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Importancia de las demostraciones en Matemáticas. Introducción

Las matemáticas griegas aportaron un gran avance respecto de las matemáticas que habían desarrollado las culturas anteriores.

Las matemáticas pre-griegas muestran el uso del razonamiento inductivo (particular a lo general). Los matemáticos griegos, por el contrario, utilizan el razonamiento deductivo (general a lo particular). Los griegos usan la lógica para obtener conclusiones a partir de definiciones y axiomas. Son los primeros en demostrar con rigor sus resultados matemáticos. Este es pues el origen histórico de nuestro artículo. Tales (624-546 a.C.), Pitágoras (582 - 507 a.C), Euclides (325-265 a.C.) Arquímedes (287-212 a.C.) son algunos de estos sabios griegos que aparecen en nuestros libros de textos con resultados matemáticos que llevan su nombre. En este artículo se introducirán las construcciones de la mediatriz y bisectriz demostrando su propiedades utilizando los colores para mayor facilidad del alumnado. Pero, ¿Dónde encajamos la utilidad del artículo? El proceso de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas en la escuela se ha convertido, durante los últimos años, en un caballo de batalla fundamental en todos los sistemas educativos.

“No existe, probablemente, ninguna sociedad cuya estructura educativa carezca de planes de estudio relacionados con la educación matemática”

(Bishop, 1988; Mora, 2002). El profesorado de matemáticas se encuentra con frecuencia frente a exigencias didácticas cambiantes. Si tenemos en cuenta trabajos en la resolución de problemas (Schoenfeld, 1985; Guzmán, 1993; Sánchez y Fernández, 2003), la enseñanza por proyectos (Mora, 2003), juegos en la educación matemática (Fernández y Rodríguez, 1997)…, la fundamentación teórica de la enseñanza matemática tienen dos modelos bien diferenciados que aparecen en la figura.

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El modelo A ha entrado en desuso, incluso en la Universidad. Aunque el modelo B es el habitual dentro del aula y no debemos dejarlo de lado, debería coexistir con el modelo A. El objetivo de este artículo es argumentar esta afirmación. Aprender y enseñar matemáticas significa desarrollar, casi siempre, conocimientos matemáticos, aunque ellos se hayan creado o inventado hace más de cuatro mil años (Wussing, 1998). Los docentes de matemáticas hacen matemática con sus estudiantes en el momento mismo de construir definiciones y conceptos matemáticos, así sean muy elementales. Aquí encontramos buena parte de la fascinación y el mito de las matemáticas. Ellas pueden ser cada vez reinventadas. Se debe aprovechar siempre el interés que tienen los estudiantes, por la construcción de algunas fórmulas y teoremas conocidos. Hace algunos años se consideraba importante demostrar algunas cosas, como por

ejemplo los teoremas de Thales y Pitágoras, que es un número irracional, identidades trigonométricas, construcción de fórmulas como la regla que permite resolver una ecuación de segundo grado o la demostración de algunas sucesiones aplicando el método de inducción completa. Estas demostraciones ya no se hacen; se

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argumenta que han sido eliminadas del currículo porque eran muy difíciles y los estudiantes no las comprendían. Sin embargo, la matemática escolar está llena de reglas y teoremas, muchos de ellos necesariamente tienen que ser explicados, construidos y demostrados en las clases de matemática. La necesidad de demostrar una afirmación matemática se convierte, siguiendo a Polya (1978), Schoenfeld (1985) y Guzmán (1993), es en sí un problema matemático. Así las demostraciones tendrán un valor en sí en las matemáticas y nos llevarán a metas muchísimo más ambiciosas.

1. Mediatriz.

Enunciemos, previamente, los criterios de igualdad de triángulos. Dos triángulos son iguales si:

a) Los 3 lados son iguales. b) Presentan un lado igual y sus 2 ángulos adyacentes son iguales. c) Tienen 2 lados iguales y el ángulo comprendido es igual.

Construyamos la mediatriz. Consideremos una amplitud del compás mayor que la

mitad del segmento y, pinchando en los extremos de AB , trazamos arcos a un lado y otro del segmento.

La recta que pasa por los puntos C y D será la mediatriz buscada.

Demostremos que O es el punto medio del segmento AB , es decir, que los

segmentos AO y OB miden lo mismo y que incide perpendicularmente sobre el punto medio.

Para demostrar lo que queremos, nos iremos a los triángulos ∆ ACD y ∆ BCD. Por

construcción AC, BC, AD y BD miden lo mismo:

1) ∆ ACD = ∆ BCD, dado que tiene sus tres lados iguales, dos por construcción y

uno de ellos CD es común. En conclusión, por el criterio (a) sus ángulos son iguales y, en particular, <DCD = <ACD.

MEDIATRIZ

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2) ∆ ACO = ∆ BCO, usando e l cr i ter io c , ya que tienen un lado común CO ,

otro lado igual por construcción ( )AC BC= y el ángulo comprendido entre ambos

lados igual ( < ACO = < BCO ) demostrado en el paso anterior

De la igualdad de estos últimos triángulos se deduce que los segmentos AO y

OB miden lo mismo y los ángulos < AOC y < BOC son iguales. Pero por construcción suman un ángulo llano. Por tanto son rectos.

AC = CB

AD = BD

CD lado compartido

BCD

<DCD = <ACD

AC = BC

CO es lado compartido

< ACO = < BCO

ACO = BCO

OA = OB

< AOC = < BOC

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2. Bisectriz

Construyamos la bisectriz. Consideremos una amplitud del compás cualquiera. Pinchamos en A y se marcan los puntos M y N sobre los lados del ángulo a igual distancia de A. Por construcción AM = AN . A continuación, sin variar la longitud anteriormente escogida, pinchamos el compás en M y luego en N, trazando dos arcos cuyo punto de corte será L. La semirrecta (algunos autores la definen como recta) AL es la bisectriz del ángulo inicial.

Por construcción AM = AN LM = LN= .

En primer lugar demostremos que la bisectriz divide el ángulo MAN> por la mitad. Para ello demostraremos la igualdad de los triángulos ∆ AML = ∆ ANL y con ello la igualdad de los dos ángulos < MAL y < NAL

M A L A L N AM = AN y ML = NL, por construcción y AL es un lado compartido.

En virtud del criterio (a) anteriormente enunciado, ∆ AML = ∆ ANL. Por tanto los tres ángulos son iguales y en particular: < MAL = < NAL.

BISECTRIZ

AM = AN ML= NL Criterio (a) < MAL = < NAL AL compartido

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Lo que demuestra que la bisectriz AL divide el ángulo en dos ángulos iguales. En segundo lugar demostraremos que todos los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del ángulo. Volvemos a dibujar nuestra situación de nuevo, donde ya por hipótesis, los ángulos < MAL y < NAL son iguales y los ángulos < AML y < ANL son rectos por medirse la distancia siempre perpendicular como aparece en la figura.

Tenemos que probar que ML=NL . Para ello demostraremos que los triángulos ∆ MAL y ∆ NAL son iguales. M A A L L

N En efecto: < MAL = < NAL por ser la bisectriz del ángulo, < AML = < ANL = 90 o , lo cual implica la igualdad del ángulo restante, < ALM = < ALN

.

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Por otra parte, el lado AL es común. En virtud del criterio (b) anteriormente enunciado al comenzar la pregunta, ∆ MAL = ∆ NAL. Ambos triángulos tienen igual todos sus lados y ángulos, en particular, LM = LN.

Bibliografía

Da Ponte, J., Brunheira, L., Abrantes, P., y Bastos, R. (1998). Proyectos Educativos. Lisboa: Editorial do Ministério da Educação.

Dreyfus, T. (2000). Matemáticas y educación. Retos y cambios desde una perspectiva internacional (pp. 125-134). Barcelona (España): Graó.

Fernández, J. y Rodríguez, M. (1997). Juegos y Pasatiempos para la enseñanza de la matemática elemental. Madrid

Mora, D. (2002). Didáctica de las matemáticas. Ediciones de la Universidad Central de Venezuela.

Mora, D. (2003). Aspectos pedagógicos y didácticos sobre el método de proyectos. Un modelo para su aplicación en educación matemática. En: Mora, D. Tópicos en educación matemática. Ediciones Universidad Central de Venezuela.

Polya, G. (1978). Cómo plantear y resolver problemas.

Schoenfeld, A. H. (1985). Mathematical problem solving

Steen, L. A. (1998). La enseñanza agradable de las matemáticas.

Vygotsky, L. (1978). Mind and Society. Cambridge: Harvard University Press.

Wussing, H. (1998). Lecciones de Historia de las Matemáticas