Inconveniencia de Tir
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Héctor Rodríguez Elvira Yolanda Blasco Tomás Facultad de Ciencias Empresariales Grado en Administración y Dirección de Empresas 2013-2014 Título Director/es Facultad Titulación Departamento TRABAJO FIN DE GRADO Curso Académico La inconsistencia del método TIR en el análisis de valoración de inversiones Autor/es
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Héctor Rodríguez Elvira
Yolanda Blasco Tomás
Facultad de Ciencias Empresariales
Grado en Administración y Dirección de Empresas
2013-2014
Título
Director/es
Facultad
Titulación
Departamento
TRABAJO FIN DE GRADO
Curso Académico
La inconsistencia del método TIR en el análisis devaloración de inversiones
Autor/es
© El autor© Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones, 2014
publicaciones.unirioja.esE-mail: [email protected]
La inconsistencia del método TIR en el análisis de valoración de inversiones,trabajo fin de grado
de Héctor Rodríguez Elvira, dirigido por Yolanda Blasco Tomás (publicado por la Universidad de La Rioja), se difunde bajo una Licencia
Creative Commons Reconocimiento-NoComercial-SinObraDerivada 3.0 Unported. Permisos que vayan más allá de lo cubierto por esta licencia pueden solicitarse a los
titulares del copyright.
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FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
TRABAJO FIN DE GRADO
GRADO EN ADMINISTRACIÓN Y DIRECCIÓN DE EMPRESAS
La inconsistencia del método TIR en el análisis y valoración de inversiones
Autor: Rodríguez Elvira Héctor ([email protected])
Tutor: Blasco Tomás Yolanda ([email protected])
CURSO ACADÉMICO 2013-2014
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INDICE
1. RESUMEN ............................................................................................................................................................................................................ 3
1.1. Castellano ........................................................................................................................................................................................................ 3
1.2. Ingles ............................................................................................................................................................................................................... 3
2. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................................................................................................. 4
2.1. Objetivo ........................................................................................................................................................................................................... 4
2.2. Metodología ..................................................................................................................................................................................................... 4
2.3. Estado de la cuestión ....................................................................................................................................................................................... 5
3. PRINCIPALES CRITERIOS DE VALORACIÓN DE INVERSIONES .............................................................................................................. 6
3.1. Tasa Interna de Rendimiento (TIR) ................................................................................................................................................................. 6
3.1.a. Inconvenientes o limitaciones que presenta el método del TIR.................................................................................................................. 8
3.2. Valor Actual Neto (VAN) ............................................................................................................................................................................. 12
3.2.a. Inconvenientes o limitaciones que presenta el método del VAN. ............................................................................................................. 14
3.3. Conclusiones.................................................................................................................................................................................................. 15
3.4. Soluciones ..................................................................................................................................................................................................... 18
3.4.a. Homogeneizar las duraciones ................................................................................................................................................................... 19
3.4.b. Homogeneizar los costes iniciales ............................................................................................................................................................. 22
3.4.c. Criterio del índice de rentabilidad ............................................................................................................................................................. 26
4. LA INCONSISTENCIA DEL CRITERIO DE LA TASA INTERNA DE RENTABILIDAD (TIR) ................................................................. 28
4.1. Saldo de un proyecto de inversión .................................................................................................................................................................. 29
4.2. Saldos en las inversiones puras y mixtas ....................................................................................................................................................... 31
4.3. Relaciones entre las inversiones simples y no simples con las puras y mixtas .............................................................................................. 32
4.4. Distinción entre (r) y (k o i) en un proyecto de inversión .............................................................................................................................. 32
5. MÉTODOS PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS DE INCONSISTENCIA ................................................................................................ 34
5.1. Primer Método. .............................................................................................................................................................................................. 34
5.2. Segundo Método ............................................................................................................................................................................................ 35
5.3. La tasa interna de rentabilidad modificada (TIRm) ........................................................................................................................................ 37
6. CONCLUSIONES ............................................................................................................................................................................................... 40
6.1. Ejemplo 1. ..................................................................................................................................................................................................... 40
6.2. Ejemplo 2 ...................................................................................................................................................................................................... 44
7. BIBLIOGRAFÍA ................................................................................................................................................................................................. 49
3
1. RESUMEN
1.1. Castellano
El presente trabajo trata acerca de cómo resolver el problema que se plantea cuando
el criterio del Tanto de Rendimiento Interno (TIR), uno de los métodos más usados a la
hora de calcular la rentabilidad de un proyecto de inversión, se muestra inconsistente.
Con inconsistente se quiere decir que las rentabilidades que este método ofrece van a
ser varias y por tanto no reales (dos positivas, una positiva y otra negativa, etc.). No se
da el caso de una única rentabilidad real, que es como debería ser.
Para comenzar se hablará acerca de los dos principales criterios de valoración de
inversiones, como son el VAN (Valor Actual Neto) y el TIR (Tasa o Tanto de
Rendimiento Interno). Se comentará también las diferencias entre uno y otro, con el fin
de conocerlos mejor y ver para qué sirven a los inversores.
Tras ello, el trabajo se centrará de lleno en los problemas y cuestiones que puede
plantear el criterio TIR junto con dos supuestos reales, en los que se verá cómo una
inversión mixta puede acarrear el problema de inconsistencia en su valoración. Se
tratará de resolverlo a través de diferentes procedimientos para así poder comprobar si
la inversión es o no viable.
1.2. Ingles
The present work treats brings over of how solving the problem that appears when
the criterion of Rase of Internal Performance (TIR), one of the methods most used at the
moment of calculating the profitability of a project of investment, proves to be weak.
With weak it wants to be said that the profitabilities that this method offers are going
to be different and therefore not royal (two positive ones, positive one and another
denial, etc.). One does not give the case of only royal profitability, which is since it
should be.
To begin one will speak it brings over of both principal criteria of valuation of
investments, since they are VAN (Current Clear Value) and the TIR (Rase of Internal
Performance). The differences will be commented also between one and other one, in
order to know them better and to see why.
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After it, the work will centre squarely on the problems and questions that there can
raise the criterion TIR together with two royal suppositions, in which one will see how a
mixed investment can transport the problem of inconsistency in his valuation. It will be
a question of solving it across different procedures to be able like that to verify if the
investment is or not viable.
2. INTRODUCCIÓN
2.1. Objetivo
Como se ha dicho en el resumen, este trabajo consiste en cómo resolver el problema
que surge cuando una de las herramientas más usadas por gerentes, inversores, etc. a la
hora de valorar inversiones, como es el criterio del TIR, se muestra inconsistente.
Se abordarán desde los conceptos más sencillos hasta los más complejos de dicho
criterio, con el fin de que el inversor comprenda dicha herramienta y pueda utilizarla de
cara a la previa realización de un proyecto de inversión, incluso cuando dicha
herramienta se muestra inconsistente y no le ofrezca soluciones reales.
De esta manera se asegurará de que le va a reportar una serie de beneficios a la hora
de llevarla a cabo.
Además del TIR, se hablará también de otro criterio muy utilizado a la hora de
valorar los proyectos, como es el criterio del VAN.
Con ello se pretende que el lector se familiarice con las principales herramientas o
parámetros financieros más eficientes a la hora de calcular la viabilidad de proyectos de
inversión.
2.2. Metodología
Cabe citar la complejidad del tema financiero que se va a abordar y su difícil
comprensión.
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Por tanto, en cuanto a la metodología llevada a cabo a la hora de realizar este trabajo,
hay que destacar:
La claridad y la sencillez de la información utilizada.
El trabajo está repleto de ejemplos de todo tipo, con el fin de poder abordar el
problema de la inconsistencia del criterio del método del TIR desde una
perspectiva muy práctica.
Además, a medida que vamos avanzando en el trabajo, se encontrarán unas
“notas aclaratorias” en las que se resume y se destacan las ideas más
importantes.
2.3. Estado de la cuestión
En la actualidad y dada la situación de crisis económica que afrontamos, se hace
necesario tener en cuenta una serie de factores a la hora de realizar una compra o una
inversión, y más cuando dicha operación requiere un importe elevado.
Todo se hace mucho más complejo en el ámbito empresarial y es por ello por lo que
se utilizan estos criterios previamente a la ejecución de la inversión.
Y es que para realizar una inversión de tales cantidades, una empresa debe de contar
con la mayor cantidad de información posible con el fin de minimizar los riesgos y no
perder demasiado dinero o poder.
Se trata de una decisión muy compleja y además, de una decisión que no se toma
todos los días. Por ello cobra especial relevancia conocer la posible rentabilidad del
proyecto y sobre todo, saber si se trata de un proyecto viable o no.
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3. PRINCIPALES CRITERIOS DE VALORACIÓN DE INVERSIONES
En el presente trabajo se va a analizar el método de la inconsistencia del criterio de
la tasa interna de rendimiento (TIR).
Pero previamente, para enmarcar el tema y hacer más sencilla su comprensión se
requiere hablar de ciertos aspectos claves en el ámbito financiero.
Estos aspectos clave son:
El criterio del VAN Valor Actual Neto.
El criterio del TIR Tasa Interna de Rendimiento.
Ambos criterios son dos de las herramientas o parámetros financieros más usados y
eficientes a la hora de calcular la viabilidad de proyectos de inversión, es decir,
permiten evaluar la rentabilidad de inversiones tales como la creación de un nuevo
negocio, el desarrollo de un nuevo producto, la adquisición de mobiliario necesario para
la prosperidad de un negocio ya existente, etc.
En principio tanto el VAN como el TIR se basan en lo mismo, en la estimación de
los flujos de caja que obtenga la empresa.
Se trata de dos métodos que se basan en supuestos diferentes y que también miden
aspectos diferentes de un proyecto de inversión.
3.1. Tasa Interna de Rendimiento (TIR)
También conocida como tasa de retorno interna (r).
Es aquel tipo de actualización que hace igual a cero el valor actual neto (VAN), o lo
que es lo mismo, iguala el valor actual de la corriente de cobros con el valor actual de la
corriente de pagos.
El valor (r) que satisface dicha igualdad es:
VAN = -P0 + R1 / (1 + r) + R2 / (1 + r) 2 + ………. + Rn / (1 + r) n = 0
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Si todos y cada uno de los flujos de caja son constantes e iguales a lo largo de la vida
del proyecto:
El valor a n┐ r se puede encontrar en las tablas financieras, que se corresponderá con
el equivalente valor de (r).
Y por último, cuando los flujos son constantes y la duración de la inversión es
infinita:
Además, en el caso de que los flujos de caja sean constantes y la duración de la
inversión ilimitada (n ∞), se cumple la condición de una relación inversa entre la
tasa de rentabilidad y el periodo de recuperación o pay-back.
- Po + R / r = 0 r = R / Po, de donde se verifica que:
El entender esta relación es muy importante debido a que si se elige de entre varios
proyectos el que menor plazo de recuperación tiene, supone también elegir el que más
rentabilidad tiene.
VAN = -P0 + R x a n┐r = 0
VAN = -P0 + R / r = 0
Pr = Po / R
Pr = 1 / r
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Además el TIR es un criterio muy utilizado a la hora de valorar inversiones; de
ayuda para jerarquizarlas, ordenarlas, tomar ciertas decisiones sobre ellas, etc.
También hay que tener en cuenta que el criterio del TIR no proporciona por sí solo
la información necesaria para determinar si un proyecto de inversión contribuye o no a
enriquecer a la empresa, ya que hay que compararla con la tasa de actualización o coste
de los recursos del criterio del VAN, es decir:
o Si r > k, el proyecto reportará beneficios a la empresa que lo realice.
o Si r < k, el proyecto no reportará ningún tipo de beneficio a la empresa.
En lo que se refiere a su aplicación práctica:
o En el caso de determinar (r) en una renta de flujos constantes y duración
ilimitada es relativamente sencillo.
o En cambio, la complejidad aumenta cuando se trata de determinar dicha tasa (r)
en inversiones con rentas variables y duración finita.
Para determinarla, hay que resolver una ecuación de grado “n”.
3.1.a. Inconvenientes o limitaciones que presenta el método del TIR
Problemas de inconsistencia del resultado
Como se acaba de mencionar, para determinar la tasa interna de rendimiento hace
falta resolver una ecuación de grado “n”.
En la resolución de estos tipos de ecuaciones nos encontramos ante “n” posibles
soluciones y además según la regla de Descartes, ante tantas soluciones positivas como
cambios de signo haya en la ecuación.
PROYECTOS CAMBIO DE SIGNO NÚMERO DE SOLUCIONES 1 - - - + + 1 2 - + - + + 3 3 - + + + + 1 4 - + + + - 2
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De tal forma que cuando en los flujos intermedios de caja de un proyecto se produce
tan sólo un cambio de signo, es decir cuando todos los flujos de caja son positivos por
ejemplo, estamos ante un indicio que indica que la inversión es simple.
Por consiguiente, de la obtención de “n” soluciones que harán cero el VAN, tan solo
una de ellas será la solución real y positiva y además, será la tasa interna de rendimiento
del proyecto.
Representación gráfica del VAN, con un único punto de corte que es la tasa
interna de rendimiento (VAN = 0):
Gráficamente, el VAN resulta ser una función decreciente respecto del coste de
capital con una única TIR.
En este caso se puede decir que la TIR es independiente del coste de capital.
En cambio cuando en los flujos intermedios de caja se produce más de un cambio de
signo, es decir hay flujos de caja que son negativos, nos encontramos ante el indicio de
que se trata de proyectos de inversión no simple.
A pesar de que la existencia de cambios de signo es una condición necesaria, hay
que decir que no es una condición suficiente puesto que existen proyectos de inversión
con cambios en los signos de sus flujos de caja, en los cuales se puede obtener una
única TIR.
A diferencia de las inversiones simples, a la obtención de “n” soluciones reales, se
obtendrán tantas soluciones positivas como cambios de signo se produzcan a lo largo de
su vida.
Punto de corte
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Desde un punto de vista matemático es totalmente correcto, pero desde un punto de
vista financiero no lo es puesto que significa la existencia de más de una tasa interna de
rendimiento para el mismo proyecto de inversión.
Producirá la inconsistencia del cálculo de la rentabilidad del proyecto de inversión.
Para solventar esta situación no debe utilizarse el método de la tasa de rendimiento
interna a priori.
Lo que hay que hacer es determinar previamente si se trata de una inversión pura o
mixta.
o Inversiones puras: Aquellas que tienen una sola TIR y además, son
independientes del coste de capital.
o Inversiones mixtas: Aquellas que pueden tener una o varias TIR, que
generalmente son aquellas que presentan flujos de caja negativos en algún
punto intermedio o en ambos extremos de la vida del proyecto
simultáneamente (desembolso inicial y un flujo final). Además, éstas son
dependientes del coste de capital al contrario que las puras.
Todo este problema viene dado porque el VAN puede que no sea una función
decreciente respecto del coste de capital en este caso, puede que sea creciente en algún
tramo y decreciente en otro, etc. de ahí que se obtengan varias soluciones positivas o
ninguna, y sea una solución imaginaria o irreal.
“De momento solo interesa conocer la existencia de inversiones simples y no
simples, y dentro de las no simples la existencia de inversiones puras y mixtas.
Estas últimas se analizarán minuciosamente más adelante”.
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Representaciones gráficas del VAN, mostrando su inconsistencia:
Como se comprueba, puede adoptar funciones más complejas.
Si esto es así, se interpreta que entre la rentabilidad (r) y el coste de capital (k) existe
una relación funcional, es decir, una relación de dependencia.
NOTA ACLARATORIA:
Proyecto puro TIR medida única de rentabilidad.
Proyecto mixto Varias medidas de TIR dependientes
del coste de capital r = f(k).
Puntos de corte Puntos de corte
Ningún punto de corte
Puntos de corte
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Falta de realismo en la hipótesis de reinversión o financiación de los flujos
intermedios de caja de la inversión
En este inconveniente del TIR, se supone que los cobros intermedios son reinvertidos
a un tanto de reinversión igual a (r), y que los pagos intermedios son financiados con un
coste también igual a (r).
Y no es posible suponer que los flujos intermedios de caja de una inversión van a ser
reinvertidos o financiados a una tasa de rendimiento antes de haber calculado dicha tasa
de rendimiento.
Para evitar este inconveniente, a través de la siguiente fórmula se conoce la tasa de
reinversión de los flujos intermedios y se calcula la rentabilidad del proyecto:
3.2. Valor Actual Neto (VAN)
También llamado Criterio del Valor Capital (k).
Se define como el valor que representa la diferencia entre los cobros netos y los
pagos netos actualizados al momento 0.
La fórmula general del VAN es la siguiente:
En el caso de que k1 = k2 = kn = kconstante:
En el caso de que R1 = R2 = Rn = Rconstante:
-P0 + [R1 x (1 + tr) n-1 + R2 x (1 + tr) n-2 + ………. + Rn] / (1 + r) n = 0
VAN = -P0 + R1 / (1 + k1) + R2 / (1 + k2) 2 + ………. + Rn / (1 + kn) n = 0
VAN = -P0 + R1 / (1 + k) + R2 / (1 + k) 2 + ………. + Rn / (1 + k) n = 0
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Por último, en el caso de que tanto el interés y los flujos sean iguales y además, la
duración sea ilimitada:
Al igual que el criterio del TIR, el VAN es un método de valoración de inversiones,
puesto que ayuda al empresario a saber cuál es el rendimiento que una inversión puede
ofrecerle en términos absolutos.
También ayuda a tomar la decisión de qué inversión debe efectuarse y cual no.
Además permite la ordenación y jerarquización de inversiones, todo ello en base a una
serie de condiciones:
o Si el valor absoluto del VAN > 0, indica que conviene realizar el proyecto de
inversión, puesto que permite al empresario recuperar el capital invertido,
satisfacer las obligaciones que la propia inversión implica y además obtener
un beneficio.
De entre todas las inversiones con un VAN > 0, se elegirá aquella que
ofrezca un mayor valor actual neto.
o En cambio cuando el VAN < 0, el proyecto no debería efectuarse debido a
que lo que le va a reportar a quien la efectué, son pérdidas.
o Cuando el VAN = 0 el proyecto de inversión tampoco convendría realizarlo,
puesto que aunque ni reporte beneficio ni reporte pérdida alguna, no tiene
sentido realizar una inversión en un proyecto en el cual no vas a poder
obtener beneficio alguno.
VAN = -P0 + R x a n┐k = 0
VAN = -P0 + R / k
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3.2.a. Inconvenientes o limitaciones que presenta el método del VAN
Dificultad del cálculo de K
Se presupone que para actualizar los flujos de caja de un proyecto de inversión se
utiliza el tipo de interés de un mercado de capitales perfecto, lo cual no es correcto
debido a que en la realidad, este tipo de interés depende de factores imposibles de
predecir a priori, como la inflación o el tipo de interés en el futuro.
Para remediar este inconveniente lo que se hace en la práctica es exigir al proyecto
en cuestión una rentabilidad mínima que permita al empresario evitar pérdidas o
disminuir el valor de su empresa, es decir, una rentabilidad equivalente a la financiación
del coste de los recursos utilizados por la empresa.
De esta manera se consigue:
o Homogeneizar los flujos netos de caja.
o Conseguir un valor que el empresario deberá tener en cuenta para exigirlo a
su proyecto y consecuentemente, no reducir el valor de su empresa.
Consideración de la reinversión de los flujos al mismo tipo K
Al igual que en el método TIR, se supone que los cobros intermedios son
reinvertidos a un tanto de reinversión igual a (k), y que los pagos intermedios son
financiados con un coste también igual a (k).
Es decir, cuando se calcula el VAN se considera que los flujos se reinvierten a la tasa
(k).
Un ejemplo sería el siguiente:
VAN = -P0 + [R1 x (1 + k) n-1 + R2 x (1 + k) n-2 + ………. + Rn] / (1 + k) n = 0
Sin embargo, el VAN de la inversión disminuiría si la reinversión de los flujos se
hiciese a un tipo de rendimiento inferior a k y aumentaría si el rendimiento fuese
superior a k.
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3.3. Conclusiones
Se puede decir que entre el TIR y el VAN, existe una relación directa en las
inversiones simples, por lo que:
o Una inversión interesa realizarla cuando r > k, cuando la rentabilidad
de la inversión sea superior al coste de los recursos, o lo que es lo
mismo cuando el VAN > 0. Cuando se cumple esta condición, el
proyecto aumentará la riqueza de la empresa.
o En cambio, cuando r < k no interesa realizar la inversión, puesto que
el proyecto no enriquecerá a la empresa ya que el VAN en este caso,
será negativo. VAN < 0.
o Por último mencionar la posibilidad en el caso de que r = k. En este
caso el VAN = 0 y se trataría de una inversión neutral, llevar a cabo la
inversión ni beneficiaría ni perjudicaría a la empresa, da igual llevarla
a cabo o no.
El VAN mide la rentabilidad en términos absolutos (u.m.) y el TIR en
términos relativos (%).
En inversiones puras coinciden en la aceptación o rechazo del proyecto,
aunque pueden diferir en la jerarquización.
o Si VAN (i) > 0 r > k.
o Si VAN (i) < 0 r < k.
o Si VAN (i) = 0 r = k.
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Por ejemplo, si suponemos dos inversiones (I1 e I2):
Se puede observar que las curvas de valor capital (VC) no se cortan por
ninguna parte en el cuadrante, lo que indica que tanto por el criterio del
VC o valor capital como por la tasa de rentabilidad (r), la inversión 1 (I1)
será preferida en cualquier caso a la inversión 2 (I2).
Esto implica que el VAN1 > VAN2 y que r1 > r2.
En cambio, en las inversiones mixtas pueden no coincidir ni la aceptación
del proyecto ni en la jerarquización.
o Más adelante se verá que este tipo de inversiones es la que dará lugar
a los problemas de inconsistencia.
Por ejemplo, si suponemos dos inversiones (I1 e I2):
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En cambio en este gráfico se observa como las curvas de valor de capital
(VC) se cortan en el cuadrante, lo que indica que el criterio del VC y la
tasa de rentabilidad (r) difieren en la valoración y jerarquización de los
proyectos.
Es decir:
o Cuando r > r0 ambos criterios coincidirán en la valoración y por
tanto será preferible el proyecto 1 (I1) al proyecto 2 (I2), porque r1
> r2 y también, VAN1 > VAN 2.
o En cambio, cuando r < r0 los criterios no van a coincidir.
Por el criterio del TIR será preferible (I1) puesto que r1 > r2, en
cambio por el criterio del VAN será preferible (I2) puesto que
VAN2 > VAN1.
Para que ambos criterios coincidan en jerarquización no deben tener cruces o
“Tasa de Fisher”.
El cruce o “Tasa de Fisher” se entiende como la tasa de actualización o
descuento que iguala el valor capital (VC) de ambas inversiones.
La “Tasa de Fisher” equivale al punto verde del gráfico anterior y r0 es la
denominada tasa de retorno sobre el coste.
NOTA ACLARATORIA:
Cuando no hay “Tasa de Fisher”:
o Tanto el VAN como el TIR conducen a la misma valoración de
proyectos, independientemente del número de inversiones.
Cuando sí hay “Tasa de Fisher”:
o El VAN y el TIR coincidirán o no en su valoración dependiendo
del tipo de descuento utilizado.
Es decir, si r > r0 van a coincidir, pero si r < r0 van a diferir en
la ordenación.
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3.4. Soluciones
Estas discrepancias a la hora de elegir o jerarquizar entre dos proyectos de inversión
vienen dadas esencialmente porque el VAN no se muestra consistente, no da resultados
lógicos, debido a una serie de factores:
o Diferencias entre los desembolsos iniciales.
o Diferencias en las duraciones de los proyectos.
o Diferencias en los flujos de fondos temporales.
Para intentar hacer más sencilla la comprensión de lo que se intenta explicar, se
propone un ejemplo entre dos proyectos de inversión en el que las duraciones y el valor
capital son idénticos, pero el desembolso inicial de un proyecto es superior al otro.
A la hora de elegir entre una y otra, el criterio del VAN se muestra indiferente entre
las dos inversiones puesto que ofrecen el mismo beneficio absoluto, pero como es
lógico el inversor preferirá el de menor desembolso puesto que con una menor inversión
inicial va a recibir lo mismo.
Lo mismo ocurriría si los dos proyectos son iguales en cuanto a los desembolsos
exigidos y valor capital, pero en cambio difieren en la duración, uno tiene un mayor
número de años.
En este caso el inversor preferirá el proyecto de menor duración, puesto que le
reportará el mismo beneficio absoluto en un menor tiempo, pero el VAN vuelve a
mostrarse indiferente puesto que el beneficio mutuo que ofrece es idéntico.
Por lo tanto y para evitarlo existen diferentes opciones a realizar en los diferentes
proyectos a comparar:
1. Homogeneizar las duraciones
2. Homogeneizar los costes iniciales.
3. Criterio del índice de rentabilidad.
En el caso de comparar mediante el criterio del TIR bastaría con homogeneizar las
duraciones de las inversiones. No haría falta ni homogeneizar los costes iniciales ni usar
el criterio del índice de rentabilidad (IR).
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3.4.a. Homogeneización de las duraciones: n1 = n2
Diferenciar dos métodos:
o Homogeneizar a la duración menor de las duraciones de los proyectos de
inversión
Este método requiere conocer el valor residual de la inversión de mayor duración en
el momento en que acaba la inversión de menor duración. Una vez hallado, el valor se
sumará al flujo neto de caja de ese momento.
o Homogeneizar a la duración mayor de las duraciones de los proyectos de
inversión
Este método requiere conocer la tasa de reinversión de los flujos netos de caja.
Ejemplo de aplicación de duraciones:
Coste de capital (k) = 10 %
Tasa de reinversión (tr): 15%
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Resolución por el primer método:
VR EN EL MOMENTO 2 DE LA INVERSIÓN 1 = 10 x (1,10)-1 + 40 x (1,10)-2 = 42,14876
FLUJO DE CAJA DEL AÑO 2 = 20 + 42,14876 = 62,14876
Por tanto la INVERSIÓN 1, ahora será:
De tal forma que ahora si se pueden comparar ambas inversiones y ver cual es la
preferente:
VAN Inversión 1 = -100 + 50 x (1,10)-1 + 62,14876 x (1,10)-2 = -3,1828
VAN Inversión 2 = -100 + 60 x (1,10)-1 + 60 x (1,10)-2 = 4,1322
Clarísimamente la inversión 2 es mejor que la inversión 1, puesto que además de
tener un VAN superior, la inversión número 1 reporta pérdidas a quien realice dicho
proyecto.
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Resolución por el segundo método:
INVERSIÓN 1
50 x (1,15)3 + 20 x (1,15)2 + 10 x (1,15)1 + 40
INVERSIÓN 2
60 x (1,15)3 + 60 x (1,15)2
De tal forma que ahora si se pueden comparar ambas inversiones y ver cual es la
preferente:
VAN Inversión 1 = -100 + 153,99375 x (1,10)-4 = 5,1798
VAN Inversión 2 = -100 + 170,6025 x (1,10)-4 = 16,5238.
Al igual que en el caso anterior, la inversión 2 será preferible a la inversión 1
puesto que reporta beneficios mayores.
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3.4.b. Homogeneización de los costes iniciales: P1 = P2
En este caso, se tienen que homogeneizar las duraciones previamente.
Una vez los proyectos de inversión tienen un horizonte temporal común, la
homogeneización de los costes iniciales se realiza a través de la inversión diferencial o
complementaria.
Consiste en una nueva inversión, la cual es la diferencia entre los costes iniciales de
las dos inversiones (I2 – I1) durante el horizonte temporal común a los dos proyectos,
cuyo rendimiento será r0 (punto de corte entre I1 y I2 o tipo de descuento que convierte
las inversiones en equivalentes por uno u otro criterio).
La inversión diferencial o complementaria se sumara a la inversión con menor coste.
Ejemplo de aplicación de coste inicial:
INVERSIÓN DIFERENCIAL = 150 – 100 = 50
AL FINAL DEL DIAGRAMA TEMPORAL = 50 x (1,15)3 = 70,04375
SE AÑADIRÁ AL COSTE INICIAL DE LA INVERSIÓN CON MENOR COSTE,
POR TANTO LOS PROYECTOS QUEDARÁN DE LA SIGUIENTE MANERA Y
ASÍ SE PODRÁN COMPARAR ENTRE ELLOS:
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VAN Inversión 1 = -150 + 50 x (1,10)-1 + 30 x (1,10)-2 + 110,04375 x (1,10)-3 =
2,93
VAN Inversión 2 = -150 + 50 x (1,10)-1 + 60 x (1,10)-2 + 80 x (1,10)-3 = 51,52
Como se comprueba, la inversión 2 reporta unos beneficios mucho mayores que los
que ofrece la inversión 1.
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Para concluir, se realizará un ejemplo en el que se tendrá que realizar todo lo
analizado anteriormente en cuanto a homogeneizaciones.
Ejemplo de aplicación completo:
Una empresa deberá elegir de entre dos proyectos de inversión la que le reporte
un mayor valor.
tr = 15 % y k = 10 %.
En primer lugar hay que homogeneizar la duración de los proyectos, y
elegiremos la duración más larga puesto que se da la tr.
También habrá que homogeneizar el coste inicial de los proyectos a través de la
inversión diferencial.
Entonces:
INVERSIÓN DIFERENCIAL = 100 – 50 = 50
AL FINAL DEL DIAGRAMA TEMPORAL = 50 x (1,15)3 = 76,04375.
INVERSIÓN 1 = 50 x (1,15)2 + 30 x (1,15)1 + 40 = 140,625
INVERSIÓN 2 = 40 x (1,15)2 + 30 x (1,15)1 + 76,04375 = 163,44375.
25
Ambas inversiones quedarán de la siguiente manera:
Como se puede comprobar, ahora sí que ambas inversiones tienen el mismo
desembolso inicial y la misma duración.
Por tanto ya pueden compararse entre ambas de una manera consistente,
ofreciendo resultados lógicos y reales.
Se procede a calcularlos:
VAN inversión 1 = -100 + 140,625 / 1,103 = 5,653644
VAN inversión 2 = -100 + 163,44375 / 1,103 = 22,7977
Se puede ver como es mucho más ventajosa la inversión nº 2 (22,7977), puesto
que reporta un beneficio absoluto mayor que la inversión nº 1 (5,653644).
26
3.4.c. Criterio del índice de rentabilidad (IR)
Esta última opción permite ordenar, jerarquizar y también comparar diferentes
proyectos de inversión cuando éstos tienen diferentes costes iniciales, evitando así
realizar la homogeneización de costes iniciales o desembolsos iniciales.
Se jerarquiza por el valor (IR) y en su valoración, puede no coincidir con la jerarquía
del criterio del VAN.
El valor IR se obtiene por la siguiente expresión:
IR = VAN / -P0
Ejemplo de aplicación de IR:
INVERSIÓN 1 INVERSIÓN 2 INVERSIÓN 3 VAN k = 10 % 11,87 15,66 7,25
IR 0,1187 0,1044 0,145
Se puede observar cómo según el criterio del VAN la inversión más
conveniente sería la número 2. Cosa distinta a la realidad puesto que si se llevan a
cabo las inversiones número 1 y 3, ofrecen un mayor valor con el mismo
desembolso inicial.
En cambio, según la valoración del IR el orden de las inversiones es diferente.
Según este criterio y su orden de jerarquización es 3, 1 y 2.
Cuando se dan estos casos, conviene aplicar el criterio del IR puesto que es el
criterio que ofrece la ordenación correcta.
27
Con todo lo comentado en las líneas anteriores, se puede terminar diciendo que a
pesar de las diversas opiniones de los autores que analizan estos criterios, la mayoría
concluyen reafirmando la superioridad del criterio del valor actual neto (VAN) frente al
tanto o tasa de rendimiento interno (TIR).
La razón fundamental es que una empresa en todo caso intentará maximizar el VAN
en términos absolutos de sus inversiones y además, resulta que dicho criterio es aditivo
mientras que el TIR no lo es.
Es decir, si la empresa acepta dos proyectos de inversión cuyos VAN son 200.000 €
y 100.000 € y cuyos TIR son 10 % y 15 %, se puede decir que el valor de la empresa ha
aumentado en 300.000 €, pero no se puede decir que la rentabilidad es del 25 %.
De cualquier forma ambos criterios no son sustitutivos, sino complementarios y se
utilizan conjuntamente.
28
4. LA INCONSISTENCIA DEL CRITERIO DE LA TASA INTERNA DE
RENTABILIDAD (TIR)
Una vez vistos todos y cada uno de los anteriores apartados, se procede a analizar el
problema de inconsistencia en la valoración de inversiones, que en ocasiones un
inversor se pueda encontrar.
Para ello se propone analizar la relación existente entre el coste del capital invertido
en un determinado proyecto de inversión y la rentabilidad de éste cuando el criterio del
TIR se muestra inconsistente a la hora de encontrar una solución única y real.
La inconsistencia de dicho criterio viene dada cuando al resolver la ecuación del
TIR, se obtienen inversiones con varias tasas positivas de rendimiento interno o sin
ninguna tasa real.
En dicha situación, el criterio del TIR se muestra inconsistente debido a que los
resultados obtenidos no concuerdan con la lógica, con el concepto lógico del tipo de
interés.
Es decir, el precio de un determinado inmueble tiene que venir expresado por un
único valor real y no por varios valores, valores negativos, etc.
Por ejemplo, un determinado inmueble tendrá que valer 1000€ y no 1000€ y 5000€,
o bien 1000€ y no 1000€ y -2000€.
Que se dé esta situación se debe a lo que hemos estado analizando, y es que para
resolver el TIR se hace mediante una ecuación de grado “n” que puede ofrecer varias
soluciones, ya sean reales, negativas, nulas o imaginarias (varias positivas).
Cuando se obtienen varias tasas de retorno reales es cuando surge el problema de la
inconsistencia, que se da en las inversiones no simples y mixtas.
Un ejemplo aclaratorio sobre las “n” posibles soluciones que ofrece una inversión no
simple, sería el de la siguiente página.
Recordar que al ser una inversión no simple, se encuentra algún flujo de caja
negativo a lo largo de su vida, por lo que aparecerán varías soluciones positivas,
negativas o imaginarias, y por consiguiente el procedimiento no será válido.
29
Para tratar esta inconsistencia aparece el concepto de saldo de un proyecto de
inversión, que se verá a continuación.
4.1. Saldo de un proyecto de inversión
Partiendo de una línea temporal la cual refleja la duración de una inversión:
El saldo del proyecto de inversión vendrá dado por la siguiente expresión, y será lo
que ha obtenido la empresa del proyecto hasta ese momento.
Ej: Inversión de dos años, con un desembolso inicial de 2000€ y un flujo de caja de
15000€ en el primer año y de -15000€ en el segundo.
-2000 + 15000 x (1 + r) – 15000 x (1 + r)2 = 0 2r2 – 11r + 2
Solución: r = 5,3117 531,17 %
r = 0,1883 18,83 %
Como se puede comprobar son dos las tasas de rendimiento que podrían darse, lo cual
carece de sentido.
St (r) = -Po x (1+r)t + R1 x (1+r)t-1 + R2 x (1+r)t-2 + R3 x (1+r)t-3 + … + Rt
30
También pueden calcularse los saldos intermedios a través de la siguiente expresión:
Al igual que el saldo final del proyecto de inversión:
En cualquier caso este último valor podrá ser positivo, negativo o nulo:
o Si St(r) es positivo la rentabilidad obtenida hasta ese momento (t) es mayor que
(r), por tanto el proyecto genera un excedente económico.
En este caso la empresa está endeudada con el proyecto, o lo que es lo mismo, el
proyecto financia a la empresa.
o Si St(r) es negativo, por contra, significa que hasta ese momento (t) la
rentabilidad obtenida es menor que (r) y por lo tanto, el proyecto está endeudado
con la empresa, es decir, la empresa financia al proyecto.
El proyecto no genera suficientes fondos en el año (t) para recuperar la
inversión.
El proyecto genera un déficit económico.
o Y por último si St(r) = 0, la rentabilidad obtenida en el instante (t) coincide con
la esperada, que es lo que se debe cumplir siempre al final de la vida de la
inversión.
S2(r) = -Po x (1+r)2 + R1 x (1+r)2-1 + R2
St = 4(r) = -Po x (1+r)4 + R1 x (1+r)4-1 + R2 x (1+r)4-2 + R3 x (1+r)4-3 + R4
31
Una vez se entiende el concepto de saldo de un proyecto, se procede a analizar las
implicaciones que los saldos tienen en las inversiones puras y mixtas, así como las
relaciones existentes entre este tipo de inversiones con las simples y no simples.
4.2. Saldos en las inversiones puras y mixtas
Una vez vistos los saldos y lo que pueden expresar por sí solos, se verán
conjuntamente con los tipos de inversiones no simples, es decir, las puras y las mixtas.
o Una inversión pura se considera cuando todos los saldos de un proyecto,
calculados con la TIR del proyecto (r), son cero o negativos a lo largo de la vida
del proyecto.
o Por contra, una inversión será mixta cuando algún saldo a lo largo de la vida del
proyecto sea positivo, lo que implica que:
o El proyecto será en parte inversión y en parte financiación.
Inversión: Cuando la empresa tiene comprometidos fondos, es
decir, cuando la empresa aún no ha recuperado lo que ha
invertido.
En este caso el interés debe calcularse con (r).
Financiación: Cuando la empresa tiene un préstamo y necesita
financiación, el interés debe calcularse con (k).
o La aparición de la relación funcional comentada anteriormente.
La (r) y la (i) no son independientes entre sí, lo que repercute en que en
algunas inversiones mixtas existan múltiples tasas de retorno positivas o
ninguna tasa real.
32
4.3. Relaciones entre las inversiones simples y no simples con las puras y mixtas
Puede afirmarse que toda inversión simple es pura, pero no a la inversa.
De la misma manera puede afirmarse que toda inversión mixta es no simple pero no
viceversa, puesto que puede haber inversiones no simples que sean puras.
Por último, es de vital importancia conocer las diferencias entre las tasas (r) y (k)
para así, saber cuándo se puede aplicar una u otra.
4.4. Distinción entre (r) y (k o i) en un proyecto de inversión
Como se ha dicho, es de suma importancia la distinción entre:
(r) rentabilidad del proyecto.
(k) o (i) coste de capital.
Simplemente cuando una empresa tiene comprometidos fondos, es decir, realiza una
inversión, el saldo es negativo y el interés debe calcularse a la tasa (r).
En cambio cuando una empresa tiene un préstamo y necesita de financiación, debe
calcularse dicho interés a la tasa (k).
Este último caso se daría cuando el saldo es positivo.
NOTA ACLARATORIA:
Inversiones simples.
o Inversiones puras.
Inversiones no simples.
o Inversiones puras.
o Inversiones mixtas Darán lugar a la
inconsistencia.
33
Concluyendo:
o En el caso de una inversión pura, la empresa nunca estará endeudada con
el proyecto, lo que implica que (r) será independiente de (k) y por tanto,
no habrá problemas de inconsistencia y (r) será la rentabilidad del
proyecto de inversión.
o En cambio, cuando se trata de inversiones mixtas todo es más complejo
ya que requiere diferenciar entre periodos de inversión y periodos de
financiación.
A la hora de calcular los saldos del proyecto de una inversión mixta
habrá que calcularlos con (r) en los periodos de inversión y con (k) en los
periodos de financiación.
De tal forma que cuando la empresa financia al proyecto abona intereses
al tanto (r) de rentabilidad, pero cuando es el proyecto quien financia a la
empresa, la empresa abonará los intereses al tanto (k).
Debido a ello se establece una relación funcional, una relación de
dependencia entre (r) y (k).
Ejemplo de aplicación:
S0 (r,k) = -P0 < 0
S1 (r,k) = -P0 x (1+r) + R1
Si S1 (r,k) > 0 S2 (r,k) = [-P0 x (1+r) + R1] x (1+k) + R2
Si S1 (r,k) < 0 S2 (r,k) = [-P0 x (1+r) + R1] x (1+r) + R2
Se seguiría así sucesivamente hasta calcular el último saldo de la vida del proyecto.
Como se comprueba, la estructura de todos los saldos del proyecto viene determinada por
la cuantía del flujo negativo y su relación con los precedentes, positivos y negativos.
34
5. MÉTODOS PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS DE
INCONSISTENCIA
Como se ha visto anteriormente, el problema de la inconsistencia del método del TIR
vendrá dado en el caso de las inversiones no simples y mixtas.
Por tanto, cada método dedicado a la resolución de dicha inconsistencia, realizará
previamente los cálculos pertinentes para saber de qué tipo de inversión se trata.
5.1. Primer Método
Se utilizará siempre y cuando los cálculos para determinar la rentabilidad (r) no
sean demasiado complejos.
Pasos:
Hallar los valores de (r) que anularán la ecuación del TIR, los que
hagan cero el VAN.
Se sustituyen los valores hallados en los saldos de la inversión con el fin
de saber si se trata de una inversión pura o mixta.
En el caso de que todos los saldos sean negativos o cero se tratará de
una inversión pura, y por lo tanto la (r) calculada será la rentabilidad
del proyecto.
En el caso de que algún saldo sea positivo se tratará de una ecuación
mixta y habrá que proseguir.
En el caso de que sea mixta se calcula el último saldo del proyecto de
inversión en función de (r) y de (k), y se iguala a cero.
Así se obtiene la relación funcional, es decir, la ecuación que relaciona
la rentabilidad con el coste de capital.
35
5.2. Segundo Método
Se utilizará siempre y cuando los cálculos pertinentes para determinar (r) sean
excesivamente complejos.
Pasos:
Se utiliza el Método del rmin, el cual consiste en:
o Se eleva el valor de (r) a un valor crítico a partir del cual todos
los saldos del proyecto serán negativos. Dicho valor de (r) será
el denominado rmin.
o Una vez calculados todos los rmin, se escoge el mayor de ellos.
Con este valor se calcula el saldo final, el St(rmin) para
determinar si se trata de una inversión mixta o pura.
En el caso de St(rmin) sea mayor o igual que cero, se
cumple que r > rmin o que r = rmin respectivamente, y por
tanto se trataría de una inversión pura.
También indica que no hay relación de dependencia entre
(r) y (k) y que el valor hallado en la ecuación del TIR se
trataría de la rentabilidad del proyecto.
En cambio cuando Sn(rmin) sea menor que cero, la
inversión es mixta. En este caso se cumple que r < rmin.
En este caso se irán calculando los saldos del proyecto en
función de (r) o (k) según sean saldos negativos o
positivos, hasta llegar al saldo final, el cual se igualará a
cero obteniendo la relación funcional entre (r) y (k).
El procedimiento a seguir será el del ejemplo de
aplicación visto en la página 33.
36
En ambos métodos o logaritmos, para comprobar si conviene o no llevar a cabo la
inversión:
Una vez hallada la relación funcional se representa gráficamente, para
poder comprobar para que valores de (k), r > k y r < k y así poder analizar
visualmente si interesa llevar a cabo o no el proyecto de inversión.
Otra opción es sustituir (k) en la relación funcional y despejar (r).
Si el valor que se obtenga es mayor que (k) se acepta el proyecto de inversión
y en el caso de que sea menor que (k), se rechaza.
Gráficamente:
NOTA ACLARATORIA:
Inversión Pura:
o Cuando todos los St(r) ≤ 0, para t = 0,1, 2, ………. y t.
o Cuando St(rmin) ≥ 0.
Inversión Mixta:
o Cuando algún St(r) sea > 0 para t = 0,1, 2, ………. y t.
o Cuando St(rmin) < 0.
37
5.3. La tasa interna de rentabilidad modificada (TIRm)
Por último citar un último método que también sirve para solventar los problemas de
inconsistencia en las inversiones no simples y mixtas. Es el método de la tasa interna de
rentabilidad modificada (TIRm).
Mediante este método se consigue solucionar el problema de las soluciones
múltiples, como se verá a continuación, sin embargo no soluciona la dependencia
existente entre la rentabilidad de la empresa (r) y el coste de capital (k).
Esta es una de las razones por la que los otros métodos son más fiables y utilizados
que el que se va a comentar.
Consiste en descontar los flujos de caja negativos, que son los que van a ocasionar la
existencia de múltiples soluciones de TIR, al coste de capital de la empresa (k), de tal
forma que los flujos negativos sean absorbidos por los positivos, consiguiendo así pasar
de una inversión no simple a una simple.
Es por el funcionamiento de éste método el que no se elimine la dependencia de (r) y
(k) comentada anteriormente, es por la actualización que se hace de los flujos negativos
al tanto (k).
38
Ejemplo de aplicación del método del TIR modificado (k = 10%):
A priori podría tratarse de una inversión no simple por la existencia de
más de un cambio de signo (exactamente dos) y mixta por la presencia de un flujo
negativo en el tramo final del diagrama temporal del proyecto.
Para confirmarlo, se procede a lo siguiente:
TIR = -100 + 500 x (1+r)-1 – 437,5 x (1+r)-2 = 0
r = 0,1307 = 13,07 % y r = 2,8693 = 286,93 %
Como se puede comprobar son dos las tasas de rendimiento que podrían
darse, lo cual carece de sentido y crearía la inconsistencia del proyecto.
Para solucionarlo mediante el método TIRm, descontamos el flujo
negativo al coste de capital de la empresa, en este caso k = 10%.
De tal forma que:
-437,5 x (1,10)-1 = -397,273
39
Este flujo lo absorberá el flujo positivo del año 1, así que la inversión quedará del
siguiente modo:
TIR = -100 + 102,727 x (1+r)-1 = 0
r = 0,02727 = 2,727 %
Como se comprueba ahora solamente existe una única tasa, la cual será la
rentabilidad del proyecto.
Una vez conocida la rentabilidad del proyecto, si se compara con el coste del
capital tal y como se ha analizado en el presento proyecto, se podrá saber si el proyecto es
aceptable o no para la empresa que la pretende realizar.
Se ve claramente que r < i 2,727% < 10%, por lo tanto no interesará realizar
dicha inversión, puesto que el proyecto no enriquecerá a la empresa ya que el VAN es
negativo (VAN < 0).
VAN = -100 + 500 x (1,10)-1 – 437,5 x (1,10)-2 = -6,6116 u.m.
40
6. CONCLUSIONES
Las conclusiones acerca del presente trabajo se verán a través de la resolución de dos
inversiones, las cuales podría llevar una empresa en la vida real.
Y es que a parte de todas las notas aclaratorias expuestas a lo largo del texto, las
cuales resumen o citan lo más relevante a la hora de recordar para saber si un proyecto
de inversión va a ser viable o no, la mejor forma de demostrar que todo lo que se ha ido
analizando es útil para un inversor o un gerente en la vida real, es a través de situaciones
con las que tendría que lidiar.
De esta manera conocerá previamente si la inversión le reportara beneficios, pérdidas
o no le aportará nada y será indiferente llevarla o no a cabo.
Los ejemplos que se analizarán serán los siguientes:
6.1. Ejemplo 1
k = 10 %
CÁLCULO DEL DESEMBOLSO INICIAL
Para organizar torneos de mus en un local durante dos años se requiere una inversión
de:
o Elementos de ornamentación 1.000 €.
o Equipo de aire acondicionado 3.000 Euros.
o Marcadores 1.000 €.
En total se requiere una INVERSIÓN de 5.000 €, la cual se amortizará en los dos
años que durarán los torneos de forma lineal.
41
CÁLCULO DE LOS FLUJOS NETOS DE CAJA
DIAGRAMA TEMPORAL
42
SOLUCIÓN
Puesto que se trata de una inversión:
o Cuyos cálculos para hallar su rentabilidad son relativamente
sencillos.
o Además, al obtener las soluciones de la ecuación se obtienen
soluciones reales.
5000 = 9300 / (1 + r) – 3800 / (1 + r)2 r = -0,39388 y 0,25388
o A priori, se trata de una inversión no simple puesto que en los flujos
intermedios de caja se producen dos cambios de signo.
Se estudiará por el primer método si el proyecto es puro o mixto.
Según este método, una vez hallados los valores de (r) que anulan la ecuación
del TIR, se sustituyen en los saldos a fin de saber si se trata de una inversión no
simple pura o mixta.
S0 (r = -0,39388) = -5000 < 0
S1 (r = -0,39388) = -5000 x (1 – 0,39388) + 9300 = 6269,4 > 0
Como se ve queda un saldo positivo, lo que implica que se trata de una inversión
mixta.
Al tratarse de este tipo de inversión, lo que se hace es calcular el último saldo
del proyecto en función de (r) y (k), igualándolo a cero para así obtener la relación
funcional.
Se procede a su cálculo:
Como S2 > 0 S3 (r,k) = [-5000 x (1 + r) + 9300] x (1 + k) – 3800 = 0
Despejando se obtiene la siguiente Relación Funcional:
r = (43k + 5) / (50k + 50)
43
Sustituyendo el valor de (k) se podrá saber si la inversión debería llevarse a
cabo o no. En el caso de que r > k la inversión se llevará a cabo y si r < k no se
realizará, se rechazará.
Por tanto como k = 0,10 < r = 0,16909 Se acepta y se llevará a cabo este
proyecto de inversión.
A la misma conclusión se llegaría si se representara gráficamente la Relación
Funcional:
r = k = -0,39388
r = k = 0,25388
k = 0 r = 0,1
r = 0 k = -0,1163
k ∞ r = 0,86
r ∞ k = -1
44
En el gráfico se observa que el proyecto sólo se llevará a cabo cuando k = 10 %
y estuviese comprendido entre los valores -0,39388 y 0,25388, puesto que en dicho
tramo r > k. En el resto de casos, r < k y el proyecto se rechazará.
6.2. Ejemplo 2
k = 10 %
CÁLCULO DEL DESEMBOLSO INICIAL
Para remodelar un club de tenis se requiere una inversión de:
o Montaje de las pistas 4.000 €.
o Acondicionamiento del Parking 2.000 €.
o Construcciones 5.000 €.
o Mobiliario 3.000 Euros.
o Material deportivo 1.000 Euros.
En total se requiere una INVERSIÓN de 15.000 €, la cual se pretende amortizar en
un total de 15 años de forma lineal. Al término del tercer año, este proyecto se
traspasará por su valor neto contable (VNC).
45
CÁLCULO DE LOS FLUJOS NETOS DE CAJA
DIAGRAMA TEMPORAL
46
SOLUCIÓN
Como se trata de una inversión:
o En principio se trata de una inversión no simple, puesto que en los
flujos intermedios de caja se producen dos cambios de signo.
o Los cálculos pertinentes para obtener las soluciones de la ecuación
del TIR se hacen de extrema complejidad, al igual que para su
representación gráfica.
Se estudiará por el segundo método si el proyecto es puro o mixto.
Como se dijo en líneas anteriores para dicho método, se calcularán los rmin que
anulan los saldos intermedios y se escogerá el mayor de ellos. Con este valor, se
calculará St(rmin) para determinar si se trata de una inversión pura o mixta.
Se procede a su cálculo:
S1 = - 15000 x (1 + rmin) + 20000 = 0 rmin = 0,20
S2 = - 15000 x (1 + rmin)2 + 20000 x (1 + rmin) + 20000 = 0 =
= -15rmin2 – 10rmin + 25 = 0 rmin = -1,67 y rmin = 1
Como hay varios rmin se escogerá el de mayor valor, es decir, rmin = 1 y se
sustituirá en S3(rmin) para comprobar de qué tipo de inversión se trata.
S3 = -15000 x (1 + 1)3 + 20000 x (1 + 1)2 + 20000 x (1 + 1) – 5000 = -5000
Se trata de una inversión mixta, puesto que St(rmin) es menor que cero.
Una vez se sabe que se trata de una inversión no simple y mixta, se procede al
cálculo de los saldos del proyecto a acometer en función de (r) o (k).
47
S0 (r,k) = -15000 < 0
S1 (r,k) = -15000 x (1 + r) + 20000
No se sabe si es positivo o negativo, por tanto se tienen que suponer dos
opciones:
o Si S1 (r,k) > 0 S2 (r,k) = [-15000 x (1 + r) + 20000] x (1 + k) + 20000 > 0,
puesto que al saldo S1 que hemos supuesto positivo, se le suma un flujo positivo.
S3 (r,k) = [[-15000 x (1 + r) + 20000] x (1 + k) + 20000] x (1 + k) – 5000 = 0
Despejando de esta última ecuación se obtiene la Relación Funcional, la cual es
la siguiente:
o Si S1 (r,k) < 0 S2 (r,k) = [-15000 x (1 + r) + 20000] x (1 + r) + 20000 puede
ser mayor o menor que cero. Hay que descartar la idea de que S2 sea menor que cero, puesto que de ser así se
trataría de una inversión pura y no mixta, y se ha demostrado que se trata de una
mixta.
Entonces como S2 (r,k) > 0, S3(r,k) = [[-15000 x (1 + r) + 20000] x (1 + r) +
20000] x (1 + k) – 5000 = 0
Despejando en esta ecuación, como en el caso anterior, obtendremos otra
Relación Funcional:
Se obtienen dos relaciones funcionales, en las cuales vamos a estudiar si esta
inversión se puede llevar a cabo.
r = (k2 + 6k + 4) / (3 x (1 + k)2)
k = (3r2 +2r -4) / (-3r2 -2r +5)
48
En caso de que r > k, la inversión se llevará a cabo y si r < k no se realizará, se
rechazará.
Sustituyendo en la 1º Relación Funcional se obtiene:
k = 0,10 < r = 1,27 Se acepta y se llevará a cabo este proyecto.
Sustituyendo en la 2º Relación Funcional se obtiene
k = 0 y r = Soluciones imaginarias.
Debido a que en la 2º Relación Funcional salen soluciones imaginarias, no se
tiene en cuenta y sí la verdadera y real solución que proporciona la 1º Relación
Funcional.
Por tanto, este proyecto debería llevarse a cabo puesto que reportará beneficios.
Como se ha comprobado en ambos ejemplos, las herramientas proporcionadas en el
presente trabajo son de vital importancia para un inversor, puesto que le proporcionan la
información suficiente para saber si llevar a cabo un determinado proyecto de inversión o
no.
Además dados los tiempos de crisis que hoy en día nos acontecen, aún más se acentúa
la importancia de realizar estos cálculos previos a la realización de una inversión, con el
fin de minimizar gastos o no incurrir en pérdidas.
49
7. BIBLIOGRAFÍA
PROF. YOLANDA BLANSCO TOMÁS (2008): “Manual de Dirección
Financiera I. Inversiones”, Universidad de La Rioja, Servicio de Publicaciones.
J.JOSE DURÁN (1992): “Economía y dirección financiera de la empresa, La
elección de inversiones”, Pirámide.
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de la empresa”, Pirámide.
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Pirámide.
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Estudios Financieros.
JUAN CARLOS GÓMEZ SALA (2012): “Dirección Financiera I: finanzas”,
Editorial Club Universitario.
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Empresa, La elección de Inversiones”, Universidad autónoma de
Madrid.
o VALENTÍN AZOFRA PALENZUELA y ALBERTO DE MIGUEL
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interna de rendimiento y una propuesta de solución”.
o UNIVERSIDAD DE VALLADOLID: “Anexo Tema 2: Dirección
Financiera, Grado en Administración y Dirección de Empresas”.
