Incertidumbre Gum

INCERTIDUMBRE DE LA MEDICIÓN

PARTE II

METODOLOGIA GUM SIN CORRELACION

ALVARO BERMUDEZ CORONELING. QUIMICO

ESPECIALISTA EN INGENIERIA DE LA CALIDAD

2011

Cuantificación y propagación de la incertidumbreCuantificación y propagación de la incertidumbre

1. Metodologia

2. Concepto de incertidumbre típica combinada.

3. Ley de propagación de la incertidumbre (sin correlación).

4. Incertidumbre expandida

5. Supuesto práctico de la evaluación de incertidumbres.

Índice

MÉTODOS PARA ESTIMAR LA INCERTIDUMBRE Estimación experimental de contribuciones individuales Programas de ensayos de aptitudInformación de los proveedores p.e. certificados de calibración Modelado a partir de principios teóricos, estimacion de las contribuciones y composicion Estimación basada en el juicio

ESTRATEGIAS PARA ESTIMAR LA INCERTIDUMBRE

Aproximación ISOAproximación ISO

Identificar incertidumbres (CAUSA-EFECTO)

Encontrar modelo matemático de y = f(x1,x2,x3,..)

Cuantificar las incertidumbres de

cada parámetro

Cálculo incertidumbre combinada (propagación de Incertidumbre. Coeficiente sensibilidad).

Reevaluación?

Reevaluar componentes

FIN

Si

No

Elaborar flujograma

Identifica uno a uno todas las contribuciones a la incertidumbre y las compone en las diferentes etapas del

proceso

ESPECIFICACION

Paso 1. Especificación del mensurando

Paso 2. Establecer el modelo físico, identificando las variables de entrada Xi que permitan establecer el modelo matemático.

Paso 3. Determinar xi , valor estimado de la magnitud de entrada Xi , bien a partir del análisis estadístico de una serie de observaciones, bien por otros métodos

NXXXfY ,..., 21

Nxxxfy ,..., 21

IDENTIFICACION

Paso 1. Identificación de las fuentes de incertidumbre:

Existen muchas fuentes que pueden contribuir a la incertidumbre de medida. Aplicar un modelo del proceso de medida real para identificar las fuentes. La función f debe incluir todas las magnitudes, incluyendo correcciones y factores de corrección que pueden contribuir significativamente a la incertidumbre del resultado de medición.

Paso 2. Identificar si existe o no correlación.

CUANTIFICACION Paso 1.Simplificar por agrupamiento las fuentes cubiertas por los datos existentes,

es decir, la cuantificación y reducción Paso 2. Asignar una función de distribución a cada fuente y Convertir la componente

a incertidumbres estándar u(xi)

Para una estimación de entrada obtenida por análisis estadístico de series de observaciones, la incertidumbre típica se obtiene a partir de una evaluación de Tipo A

Para una estimación de entrada obtenida por otros medios, la incertidumbre típica u(xi ) se obtiene a partir de una evaluación de Tipo B.

Paso 3. Estimar correlaciones

n

XsXsxu i

ii

)()()(

2)(

axu

3)(

axu

6)(

axu

2)(

axu

DISTRIBUCIONES

INCERTIDUMBRE ESTANDAR

ESTIMACION DE LA MEDIA

TIPO DE DISTRIBUCION

2

aaq

2

aaq

32

aa

62

aa

n

xin

s

COMBINACION Paso 1. Calcular el resultado de medición; esto es, la estimación y

del mensurando Y, a partir de la relación funcional f utilizando para las magnitudes de entrada Xi las estimaciones xi obtenidas en el paso de especificacion

Calcular la incertidumbre estándar combinada uc(y). Matriz de presupuesto.

Paso 2. Revisar y analizar las componentes. Diagrama de barras.

Paso 3. Estimación de la incertidumbre expandida multiplicando por el factor de cobertura.

N

ii

N

iiic yuxucyu

1

2

1

22 )()()( )()( iii xucyu

ORIGEN DE LAS COMPONENTES Componente de incertidumbre tipo A: Es la incertidumbre obtenida exclusivamente por medios estadísticos, la mejor estimación es la desviación estándar.

Componente de incertidumbre tipo B: Es la incertidumbre obtenida por medios diferentes a los estadísticos, tales como resolución del equipo, certificados de calibración, datos del fabricante, tablas, pruebas anteriores, tipos de distribución. Esta incertidumbre tiene su origen en los errores sistemáticos presentes en la medición .

Curso Académico 09-10

Concepto de incertidumbre estándar combinada Concepto de incertidumbre estándar combinada

Incertidumbre estándar combinada

Incertidumbre estándar

NN xxxfyXXXfY ,...,,..., 2121

)(),...(),()( 21 Nc xuxuxufyu

La incertidumbre estádar de y (siendo y la estimación del mensurando Y) es decir, el resultado de medida, se obtiene componiendo apropiadamente las incertidumbres estándar de las estimaciones de entrada x1 , x2 , ..., xN. Esta incertidumbre estándar combinada de la estimación y se nota como uc(y).


Ley de propagación de incertidumbres (i)Ley de propagación de incertidumbres (i)

NN xxxfyXXXfY ,...,,..., 2121 Aplicando el Desarrollo de la serie de Taylor de primer orden en torno al valor esperado, las propiedades de la varianza y el valor esperado (esperanza matemática) se llega:

),(2)()(1

1 1

2

2

1

2ji

xj

N

i

N

ij xii

xi

N

i ic xxu

X

f

X

fxu

X

fyu

ji

LEY DE PROPAGACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE

En los casos en que la correlación es igual a +1 o -1 el termino para la estimación de la incertidumbre se establece por la siguiente ecuación:

)()(1

i

N

i ic xu

X

fyu

Ley de propagación de incertidumbres (ii)Ley de propagación de incertidumbres (ii)


Ley de propagación de incertidumbres (iii)Ley de propagación de incertidumbres (iii)

),(2)()(1

1 1

2

2

1

2ji

j

N

i

N

ij ii

N

i ic xxu

x

f

x

fxu

x

fyu

Consideraciones (i)

Magnitudes de entrada no correlacionadas

Magnitudes de entrada correlacionadas

Ley de propagación de incertidumbres (iv)Ley de propagación de incertidumbres (iv)

Consideraciones (ii)

Magnitudes de entrada no correlacionadas

Ej. Determinación de un volumen a una temperatura t habiendo realizado la medida a temperatura t0: V = V0 [1+α (t-t0)]

o El coeficiente de dilatación es una magnitud conocidao El volumen V0 se mide por pesada hidrostatica.

o La temperatura se mide con un sensor de temperatura

Magnitudes de entrada correlacionadas

Ej. Determinación de la densidad de un cuerpo sólido: ρ = m/Vo La masa ha sido medida por comparación usando otras masas patróno El volumen ha sido determinado por pesada hidrostática usando las

mismas masas patrón

),(2)()(1

1 1

2

2

1

2ji

j

N

i

N

ij ii

N

i ic xxu

x

f

x

fxu

x

fyu

Ley de propagación de incertidumbres (v)Ley de propagación de incertidumbres (v)

Consideraciones (iii)Consideraciones (iii)

Trataremos sólo el caso de magnitudes de entrada no correlacionadas

Introducción a la Metrología

Ley de propagación de incertidumbres (vi)Ley de propagación de incertidumbres (vi)

Donde:

f ≡ Función de transferencia o función modelo; Y= f (X1,X2,…, XN )u(xi ) ≡ Incertidumbre estándar evaluada (tipo A o tipo B)

uc(y) ≡ Incertidumbre estándar combinada

La incertidumbre estándar combinada es una desviación estándar estimada y caracteriza la dispersión de los valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mensurando Y.

)()( 2

2

1

2i

N

i ic xu

x

fyu

No correlacionadaNo correlacionada

Ley de propagación de incertidumbres (vii)Ley de propagación de incertidumbres (vii)

Estas derivadas, denominadas coeficientes de sensibilidad (ci ), describen

por una parte cómo varía la estimación de salida y, en función de las variaciones en los valores de las estimaciones de entrada x1 , x2 , ..., xN y por

otro lado conducen a que todas la componentes guarden la coherencia en las unidades.

En general, la variación de y producida por una pequeña variación Δxi en la

estimación de entrada xi viene dada por:

Si esta variación es debida a la incertidumbre estándar de la estimación xi, la

variación correspondiente de y es:

)()( 2

2

1

2i

N

i ic xu

x

fyu

ix

f

)()( ii

i Δxx

fΔy

)()( ii

i xux

fΔy

Ley de propagación de incertidumbres (viii)Ley de propagación de incertidumbres (viii)

Por tanto, la varianza combinada uc2(y) puede considerarse entonces como una

suma de términos, cada uno de ellos representando la varianza estimada asociada a y, debido a la varianza estimada asociada a cada estimación de entrada xi.

N

ii

N

iiic yuxucyu

1

2

1

22 )()()(

)()()( 2

1

22

2

1

2i

N

iii

N

i ic xucxu

x

fyu

)()()( iiii

i xucxux

fΔy

Donde: )()( iii xucyu

Concepto de incertidumbre típica combinada (ix) Concepto de incertidumbre típica combinada (ix)

NN xxxfyXXXfY ,...,,..., 2121

)(),...(),()( 21 Nc xuxuxufyu

Incertidumbre típica combinada

Incertidumbre típica

N

iii

N

iic xucyuyu

11

)()()(

Coeficiente desensibilidad

Concepto de incertidumbre típica combinada (x)Concepto de incertidumbre típica combinada (x)

Ejemplo (Supuesta no correlación)Ejemplo (Supuesta no correlación)

Cálculo de la incertidumbre estándar combinada en la medida indirecta del área de una placa rectangular

Cálculo de la incertidumbre estándar combinada en la medida indirecta del área de una placa rectangular

b

h 21, XXfY hxbxxfAy 21,

ii Xx

22 )()( iic xucyu )()()( 22222 hucbucAu hbc

22

2 hb

Acb

2

22 b

h

Acb

)()()( 22222 hubbuhAuc )()()( 2222 hubbuhAuc

A

Determinación de la incertidumbre expandida, U (i)Determinación de la incertidumbre expandida, U (i)

Aunque la incertidumbre estándar combinada, uc(y) puede ser utilizada

universalmente para expresar la incertidumbre de un resultado de medida, es necesario dar una medida de la incertidumbre que defina, alrededor del resultado de medida, un intervalo en el interior del cual pueda esperarse encontrar gran parte de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mensurando.

La nueva medida de la incertidumbre, que satisface la exigencia de aportar tal intervalo se denomina incertidumbre expandida, y se representa por U.

La incertidumbre expandida U se obtiene multiplicando la incertidumbre

estándar combinada uc(y) por un factor de cobertura k.

Aunque la incertidumbre estándar combinada, uc(y) puede ser utilizada

universalmente para expresar la incertidumbre de un resultado de medida, es necesario dar una medida de la incertidumbre que defina, alrededor del resultado de medida, un intervalo en el interior del cual pueda esperarse encontrar gran parte de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos al mensurando.

La nueva medida de la incertidumbre, que satisface la exigencia de aportar tal intervalo se denomina incertidumbre expandida, y se representa por U.


estándar combinada uc(y) por un factor de cobertura k.

U = k uc(y) U = k uc(y)

Determinación de la incertidumbre expandida, U (ii)Determinación de la incertidumbre expandida, U (ii)

Resultado de la medida: Y = y ± U

Lo que significa que:

• La mejor estimación del valor atribuible al mensurando Y es y

• Puede esperarse que en el intervalo que va de y-U a y+U esté comprendida una fracción importante de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos a Y.

• Un intervalo tal se expresa por y - U ≤ Y ≤ y + U

• Siempre que sea posible, debe estimarse e indicarse el nivel de confianza p asociado al intervalo definido por U.

Lo que significa que:

• La mejor estimación del valor atribuible al mensurando Y es y

• Puede esperarse que en el intervalo que va de y-U a y+U esté comprendida una fracción importante de la distribución de valores que podrían ser razonablemente atribuidos a Y.

• Un intervalo tal se expresa por y - U ≤ Y ≤ y + U

• Siempre que sea posible, debe estimarse e indicarse el nivel de confianza p asociado al intervalo definido por U.

Determinación de la incertidumbre expandida, U (iii)Determinación de la incertidumbre expandida, U (iii)

Elección de un factor de coberturaElección de un factor de cobertura

El valor del factor de cobertura k se elige en función del nivel de confianza

requerido para el intervalo y-U a y+U.

• En general, k toma un valor entre 2 y 3. No obstante, en aplicaciones

especiales, k puede tomarse fuera de dicho campo de valores.

• Idealmente, debería poderse escoger un valor específico del factor de cobertura k que proporcionase un intervalo Y = y ± U = y ± k uc(y) correspondiente a un nivel de confianza particular p, por ejemplo, un 95 o un 99 por ciento.

• En la práctica, puede suponerse que la elección de un factor k = 2 proporciona un intervalo con un nivel de confianza en torno al 95%, y que la elección de k = 3 proporciona un intervalo con un nivel de confianza en torno al 99%. (k = 1 corresponde a p = 68,27 %, k = 2 corresponde a p = 95,45% y k = 3 a p = 99,73 %.)

GRADOS EFECTIVOS DE LIBERTADGRADOS EFECTIVOS DE LIBERTAD

El número efectivo de grados de libertad se calcula según la ecuación de Welch-Satterthwaite.

n

i

i

cef

iyu

yu

1

4

4

)(

)(

GRADOS EFECTIVOS DE LIBERTAD

GRADOS EFECTIVOS DE LIBERTAD

DISTRIBUCIONGRADOS DE

LIBERTAD

NORMAL >200

RECTANGULAR 100

TRIANGULAR 100

Ejemplo: Calibración de bloques patrón longitudinales, BPLEjemplo: Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL

1. Definición del problema de medición

La longitud de un BPL, de valor nominal 50 mm, se determina por comparación con otro bloque patrón conocido, de la misma longitud nominal y del mismo material. En la comparación de los dos bloques se obtiene directamente la diferencia d entre sus longitudes.

La longitud de un BPL, de valor nominal 50 mm, se determina por comparación con otro bloque patrón conocido, de la misma longitud nominal y del mismo material. En la comparación de los dos bloques se obtiene directamente la diferencia d entre sus longitudes.

d

l lp

d = l - lpd = l - lp

Ejemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPLEjemplo Calibración de bloques patrón longitudinales, BPL

2. El modelo matemático

plld

),...,( 21 NXXXfY

resttp CCCdllp

Corrección por dilatación térmica

),,,,,,( Edlfl ppp

Corrección por resolución del comparador

ltltlC t )20( pppppppppt ltltlCp

)20(


dll p

l Valor del mesurando a determinar.

lp Longitud del patrón a 20 °C, tal como figura en su certificado de calibración.

d Diferencia entre los bloques, estimada como la media aritmética de 10 medidas independientes.

),...,( 21 Nxxxfy

mmlp 000623,50

nmd 215 mmUl )000838,50(

3. Estimación del valor del mensurando, l


4. Contribución de varianzas (i)

)()( 2

1

22

i

N

iic xuclu

)()()()()()( 22222222222resCtCtCdplc CucCucCucducluclu

resppttp

Ley de propagación de la incertidumbre

resttp CCCdllp


)()()()()()( 22222222222resCpttttdplc CucCucCucducluclu

respp

)()()()()()( 222222resttpc CuCuCudululu

p

4. Contribución de varianzas (ii)

resttp CCCdllp

1

p

pt

tC C

fc1

d

fcd

1

t

C C

fc

t1

ppl l

fc 1

res

Cres C

fc


5. Incertidumbre debida a la calibración del patrón, u(lp)

El certificado de calibración da como incertidumbre expandida del patrón U = 0,040 μm, precisando que ha sido obtenida utilizando un factor de cobertura k = 2. La incertidumbre estándar es entonces

El certificado de calibración da como incertidumbre expandida del patrón U = 0,040 μm, precisando que ha sido obtenida utilizando un factor de cobertura k = 2. La incertidumbre estándar es entonces

222 104)( nmlu p

Y la varianza será por tanto el cuadrado de la desviación estándar:Y la varianza será por tanto el cuadrado de la desviación estándar:

nmlu p 202

040,0)(


6. Incertidumbre debida a la medida de d, u(d)

Se efectúan 10 medidas de la diferencia d entre el bloque patrón y el bloque a calibrar, con una desviación esáandar de 13 nm. Se considera una distribución normal, por lo que la incertidumbre estándar se obtiene de una evaluación de tipo A.

Se efectúan 10 medidas de la diferencia d entre el bloque patrón y el bloque a calibrar, con una desviación esáandar de 13 nm. Se considera una distribución normal, por lo que la incertidumbre estándar se obtiene de una evaluación de tipo A.

22 8,16)( nmdu


nmnm

n

dsdsdu 1,4

10

13)()()(


7. Incertidumbre debida dilatación térmica del bloque patrón, u(CΔtp )7. Incertidumbre debida dilatación térmica del bloque patrón, u(CΔtp )

(Coef. De dilatación térmica) = 11,5 x 10-6 °C-1

pppt lCp

)()()()()()()( 2222222pppppppppt luululCu

p

p

p (Desviación de la temperatura del bloque a la temperatura de referencia de 20 ºC

durante la medición: tp - 20). La temperatura media del bloque durante la medición fue

de 19,9 ºC±0,02 ºC, considerándose una distribución rectangular. Por tanto: θ = -0,1 ºC

Cu p º1005,0)( 6 Decisión del evaluador

3º02,0

)(C

θu p nmCu

pt 6,6)( Δ

Se acepta un modelo de dilatación lineal, con lo que:Se acepta un modelo de dilatación lineal, con lo que:


8. Incertidumbre debida dilatación térmica del bloque, u(CΔt )

(Coef. De dilatación térmica) = 11,5 x 10-6 °C-1

pt lC

)()()()()()()( 2222222pppt luululCu

(Desviación de la temperatura del bloque a la temperatura de referencia de 20 ºC

durante la medición: tp - 20). La temperatura media del bloque durante la medición fue

de 19,9 ºC±0,02 ºC, considerándose una distribución rectangular. Por tanto: θ=-0,1 ºC

Cu º1005,0)( 6 Decisión del evaluador

3º02,0

)(C

θu

nmCu t 6,6)( Δ

Se acepta un modelo de dilatación lineal, con lo que:Se acepta un modelo de dilatación lineal, con lo que:


9. Incertidumbre debida a la resolución de la máquina u(res)

nmmm

resu 9,212

01,0

3

2/01,0)(

22 3,8)( nmresu

Se sabe que la resolución del equipo de medida es E = 0,01 µm. Por lo tanto, considerando distribución rectangular:Se sabe que la resolución del equipo de medida es E = 0,01 µm. Por lo tanto, considerando distribución rectangular:



10. Incertidumbre típica combinada uc(l)

)()()()()()( 222222resttpc CuCuCudululu

p

2222222 3,81,441,448,1610·4)( nmnmnmnmnmluc

nmluc 3,84,888,1610·4)( 2

nmluc 6,22)(


11. Incertidumbre expandida, U11. Incertidumbre expandida, U

nmluU c 2,45)(2


estándar combinada uc(l) por un factor de cobertura k.

Para el ejemplo, consideraremos un factor de cobertura k=2,equivalente a un nivel de confianza del 95%.


estándar combinada uc(l) por un factor de cobertura k.

Para el ejemplo, consideraremos un factor de cobertura k=2,equivalente a un nivel de confianza del 95%.


12. Resultado final12. Resultado final

nmluU c 2,45)(2

mml )000045,0000838,50(

BIBLIOGRAFIA

BIPM, IEC, IFCC, ISO, IUPAC, IUPAP, OIML. Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement. International Organization for Standarrization. 1993

Vocabulario Internacional de terminos basicos y generales en metrología.

ILAC-68. Guidelines on Assessment and Reporting of Compliance with Especification. 1996

EA-4/02 Expresion of the Uncertainty of Measurement in Calibration. 1999

MUCHAS GRACIAS

Incertidumbre Gum

Documents

Transcript of Incertidumbre Gum