras que la otra sección quedó por debajo de ella. La sección que
obtuvo mejores resultados era atendida por un maestro especializado en Matemática, lo
que ayudó a evidenciar el contraste de utilizar metodología especializada y carecer de la
misma. En base a los resultados se propuso el tener una metodología estable, revisada
por expertos en la materia, pero que fuera factible que cualquier educador pudiera
aplicarla y así mejorar y nivelar el rendimiento de los estudiantes.
Ajanel (2012) planteó como objetivo determinar la aplicación de estrategias y su
influencia en el aprendizaje y la enseñanza de la resolución de problemas. Para ello se
llevó a cabo un estudio con 192 estudiantes de magisterio primaria y preprimaria y 8 de
sus maestros. El proceso que se realizó consistió de una serie de pruebas basadas en
problemas matemáticos para determinar las estrategias que aplicaban los estudiantes,
así como de entrevistas tanto a los sujetos como a los maestros sobre el proceso que
seguían para resolver problemas. Los resultados obtenidos de dichas pruebas, indicaron
que una tercera parte de los sujetos (estudiantes) carecen de conocimiento de cuáles
son las estrategias que se pueden aplicar para resolver problemas, ya que consideran
las operaciones aritméticas como dichas estrategias. Casi la mitad optó por dejar en
blanco los problemas de la prueba, y una quinta parte aplicó estrategias como:
elaboración de patrones, diagramas, dibujos, desarmar el problema. A partir de los
resultados, se concluyó que es importante que, para mejorar el proceso de aprendizaje
de la resolución de problemas, se establezca un método ordenado, así como se
proporcione a los estudiantes estrategias básicas y aplicaciones de las mismas. Se
recomendó que para mejorar el proceso de resolución de problemas era necesario el
aprendizaje de estrategias básicas por parte de los estudiantes, por lo que se motivó a
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los maestros a ser el eje de cambio y empezar un programa de enseñanza de dichas
estrategias.
Enfocado en el rendimiento académico de la Matemática, Echeverría (2010) planteó
como objetivo principal de investigación el contribuir al rendimiento académico de los
estudiantes mediante el fortalecimiento del proceso de enseñanza y aprendizaje. Para
ello realizó una investigación con un total de 174 estudiantes y 6 maestros de un
profesorado en Matemática y Física basándose en una serie de cuestionarios para
determinar los factores que influyen en el rendimiento de académico de los estudiantes.
Entre los hallazgos más importantes se destaca que la motivación extrínseca es un factor
vital para mejorar el rendimiento, así como el variar en las estrategias de enseñanza que
utilizan los docentes. Se sugirió la implementación de un programa de aprendizaje entre
pares, que motive a los estudiantes de buen rendimiento a ayudar a compartir sus
conocimientos con sus compañeros y además el capacitar a los educadores de forma
constante con el fin de que cuenten con una base más innovadora de actividades.
Entre las investigaciones realizadas en América Latina se encuentra la de Cardona
(2008). En el estudio de tipo cuasi-experimental, el objetivo fue diseñar un programa de
estrategias basado en el Método de Polya para orientar de forma más fácil la resolución
de problemas matemáticos. Se trabajó con una muestra de 50 estudiantes con
características similares como la capacidad de análisis y reflexión; la cual fue asignada
bajo un criterio probabilístico. Se realizó una prueba que contaba con problemas
matemáticos, los estudiantes pasaron por varios desafíos y diferentes niveles de
dificultad. La prueba se realizó previo y posteriormente a la aplicación de un programa
enfocado en la aplicación de estrategias de resolución de problemas. Los resultados de
las pruebas post test definieron que, para mejorar el proceso de resolución de problemas,
no sólo se necesita una base sólida de estrategias, sino además es necesario mejorar la
comprensión lectora de los estudiantes, por lo que se sugirió aplicar un programa de
comprensión lectora previo a la implementación fija del programa de estrategias y
resolución de problemas.
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Por su parte, en el 2014, Vega planteó en su trabajo de investigación determinar el nivel
de influencia que tiene el método de George Polya en la mejora de la competencia de
resolución de problemas matemáticos en estudiantes del primero básico de la Institución
Educativa “Víctor Berríos Contreras” de la comunidad de Cullanmayo, Perú. Para ello se
llevó a cabo una prueba enfocada en la resolución de problemas que aplicó previo y
posteriormente a la aplicación de un programa experimental durante los períodos de
clase de matemática en donde se enseñaba con un problema generador cómo utilizar el
método de Polya para resolver problemas. Los resultados obtenidos en la investigación
evidenciaron que la aplicación del método de George Polya ayuda a la necesidad de
incrementar la competencia de resolución de problemas matemáticos en los estudiantes
ya que los resultados obtenidos mostraron evidencias significativas en la comparación
entre el pre y post test. Se recomienda que se continúe con la enseñanza del método
con el fin de automatizar el proceso del método de Polya y con esto cultivar aún más la
competencia de resolución de problemas.
Por su parte, González (2012) con el fin explorar las diferentes estrategias que los
estudiantes utilizan en la resolución de problemas, aplicó el Método de Polya en un
programa de 3 semanas con una muestra de 74 sujetos españoles entre los 11 y 12 años
de edad. El programa inició con una prueba que presentaba problemas matemáticos.
Dicha intervención invitaba a los estudiantes a aplicar cada uno de los pasos del método
de Polya de forma visual con el fin de automatizarlos, así como a utilizar un banco de
estrategias diversas, para luego evaluar en el post test, qué tantas lograban agregar a
su aprendizaje. Los hallazgos encontrados en esa investigación indicaban que el poseer
un banco amplio de estrategias de resolución de problemas, en conjunto con el método
de pasos ordenados que plantea Polya, hacen una excelente combinación para obtener
resultados satisfactorios en el rendimiento de la Matemática, por lo que recomienda no
sólo enseñar el Método de Polya, sino principalmente el complementarlo con diferentes
estrategias de resolución que ayuden a cada tipo de aprendizaje.
Por otro lado, Murillo (2013) enfoca su investigación en el rendimiento académico en
Matemática y su relación con la capacidad de resolución de problemas. Su estudio fue
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realizado con 50 estudiantes de tercero básico, y 6 maestros a los que se les solicitó
responder una encuesta relacionada con el proceso de resolución de problemas. Los
estudiantes presentaron una prueba de resolución previo y posteriormente al refuerzo de
la competencia de resolución de problemas en base a estrategias lúdicas y de
comprensión de lectura. Los resultados de dichas encuestas y de las pruebas aplicadas
demostraron que la resolución de problemas matemáticos es una fuente generadora de
procesos a través de los cuales se aprende combinando elementos del procedimiento
con reglas, estrategias, habilidades y conceptos previamente adquiridos en la
construcción de aprendizajes significativos. Se sugiere en base a dichos resultados, el
mejorar la metodología de enseñanza con un enfoque más vivencial y basándose en
problemas de resolución cotidiana.
Calvo (2008) describe las dificultades de estudiantes de sexto primaria para la resolución
de problemas matemáticos. Trabaja con un grupo de 28 estudiantes cuyo rendimiento
en la materia es bajo, aplicando entrevistas personales y grupales, encontrando que la
mayor dificultad para resolver correctamente los problemas no radica en el estudiante,
sino en una serie de aspectos ajenos y externos a ellos, como la metodología empleada
por los maestros o la actitud que estos tengan sobre la materia y el mismo estudiante.
En base a los datos recolectados, se sugiere contar con maestros profesionales en el
área, que tengan los conocimientos y las bases metodológicas para llevar a cabo el
proceso de aprendizaje y enseñanza de Matemática.
Relacionado además con el rendimiento académico, Bueno (1993) plantea en su
investigación que el rendimiento académico se basa en varios factores, como la
capacidad cognitiva, la motivación extrínseca e intrínseca, el ambiente familiar del
estudiante. En base a los resultados que se encontraron con encuestas a una muestra
de 235 estudiantes de primaria, de una institución privada de Madrid, se planteó un
programa que motiva la capacidad cognitiva de los estudiantes en forma de talleres de
refuerzo y seguimiento académico. Los resultados de dicho estudio evidenciaron que es
posible mejorar el rendimiento académico enfocando esfuerzos en el factor cognitivo,
pero que es necesario no dejar los demás factores sin ser reforzados, por lo que se
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recomendó la implementación de programas emocionales que mantengan un buen nivel
de motivación intrínseca en los estudiantes.
Las investigaciones realizadas tanto a nivel nacional como en universidades
internacionales muestran puntos en común con respecto a la resolución de problemas
matemáticos como la importancia de un método claro, el uso de una amplia gama de
estrategias y la comprensión el problema. Además, los estudios en torno al rendimiento
académico de los estudiantes muestran que existen factores que influyen en el
rendimiento y que están completamente ligados al proceso de enseñanza y aprendizaje
como la metodología, profesionalización docente y la actitud que transmite hacia los
estudiantes.
A continuación, se definen los principales elementos que forman parte de la presente
investigación.
1.1 MATEMÁTICA
La Matemática nace desde el principio de los tiempos por la necesidad que tenía el ser
humano de contabilizar, sistematizar y medir sus bienes, el trabajo y sus finanzas. Se
comienza a desarrollar con factores elementales como las operaciones aritméticas
básicas, la búsqueda de patrones y el sistema de medidas. Con el transcurso del tiempo
los científicos y grandes pensadores de la antigüedad, fueron profundizando en la
ciencia, determinando que la Matemática se encuentra aplicada en cada aspecto y
relación que rodea la vida del ser humano (López, 2010).
1.1.1 DEFINICIÓN
Actualmente existen varias definiciones de Matemática, sin embargo, no hay una que
logre englobar en totalidad lo que abarca dicha ciencia. Por un lado, Ebner (2002, Pág
46) la define como una “ciencia que estudia las magnitudes numéricas y espaciales y las
relaciones que se establecen entre ellas.”
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Por su parte, Araya (2000) define la Matemática como la ciencia que desarrolla el
razonamiento deductivo, formal y abstracto mediante procesos que concretizan y dirigen
a la comprensión plena del mundo.
Orton (2003) comprende la Matemática como una ciencia que cambia el significado de
la investigación, comprendiendo y familiarizando el entorno. Además, argumenta que la
Matemática puede ser definida como una ciencia de patrones sucesivos de conceptos
complejos sustituidos por otros más simples.
La Matemática es una ciencia útil, que se encuentra en cada uno de los campos que
rodean al ser humano. Se utiliza en la ciencia, en la tecnología, en la comunicación,
economía, y demás. Fomenta el reconocimiento, interpretación y resolución de
problemas en base a un lenguaje de precisión (Vila y Callejo 2005).
1.1.2 IMPORTANCIA DE LA MATEMÁTICA EN LA EDUCACIÓN
La Matemática como expresión de la mente humana busca organizar los hechos y las
cosas dentro de un orden general. Sus elementos básicos son: la lógica e intuición,
generalidad y particularidad. Aunque estos sean elementos completamente opuestos,
son clave esencial para el desarrollo integral de los estudiantes en el aula.
La meta principal de la Matemática debe ser el desarrollo de pensamiento analítico,
sistemático y estructurado, de ciertas estrategias, que las personas puedan aplicar al
enfrentarse a situaciones nuevas en las que nunca se había encontrado antes (Araya,
2000).
Villa y Callejo (2005) mencionan que la Matemática es un medio de transporte hacia el
desenvolvimiento pleno de la inteligencia, ya que en base a su desarrollo se potencian
la lógica y la resolución de problemas.
Por otro lado, González (2012) argumenta que es en base a la Matemática que los niños
en los centros educativos pueden llegar a alcanzar las principales competencias de la
16
educación, ya que la materia desarrolla hábitos de orden y estructura, sentido común, el
análisis y la proyección de variables y resultados, promueve además la comprensión de
lectura, la creatividad de resolución y la argumentación de soluciones.
La enseñanza de la Matemática debe tener como objetivo principal la capacidad para
construir argumentaciones, para justificar una respuesta en términos de hechos
conocidos y establecidos en Matemática, para construir modelos que sirvan para resolver
problemas diversos y para establecer una conexión estrecha entre la teoría y realidad
(Orton, 2003).
1.1.3 APRENDIZAJE Y ENSEÑANZA DE LA MATEMÁTICA
La educación por competencias, la educación del y para el Siglo XXI, busca ir más allá
de una educación tradicional, en donde se le den al estudiante las herramientas
necesarias para desempeñar un papel proactivo en el mundo al salir de la escuela. Se
enfoca más en las aptitudes y actitudes que se desarrollan que en los contenidos como
tales, ya que estos vienen inmersos en las actividades que se realizan con la guía del
maestro.
Ser competente se puede definir como “tener los conocimientos, destrezas y aptitudes
necesarias para ejercer una profesión, que puede resolver los problemas de forma
autónoma, flexible y que está capacitado para colaborar en su entorno profesional y en
la organización del trabajo” (López, 2010, Pág. 37)
La UNESCO (1996) define una competencia como, “conjunto de comportamientos
socioafectivos y habilidades cognoscitivas, psicológicas, sensoriales y motoras que
permiten llevar a cabo adecuadamente un desempeño, una función, una actividad o una
tarea.”
La metodología basada en competencias es una metodología educativa que cuyo
objetivo es formar personas con la capacidad de aportar de forma cultural, social y
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económica a su sociedad. Busca además un aprendizaje significativo en el estudiante,
así como formar la capacidad de crear en ellos.
El proceso de aprendizaje y enseñanza de la Matemática ha sido desarrollado y enfocado
desde diferentes puntos vista, de acorde a los objetivos que se desean alcanzar en cada
sistema educativo. En Guatemala, el Currículo Nacional Base impulsa la idea que para
que los aprendizajes se creen y asimilen de manera adecuada es necesario la
formulación de actividades que promuevan la participación de los estudiantes de forma
activa, así como propiciar en ellos un proceso cognitivo (MINEDUC, 2005).
Araya (2000) afirma que los estudiantes aprenden más formando y construyendo ellos
su propio aprendizaje, así como manipulando y relacionando con su diario vivir ya que
es mediante la vinculación con su entorno y sus conocimientos previos que ellos logran
un aprendizaje más significativo. Por lo tanto, es necesario que el proceso educativo
enfocado en competencias fortalezca son los siguientes aspectos: el aprender
significativamente, la comprensión de los contenidos conceptuales, la funcionalidad de
los aprendizajes y las actitudes y aptitudes que se desarrollan con el proceso.
Aunque hay varios factores que influyen en el aprendizaje de la Matemática, se puede
señalar como uno de los más importantes el enfoque y la profesionalización del maestro,
ya que comúnmente en el ámbito educativo es debido a la inspiración y pasión (o la falta
de ellas) que promueven los educadores hacia la materia específica que imparten que la
mayoría de estudiantes aprenden a solo operar y no a razonar, lo cual es un factor que
perjudica de gran manera, ya que no se encuentra un sentido a los temas enseñados
(López, 2010).
De acuerdo con Carrasco (2004), otro de los factores importantes en el desarrollo pleno
del proceso de aprendizaje es el espacio donde lleva a cabo el proceso de aprendizaje
en sí, ya que este juega un papel importante cuando se habla de aprendizaje significativo.
Un lugar adecuado y estructurado de forma específica para cada materia brinda más
oportunidades de acercamiento al estudiante. El espacio debe ser un elemento más de
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la actividad del maestro y, por tanto, es necesario estructurarlo y organizarlo
adecuadamente.
Las clases personalizadas por materia hoy en día se destacan, ya que sumergen al
estudiante en un contexto especializado para lograr mejor el alcance de las
competencias. En el caso de un aula Matemática, se espera que el educador lleve al
alumno a concretizar un mundo abstracto como lo es la materia en sí, demostrando que
todo lo que los rodea puede ser llevado a un contexto numérico (Carrasco, 2004).
Es importante no solo la utilización adecuada del espacio, sino la distribución de los
estudiantes, ya que es una competencia primordial que ellos puedan interactuar de forma
efectiva con su entorno y con sus semejantes. Cuando se habla entonces del aula, no
solo se hace referencia al espacio en sí de la clase, sino al ambiente que se propicie en
ella. Según Lledó y Cano (1994) el entorno escolar no es únicamente el medio físico o
material, sino principalmente las relaciones que se forman en dicho entorno.
1.1.3.1 ROL DEL MAESTRO EN EL PROCESO DE APRENDIZAJE Y ENSEÑANZA
DE LA MATEMÁTICA
El maestro tiene como función fundamental el profundo conocimiento de la materia,
específicamente en la Matemática, ya que se requiere de la capacidad para visualizar
cada una de las posibilidades que ésta ofrece. Para que un maestro sea capaz de
desarrollar las competencias esenciales de la materia en los estudiantes, deben ser ellos
mismos competentes en dicha materia. Brousseau (2000) sugiere que los maestros se
capaciten en formular y visualizar problemas que se basen en el contexto de sus mismos
estudiantes.
Respecto a la didáctica en sí, es necesario que el maestro enfoque su metodología a la
adquisición de competencias mediante el proceso de resolución de problemas, ya que
esta motiva a los alumnos a encontrar posibles soluciones aplicando como base todos
los conocimientos adquiridos propios de la materia (Carrasco, 2004).
19
Carrasco (2004) menciona también que es necesario que el educador además se
enfoque en las competencias fuera de la fase cognitiva como la argumentación,
comunicación de ideas, representaciones gráficas y la elaboración de modelos
congruentes, competencias que se pueden alcanzar con actividades dinámicas y de
interacción en dónde los estudiantes investiguen más allá de lo planteado en el aula.
Otra de las obligaciones del docente es exigirse una metodología renovada y actualizada,
en donde el estudiante sea el creador de su aprendizaje mediante técnicas innovadoras
que requieran más participación del estudiante y menos del docente, con el fin de ser un
guía para ellos. El docente debe ejecutar el rol de facilitador, no imponer estrategias,
motivar la creatividad de los estudiantes escuchando sus ideas y sugerencias, disfrutar
el momento de aprendizaje y enseñanza con sus alumnos, exhortándolos a mejorar y
aprender de sus errores.(Jiménez, 2013).
1.1.3.2 ROL DEL ESTUDIANTE EN EL PROCESO DE APRENDIZAJE Y ENSEÑANZA
DE LA MATEMÁTICA
Si bien es cierto que el maestro es uno de los motores principales del aprendizaje, no
cabe duda que el alumno es el autor del mismo, y es por esto que su rol es fundamental
para lograr un aprendizaje por competencias especialmente en el área de Matemática.
La predisposición que posean los estudiantes al entrar a una clase de matemática puede
marcar la diferencia, ya que, para los profesores no es lo mismo enfrentarse a un grupo
temeroso de la materia, a uno entusiasmado por la misma. Gómez (2013) asegura que
los estudiantes tienden a obtener mejores resultados al encontrarse motivados hacia el
aprendizaje.
Es importante recalcar que la actitud del alumno hacia una materia abarca más allá de
lo que se pueda observar en la escuela, por lo tanto, es importante que el maestro busque
en todo momento motivar al alumno de manera asertiva con el fin de lograr en ellos una
buena actitud que se refleje en el interés que tengan por la materia (McCombs y Whistler,
2000).
20
1.1.4 METODOLOGÍA PARA LA CLASE DE MATEMÁTICA
La metodología para el proceso de enseñanza de una clase de Matemática puede variar
de acuerdo a la contextualización de la misma, sin embargo, Brunner (1971) fundamenta
la Teoría de la Categorización con la visión que los estudiantes deben aprender de la
acción y añadiendo que el aprendizaje se vuelve más significativo en el momento en el
que se les da la oportunidad de descubrir y construir sus propios saberes.
Bruner además recalca la importancia de la interacción del individuo con su entorno,
fortaleciendo relaciones y oportunidades de aprendizaje. Para lograrlo es necesario que
el alumno experimente el aprendizaje en tres fases:
• Etapa Enactiva: etapa en la que se le da al alumno la oportunidad de
familiarizarse de forma concreta con los contenidos involucrados en el
aprendizaje. Se debe dar el uso de manipulativos y contextualizar al estudiante en
una situación que a él se le familiarice.
• Etapa Icónica: se desarrolla de forma gráfica lo trabajado en la parte enactiva,
de manera que los estudiantes sean capases de representar lo manipulativo en
forma visual y esquemática.
• Etapa Simbólica: transición entre la parte icónica y la representación simbólica
propia de cada materia, es transformar lo gráfico al lenguaje propio y característico
de la Matemática, en este caso.
Las tres etapas de la teoría de la Categorización responden a la necesidad de que cada
estudiante posee diferentes formas de aprender, ya que cada una aporta una
oportunidad diferente de aprendizaje a los estudiantes. Desde lo manipulativo hasta la
capacidad de representar de forma simbólica y con el lenguaje propio de la materia,
haciéndolo personal y sumamente participativo (McCombs y Whistler, 2000).
21
1.2 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1.2.1 DEFINICIÓN
De Guzmán (2007) afirma que la resolución de problemas consiste en la capacidad que
posee un individuo de encontrar soluciones factibles a cualquier problema planteado.
Tiene como intención evidenciar los procesos de pensamiento de los individuos de
manera sistemática. La resolución de problemas permite en los estudiantes activar su
capacidad mental, ejercitar su creatividad, llegar a una metacognición es decir a una
reflexión sobre su aprendizaje, y adquirir confianza en sí mismo.
Stanic y Kilpatrick (1988) citados por Villa y Callejo (2005) definen la resolución de
problemas como medios al servicio de diversas materias. Por ejemplo, como uno de los
motivos para la enseñanza de la matemática, ya que evidencia el valor de la materia en
la vida cotidiana; también para motivar ciertos temas, utilizando los problemas como base
para la integración para conceptos numéricos y en actividades lúdicas en donde se
utilicen para mostrar que la matemática puede ser divertida y aplicable.
1.2.2 PROCESO DE RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Para comprender los procesos cognitivos que conlleva la resolución de problemas,
Schoenfeld (1999) plantea cinco aspectos importantes a tomar en cuenta.
• El conocimiento de base: es toda estructura o información que el estudiante
posee y puede vincular con lo que el problema platea. Si el educador desconoce
esta base es poco probable que pueda formular un problema apto para la
capacidad de resolución de los estudiantes.
• Estrategias de resolución: se basan en los modelos mentales personales de
cada alumno, sin embargo, todas requieren de procesos específicos como la
comprensión del problema ¿qué me solicita el problema?, el análisis ¿qué
información tengo para resolverlo?, la vinculación ¿qué situación conozco
similar?, ¿qué pasos puedo aplicar?, la aplicación y la revisión ¿funcionó lo que
apliqué?
22
• Los aspectos Metacognitivos: análisis y evaluación del proceso. Monitorear y
controlar el progreso de cada etapa de la resolución son componentes básicos de
la Metacognición. Este proceso depende de las estrategias de resolución que se
empleen y de los conocimientos básicos que se posean.
• Los sistemas de creencias: las creencias son la base para el comportamiento
matemático. Éstas se obtienen de experiencias personales y del entorno al que
cada persona pertenece y rigen las decisiones que se tomarán en el momento de
elegir las estrategias para la resolución del problema.
• La comunidad de práctica: se refiere al entorno del estudiante, este forma parte
esencial para la resolución de problemas, ya que involucra no solo al individuo
sino a su percepción del lugar donde se encuentra, las personas que lo
acompañan y su sentir hacia la materia, si el estudiante se encuentra en un
ambiente de armonía y respeto podrá trabajar y buscar soluciones sin miedo a
equivocarse. Este es el aspecto que más compete al maestro ya que en él recae
la responsabilidad de monitorear y moldear la actitud que adquieran los
estudiantes hacia la materia.
1.2.3 ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN
Vila y Callejo (2005) definen las estrategias de resolución como herramientas prácticas
para hallar respuestas factibles a problemas planteados.
Los autores promueven además una serie de estrategias a continuación, se detallará
cada una:
• Hacer una lista organizada: consiste en la enumeración de ítems con
características en común con el fin de encontrar un patrón, o una categoría global.
• Hacer un diagrama: forma gráfica de un algoritmo de operaciones básicas, permite
a los estudiantes visualizar de forma más concreta la resolución de una operación.
• Usar objetos o material manipulativo: comprende el uso de objetos cotidianos o
material didáctico para resolver un problema.
23
• Empezar por el final: ayuda a dar una perspectiva diferente a la búsqueda de la
respuesta del problema, promueve un ordenamiento inusual, por lo que motiva a
los estudiantes a pensar y analizar más allá de lo observable.
• Hacer un dibujo: consiste en concretizar de manera más visual los elementos
claves de un problema
• Aplicar un algoritmo: para este proceso, es importante aplicar como estrategia
previa el razonar, con el fin de elegir la mejor opción de operación para resolver
el problema planteado.
• Encontrar un patrón: esta estrategia es clave no sólo para la resolución de un
problema específico sino además para contrastar problemas nuevos con otros ya
resueltos, evidenciando que muchas veces hay una congruencia y similitud entre
la forma de solucionar diferentes problemas.
1.3 MÉTODO DE POLYA
1.3.1 HISTORIA
En Hungría el 13 de diciembre de 1887, nace un matemático llamado George Polya.
Polya estudió en la Universidad de Budapest. En el año de 1940 se incorpora a la
universidad de Brown, Estados Unidos en donde trabajó dos años como catedrático para
luego integrarse a la Universidad de Stanford en 1942. Es el autor de tres libros y
alrededor de 250 documentos inéditos, donde motivaba a la comprensión previo a la
resolución de algún problema.
Su curiosidad sobre el proceso para resolver y los resultados que se pueden obtener
mediante dicho proceso lo llevaron a la narración de su obra más importante en la
resolución de problemas. Desarrolló una metodología que se enfoca en el
descubrimiento más que en la sistematización de pasos.
Uno de sus legados más importantes según, Hernández y Villalba (1994) es el decálogo
para los profesores de Matemática:
• Motivar el interés.
• Tener el conocimiento.
24
• Observar a los estudiantes, principalmente sus dificultades.
• Exhortar el descubrimiento propio y la investigación.
• Promover estrategias cognitivas y el hábito del orden.
• Permitir debates en base a argumentaciones válidas.
• Motivar la comprobación de respuestas.
• Hacer ver a los estudiantes, que los problemas tienden a ser similares a grandes
rasgos, por lo que el proceso de resolución para un problema puede ayudarlos
para varios.
• Dejar a los estudiantes descubrir antes de explicar.
• Sugerir, nunca imponer.
1.3.2 DEFINICIÓN DEL MÉTODO DE POLYA
En 1994, Hernández y Villalba definen el método de Polya como “un proceso de
descubrimiento, generalizado en cuatro pasos: entender el problema, configurar un plan,
ejecutar el plan y mirar hacia atrás” (pág. 34).
1.3.3 IMPORTANCIA DEL MÉTODO DE POLYA
Hernández y Villalba (1994) hacen énfasis en los precedentes que marcó el Método de
Polya para la resolución de problemas, ya que fue en base a este que muchos autores
comenzaron luego a realizar versiones adaptadas a su contexto, pero basados todos en
el proceso ordenado de cuatro pasos planteados por Polya.
1.3.4 PASOS DEL MÉTODO DE POLYA
Polya (1973) plantea una serie de cuatro pasos ordenados que se pueden aplicar de
forma automatizada en la resolución de cualquier problema matemático:
• Entender el problema: El comprender un problema es la base para que los
demás pasos puedan ser aplicados sin ningún inconveniente. Si no se comprende
el problema, se dificulta el continuar con el mismo o bien se debe regresar a este
paso después de todo el proceso. Por lo que se recomienda que se comprenda el
problema previo a continuar con la elaboración de un plan.
25
Para ello, es necesario identificar los datos, la manera en la que interactúan, la o
las preguntas, el objetivo que se quiere alcanzar y qué información es necesaria
para resolverlo. Se puede responder a las siguientes preguntas: ¿Qué quiere decir
el problema? ¿Cómo podría decir el problema con mis propias palabras? ¿Qué
datos necesito para resolverlo? ¿Tengo todos los datos? ¿Cuáles son las
preguntas que se plantean? ¿A qué se quiere llegar? ¿Es suficiente la información
proporcionada?
Es importante motivar a los estudiantes a siempre realizar dichas preguntas con
el fin de comprender el problema planteado y obtener una vista generalizada del
problema a resolver.
Un problema puede presentarles dificultad a los estudiantes cuando está mal
planteado, utiliza palabras desconocidas, o bien cuando los estudiantes carecen
de los conocimientos previos necesarios para resolverlos.
Cuando no se comprende un problema es necesario motivar el trabajo entre pares
o grupos pequeños para que sean los mismos estudiantes quienes replanteen el
problema y se ayuden a comprenderlo con sus propias palabras.
• Configurar un plan: en este proceso es importante que el estudiante domine una
serie de estrategias, como las planteadas por Vila y Callejo (2005), con el fin de
tener una diversa cantidad de opciones para resolver el problema. Estas
estrategias pueden ser comprendidas y aplicadas de manera diferente de acuerdo
a cada individuo.
Para formular el plan Polya (1973) sugiere dar respuesta a las siguientes
interrogantes: ¿He resuelto algún problema similar? ¿Qué estrategias podría
aplicar para resolverlo? ¿Cómo puedo plantearlo diferente? ¿Tengo toda la
información que es necesaria para resolverlo?
26
La metodología de Polya promueve que los estudiantes se basen en sus
experiencias previas con problemas similares y se respondan a las siguientes
preguntas: ¿Cómo utilizar la resolución de ese problema? ¿Podría aplicar el
mismo procedimiento? ¿Qué elementos son diferentes? ¿Cómo puedo aplicar la
misma estrategia para resolverlo? ¿Es necesario cambiar de estrategia? ¿Cuál
sería la ruta que se me facilite más para llegar a la meta?
• Aplicar la estrategia: este es el proceso operacional en sí, del procedimiento. En
esta fase se pone en práctica el uso del plan seleccionado con anterioridad.
En esta etapa es importante que los estudiantes comprueben los pasos y
procedimientos que se emplearon para la resolución del problema, además los
estudiantes deben ser capaces de argumentar sus procedimientos y algoritmos
utilizados durante la ejecución del plan. Si las estrategias aplicadas no fueron
efectivas, se puede regresar y modificarlas en el plan para la resolución.
En esta etapa además se motiva la validez cooperativa de los resultados, en
donde en grupos de no más de 4 integrantes pueden contrastar sus resultados y
las diferentes estrategias que utilizaron para obtenerlos, con el fin de que los
estudiantes comprendan que a veces hay más de un camino para llegar al mismo
resultado.
• Mirar atrás y corregir: esta fase, se considera una de las más importantes del
método ya que promueve un proceso de metacognición y autorregulación en los
estudiantes (Hernández y Villalba, 1994).
Para esta fase es importante revisar el proceso desde la comprensión del
problema hasta la solución del mismo, esta etapa se puede guiar con las
siguientes actividades:
27
• Verificar entre pares procedimientos y uso adecuado de estrategias
• Revisión de que los resultados respondan a las preguntas planteadas
• Buscar maneras diferentes de resolver el mismo problema
• Analizar si el proceso se puede aplicar en un problema diferente.
• Buscar una generalización para la resolución planteada (no se puede en todos los
casos)
Cabe mencionar que el Método de Polya, es un ciclo que se puede repetir de forma
constante incluso en el mismo problema, esto gracias a la implementación de la última
fase que promueve una autoevaluación de la resolución.
1.4 RENDIMIENTO ACADÉMICO
1.4.1 DEFINICIÓN
El rendimiento académico según Jiménez (2013, Pág. 36) postula que es un “nivel de
conocimientos demostrado en un área o materia comparado con la norma de edad y nivel
académico”.
Por otro lado, Cascón (2000) define el rendimiento académico como un reflejo de la
capacidad que tienen los estudiantes de evidenciar sus conocimientos específicos de
una materia en pruebas y evaluaciones. Concluye que el factor clave para definir el
rendimiento académico de los estudiantes es la inteligencia, por lo tanto, parece
razonable utilizar instrumentos de inteligencia estandarizados (exámenes) como
instrumento de medición. Además, Martínez-Otero (1997) define el rendimiento
académico como el producto que rinden los estudiantes en el ámbito escolar.
McCombs y Whistler (2000) definieron el rendimiento académico como actitudes
medibles que refieren un aprendizaje logrado. Puede evidenciarse con calificaciones
numéricas en pruebas objetivas, o bien con aplicaciones de los aprendizajes adquiridos.
28
Por su parte, Tourón (1985) citado por Castejón (2014) menciona que el rendimiento
académico es el resultado del aprendizaje que construye el estudiante. Además, el
producto de una suma de diversos factores, que van más allá del estudiante.
Para Guskey (2013), citado por Castejón (2014), el rendimiento académico de un
estudiante está relacionado con diferentes dominios de aprendizaje, cada dominio con
un estándar diferente de medición y diferentes objetivos.
Castejón (2014) afirma que el rendimiento académico dependerá también de los
objetivos y las competencias que cada país desee implementar en su sistema educativo.
Definiendo también los instrumentos de medición que se utilizarán para validar dichos
objetivos. Por lo general, las calificaciones escolares funcionan como el principal
indicador de rendimiento académico, las calificaciones se basan en su mayoría en
evaluaciones o pruebas objetivas elaboradas por cada una de las instituciones
educativas, sin embargo, dichas evaluaciones no siempre son garantía de objetividad,
fiabilidad y validez.
Alvaro-Page (1990) citado por Castejón (2014, Pág. 22) menciona que “las correlaciones
entre las calificaciones escolares en distintitas materias son superiores a las que se
encuentran entre las pruebas objetivas referidas a la misma materia”. Esto evidencia que
el rendimiento académico abarca más allá de los conocimientos básicos que se buscan
construir en la educación.
1.4.2 FACTORES QUE INFLUYEN EN EL RENDIMIENTO ACADÉMICO
Según Castejón (2014) existen 2 tipos diferentes de condicionantes que influyen en el
rendimiento académico de los estudiantes, la siguiente tabla muestra su clasificación:
29
Tabla No. 1:
Condicionantes que influyen en el rendimiento académico
INTERNOS (ESTUDIANTE) EXTERNOS (CONTEXTO)
• Psicofisiológicos
• Semipermanentes:
* Inteligencia
* Personalidad
* Motivación
* Autoconcepto
* Rendimiento Anterior
• Formales
* Currículo
* Profesor
* Métodos de enseñanza
* Grupo / clase
* Institución
• No formales
* Sociales
* Familiares / Hogar
Fuente: elaborado por la investigadora con información de Castejón (2014).
Enfocados en los factores externos, Piñero y Rodríguez (1998) mencionan que el entorno
del estudiante, desde su núcleo familiar, hasta su comunidad, es uno de los principales
factores que afectan el rendimiento escolar de un estudiante ya que de ellos se derivan
las creencias, valores, expectativas y atribuciones que cada estudiante tiene de sí
mismo. El rendimiento de los estudiantes se puede ver afectado por, según Cominetti y
Ruiz (1997) citados por Navarro (2003, Pág.121) “las expectativas de familia, docentes
y los mismos alumnos con relación a los logros en el aprendizaje”.
Añadido al entorno familiar, se encuentran los elementos sociales como el nivel
económico, la influencia de medios de comunicación y el nivel cultural que tengan los
padres de familia del estudiante.
Otro factor externo que es clave para el rendimiento y desarrollo académico es la
capacitación y conocimiento de metodologías que implementan los maestros, así como
el nivel de involucramiento y compromiso que poseen con el aprendizaje y desarrollo de
cada uno de sus estudiantes (Carrasco, 2004). Los métodos de enseñanza de los
profesores, forman parte fundamental del rendimiento académico ya que es el deber del
30
docente el fomentar un proceso de aprendizaje que abarque las necesidades e
individualidades de cada uno de sus estudiantes.
A su vez, el currículo que cada institución propone, puede llegar a ser un obstáculo para
el rendimiento de los estudiantes, ya que en ocasiones no son apropiados para la edad
de los estudiantes, o bien son muy elementales para el nivel en el que se encuentran,
Esta condicionante no se evidencia con facilidad, principalmente sin que se tenga un
parámetro ajeno al mismo de la institución para medirla.
Otra de las condicionantes externas, es la cantidad de estudiantes que se encuentren en
el aula, ya que de esta dependerá la atención y el seguimiento que el maestro pueda
darle a cada estudiante (Cascón, 2000).
Entre los condicionantes internos, se encuentran los factores de motivación, tanto
extrínseca como intrínseca. La motivación escolar es un proceso que dirige hacia el logro
de una meta. “Este proceso involucra variables tanto cognitivas como afectivas:
cognitivas, en cuanto a habilidades de pensamiento y conductas instrumentales para
alcanzar las metas propuestas; afectivas, en tanto comprende elementos como la
autovaloración, autoconcepto, etc.” (Alcalay y Antonijevic, 1987, Pág. 32).
El factor del desarrollo y desenvolvimiento cognitivo o, en otras palabras, el nivel de
inteligencia de los estudiantes (Araya, 2000). Este factor puede llegar a ser modificable,
con el compromiso, no sólo del estudiante, sino de la comunidad educativa, que
promueve su aprendizaje. Para esto es importante tomar en cuenta cada estudiante
aprende de forma diferente y que la enseñanza debe adaptarse a cada uno de estos
tipos de aprendizaje (McCombs & Wishler, 2000).
1.4.3 CARACTERÍSTICAS DE LOS ESTUDIANTES CON BAJO RENDIMIENTO
ACADÉMICO
Existen varias características que los estudiantes con bajo rendimiento pueden
evidenciar, Martínez-Otero (1997) menciona que es importante recalcar que no todos los
31
estudiantes cumplirán con un mismo perfil o característica, por lo que la observación del
maestro se vuelve esencial para determinarlos.
Entre estas características se encuentran:
• Bajas calificaciones
• Dificultades de concentración y atención
• Falta de confianza en ellos mismos
• Miedo a evidenciar la falta de conocimiento (por ende, preguntan muy poco en
clase)
• Falta de motivación y participación en actividades que requieran demostrar alguna
habilidad específica
• En ocasiones, dificultad para socializar con sus compañeros de clase
• Padres de familia ausentes en el acompañamiento del proceso de aprendizaje
A manera de síntesis, es importante recalcar que la Matemática es una ciencia que
fomenta a través del desarrollo de diversas aptitudes, una formación cognitiva y analítica.
Es por esto que el aprendizaje y enseñanza de la misma son claves para la educación
enfocada en competencias. Los maestros deben contar con la base teórica, pero
principalmente la práctica para guiar a los estudiantes a razonar, discernir y argumentar
soluciones. La Matemática es además una herramienta, que promueve el uso de
diversas estrategias para la resolución de problemas. Siendo ésta, una competencia
clave para el desarrollo de la materia a nivel escolar y por lo tanto para el rendimiento
académico de los estudiantes.
32
II. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
El aprendizaje de la Matemática ha representado a lo largo del tiempo un reto tanto para
los estudiantes como para los maestros que se encargan de desarrollar la clase. La
Matemática es una materia que más allá de enseñar números, funciona como eje
esencial para la resolución de problemas en la vida cotidiana gracias a la lógica y a las
habilidades que se desarrollan con ella.
Muchas veces la matemática representa para los estudiantes una clase difícil, esto se
puede dar por factores como la falta de motivación, ya que ven la clase aburrida y poco
relacionada con el entorno que los rodea. La falta de compromiso, tanto de los
estudiantes como de los educadores, es también un factor importante que se puede
relacionar con el rendimiento que los alumnos demuestran en la materia.
Por otro lado, la carencia de contenidos conceptuales que funcionen como anclaje para
el aprendizaje, es uno de los mayores problemas a los que tanto el maestro como el
estudiante se afrontan día con día ya que, sin esos contenidos, el estudiante no podrá
encontrar y construir un verdadero aprendizaje significativo. Además, la falta de
automatización de procesos, que facilitan la resolución de operaciones básicas, puede
llegar a causar frustración en los alumnos.
Otra de las causas por las que la Matemática representa un reto mayor para los
estudiantes es la poca comprensión de los problemas que se les plantean. Para esto es
importante contar con un método ordenado que lleve a los estudiantes al análisis, la
comparación y la revisión tanto de las cuestionables como de las soluciones presentadas
a las mismas.
En el colegio el “El Sagrado Corazón de Jesús”, se busca desarrollar como competencia
principal en el nivel de primaria la resolución de problemas. Para ello se cuenta con
maestras específicas de área, que llevan a cabo un proceso ordenado de clase,
involucrando juegos, material concreto, práctica guiada e independiente, ejercitación
33
grupal y cálculos mentales; con esto buscan el desarrollo de diversas estrategias que
puedan aplicar las estudiantes.
Sin embargo, muchas veces al llevar a cabo la resolución de problemas, se da por hecho
que las estudiantes dominan un método ordenado para hacerlo, sin tomar en cuenta que
muchas no comprenden en sí el problema, o únicamente se enfocan en la rapidez para
hacerlo, pero no en la asertividad de los mismos.
La falta de seguimiento hacia este problema, puede causar en el rendimiento de las
estudiantes una baja significativa pues el resolver problemas de forma efectiva es vital
en el desenvolvimiento de la Matemática. Además, la falta de acciones en contra del
problema puede alejarlas de alcanzar la competencia de resolución de problemas de
forma plena.
En la actualidad, se puede mencionar que el colegio cuenta con la disposición necesaria
para brindarles el apoyo a las estudiantes que lo necesiten. Es por esto que se plantea
la pregunta de investigación: ¿La implementación de un programa de refuerzo aplicando
el método de Polya para la resolución de problemas, favorece el rendimiento académico,
en la Matemática, de las estudiantes de bajo rendimiento de quinto primaria del colegio
“El Sagrado Corazón de Jesús”?
2.1 OBJETIVOS
GENERAL
Determinar si, al implementar un programa de refuerzo aplicando el método de resolución
de problemas de Polya favorece el rendimiento académico en Matemática, de las
estudiantes de bajo rendimiento académico de quinto primaria del colegio “El Sagrado
Corazón de Jesús”.
ESPECÍFICOS
• Determinar el rendimiento académico, en Matemática, de las estudiantes tanto en
el grupo control como en el grupo experimental, en la segunda unidad, previo a la
34
implementación del programa de refuerzo aplicando el método de Polya para la
resolución de problemas.
• Implementar un programa de refuerzo aplicando la metodología de resolución de
problemas de Polya en el grupo experimental.
• Evaluar el rendimiento académico, en Matemática, de las estudiantes tanto en el
grupo control como en el grupo experimental, en la cuarta unidad, posteriormente a la
implementación del programa de refuerzo aplicando el método de Polya para la
resolución de problemas.
2.2 HIPÓTESIS
Hi1: La implementación del programa de refuerzo aplicando el método de Polya para la
resolución de problemas, favorece en el rendimiento académico en Matemática, de las
estudiantes de bajo rendimiento académico de quinto primaria del colegio “El Sagrado
Corazón de Jesús”.
Ho1: La implementación del programa de refuerzo aplicando el método de Polya para la
resolución de problemas, no favorece en el rendimiento académico en Matemática, de
las estudiantes de bajo rendimiento académico de quinto primaria del colegio “El Sagrado
Corazón de Jesús”.
Hi2: Existe diferencia estadísticamente significativa a nivel del 0.05 en el rendimiento
académico en Matemática del grupo experimental, entre la segunda y cuarta unidad al
implementar el programa de refuerzo aplicando el método de Polya para la resolución de
problemas.
Ho2: No existe diferencia estadísticamente significativa a nivel del 0.05 en el rendimiento
académico en Matemática del grupo experimental, entre la segunda y cuarta unidad al
implementar el programa de refuerzo aplicando el método de Polya para la resolución de
problemas.
35
Hi3: Existe diferencia estadísticamente significativa a nivel del 0.05 en el rendimiento
académico en Matemática del grupo control, entre la segunda y cuarta unidad.
Ho3: No existe diferencia estadísticamente significativa a nivel del 0.05 en el rendimiento
académico en Matemática del grupo control, entre la segunda y cuarta unidad.
Hi4: Existe diferencia estadísticamente significativa a nivel del 0.05 entre el rendimiento
académico en Matemática del grupo control y el grupo experimental, en la cuarta unidad,
al implementar el programa de refuerzo aplicando el método de Polya para la resolución
de problemas con el grupo experimental.
Ho4: No existe diferencia estadísticamente significativa a nivel del 0.05 entre el
rendimiento académico en Matemática del grupo control y el grupo experimental, en la
cuarta unidad, al implementar el programa de refuerzo aplicando el método de Polya
para la resolución de problemas con el grupo experimental.
2.3 VARIABLES
VARIABLES DE ESTUDIO
• Rendimiento académico en Matemática (Variable Dependiente)
• Método de Polya (Variable Independiente)
VARIABLES CONTROLADAS
• Edad de los sujetos: entre 10 y 12 años
• Género: femenino
• Institución Educativa: “Colegio El Sagrado Corazón de Jesús”
• Grado que cursan: quinto primaria
• Bajo rendimiento académico
VARIABLES NO CONTROLADAS
• Disponibilidad de tiempo
• Contenidos conceptuales de la materia
36
• Competencias que se evalúan en la materia
• Relaciones en el aula
• Entorno familiar
2.4 DEFINICIÓN DE VARIABLES
DEFINICIONES CONCEPTUALES:
• Rendimiento académico: “Producto que rinde o da el alumnado en el ámbito de
los centros oficiales de enseñanza” (Martínez-Otero, 1997, Pág.41)
• Matemática: Araya (2000, Pág. 57) la define como “Ciencia deductiva que estudia
las propiedades de los entes abstractos, como números, figuras geométricas o símbolos,
y sus relaciones.”
La Matemática es una ciencia útil, que se encuentra en cada uno de los campos que
rodean al ser humano. Se utiliza en la ciencia, en la tecnología, en la comunicación,
economía, y demás. Fomenta el reconocimiento, interpretación y resolución de
problemas en base a un lenguaje de precisión (Vila y Callejo 2005).
• Método de Polya: Hernández y Villalba (1994, Pág.34) definen el método de Polya
como “un proceso de descubrimiento, generalizado en cuatro pasos: entender el
problema, configurar un plan, ejecutar el plan y mirar hacia atrás”.
DEFINICIONES OPERACIONALES:
• Rendimiento académico en Matemática: para los efectos de esta investigación se
definirá como la nota numérica que obtienen los sujetos en la segunda y cuarta unidad
del presente ciclo escolar en la materia que se refiere a Matemática. Esta nota se obtiene
con el promedio de las diferentes actividades que se realizan a lo largo de la unidad y
que tienen como objetivo principal mostrar el conocimiento y aprendizaje de las
estudiantes. Los incisos que se toman en cuenta para promediar son: exámenes cortos,
pruebas de capítulos, hojas de resolución de problemas, guías de trabajo, cálculos
mentales, ejercicios de Geometría, tareas en casa y la prueba final de unidad. Cada una
37
de las pruebas que se realizan incluye una serie de resolución de problemas, ya que es
la competencia principal que se desea alcanzar en la materia y equivale al 60% de la
nota que se obtiene en la unidad. La cantidad de actividades por inciso dependerá de los
temas trabajados por la maestra en cada unidad. Todas las actividades son evaluadas
sobre 100.
• Método de Polya: Para esta investigación serán talleres de aplicación, impartidos
por el investigador, llevando a cabo cada uno de los cuatro pasos (entender el problema,
configurar un plan/definir estrategias, ejecutar el plan y mirar hacia atrás) en diferentes
sesiones programadas de forma extracurricular los días martes y jueves durante 5
semanas (en un programa de 2 a 4 p.m.).
En cada sesión se trabajará con la misma metodología que se ejecuta en la institución
en una clase cotidiana de Matemática: el cálculo mental que consta de 5 operaciones
básicas que se resuelven bajo un tiempo estipulado; la historia del día definida como un
problema de partida que los estudiantes pueden resolver en grupos pequeños con el fin
de compartir estrategias; la integración de material manipulativo, con el fin de concretizar
procesos; la práctica guiada que contiene actividades de ejercitación supervisadas
directamente por la maestra; la práctica independiente que se llevará a cabo con una
guía para el estudiante en donde se planteen diversos problemas y los pasos del Método
de Polya para resolverlos; por último, el trabajo cooperativo, que permitirá a los
estudiantes compartir experiencias con el método y como a poco poder perfeccionar la
aplicación del mismo.
2.5 ALCANCES Y LÍMITES
Para el desarrollo de la investigación se tomaron en cuenta como sujetos, estudiantes
de quinto primaria del colegio “El Sagrado Corazón de Jesús” que presentaron a lo largo
de la segunda unidad rendimiento académico bajo (0 – 75 puntos) en la materia de
Matemática. Todos los sujetos son de sexo femenino y comprenden entre las edades de
10 a 12 años. Con ellos se trabajarán talleres de aplicación del Método de Polya para la
38
resolución de problemas. Los resultados de esta investigación sólo son aplicables a
grupos similares al descrito.
2.6 APORTES
La investigación pretende implementar un programa de refuerzo aplicando el método de
resolución de problemas de Polya para brindarles a los sujetos participantes nuevas
herramientas y pasos más estructurados para la resolución de problemas y así mejorar
su rendimiento académico en la materia de Matemática.
Los resultados de la investigación pueden ayudar además los maestros y a los
estudiantes de diferentes instituciones a aplicar el método de Polya, no sólo para la
resolución de problemas matemáticos, sino en situaciones cotidianas que demanden una
solución estratégica.
39
III. MÉTODO
3.1 SUJETOS
Los sujetos en la presente investigación serán 25 estudiantes de quinto primaria del
colegio “El Sagrado Corazón de Jesús” que reúnen las siguientes características:
• Sexo femenino
• Edad entre los 10 y 12 años
• Cursar en el año 2017 el grado de quinto primaria.
• Haber obtenido una nota baja en Matemática (entre 0 y 75 puntos) en la segunda
unidad. La nota obtenida se encuentra dentro de un rango de 15 puntos con
relación al mínimo punteo establecido para ganar una materia en cada unidad, el
cual es de 60 puntos según el reglamento institucional, capítulo VII, artículo 16
(Colegio Sagrado Corazón de Jesús, 2016).
Los 25 sujetos fueron divididos en dos grupos, uno de 13 y uno de 12, asignando a cada
integrante de manera aleatoria con el fin de establecer al grupo control y al grupo
experimental. Es importante mencionar que no se utilizan los nombres de los estudiantes,
sino únicamente se hace referencia a ellos por medio de un código con el fin de
resguardar su privacidad.
El Colegio “El Sagrado Corazón de Jesús” es una institución privada para mujeres
ubicada en la zona 16 de la ciudad capital de Guatemala. Cuenta con los niveles desde
preprimaria hasta diversificado. Promueve una educación integral de mujeres católicas
con enfoque humanista. Busca brindar calidad educativa mediante altos estándares de
infraestructura, metodología y de convivencia para que las estudiantes desarrollen su
potencial enfocado en la capacidad de gestión y el compromiso social (Colegio El
Sagrado Corazón de Jesús, 2016)
3.2 INSTRUMENTOS
Para la tabulación de las notas obtenidas por los sujetos en la segunda y cuarta unidad
se realizará una tabla de cotejo realizada por la investigadora en el programa de Excel
2016.
40
3.3 PROCEDIMIENTO
• De acuerdo a los problemas observados en el colegio “El Sagrado corazón de
Jesús” se seleccionó el tema de investigación de acorde a la experiencia y
contexto de la investigadora.
• Se investigó y buscó información necesaria para sustentar y llevar a cabo la
investigación.
• Se planteó el problema de investigación.
• Se establecieron los objetivos.
• Se solicitó la autorización a la institución para llevar a cabo el trabajo de campo.
• Se seleccionó a un grupo de 25 estudiantes que obtuvieron notas entre 0 y 75
puntos en Matemática de quinto primaria.
• Se asignó de manera aleatoria entre un total de 25 sujetos que cumplen con el
perfil necesario para la investigación al grupo control y al grupo experimental.
• Se planificó cada una de las sesiones a trabajar con el grupo experimental.
• Se solicitó a través de una circular el permiso a los padres de familia para llevar a
cabo el programa.
• Se implementó el programa (10 sesiones por la tarde) para desarrollar en el grupo
experimental la metodología de Polya. Durante cada sesión se trabajó una
estrategia diferente de resolución de problemas (determinadas por la institución)
aplicando cada uno de los cuatro pasos del método de Polya: comprender el
problema, crear un plan, ejecutar el plan y mirar hacia atrás.
• Se tabularon las notas obtenidas por los sujetos del grupo experimental y el grupo
control.
• Se contrastaron los resultados del grupo experimental con los resultados del grupo
control.
• Se verificaron la hipótesis y la pregunta de la investigación planteada.
• Se contrastaron los resultados con la teoría planteada y las investigaciones
similares.
• Se establecieron conclusiones y recomendaciones.
41
3.4 DISEÑO Y METODOLOGÍA ESTADÍSTICA
La investigación promueve un enfoque cuantitativo. El enfoque cuantitativo promueve la
recopilación de datos para comprobar hipótesis y probar teorías, basándose en una
medición numérica y el análisis estadístico. El diseño para esta investigación es cuasi
experimental, ya que conlleva a la manipulación de una variable independiente para
observar el efecto de la misma sobre la variable dependiente de investigación.
(Hernández, Fernández, & Baptista, 2014).
En cuanto a la metodología estadística, para alcanzar el objetivo de esta investigación,
se utilizaron medidas de tendencia central que indican los valores medios de una
distribución e indican puntos específicos dentro de una escala de medición. Todos los
cálculos para las medidas se elaboraron en el programa Excel de Office 2015.
La media es el promedio aritmético de una distribución (Hernández, Fernández, &
Baptista, 2014). Se encuentra sumando todos los valores o datos y dividiendo el
resultado entre la totalidad del número de casos. La moda, es la medida de tendencia
central que indica el dato que se repite con mayor frecuencia en una distribución. La
mediana es el dato que se encuentra en la posición media de la distribución y que por
ende la divide justo a la mitad. Esta se encuentra con la fórmula 𝑛+1
2 siendo n el total de
casos. La desviación estándar es el promedio de desviación de las puntuaciones con
respecto a la media (Jarman, 2013 y Levin, 2003), citados por Hernández, et al. (2014).
Es decir, lo mucho que se alejan gráficamente los casos de la media encontrada.
Según Hernández, et al. (2014) la t de Student es una prueba que determinan si dos
grupos difieren de manera significativa entre sí con respecto a las medias de una misma
variable.
42
IV. PRESENTACIÓN Y ANÁLISIS DE RESULTADOS
A continuación, se presentan los resultados cuantitativos obtenidos previo a la
implementación del programa de refuerzo aplicando el método de Polya y posterior al
mismo, tanto en el grupo control como en el grupo experimental con las estudiantes de
bajo rendimiento en Matemática del grado de quinto primaria del Colegio “El Sagrado
Corazón de Jesús” con el fin de verificar las hipótesis planteadas en la presente
investigación.
4.1 RESULTADOS DEL GRUPO CONTROL
La siguiente tabla de datos muestra los resultados del grupo control obtenidos en
Matemática, en la segunda y cuarta unidad:
Tabla No. 2: Notas Obtenidas por los sujetos del grupo control en Matemática, en
la segunda y cuarta unidad.
Unidad 2
Pre test
Unidad 4
Post test
Puntos de
Diferencia
Estudiante N 71 78 7
Estudiante O 75 79 4
Estudiante P 73 78 5
Estudiante Q 73 74 1
Estudiante R 74 81 7
Estudiante S 67 71 4
Estudiante T 68 72 4
Estudiante U 74 73 -1
Estudiante V 73 78 5
Estudiante W 66 69 3
Estudiante X 73 74 1
Estudiante Y 73 75 2
Fuente: Elaborado por la investigadora.
43
Tabla No. 3: Análisis estadístico del grupo control
Unidad 2
Pre test
Unidad 4
Post test
Media 71.67 75.17
Mediana 73 74.5
Moda 73 78
Desviación estándar 2.99 3.64
N 12 12
Estadístico t -2.57
P(T<=t) dos colas 0.0173
Valor crítico de t (dos colas) 2.07
Tamaño del efecto 0.96
Fuente: Elaborado por la investigadora.
En la tabla anterior de datos se puede notar que, en promedio, el grupo control sí mostró
una mejora ya que en la segunda unidad la media fue de 71.67 puntos y en la cuarta ésta
aumentó a 75.17. La tabla indica, además, que el coeficiente de la t de Student es de
0.017, basándose en un 95% de confiabilidad hace que la mejora que lograron los sujetos
del grupo control sea estadísticamente significativa con respecto a sus resultados
iniciales, lo que permite rectificar la Hi3 que asegura que sí existe una diferencia
estadísticamente significativa a nivel del 0.05 en el rendimiento académico como
verdadera y la contraria a ésta como falsa. El tamaño del efecto nos indica que su efecto
en el grupo control, a pesar de no poseer un programa de mejoramiento es de tamaño
considerablemente grande.
Gráfica 1: Notas Obtenidas por los sujetos del grupo control en Matemática
Fuente: Elaborado por la investigadora.
6065707580859095
100
Unidad 2 Unidad 4
44
En la gráfica anterior se puede observar que la mayoría de los sujetos del grupo control
sí lograron mejorar aproximadamente 4 puntos en su rendimiento académico en
Matemática a pesar no ser parte del programa de aplicación lo que hace significativo su
mejora.
4.2 RESULTADOS DEL GRUPO EXPERIMENTAL
La siguiente tabla de datos muestra los resultados del grupo experimental obtenidos en
Matemática, en la segunda y cuarta unidad:
Tabla No. 4: Notas Obtenidas por los sujetos del grupo experimental en
Matemática, en la segunda y cuarta unidad.
Unidad 2
Pre test
Unidad 4
Post test
Puntos de
diferencia
Estudiante A 69 76 7
Estudiante B 71 81 10
Estudiante C 74 93 19
Estudiante D 72 78 6
Estudiante E 70 85 15
Estudiante F 66 77 11
Estudiante G 63 79 16
Estudiante H 72 89 17
Estudiante I 71 81 10
Estudiante J 75 82 7
Estudiante K 74 87 13
Estudiante L 72 82 10
Estudiante M 72 83 11
Fuente: Elaborado por la investigadora.
45
Tabla No. 5: Análisis estadístico del grupo experimental
Unidad 2
Pre test
Unidad 4
Post test
Media 70.85 82.54
Mediana 72 82
Moda 72 81
Desviación estándar 3.31 4.91
N 13 13
Estadístico t -7.12
P(T<=t) dos colas 0.00000023
Valor crítico de t (dos colas) 2.06
Tamaño del efecto 2.38
Fuente: Elaborado por la investigadora.
En la tabla anterior se observa una media de 70.85 en la segunda unidad, obtenida por
los sujetos del grupo experimental, mientras que en la cuarta unidad se nota un aumento
en la media de 12 puntos. La t de Student indica que la diferencia entre los resultados
del grupo experimental sí es estadísticamente significativa, por lo que se puede aceptar
como verdadera la Hi2 que afirma que sí existe una diferencia estadísticamente
significativa en los resultados del grupo experimental y rechazar la hipótesis nula de la
misma. El tamaño del efecto es de nivel alto, por lo que se puede mencionar que el
impacto en el incremento de las notas en el grupo experimental fue de suma importancia,
estadísticamente hablando.
Gráfica 2: Notas Obtenidas por los sujetos del grupo experimental en Matemática
Fuente: Elaborado por la investigadora.
60
65
70
75
80
85
90
95
100
Unidad 2 Unidad 4
46
En la gráfica anterior se puede observar que todos los sujetos sometidos al programa de
refuerzo aplicando el Método de Polya para la resolución de problemas, tuvieron una
mejora significativa de un promedio de 12 puntos, dichos resultados indican que la Hi1
planteada, que asegura que los sujetos mejoran su rendimiento académico al recibir el
programa de refuerzo, es verdadera y dan lugar a rechazar la Ho1.
4.3 COMPARACIÓN DE RESULTADOS
La siguiente tabla de datos muestra los resultados del grupo experimental y del grupo
control obtenidos en Matemática la cuarta unidad:
Tabla No. 6: Notas Obtenidas por los sujetos del grupo experimental y del grupo
control en Matemática en la cuarta unidad.
Grupo Control Grupo Experimental
78 76
79 81
78 93
74 78
81 85
71 77
72 79
73 89
78 81
69 82
74 87
75 82
-- 83 Fuente: Elaborado por la investigadora.
47
Tabla No. 7: Análisis estadístico comparativo
Grupo Control Grupo Experimental
Media 75.17 82.54
Mediana 74.5 82
Moda 78 81
Desviación estándar 3.64 4.91
N 12 13
Estadístico t -4.23
P(T<=t) dos colas 0.000314
Valor crítico de t (dos colas) 2.07
Desviación sopesada 4.35
Tamaño del efecto 1.69
Fuente: Elaborado por la investigadora.
La t de Student en la tabla anterior indica que la diferencia entre los resultados del grupo
experimental y el grupo control sí es estadísticamente significativa, por lo que se puede
aceptar como verdadera la Hi4 que menciona que sí existe diferencia significativa a nivel
del 0.05 entre el grupo control y el grupo experimental en la cuarta unidad y rechazar la
hipótesis nula correspondiente. El tamaño del efecto es considerablemente grande, por
lo que se puede afirmar que sí hubo un impacto significativo en cuanto a la comparación
del grupo experimental y el grupo control.
Gráfica 3: Comparación de las medias obtenidas por el grupo control y el grupo
experimental en la segunda unidad (pre test) y cuarta unidad (post test).
Fuente: Elaborado por la investigadora.
En la gráfica anterior se observa que la diferencia entre la segunda y cuarta unidad es
mayor en el grupo experimental que en el grupo control.
71
.67
70
.85
75
.17
82
.54
G R U P O C O N T R O L G R U P O E X P E R I M E N T A L
Unidad 2 Unidad 4
48
V. DISCUSIÓN
El presente capítulo contiene el análisis de los resultados obtenidos en esta
investigación, contrastados con los estudios realizados con anterioridad y la teoría que
sustenta la investigación. El objetivo del estudio fue promover una mejora significativa en
cuanto al rendimiento académico en Matemática, basándose en la implementación de un
programa aplicando el método de Polya para la resolución de problemas.
Los 25 sujetos de la investigación fueron seleccionados por el bajo rendimiento en
Matemática obtenido en la segunda unidad del año 2017. Todos los sujetos cursaban el
grado de quinto primaria. Además, cabe mencionar que dichos sujetos mostraron estar
por debajo de la media en cuanto al rendimiento general del grado, por lo que esta
particularidad impulsó a trabajar la investigación enfocada en mejorar su rendimiento
académico a través de la competencia esencial que se desea alcanzar en la Matemática,
la resolución de problemas (González, 2012).
Las notas alcanzadas por los sujetos se obtienen con el promedio de las diferentes
actividades que se realizan a lo largo de cada unidad ya que todas son evaluadas sobre
100 puntos. Cada una de las actividades que se realizan incluye una serie de resolución
de problemas, ya que es la competencia principal que se desea alcanzar en la materia y
equivale al 60% de la nota que se obtiene en la unidad. El otro 40% de la nota se obtiene
en base al área operatoria, conceptos básicos y muestra de valores institucionales como
la responsabilidad y honestidad.
Por lo anterior, es importante destacar que en el grupo control y en el grupo experimental
la nota obtenida tanto en la segunda como en la cuarta unidad no es únicamente basada
en las habilidades que se adquirieron en el programa aplicado, ya que hay otros factores
como los contenidos, las aptitudes, actitudes y el entorno que afectan la nota, sin
embargo, sí es la competencia de resolución el mayor porcentaje de la misma. Además,
Castejón (2014) fundamenta que el rendimiento académico siempre se verá influenciado
por factores externos e internos, que muchas veces quedan por fuera del alcance del
49
educador, siendo algunos de estos factores, la motivación, rendimiento anterior,
autoconcepto, el currículo, métodos de enseñanza, el hogar de los estudiantes, y demás.
En Guatemala se han realizado varias investigaciones que impulsan la resolución de
problemas como parte vital del currículo y eje principal de la enseñanza de la Matemática,
así como el método de Polya como una herramienta esencial para fortalecer dicha
competencia y mejorar el rendimiento de académico de los estudiantes.
Por ejemplo, Ruiz (2015) planteó como objetivo de investigación el determinar la
importancia que tiene la competencia de resolución de problemas como eje principal de
la educación. Sus resultados fueron basados en una encuesta realizada a alrededor de
30 sujetos profesionales en diferentes áreas y sirvieron para la validación de la
importancia de la competencia en base al uso de diversas estrategias, la aplicación de
pasos ordenados y automatizados y la capacidad de análisis que se desarrolla.
Resultados similares se encontraron en el presente estudio, ya que los sujetos
evidenciaron que al tener un banco amplio de estrategias y un proceso que les guiara
para resolver un problema, podían alcanzar mejores y más eficientes resultados incluso
al afrontar desafíos poco convencionales y fuera de su zona de confort. De acuerdo a
Araya (2000) el pensamiento estructurado y la diversidad de métodos en la Matemática
son los elementos clave para afrontar de manera positiva cualquier problemática que se
plantee y para fomentar la lógica y el razonamiento fuera de clase.
Por otro lado, Escalante (2015) realizó una investigación en la que los resultados de un
pre test y post test mostraron un gran avance en los 25 sujetos de la investigación, que
alcanzaron el objetivo de aplicar el Método de Polya de forma constante para la
resolución de problemas, volviendo el proceso parte de su rutina diaria de resolución.
Los resultados obtenidos en la presente investigación son similares a los anteriores, ya
que durante la aplicación del programa se observó la automatización del proceso de
resolución de problemas aplicando cada paso del Método de Polya. De acuerdo con
50
Schoenfeld (1999) el poder llegar a un resultado coherente mediante una serie de
procesos cognitivos que se repiten de forma general y ordenada en diferentes
situaciones, es en sí la capacidad de resolver problemas de forma asertiva.
Enfocado en el rol del maestro en el proceso de la resolución de problemas y en su efecto
en el rendimiento académico, Echeverría (2010) realizó una investigación para
determinar los factores específicos del maestro que influyen en el buen rendimiento de
sus estudiantes, entre los hallazgos están el contar con una fuente diversa de métodos
para enseñar a los estudiantes, y recalca la importancia que tiene el usar problemas
contextualizados para que los estudiantes faciliten su aprendizaje.
En la presente investigación se hallaron resultados similares, ya que los estudiantes
preferían y se les facilitaba más resolver problemas de su mismo entorno que fuera del
mismo. Por otro lado, Brousseau (2000) afirma que parte vital del proceso de aprendizaje
y enseñanza de la Matemática, es la capacidad del maestro de hacer que los estudiantes
vean la materia como como parte de la realidad en la que se encuentran, y esto sólo se
puede lograr a través de la contextualización de la enseñanza y por ende de los
problemas a resolver.
Con el objetivo de determinar la diversidad de estrategias que los estudiantes aplican en
el proceso de resolución de problemas, Ajanel (2012) realizó un estudio con 200
miembros de la comunidad educativa, involucrando a maestros y estudiantes. El estudio
se basó en diferentes pruebas de resolución de problemas y entrevistas sobre los
procesos que llevaban a cabo para resolverlos. Los resultados mostraron que una tercera
parte de los sujetos carecen de un procedimiento ordenado y de estrategias claras para
la resolución.
De manera parecida, al observar las notas obtenidas por los estudiantes de la presente
investigación en la segunda unidad, se encontró que una cuarta parte de la promoción
en general (los 25 sujetos elegidos) no contaban con las herramientas necesarias para
llevar a cabo un proceso adecuado de resolución. Schoenfeld (1999) plantea que dichas
51
herramientas deben basarse en cinco aspectos generales como los contenidos, las
estrategias de resolución, los aspectos metacognitivos, los sistemas de creencias y la
comunidad de práctica. Además, Hernández y Villalba (1994) hacen un énfasis en las
estrategias y los aspectos metacognitivos, que son precisamente los dos aspectos que
más se refuerzan en el Método de Polya para la resolución de problemas.
Internacionalmente, también se han realizado una diversidad de investigaciones
referentes a la resolución de problemas y el papel que tiene el método de Polya en la
misma.
Por su lado Cardona (2008) elaboró un estudio con 50 estudiantes con características
de razonamiento que se encontraban por encima del promedio, presentándoles una serie
de pruebas de problemas matemáticos con diferentes niveles de dificultad. Entre los
hallazgos que destacaron en dicha investigación está el hecho de concretizar la lectura
comprensiva como base esencial para la resolución de problemas.
En el presente estudio se hallaron resultados similares, ya que durante la aplicación del
Método de Polya por los sujetos, era en la primera fase (la comprensión del problema)
en donde los estudiantes se veían más frustrados y en dónde presentaban mayor
necesidad de guía, por lo que se fomentó el trabajo entre pares.
Para Polya (1973) la fase de entender el problema es la clave para la resolución del
mismo ya que, si éste no es comprendido en su totalidad, no se podrá trazar un plan
adecuado para su solución.
Vega (2014) investigó sobre la influencia que tiene el Método de Polya en la resolución
de problemas, en su estudio trabajó con estudiantes de primero básico aplicando una
prueba, previo y posteriormente a la aplicación de un programa que enseñaba en base
a un problema generador cómo aplicar los pasos del método de Polya. Los resultados
evidenciaron que la aplicación del método sí favorece de forma significativa el proceso
de solución de un problema.
52
Resultados muy similares fueron obtenidos por los sujetos de la presente investigación,
ya que de forma individual lograron mejorar un promedio de 12 puntos de la segunda a
la cuarta unidad, luego de ser parte del programa de refuerzo. Además de las mejoras
en el rendimiento el programa de refuerzo contaba con una evaluación final en donde los
sujetos evidenciaron tener mejor manejo de estrategias y más confianza en cuanto al
proceso de resolución, viéndose más motivados para la ejecución de actividades en la
clase de Matemática.
Gómez (2013) asegura que el contar con una base sólida para operar o resolver
procedimientos motiva a los estudiantes, y esta misma motivación hace que los
resultados sean más positivos con respecto hacia el aprendizaje. Por otro lado, Polya
(1973) menciona que el método que recibe su mismo nombre, tiene como objetivo
principal no sólo mejorar la calidad de soluciones dadas por los estudiantes, sino
principalmente, motivarlos a ver la Matemática como parte esencial de su vida y a
atreverse a buscar nuevas alternativas y soluciones a problemas cotidianos.
En dos investigaciones con orientaciones similares, se obtuvieron resultados muy
parecidos a los obtenidos en el presente estudio; primero con un enfoque más general,
Bueno (1993) realizó un estudio enfocado en el rendimiento académico. Con dicho
estudio se encontró en base a entrevistas y a la aplicación de un programa que reforzaba
la capacidad cognitiva, que es posible mejorar el rendimiento en base a los esfuerzos
enfocados en el área cognitiva, sin embargo, es importante no dejar de lado los demás
factores, como la inteligencia emocional y el contexto familiar.
Al igual que Bueno, Calvo (2008) enfocado en el rendimiento en Matemática, realizó una
investigación en la que describe las dificultades para la resolución de problemas de
estudiantes de sexto primaria. Elaboró una serie de entrevistas personales y grupales
que dan como resultado la evidencia de que las dificultades no radican únicamente en
los sujetos, sino además en una serie de factores externos como la metodología utilizada
y los contenidos conceptuales.
53
Los resultados obtenidos por el grupo control de la presente investigación evidencian
que, a pesar de no contar con el programa de refuerzo, hubo mejoras significativas en
las notas obtenidas, comparando la segunda y cuarta unidad de Matemática. Esto puede
ser debido a factores como el manejo de los contenidos vistos en cada unidad, las
actitudes de los sujetos y el apoyo que recibieron en su propio entorno.
Piñero y Rodríguez (1998) hacen notar que el entorno de los estudiantes es uno de los
principales ejes de su rendimiento escolar, además según Cominetti y Ruiz citados por
Navarro (2003), mencionan que las expectativas que tengan los estudiantes de ellos
mismos y las que tengan en ellos sus papás y maestros también pueden influir en su
rendimiento de manera significativa. Por otro lado, Castejón (2014) asegura que los
contenidos del currículo y la forma en la que éstos son presentados a los estudiantes
también influyen de manera significativa en el rendimiento académico de los estudiantes.
En resumen, los hallazgos encontrados en la presente investigación determinan que la
aplicación del Método de Polya para la resolución de problemas, si puede mejorar de
forma significativa el rendimiento académico de los estudiantes en Matemática, sin
embargo, es importante tomar en cuenta los demás factores que influyen en el
rendimiento con el fin de reforzar todos por igual.
54
VI. CONCLUSIONES
• Existe diferencia estadísticamente significativa a nivel del 0.05 en la nota de
Matemática que alcanzaron las estudiantes de quinto primaria de bajo rendimiento
en Matemática del Colegio “El Sagrado Corazón de Jesús” entre la segunda y
cuarta unidad al aplicar el Método de Polya para la resolución de Problemas en el
programa experimental. Por lo tanto, se rechaza la hipótesis nula 1 y se acepta
como verdadera la opuesta a la misma.
• Al evaluar el desempeño de los sujetos en la segunda unidad las notas que
obtuvieron en la materia de Matemática los ubicaban en un nivel bajo obteniendo
menos de 75 puntos en la clase. Alrededor de un 60% de esa nota es obtenida en
base a la resolución de problemas, por lo que es evidente que los sujetos carecen
de una metodología de pasos ordenados para la resolución, y cuentan con un
banco bajo de opciones de estrategias para aplicar en el proceso.
• Durante el programa de refuerzo para favorecer la resolución de problemas
aplicando el Método de Polya, se observó que el grupo experimental logró aplicar
el método de forma automatizada, ampliar su banco de estrategias y demostrar
los pasos ordenados del método en distintos ejercicios de aplicación.
• Para mejorar el rendimiento académico de los estudiantes en la materia de
Matemática es vital que además de tener un enfoque en el desarrollo cognitivo y
en los procesos de resolución se tomen en cuenta factores externos como la
motivación, el entorno, la actitud y las aptitudes de los estudiantes.
• Los resultados obtenidos por los sujetos en la cuarta unidad de Matemática
evidencian al grupo experimental con notas por arriba de los 76 puntos, lo que
muestra que son capaces de resolver problemas de forma metodológica,
aplicando y discutiendo el uso de diversas estrategias para la resolución para
lograr un mejor rendimiento en la materia.
55
VII. RECOMENDACIONES
• Se recomienda a los maestros de Matemática:
- Implementar de forma rigurosa el Método de Polya para la resolución de
problemas.
- Motivar a los estudiantes a llevar a cabo los procesos completos del Método
de Polya: Comprender, planear, aplicar, y principalmente revisar, argumentar
y corregir.
- Exhortar el trabajo cooperativo y entre pares en donde sean los mismos
estudiantes los facilitadores de dudas y explicaciones de procesos.
- Fomentar el uso de estrategias diversas de resolución y el debate sobre las
mismas.
- Utilizar el contexto de los estudiantes para la elaboración y formulación de los
problemas que se presentan para resolver.
- Motivar el desarrollo cognitivo mediante el uso de estrategias y
procedimientos, sin dejar a un lado factores externos y emocionales que
puedan afectar de forma positiva o negativa el rendimiento de los estudiantes.
• Se recomienda a los estudiantes:
- Ser partícipes activos en la resolución de problemas, dando a conocer dudas,
comentarios o pensamientos que surjan en el momento del proceso.
- Aplicar el Método de Polya con cada uno de sus pasos, no sólo para la
resolución de problemas matemáticos, sino en acciones cotidianas de su día
a día.
- Buscar formas alternativas de resolver un solo problema con el fin de observar
que existen varios caminos para llegar a una misma conclusión.
- Revisar procesos y resultados, con el fin de comprobar la validez de los
mismos.
56
VIII. REFERENCIAS
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enseñanza y el aprendizaje de la resolución de problemas matemáticos.Tesis de
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61
IX. ANEXOS
9.1 PROGRAMA EXPERIMENTAL PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
BASADO EN EL MÉTODO DE POLYA
9.1.1 DATOS GENERALES
Lugar: Colegio “El Sagrado Corazón de Jesús”, San Isidro, zona 16, Guatemala.
Fecha: Agosto y septiembre de 2017.
Grado: Quinto Primaria
Ciclo escolar: 2017
9.1.2 DESCRIPCIÓN
El programa fue elaborado por la investigadora específicamente para este experimento.
Por medio de él se espera mejorar el rendimiento académico de los estudiantes en
Matemática. Para lograrlo, se trabajarán de forma guiada los cuatro pasos de resolución
de problemas del método de Polya: entender el problema, configurar un plan/definir
estrategias, ejecutar el plan y mirar hacia atrás.
Hernández y Villalba (1994) describen el método de Polya como un proceso de
descubrimiento en el que los estudiantes pueden explorar diferentes estrategias y
desarrollar la competencia de resolución de problemas trabajando en equipo y
compartiendo experiencias.
Este programa se aplica de manera extracurricular durante cinco semanas, distribuidas
en diez sesiones (dos por semana) de dos horas cada una. Los contenidos conceptuales
del curso de Matemática, así como la metodología que se trabaja en la institución sirven
como recurso para la competencia de resolución de problemas.
62
9.1.3 OBJETIVOS Objetivo General:
• Aplicar el Método de Polya, como una serie de pasos ordenados para la
resolución efectiva de problemas matemáticos.
Objetivos Específicos:
• Comprender los problemas planteados con el fin de encontrar soluciones
factibles a los mismos.
• Definir estrategias específicas para la resolución de problemas.
• Resolver problemas de forma efectiva y asertiva.
• Discernir entre las respuestas, para comprobar y verificar la validez de las
mismas.
9.1.4. MATERIALES Y RECURSOS
• Cañonera
• Material manipulativo (bloques de valor de posición, fichas contables,
pizarras mágicas).
• Guías para el estudiante. (Elaboradas por la investigadora).
9.1.5 PLANIFICACIÓN DE SESIONES
No. Nombre de la
Guía Estrategia de
apoyo Actividades
1 Conociendo el
Método
* Colorear termómetro de diagnóstico individual. * Resolver el cálculo mental e historia del día * Leer la guía del estudiante (hoja de descripción y ejemplificación de los pasos del método de Polya) * Compartir comentarios sobre el método * Discutir sobre la importancia de cada paso. * Elaborar flashcards con lo comprendido de cada paso. * Exponer en grupos las flashcards. * Preguntas de cierre.
2 Comprendo los
pasos * Resolver el cálculo mental e historia
del día
63
* Leer la guía del estudiante (hoja para completar con lo aprendido en sesión anterior) * En grupos, exponer cómo el método de Polya puede ayudarlas más allá de la matemática. * Competencia en grupo de aplicación de los pasos, resolviendo problemas. * Autoevaluación
3 Recuerdo
estrategias
* Resolver el cálculo mental e historia del día *Juego de reconocimiento de estrategias. * Elaboración individual de fichero de estrategias. * Compartir estrategias frecuentes y la facilidad que tienen para utilizarlas. * Preguntas de cierre.
4 Aplicación 1 Elaborar una lista
* Resolver el cálculo mental e historia del día * Leer la guía del estudiante con ejemplo de problema * Resolver problema aplicando el método de Polya y la estrategia de elaborar una lista. * Autoevaluación
5 Aplicación 2 Usar objetos
* Resolver el cálculo mental e historia del día * Leer la guía del estudiante con ejemplo de problema * Resolver problema aplicando el método de Polya y la estrategia de usar objetos. * Autoevaluación
6 Aplicación 3 Empezar por el
final
* Resolver el cálculo mental e historia del día * Leer la guía del estudiante con ejemplo de problema * Resolver problema aplicando el método de Polya y la estrategia de empezar por el final. * Autoevaluación
7 Aplicación 4 Hacer un dibujo
* Resolver el cálculo mental e historia del día * Leer la guía del estudiante con ejemplo de problema
64
* Resolver problema aplicando el método de Polya y la estrategia de hacer un dibujo. * Autoevaluación
8 Aplicación 5 Aplicar un algoritmo
* Resolver el cálculo mental e historia del día * Leer la guía del estudiante con ejemplo de problema * Resolver problema aplicando el método de Polya y la estrategia de aplicar un algoritmo. * Autoevaluación
9 Aplicación 6 Encontrar un patrón
* Resolver el cálculo mental e historia del día * Leer la guía del estudiante con ejemplo de problema * Resolver problema aplicando el método de Polya y la estrategia de encontrar un patrón. * Autoevaluación
10 Evaluación
* Resolver el cálculo mental e historia del día * Realizar compruebo lo que sé, aplicando método de Polya. * Revisión de termómetro individual y alcance de logros.
65
9.2 EJEMPLO DE HOJA GUÍA PARA LA APLICACIÓN DEL MÉTODO DE POLYA
Colegio “El Sagrado Corazón de Jesús”
Matemática
Quinto Primaria A B C D E
Nombre: ___________________________________________________________________
Guía del Estudiante
Compréndelo: Lee detenidamente el siguiente problema, analízalo previo a resolverlo.
¿Qué me pregunta el problema?:
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
¿Qué elementos que necesitas saber para resolverlo?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
¿He resuelto algún problema similar? ¿Cómo lo hice?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Planéalo:
¿Qué estrategias puedes aplicar para resolver el problema? Menciona por lo
menos 3.
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Debate con tu compañera de al lado sobre las estrategias que mencionaron,
argumentando cuál sería la ideal para resolver este problema y por qué.
Mercedes quiere invitar a sus 4 amigas al cine para celebrar su cumpleaños. Cada
entrada cuesta Q41. ¿Cuánto gastará Mercedes en total por las 5 entradas?
66
Aplícalo: Con la estrategia que elegiste, resuelve el problema.
Estrategia Procedimiento Respuesta
Revísalo, Arguméntalo y Corrígelo:
¿Es lógica tu respuesta para lo que solicita el problema? ¿Por qué? ¿Cómo lo
puedes comprobar?
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Puede el problema, resolverse de forma diferente, explícala:
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Evalúate Colorea la casilla que complete la siguiente frase:
Me considero una ( ) en la resolución de problemas similares a este:
Star Helper Principiante Aprendiz
Por:
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
