Societat Catalana de Matematiques

President: Sebastia Xambo DescampsVicepres.: Anna Pol MasjoanTresorer: Xavier Martınez-AlbenizSecretaria: Anna Rıo DovalVocals: Claudi Aguade Bruix

Carles CurrsJosep Grane Manlleu

Xavier MassanedaAgustı Reventos Tarrida

Frederic Utzet CivitPelegrı Viader Canals

Xavier Vilella MiroDelegatde l’IEC: Joan Girbau i Bado

Comunicacions:

Carrer del Carme, 4708001 BarcelonaTel.: 932 701 620Fax: 932 701 180A/e: scm@iec.es

Secretaria: Nuria FusterTel.: 933 248 583 de 10 a 17 h

SCM/NotıciesDesembre 2001. Numero 16

Edita:Societat Catalana de Matematiques(filial de l’Institut d’Estudis Catalans)

Editor en cap:Agustı Reventos Tarrida

agusti@mat.uab.es

Comite de Redaccio:Sebastia Xambo Descamps

Antoni Goma NasarreJosep Grane Manlleu

Carles Casacuberta Verges

Disseny:Teresa Sabater

Compost en LATEX: Maria Julia

Foto de portada:

Griselda Pascual i Xufre

Diposit Legal: B. 7975-2002

Index

Report de la Junta 1

Editorial 2

In memoriam: Griselda Pascual 2

Articles: Art i Matematica 8Presentacio 8La matematica en la pintura de Salvador Alibau 10Relacions entre l’art i la matematica 12Nombres, equacions, vida 17Matemartica 18

Internacional 22Llibre d’actes del 3ecm 22Llibre de les taules rodones del 3ecm 23Casa editorial de l’EMS 24Quart Congres Europeu de Matematiques 24

Premis i concursos 24El Premi Abel 24El Cangur i altres activitats 25XVIII Olimpıada Matematica: fase catalana 26

Noticiari 27

Reunio de Degans i Directors de Matematiques 28

Agenda 30ACM 2002 30Dia Escolar de les Matematiques 30Cursos i congressos que organitza el CRM 31

Llibres 32An introduction to difference equations 32Stamping through mathematics 33Chance rules 34Introduction to cryptography 36

Problemes 37Problemes proposats 37Solucions 38

Tesis 40

Report de la Junta

Hem de comencar aquest report amb la tristanotıcia de la mort de Griselda Pascual. A ellaadrecem un record emocionat en aquest numerode SCM/Notıcies i tambe se li ha dedicat l’edi-cio d’enguany de la publicacio de preparacio pera l’Olimpıada Matematica, que ella va ajudar aneixer i a creixer.

Tambe el professor Lluıs Antoni Santalo iSors, soci d’honor de la Societat, va morir elmes de novembre passat. En el proper Notıciesmirarem de publicar una semblanca de la sevavida.

D’altra banda el curs ha comencat ambforca i vam tenir l’honor que la conferenciainaugural la pronuncies el professor RolfJeltsch, ETH de Zuric, president de la So-cietat Matematica Europea (EMS). La visi-ta es va aprofitar perque el professor Jeltschpogues coneixer in situ la vitalitat actual dela comunitat matematica catalana. Tambe enaquest camp de les relacions internacionals vo-lem informar-vos del suport que la SCM dona ala candidatura d’Espanya per al proper CongresInternacional de l’IMU (ICM2006). De fet, lanostra Societat ha ajudat institucionalment elcomite espanyol de l’IMU, en el qual la SCMte dos dels vuit membres, fent la traduccio al’angles del dossier de presentacio que s’utilit-zara d’ara endavant per promoure la candida-tura fins que l’Assemblea General de l’IMU aXangai, l’estiu de 2002, no confirmi la recoma-nacio.

A part de l’acte inaugural, la SCM i laFEEMCAT van organitzar, conjuntament, unajornada matematica en que es van tractar dostemes ben interessants: al matı, el paper de lamatematica aplicada a Europa i la seva inte-gracio en l’EMS i, a la tarda, les competenciesbasiques de l’ensenyament matematic a la se-cundaria. Com a activitats de la Societat perals propers mesos esta previst fer l’AssembleaAnual el 22 de gener, seguida, en tant que siguipossible, d’una conferencia de Montserrat Alsi-na (Premi Josep Teixidor 2001), un curs d’as-tronomia i la V Trobada Matematica, el dia 15de marc, probablement a Tarragona. Aneu re-servant les dates!

Finalment, conve comentar les activitatsdestinades a alumnes de secundaria.

• Quan rebeu aquest butlletı ja s’haura cele-brat la fase catalana de la XVIII OlimpıadaMatematica, de la qual procurarem donarnotıcia a les pagines interiors. La Junta dela SCM veu amb preocupacio el descens delnombre de participants i es ben conscient queesta lligat amb la tematica que es tracta enel darrer paragraf d’aquest report. Agrairemmolt tots els suggeriments que ens pugueu ferarribar per tal de canviar aquesta tendencia.

• El Cangur-2002 tambe esta en marxa i haacabat el perıode d’inscripcio. Tambe en femressenya en pagines interiors. Conve comen-tar la preocupacio que representa per a la co-missio la data europea fixada: el 21 de marc.Tanmateix, despres d’un llarg debat i de sos-pesar els pros i els contres d’un possible can-vi, es va decidir mantenir-la. Alhora s’avancacap a una col.laboracio amb la Comunitat Va-lenciana i la de les Illes Balears per a un Can-gur conjunt.

• Com a novetat d’aquest any s’ha organitzatun concurs de cartells per al Cangur-2002amb forca exit de participacio i s’ha conti-nuat desenvolupant el concurs telematic i col-lectiu Relleus-2002, que es comenta en aquestNotıcies.

• Els dies 14 i 15 de desembre es va celebrar laOlimpıada amb una participacio d’una cin-quantena d’estudiants.

No podem acabar aquest report sense fer-nos resso de la preocupacio que ens han fet ar-ribar molts membres de la SCM pel que fa ales propostes del Departament d’Ensenyamentenvers les hores de matematiques i els currıculaper a l’ESO i el batxillerat a partir del curs2002-2003. Hem demanat una entrevista amb eldirector general d’Ordenacio i Innovacio Educa-tiva i us tindrem informats del resultat de lesgestions, que esperem que puguin tenir mes exitque altres que hem fet en el passat amb la ma-teixa finalitat.

Antoni GomaArea de Formacio i Experiencies (SGTI)

1

Editorial

Apreciats socis: Agraeixo en nom de tots els col-laboradors del Notıcies les felicitacions que hemrebut pel nou format de la revista. La SCM esvol regir per criteris de qualitat tant en el fonscom en la forma. El disseny de la coberta esobra de Teresa Sabater i l’adaptacio del LATEXa la manera de fer dels impressors es de Jo-

an Torregrosa. I continuant amb els agraımentsno oblidem la persona que mes s’hi ha dedicat,na Maria Julia, veritable artıfex del Notıcies.Agraım tambe a Toni Escola, de l’IEC, l’esforcesmercat en el proces de canvi.

Aprofito en nom propi per disculpar-me perl’endarreriment en algun numero del Notıcies.

In memoriam

En el numero 15 del Notıcies vam fer una curta ressenya del traspas de la nostra companya GriseldaPascual i Xufre. En aquest numero publiquem els escrits que ens han arribat dels seus amics,companys de feina i antics alumnes. A tots ells agraım la seva col.laboracio.

En record de la professora Griselda Pascual

Jo tenia uns set anys quan vaig sentir parlarde la Griselda Pascual per primera vegada. ≪ElJulio Pascual te una filla que es un fenomen≫,comentava el pare. Antics companys d’estudisal Conservatori del Liceu, el pare de la Griseldai el meu coincidien sovint tocant el violı als ofi-cis de l’esglesia de La Concepcio. En arribar elsermo i sortir a ≪fer un cigarret≫, en Julio ex-plicava, cofoi, que tenia una filla matematica.Als anys cinquanta era quelcom extraordinaritenir una matematica a la famılia.

La infantesa de la Griselda i de la seva ger-mana va transcorrer en un ambient cultural ric,a l’entorn del seu pare, pintor i music, i de duesties seves, mestres. Als setze anys, la Griseldahavia cursat el batxillerat i aprovat l’examend’Estat. Per a aquesta prova —equivalent a laselectivitat— hague de sol.licitar permıs al mi-nistre, perque no tenia l’edat reglamentaria perpresentar-s’hi. Aquell estiu s’examina de totesles assignatures del magisteri, amb la qual cosa,en comencar els estudis universitaris posseıa jael tıtol de mestra. Als vint anys era llicenciadaen ciencies per la Seccio de Matematiques i ob-tenia el seu primer contracte a la Universitat deBarcelona, com a professora ajudant de classespractiques. La seva dedicacio a la universitatfou constant al llarg de tota la vida i realitza-

da de manera simultania amb tasques que totseguit recordare.

Als vint-i-quatre anys, la Griselda Pascu-al guanya per oposicio la Catedra de Ma-tematiques de l’Institut de Tortosa i sis mesosdespres obtenia, tambe per oposicio, la Catedrade Matematiques de l’Institut Maragall de Bar-celona. En aquella epoca era difıcil accedir auna Catedra, ates que la ciutat de Barcelonacomptava solament amb mitja dotzena d’insti-tuts de secundaria. Avui, l’area metropolitanade Barcelona en te mes de cinquanta.

L’any 1956 vaig coneixer la senyoreta Pas-cual. Era una flamant catedratica d’institut queens dona la benvinguda al Maragall. ≪La pri-mera leccion que recibıs en este instituto esla de Matematicas.≫ Era una professora excel-lent. Les seves classes teoriques, sovint d’unahora, eren impecables. A les classes practiquesresolıem centenars de problemes. La materiaera presentada de manera tan natural i vi-va que tenıem la impressio de descobrir-la iinventar-la conjuntament. Amb ella aprenıem aescoltar, pensar, llegir i escriure matematiques:conjunts, grups, nombres reals (construıts mit-jancant successions de Cauchy), calcul infini-tesimal, construccions amb regle i compas, elteorema de Fermat —un problema que ningu

2

sabia resoldre. Quan ella parlava, el silenci deles seixanta alumnes de l’aula era absolut.

El 1958, gracies a una beca del Consell Su-perior d’Investigacions Cientıfiques i a una be-ca Humboldt, feu una estada d’un any a Ale-manya. A la Universitat de Friburg estudiaalgebra, geometria i inicia un tema de recer-ca sobre mosaics del pla euclidia i del pla hi-perbolic. En tornar, ens explicava que al bellmig de la Selva Negra s’hi trobava l’Institutd’Oberwolfach, un lloc on s’hi reunien els ma-tematics ≪per fer teoremes≫. Les esposes delsmatematics tenien cura de la intendencia i cui-naven cada dia uns pastissos bonıssims. (Moltsanys despres, quan vaig visitar Oberwolfach,ja no eren les esposes dels matematics les en-carregades de la cuina, pero vaig constatar lapersistencia del pastıs diari, servit amb el cafe,abans del treball de la tarda.)

El seu retorn coincidı amb el perıode d’im-plantacio de la matematica moderna. Al llargdels anys seixanta, la Griselda prengue part ennombroses comissions i seminaris dedicats a lareforma dels estudis de matematiques. Aquestscanvis tingueren un resso molt important en lasocietat. Famılies, professorat i autoritats cla-maven contra la matematica moderna: no teniafutur, el seu ensenyament era contraproduent,minvava la capacitat de calcul i els alumnes sus-pendrien molt mes. La Griselda defensava quel’important era saber raonar, perque els calculsun dia els farien les maquines (val a dir que ami aixo de les ≪maquines≫ em tenia ben intri-gada).

Del 1965 al 1968 va ser directora de l’Insti-tut Maragall. La seva gestio coincidı amb l’es-trena del nou edifici de l’institut; la tasca re-sulta complexa. A la mateixa epoca, realitzala traduccio al castella de cinc textos universi-taris de matematiques. Un d’aquests es el po-pular Introduccion al algebra conmutativa deM. Atiyah i I. G. MacDonald.

Durant el curs 1969–1970 vaig tornar a coin-cidir amb ella, aquest cop a la Universitat deBarcelona, en ocasio d’un curs de doctorat titu-lat Metodos modernos en teorıa de numeros queimpartı el doctor Enrique Lines, just abans delseu trasllat a Madrid. El seminari fou engres-cador i, en acabar, decidırem estudiar juntes.Els anys seguents varen ser per a mi il.lumina-dors. Al seu costat, i gracies a la seva constanciaposada a prova en moltes tardes d’estudi, vaig

anar copsant la bellesa —i la dificultat— de lateoria de nombres.

El dia 1 d’abril de l’any 1975 la Griselda esdoctora en matematiques. La tesi, dedicada al’estudi de l’existencia de bases normals en cos-sos de nombres diedrals, reprenia un problemaque es remuntava a Emmy Noether. La lıniade recerca corresponent havia estat actualitza-da en la tesi doctoral de Jacques Martinet, pocsanys abans. Avui, continua essent tractada permatematics francesos i per matematics anglesosde l’escola d’Albert Frohlich, principalment.

En arribar a aquest punt, vull fer notar quela doctora Pascual realitzava la seva recercasense interrompre ni les classes a l’institut niles classes a la universitat i enmig d’una situ-acio familiar que es feia mes i mes absorbent:el seu pare, les dues ties i la mare envelliren acasa seva, sota la seva cura.

Dels molts cursos que la doctora Pascualimpartı a la Universitat de Barcelona voldriadestacar el de teoria de nombres i el de didacticade la matematica. El curs de teoria de nombresfou perfilat al llarg dels anys i fou el causantde vocacions futures per a l’estudi d’aquestamateria. El curs de didactica permete a futurprofessorat d’institut beneficiar-se de la seva ex-periencia.

Despres del seu nomenament com a pro-fessora titular d’universitat amb dedicacio ex-clusiva, la Griselda realitza una feina remarca-ble dins del programa de doctorat del Depar-tament d’Algebra i Geometria i en el Seminaride Teoria de Nombres de Barcelona. En aquestperıode porta a terme la traduccio al catalade les Disquisitiones Arithmeticae de Carl Frie-drich Gauss, una obra que coneixia com pocs.

La doctora Pascual fou la primera dona quees jubila a la Facultat de Matematiques. La se-va darrera llico versa sobre l’obra de LeopoldKronecker. En els darrers temps, li agradavacentrar-se en la lectura dels classics: Kronecker,Abel i Jacobi, especialment.

Per la seva condicio pionera de dona ma-tematica, la Griselda Pascual obra moltes ve-gades sense models. En aquest sentit, li manca-ren exemples i contraexemples i, sovint, li cal-gue cercar sola les solucions. Les matematiquesque l’hem succeıda ho hem tingut mes facil per-que en ella trobarem una professora i una ami-ga amb qui compartir les nostres angoixes i lesnostres alegries.

3

La seva vida transcorregue entre la vocacioi el servei. De taranna segur i discret, el bon hu-mor no l’abandona mai. Ni tan sols quan la vaig

veure a la clınica per darrera vegada i, quan jame n’anava, em demana amb un somriure queli retornes ≪el Jacobi≫ a la biblioteca.

Pilar BayerUB

Etapa al Maragall

Amb motiu de la mort de la Griselda Pascual,se’m van demanar unes paraules en record seu,centrades en el seu pas per l’institut de batxi-llerat Maragall, on vam coincidir alguns anysen el seu Seminari de Matematiques.

De l’Institut Maragall la Griselda ho fou tot:alumna, catedratica, cap del Seminari de Ma-tematiques i, en el transcurs de mes de trentaanys, ocupa gaire be tots els carrecs directius,inclosos tres anys de directora, precisament enel temps de renovacio de l’edifici. I sempre i total nivell mes alt d’eficacia, generositat i sim-patia com confirma tothom que la va coneixeri amb qui he parlat. Antigues alumnes, de di-verses generacions coincideixen a destacar-ne elnivell de preparacio cientıfica, la professionali-tat i el domini de la classe en tot moment.

Mirant les actes de les reunions de junta delSeminari de Matematiques i el dossier de se-tanta anys de l’Institut Maragall (1929–1999),podem seguir-ne un rastre altament positiu entotes les activitats que hi porta a terme, tantcom a col.laboradora dels senyors Gironza i Oli-veres en les seves respectives etapes de caps delSeminari, com quan li va correspondre a ella, endues ocasions (1965–1968 i 1973–1985), tenir-nela maxima responsabilitat.

No oblidem que aquests anys d’activitatprofessional de la Griselda han coincidit ambcanvis de plans d’estudis i de diverses orienta-cions en l’estudi de la matematica en l’ensenya-ment secundari, amb la introduccio de la ma-tematica moderna a tots els nivells, els mitjansaudiovisuals i la informatica. En tots aquestsambits va intervenir i destacar. Als anys sei-xanta, quan tot estava encara molt centralitzat,va participar en reunions de catedratics de Ma-tematiques a Madrid i a Salamanca convocatspel Centro de Orientacion Didactica, algunesvegades en epoca de vacances, tant d’estiu comde Nadal. Abans i despres, a les reunions de Se-minari de l’Institut, s’hi estudiaven propostes is’hi discutien tendencies.

Una altra de les seves preocupacions fou laformacio del professorat: la del que tenia a prop,professors interins del Seminari pendents d’o-posicions, i del que li venia de l’ICE per fer lespractiques del segon cicle del CAP. Les actes enparlen i en vaig ser testimoni personal.

En fer aquesta ultima afirmacio m’adonoque quasi tot el que he escrit fins ara ho podriahaver subscrit qualsevol altre que, sense haver-la coneguda, hagues tingut acces a les mateixesfonts. Pero no es aquest el cas. La vaig coneixer,i des de fa molts anys, intervals, la Griselda haestat un referent professional i personal en lameva vida. Em permeteu que us en parli?

Vaig coneixer la Griselda l’any 1948 a laUniversitat, ella ja llicenciada i professora depractiques de geometria, jo acabat d’arribaren aquella casa per iniciar la carrera. Lesmatematiques no tenien encara facultat; erennomes una de les seccions de la Facultat deCiencies i compartıem pati amb fısica, quımica,ciencies naturals i els aspirants a l’ingres d’ar-quitectura. Els de matematiques, professors iestudiants, erem tan pocs que tots ens co-neixıem. Em va ajudar alguna vegada facilitant-me alguna classe particular per subsistir entemps particularment difıcils per a mi, i jallicenciat la vaig substituir en una classe al’Institut, part del curs 1958–1959, quan vatraslladar-se per estudis a la Universitat de Fri-burg a Alemanya. Al curs seguent vaig entraral nocturn masculı del Maragall com a interıproposat per ella.

Un altre moment de trobada, uns anys mestard, va ser a consequencia del CAP esdevingutobligatori per als que ens dedicavem a l’ense-nyament privat. Una de les activitats progra-mades em va posar en contacte amb els pio-ners de l’aplicacio de la informatica a l’ense-nyament: els Garcıa-Ramos, Torra, Casulleres,Boadas, etc., etc. amb el llenguatge 7013/IQS.Amb altres companys ens hi vam involucrarmoltıssim i en les practiques del segon cicle que

4

ens van correspondre al Maragall, amb la Gri-selda, la hi vam involucrar tambe i vam col-laborar-hi moltıssim. Era un llenguatge moltprimitiu, pero accessible als escolars, amb ins-truccions en castella, que permetia programar i,per tant, haver de coneixer previament i a fonsels problemes que volien resoldre. Un inconveni-ent era l’ingent treball de perforacio de targetescom a unic mitja d’introduccio de programes idades a la unitat central. Un altre, l’escassetatde maquines accessibles, reduıdes, em sembla,a les del Centre de Calcul de la Universitat i del’Institut Quımic de Sarria, cosa que allarga-va considerablement el temps entre programa-cio i resultats, temps que errors insignificantsi correccions posteriors podien encara allargarmes. Pero vam aconseguir l’ideal d’interessar-hitambe molts alumnes i acostar-los a un ambi-ent aparentment tan llunya, com era en aquellsanys la informatica.

Despres, l’any 1977, i a partir de les prime-res oposicions a agregats d’institut celebradesa Barcelona, vaig anar a parar al Maragall, onvaig retrobar la Griselda. La informatica haviaanat evolucionant, el 7013 havia esdevingut uncamı sense sortida. Eren ja altres temps. Ha-via arribat el temps de les calculadores de but-xaca, de les cientıfiques, de les programables,de les classes especialitzades d’informatica, almarge de les de matematiques, dins una eatp,dels primers ordinadors personals: el sinclair,l’spectrum, encara amb la pantalla d’una tele-visio convencional per monitor, i el basic com allenguatge de programacio, fins arribar als pri-mers pc d’ibm i a l’Aula d’Informatica. Natu-ralment, tot aixo no va anar caient del cel. Erael fruit d’haver-hi posat molta il.lusio, molt detreball de molta gent i per part nostra, mol-ta col.laboracio de tot el seminari i per damunt

de tot l’estımul i la companyia de la Griseldamentre va ser a l’Institut.

Perque resulta que un dia, despres de moltsanys de compartir docencia entre l’Institut i laUniversitat, va haver de triar. L’Administracioli concedia la idoneıtat per ser professora titu-lar d’universitat, pero li exigia un sol lloc detreball. Naturalment, va escollir la Facultat irecordo que en les paraules que en nom propi idel Seminari li vaig adrecar en l’apat de comi-at, li retreia el problema que ens plantejava deno saber si alegrar-nos d’aquella idoneıtat con-cedida o entristir-nos per la separacio. Ho com-parava amb el perfum i les punxes d’una rosa iamb la joia i el dolor d’un infantament. I final-ment, com tantes vegades fem els matematicsquan un problema no ens surt a la pissarra, hodeixava com a deure per fer-lo cadascu a casaseva.

Aixo era l’any 1985, i vam deixar de veu-re’ns tan frequentment. Pero vam continuarveient-nos esporadicament en alguna celebraciode l’institut, en la seva jubilacio de la Univer-sitat, i tampoc no va faltar a la meva. En unsopar de comiat amb els membres del Semina-ri, em va dedicar un munt de belles paraulesrecordant la nostra vella amistat.

I, per ultim, un altre detall que no puc elu-dir. A part d’una palmera encara viva, per partdel Seminari i pel mateix motiu, l’unic ram deflors que jo hagi rebut mai a la vida, va serd’ella en l’avinentesa d’haver-me estat conceditdeterminat guardo.

Despres una altra vegada silenci, i del tot in-esperat per mi, l’impacte de la notıcia de la sevamort: una mort que, de sobte, havia fet callartanta intel.ligencia i paralitzat tant de dinamis-me. Ja no la veurem mes, pero els que l’hemconeguda i estimada no l’oblidarem mai.

Josep Ferret i Roca

Recordant la Griselda Pascual

Ara que la Griselda ens ha deixat, voldria tenirun record per a una amiga de molts anys quesempre recordare.

Griselda va dedicar la seva vida a les ma-tematiques i a l’ensenyament. Acabada la lli-cenciatura a la Universitat de Barcelona s’hiva quedar d’ajudant gratuıt i va fer classespractiques d’analisi i altres assignatures. Men-

trestant va anar preparant les oposicions aCatedra d’Institut i al cap de quatre anysd’haver-se llicenciat va guanyar la Catedra del’Institut de Tortosa, on va passar-hi nomes uncurs, despres del qual va anar a l’Institut Ma-ragall de Barcelona, on es va quedar fins que vaobtenir la placa d’ajudant de la Facultat de Ma-tematiques de Barcelona (mes de trenta anys).

5

A l’Institut Maragall es va entregar a l’ense-nyament de les matematiques a les noies (des-pres nois i noies) de deu a divuit anys. La sevalabor va ser molt fecunda com poden donar-netestimoni el gran nombre d’alumnes que s’handedicat a la ciencia que ella va estimar i els vaensenyar.

El secret del bon ensenyament que la Grisel-da va fer a l’institut crec que era consequenciade dues coses. La primera era que la Griselda es-timava les matematiques, i encara que de moltjove va tenir la placa a l’institut, mai va deixarel lligam amb la Universitat, on es va interes-sar per fer matematiques, va contribuir a moltsseminaris i va fer treballs originals.

La segona cosa es que la Griselda sempre vatenir un gran interes i preocupacio per ≪coms’havien d’explicar les matematiques≫. Aquestinteres la va portar a tenir contactes regularsamb els llocs on s’investigava la didactica de lesmatematiques (P. Abellanas a Madrid, Papy aBelgica, etc.) I la seva estada a la Universitatli feia possible seguir en contacte amb els nois inoies que sortien dels instituts que ella coneixiamolt be i li permetia comprovar els resultats del’ensenyament que havien rebut.

Aquest interes la va portar tambe a treba-llar en la formacio del professorat d’ensenya-ment mitja dins i fora de la Universitat.

En el poc temps que li deixava la seva dedi-cacio a l’ensenyament, d’una manera continua-

da i regular, va fer matematiques per a ella ipoc a poc es va doctorar, cosa que li va perme-tre d’entrar a la Universitat com a adjunt (des-pres es van convertir en professors titulars). Apartir d’aquest moment va deixar l’institut i esva dedicar de ple a la Universitat fins a la se-va jubilacio, despres de la qual va seguir ambel mateix interes per les matematiques, i a ellali devem la magnıfica traduccio al catala de lesDisquisitiones Arithmeticae de C. F. Gauss.

Tot aixo que fins aquı he dit no preten feruna biografia cientıfica de Griselda Pascual per-que m’he deixat moltes coses. El que sı vull dires que, malgrat la seva gran dedicacio a la feina,la Griselda abans de tot era una bona amiga.Jo la vaig coneixer a la seva tornada de Tor-tosa quan jo era a mitja llicenciatura i ella eraajudant de classes practiques, no la vaig tenirde professora i em sap greu. De mica en micacada vegada vaig tenir mes contacte amb ella,que ja era molt amiga de la que despres va serla meva dona. La vam visitar quan era a Fri-burg amb una beca Humboldt, vam anar juntsa Knorr (Belgica) i a moltes altres reunions dematematics. Era una persona amb la qual podi-es parlar de qualsevol tema i sempre en sortiesenriquit.

Per acabar nomes vull manifestar el meuconvenciment que la influencia de la GriseldaPascual entre tots els que l’hem coneguda i trac-tada es veura cada vegada mes clara.

Josep Vaquer

Seminari de Teoria de Nombres

Vaig coneixer la Griselda l’any 1975 quan, sentencara estudiant de la carrera, vaig assistir ala lectura de la seva tesi doctoral. Recordo queem varen impressionar la solemnitat amb quees captenien els membres del tribunal i la vita-litat i frescor de la Griselda, tot i ser, als meusulls d’estudiant, una dona gran, que contrasta-va amb la joventut dels professors que jo haviatingut a la Universitat Autonoma de Barcelonaal llarg dels meus estudis.

Pocs anys mes tard vaig entrar en contacteamb ella d’una manera mes directa i continu-ada, en el si del Seminari de Teoria de Nom-bres de Barcelona. En aquella epoca, a finals

dels anys setanta, la recerca en matematiquescomencava a recollir els fruits de l’esforc extra-ordinari d’una generacio que, amb molta pre-carietat de mitjans, havia aconseguit trencar latradicio segons la qual investigar era una cosaque es feia a l’estranger. Els joves vivıem unambient que engrescava a la recerca i, els teo-ristes de nombres en particular, trobarem en elstnb l’instrument adequat perque l’empenta ila il.lusio que portavem pogues fructificar. Par-ticularment, l’afecte amb que recordo les ses-sions de seminari els dimecres a la tarda a laUB esta estretament lligat a la figura sempreamatent i generosa de la Griselda Pascual.

6

La Griselda ens emparava i ens encoratjavaa tots. Unia una exagerada modestia amb unaenorme capacitat de treball i, incansable, posa-va sempre un devessall d’energia al servei delsaltres. El que mes emocio em fa ara recordar,pero, es aquella espurna d’alegria que tenia alsulls sempre que sortia a relluir qualsevol petitexit o progres de qualsevol membre del grup.Era una persona que desprenia amor i genero-sitat al seu voltant.

Amb la seva mort perdem una persona en-tranyable. Una cosa que ens hauria de consolardel caracter efımer de l’existencia es la possibili-tat de deixar empremtes positives i, tal vegada,contribuir al fet que les persones que quedeni el mon que deixem siguin una mica millors.Considerat des d’aquest punt de vista, la Gri-selda Pascual no pot haver tingut una vida mesplena i reeixida. En nom de molta gent, gracies,Griselda.

Enric NartUAB

Record d’estudiant

Es la tarda i fa calor. Estic fent 4t de llicenci-atura. La Griselda m’ha proposat que faci untreball sobre totes les proves de la llei de reci-procitat quadratica que Gauss va trobar al llargde la seva vida.

Hem fet el treball de recapte amb el Robertoi el Lluıs; tambe ens hem atrevit amb les lleisde reciprocitat cubica i quartica d’Eisenstein.Aquest treball el guardare durant molts anys.

Aquesta tarda de calor m’ha tocat exposar-lo. En un moment del meu discurs se m’ha esca-

pat: ≪un bon dia, a l’edat de dinou anys, Gausses va llevar pel matı i va provar que el 17-agonregular es construıble amb regla i compas.≫

De sobte, la Griselda m’ha interromput—de manera contundent i dolcament— per dir-me: ≪quan es fan matematiques, un no es lle-va de bon matı i . . . patapam li venen les ideesal cap com si res. Cal treballar molt i molt,previament, perque surtin les coses.≫

Aixo tambe ho estic guardant. Gracies.

Joan-C. Lario

7

Vivencies amb la Griselda Pascual

La meva aportacio al record de la Griselda seramolt personal i de petits fets pero, per a lesdues, molt entranyables.

Vaig coneixer la Griselda l’any 1948, jo fe-ia primer de carrera i ella era ajudant del doc-tor Francesc Botella (catedratic de Geometria).Vam tenir tractes en el Seminari de Geometria.

L’any 1950 la Griselda va fer oposicions aCatedra d’institut i obtingue la placa de Torto-sa. Despres, i amb unes altres oposicions, va tor-nar a Barcelona per ocupar la Catedra a l’Ins-titut Maragall.

En aquells anys jo era ajudant del doctorLines i ella es va incorporar al Departamentd’Analisi, dirigit per aquest professor. El nos-tre habitatge i on treballavem era una menade golfes amb mitja finestra: el doctor Lines, eldoctor Velez, en Rafael Mallol, la Griselda i jo.Molta gent per a tan poc espai!, pero estavemmolt ben avinguts i fins i tot tenıem una cafe-tera i feiem cafe; a la Griselda li agradava moltexplicar que un dia, no se quina de les dues,volent netejar la cafetera, la va llencar al jardı.

Va neixer una bona amistat entre tots i

tambe amb les famılies respectives, i sobretotamb la Griselda una forta estimacio.

Quan va ≪apareixer≫ en Vaquer va esseradmes carinyosament al grup (no a les golfes) ifins i tot van venir tots al nostre casament.

Van passar els anys pero amb la Griseldasempre hi va haver aquella estimacio contretaen la joventut i viscuda dia rere dia durant molttemps. Moltes vegades va esser present en lesnostres festes i tambe en moments tristos perla perdua d’essers estimats.

Hauran parlat molt de la Griselda com apersona humana i de ciencia. Jo voldria remar-car en ella la senzillesa que l’envoltava, la pord’ofendre i molestar, la voluntat d’estar semprea punt d’ajudar, l’agraıment per qualsevol co-sa petita que li fessin, el seu esperit religios, laseva energia i la seva dolcesa. . .

Dono gracies a Deu d’haver-la pogut acom-panyar els ultims dies de la seva vida; encaraque van esser estones de molta tristesa, es certque en el silenci ens deiem tantes coses. . .

Gracies, Griselda, per la teva amistat.

Merce Guilemany

Art i Matematica

El dia 19 de desembre de 2000 va tenir lloc a la Sala Pere Coromines de l’Institut d’EstudisCatalans una taula rodona sobre el tema Art i Matematica. Van ser ponents d’aquest taula rodonaSebastia Xambo, Oriol Pi de Cabanyes, Joan Girbau, David Jou i el pintor Salvador

Alibau. Reproduım aquı la ponencia presentada en aquella taula rodona per cada un d’ells.

Presentacio

A carrec de: Sebastia Xambo, president de la SCM.

Permetin-me que comenci recordant, ja a lesacaballes d’aquest any, els tres eixos de la de-claracio de Rio, en la qual es va proposar el2000 com a Any Mundial de les Matematiques:

1. Els grans desafiaments de la matematica enel segle xxi.

2. La matematica, factor clau per al desenvo-lupament.

3. Els aspectes socials de les matematiques (perexemple, la docencia o la imatge publica).

8

La SCM ha participat intensament en lacelebracio d’aquest any dedicat a les ma-tematiques. Pel que fa als dos primers eixos, laresponsabilitat fonamental, i de la qual estemmolt orgullosos, va ser l’organitzacio del Ter-cer Congres Europeu de Matematiques, entreels dies 10 i 14 de juliol, amb una assistencia de1.400 participants.

Pero tambe hem contribuıt a la celebracioamb iniciatives per fomentar el tercer eix, i l’ac-te que ens reuneix avui aquı, sobre art i ma-tematiques, sera el darrer de tots. Els actesprincipals que s’han fet fins ara son els seguents:

• 21 de gener: Participacio en l’acte institucio-nal en el Congres dels Diputats de Madrid.

• 7 de marc: Acte institucional al paranimf dela UB.

• 26 d’abril i seguents: Cicle de ≪Cinema i ma-tematiques≫, a la Filmoteca.

• 26 i 27 de maig: Jornades de ≪Literatura imatematiques≫ Geometria d’un acostament.Al final es va fer la preestrena d’un fragmentde l’obra de teatre El temps de Planck, escri-ta i dirigida per Sergi Belbel.

• 19 de juny: Sessio commemorativa de l’AnyMundial de les Matematiques al Parlamentde Catalunya. En les dues taules rodones esva passar revista a l’estat actual de la ma-tematica a Catalunya i al seu futur.

• Juny i juliol: Posters al metro de Barcelona,amb imatges que incidien a posar de manifestels tres eixos de l’AMM.

• Congressos satel.lit del 3ecm: Molt especial-ment, el I Congres d’Educacio Matematica(Mataro, 4, 5 i 6 de juliol).

• Proves Cangur, Fem matematiques, etc.

• Bitllets especials de metro i, en particular, elteorema de Pitagores.

• Llico inaugural del curs 2000-2001 de la So-cietat Catalana de Matematiques, a carrecde Jordi Bonet, l’arquitecte coordinador deles obres de la Sagrada Famılia, amb el tıtolGaudı: Art i Geometria.

En moltes d’aquestes activitats es podenpercebre lligams, implıcits o explıcits, amb les

diverses arts. La musica va ser present en l’actedel paranimf i en el d’obertura del 3ecm. Es vandedicar unes jornades a la literatura i al cinema;l’arquitectura i l’escultura van ser tractades enla llico inaugural de Jordi Bonet, i fins i tot elteatre hi va ser present amb El temps de Planck.

En tots aquests actes s’han explorat lligamsdiversos de la matematica amb punts de l’u-nivers artıstic, en el sentit mes ampli, i l’ex-periencia ha estat, almenys per a mi, valuosa iemocionant. Hi mancava, pero, l’art de la pintu-ra, o de les arts plastiques (es com Salvador Ali-bau ha volgut que anomenessim el seu mon), iespero que amb l’acte d’avui aquesta mancancaquedi superada.

Al meu entendre, el fil conductor de les rela-cions entre la matematica i les arts es un nerviestetic compartit, que, en tot cas, no tinc dub-te que es comu entre els que professen l’ofici dematematic. Aquest nervi estetic es manifestaen la seleccio dels problemes que es considereninteressants, en la mena de manipulacions ex-ploratories que es decideix fer abans d’intentarresoldre aquest problema, en les vivencies inte-riors quan finalment es troba una solucio, en lamanera de presentar els resultats o en la manerade formular nous problemes, noves conjectures.

Malauradament aquest nervi estetic de lamatematica es generalment invisible per al granpublic, i fins i tot per al public amb educaciosuperior sense estudis especıfics de matematica.Aixo, em sembla, es un fet, i, en consequencia,els nostres mitjans de comunicacio no ens per-meten fer un discurs fluid i raonablement intel-ligible sobre el que fem i per que ho fem a lasocietat en general.

Com que aquest problema no te solucio, elsentit d’actes com el d’avui es per a mi clar: in-tentar progressar en el descobriment dels recur-sos expressius de les diverses arts i trobar els filsconductors que els relliguen amb el doll esteticque flueix en l’esperit matematic. La qual cosaes mes facil quan l’artista ens diu, com ho faSalvador Alibau, que les seves obres s’inspirenen la matematica, una representacio de les qualsell generosament ha volgut exposar en aquestamateixa sala. Espero que n’hagiu pogut gaudir,o que en podreu gaudir abans d’acabar l’acted’avui. He d’aprofitar aquı per agrair-li tambea Salvador Alibau la gentilesa de dissenyar elmagnıfic cartell per anunciar aquest acte i l’ex-posicio, i per obsequiar la SCM amb l’original.

9

La matematica en la pintura de Salvador Alibau

A carrec de: Oriol Pi de Cabanyes

Tendim a creure que la matematica i l’art sonllenguatges antagonics. Quan son perfectamentcomplementaris. Oblidem sovint, especialmentels de lletres, la tradicio que diu que cada signete la seva valencia. Pero les matematiques, comles escriptures, i la ciencia, com l’art, es fan pre-sents en tots els actes de la nostra existencia.

Diu el meu paisa Joan Gomez Urgelles, en elseu llibre L’altra cara de les matematiques, que≪els matematics purs treballen amb concepteseteris i entitats sempre perfectes que semblenarribar directament del mon de les idees dePlato, objectes inexistents fısicament que do-tem de sentit i que manipulem sota les lleis dela logica per arribar a resultar que siguin, alho-ra, esclaridors i bells≫.

I sı, hi ha un component de bellesa en elcanemas immaterial de tot. I be hi deu haverun gaudi estetic a posar-lo de manifest materi-alment, aquest canemas, ni que sigui amb gua-rismes incomprensibles per als qui hem interi-oritzat el prejudici que les matematiques sondifıcils. Pero ≪no es igualment difıcil i abstracteel mon conceptual i pictoric de Tapies, l’universliterari de Joyce o la sofisticadıssima elaboraciode gustos de la cuina de Ferran Adria?≫ —enspregunta Joan Gomez Urgelles en el seu llibre.Sı: aquests son mons igualment difıcils, peropintures, lectures i menges passen mes pels sen-tits. . .

Aquı mateix, per exemple, tenim unes pin-tures de Salvador Alibau, que il.lustren perfec-tament les tensions entre el mon de la ma-tematica i el mon plastic. Resultat d’un llargproces de depuracio i de sıntesi, aquestes pe-ces posen de manifest el gust de l’artista peljoc conceptual, per l’harmonia dels raonamentsi per la bellesa de les conclusions que els ma-tematics podeu trobar en la vostra especulacio.

A diferencia de les matematiques, pero,aquesta pintura, per molt que l’artista hagi vol-gut recrear sempre l’estructura geometrica defons i per molt que hagi volgut reduir la gammacromatica a la mınima expressio, be que ha ne-cessitat un suport material concret. On la ma-tematica es superposa, mes encara que com asigne, com a concepte.

Tota la pintura d’Alibau va a la recerca dela bellesa matematica, aquesta bellesa que s’ex-

pressa en l’univers fins i tot sense necessitat nide suports materials ni de formes. En aquestaserie, iniciada per l’artista fa quatre anys, enstrobem davant el punt de trobada entre el quehi ha abans i el que hi ha despres de la pintu-ra, entre el que hi ha abans de la constataciode la trama matematica dels universos visiblesi invisibles i el que hi ha despres de la seva con-templacio i plasmacio.

El resultat, pero, es original i semprefruit d’un gran esforc, havent-ho passat tot,mınimament, pel sedas dels sentits. Aquestaserie d’Alibau, ≪Matemartica≫, reflecteix elpunt d’essencia i d’extrema nuesa que caracte-ritzen l’anomenat ≪art abstracte≫, seguramentel mes caracterıstic de la segona meitat del se-gle xx. En certa manera, aquesta pintura es≪prepintura≫, com ho son els grafits que con-juraven la caca a les coves prehistoriques. I encerta manera es tambe ≪postpintura≫, com hoson les guixades contemporanies a les paretsmitgeres i als murs urbans.

≪Matemartica≫ de Salvador Alibau es unintent de descriure l’esquelet de les formes, la≪columna vertebral interior≫ del mon figura-tiu, les lınies subtils pero solides que sostenenles formes que es troben presents en el pla dela natura fısica, pero tambe en l’estructura in-visible de l’espai.

A Matemartica hi ha l’elaboracio mentalde les formes internes que configuren la realitatexterna considerada sobre un pla. Es un art li-nial i ben travat, que no sembla contemplar nila perspectiva ni el moviment i que, desdenyosde tota anecdota, per dir-ho en llenguatge or-sia, eleva a categoria el canemas interior queconforma tota realitat visible.

La mesura de coneixement d’Alibau permitja de la plastica es molt personal. El seucamı artıstic, com el de l’art del segle xx, haanat des del que es concret al que es abstrac-te. Fins al punt que la seva manera d’interpre-tar la naturalesa de la realitat, o de reduir-la a plastica, inclou numeros i formules ma-tematiques. De la mateixa manera que Tapiesutilitza signes i lletres, paraules que reforcen elmissatge que vol comunicar plasticament, Ali-bau ultilitza signes matematics.

10

I es que, com diu el meu amic el filosof Jor-di Riera, les matematiques es troben en el fona-ment de tota objectivitat racional (entenent per≪objectivitat≫ tota apreciacio compartida sen-se deixar escletxes per al dubte, o sigui, sensecap falla logica, sense cap concessio a la com-plexitat radicalment inaprehensible de la reali-tat en el seu conjunt). Perque el problema esque aquesta objectivitat compartida per apre-ciacio, diguem-ne inapel.lable, d’un conjunt depensants que s’han posat previament d’acord(en siguin conscients o no) sobre els barems, elsinstruments i les mesures de medicio del mon(aixı material com immaterial), es una ≪objec-tivitat≫ que no admet, en les seves pretensionsde codificar la totalitat, cap mena d’observacioque sigui externa al propi observador. O sigui(quan es dona primacia a l’hemisferi esquerre),a la propia ment.

Les matematiques —segons Riera i More—es limiten a aplicar un sistema de mesura —iper tant, de coneixement— que es fonamentaen la relacio entre totes les parts possibles ques’han derivat de l’aplicacio d’una mateixa uni-tat de comparacio, pero aplica aquest sistemade mesura sense cap altra referencia que les ma-teixes parts que aquesta unitat de comparacioha generat quan ha dividit la memoria de lespercepcions tingudes previament.

Pero si aquest sistema matematic de mesu-ra aconsegueix de definir un concepte integrald’unitat, tambe es cert que deixa fora altres mo-dels de concebre —o conceptualitzar— la reali-tat que poden ser alhora integralment absoluts,encara que no puguin mesurar aquesta realitatintegral no pas amb les eines de la ment sinoamb les del cor, que son les que han fet servirdes de sempre els poetes i els mıstics, els artistesi els creadors en general.

En aquest sentit, doncs, podem dir quetambe la matematica es subjectiva. Lluny deles pretensions de veure-la com l’unica totalit-zacio possible de la realitat absoluta, hi hem deveure un gran esforc, l’esforc de l’esser huma,per reduir a ordre i a logica una realitat, fins itot la mes abstracta, que sempre s’acaba esca-pant a qualsevol simple quantificacio. Les ma-tematiques codifiquen una determinada mesu-ra de coneixement. Pero no es l’unica. L’art enplasma d’altres, tan diverses com personalitatscreadores.

La matematica, de fet, posa de relleu elseu propi univers: el de la logica, el de l’ob-jectivisme, el del determinisme. Encara que noes propiament objectiva, com es preten, sinotambe basada en una subjectivitat previa a to-ta observacio de la realitat. O sigui, basada enuna subjectivitat previa que ha primat unesdeterminades unitats de mesura en detrimentd’altres formes menys racionals de comprensio—mes que no pas d’aprehensio— de la realitatunica i alhora diversa.

La matematica esta subjecta a unes lleisabstractes de verificable exactitud. Mentre quel’art no esta subjecte a cap llei: es —com lavida— totalment imprevisible, impredictible iindeterminable, gracies a Deu. De manera que—hi insisteixo— el llenguatge matematic no es,per fortuna, l’unica manera possible d’interpre-tar la realitat. Potser tot, absolutament tot,es pot matematitzar, pero no tot es explicablenomes matematitzant.

La matematica i l’art mes caracterıstic delnostre temps tenen en comu una mateixa vo-luntat de reduccio de la complexitat. Es un art,aquest, l’art abstracte, que es vol, igual que lamatematica, no pas com una reduccio a l’ab-surd, com de vegades pot semblar, sino com unareduccio al mes ple sentit.

El problema es que, mentre que la ma-tematica ha aconseguit d’establir-se com allenguatge universal, el llenguatge de l’art con-temporani es un llenguatge de tants capstants barrets. Perque si la matematica es unaconvencio participada per tothom, i sobreaquesta convencio s’ha aixecat la nostra civi-litzacio, l’art comenca sempre de zero i d’unamanera aleatoria, segons el codi que cada ar-tista dona a la seva propia recreacio del mon.Perque el llenguatge matematic respon a codisuniversals, mentre que el llenguatge de l’art res-pon a un codi particular. I perque on hi ha artes, en definitiva, allı on l’artista ha expressato, millor dit, allı on ha sabut expressar la sevasensibilitat.

No se prou matematiques per apreciar enquin grau la presencia de signes matematicsen les obres de Salvador Alibau representa unainterpretacio decididament subjectiva, perso-nal, d’una ≪veritat≫ cientıficament establertaper convencio d’utilitat. Intueixo, pero, que les

11

formules matematiques que apareixen a les pin-tures de la serie ≪Matemartica≫ aporten unaaltra dimensio, en aquest cas visual, a l’abstrac-cio establerta pel simple codi matematic.

Alibau utilitza les matematiques com unmaterial mes, encara que fonamental, en unaobra que vol anar mes enlla de la pura isimple abstraccio. La presencia de signes ma-tematics en aquestes obres reforca el concepted’ordre, que es consubstancial tant a l’universmatematic com al de la personalitat creadorad’un artista tan excepcional com Salvador Ali-bau. La seva recerca d’absolut a traves de lapintura es la recerca universal de l’ordre queabarca des dels neutrins fins al sistema solar.

Alibau ha escrit en el seu gran llibre quecreu en ≪una bellesa matematica≫. Aquesta be-llesa existeix. Els matematics purs i els artis-tes de vegades impurs la senten, aquesta be-llesa (encara que no la puguin demostrar aris-totelicament). I ara em venen al cap, a propositde la intervencio tan suggerent del professorGendrau, dues obres mestres en els camps dela pintura i de la musica, com son Els gira-sols

de Van Gogh i la suite orquestral Els planetesde Gustav Holst.

Sebastia Xambo, el president de la SocietatCatalana de Matematiques, que avui ens convo-ca, em deia l’altre dia que la primera motivaciod’un matematic sol ser d’ordre estetic. Emocio-nant, esplendid! Els matematics, com els artis-tes, teniu un sentit estetic molt acusat. Treba-lleu, de fet, en un univers molt abstracte. Perosentiu la intuıcio de l’harmonia en les formulesi en els resultats parcials que aneu obtenint enla vostra exploracio.

El matematic sent que hi ha una harmoniaper revelar i vol donar-li cos, vol fixar-la a laseva manera com a la seva manera vol fixar-lal’artista. Es aquesta intuıcio primordial, aques-ta crida, allo que mou artistes i matematics aexpressar l’inefable. I es aquest l’espai compar-tit on es troben artistes i matematics, l’espaicomu de l’aspiracio a la bellesa o a la veritat.A la Veritat, que ens diu, tant a la ment com alcor, que tota bellesa es matematica. I que l’har-monia es, sempre, una questio de proporcions.Es a dir, una relacio compensada entre les partsi el tot.

Relacions entre l’art i la matematica

A carrec de: Joan Girbau

Crec que l’acte de creacio matematica es unade les manifestacions mes elevades de l’esperithuma. Encara que sigui molt difıcil plasmar enuna obra artıstica la grandesa d’aquesta activi-tat, qualsevol escriptor, pintor, escultor, artistaen general, que aconsegueix traslladar a la se-va obra una petita guspira d’allo que representala creacio matematica, comparteix amb els deusl’essencia de la Bellesa.

Les matematiques i l’art han estatıntimament relacionats al llarg de la historia.Podem parlar d’un flux que ha anat en duesdireccions:

1. De les matematiques a l’art.

2. De l’art a les matematiques (i a altresciencies, com la fısica).

Sobre el flux en la primera direccio podem par-lar de molts criteris estetics que s’han fona-

mentat en relacions matematiques. Per exem-ple, les proporcions del Parteno, basades en elnombre auri (al qual Alibau ha dedicat algunsquadres). Per exemple, altres proporcions usa-des per arquitectes del segle xx (Le Corbusi-er). Si parlessim de l’us de figures geometriquesen l’art de tots els temps, necessitarıem com amınim uns quants volums per descriure el mesessencial del tema. La importancia que han tin-gut les matematiques en el desenvolupament deles escales musicals (l’escala pitagorica, l’escalatemperada imposada per l’autoritat indiscutidade J. S. Bach) i en el desenvolupament de lesmusiques atonals (Schonberg) podria ser objec-te d’un cicle complet de conferencies.

Tot aixo que acabem de dir es conegut (ambun grau de precisio mes o menys gran) permoltıssima gent. Ara be, sı crec que es mes mi-noritaria la percepcio per part de la gent del

12

flux invers (de l’estetica cap a les matematiquesi cap a la fısica). I aquesta influencia ha existitsempre de manera molt forta. Jo diria que latotalitat d’investigadors en matematiques i enfısica teorica estan fortament convencuts de l’-harmonia interna de la seva ciencia, i aquestaconviccio els influeix en la intuıcio de resultatsnous. Quin investigador en matematiques no hapensat mai que un determinat teorema havia deser cert simplement per questio d’harmonia? Oquin altre investigador no ha deixat correr unscalculs molt complicats perque tenia la convic-cio que aquella no era la bona via, que les coseshavien de ser mes senzilles?

Vull il.lustrar aquesta ferma conviccio quetenen els matematics i els fısics teorics en l’har-monia de les coses, amb l’exemple de Kepler.Les lleis de Kepler expliquen, com tots vosal-tres sabeu, el moviment dels planetes, pero resno ens diuen del perque algunes orbites son gai-rebe circulars (com la de Venus) i unes altresson fortament excentriques (com la de Mercu-ri). Kepler, convencut de l’harmonia global del’univers, va imaginar que cada planeta emetiaun so de frequencia proporcional a la seva velo-citat. Venus, l’orbita del qual es gairebe circu-lar, recorre la seva orbita amb velocitat gairebeconstant i, segons la idea de Kepler, emet unso sempre amb la mateixa frequencia (es a dir,sempre emet la mateixa nota). La Terra, que teexcentricitat petita (encara que mes gran quela de Venus), canvia lleugerament de velocitatal llarg de la seva orbita i, segons la idea deKepler, emet ja mes d’una nota. Mercuri, quete una excentricitat molt gran, emet motes no-tes al llarg del seu viatge entorn del Sol. Peraltra banda, com mes a prop es un planeta delSol, la seva velocitat es mes rapida i les notesque emet son mes agudes. Els planetes allunyatsdel Sol emetrien —segons Kepler— notes moltgreus. Kepler va traslladar a un pentagrama lesnotes que (segons aquesta teoria) cada planetaemet quan recorre la seva orbita i va poder ≪es-coltar≫ aixı la musica que, segons ell, aquestsemetien.

Permeteu-me ara que dediqui la resta delmeu parlament de manera monografica a fer al-gunes consideracions sobre el nombre auri queAlibau pren com a inspiracio d’alguns dels seusquadres.

El nombre auri. El nombre auri va ser con-cebut pels grecs com una ≪proporcio perfec-

ta≫ (gairebe magica) entre dues magnituds.Imagineu dues longituds, una de gran i una al-tra de mes petita. La relacio entre la gran i lapetita s’anomena proporcio auria si es compleixel seguent: la longitud petita es a la gran comla gran es a la suma de les dues. 1

Si prenem la longitud petita com a unitat isi designem Φ la longitud gran, tindrem

1

Φ=

Φ

Φ + 1.

D’aquı s’obte Φ + 1 = Φ2. Si resolem aquestaequacio de segon grau, obtenim

Φ =

= (1 +√

5)/2

= (1 −√

5)/2

.

D’aquestes dues arrels nomes n’hi ha una depositiva, Φ = (1 +

√5)/2 = 1, 6180339887 . . .,

que es el nombre auri.Si voleu sorprendre qualsevol persona amb

les propietats meravelloses, gairebe magiques,d’aquest nombre, podeu demanar-li que agafiuna calculadora i que l’elevi al quadrat. Tro-bara Φ2 = 2, 6180339887 . . ., que te les ma-teixes xifres decimals que Φ. Si voleu sorpren-dre’l encara mes, demaneu-li que trobi ambla calculadora l’invers de Φ. Obtindra 1/Φ =0, 6180339887 . . ., que te tambe les mateixes xi-fres decimals que Φ. Un matematic no es deixaimpressionar per aquests aparents miracles per-que el fet que Φ2 i Φ tinguin les mateixes xifresdecimals es despren de l’equacio Φ2 = Φ+1 (laqual era consequencia de la mateixa definicio deΦ), i el fet que 1/Φ tingui les mateixes xifres de-cimals que Φ es despren de la mateixa equacioescrita d’una altra manera: 1/Φ = Φ − 1.

A BCD

E F13

Sembla que un nombre que te unes propie-tats tan magiques s’hauria de poder construirgeometricament de manera senzilla. En efecte,aixı es. Prengueu un quadrat ABCD de costatunitat. Sigui E el punt mig del costat AB. Tra-ceu la recta que uneix E amb el vertex C. Pren-gueu la longitud EC i amb un compas porteu-lasobre la recta que passa per A i per B, a partirde E. Sigui, doncs, F el punt sobre la recta AB

tal que la longitud de EF es igual a la longi-tud de EC i de manera que B esta entre E i F.Llavors la longitud de AF es el nombre auri.

Els grecs van usar la proporcio auria en di-verses obres arquitectoniques. Aixı, per exem-ple, la planta rectangular del Parteno te les pro-porcions del nombre auri, i la seva facana prin-cipal es tambe un rectangle de proporcio auria.

Parteno

La successio de Fibonacci. La successioan de Fibonacci esta definida per les condici-ons:

an+1 = an + an−1

a1 = a2 = 1.

Aixı, doncs, la successio de Fibonacci es 1, 1, 2,3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, . . . La suc-cessio de Fibonacci te unes propietats magiques(gairebe tan magiques com les que hem esmen-tat abans del nombre auri). Per exemple, do-nats quatre termes consecutius d’aquesta suc-cessio, an, an+1, an+2 i an+3, comparem el pro-

ducte dels dos del mig (an+1 per an+2) amb elproducte dels dos extrems (an per an+3). Fem-ho explıcitament per als primers valors de n.

• Per a n = 1, els termes son 1, 1, 2, 3. Elproducte dels dos del mig es 1 × 2 = 2, i elproducte dels dos extrems es 1 × 3 = 3. Elsdos productes es diferencien en una unitat.Es mes gran el producte dels dos extrems.

• Per a n = 2, els termes son 1, 2, 3, 5. El pro-ducte dels dos del mig es 2 × 3 = 6, i elproducte dels dos extrems es 1 × 5 = 5. Els

14

dos productes es diferencien en una unitat.Es mes gran el producte dels dos del mig.

• Per a n = 3, els termes son 2, 3, 5, 8. Elproducte dels dos del mig es 3 × 5 = 15, i elproducte dels dos extrems es 2 × 8 = 16. Elsdos productes es diferencien en una unitat.Es mes gran el producte dels dos extrems.

• Per a n = 4, els termes son 3, 5, 8, 13. Elproducte dels dos del mig es 5 × 8 = 40, i elproducte dels dos extrems es 3×13 = 39. Elsdos productes es diferencien en una unitat.Es mes gran el producte dels dos del mig.

Sembla, doncs, que es compleix

anan+3 = an+1 an+2 + 1 si n es senar.

an+1 an+2 = anan+3 + 1 si n es parell.(1)

Aquest fet es sorprenent. Un matematic, pero,intentara sempre buscar una explicacio o donaruna demostracio. A continuacio donare un ar-gument senzill que demostrara aquest fet perinduccio. Agafem sis termes consecutius de lasuccessio de Fibonacci. Si designem a i b els dosprimers (dels sis consecutius que hem agafat),els sis termes seran

a , b , a+ b , a+ 2b , 2a+ 3b , 3a+ 5b .

Agafem els quatre primers d’aquests termes. Ladiferencia entre el producte d’extrems i el pro-ducte de mitjos sera

a(a+ 2b)− b(a+ b) = operant = a2 + ab− b2 .

Agafem ara els quatre ultims termes (dels sisque considerem) i fem tambe la diferencia entreel producte d’extrems i el producte de mitjos.Tindrem:

(a+ b)(3a + 5b) − (a+ 2b)(2a + 3b) =

= operant = a2 + ab− b2 .

Aixo demostra que a la successio de Fibonac-ci la diferencia entre producte d’extrems i pro-ducte de mitjos de quatre termes consecutiusan, an+1, an+2, an+3 no varia quan s’augmentaen dues unitats el subındex n. Per tant, bastaveure quan val aquesta diferencia per a n = 1 iper a n = 2. Quan n = 1 aquesta diferencia val1, i quan n = 2 aquesta diferencia val −1.

Considerem ara la successio de quocientsan+1/an de la successio de Fibonacci. Es a

dir, la successio 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8,21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, . . . La con-dicio an+1 = an + an−1 que serveix per definirla successio de Fibonacci es pot escriure

an+1

an= 1 +

1an

an−1

. (2)

Si la successio de quocients an+1/an tingueslımit, designant l aquest lımit i prenent lımitsen la igualtat anterior, tindrıem

l = 1 +1

l,

que ens diu que l2 = l + 1, i (com que l hauriade ser positiu) l hauria de ser el nombre auri.Qualsevol matematic (treballant una mica) sa-bria demostrar que la successio an+1/an teefectivament lımit. L’argument que ara se m’a-cudeix a mi per provar aixo seria el seguent: uti-litzant (1) es pot veure de manera immediataque els termes parells de la successio an+1/anformen una subsuccessio monotona decreixent,i els termes imparells formen una subsuccessiomonotona creixent. Ambdues estan acotades ihan de tenir lımit. Per veure que cada una d’a-questes dues subsuccessions te per lımit el nom-bre auri, reiterem dues vegades la formula (2) iobtenim

an+1

an= 1 +

1

1 + 1a

n−1

an−2

.

Prenent lımits:

l = 1 +1

1 + 1

1/l

,

que operant dona l2 = l + 1, igual que abans.Quins miracles de la matematica! Ara resul-

ta que el lımit de quocients de la successio de Fi-bonacci es la famosa rao auria que els grecs ha-vien introduıt per fonamentar matematicamentalguns dels seus criteris estetics.

Els gira-sols i la successio de Fibonacci. Josempre havia cregut que la flor de gira-sol erauna flor de veritat. Ho vaig comentar un dia aun meu amic bioleg i es va posar a riure de lameva ignorancia. No, no i no! De cap manera!—em va dir—. L’anomenada flor de gira-sol noes una flor. Es una inflorescencia. Una inflo-rescencia es un conjunt format per moltıssimesflors elementals, cada una de les quals te elsseus pistils i els seus estams. D’aquestes flors

15

elementals, nomes les que estan situades a la vo-ra d’aquest conjunt (de la inflorescencia) tenenpetals (que son els petals grans que nosaltres ve-iem i que donen al conjunt l’aspecte d’una flor).Les flors elementals que no estan situades a lavora no tenen petals (pero sı pistils i estams).Aquestes flors elementals —minuscules— estandisposades en bracos que parteixen del centrede la inflorescencia, cada un dels quals te formad’espiral. El nombre d’aquests bracos es varia-ble. Depen de les condicions amb que la plan-ta s’ha desenvolupat (adob del sol, condicionsclimatiques, etc). Ara be, el nombre d’aquests

bracos es sempre un nombre de la successio deFibonacci (21, 34, 55, 89, etc). Aixo es verita-blement meravellos. Ves per on el Parteno i elsgira-sols estan estretament relacionats (nombreauri i successio de Fibonacci)! Per profunditzarmes sobre la relacio entre el nombre de bracosespirals del gira-sol i la successio de Fibonaccipodeu consultar l’article de Stephane Douadytitulat ≪Creciendo en orden≫, publicat al lli-bre Fotografiando las Matematicas de Carrog-gio S.A. de Ediciones, Barcelona 2000. Aquı tro-bareu bibliografia sobre el tema.

Gira-sol als camps de Provenca

16

Nombres, equacions, vida

A carrec de: David Jou

La taula rodona a l’Institut d’Estudis Catalanssobre matematiques i art va ser per a mi l’oca-sio de coneixer l’obra de Salvador Alibau, tansorprenent. Em va semblar un encert haver-nefet una exposicio en l’ocasio de l’Any de les Ma-tematiques. La meva participacio en la taula ro-dona va consistir en la lectura de tres poemesrelacionats amb les matematiques, publicats enllibres meus, que em va semblar que reflecti-en alguns dels suggeriments que les obres ex-posades em suscitaven. Aquests suggerimentssorgien, en concret, de la presencia de figuresgeometriques, formules i equacions en alguns

dels dibuixos, i dels tons foscos de part de lesobres. Vaig voler reflectir en la lectura tres face-tes d’aquests suggeriments: la geometria —ambun poema sobre el nombre pi—, la bellesa abs-tracta de la llum —a traves d’un poema sobreles equacions de Maxwell— i la vitalitat, alhoraentusiasta i angoixada, de l’activitat artısticai cientıfica —mitjancant un poema sobre l’es-tat de concentracio d’un matematic obsedit enunes dificultats de la recerca. Agraeixo la invi-tacio dels organitzadors a participar a la taularodona i la dels editors del Notıcies a reproduiraquests poemes.

El nombre pi

Abans de la primera dansa, hi hague perımetre?Els astres

no compten el camı que fan,als cercles de les ones

l’aigua ignora l’aigua i cada punt segueix les lleis,inertament.

Fins que algu va preguntar-se a la vegadapel perımetre del cercle i el diametrei va neixer, inabastable, el nombre pi,

i va ser com un llampec en una cambra de miralls,omnipresent,

ocupant les cupules celestes,el perıode dels pendols, el volum de les estrelles,

l’energia de la llum en equilibri,els salts dels electrons dintre dels atoms,

fins a perdre el seu resso de passos nus sobre la sorra.

(del llibre El color de la ciencia, Departament de Cultura, 1990).

Les equacions de Maxwell

L’ambre, el vidre, la seda, la llana. L’imant.Quanta energia al voltant,

ignorada,segles i segles!

I despres en el cel i en el llamp,i en el cos —rigidesa i espasme—:

el muscul i el nuvol, germanselectrics i obscurs, com paisatges

cridats a esclatar en la mateixa tempesta!I la pila i el fil: aquests discs alternatsde coure i de zinc on un acid desvetlla

corrents que permeten, per fi, la mesura,que escalfen els fils i desvien la bruixola!

I el nombre, i la sıntesi, i per fi la unitat:en nomes quatre lleis tants milers de fenomens,

i encara molt mes: per sorpresa, la llum,

17

tota la llum,la velocitat de la llum,

el mirall i la lent, el color, l’opacitat,la suma de clarors esdevinguda obscuritat,

i mes:aquest desbordament

enlla de les fronteres dels sentits,aquest exces de mes i mes realitat

independent de l’ull, inassolible a l’ull,pero oferta al pensament en la puresa

d’aquest joc de quatre equacions,com una altra bellesa del mon,

com un altre llenguatge del mon,mental, real, ardent,aclaparadorament

proper al que en dirıem harmonia,majestat, profunditat:

la passio i el glac d’un tast de lucidesa.

(del llibre Joc d’ombres, Columna, 1998).

El matematic

Aquest estaquirotinsomne, jeroglıfic i hieratic,

posat en una branca del gran arbre matematic,amb ulls que ja no veuen sino el calcul integral,

avui potser s’amarga—en se una estona llarga—

d’un signe, d’una coma, d’un factor no lineal.Tingueu-ne pietat:

el cel d’aquest capvespre, la mar d’aquesta costa,seran inexistents fins a trobar resposta

al signe que l’angoixa i al nombre equivocat.

(del llibre Teoria, Ed. 62, 1997).

Matemartica

A carrec de: Salvador Alibau

Els companys de taula han fet referencia dediferents maneres a la meva obra plastica, elsagraeixo la seva deferencia. L’Oriol Pi de Caba-nyes, que coneix prou be la meva obra, ha par-lat extensament d’aquesta i de la seva simbiosiamb les matematiques; em sento molt identifi-cat amb les seves observacions. Sobre el dubteque ha expressat de si son reals els planteja-ments matematics en les meves obres, he de dirque dins dels meus coneixements he procuratque ho fossin. Voler representar-los aleatoris osimplement inhibint-se del seu significat, no escorrespon amb el meu temperament ni amb lameva manera d’entendre el meu art. Els poe-mes d’en David Jou que ha recitat i dedicat

a algunes de les meves obres, alguns amb te-mes matematics, acosten, doncs, poesia i ma-tematiques, un exemple mes de la simbiosi d’a-questes i de l’art.

Penso, com els meus companys, que taulesrodones com la d’avui intenten ser una trobadade les arts classiques, des de fora, per establirponts fins a la profunditat de les matematiques,o a la inversa.

Tot repetint conceptes ja expressats aquı,i anteriorment en converses amb SebastiaXambo, sembla ser que els matematics tenenla creenca profunda de l’estetica dels conceptesi de les idees que desenvolupen. Els guia en laseva recerca matematica el convenciment que

18

estan actuant en paral.lel amb arts com l’arqui-tectura, la pintura, l’escultura o la musica. Lamateixa naturalesa de les matematiques fa moltdifıcil fer-les visibles com a comunicacio, com aart. Potser en altres ciencies, com la fısica, laimaginacio treballa al seu favor per transme-tre els seus coneixements i les seves investigaci-ons, que possiblement son mes plastiques, mesfacilment entenedores, o almenys ho semblendes de fora, dins els processos de captacio imagi-nativa. Ara s’ha de dir que no es del tot aixı, jaque totes les arts necessiten les matematiques, iper tant en son una forma d’expressio. Precisa-ment la pintura, com totes les arts plastiques, ila musica les necessiten per expressar-se, espe-cialment en la vessant geometrica les primeresi en les gradacions numeriques la musica.

En el meu cas, de la ma de les obres en fibrade cel.lulosa i entre la pintura i l’escultura, vaiginiciar a finals de l’any 1996 la serie titulada≪Matemartica≫, amb una part de les obresexposades avui aquı. Conceptualment, he pro-curat sempre, en la meva obra, simplicitat i pu-resa formal i alhora sobrietat expressiva. L’elec-cio de les matematiques com a contingut de lesmeves obres, ha estat pel mateix motiu. Acom-panya aquesta serie, a mes a mes, la sobrietatde formes i la limitacio cromatica. En aquestacol.leccio utilitzo indistintament la fibra de cel-lulosa pigmentada, per via aquosa, o tambe lesaiguades sobre la cel.lulosa del paper artesanal,especialment en les obres de petit format, talcom es pot veure en les exposades.

La derivacio de la meva obra, sota l’enunci-at de ≪Matemartica≫, crec que aporta a lesarts visuals un element cada cop mes presentactualment. Des del moment de llevar-nos almatı fins a la nit estem subjectes a la cronolo-gia. A la geometria dels tracats arquitectonics,urbans i vials, i dels retols, indicadors viaris,etc. A les tecnologies digitals: ordinadors, cal-culadores, telefons portatils. Constants calculsi codis numerics, etc. configuren una presenciavital del nostre entorn. L’assimilacio artısticade les matematiques mitjancant la simbiosi, enuna obra d’art, de geometria i de sımbols al-gebraics, i el misteri de la mateixa abstracciomatematica, intenta ser una aportacio a la sim-bologia o a la iconografia, com es vulgui dir,de la societat actual, i fer mes evident i com-prensible el nostre entorn i aportar un punt desensibilitat a la nostra vida.

Crec interessant especificar alguns concep-tes, que son els fils conductors d’aquesta col-leccio. La matematica, una ciencia abstracta, esmanifesta amb sımbols grafics i conceptuals queli son propis i molt proxims a les arts plastiques,i ha estat utilitzada, especialment en la sevavessant geometrica, per les arts plastiques, desde la prehistoria. Es un mes dels elements ex-terns —procedent d’una ciencia de les conside-rades ≪exactes≫— incorporats de diferents for-mes a les arts plastiques, ja que l’artista intentatransformar en art tot allo que l’envolta.

No es cap novetat la relacio de la geometriai l’art, desenvolupada en l’art figuratiu, en elcubisme i en el futurisme, sempre d’una formaaleatoria. Mes despullat i consequent ha estatl’art geometric, en el qual la influencia de laBauhaus ha estat, al meu entendre, decisiu. Escurios fins a quin punt els homes de la Bau-haus es prenien seriosament els plantejamentsgeometrics; en dona idea el fet que Pierre Mon-drian va renyir amb Doesburg, professor de lacitada escola, per haver utilitzat corbes en lesseves obres, la qual cosa faria suposar un acordmes o menys tacit en aquest punt.

En l’art figuratiu, i possiblement en la foto-grafia, es decisiu el fet de compondre les imatgesdins el format de l’obra —en pintura s’utilitzala paraula anglesa pattern, que significa ‘mo-del’, ‘norma’—, que es en definitiva l’estructurageometrica de l’obra. S’utilitza, doncs, la posi-cio dels essers i de les imatges amb els corres-ponents jocs de llums. Precisament per aquestfet son evidents els lımits de la manipulacio ge-ometrica de les llums i de les imatges, especi-alment dins d’un respecte d’aquestes. Aquestjoc guanya en agilitat amb fortes deformaci-ons a l’estil picassia, per exemple. Dins aquestalınia l’art romanic arriba molt lluny en la sin-tetitzacio i simplificacio, dins d’una composiciomolt clarament geometritzada, pero mantenintun fort i respectuos misticisme de les figuresreligioses.

No obstant aixo en l’estil de les obres mesaconseguides de l’art figuratiu el fet principali determinant de l’obra son encara les imatgesnaturals, i la geometria i esta supeditada.

Un cas ben especial es el cubisme, sortit deles mans de Braque i de Picasso. Al meu en-tendre la utilitzacio de superfıcies relativamentplanes amb lımits rectes o corbats i amb al.lusi-ons parcials i disperses de les imatges que ens

19

envolten, crea uns conjunts mes aviat monotonsi reiteratius de forma i de color, tot i el seu evi-dent interes plastic i com a fet renovador delllenguatge de la pintura. Crec que des del puntde vista geometric es poc significatiu.

El futurisme te com a punt de sortida elcubisme, pero incorpora un dinamisme crepi-tant, mes color, i les imatges reals tenen unapresencia mes clara. Tot i la fragmentacio eninfinites superfıcies —com en el cubisme—, lageometria es utilitzada en els dos casos de formatotalment aleatoria. L’art romanic citat abanste una consciencia geometrica mes rigorosa iformal.

En l’art dit geometric passen a ser les for-mes geometriques els elements plastics que con-figuren el quadre —generalment sense al.lusionsfiguratives—, i en certa forma l’organitzen, perodeixant un ampli marge a la imaginacio i a lacreativitat de l’artista. Es tambe una plasmaciogeometrica aleatoria. No obstant aixo es cadacop mes a prop l’art de la geometria i en algunscasos, com el de Piet Mondrian, arriben a unasimple i magnıfica simbiosi de geometria, colori art.

Piet Mondrian, en les seves Composicionsutilitza uns principis geometrics molt simples.Amples lınies rectes que delimiten espais rec-tangulars, amb projeccio exterior, i colors pri-maris plans. Es un exemple perfecte d’utilitza-cio de la geometria com a subjecte. Per con-tra Paul Klee, en la seva obra, es un magnıficexemple d’utilitzacio aleatoria de la geometria;a mes, incorpora imatges evocades de la reali-tat, els colors no son plans ni simples i incorporaaltres elements subjectius. Es tambe notable elmoviment pictoric parisenc Cercle et Carre.

La matematica tambe es un referent impor-tant en la societat actual, tal com he dit abansja que es present en quasi totes les seves ac-tivitats. Crec, sens dubte, en una bellesa ma-tematica, i considero que es un tema de graninteres huma i plastic. La utilitzacio aleatoriad’elements matematics no estaria en la lınia dela col.leccio Matemartica. Teoritzant, algunesde les seves condicions podrien ser:

— Utilitzacio de formes geometriques, numerosi signes matematics. Preferiblement un solenunciat, pero no necessariament.

— Integracio del subjecte matematic amb elsmaterials utilitzats. De la incorporacio a ma-terials amb personalitat propia, com es la fi-

bra de cel.lulosa, en poden sorgir conjunts ricsi suggerents. Uns altres materials podrien re-sultar interessants, malgrat que uns hi podenaportar elements mes sensibles que d’altres.

— Intencionalitat dels elements basics, amb lli-bertat, superant la perfeccio formal.

— Deformacions o canvis produıts per altresaportacions plastiques i/o expressives dinsdel conjunt de l’obra, mantenint el prota-gonisme del tema matematic. Per exemple,en les obres aquı exposades es poden apreci-ar fortes erosions, estrips i altres alteracionsde les superfıcies de cel.lulosa i els lımits deles obres trenquen sovint les formes rectan-gulars.

— Concordanca de les formes amb el color coma element molt important, pero sobri.

— Possible tridimensionalitat, com en el mobildel fons de la sala.

Pensant en la possible disjuntiva de l’artpotenciant la percepcio de la matematica ola matematica com a subjecte de l’art, crecque els dos principis poden coincidir perfecta-ment, sempre que els plantejaments matematicsi artıstics siguin clars i simples.

Algunes obres representatives de la col.lec-cio ≪Matemartica≫ podrien ser —no totesexposades aquı— dos dıptics articulats horit-zontals Lletra Pi i Seccio Auria i obres en unsol pla, tals com Evocacions dels Teoremes deTales, Caos i numero d’entrada. Sol i forat ne-gre, El.lipse que neix en el caos, Ocell mortque es transfigura dins la quadratura del cercle,Inici d’un cercle en el caos i lınies emergents,Parabola en un espai astral i el mobil TripleSeccio Auria, exposat al fons de la sala.

Intento crear una simbiosi entre les ma-tematiques i l’art plastica, sense ser matematic,des de fora, pero amb una profunda admiracio,quasi fascinacio, per les matematiques. Pensoque potser es millor aixı, des de la fascinacio ex-terior, sense la presencia excessiva de la tecnicamatematica i amb plantejaments, en el meu cas,forcosament simples.

En l’eleccio dels temes escullo aquells en queels plantejaments geometrics i d’espais em sem-blen interessants, integrant al mateix temps,com un tot, en l’obra els plantejaments alge-braics.

Els plantejaments estrictament, o basica-ment, numerics o algebraics son difıcilment re-presentables graficament. Son un difıcil repte

20

per a l’art plastica i per a la imaginacio matei-xa. Tot i que poden tenir tant o mes art profundque els mes representables.

Penso, no obstant, que no sempre es tansimple la separacio entre els plantejaments ma-tematics mes o menys representables. La pro-porcio 1,61803398 . . . propia de la Seccio auria,des de l’antiga Grecia i passant pel Renaixe-ment italia ha inspirat les arts plastiques. Ac-tualment, utilitzada abundosament per l’arqui-tecte Le Corbusier i per altres artistes, es pocmes que la relacio entre dues magnituds, men-tre que en el Renaixement italia va ser cita-da com la ≪Divina Proporcio≫. Possiblement,relacionant l’existencia d’aquesta proporcio enla naturalesa i el seu possible origen divı. Defet,apareix en l’estructura i les proporcions delsvegetals i organismes marins i en les dels essershumans. Tambe en molts altres processos na-turals com, per exemple, en les series additivesen dos temps del creixement i, de manera sem-blant, en la serie numerica de Fibonacci en lesmatematiques.

En el mobil suspes al fons de la sala, titulatTriple Seccio Auria, el rectangle de conjunt, elsnou rectangles que el conformen i els tres quequeden situats a dalt, a sota de les varetes desuspensio, tenen els costats —el llarg i el curt—relacionats amb aquesta proporcio. Els grisos,de les nou peces que el componen, estan relaci-onats amb una gradacio de grisos de diferenciesuniformes, per tant, matematicament. Es in-teressant en aquest punt fer un paral.lel amb lesescales musicals, els sons harmonics, que guar-den entre si clares relacions matematiques, jades dels grecs. Un altre art, doncs, amb clarasimbiosi amb les matematiques.

Una possible definicio generica de l’art —pensant en les matematiques i l’art—, podriaser: provocar percepcions, en els nostres sentits,simultanies o en temps successius, disposadesamb art i dirigides al nostre esperit.

Els nexes d’unio entre les diverses arts po-drien ser espai, temps —el moviment es la con-juncio de l’espai i del temps—, sentiments i ide-es. La llum i el so, que pertanyen declaradamenta unes arts concretes, no semblen utils com avincles. El tacte, l’olfacte i el gust pertanyen aunes altres formes d’art.

Les matematiques estan dins d’aquesta de-finicio i aquests vincles? Sembla que per a unapersona preparada per entendre els seus plante-

jaments —com en qualsevol altra forma d’art—sı que hi estan. Si els matematics son creatius iviuen intensament amb un sentit estetic les se-ves elaboracions, com s’ha dit en aquesta taula—i jo mateix a l’inici de la meva intervencio—,els elements citats: espai, temps, sentiments iidees, hi son tots.

Per veure els vincles entre les diverses arts iles matematiques penso que poden ser interes-sants unes definicions suscintes (donant per su-posats els elements expressius i de contingut).

— Pintura: distribucio fixa, immobil, d’espais illums, simultanis pero independents.

— Arquitectura i escultura: distribucio fixa,immobil, d’espais, simultanis pero indepen-dents; les llums son variables segons l’entorn.

— Cinema i vıdeo: distribucio d’espais i llumsen un pla, en moviment, o sigui, en tempsconsecutius.

— Musica: accio sonora en temps consecutius.

— Dansa: accio directa del cos huma en tempsconsecutius, amb finalitat expressiva i/oestetica.

— Literatura i poesia: concrecio amb paraulesdel nostre contingut espiritual, amb la possi-bilitat, com en la poesia, de disposar-les se-gons lleis metriques o grafiques.

— Les matematiques elaboren els seus fas-cinants plantejaments logics amb unitatsnumeriques, d’espai i de temps, creant con-junts en que conviuen elements estatics idinamics.

Les arts plastiques classiques —pintura, ar-quitectura i escultura— tenen en comu la im-mobilitat de les superfıcies i els espais, pero enser observades la vista recorre les superfıciesi els volums, creant, doncs, un moviment, finsa un cert punt, a l’arbitri de l’espectador. Unexemple clar esta en les cameres de TV, quesovint recorren fragmentariament les obres enclara suplencia de l’observador autonom. Unpunt que hem de tenir en compte: la percep-cio de les diferencies es en si mateixa movi-ment? Existeix, sembla, un moviment perceptiuintern de les diferencies. Penso, doncs, que lesdiferencies, tant si estan una darrera l’altra enel temps com si son simultanies, es poden con-siderar una mena de moviment. Serien, doncs,una mena de moviment al si d’aquestes cita-des arts plastiques. S’accentuaria la sensacio de

21

dinamisme si les diferencies conformen grada-cions mes o menys extenses: de llums, d’espais,de lınies, etc.

Les imatges, per tant, els espais i la llum, enel cinema i el vıdeo se succeeixen en el temps,encadenades una darrera l’altra. De manera si-milar els sons i els conjunts sonors en la musica.

Les matematiques tenen l’espai en la sevavessant geometrica. Converteixen el temps enunitats per mesurar-la i organitzar-lo, com hadit abans l’Oriol Pi de Cabanyes. El contingutd’idees es obvi i la fascinacio estetica de moltsdels seus plantejaments creats o vistos des dedins o des de fora semblen completar la sevaelevacio a la categoria d’art. La seva incorpora-cio en la majoria de manifestacions artıstiquestambe les eleven a la categoria d’art. Unes altresciencies no tenen una presencia tan essencial enles diferents arts.

Les matematiques referents als sistemesdinamics amb atractors estranys i en els frac-tals, acosten i fan comprensibles, des de la ves-sant matematica, les estructures de la naturale-sa i en part la fan comprensible i reconstruıbleplasticament en la pantalla dels ordinadors i sis-temes grafics. Es absolutament temptador coma tema de l’art, i en si crec que ja es art. Crecque aquı es realitza una perfecta trobada de lesmatematiques i les arts plastiques.

Oscar Wilde citava, paradoxalment, que lanaturalesa imita l’art, o sigui, que la nostra per-cepcio esta directament influıda per l’art. Per

tant, la matematica, com a art, ens facilita lacomprensio de certs aspectes de la naturalesa.

En certa manera tambe podrıem dir que elsmatematics han recreat o han inventat la natu-ralesa, o una naturalesa. Potser tambe de ma-nera mes humil la meva obra en que en generalintento incorporar naturalesa, matematiques iart. Per exemple, en l’obra Ocell mort que estransfigura dins la quadratura del cercle, d’unamanera clara.

El llibre, editat dins d’aquest Any de lesMatematiques, i situat a la taula d’entrada, peramabilitat de les entitats organitzadores d’a-quest acte, es a mes d’un cataleg de les obres ex-posades i de la teoritzacio de la col.leccio ≪Ma-

temartica≫ el meu historial dins el mon de lesobres plastiques. Puc dedicar-lo a qui ho desit-gi.

Finalment, voldria desitjar que la col.labo-racio entre les matematiques i l’art —que noes nova— es renovi constantment i doni impor-tants fruits. Penso que aquesta taula d’avui haestat una aportacio a aquesta comunicacio.

El meu agraıment a l’Institut d’Estudis Ca-talans i a la Societat Catalana de Matematiquesper haver-me invitat i organitzat aquesta troba-da —amb exposicio d’unes obres de la col.leccio≪Matemartica≫ i als seus presidents, Manu-el Castellet i Sebastia Xambo, i a Oriol Pi deCabanyes, Joan Girbau i David Jou per les se-ves amables paraules i l’enriquidora aportaciod’idees en les seves intervencions.

Internacional

Llibre d’actes del 3ecm

Les actes del Tercer Congres Europeu de Ma-tematiques (Barcelona, juliol de 2000) han es-tat publicades, en dos volums, per la prestigiosaeditorial suıssa Birkhauser Verlag. La referenciabibliografica precisa es la seguent:

European Congress of Mathematics, vol. I(C. Casacuberta, R. M. Miro-Roig, J. Verdera,S. Xambo-Descamps, ed.), ≪Progress in Mathe-matics≫, 201, Birkhauser Verlag, Basel, 2001,ISBN 3-7643-6417-3 (582 pagines).

European Congress of Mathematics, vol. II(C. Casacuberta, R. M. Miro-Roig, J. Verdera,

S. Xambo-Descamps, ed.), ≪Progress in Mathe-matics≫, 202, Birkhauser Verlag, Basel, 2001,ISBN 3-7643-6418-1 (641 pagines).

Aquests dos volums contenen els articleslliurats pels conferenciants invitats a les sessi-ons plenaries i paral.leles del congres, aixı comals deu minisimposis. Aquests mateixos arti-cles s’havien fet publics a l’inici del congresen un CD-ROM lliurat als participants i en laweb del congres, on encara es poden consultar(www.iec.es/3ecm).

22

Llibre de les taules rodones del 3ecm

Les ponencies i els debats de les set taulesrodones del congres han estat recollits en unaltre llibre, que han publicat conjuntament laSCM i el CIMNE (Centre Internacional deMetodes Numerics en Enginyeria), de la Uni-versitat Politecnica de Catalunya. La referenciadel llibre es: Mathematical Glimpses into the21st Century, (C. Casacuberta, R. M. Miro-Roig, J. M. Ortega, S. Xambo-Descamps, ed.),SCM i CIMNE, Barcelona, 2001, ISBN 84-89925-85-2 (211 pagines).

Us recordem els tıtols de les taules rodones:

• ≪Mathematics Teaching at the TertiaryLevel≫

• ≪The Impact of Mathematical Research onIndustry and Vice Versa≫

• ≪How to Increase Public Awareness of Math-ematics≫

• ≪What Is Mathematics Today?≫

• ≪Building Networks of Cooperation in Math-ematics≫

• ≪The Impact of New Technologies on Math-ematical Research≫

• ≪Shaping the 21st Century≫

Aquest llibre es pot adquirir a traves de laweb del CIMNE (www.cimne.upc.es) o tambefent la comanda a la Secretaria de la SCM.

23

Casa editorial de l’EMS

La Societat Matematica Europea (EMS) ha cre-at un servei editorial destinat a promoure la pu-blicacio de revistes i monografies des de l’ambitacademic i sense afany de lucre. La seu d’a-quest servei es la Universitat Politecnica Fede-ral (ETH) de Zuric des de setembre de 2001, i elseu director es Thomas Hintermann, que haviaestat editor cientıfic de Birkhauser Verlag.

La voluntat de crear aquesta casa editori-al es tan antiga com l’EMS, que es va fun-dar el 1990. Tanmateix, ha tardat una decadaa materialitzar-se, per les dificultats institucio-nals i financeres que comporta la creacio d’unaentitat d’aquesta envergadura. L’empenta de-cisiva l’ha donada l’actual president de l’EMS,Rolf Jeltsch, que ja havia presentat aquesta ini-ciativa com un dels punts importants del seuprograma d’actuacions.

La casa editorial de l’EMS preten servir demarc a les societats nacionals i al conjunt de lesuniversitats d’Europa per facilitar la produccioi difusio de literatura matematica, mantenint ladiversitat que existeix actualment, pero compe-tint contra els preus d’algunes editorials comer-cials i lluitant per evitar que algunes revistesamb recursos modestos hagin de recorrer a so-cietats no europees per a la seva distribucio.La viabilitat d’aquest projecte es va contras-tar publicament en dues reunions amb editorsde revistes i delegats de societats que l’EMSva organitzar a Berlın (el 1998) i a Barcelona(el 2000). En aquestes reunions es varen fer elsprimers contactes per a futures col.laboracions

amb revistes i series de llibres.L’entorn legal d’aquesta casa editorial es

una nova fundacio, subsidiaria de l’EMS, que teels estatuts registrats a Suıssa. El proposit dela Fundacio es acollir la casa editorial i vetllarperque els beneficis economics que s’hi obtin-guin vagin a parar a la comunitat matematicaa traves dels diversos serveis que ofereix l’EMS.

Quart Congres Europeude Matematiques

El 4ecm tindra lloc a Estocolm (Suecia), del 27de juny al 2 de juliol de 2004. Aquest anuncis’havia d’haver fet en l’acte de clausura del3ecm, pero no va ser possible perque en aquelladata no hi havia cap candidatura formal per al’organitzacio del congres del 2004. S’havia es-tat treballant amb un projecte iniciat a Gote-borg, pero que es va retirar per diverses dificul-tats poc abans del 3ecm.

El president del Comite Organitzador del4ecm es Ari Laptev, de l’Institut Reial de Tec-nologia d’Estocolm (laptev@math.kth.es).Els altres membres del Comite son: AndersLindquist, Christer Kiselman, Torsten Ekedahl,Mikael Passare, Ulf Persson i Kjell-Ove Wid-man. El president del Comite Cientıfic del 4ecmes Lennart Carleson. El programa del congresincloura un simposi amb la participacio de pre-mis Nobel d’especialitats relacionades amb lesmatematiques. Anirem donant mes informaciosobre aquest gran congres europeu, successordel nostre, a mida que ens vagi arribant.

Carles CasacubertaUB

Premis i concursos

El Premi Abel (≃ Nobel de Matematiques)

El proppassat mes d’agost, el Govern de No-ruega va aprovar la dotacio de 200 milionsde corones per a fundar el Premi Abel dematematiques, per iniciativa de la Universi-tat d’Oslo i amb el suport de la Societat

Matematica Europea. Aquest anunci s’ha fet enel marc de les celebracions pel bicentenari delnaixement de Niels Henrik Abel (1802–1829).

Aquest premi s’atorgara cada any i ha estatreconegut i aplaudit per la Unio Matematica

24

Internacional, amb el text seguent: ≪The Exe-cutive Committee of IMU in its recent annualmeeting, that took place at the Institute forAdvanced Study, in Princeton, considered thecreation of the Abel Prize as the most impor-tant project in many years for the developmentof mathematics worldwide, in fact as capable ofgreatly changing the scenario within a few ye-ars of its establishment. Of course, the question

of having an award similar to the Nobel Prizefor Mathematics is a century old, and its lack isa perpetually discussed feature of the scientificwork of our community.≫

En efecte, el nivell i la dotacio d’aquest pre-mi el fan comparable als premis Nobel, i cal es-perar que aquesta gran iniciativa tapara un fo-rat historic. Enhorabona per les matematiques!

Carles CasacubertaUB

El Cangur i altres activitats

Volem comencar aquest report agraint, com a comissio Cangur de la SCM, la tasca que hi ha fetPelegrı Viader els darrers anys. Ara que ho ha deixat per raons personals, procurarem seguir el seuimpuls i li dediquem un problema:

PELEGRI − VIADER = CANGUR

Podeu substituir cada lletra per una xifra amb les condicions seguents: lletres iguals, xifres

iguals; lletres diferents, xifres diferents excepte que, com que hi ha ≪mes lletres del compte≫,

tres lletres diferents ≪es veuen obligades≫ a ser substituıdes per la mateixa xifra.

Si voleu fer un reconeixement a la feina que ha fet en Pelegrı, com a cap de la comissio Cangurels darrers anys, envieu un correu electronic amb la solucio (o solucions) que hagueu trobat delproblema a cangur@pie.xtec.es i ja les farem arribar a l’interessat.

Tot seguit, passem a anunciar algunes novetats.

• Com a activitat complementaria al Cangurs’ha convocat un concurs de cartells amb unainteressant participacio. A partir del dia 7 degener podreu veure tots els dissenys presen-tats a la pagina web de la SCM i, llavors, finsal 20 de gener estara obert un termini per-que els centres participants en el Cangur (unvot per centre) puguin emetre les votacionsde quin es el disseny que valoren mes.

• Anna Pol i Marta Berini van assistir, com arepresentants de la comissio de la SCM a Si-naia (Romania), a la reunio europea. Creiemmolt important de destacar que, a les actes dela reunio, la llista de nacions participants fi-gurava tal com es transcriu seguidament: Ale-manya, Austria, Bielorussia, Brasil, Bulgaria,Catalunya, Croacia, Eslovaquia, Eslovenia,Espanya, Estonia, Franca, Georgia, Hongria,Italia, Lituania, Mexic, Moldavia, Paısos Bai-xos, Polonia, Regne Unit, Romania, Russia,Suecia, Republica Txeca i Ucraına.

• A mes de l’elaboracio dels problemes —queactualment la comissio Cangur i els seus as-sessors estan traduint i revisant a fons— i di-versos aspectes de l’organitzacio comuna eu-

ropea, un dels temes de la reunio va ser fixarla data de la prova. Es va establir el dijousdia 21 de marc de 2002. Com que a Catalu-nya es el dijous de la darrera setmana lectivaabans de les vacances de Setmana Santa (co-sa diferent de la Comunitat Valenciana i deles Balears, que tambe s’adhereixen al ≪nos-tre≫ Cangur), la SCM es conscient que la da-ta pot impedir, parcialment, la participaciod’alguns centres. Aquest fet va provocar unampli debat en el si de la comissio, tot analit-zant els pros i els contres d’un hipotetic canvide data, pero va prevaler la tesi de mantenirla data comuna de tots els paısos esmentats.

• En el moment de tancar el termini d’inscrip-cio, que s’ha fet per via telematica, constavena la base de dades 293 centres i una previsiode 8.866 alumnes. Aquı falten els centres dela Comunitat Valenciana, que fan la inscrip-cio a part, i, a mes, un bon conjunt de centresque ja han comunicat que ≪es volien inscriu-re el darrer dia i no van poder≫ (¿per quetanta gent tenim aquesta mania?). Tambe escert que el nombre real de participants de-creix respecte a la preincripcio. Aquestes da-des fan pensar que el nombre de centres, que

25

es mante estable els darrers anys a prop de300, potser augmentara fins a uns 315 i que elnombre d’alumnes, que van ser gairebe 7.000el darrer any, superara molt aquesta xifra, ipotser els 8.000 i tot!

• Tambe s’ha engegat ja la tercera edicio delconcurs col.lectiu i telematic Relleus-2002. Elnombre de centres participants es reduıt, esmante al voltant de vint, pero la participa-cio es fidel. Hi ha un bon nucli de centresque han participat en totes les edicions. Sonles opinions d’aquests centres, que ens diuenque es una iniciativa que els ajuda a fer queels seus alumnes busquin el gust per les ma-tematiques, les que ens impulsen a tirar en-

davant aquesta activitat aixı com el concursen lınia que es fa el dia anterior a l’entregade premis del Cangur. Per que, doncs, no hiparticipen mes centres? Anim!

A la web de la SCM (apartat ≪Concursos≫)trobareu mes informacio de totes aquestes ac-tivitats. Per acabar el report us proposem unproblema extret (com tots els de la primera jor-nada dels Relleus) d’una publicacio de la comis-sio Cangurul de Romania, per a una trobadainternacional de participants en el Kangouroudes Mathematiques. Tots els enunciats van serformulats ≪sense paraules≫ per tal de superar,de manera ben enginyosa, els problemes del’idioma.

XVIII Olimpıada Matematica: fase catalana

Els dies 14 i 15 de desembre de 2001 va tenirlloc la fase catalana de la XVIII Olimpıada Ma-tematica, afectada, com tantes altres coses, perla nevada i el fred d’aquells dies.

El nombre final de participants va ser 62 i elnivell de les respostes va ser, globalment, igual osuperior al dels darrers anys. Les circumstanciesclimatologiques van impedir la presencia d’al-gunes persones que hi volien ser pero, de fet,vista la reduıda assistencia a les sessions de pre-paracio, ja es preveia una participacio ben min-sa. Aquest fet preocupa la Junta de la SCM,que te obert un debat en relacio amb el tema.Us animem a enviar-nos tots els suggerimentsque tingueu per arribar a un nombre mes grand’alumnes.

El dia 19 de desembre es va reunir el tri-bunal qualificador que va atorgar els premisseguents:Primers premis: Sergio Millan Lopez (IES SantaEulalia, l’Hospitalet de Llobregat), Pau Curell

Sanmartı (Aula Escola Europea) i Daniel Ro-drigo Lopez (*) (IES Montserrat Miro, Mont-cada i Reixac).Segons premis: Elsa de Alfonso Prieto-Puga(Aula Escola Europea), Albert Llorens Martı-nez (Centre d’Estudis Vidal i Barraquer, Saba-dell) i Patricia Ceballos Carrascosa (InstitucioCultural del CIC; Barcelona).Tercers premis: Raul Vinyes Raso (*) (Aula Es-cola Europea), Ignasi Abıo Roig (Bell-lloc delPla, Girona) Anna Papio Toda (IES Joan Guin-joan, Riudoms).

Els alumnes assenyalats amb (*) son de pri-mer de batxillerat i la resta, de segon.

El tribunal ha fet constar en les actes, i cre-iem que es molt important ressaltar-ho aquı,un reconeixement molt especial a Sergio Millan,que ha resolt de manera molt elegant tots elsexercicis, fet que creiem que es dona per prime-ra vegada a la nostra Olimpıada. Enhorabona!

Antoni GomaArea de Formacio i Experiencies (SGTI)

26

Noticiari

Mitja jornada de matematica aplicada

La primera part de la jornada matematica del14 de setembre passat es va dedicar a discutirel paper de la matematica aplicada en les socie-tats matematiques tradicionals, i en particularen la Societat Catalana de Matematiques.

La Societat Matematica Europea (EMS),despres de recollir el malestar d’amplis sectorsde la matematica aplicada europea, va organit-zar, del 4 al 6 de maig de 2001, un workshop ala localitat suıssa de Berlingen (vegeu pag. 14del Notıcies 15) per parlar del paper de la ma-tematica aplicada a Europa i de la seva integra-cio en l’EMS. En aquesta reunio es van prendreuna serie d’acords amb l’objectiu de millorarla presencia de la matematica aplicada en lesactivitats de l’EMS i les seves societats filials(podeu accedir al text complet de la declaracioa http://www.emis.de/etc/berlingen.html).

Amb el desig d’explicar els continguts i ob-jectius del acords de Berlingen, la Societat Ca-talana va creure convenient convidar els ma-tematics aplicats de la comunitat catalana adiscutir la situacio actual d’aquesta branca dela matematica i a fer propostes per al futur.

La jornada va constar de dues conferenciesi una taula rodona. La primera conferencia,titulada Applied Mathematics in Europe andthe European Mathematical Society, va anara carrec de Bodil Branner, vicepresidenta del’EMS. En la seva intervencio la professora Bra-ner va fer un resum de la historia de l’EMS iuna explicacio dels punts mes importants de ladeclaracio de Berlingen.

Seguidament, va prendre la paraula Juan

Luıs Vazquez, catedratic de Matematica Apli-cada de la Universitat Autonoma de Madrid iexpresident de la Sociedad Espanola de Ma-tematica Aplicada. En una apassionada con-ferencia, titulada La importancia de les ma-tematiques en la ciencia i la tecnologia, passat ipresent, el professor Vazquez va explicar, ambdiversos exemples, que la principal forca mo-tora del progres matematic dels darrers seglesha estat l’afany de comprendre les lleis de lanatura. Aixo s’hauria de tenir mes en comp-te a l’hora de confegir els plans d’estudis deles llicenciatures en matematiques, per exem-ple, fent mes emfasi en l’estudi de models ma-tematics. La conferencia del professor Vazquezapareixera publicada en un proper numero delButlletı de la SCM.

Les dues xerrades van donar pas, per aca-bar, a una taula rodona, en la qual es va discutirsobre la situacio actual i les expectatives de fu-tur de la matematica aplicada a Catalunya. Hivan intervenir:Ramon Codina, Escola d’Enginyers de Camins(UPC).Angel Jorba, Departament de Matematica Apli-cada i Analisi (UB).Eugenio Onate, Escola d’Enginyers de Camins(UPC).Marta Sanz, membre del Comite Executiu del’EMS (UB).Joan Sola-Morales, Departament de MatematicaAplicada I (UPC).Juan Luıs Vazquez, expresident de la SociedadEspanola de Matematica Aplicada (UAM).

Xavier MassanedaUB

Advanced Courses in Mathematics, CRM Barcelona

El Centre de Recerca Matematica (CRM) ila prestigiosa editorial suıssa Birkhauser Ver-lag signaren l’any passat un conveni per a laproduccio d’una nova serie de llibres titulada≪Advanced Courses in Mathematics, CRMBarcelona≫.

Aquest mes d’octubre ha estat publicat elprimer volum de la serie, titulat Homotopy The-oretic Methods in Group Cohomology, dels au-tors W. Dwyer i H.-W. Henn. Esta previst quees publiquin uns dos volums cada any. Pots veu-re la coberta a:

27

http://www.crm.es/publications/serie.htmEl CRM fara arribar a les biblioteques de

matematiques de les universitats catalanes unexemplar de cada llibre d’aquesta nova serie.

Com el nom general de la serie indica, estracta de textos de cursos avancats (de nivellpostdoctoral recent o doctoral avancat), fruitgeneralment, pero no exclusivament, de les ac-tivitats propies del Centre.

Crec, sincerament, que amb aquesta novaserie la comunitat matematica catalana aug-

menta la seva presencia en els forums internaci-onals i, molt especialment, en el mon editorial.Estic segur que aquesta iniciativa sera benefici-osa per a tots.

Aprofito l’avinentesa per encoratjar-vos aparticipar en les activitats del CRM, un ins-titut al servei de tota la comunitat matematicacatalana, obert a col.laborar tambe amb els ma-tematics del nostre entorn geografic i culturalmes proxim.

Manuel CastelletDirector CRM

Reunions de Degans i Directors i Conferencia de Degans

de Matematiques

Durant els dies 18 i 19 de setembre de 2001 vatenir lloc a Valladolid la Tercera Reunio de De-gans i Directors de Matematiques, com a conti-nuacio natural de les dues anteriors que, durantl’any 2000, es van celebrar a Santiago de Com-postel.la i a Barcelona, respectivament. L’exitd’aquestes dues reunions va aconsellar consoli-dar, per al futur, no tan sols la celebracio pe-riodica d’aquests esdeveniments sino tambe elmodel que s’hi va adoptar. En aquest model s’-han observat dues caracterıstiques remarcables:

a) Les Reunions de Degans i Directors sonforums de debat sobre les perspectives, ac-tius, problemes i estudis sobre la professio ide la titulacio de matematics.

b) La participacio es refereix com a mınim alscentres en que s’imparteix la llicenciaturaen matematiques i a les institucions natu-ralment vinculades o associades amb la pro-fessio de matematic.

El forum considerat a l’apartat a) es oberti amb participacio recomanada i suggerida ales persones amb responsabilitats de direccio enmatematiques. Te el format i l’estructura quehan agafat les tres reunions ja celebrades, i lesseves activitats, per logica, no son regulables.La participacio oficial dels centres i instituci-ons referides a l’apartat b) s’ha de dur a ter-me com a membres d’una associacio l’activitati govern de la qual han d’estar regulats. A lareunio de Barcelona es va acordar que s’elabo-ressin els estatuts i que es constituıs aquesta

associacio amb motiu de la propera reunio a laUniversitat de Valladolid. Les reunions anualsdel forum considerat a l’apartat a) i de l’asso-ciacio consequencia de b) han de celebrar-se enles mateixes dates i el mateix lloc.

La Comissio Gestora elegida a Barcelona vaelaborar el juliol de 2001 l’esborrany d’Estatutsde l’associacio Conferencia de Degans de Ma-tematiques (CDM), els quals, despres del cor-responent proces de debat, van ser aprovats enl’Assemblea Constituent de la CDM celebra-da a Valladolid el dia 18 de setembre de 2001.Aquests Estatuts foren ratificats a l’AssembleaGeneral de 2001 de la CDM celebrada l’endemaen el mateix lloc, i en la qual tambe foren elegitsels seus organs de govern i designada la cele-bracio de la seguent Reunio de Degans i Direc-tors de Matematiques a la Universitat de Gra-nada. Segons els Estatuts, la CDM s’encarregade la programacio de les Reunions de Degansi Directors futures, exerceix la representacio ies interlocutora dels degans i directors de ma-tematiques enfront de qualsevol situacio.

En l’esperit de les tres reunions celebrades,entre els membres de la CDM han d’arribar aestar representades (en un termini idealmentbreu) la totalitat de les universitats publiquesaixı com organismes publics d’investigacio i so-cietats que agrupen nuclis amplis i heterogenisde matematics i que estan ubicats en el terri-tori nacional. Els Estatuts de la CDM en vigorpreveuen una incorporacio articulada i ordena-da de membres. L’acta constituent de la CDM

28

firmada a Valladolid inclou els seus membresordinaris, que es corresponen amb les facultatso centres en que s’imparteix el tıtol de llicen-ciat en matematiques (el tıtol que defineix laprofessio de matematic). Els membres associ-ats poden incorporar-se, despres de la sol.lici-tud previa (realitzable en qualsevol moment),a la CDM (a traves de la seva Comissio Per-manent), un cop que aquesta sol.licitud sigui

resolta positivament per la CDM. Per les raonsanteriorment exposades, es recomanable que lesuniversitats, organismes o societats alienes a latitulacio de llicenciat en matematiques sol.lici-tin a la CDM com mes aviat millor la incorpo-racio com a membre, amb el benentes que estracta normalment d’un unic membre per uni-versitat o organisme.

Conclusions de la Tercera Reunio de degans i Directors de Matematiques.

Valladolid, 18 i 19 de setembre de 2001

1. Donar suport a la celebracio a Madrid delCongres International de Matematiques de2006 (ICM 2006) i de totes les seves activi-tats satel.lits.

2. Aconsellar, com a estrategia sistematica pera consolidar el nivell i procurar augmentarel nivell de qualitat en les matematiques es-panyoles, l’accio col.lectiva de les comunitatsmatematiques en relacio amb tots els temeso plantejaments.

3. Donar suport i col.laborar activament i cons-tant en el proces d’harmonitzacio europeade la titulacio i professio de matematic. Sol-licitar al Ministeri d’Educacio el calendari iprevisions per a l’esmentada harmonitzacio.

4. Donar suport i promoure les iniciatives de laXarxa Documat i la cooperacio en els temesdocumentals en matematiques. Prendre ini-ciatives per a la millora dels fons matematicsaccessibles a la comunitat cientıfica nacional.

5. Identificar competencies professionals delsmatematics. Tenir-los escrupolosament encompte en l’actualitzacio dels plans d’estudide la llicenciatura i d’altres possibles tıtolsassociats o satel.lits d’aquesta. Desdramatit-zar i agilitzar les reformes dels plans d’estu-di.

6. Transmetre a la societat, amb claredat i in-sistencia, la qualitat de l’ocupacio actualdels llicenciats en matematiques i de l’apre-ciable grau de satisfaccio dels qui els contrac-ten, especialment en el sector empresarial.

7. Sensibilitzacio per la necessitat d’estımul ide reconeixement professional a la qualitatde la docencia de les matematiques.

8. Preocupacio maxima pel proces de proporci-onar una formacio adequada i de qualitat alprofessorat de matematiques d’educacio se-cundaria i interes per intervenir directamenten aquest proces.

9. Facilitar l’acces organitzat als llenguat-ges de les noves tecnologies, i a les apli-cacions quotidianes d’aquestes, en sectorsindustrials als estudiants i llicenciats en ma-tematiques. Paral.lelament, propiciar l’accesal llenguatge matematic en altres titulaci-ons.

10. Promoure, donar suport i facilitar la creaciod’instituts d’investigacio en matematiquesvinculats a les universitats que integrin l’ac-tivitat investigadora de les mateixes. Pro-moure la coordinacio i harmonitzacio entreells. Impulsar urgentment programes de ter-cer cicle operatius i de qualitat centrats enles matematiques o relacionats amb algunesde les seves implicacions. Observar i apreci-ar que la financiacio dins de l’Espai Europeud’Investigacio no arribara uniformement dis-tribuıda sino concentrada en grups amplisd’investigadors.

11. Sensibilitzacio envers l’aprofitament de lesaccions i polıtiques especıfiques en el campde la investigacio impulsades des del nou Mi-nisteri de Ciencia i Tecnologia. Promoure lainvestigacio I+D en matematiques. Fomen-tar la configuracio de grups d’investigaciodels quals formin part tant especialistes eninvestigacions basiques, com en investigaci-ons aplicades, com en la innovacio.

Antonio CampilloDega de la Facultat de Matematiques, Valladolid

29

Agenda

ACM Symposium on Computational Geometry 2002

Del 5 al 7 de juny de 2002 a la Universitat Po-litecnica de Catalunya. Patrocinat per ACM SI-GACT i SIGGRAPH

L’ACM Symposium on Computational Ge-ometry 2002 tindra lloc a la Universitat Po-litecnica de Catalunya. El Comite de programate la doble presidencia de Subhash Suri, dela Universitat de California, especialista en elvessant teoric, i de Chandrajit Bajaj, de laUniversitat de Texas, especialista en el vessantde les aplicacions. Tambe hi haura una sessiode vıdeos, amb Comite de seleccio presidit perGill Barequet, de la Universitat de Haifa.La presidencia de la realitzacio i organitzaciodel congres correspon a Ferran Hurtado iVera Sacristan, de la UPC. El Departamentde Matematica Aplicada II sera l’amfitrio prin-cipal de l’esdeveniment.

Els continguts cientıfics principals del ves-sant teoric son els Algorismes geometrics i laGeometria combinatoria, mentre que els delvessant aplicat son les Implementacions i apli-cacions de geometria computacional.

Els temes per a l’apartat teoric inclouen,entre d’altres, disseny i analisi teorica d’algo-

rismes geometrics i estructures de dades; fitesinferiors per a problemes geometrics; geometriadiscreta i combinatoria. Els temes per a l’a-partat aplicat inclouen, entre d’altres, analisiexperimental d’algorismes i estructura de da-des; questions matematiques i numeriques queprovenen d’implementacions; nous usos de geo-metria computacional en altres disciplines, comrobotica, informatica grafica, modelitzacio ge-ometrica, produccio assistida per ordinador, sis-temes d’informacio geografica, i biologia mole-cular.

Hi haura un premi per al millor treball d’unestudiant de doctorat.

Membres del Grup de Geometria Com-putacional de la UPC col.laboren en l’orga-nitzacio local, particularment Carmen Her-nando, Merce Mora, Jose Luis Ruiz i CarlosSeara. Tambe es compta amb el suport ad-ministratiu del Departament de Matemati-ca Aplicada II: Dıdac Guardia i Mar-

got Saez. Podeu trobar mes informacioa: http://www-ma2.upc.es/∼geomc/events/socg2002/

socg2002.html

Ferran HurtadoUPC

Dia Escolar de les Matematiques

Enguany, la Federacion Espanola de Sociedadesde Profesores de Matematicas, d’acord amb elque es du a terme des de fa tres anys, ha pensatdedicar el dia 11 de maig de 2002 a ≪Les ma-tematiques d’Alicia i Gulliver. El que es gran

i el que es petit≫ per a celebrar el Dia escolarde les Matematiques. Encoratgem el professoratde matematiques dels centres d’ensenyament aelaborar activitats en aquesta lınia per podertreballar-les amb els alumnes en aquesta data.

Marta BeriniFEEMCAT

30

Cursos i congressos que organitza el CRM

Stochastic Inequalities and theirApplications

Del 17 al 21 de juny de 2002 al CRM.

Comite Cientıfic:Evarist Gine, University of Connecticut

Christian Houdre, Georgia Institute of Techno-

logy, Atlanta

David Nualart, UB

Conferenciants:Luis Caffarelli, University of Texas

Nicolai Hrylov, University of Minnesota

Rafal Latala, Warsaw University

Michel Ledoux, Universite de Toulouse

Gabor Lugosi, UPF

Pascal Massart, Universite de Paris-Sud

Colim McDiarmid, University of Oxford

Philip Protter, Cornell University

Emmanuel Rio, Universite de Versailles

Ofer Zeitouni, Technion University

http://www.crm.es/stochineq

Advanced Course on MathematicalFinance: Further models

De l’1 al 6 de juliol de 2002 al CRM.

Coordinador:Juan del Castillo, UAB

Conferenciants:Tomas Bjork, Stockholm School of Economics

Thomas Mikosch, University of Copenhagen

Neil Shephard, Nuffield College and Oxford

University

http://www.crm.es/matfin

2002 Barcelona Conference on AlgebraicTopology

Del 2 al 6 de juliol de 2002 a la seu de l’IEC.

Comite Cientıfic:Jaume Aguade, UAB

Carles Broto, UAB

Carles Casacuberta, UB

Manuel Castellet, CRM

Haynes Miller, MIT

Conferenciants:Pete Bousfield, University of Illinois at Chica-

go

John Greenlees, University of Sheffield

Mark Hovey, Wesleyan University

Ran Levi, University of Aberdeen

John Rognes, University of Oslo

Antonio Viruel, Universidad de Malaga

Ponents:Ib Madsen, University of Aarhus

Haynes Miller, Massachusetts Institute of

Technology

Graeme Segal, University of Oxford

http://www.2002bcat.org

Modular Curves and Abelian Varieties

Del 15 al 18 de juliol de 2002 al CRM.

Comite Cientıfic:Josep Gonzalez, UPC

Joan Carles Lario, UPC

Jordi Quer (coordinador), UPC

Anna Rıo, UPVC

Conferenciants:Hevin Buzzard, Imperial College, London

Henri Darmon, McGill University, Montreal

Jordan Ellenberq, Princeton University

Gerhard Frey, Universitat fur Experimentellet

Mathematik, Essen

Joan Carles Lario, Universitat Politecnica de

Catalunya

Bjorn Poonen, University of California at

Berkeley

Henneth Ribet, University of California at

Berkeley and MSRI

William Stein, Harvard University

http://www.crm.es/mcav02

Advanced Course on Geometric3-Manifolds

Del 12 al 20 de setembre de 2002 al CRM.

Coordinador:Joan Porti, UAB

Conferenciants:Michel Boileau, Universite Paul Sabatier

Bernhard Leeb, Unviersitat Tubingen

Jean-Pierre Otal, Ecole Normale Superieure

de Lyon

http://www.crm.es/geom-mani

31

Llibres

An introduction to difference equations

Autor: Saber N. Elaydi

≪Undergraduate Texts in Mathematics≫, Springer-Verlag, 1999 (2a ed.).

Les equacions en diferencies (EeD) aparei-xen de manera natural en problemes d’a-ritmetica, analisi classica, analisi numerica, sis-temes dinamics, teoria de control, processosestocastics i, evidentment, en qualsevol disci-plina cientıfica on la modelitzacio discreta defenomens que evolucionen en el temps tinguiun paper rellevant. Potser aquesta diversitat faque no sigui facil trobar fonts que presentin undiscurs sistematic d’estudi de les EeD. No esaquest el cas del llibre que ressenyem, i la nos-tra opinio es que aquesta es la seva principalvirtut.

Aconsellem la consulta del llibre al lectorque desitgi introduir-se en l’ambit de les EeD.Pero com que l’obra es presenta com un manuald’EeD per a un curs de llicenciatura, o com afont complementaria d’un curs de teoria de con-trol, creiem que sera de gran utilitat al professorque vulgui preparar un curs sobre la materia.En aquest sentit, un curs basic quadrimestralper a llicenciats en matematiques o en fısicaes podria preparar a partir dels capıtols 1 al4, amb algunes de les aplicacions del capıtol 6.D’especial interes per a aquells que hagin depreparar cursos avancats de matematiques en

carreres o programes de doctorat d’enginyeria,son els capıtols 5 i 6, dedicats a la transfor-mada Z —la versio discreta de la transformadade Laplace— i a la teoria de control, respectiva-ment. Recomanem, doncs, que estigui present ales biblioteques de les nostres universitats. Pen-sant en els estudiants, el nostre parer es que perseguir el llibre cal haver consolidat els coneixe-ments elementals de l’analisi i de l’algebra line-al. Per l’estructura del llibre, els sera molt mescomoda la lectura a aquells que hagin seguitun curs estandard d’equacions diferencials or-dinaries (EDO). Aixo es per que els contingutsdels capıtols 1 a 4 es presenten d’una maneraanaloga a com es presenten els continguts en elsmanuals usuals d’EDO.

El capıtol 1 conte una recopilacio de la ter-minologia propia de les EeD (punt d’equilibri,punt periodic, cicles, atractors, diferents tipusd’estabilitat, diagrames de teranyina i de bifur-cacio), presentada a traves de l’estudi de dife-rents exemples d’EeD de primer ordre que pro-venen de camps diversos.

En el capıtol 2 s’examinen les tecniques deresolucio d’EeD lineals: es presenta el metodedels coeficients indeterminats i els metode devariacio de les constants. El capıtol 3 esta de-dicat a l’estudi dels sistemes lineals. S’introdu-eix la notacio matricial, s’obte la formula devariacio de les constants, i es presenta la teo-ria de Floquet per a sistemes d’EeD lineals pe-riodics. El capıtol acaba presentant aplicacionsdels continguts a l’estudi de cadenes de Markov,de l’equacio de la calor discreta i d’un mo-del que explica l’evolucio del comerc entre dospaısos. El capıtol 4 conte una exposicio classicade teoria d’estabilitat per a EeD. En primer lloces fa una analisi dels retrats de fase i s’estudial’estabilitat per sistemes lineals. Tambe es pre-senta el segon metode de Liapunov (o metodede les funcions de Liapunov), i s’enuncia el te-orema de Hartman-Grobman.

La transformada Z es una eina d’analisid’EeD lineals molt emprada al mon de l’engi-nyeria de control, les telecomunicacions i el pro-

32

cessament de senyal. De fet, es l’analeg discretal que representa la transformada de Laplaceper a les EDO lineals. La transformada Z espresenta i s’estudia en el capıtol 5. Cal advertirals estudiants que per llegir aquest capıtol es ne-cessari tenir una mica frescos els coneixementsbasics de nombres complexos. Com a continu-acio natural d’aquest capıtol, en el capıtol 6 espresenta una interessant introduccio a la teoriade control en temps discret.

Els capıtols 7 i 8 tenen un caracter mes es-pecıfic. El capıtol 7 es dedica a l’estudi de lessolucions que oscil.len al voltant d’un punt d’e-quilibri (teoria d’oscil.lacions) i el capıtol 8 es

dedica a l’estudi del comportament asimptoticde les solucions de les EeD. El capıtol 9 te uncert caracter miscel.lani: es presenten algunesaplicacions de les EeD per a l’estudi de les frac-cions contınues i per a l’estudi dels polinomisortogonals.

Saber N. Elaydi es professor de la Univer-sitat de San Antonio, Texas. Es tambe autord’una llarga llista d’articles de recerca, i editorde la revista Journal of Difference Equationsand Applications, de la qual recomanem especi-alment la seva seccio ≪Open problems and con-jectures≫, que coordina G. Ladas.

Vıctor Manosa,UPC

Stamping through mathematics

Autor: R. J. Wilson

Springer-Verlag, 2001.

Robin J. Wilson es professor del Keble Colle-ge d’Oxford i de l’Open University, interessatper la popularitzacio de les matematiques. Desdel 1984 col.labora a l’≪Stamp Corner≫ de larevista The Mathematical Intelligencer.

Per l’autor, els segells de correus constituei-xen una manera atractiva per ensenyar les ma-tematiques i el seu desenvolupament. Per aixoel subtıtol, ≪Una historia il.lustrada de les ma-tematiques al voltant dels segells≫, ja ens diuque el llibre no es un cataleg sobre filateliamatematica. Es tracta de fer un recorregut,explıcitament no convencional, per la historiade les matematiques, mostrant com aquesta haquedat reflectida en els segells de correus detot el mon. La idea es molt bonica: penseu queaquests segells ens donen algunes indicacionsper entendre que ha transcendit de la nostraciencia a la societat, i quins son els matematicsque la gent coneix i reconeix. En certa mane-ra, i al meu entendre, l’autor ens presenta una≪historiapop≫ de les matematiques.

El llibre es una bonica delicatessen. Hiabunden les fotografies a tot color (d’unsquatre-cents segells en total), a on trobareu ma-tematics insignes, segells d’homenatge a certsresultats, segells a on apareixen objectes ma-tematics de gran bellesa plastica. Tot aixo ex-

posat seguint un ordre historic, i acompanyantles fotografies dels segells amb comentaris ex-plicatius sobre els continguts del segells i el seucontext.

33

Aixı doncs, com a qualsevol manual d’-historia, hi trobarem apartats dedicats a lamatematica grega, xinesa, inca, maia, la ma-tematica islamica, l’edat mitjana d’Occident,el Renaixement, el segle xvii a Franca, l’emer-gencia de l’algebra i la geometria al segle xix,fins arribar a la matematica i la fısica del se-gle xx. Hi trobarem tambe apartats dedicats alscalendaris, a l’astronomia nova de la revoluciocientıfica, a la matematica i l’art del Renaixe-ment, els jocs del go i els escacs, la naturalesa

i la matematica. . . , aixo i mes.L’obra es imprescindible per als aficionats a

la filatelia matematica (o cientıfica en general),pero es tambe un bon complement (ludic si vo-leu) per a aquells que estiguin interessats en lahistoria de les matematiques. En definitiva, enstrobem al davant d’una llaminadura, que pot-ser no alimenti gaire, pero que innegablementdona plaer. En la mesura que els pressupostosho permetin, seria bo que estigues present a lesnostres biblioteques.

Vıctor ManosaUPC

Chance rules: An informal guide to probability, risk, and statistics

Autor: Brian S. Everitt

Springer-Verlag, Nova York, 1999.

L’autor es cap del Departament de Bioes-tadıstica i Informatica de l’Institut de Psiquia-tria, del King’s College de Londres. Es autorde trenta llibres d’estadıstica; aquı en tenim al-guns exemples:

• Cluster analysis. Halsted Press, Nova York(diverses edicions).

• The analysis of contingency tables. Chapmanand Hall, Londres (diverses edicions).

• The Cambridge dictionary of statistics inthe medical sciences. Cambridge UniversityPress, Cambridge, 1995.

• The Cambridge dictionary of statistics. Cam-bridge University Press, Cambridge, 1998.

En tot cas, quan un te a les mans un llibre idubta si el vol comprar, normalment en llegeixel resum que surt a la contracoberta. Em per-meto citar una part d’aquest resum, traduıdade l’angles:

≪. . .Chance rules explica la historia de lanostra apreciacio de l’atzar al llarg dels segles iles diverses maneres que aquest afecta les nos-tres vides. Llegireu sobre els primers jugadorsque pensaven que la caiguda d’un dau estavacontrolada pels deus, aixı com sobre un geneticmodern o un investigador de la teoria quanticaque intenten integrar alguns aspectes de la pro-babilitat a les arees que han escollit. Sobre la

marxa, l’autor utilitza molts exemples interes-sants per il.lustrar diversos aspectes de l’at-zar, com ara el problema desconegut de MontyHall, tirada de monedes, coincidencies, cursesde cavalls, aniversaris i fills, descripcio de DNA,riscos relacionats amb la salut, assaigs clınics,terapies alternatives.

Aquest llibre, ben escrit i facil de compren-dre, us enganxara a aquest camp interessant iaviat sereu vosaltres els que contareu els vostrespropis acudits sobre l’atzar. . . ≫

Despres d’haver llegit un resum com aquest,es logic que un comenci a mirar els continguts ien trobara els apartats seguents: ≪Breu historiade l’atzar≫. ≪Tirar monedes i tenir fills≫. ≪Dau≫.≪Apostar per divertir-se: loteries i travesses defutbol≫. ≪Jocs “seriosos”: ruleta, naips, cursesde cavalls≫. ≪Boles, aniversaris i coincidencies≫.≪Probabilitat condicionada i l’Honorable Tho-mas Bayes≫. ≪Probabilitats que desconcerten≫.≪Prendre riscos≫. ≪Estadıstics, estadıstica i me-decina≫. ≪Terapies alternatives: panacees o pla-cebos?≫ ≪Atzar, caos i cromosomes.≫ A mes,fullejant el llibre hi veureu dibuixos divertits,fotos i gravats, de manera que segurament endemanareu preu al llibreter. Us emportareu elllibre i, sens dubte, no ho lamentareu, ja que elllibre s’ho mereix.

Per comencar, es dona un repas no gairellarg, pero molt interessant, dels jocs de l’at-zar que, segons l’autor, van esdevenir, com a

34

mınim, 3.000 anys abans de Jesucrist. Es fa re-ferencia al primer objecte, l’anomenat astraga-lus, l’os lleugerament retocat de turmell d’ove-lla o qualsevol altre dels artiodactils, que s’u-tilitzava com a element de l’atzar. Es repro-dueix una pintura mural d’una tomba egıpciaque representa una persona noble en la seva vi-da postmortal utilitzant l’astragal en un joc detaulell. Entre els exemples de jocs d’atzar enles epoques i pobles diferents, crida l’atencio elque diu que en la comunitat jueva els rabinssovint veien aquests jocs amb mals ulls, i els ju-gadors es consideraven lladres. Curiosament, elproblema no era el joc per si mateix, sino el fetque el guanyador s’emportava tot el guany sen-se pagar una recompensa justa! Aixı, de formadistesa i entenedora, l’autor porta el lector pelmon de les probabilitats i estadıstiques, sensedeixar al marge les probabilitats frequentista isubjectiva. No abusa de formules, pero se’n do-nen algunes, com diu l’autor al prefaci, ≪igno-rant la precaucio de Stephen Hawking que cadaequacio inclosa en un llibre redueix a la meitatles seves vendes≫.

El que sı augmenta les vendes es la inclusiode fets interessants i poc coneguts. Per exemple,durant set generacions de la famılia Pitofsky,als Estats Units, mes d’un segle, segons el dia-ri New York Times, naixien nomes nens. L’any1959 va neixer el quaranta-sete (!) nen conse-cutiu, tot i que l’autor expressa certes reservesrespecte de la veracitat d’aquesta informacio.

El capıtol dedicat a coincidencies presentauna comparacio molt curiosa sobre AbrahamLincoln i John Fitzgerald Kennedy, dos presi-dents nord-americans vıctimes dels dos assas-sinats mes tragics en la historia dels EUA. Enreproduım nomes alguns fets:

1. Lincoln va ser elegit al Congres l’any 1846 iKennedy, l’any 1946.

2. Lincoln va ser elegit president l’any 1860 iKennedy, l’any 1960.

3. Tots dos van ser assassinats en divendres, enpresencia de les seves dones.

4. Tots dos van ser rellevats per un presidentque es deia Johnson de cognom, ambdosdemocrates del sud i senadors amb anterio-ritat.

5. Pel que fa als presidents successors, AndrewJohnson va neixer l’any 1808 i Lyndon John-son, l’any 1908.

6. L’assassı de Lincoln, John Wilkes Booth, vaneixer l’any 1839 i el de Kennedy, Lee HarveyOswald, l’any 1939.

En aquest capıtol se cita un dels estadıstics mesimportants del segle xx, R. A. Fisher, que hadit que allo que tingui ≪una possibilitat sobreun milio sens dubte passara, amb ni mes nimenys que la seva frequencia adient, la nostrasorpresa es, pero, que ens hagi passat a nos-altres≫. Per tant, s’ha de distingir entre esde-veniments rars i impossibles (a mes, tenint encompte que el fet que un esdeveniment es im-possible, es a dir, te probabilitat zero, no signi-fica que sigui buit! ).

Alguns capıtols del llibre estan dedicatsa aplicacions mediques de probabilitat i es-tadıstica, la qual cosa no sorpren si recordemel carrec que ocupa l’autor. S’hi arriba a par-lar de terapies alternatives, homeopatia, DNA igenoma, mantenint sempre la manera informald’exposicio, la qual cosa ajuda molt que el lec-tor s’enriqueixi amb fets i problemes reals. Peracabar, vull proposar tres problemes del capıtol≪Probabilitats que desconcerten≫.

a) Li truca a la porta una nova veına perdemanar-li una tassa de sucre. Voste li de-mana si te fills. Diu que en te dos. ≪Algunnoi?≫, pregunta voste. Sı, diu, i se’n va.

35

b) Li truca a la porta una nova veına perdemanar-li una tassa de sucre. Voste li de-mana si te fills. Sı, diu, un de cinc anys i unaltre de nou. ≪El mes gran es un noi?≫, de-mana voste. Sı, diu, i se’n va.

c) Li truca a la porta una nova veına perdemanar-li una tassa de sucre. Voste li de-mana si te fills. Diu que en te dos. ≪Algunnoi?≫, pregunta voste. Sı, diu, i se’n va. L’en-dema la veu al carrer amb un fill petit. ≪Esseu el nen?≫, li demana. Sı, contesta.

En cadascun dels tres casos es demana la proba-bilitat que tots dos fills de la veına siguin nois,suposant que la probabilitat que neixi un noies 0,5 i que el sexe d’un nen nounat no dependel sexe dels fills anteriors de la famılia. Esperoque no us desconcertin aquestes probabilitats,per cert, iguals a 1/2, 1/3 i 1/2, i que els vostresalumnes tambe perdin la por a les probabilitatsi estadıstiques que sovint els espanten molt mesdel que cal!

Vladimir ZaiatsUV i UAB

Introduction to cryptography

Autor: Johannes A. Buchmann

Springer-Verlag, Nova York, 2001.

Aquest es un llibre agradable. L’autor, Johan-nes A. Buchmann, es editor associat del Jour-nal of Cryptology i professor del Departamentd’Informatica i Matematiques de la Universi-tat Tecnica de Darmstadt. En la introducciose’ns diu que ≪aquest llibre esta pensat per alslectors que volen aprendre els algorismes crip-tografics moderns i no tenen una gran prepa-racio matematica previa≫. De manera que elsdos primers capıtols forneixen el lector de to-ta la maquinaria necessaria per poder entendreen profunditat aquesta estranya disciplina ques’atreveix a reunir sota un mateix sostre teoriade nombres i tecnologia punta.

En el primer capıtol es presenten els fets meselementals de l’aritmetica, des de la divisibili-tat d’enters fins a l’algorisme estes d’Euclides.S’hi introdueixen les notacions O- i Ω- i s’uti-litzen amb especial cura a l’hora d’avaluar elcost computacional de les operacions elemen-tals. Tots els resultats estan escrupolosamentdemostrats i se segueix l’esquema classic defini-cio-teorema. I malgrat tot la lectura es amena,gracies a una gran quantitat d’exemples (con-cebuts, sens dubte, per donar suport als lec-tors amb formacions academiques no estricta-ment matematiques). Amb el mateix esperit, elcapıtol 2 introdueix les congruencies, l’anell declasses residuals, els conceptes de cos, grup isubgrup (ordre d’un element, ciclicitat, genera-dors), els teoremes petit de Fermat i xines dela resta, l’anell de polinomis sobre un cos.

El capıtol 3 presenta els conceptes i la no-menclatura propis d’aquesta disciplina. Es des-criuen alguns sistemes de xifratge de l’era pre-tecnologica (Vigenere, Hill, transposicio) ambllenguatge modern, i alguns exemples de xifrat-ge en bloc, que serveixen de preparacio per alcapıtol 5, on s’explica exhaustivament el cripto-sistema DES, el mes utilitzat durant els darrersvint-i-cinc anys.

El capıtol 4 enuncia i prova el famos teo-rema del secret perfecte de Shannon. Per fer-ho calen alguns conceptes de teoria de proba-bilitats. L’autor no s’esta de res i, en quatre

36

pagines, introdueix de manera entenedora laprobabilitat condicional, els esdeveniments in-dependents, el teorema de Bayes i la ≪paradoxadels aniversaris≫.

Els capıtols 6, 7, 8 i 9 conformen una uni-tat dedicada als sistemes de clau publica. Elscapıtols 6 i 8 analitzen la dificultat de facto-ritzar un enter extremadament gran. Hi apa-reixen els patologics nombres de Carmichael iels tests de Fermat i Miller-Rabin, que ens per-meten afirmar, amb probabilitat alta, que unenter donat es primer. Els capıtols 7 i 9 es-tan dedicats a la descripcio dels dos sistemesde clau publica mes importants: RSA i ElGa-mal. I tambe a la del protocol d’intercanvi declaus de Diffie-Hellman. De tots aquests algo-rismes, se n’avalua la seguretat i se’n comparal’eficiencia. Aquı l’autor tambe juga fort i enstrobem amb aquesta perla: ≪it may very wellbe that someone already knows an efficient fac-

toring algorithm and that RSA is insecure.≫

Els capıtols 10 i 11 introdueixen les funci-ons de compressio, la necessitat d’evitar la su-plantacio de personalitat mitjancant la signatu-ra electronica, i la implementacio de l’algorismeDSA de signatura digital.

Finalment, s’agraeix especialment el contin-gut dels capıtols 12, 13 i 14, que tracten, encaraque breument, temes que habitualment es dei-xen de banda en els textos classics de criptogra-fia elemental: construccio de grups finits en elsquals es difıcil resoldre el problema del logarit-me discret, identificacio i gestio de passwords,autoritats certificadores.

Cada capıtol consta d’una extensa llista deproblemes de tota mena: facils, difıcils, diver-tits, de programacio, purament matematics. Lameitat dels exercicis proposats estan resolts enun apendix final.

David JuherUniversitat de Girona

Problemes

Abans de parlar dels problemes, permeteu-me que em presenti. Soc en Carles Romero, i, a partird’aquest numero del Notıcies, em faig carrec d’aquesta seccio. He rebut tots els protocols, arxius ibenediccions d’en Pelegrı Viader, qui se n’encarregava fins ara, i em llenco a l’aventura de seguiroferint-vos aquestes racions de tapes, que, espero, trobareu prou saboroses.

Be, parlem de problemes de matematiques: del problema A46, no n’hem rebut cap solucio.Un acostament naıf porta a quatre pesades com a mınim, pero no es gaire arriscat sospitar (i elproposant ho creu) que es pot fer en tres. Aixı doncs, el tornem a proposar tot animant-vos arerumiar-lo.

I, com ja es feia abans, preguem als nostres lectors que, si fan servir TEX o LATEX per escriure lesseves solucions, les enviın per correu electronic a: (cromero@pie.xtec.es) aixı com qualsevol propostao suggeriment. (Sı, es clar, abans s’enviava a una altra adreca!)

Problemes proposats

A46. (Proposat per Jordi Ramoneda, Valldo-reix.) Tenim 12 boles iguals i indistingibles entot llevat del pes, ja que una d’aquestes pesadiferent de les altres, no sabem si mes o menys.Disposem d’una balanca de dos plats. Quin esel mınim nombre de pesades que ens cal fer pertal de trobar la bola diferent?

A50. (Proposat per Pelegrı Viader, UPF.) Ins-

pirat en l’article de G. Polya ≪On the Harmonic

Mean of Two Numbers≫, The American Mathema-

tical Monthly, vol. 57, num. 1, gener 1950, p. 26–28.)

En Joan fa la seguent juguesca amb la Joana:≪tria un nombre real qualsevol entre 9 i 11 (ex-trems inclosos); si t’equivoques en mes del 10%

37

del que hi ha escrit en aquest paper que jo nohe vist, em pagues un cafe. Si no, te’l pago jo≫.La Joana, que es una excel.lent alumna de ma-tematiques, s’ho pensa una mica, fa uns quantscalculs i li diu un nombre al Joan. Aquest, sen-se ni tan sols consultar el paper, li paga el cafe.Quin numero havia triat la Joana?

A51. (De Teaching Mathematics and itsApplications, vol. 12, num. 1, 1993, p. 45.) Esben conegut que, per tal de generar solucionsenteres de a2 + b2 = c2, cal prendre p i q enters

qualssevol i fer a = p2−q2, b = 2pq i c = p2+q2.Hi ha algun mecanisme similar per tal de gene-rar solucions enteres de a2 + b2 = c3?

A52. (≪59th Annual William Lowell PutnamMathematical Competition≫) Sigui s un arcqualsevol del cercle unitat, situat tot ell al pri-mer quadrant. Siguin A l’area de la regio trape-zoidal compresa entre l’arc i l’eix “x” i B l’areade la regio trapezoidal compresa entre l’arc il’eix “y”. Demostreu que A + B nomes depende la longitud de l’arc s i no de la seva posicio.

Solucions

Problemes proposats a SCM/Notıcies 15

A47. (Proposat per Edgar Gueto, UPC.)

Proveu que, per qualssevol p, n ∈ N,

p2·5n

+ p5n

+ 1

p2 + p+ 1∈ N .

Solucio: (Esteve Casas, Sant Celoni.) Si con-siderem el numerador i el denominador com apolinomis (com si p fos una variable), la ideasera demostrar que el numerador es multipledel denominador i, per tant, que l’expressio es,en realitat, un element de Z[p]. A partir d’aquı,la conclusio es obvia.

Les arrels de p2 + p + 1 =p3 − 1

p− 1son les

arrels cubiques de la unitat diferents de 1. Ano-menem-les ξ i ξ2 = ξ−1.

Si analitzem 5n ≡ (mod 3) podem veureque, en ser 5 ≡ −1 (mod 3), resulta 5n ≡ ±1(mod 3).

Si, per exemple, 5n ≡ −1 (mod 3), alesho-res

ξ2·5n

+ ξ5n

+ 1 = ξ + ξ−1 + 1 = 0 .

De manera similar es tractaria el cas 5n ≡ 1(mod 3).

Les dues arrels del polinomi del denomina-dor les te el polinomi del numerador, la qualcosa ens permet afirmar que:

p2·5n

+ p5n

+ 1

p2 + p+ 1= P (p) ∈ Q[p] .

Ara nomes ens cal demostrar que, de fet, P (p) ∈Z[p], la qual cosa es directa ja que, si descom-ponem p2·5n

+p5n

+1 en factors de primer grau i

traiem els factors conjugats (x− ξ) i (x− ξ−1),la qual cosa equival a dividir per p2 + p + 1,obtenim un polinomi a coeficients enters.

De fet, es una propietat coneguda que sitenim un polinomi monic de coeficients entersexpressat com a producte d’altres dos, aqueststambe hauran de ser de coeficients enters.

Solucio del proposant. Per divisio directa veiemque p10+p5+1 es divisible per p2+p+1 i resultap8 − p7 + p5 − p4 + p3 − p + 1. Fixem p i defi-nim a(p) = p2 + p + 1 i v(n) = a(p5n

). Llavorsconsiderem u(n) = v(n+ 1)/v(n). Tenim

u(n) =v(n+ 1)

v(n)=v(n + 1)

v(n − 1)· v(n− 1)

v(n)=

=v(n+ 1)

v(n− 1)· 1

u(n− 1).

Repetint els calculs, arribem a

u(n) =v(n + 1)

v(0)· 1

u(n− 1)

· 1

u(n− 2)· · · 1

u(0).

Per tant, fent les substitucions pertinents,

p2·5n+1

+ p5n+1

+ 1

p2 + p+ 1=

(*)

= u(n) · u(n− 1) · · · u(1) · u(0) .

Ara be, hem vist que a(p5)/a(p) ∈ N, ∀p ∈ N,es a dir, a(p5n+1

)/a(p5n

) ∈ N, ∀n, p ∈ N i, pertant, u(n) = v(n+ 1)/v(n) ∈ N∀n ∈ N. Llavorsveiem que l’expressio (∗) es un nombre naturalper qualssevol n i p naturals.

38

A48.(Proposat per Edgar Gueto, UPC.) Con-sidereu la sequencia 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25,26, . . . Proveu que no hi ha quatre termes de laserie que siguin naturals consecutius.

Solucio: (Esteve Casas, Sant Celoni.) La pri-mera cosa que cal notar es que la successio esestrictament creixent i formada per tots els en-ters que son productes de dos primers, no ne-cessariament diferents.

Vegem-ho: 4 = 2 · 2, 6 = 2 · 3, 9 = 3 · 3,10 = 5 · 2, 14 = 2 · 7, etc. i entremig no ensen deixem cap amb aquestes caracterıstiques.Si continuessim els termes de la successio, elstres seguents serien 11 · 3 = 33, 17 · 2 = 34 i7 · 5 = 35 (de passada veiem que hi pot ha-ver tres naturals consecutius i que la quantitatdemanada en el problema es mınima).

Fets aquests aclariments, ens adonarem que,si hi hagues quatre naturals consecutius en lanostra successio, dos serien parells i de la ma-nera 2p i 2q, amb p i q primers i, si suposemque 2p < 2q, aleshores tindrıem 2p + 2 = 2q i,per tant, que p + 1 = q, la qual cosa es impos-sible ja que, tant p com q han de ser senars (sino, p = 2 i q = 3, que tampoc compleixen elsrequisits).

Solucio del proposant. Es clar que hem de co-mencar per veure quina llei segueixen els nom-bres de la serie. Si experimentem una mica, veu-rem que no es ni aritmetica ni geometrica. Nohi ha un metode general que ens permeti trobarla llei de formacio d’una sequencia de naturals,aixı que, senzillament, ens haurem d’adonar queels nombres de la serie son els que son productede dos primers (iguals o diferents). Podrıem dirque son els nombres de grau 2 (perque la sumadels exponents dels primers de la descomposicioen factors primers sumen 2).

Suposem, doncs, que hi ha quatre termes dela serie que son naturals consecutius. Llavors, iaquest es el fet clau, n’hi ha un que es divisibleper 4. Ara be, 4 es un nombre de grau 2, pertant, el nombre que es multiple de quatre hade ser precisament 4, ja que altrament seria demajor grau i no seria a la serie. Aixo significaque el 3 o el 5 han de ser a la serie, pero capdels dos no hi pertany. Per tant, no pot haverquatre termes de la serie que siguin naturalsconsecutius.

B49. (Proposat per Jose Luıs Dıaz, UPC, Ter-rassa.) Donats els nombres a, b, c ∈ C tots dife-

rents i no nuls, proveu que

2a+ b+ c

a(a− b)(a− c)+

a+ 2b+ c

b(b− a)(b− c)+

+a+ b+ 2c

c(c − a)(c− b)=

1

ab+

1

bc+

1

ca.

Solucio: (Esteve Casas, Sant Celoni.) Anem apams:

2a+ b+ c

a(a− b)(a− c)+

a+ 2b+ c

b(b− a)(b− c)+

+a+ b+ 2c

c(c− a)(c − b)=

=1

(a− b)(a− c)+

1

(b− a)(b− c)+

+1

(c− a)(c− b)+

(

a+ b+ c

a(a− b)(a− c)+

+a+ b+ c

b(b− a)(b− c)+

a+ b+ c

c(c − a)(c− b)

)

.

Analitzem en primer lloc el fragment

1

(a− b)(a− c)+

1

(b− a)(b− c)+

+1

(c− a)(c− b)= 0

per tal de veure que val zero. En efecte, si su-mem els dos primers sumands obtindrem el ter-cer canviat de signe. Vegem-ho:

1

(a− b)(a− c)+

1

(b− a)(b− c)=

=(b− c) − (a− c)

(a− b)(a− c)(b− c)=

−1

(c− a)(c− b).

Passem ara a estudiar el factor que ens queda,analitzant-ne en primer lloc el terme:

1

a(a− b)(a− c)+

1

b(b− a)(b− c)+

+1

c(c− a)(c− b)=

=b2 − a2 − bc+ ac

ab(a− b)(a− c)(b− c)+

1

c(c− a)(c− b)=

=(b− a)(a+ b) + c(a− b)

ab(a− b)(a− c)(b− c)+

1

c(c− a)(c − b)=

=−a− b+ c

ab(a− c)(b− c)+

1

c(c− a)(c− b)=

39

=c(c− a− b) + ab

abc(a− c)(b− c)=c2 − ac− cb+ ab

abc(a− c)(b− c)=

=a(b− c) + c(c− b)

abc(a− c)(b− c)=

(b− c)(a − c)

abc(a− c)(b− c)=

=1

abc.

Si ara multipliquem pel terme (a+ b+ c) obte-nim

a+ b+ c

abci, en separar en tres termes i simplificar cadafraccio, ens dona el resultat buscat

1

ab+

1

bc+

1

ca.

Solucio del proposant. Es ben conegut en la te-oria de les diferencies finites [∗] que

f(z0, z1, . . . , zn) =n

∑

j=0

f(zj)n

∏

k=0k 6=j

1

zj − zk. (∗)

En aplicar el resultat anterior a la funcio f(z) =

1+a+ b+ c

z, el primer membre de l’equacio (∗)

es igual a

f(a, b, c) =f(b, c) − f(a, b)

c− a=

=1

c− a

(

a+ b+ c

ab− a+ b+ c

bc

)

=

=a+ b+ c

abc=

1

ab+

1

bc+

1

ca.

D’altra banda, el segon membre de (*) es

f(a)

(a− b)(a− c)+

f(b)

(b− a)(b− c)+

+f(c)

(c− a)(c− b)=

=2a+ b+ c

a(a− b)(a− c)+

a+ 2b+ c

b(b− a)(b− c)+

+a+ b+ 2c

c(c− a)(c− b)

i la identitat queda provada.

[∗] E. Isaacson, H. B. Keller, Analysis of Nume-rical Methods, Dover, 1994, p. 247.

Carles RomeroIES Manuel Blancafort, la Garriga

Tesis

• Maria Alberich i Carraminana va llegir la seva tesi, dirigida per Eduard Casas Alvero,titulada Geometria de les transformacions biracionals del pla, el dia 31 de gener de 2000. La tesicorrespon al Departament d’Algebra i Geometria de la Universitat de Barcelona.

A una transformacio biracional del pla (tambeconeguda amb el nom de transformacio de Cre-mona del pla) f : P → P ′, se li associa el siste-ma lineal (xarxa), sense part fixa, H en el plaP que es la imatge inversa de la xarxa de rectesen P ′. La xarxa H determina la transformaciof llevat d’una projectivitat de P ′. Aleshores unpunt x de P es fonamental per f (es a dir, xpertany al subconjunt tancat de P on f no espot definir com a morfisme) si, i nomes si, xes un punt base de la xarxa H. Es considera elconjunt dels punts base de H: no tan sols elspunts fonamentals de f , que son punts propis enel pla P , sino tambe els punts base infinitament

propers, que son punts propis en una superfıcieobtinguda a partir del pla per successives explo-sions de punts. Els punts base formen un clusterponderat K = (K,m), on K son els punts basedeH im assigna a cada punt p deK la multipli-citat en p de corbes generiques de H. Aquestatesi estudia les transformacions de Cremonadel pla des del punt de vista de la geome-tria dels seus clusters ponderats de punts base.

En primer lloc, s’han revisat els resultatsclassics, que nomes estaven ben establerts peral cas en que els punts base de la transforma-cio directa i inversa son propis, i s’han estes auna transformacio arbitraria. En aquest sentit

40

es generalitzen un teorema de Clebsch sobre lasimetria de les multiplicitats en punts base deles transformacions directa i inversa, l’expres-sio del jacobia de la xarxa H, i resultats sobrecorbes principals de la transformacio f .

D’altra banda, es determina, a partir delgrau i de les multiplicitats en els punts basede f , la matriu caracterıstica de f i, en parti-cular, les multiplicitats en els punts base de latransformacio inversa f−1. Tambe es descriuenles relacions de proximitat entre els punts basede la transformacio inversa i, com a corol.lari, escaracteritzen les transformacions la inversa de

les quals no te punts base infinitament propers.S’estudia el comportament efectiu en els puntsbase de les corbes principal totals, i es compa-ra amb comportaments virtuals determinats apartir de la caracterıstica de la transformacio.Es descriu el comportament en els punts ba-se de les corbes de la xarxa H que no tenenel comportament generic. Es determinen els in-variants d’una composicio de transformacions.Com a punt final de la tesi es dona una no-va demostracio del teorema de factoritzacio deNoether, tot aprofitant les tecniques desenvolu-pades.

• Jesus Montes Peral va llegir la seva tesi, dirigida per Enric Nart i Vinals, titulada Polıgonosde Newton de orden superior y aplicaciones aritmeticas, el dia 7 de febrer de 2000. La tesicorrespon al Departament d’Algebra i Geometria de la Universitat de Barcelona.

Aquesta tesi culmina el treball de diversos ma-tematics, Bauer, Berwick, Hensel, Ore, MacLa-ne i d’altres, que durant el primer quart de segleutilitzaren el polıgon de Newton com a eina pertrobar la descomposicio dels nombres primersen producte d’ideals primers d’un cos de nom-bres, a partir d’una equacio definidora d’aquestcos de nombres.

La innovacio principal del treball es la in-troduccio dels polıgons d’ordre superior. Aquestconcepte conte com a casos particulars el queels classics anomenaven ≪aproximacions succes-sives≫, i resol d’una manera definitiva la questiode trobar un nombre finit d’aquestes aproxima-cions que permetin trobar la descomposicio delsprimers en tots els casos, sense excepcions. A latesi es descriu tambe un algorisme explıcit per

trobar efectivament aquesta descomposicio.

Tambe s’inclou una implementacio de JordiGuardia i Jesus Montes d’aquest algorisme i esmostra que es espectacularment mes rapid queels que utilitzen els paquets informatics usuals,com pari, magma, etc. De fet, despres de la lec-tura de la tesi, s’ha arribat a un acord amb elsresponsables del pari per incorporar a aquestpaquet la implementacio de Guardia-Montes del’algorisme de Montes.

La tesi conte tambe una descripcio directa,no algorısmica, de com descomponen els nom-bres primers en un cos quartic arbitrari en ter-mes dels coeficients d’una equacio definidora.Aquests resultats empren tambe de manera de-cisiva els polıgons d’ordre superior, que mostrenaixı la seva utilitat en un context noalgorısmic.

• Antonio E. Teruel Aguilar va llegir la seva tesi, dirigida per Jaume Llibrei Salo, titulada Clasificacion topologica de una familia de campos vectorialeslineales a trozos simetricos en el plano, el dia 18 de juliol de 2000. La tesicorrespon al Departament de Matematiques de la Universitat Autonoma deBarcelona.

El contingut d’aquesta memoria s’emmarcadins de la teoria qualitativa de les equacionsdiferencials. El treball te l’objectiu de descriu-re el conjunt de bifurcacions, aixı com els dife-rents retrats de fases que presenta una famıliade camps vectorials lineals a trossos simetricsen el pla que denominem sistemes fonamentals.

La memoria esta organitzada en quatrecapıtols. En el capıtol 1 presentem els fona-ments de la teoria qualitativa de les equaci-ons diferencials en el pla. Aquest capıtol conteunicament els resultats basics que utilitzem enla resta del treball i esta restringit a les equaci-ons diferencials ordinaries autonomes.

41

En el capıtol 2 introduım els sistemes fona-mentals

x = Ax + ϕ(

kTx)

b, (1)

on A es una matriu real 2 × 2, x ∈ R2, k,b ∈R2 r0 i ϕ es una funcio lineal en tres trossos,contınua i simetrica.

En aquest capıtol provem que el comporta-ment del sistema esta determinat a partir de lesmatrius fonamentals A i B = A+ bkT i justifi-quem l’eleccio de D = det (B), T = traca (B),d = det (A) i t = traca (A) com a parametresfonamentals.

En el capıtol 3 estudiem les aplicacions dePoincare amb seccions transversals contingu-des en les rectes Γ+ =

x ∈ R2 : kT x = 1

iΓ− =

x ∈ R2 : kT x = −1

. Mitjancant l’elec-cio d’una parametritzacio adequada de Γ+ iΓ− caracteritzem de forma sistematica totes lesaplicacions de Poincare amb independencia dela forma concreta de las matrius A i B, reduint

els possibles casos a les formes canoniques realsde Jordan de les matrius A i B. Completem elcapıtol demostrant que els sistemes fonamentalsper als quals no podem concloure l’existencia deles aplicacions de Poincare estan continguts a lavarietat algebraica

W1 ∪W2 =

(D,T, d, t) : (d−D)2 +

+ (t− T ) ∗ (tD − dT ) = 0 .

En el capıtol 4 descrivim i classifiquem totsels retrats de fases dels sistemes fonamentalsamb D 6= 0. D’entre els resultats que provemdestaquem que un sistema fonamental te com amolt tres cicles lımit i que l’unic cicle lımit nohiperbolic es semiestable. Proporcionem, a mes,les expressions de les varietats de bifurcacio i es-tudiem la seva posicio a l’espai de parametresfonamentals.

• Joaquim Roe i Vellve va llegir la seva tesi, dirigida per Eduard Casas,titulada Condicions infinitesimals i sistemes lineals de corbes planes, el dia 15de juny de 2001. La tesi correspon al Departament d’Algebra i Geometria dela Universitat de Barcelona.

L’estudi de les famılies de corbes planes ambpunts base i singularitats imposades es un te-ma classic de la geometria algebraica. Aquestamemoria esta dedicada a l’estudi dels sistemeslineals de corbes planes amb singularitats fixesimposades.

Bona part dels treballs recents sobre siste-mes lineals de corbes planes han estat inspi-rats o estimulats per l’anomenada conjectura deSegre–Harbourne–Gimigliano–Hirschowitz. Enpoques paraules, aquesta conjectura diu que siel sistema lineal de corbes d’un grau donat, pas-sant per uns quants punts generals amb multi-plicitats tambe donades, no te la dimensio es-perada, donada pel teorema de Riemann–Roch,aleshores ha de tenir alguns components fixosmultiples que es poden detectar facilment. Aixı,≪en la major part dels casos≫ es conjectura quela dimensio ha de ser l’esperada, en el sentitque o be el sistema lineal es buit o be els puntsmultiples hi imposen condicions independents.El nostre treball fa referencia a sistemes linealsamb un lloc base imposat d’un tipus mes gene-

ral que no pas punts multiples unicament; elsresultats que obtenim donen informacio que enmolts casos confirmen la conjectura.

Les eines que utilitzem son principal-ment tecniques d’especialitzacio (o degenera-cio). Aquest enfocament ha mostrat la sevaeficacia a bastament, i els classics ja el van usar.Mes recentment, i comencant amb la introduc-cio del metode d’Horaci per part d’A. Hirsc-howitz (1985), el camp ha experimentat pro-gressos rapids i importants. El metode d’Horacies una tecnica d’especialitzacio, que ha estat ex-plotada per provar molts teoremes d’anul.laciode la cohomologia, fins i tot en dimensio superi-or. Altres tecniques d’especialitzacio, incloent-hi degeneracions del pla, es deuen a Z. Ran(1989), i C. Ciliberto i R. Miranda (1998).En aquesta memoria desenvolupem metodesd’especialitzacio que usen com a espais deparametres les varietats de clusters sobre unasuperfıcie (capıtol 2) i subesquemes de l’esque-ma de Hilbert que s’hi relacionen (capıtol 4).Aquests metodes son adequats per a l’estudi

42

de sistemes lineals amb punts base infinitamentpropers amb proximitats complexes, i d’aques-ta manera s’obte un grau mes alt de generalitaten els resultats. Aixı, en el capıtol 4 demos-trem que la conjectura de Segre–Harbourne–Gimigliano–Hirschowitz es certa per qualsevolunio de punts dobles (fins i tot infinitamentpropers) en posicio general. Aixı mateix, en elscasos en que no arribem a demostrar la con-jectura podem donar fites algorısmiques per almınim grau tal que el sistema lineal no es buito les condicions imposades son independents(capıtol 3), millorant els resultats previamentconeguts.

Un tema estretament relacionat es el proble-ma de l’existencia de corbes planes irreductibles(de grau baix) amb tipus d’equisingularitat do-

nat. De fet, sempre que es te un resultat d’inde-pendencia per les condicions imposades per uncluster, se n’obte un resultat d’existencia percorbes amb el tipus d’equisingularitat correspo-nent. Aquest es el metode de prova del primercriteri general d’existencia per corbes singularsde grau baix i asimptoticament ajustat, obtin-gut per G. M. Greuel, C. Lossen i E. Shustin el1998; nosaltres el refinem un xic al capıtol 5 il’apliquem als resultats d’independencia obtin-guts en capıtols precedents. D’aquesta mane-ra podem demostrar l’existencia de corbes pla-nes amb singularitats, de grau significativamentmes baix que el conegut fins ara, si totes les sin-gularitats son ordinaries o dels tipus anomenatssimples.

• Jordi Pau Plana va llegir la seva tesi, dirigida per Artur Nicolau Nos, titulada Ideals finitamentgenerats i decreixement de funcions analıtiques i acotades, el dia 19 de juny de 2001. La tesicorrespon al Departament de Matematiques de la Universitat Autonoma de Barcelona.

Aquest treball esta estructurat en dues parts.En la primera part s’estudien diverses pro-pietats sobre ideals finitament generats del’algebra H∞ de funcions analıtiques i aco-tades en el disc unitat del pla complex, rela-cionades amb el teorema de la corona, comper exemple problemes sobre clausures d’ide-als, condicions de mida que asseguren que unafuncio g ∈ H∞ es troba a l’ideal generat pern funcions f1, . . . , fn de H∞, entre d’altres. Ames, es donen els resultats analegs per espais deHardy Hp.

La segona part tracta de problemes sobredecreixement de funcions analıtiques i acota-des en el disc unitat. Un problema relacionates el de donar una caracteritzacio geometricade les successions primes en el disc. Es donencondicions necessaries i suficients en termes deles longituds de les generacions associades ala successio, i es donen exemples que provenque son optimes en aquest sentit. Aixı ma-teix es caracteritzen els minorants essencialssobre la classe de les successions no primes.S’hi inclou un petit estudi sobre creixementde funcions harmoniques i positives en el disc.

• Albert Ruiz Cirera va llegir la seva tesi, dirigida per Jaume Aguade i Bover, tituladaAplicacions entre espais classificadors de grups de Kac-Moody de rang 2, el dia 2 de juliol de 2001.La tesi correspon al Departament de Matematiques de la Universitat Autonoma de Barcelona.

L’estudi de les aplicacions entre espais classifi-cadors de grups de Lie compactes ha estat undels principals temes d’interes dins la topologiaalgebraica a finals del segle xx.

A partir dels grups de Lie compactes conne-xos simplement connexos obtenim algebres deLie de dimensio finita, i a partir de les algebresde Lie obtenim una matriu de Cartan. Les ma-

trius de Cartan A = (ai,j) son matrius definidespositives amb coeficients enters que si complei-xen que ai,i = 2, ai,j ≤ 0 i ai,j = 0 implicaaj,i = 0. Tot aquest proces es pot invertir: po-dem recuperar l’algebra de Lie a partir de lamatriu de Cartan i podem ≪integrar≫ l’algebrade Lie per a obtenir un grup de Lie compacte,connex i simplement connex.

43

Considerem ara les matrius de Cartan ge-neralitzades, o sigui, matrius de Cartan no ne-cessariament definides positives. Formalment,tambe podem construir una algebra de Lie in-tegrable (en general, de dimensio infinita) i, pertant, un grup topologic. Els resultats d’aquestesconstruccions es el que anomenem una algebrade Kac-Moody i un grup de Kac-Moody.

Des d’un punt de vista homotopic els grupsde Kac-Moody van ser estudiats per N. Kitch-loo (propietats cohomologiques) i els seus resul-tats van portar a intentar demostrar resultatsanalegs als coneguts en els grups de Lie com-pactes al cas dels grups de Kac-Moody.

L’objectiu principal de la tesi es l’estudide l’espai d’aplicacions [BK,BK], on K es ungrup de Kac-Moody de rang 2.

Per aixo hem de coneixer abans l’espai d’a-

plicacions [BT,BK], amb T un tor maximal.Aquı veiem diferencies amb els grups de Liecompactes: existeixen aplicacions de BT a BKque no provenen de representacions.

Tot i aixo obtenim una descripcio completadel subespai de [BT,BK] format per la restric-cio d’aplicacions de [BK,BK]. Aquesta clas-sificacio ens permetra descriure tambe l’espai[BK,BK], despres de demostrar que l’aplicacioinduıda per la inclusio [BK,BK] → [BT,BK]es injectiva.

Dins l’estudi d’aquests resultats obtenim,entre d’altres, una caracteritzacio dels tipusd’homotopia dels grups de Kac-Moody derang 2 (en particular, obtenim grups de Kac-Moody no isomorfs amb espais classificadorshomotops) i tambe una caracteritzacio dels pos-sibles graus d’aplicacions de BK a BK.

• Inmaculada Baldoma Barraca va llegir la seva tesi, dirigida per Ernest Fontich, tituladaContribution to the study of invariant manifolds and the splitting of separatrices of parabolicpoints, el dia 11 de juliol de 2001. La tesi correspon al Departament de Matematica Aplicada iAnalisi de la Universitat de Barcelona.

En aquesta tesi s’estudien dos problemes: l’es-cissio de separatrius i l’existencia i regularitatde varietats invariants associades a punts fixosparabolics.

Pel que fa al primer problema, consideremuna classe de sistemes hamiltonians rapidamentforcats, amb un grau i mig de llibertat, i ambun punt fix que te un zero doble com a valorpropi, pero que no es diagonalitzable. Suposemque per algun valor del parametre el sistemaes autonom i te una connexio homoclınica as-sociada al punt fix. Demostrem una formula

asimptotica per mesurar l’escissio de separa-trius que es exponencialment petita respecte dela frequencia de la pertorbacio.

Quant al segon problema, donem condicionssuficients per a l’existencia de varietats invari-ants estables per a una aplicacio en un espai n-dimensional amb un punt fix tal que la derivadade l’aplicacio sigui la identitat. Considerem elscasos Lipschitz i analıtic, i demostrem que lavarietat invariant estable es Lipschitz (respec-tivament analıtica) en certs dominis adequats.

• Jose Marıa Mondelo Gonzalez va llegir la seva tesi, dirigida per GerardGomez, titulada Contribution to the study of Fourier methods for quasi-periodicfunctions and the vicinity of the collinear libration points, el dia 13 de juliol de2001. La tesi correspon al Departament de Matematica Aplicada i Analisi dela Universitat de Barcelona.

La tesi consta de dues parts. La primera estadedicada al desenvolupament i estudi d’un pro-cediment per al calcul acurat de frequencies iamplituds d’una funcio quasi-periodica, a par-tir d’un mostreig equiespaiat sobre un inter-val de temps finit. Es desenvolupen estima-cions de l’error per al procediment introduıt,

que s’il.lustren amb exemples numerics. El pro-cediment s’aplica al desenvolupament de mo-dels simplificats de moviment al sistema so-lar, basats en analisi de frequencies de lesefemerides numeriques del Jet Propulsion La-boratory (JPL).

44

A la segona part s’estudia l’entorn delspunts de libracio colineals del problema res-tringit de tres cossos. Es perllonga la varie-tat central d’aquests punts d’equilibri fins allaon es computacionalment possible, mitjancantel calcul de les famılies d’orbites periodiques

i tors invariants que conte, usant eines pura-ment numeriques. Es detecta nova fenomenolo-gia, relacionada amb bifurcacions de les famıliesd’orbites periodiques de tipus halo. A causa delsgrans requeriments de calcul, alguns dels algo-rismes han estat paral.lelitzats.

• Francesc Bars Cortina va llegir la seva tesi, dirigida per Xavier Xarles Ribas, titulada On theTamagawa number conjecture, el dia 12 de setembre de 2001. La tesi correspon al Departamentde Matematiques de la Universitat Autonoma de Barcelona.

En la tesi es resol la conjectura local del nom-bre de Tamagawa en dues situacions: per a cor-bes el.lıptiques E+ definides sobre Q amb mul-tiplicacio complexa donada per un cos imagi-nari quadratic K, i per a caracters de HeckeAK → K∗. Aquesta conjectura permet donarun significat aritmetic als valors en els entersde les funcions L associades a varietats alge-braiques, i, mes generalment, a motius.

En el cas de corbes el.lıptiques, resolem laconjectura pels motius h1(E+)(k+2) amb k ≥ 0enter, donant un significat aritmetic als valorsL(E+, k+2) (el cas L(E+, 1) correspon a la con-jectura de Birch-Swinnerton-Dyer que no trac-tem). El cas k = 0 va ser resolt per Bloch iKato (1990). Kings va demostrar que la con-jectura era certa per a les corbes el.lıptiquesamb multiplicacio complexa per K i definidessobre K. Per a demostrar la conjectura uti-litzem aquest resultat de Kings pels motiush1(E+ ×Q K)(k + 2) i apliquem el metode deldescens. Es tracta d’elegir elements convenientsen la teoria K de Quillen del nostre motiu, demanera que controlem la imatge d’aquests ele-ments pels reguladors de Beilinson i de Soule.Utilitzant tecniques de descens de Galois pro-vem que el regulador de Soule te descens.

Per a caracters de Hecke, estudiem els va-lors L(ψw, w + k + 1), on ψ es el caracter CMassociat a una corba el.lıptica E definida sobreK amb multiplicacio complexa, i w ≥ 1 i k ≥ 0son nombres enters. Els motius corresponentsson de la forma eθ(⊗wh1(E))(w + k+ 1), on eθson un certs idempotents. El cas w = 1 va serestudiat per Kings. La nostra resolucio depen,com abans, de l’eleccio d’elements convenientsen la teoria K de Quillen dels nostres motius idel control de la seva imatge pel regulador deBeilinson i pel regulador de Soule. L’estudi dela imatge pel regulador de Beilinson va ser fetper Deninger. L’estudi del regulador de Souleutilitza el polilogaritme el.lıptic per compararla conjectura de Tamagawa en la nostra situ-acio amb la conjectura principal de la teoriad’Iwasawa provada per Rubin.

Tambe es resol la conjectura de Jannsen so-bre l’anul.lacio d’un segon grup de cohomologiagaloisiana pels primers regulars en el cas delsmotius de Hecke anteriors. Finalment, compa-rem l’estudi global fet de la funcio L pels mo-tius de Hecke amb l’estudi local, realitzat perGeisser, on apareixen les funcions L p-adiques.

• Albert Compta Creus va llegir la seva tesi, dirigida per Josep Ferrer Llop, titulada Contribucioa l’estudi geometric de subespais invariants respecte a transformacions i sistemes lineals, el dia 19d’octubre de 2001. La tesi correspon al Departament de Matematica Aplicada I de la UniversitatPolitecnica de Catalunya.

45

Mitjancant tecniques geometriques, abordemles questions seguents:

(i) Estudi (caracteritzacio, classificacio, famı-lies diferenciables. . . ) d’una classe desta-cada de subespais invariants, els anome-nats marcats.

(ii) Existencia i construccio de solucions del’anomenat problema de Carlson.

(iii) Pertorbacions de matrius conservant unsubespai invariant.

I. Gohberg, P. Lancaster i L. Rodman de-fineixen una classe de subespais invariants, elsmarcats, com els que admeten una base de Jor-dan relativa a la restriccio que sigui extensiblea una base de Jordan de l’espai.

J. Ferrer, F. Puerta i X. Puerta caracterit-zen els subespais marcats en termes geometricsi els classifiquen. Aquı, els caracteritzem de du-es maneres diferents: la primera utilitza la fil-tracio doble de Jordan formada per les intersec-cions dels nuclis i les imatges de les potenciesde l’endomorfisme, i en particular retroba el re-sultat abans referit; la segona es en termes dela filtracio triple, que resulta d’intersecar l’an-terior amb les imatges de les potencies de larestriccio, que permet generalitzar el teoremade classificacio anterior.

En relacio amb la segona questio, recor-dem que el problema de Carlson consisteix apreguntar-se per l’existencia d’una matriu ambuna forma de Jordan determinada si son fixadesles formes de Jordan d’un subespai invariant idel quocient.

Mitjancant T. Klein es redueix el proble-ma de Carlson a l’existencia de les successionsde Littlewood-Richardson. Recentment, com espot veure en un article resum de W. Fulton,s’han trobat condicions a l’efecte.

No obstant aixo, no hi ha algorismes perconstruir solucions explıcites. Aquı presentemuna demostracio geometrica constructiva delresultat anterior que permet un algorisme pera l’obtencio de solucions.

Com una aplicacio important, obtenim que,fixades les caracterıstiques de Segre del subes-pai i del quocient, totes les caracterıstiques deSegre compatibles tenen alguna realitzacio en

qualsevol entorn de les que corresponen a unsubespai marcat. Resulta, doncs, que totes lessolucions al problema de Carlson apareixen per-torbant les solucions marcades elementals.

Aixo motiva que en la tercera part d’aquesttreball estudiem les deformacions d’una matriuque deixa invariant un subespai. Apliquem lestecniques usades per V. I. Arnold per a matriusquadrades per estudiar les matrius del mateixtipus que li son properes. N’obtenim l’expressioimplıcita d’una deformacio miniversal i l’apli-quem per obtenir explıcitament una deformaciominiversal d’una matriu marcada.

Els dos primers problemes els tractemtambe per al cas de sistemes lineals, represen-tats per parelles horitzontals de matrius (A,B).Per dualitat, es equivalent considerar parellesverticals, habitualment escrites (C,A), les qualses poden tractar com a aplicacions lineals defi-nides en un subespai.

I. Gohberg, P. Lancaster i L. Rodman es-tenen la definicio de subespai invariant per auna parella de matrius. Els subespais (C,A)-invariants tambe reben el nom de subespais in-variants condicionats.

Un subespai invariant condicionat es diumarcat si existeix una base de Brunovsky re-lativa a la restriccio extensible a una base deBrunovsky del total. Obtenim una caracterit-zacio geometrica dels subespais (C,A)-marcats,una famılia completa d’invariants que els clas-sifiquen i condicions suficients per a l’existenciad’una base global de Brunovsky per a unafamılia diferenciable de subespais (C,A)-mar-cats.

El problema de Carlson tambe es genera-litza de manera natural a parelles de matrius.Aquı demostrem un teorema, analeg al fet enel cas quadrat, quan la parella es observablei el quocient es un endomorfisme amb un solvalor propi. Aquest ultim problema tambe haestat resolt per I. Baragana i I. Zaballa usantmetodes matricials. Es remarcable que una rela-cio directa entre les particions que caracteritzenels blocs de les matrius, que en el cas quadrat essolament necessaria, es suficient per a garantirl’existencia de solucions en aquest cas. Igual-ment generalitzem l’algorisme per a l’obtencioexplıcita de solucions.

46

Golubitzky, M., University of Houston, USA /Stewart, I., University of Warwick, UK

The Symmetry Perspective

From Equilibrium to Chaos inPhase Space and Physical Space

2001. Approx. 334 pages. HardcoverApprox. sFr. 88.– / € 59.– ISBN 3-7643-6609-5PM – Vol. 200Due in January 2002

Sunyer Prize 2001

Pattern formation in physical systems isone of the major research frontiers ofmathematics. A central theme of TheSymmetry Perspective is that manyinstances of pattern formation can beunderstood within a single framework:symmetry.The symmetries of a system of nonlinearordinary or partial differential equationscan be used to analyze, predict, andunderstand general mechanisms ofpattern-formation. The symmetries of asystem imply a 'catalogue' of typicalforms of behavior, from which the actualbehavior is 'selected'.

Casacuberta, C., Universitat Autònoma deBarcelona / Miró-Roig, R.M., Universitat deBarcelona / Verdera, J., Universitat Autònomade Barcelona / Xambó-Descamps, S.,Universitat Politecnica de Catalunya (Eds.)

European Congress ofMathematics Barcelona, July 10-14,2000

Volume I

2001. 632 pages. HardcoversFr. 168.– / € 112.– ISBN 3-7643-6417-3PM – Vol. 201

This is the first volume of the proceedings ofthe third European Congress of Mathematics.Volume I presents the speeches delivered atthe Congress, the list of lectures, and shortsummaries of the achievements of the prizewinners as well as papers by plenary andparallel speakers.

Contributors:R. Ahlswede, V. Bach, V. Baladi, J. Bruna, N.Burq, X. Cabré, P.J. Cameron, Z. Chatzidakis, C.Ciliberto, G. Dal Maso, J. Denef, R. Dijkgraaf, B.Fantechi, H. Föllmer, A.B. Goncharov, A.Grigor'yan, M. Harris, R. Iturriaga, K. Johansson,K. Khanin, P. Koskela, H.W. Lenstra, Jr., F. Loeser,Y.I. Manin, N.S. Manton, Y. Meyer, I. Moerdijk,E.M. Opdam, T. Peternell, B.M.A.G. Piette, A.Reznikov, H. Schlichtkrull, B. Schmidt, K.Schmidt, C. Simó, B. Tóth, E. van den Ban, M.-F.Vignéras, O. Viro

Dwyer, W.G., University of Notre Dame, USA /Henn, H.-W., University Louis Pasteur,Strasbourg, France

Homotopy TheoreticMethods in Group Cohomology2001. 108 pages. SoftcoversFr. 34.– / € 24.–ISBN 3-7643-6605-2Advanced Courses in Mathematics – CRM Barcelona

This book looks at group cohomology withtools that come from homotopy theory. Thesetools give both decomposition theorems (whichrely on homotopy colimits to obtain adescription of the cohomology of a group interms of the cohomology of suitable subgroups)and global structure theorems (which exploitthe action of the ring of topologicalcohomology operations). The approach isexpository and thus suitable for graduatestudents and others who would like anintroduction to the subject that organizes andadds to the relevant literature and leads to thefrontier of current research. The book shouldalso be interesting to anyone who wishes tolearn some of the machinery of homotopytheory (simplicial sets, homotopy colimits,Lannes' T-functor, the theory of unstablemodules over the Steenrod algebra) byseeing how it is used in a practical setting.

All prices, dates and descriptions quoted are subject tochange without previous notice.

http://www.birkhauser.ch

For orders originating from all over the worldexcept USA and Canada:

Birkhäuser Verlag AGP.O Box 133CH-4010 Basel/SwitzerlandFax: +41/ 61/205 07 92e-mail: orders@birkhauser.ch

For orders originating in the USA and Canada:

Birkhäuser333 Meadowland ParkwayUSA-Secaucus, NJ 07094-2491Fax: +1 201 348 4033e-mail: orders@birkhauser.com

Volume II

2001. 654 pages. HardcoversFr. 168.– / € 112.– ISBN 3-7643-6418-1PM – Vol. 202

This is the second volume of the proceedingsof the third European Congress ofMathematics. Volume II collects articles byprize winners and speakers of the mini-symposia.

Contributors:S. Alesker, R.G. Baraniuk, G. Bellettini, T.R.Bielecki, P. Biran, E. Bogomolny, M.Bronstein, R. Cerf, E. Chassande-Mottin, Y.Chekanov, M. Combescure, P.F. Craigmile,M.S. Crouse, K. Deckelnick, W. Decker, M.A.H.Dempster , I.V. Denisova, M.R. Douglas, E.Eberlein, N.D. Elkies, A. Eswaran, P. Flandrin,J. Fuchs, G. Galiano, A. Garcia, H. Garcke, H.Geiges, H. Geman, N. Gisin, V.L. Ginzburg,G.H. Gonnet, L. González-Vega, G.-M.Greuel, P. Guttorp, F. Hajir, J. Hulshof, A.Jorba, D. Joyce, J.M.F. Labastida, V. Lafforgue,C. Maire, M. Mariño, J. Marklof, E.J. McCoy,M. McQuillan, R. Monneau, S. Nemirovski,D.B. Percival, S.R. Pliska, S. Raible, T. Recio, R.Renner, V.J. Ribeiro, R.H. Riedi, D. Robert, Z.Rudnick, C. Schweigert, P. Seidel, M.B.Sevryuk, H. Shahgholian, H. Stichtenoth, V.Strela, A.M. Uranga, J.M. Urbano, G. van derGeer, J. Villanueva, T. Vorst, A.T. Walden , W.Werner, S. Wolf, C. Xing, V. Zakalyukin

Set Vols. I + II

2001.1286 pages. HardcoversFr. 298.– / € 198.–ISBN 3-7643-6419-XPM – Vol. 201/202

Exciting accomplishments and challenges

123

L.J. Fauci, S. Gueron (Eds.)

Computational Modelingin Biological FluidDynamicsContains papers by biologists, zool-ogists, engineers, and mathemati-cians on a variety of issues in bio-logical fluid dynamics. A variety ofcomputational methods are pre-sented both in general terms and inthe context of applications.

2001. X, 238 pp. 93 figs. (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications. Vol. 124) Hardcover DM 179,90; £ 66,50; FF 726,-; sFr 155,-;Lit. 212.600; as of Jan. 2002: € 89,95ISBN 0-387-95233-0

W.J. Ewens, G.R. Grant

Statistical Methods in Bioinformatics:An IntroductionThis book provides an introducto-ry account of probability theory,statistics and stochastic processtheory appropriate to computa-tional biology and bioinformatics.

1st. ed. 2001. Corr. 2nd printing 2001. XIX,476 pp. 30 figs. (Statistics for Biology andHealth) Hardcover DM 169,90; £ 62,50;FF 685,-; sFr 146,50; Lit. 200.780;as of Jan. 2002: € 84,95ISBN 0-387-95229-2

F.C. Hoppensteadt

Analysis and Simulationof Chaotic SystemsA text designed to be used at thegraduate level in applied mathe-matics for students from mathe-matics, engineering, physics, chem-istry and biology. Computationsand computer simulations are usedthroughout this text to illustratephenomena discussed and to sup-ply readers with probes to use onnew problems.

For the second edition, the authorhas restructured the chapters, andhas included new material onbifurcations from the point of viewof canonical models, sections onrandomly perturbed systems, andseveral new computer simulations.

2nd ed. 2000. XX, 315 pp. 73 figs. (AppliedMathematical Sciences. Vol. 94) HardcoverDM 149,90; £ 55,50; FF 605,-; sFr 129,-;Lit. 177.140; as of Jan. 2002: € 74,95ISBN 0-387-98943-9

Please order fromSpringer · Customer ServiceHaberstr. 769126 Heidelberg, GermanyTel.: +49 (0) 6221 - 345 - 217/8Fax: +49 (0) 6221 - 345 - 229e-mail: orders@springer.deor through your bookseller

www.springer.de/math/

All prices are net-prices subject to local VAT, e.g. in Germany 7%. Exception: prices quoted in FF and Lit.include local VAT. Prices and other details are subject to change without notice. d&p · 008011_001x_1c

A.T. Winfree

The Geometry of Biological TimeDealing with dynamics of processesthat repeat themselves regularly, thisrevised and updated edition extendsthe thread from 1980 to the presentday, concentrating on areas of inter-est where there will be much activi-ty in the future. This involves goingthrough spatial biochemical, elec-trophysiological, and organismicdynamical systems and patternsthat were discovered by pursuingthe theme of phase singularitiesintroduced in the original book.

2nd ed. 2001. XXVI, 777 pp. 336 figs. (Inter-disciplinary Applied Mathematics. Vol. 12)Hardcover DM 189,90; £ 70,-; FF 766,-;sFr 164,-; Lit. 224.410; as of Jan. 2002:€ 94,95 ISBN 0-387-98992-7

P.K. Maini, H.G. Othmer (Eds.)

Mathematical Models for Biological PatternFormationThis collection contains papersexploring several aspects of thehierarchy of processes occurringduring pattern formation.

2001. X, 317 pp. 166 figs. (The IMA Volumesin Mathematics and its Applications. Vol.121) Hardcover DM 189,90; £ 70,-; FF 766,-;sFr 164,-; Lit. 224.410; as of Jan. 2002:€ 94,95 ISBN 0-387-95103-2

SOCIETAT CATALANA DE MATEMATIQUES

Filial de l’INSTITUT D’ESTUDIS CATALANS

Carrer del Carme, 47, 08001 BarcelonaCorreu electronic: scm@iec.esAdreca d’Internet: http://www.iec.es/scm

Sol.licitud d’inscripcio com a soci de la SCM / o actualitzacio de dades

Tipus de soci: Ordinari Estudiant(cal acreditacio)

Institucio

Desitjo fer-me soci de: SCM RSME EMS SCM-RSME-EMS

Nom i cognoms:o denominacio de la institucio

Adreca: Telefon:

Fax: Correu electronic:

Codi postal: Poblacio:

Lloc d’estudi o de treball:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Butlleta per a la domiciliacio de la quota de soci de la SCM i/o de l’EMS

La persona sotasignada autoritza que anualment es faci efectiu el rebut de soci de la Societat Catalana

de Matematiques/Societat Matematica Europea a nom de

a la llibreta d’estalvi/el compte corrent/la targeta de credit que s’indica seguidament:

Titular del compte:

Entitat bancaria:

Codi de l’entitat bancaria:

Adreca de l’oficina:

Codi de l’oficina i dıgits de control:

Numero del compte o llibreta:

Targeta de credit:

Valida fins al:

Data: DNI:

Signat:

SignaturaLa quota actual de la SCM es de 24 euros per a socis ordinaris, de 12 euros per a estudiants i de 48 eurosper a institucions. La quota de la RSME∗ es de 20 euros, i la de l’EMS∗ es de 15 euros.∗Per a ser soci d’aquestes dues societats cal ser-ho abans de la SCM.