INDICADORES DE SALUD ESTRUCTURAL PARA ...además, una metodología, basada en un esquema de...

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Sociedad Mexicana de Ingeniería Estructural

INDICADORES DE SALUD ESTRUCTURAL PARA DECISIONES DE REPARACIÓN Y

MANTENIMIENTO

Baruo Daniel Aldama Sánchez1, Luis Esteva Maraboto 2, Orlando Javier Díaz López3

RESUMEN

Se proponen indicadores de salud estructural global y local para estimar el daño acumulado en edificios de

varios niveles y su impacto en las funciones de confiabilidad y vulnerabilidad sísmica. Estos indicadores se

definen en términos de las propiedades de las respuestas dinámicas de sistemas sin daño y con daño estructural

sujetos a la acción de micro sismos o vibración ambiental. Se establecen relaciones probabilistas entre los

indicadores de salud estructural y los índices de daño acumulado global y local; se presenta un planteamiento

para la obtención de las funciones de confiabilidad y vulnerabilidad del sistema en función de dichos

indicadores.

ABSTRACT

Global and local structural health indicators are proposed for the estimation of cumulative damage in multistory

buildings and its impact on their seismic vulnerability functions. These indicators are defined in terms of the

dynamic response properties of undamaged and damaged systems subjected to micro-seismic or environmental

noise excitations. Probabilistic relations are established between local and global cumulative indexes and the

structural health indicators; an approach is presented for the estimation of seismic vulnerability functions in

terms of these indicators.

INTRODUCCIÓN

La información derivada del análisis de estructuras reales expuestas a efectos sísmicos ha contribuido de forma

importante a la comprensión del comportamiento estructural durante estos eventos, así como a detectar ciertos

factores que impactan en la respuesta en mayor o menor medida para diferentes sistemas estructurales y en sus

diferentes propiedades mecánicas.

La evolución en el uso de estrategias de análisis y métodos de evaluación de respuesta ha sido posible gracias

al surgimiento de métodos analíticos basados en criterios de desempeño y a la creación de herramientas de

monitoreo continuo de estructuras, lo cual ha permitido establecer políticas de inspección, mantenimiento y

rehabilitación (Doebling, 1996; Esteva et al., 2014). Especialmente, las herramientas de monitoreo adquieren

una gran atención debido a su capacidad para estimar las propiedades mecánicas de una estructura, teniendo en

cuenta la influencia del daño acumulado y permitir, a su vez, relacionarla con el nivel de desempeño esperado

en el ciclo de vida.

Es común que después de la ocurrencia de un movimiento de gran intensidad se tomen acciones de reparación

y mantenimiento que restituyan a la estructura a sus condiciones iniciales de diseño, en los casos en que son

evidentes los daños experimentados. Sin embargo, muchas veces no es fácil identificar en forma visual los

niveles de daño que se tiene en todas las regiones de la estructura debido a que puede ser ocultado por elementos

de relleno o decorativos y puede ser muy costoso removerlos. Esto puede conducir a una acumulación de daño

debido a la acción de sismos sucesivos, que incremente significativamente la vulnerabilidad de la estructura

aun cuando no sean muy intensos.

1 Instituto de Ingeniería, UNAM, [email protected] 2 Instituto de Ingeniería, UNAM, [email protected] 3 Instituto de Ingeniería, UNAM, [email protected]

mailto:[email protected]



XX Congreso Nacional de Ingeniería Estructural Mérida, Yucatán 2016.

2

Utilizando indicadores adecuados de respuesta dinámica, posterior a la ocurrencia de sismos, es posible ajustar

el grado de predicción que poseen los sistemas de monitoreo y para ello conviene apoyarse en resultados

experimentales y de modelos analíticos y de las posibles relaciones que se puedan derivar de sus comparaciones

(Naeim et al., 2006; Celebi, 2007; Porter et al., 2006, Iervolino et al., 2006; Iervolino, 2011).

En este trabajo se presenta una metodología para evaluar la influencia del daño acumulado en las funciones de

vulnerabilidad estructural. En primer término, se parte de la información de indicadores de salud estructural

global, y a partir de ello se desarrollan relaciones probabilistas para estimar la respuesta sísmica, tanto a nivel

global como local. Estos indicadores pueden obtenerse de manera práctica post-sismo, tanto a nivel global como

local, utilizando información de las respuestas estructurales ante micro sismos o ruido ambiental. Se propone,

además, una metodología, basada en un esquema de simulación Montecarlo, para estimar la función de

confiabilidad del sistema, en términos de dicha información; a partir de ello es posible estimar la probabilidad

de falla del sistema y posteriormente evaluar la vulnerabilidad del mismo ante diferentes escenarios de daño

acumulado. Adicionalmente, se muestran algunos resultados preliminares en la estimación de la función de

vulnerabilidad del sistema considerando información global de monitoreo de salud estructural, aplicados en un

modelo de edificio de 10 niveles. El estudio de los indicadores de salud estructural es útil en la formulación de

criterios de decisión, para establecer acciones de reparación y mantenimiento óptimas de estructuras dentro de

un marco de ciclo de vida, a partir de información post-sismo.

FUNCIONES DE CONFIABILIDAD Y VULNERABILIDAD SÍSMICA

En las aplicaciones prácticas de la ingeniería, relacionadas con el diseño basado en desempeño, la estimación

de la probabilidad de falla, 𝑝𝐹 , para un valor dado de intensidad sísmica 𝑌 = 𝑦, se toma como una medida

cuantitativa de la probabilidad de excedencia de la capacidad de deformación lateral del sistema, determinada

mediante los resultados de un análisis de empuje lateral seudo-estático (push-over) ante una secuencia de

sismos de intensidades variadas. Sin embargo, la estimación probabilística de la capacidad de deformación de

un edificio obtenida por este medio, tiene severas limitaciones, ya que debido a la forma de su estimación no es

posible tomar en cuenta a) la influencia de la acumulación de daño asociada con la respuesta cíclica del sistema,

y b) la dependencia de la capacidad de deformación a la configuración deformada de la respuesta del sistema

cuando éste se aproxima a la falla. Esto ha motivado el desarrollo de criterios alternos, tales como el análisis

dinámico incremental (Vamvatsikos y Cornell, 2002), el cual permite la estimación de la función de

confiablidad sísmica del sistema estructural sin tener que determinar la capacidad de deformación del mismo.

En este trabajo se opta por utilizar el índice de reducción de rigidez secante propuesto por Esteva et al. (2006,

2010) y Díaz- López y Esteva (2009) aplicable a la estimación de la confiabilidad sísmica de estructuras. Este

índice se expresa como:

𝐼𝑅𝑅𝑆 =𝐾0−𝐾𝑠

𝐾0 (1)

En la ecuación anterior, 𝐾0 es la rigidez tangente inicial asociada con el cortante basal, 𝑉𝑏 vs. el desplazamiento

de azotea, 𝛿𝑅, resultado de un análisis de empuje lateral y 𝐾𝑠 es la rigidez secante cuando el desplazamiento

lateral de azotea alcanza su máximo absoluto durante la respuesta sísmica del sistema (cortante basal, 𝑉𝑏,

dividido entre el desplazamiento de azotea máximo, 𝛿𝑚𝑎𝑥). La condición de falla se presenta cuando ISSR=1.0 o

cuando 𝑄 = ln (𝐼𝑅𝑅𝑆) = 0. Usando una variable auxiliar 𝑈, tal que 𝑄 = 𝑈 para 𝑄 < 0 y 𝑄 = 0 para 𝑈 ≥ 0, la

función de densidad de probabilidad de 𝑈 para un valor dado de intensidad 𝑌 = 𝑦, se denota como 𝑓𝑈(𝑢|𝑦).

Asumiendo esta última como una densidad normal con media 𝑚𝑈(𝑦; 𝛼𝑚) y desviación estándar𝜎𝑈(𝑦; 𝛼𝜎), la

función de confiabilidad puede expresarse como:

𝛽(𝑦) = −𝑚𝑈(𝑦; 𝛼𝑚)

𝜎𝑈(𝑦; 𝛼𝜎) (2)

en donde 𝛼𝑚 y 𝛼𝜎 son los parámetros que definen a la media y a la desviación estándar de 𝑈, respectivamente.

Las funciones de vulnerabilidad sísmica son funciones que relacionan los costos esperados de los daños

experimentados por la estructura ante la acción de un sismo de una intensidad dada, 𝑌 = 𝑦. Estas funciones se

pueden expresar en forma similar a la dada por Esteva et al. (2002)

3


𝛿̅(𝑦) = 𝛿(𝑦|𝑆)[1 − 𝑝𝐹(𝑦)] + 𝛿𝐹𝑝𝐹(𝑦) (3)

Donde 𝛿̅(𝑦|𝑆) es el valor esperado de los costos de daños normalizado con respecto al costo inicial C0,

condicionado a que el sistema sobreviva al someterse a una excitación sísmica de intensidad 𝑦, 𝑝𝐹(𝑦) es la

probabilidad de colapso o falla y 𝛿𝐹 es el costo esperado normalizado si ocurre la falla. La solicitación sísmica

se supone conocida y las propiedades mecánicas y las cargas gravitacionales se consideran inciertas.

En la ecuación anterior, el valor esperado de los daños producidos por un sismo de intensidad 𝑦, dada la

supervivencia del sistema, se puede aproximar en función del valor esperado de la distorsión del sistema, 𝜓,

mediante una función, g(∙), que relaciona a dicha distorsión con el daño físico (Reyes, 1999; Esteva et al., 2002).

De acuerdo con estos autores, es conveniente expresar el costo esperado de los daños como la suma de las

contribuciones de los daños en los entrepisos o segmentos del sistema. De esta forma, el valor de dicho costo

para una intensidad 𝑦 se puede calcular como:

𝛿(𝑦|𝑆) = 𝜆 ∑ 𝑟𝑐𝑗 g̅(𝜓𝑗|𝑦)𝑁𝑗=1 (4)

En esta ecuación, 𝑁 es el número total de segmentos del sistema, 𝑟𝑐𝑖 = 𝐶0𝑖 𝐶0⁄ es la relación del costo inicial

del j-ésimo segmento, C0j, entre el costo inicial del sistema completo. El término 𝜆 es un factor que considera

los costos indirectos relacionados con la reparación de los daños en la estructura, los cuales incluyen los costos

de mantenimiento, de trabajo logístico y los debidos a la interrupción de los servicios (Esteva et al, 2002).

g(𝜓𝑗|𝑦), es una función que relaciona el daño físico en dicho segmento con su distorsión, 𝜓𝑗, para un evento

sísmico de intensidad 𝑦.

INDICADORES DE DAÑO ACUMULADO GLOBAL Y LOCAL

En la sección anterior se propone utilizar IRRS como el índice de respuesta para calcular la probabilidad de falla

de la estructura. Esteva et al (2016) han mostrado que este indicador es adecuado para estimar la influencia del

daño inicial en las funciones de vulnerabilidad de edificios; para ello, deben realizarse análisis de la respuesta

estructural ante secuencias de sismos de distintas intensidades, de manera que el daño acumulado hasta el final

de un evento se tome como el valor del daño inicial para el siguiente.

En este trabajo se propone un nuevo indicador de la respuesta que considere el daño acumulado en una estructura

expuesta a una secuencia de sismos en términos de su respuesta local o global, a partir de la historia de

deformaciones experimentadas por el sistema completo o por los subsistemas que lo integran.

Si la respuesta del sistema ante una excitación sísmica se asume como la única fuente de daño estructural,

global, local o de un conjunto de elementos que definan un subsistema, esta puede ser descrita en, términos

cuantitativos, por medio de un índice de fatiga de bajo ciclaje, D, definido como el valor máximo absoluto que

se obtiene para la dirección positiva o negativa del valor dado por

𝐷 = ∑ 𝜓𝑗𝑗 (5)

Aquí, 𝜓𝑗 es el valor absoluto de la amplitud de la distorsión del j-ésimo medio ciclo en la dirección considerada

(positiva o negativa), obtenida como la diferencia entre la distorsión máxima y la mínima que corresponden al

medio ciclo considerado. Esta definición de 𝜓𝑗 tiene como fin tomar en cuenta los medios ciclos donde no se

presenta cambio de signo en la distorsión. La sumatoria ∑ (∙)𝑗 cubre toda la historia de la respuesta de los ciclos

experimentados por el sistema desde el momento de su construcción.

INDICES DE DAÑO E INDICADORES DE SALUD ESTRUCTURAL

Los índices de daño pueden expresarse en términos de medidas cuantitativas de comportamiento no lineal de

sistemas estructurales. En la literatura se puede encontrar un número considerable de estudios enfocados a


4

definirlos para elementos de concreto reforzado, específicos en dichos sistemas; algunos están enfocados a

representar la respuesta global, mientras que otros permiten considerar sub-elementos dentro de los mismos

sistemas. Uno de los índices de daño más conocidos es el índice de daño de Park y Ang (1985), definido como

una combinación lineal de la deformación máxima y de un índice de fatiga de bajo ciclaje.

Dentro de un marco de ciclo de vida, es importante contar con criterios y herramientas que permitan evaluar el

estado de los sistemas estructurales con el fin de prevenir fallas en los mismos. Determinar de forma oportuna

y precisa el estado de salud estructural de estos sistemas puede mitigar o evitar graves consecuencias

económicas y sociales a largo plazo.

La evaluación de la salud estructural comprende mediciones de la respuesta de una estructura que permitan

estimar la evolución de sus propiedades mecánicas con el tiempo. En el caso de estructuras expuestas a niveles

elevados de amenaza como la sísmica, conviene realizar mediciones después de cada evento importante, con el

fin de extraer información sobre sus propiedades mecánicas sensibles al daño. Un análisis estadístico de esta

información puede aplicarse para estimar el estado de salud estructural del sistema (Farrar y Worden, 2013).

Para la estimación de la evolución de las propiedades globales y/o locales de los sistemas es necesario tomar

indicadores adecuados. Por las ventajas que proporciona tanto en su aplicación práctica como en la información

que se obtiene, en este trabajo se toma un indicador basado en la reducción de la rigidez lateral global o de

entrepiso, estimadas a partir de las respuestas de la estructura a excitaciones de baja intensidad, tales como

microsismos.

INDICADOR GLOBAL

Para estimar este indicador se supone que se tiene información de los registros de las aceleraciones en el terreno

y en el extremo superior de la estructura en forma simultánea, cuando se somete a una excitación (ruido

ambiental o microsismo). La densidad espectral de estos registros se utiliza para determinar la función de

transferencia de la densidad espectral de aceleración en la base a desplazamiento de azotea. La frecuencia a la

cual se tiene la máxima ordenada corresponde a la frecuencia natural dominante del sistema. La reducción de

este valor está asociado a una reducción en la rigidez lateral del sistema debido al daño en la estructura. Con

base en lo anterior se propone un indicador de salud estructural global, 𝐼𝐻 , en términos de frecuencias naturales

dado por (Esteva at al, 2014; Aldama, 2016):

𝐼𝐻 = 1 −f𝑛1

f𝑛10 (6)

donde f𝑛10 y f𝑛1 son las frecuencias naturales dominantes del sistema sin daño y para una condición de daño

determinada, respectivamente. Para determinar dichas frecuencias se utilizaron las funciones de transferencia

del estado inicial o de referencia y de uno posterior a la ocurrencia de un sismo de intensidad 𝑦.

Alternativamente, para estimar dichas frecuencias, es posible utilizar diferentes criterios y métodos, apoyados

en los conceptos de identificación de sistemas encontrados en la literatura (He y Fu, 2001). En Aldama (2016)

se hace una descripción detallada del procedimiento utilizado en este trabajo para la obtención de dichas

frecuencias, utilizando funciones de transferencia entre los espectros de Fourier obtenidos en la azotea y la base

del edificio.

INDICADOR LOCAL

La identificación de daños locales se basa en cambios en las amplificaciones de distorsiones de entrepiso con

respecto a las amplitudes del movimiento en la base (Aldama, 2016). Para un edificio de 𝑁 pisos, sujeto a una

excitación de entrada, �̈�𝑔(𝑡) considerada como un proceso estocástico estacionario con media nula, la respuesta

en aceleración en el 𝑗-ésimo piso es igual a �̈�𝑗(𝑡) y, por lo tanto, la fuerza cortante en el 𝑗-ésimo entrepiso se

define como:

𝑉𝑗(𝑡) = ∑ 𝑚𝑖 (�̈�𝑖(𝑡) + �̈�𝑔(𝑡))𝑁𝑖=𝑗 (7)

5


En la ecuación anterior, 𝑚𝑗 es la masa concentrada del 𝑗-ésimo piso. Por otra parte, sea 𝛿𝑒𝑗(𝑡) el desplazamiento

relativo del 𝑗-ésimo entrepiso, obtenido como sigue, a partir de los desplazamientos de piso:

𝛿𝑒𝑗(𝑡) = (𝑢𝑗(𝑡) − 𝑢𝑗−1(𝑡)) (8)

Aquí, 𝑢𝑗(𝑡) y 𝑢𝑗−1(𝑡) se obtienen de las correspondientes señales de aceleración, aplicando una doble

integración, en función del tiempo. Con la información de las ecuaciones 7 y 8, es posible determinar el

estimador 𝜅𝑖, que relaciona el cociente de las desviaciones estándar de 𝑉𝑗(𝑡) y 𝛿𝑒𝑗(𝑡) con la rigidez del entrepiso

𝑗, como sigue:

𝜅𝑗 =𝜎𝑉𝑗

𝜎𝛿𝑗 (9)

Donde

𝜎𝑉𝑗 = {𝑉𝑎𝑟[𝑉𝑒𝑗(𝑡)]}1

2 ; 𝜎𝛿𝑗 = {𝑉𝑎𝑟[𝛿𝑒𝑗(𝑡)]}1

2 (10a, 10b)

De esta forma, se define el indicador de salud estructural local, 𝐼𝐻𝐿𝑗, del 𝑗-ésimo entrepiso, que relaciona los

estados de daño 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 y 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 como:

𝐼𝐻𝐿𝑗 = 1 −(𝜅𝑗)

𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

(𝜅𝑗)𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙

(11)

ESTIMACIÓN DE ÍNDICES DE DAÑO ACUMULADO CON BASE EN INFORMACIÓN DE MONITOREO DE SALUD ESTRUCTURAL

A partir de la información proporcionada por el indicador de salud estructural que se obtiene después de que

sucede un evento sísmico, es posible establecer la relación de dicho indicador con los niveles de daño en la

estructura. Dadas las incertidumbres asociadas a las propiedades mecánicas del sistema y las debidas a la

naturaleza aleatoria de las historias sísmicas, esta relación debe expresarse en función de la distribución de

probabilidad del daño acumulado, 𝐷𝐺 , dado un indicador de salud estructural, 𝐼𝐻 , 𝑓𝐷(𝐷𝐺|𝐼𝐻𝐺).

Una forma práctica de obtener la relación anterior es mediante un proceso de simulación de Monte Carlo, de

acuerdo con la siguiente metodología (Esteva et al, 2014; Aldama, 2016):

a) Generar una muestra estructuras simuladas considerando las incertidumbres asociadas a dichas

propiedades mecánicas, funciones constitutivas y cargas gravitacionales.

b) Seleccionar un conjunto de valores de la intensidad sísmica, 𝑦𝑖 , que cubran un intervalo de interés

probable de ocurrencia dentro del ciclo de vida de la estructura en estudio.

c) Simular un conjunto de secuencias de sismos, utilizando los valores de intensidad incluidos en el

conjunto mencionado en b), los cuales se seleccionan de forma aleatoria y se consideran

estadísticamente independientes de los de las otras secuencias.

d) Someter cada sistema de la muestra generada de acuerdo con el párrafo a) a una secuencia de sismos

generados de acuerdo con los incisos b) y c). Obtener las historias de respuestas dinámicas del sistema

y calcular los índices de daño acumulado, tanto local como global.

e) Para cada sistema simulado, determinar el valor del indicador de la salud estructural seleccionado,

después de cada sismo.

f) Utilizar la información que se genera de acuerdo con los incisos d) y e) para obtener las funciones de

media y desviación estándar, 𝐸(𝐷𝐺𝑖|𝐼𝐻𝐺𝑖) y 𝜎(𝐷𝐺𝑖|𝐼𝐻𝐺𝑖), del índice 𝐷𝐺𝑖 , que se toma como el daño

acumulado, en función del indicador de la salud estructural 𝐼𝐻 , al final del i-ésimo sismo.


6

De los resultados que se obtienen del proceso de simulación de Monte Carlo anterior, la relación de los valores

esperados y desviación estándar del daño acumulado global con respecto al indicador del salud estructural, se

puede obtener la función de densidad de probabilidades, 𝑓𝐷(𝐷𝐺|𝐼𝐻𝐺), del daño acumulado, 𝐷𝐺 , dado el indicador

de salud estructural 𝐼𝐻𝐺 . Se puede aplicar el mismo criterio para obtener las relaciones probabilistas entre el

daño acumulado local y el indicador de salud estructural local, aplicando un procedimiento similar al anterior,

suponiendo para 𝐸(𝐷𝐺|𝐼𝐻𝐺) y 𝜎(𝐷𝐺|𝐼𝐻𝐺)las formas propuestas por Esteva et al (2014):

𝐸(𝐷𝐺|𝐼𝐻𝐺) = 𝐴1𝐼𝐻𝐺𝑚 + 𝐴2 (

𝐼𝐻𝐺

1−𝐼𝐻𝐺)

2

(12)

𝜎𝐷(𝐷𝐺|𝐼𝐻𝐺) =𝐴3𝐼𝐻𝐺

𝐴4+𝐼𝐻𝐺 (13)

Aquí, 𝐴1, 𝐴2, 𝐴3 y 𝐴4 son parámetros de ajuste.

En caso de que se presenten casos de falla, el ajuste de las ecs. 12 y 13 debe realizarse mediante un análisis de

máxima verosimilitud (Esteva & Ismael, 2003).

FUNCIONES DE CONFIABILIDAD SÍSMICA CONSIDERANDO INFORMACIÓN DE MONITOREO DE SALUD ESTRUCTURAL

En la sección anterior se presenta la determinación de la función de confiabilidad 𝛽(𝑦|𝐷𝑖)después del i-ésimo

temblor, asumiendo que el daño acumulado al final de ese sismo es igual a Di. El valor del indicador IHGi

determinado después de ese sismo puede ser usado para estimar los valores de la media y desviación estándar

de Di. Esto puede lograrse, de manera aproximada, representando la función de densidad de probabilidad de DGi

dado IHGi por medio de una distribución bipuntual (Rosenblueth, 1975): 𝐷𝐺𝑖1 = 𝐸(𝐷𝐷𝑖|𝐼𝐻𝐺𝑖) −𝜎(𝐷𝐺𝑖|𝐼𝐻𝐺𝑖), 𝐷𝐺𝑖2 = 𝐸(𝐷𝐺𝑖|𝐼𝐻𝐺𝑖) + 𝜎(𝐷𝐺𝑖|𝐼𝐻𝐺𝑖), donde cada uno de esos valores está asociado a una

probabilidad igual a 0.5. Esta suposición conduce a lo siguiente (Esteva et al., 2014; Aldama, 2016):

𝛽(𝑦|𝐼𝐻𝑖) = 0.5(𝛽(𝑦|𝐷𝐺𝑖1) + 𝛽(𝑦|𝐷𝐺𝑖2)) (14)

En este artículo, dado que se cuenta con la información del indicador de salud estructural, el cálculo de 𝛽(𝑦|𝐼𝐻)

se ha realizado de forma directa, utilizando la información de los indicadores de salud estructural 𝐼𝐻 .

La metodología para la determinación de 𝛽(𝑦|𝐼𝐻𝐺) es la siguiente:

1. Obtener muestras de valores de 𝑈 = ln 𝐼𝑅𝑆𝑆 para diversos valores de intensidad sísmica, y, y un daño

acumulado inicial, d, resultante de la respuesta del sistema ante una secuencia de movimientos

sísmicos.

2. Emplear los datos generados en el paso 1 para obtener los parámetros 𝛼𝑈 que caracterizan la función

de valor esperado de 𝑈, denotada como �̅�(𝑦|𝐼𝐻𝐺).

3. Adoptar una forma algebraica adecuada para la función de confiabilidad 𝛽(𝑦|𝐼𝐻𝐺) =

𝐹𝛽(𝑦│𝐼𝐻𝐺 , 𝛼𝛽), en donde αβ es el vector de parámetros por determinar.

4. Emplear los datos del punto 1 y los parámetros 𝛼𝑈 del punto 2 para obtener los parámetros 𝛼𝛽 del

punto 3, ajustando la desviación estándar de 𝑈, expresada como

𝜎𝑈(𝑦|𝑑) = −�̅�(𝑦|𝐼𝐻𝐺)

𝛽(𝑦|𝐼𝐻𝐺)= −

�̅�(𝑦|𝐼𝐻𝐺)

𝐹𝛽(𝑦,𝐼𝐻𝐺 , 𝛼𝛽) (15)

Este planteamiento es aplicable también si se considera que el indicador de salud estructural es un vector

formado por 𝐼𝐻𝐺 y por un indicador de daño local (Aldama, 2016).

7


FORMA MATEMÁTICA DE LA FUNCIÓN DE CONFIABILIDAD

Basados en los estudios de Esteva e Ismael (2003), se proponen las siguientes relaciones para 𝑈 y 𝛽(𝑦|𝐼𝐻𝐺)

para la determinación de la función de confiabilidad en términos del indicador de salud estructural 𝐼𝐻𝐺 como

(Aldama, 2016):

𝑈(𝑦|𝐼𝐻𝐺) = 𝑎 + 𝑏ln(𝑦) + 𝑘𝐼𝐻𝐺𝑚 (16)

𝛽(𝑦|𝐼𝐻𝐺) = 𝐴 + 𝐵ln(𝑦) − 𝐶𝐼𝐻𝐺𝑛 (17)

La estimación de los parámetros que aparecen en los segundos miembros de las ecuaciones 16 y 17 se realiza

mediante regresión con las muestras de valores de 𝑈.

Análogamente, siguiendo el procedimiento descrito en la sección anterior para determinar 𝑓𝐷(𝑑|𝐼𝐻𝐺), es posible

establecer expresiones como las dadas en las ecuaciones 16 y 17 en función de un indicador compuesto, que

considera la información de la respuesta global del sistema y de la máxima local en un cierto entrepiso. De

acuerdo con los estudios de Aldama (2016), puede obtenerse una relación expresada como sigue:

𝑈(𝑦|𝐼𝐻𝐺 , 𝐼𝐻𝐿) = 𝑘1 + 𝑘2ln(𝑦) + 𝑘3𝐼𝐻𝐺𝑚1 + 𝑘4𝐼𝐻𝐺

𝑚2 (18)

𝛽(𝑦|𝐼𝐻𝐺 , 𝐼𝐻𝐿) = 𝑘5 + 𝑘6ln(𝑦) + 𝑘7𝐼𝐻𝐺𝑛1 + 𝑘8𝐼𝐻𝐺

𝑛2 (19)

Tanto en la estimación de las ecs. 16 y 17, como en las ecs. 18 y 19, la existencia de los casos de falla pueden

ser considerados aplicando un análisis de máxima verosimilitud, partiendo de los conceptos expuestos en Ismael

y Esteva (2003). Es importante mencionar que en el ejemplo presentado más adelante se muestran los resultados

que toman en cuenta únicamente el indicador global 𝐼𝐻𝐺 .

PLANTEAMIENTO PARA LA ESTIMACIÓN DE LAS FUNCIONES DE VULNERABILIDAD A PARTIR DE INFORMACIÓN DE SALUD ESTRUCTURAL

En esta sección se presenta únicamente la formulación para tomar en cuenta la información del daño acumulado

en las funciones de vulnerabilidad. A partir de los conceptos expuestos en Esteva at al, 2002, se propone la

siguiente forma funcional para incorporar el efecto del daño acumulado en la función de vulnerabilidad

(Aldama, 2016):

𝛿(𝑦|𝑑) = 𝛿(𝑦|𝑆, 𝑑)[1 − 𝑝𝐹(𝑦|𝑑)] + 𝛿𝐹𝑝𝐹(𝑦|𝑑) (20)

En esta ecuación, 𝛿(𝑦|𝑆, 𝑑) es el valor esperado de las consecuencias bajo supervivencia del sistema, 𝛿𝐹 es el

costo de las consecuencias en caso de falla y 𝑝𝐹(𝑦|𝑑) es la probabilidad de falla del sistema obtenida a partir

de las ecs.16 y 17 como: 𝑝𝐹(𝑦|𝑑) = Φ(−𝛽(𝑦|𝑑)), asignando a Φ(. ) una distribución normal. Como antes, la

variable 𝑑, se reemplazará por el valor del indicador de salud estructural 𝐼𝐻𝐺 .

A continuación, se muestra el planteamiento general de simulación Monte Carlo para la obtención de la función

de vulnerabilidad 𝛿(𝑦|𝐼𝐻𝐺) de un sistema estructural:

a) Simular las propiedades mecánicas del sistema estructural

b) Someter cada sistema simulado a secuencias de movimientos sísmicos considerando diferentes

combinaciones de intensidad y daño acumulado inicial

c) A partir de las respuestas de los sistemas simulados, calcular las distorsiones de entrepiso, 𝜓𝑖 , así como

sus correspondientes daños físicos, a través de la función g(. ), (Reyes, 1999; Esteva et al, 2002)

d) Definir los valores de 𝛿(𝑦|𝑆, 𝐼𝐻𝐺), 𝑝𝐹(𝑦|𝐼𝐻𝐺), 𝛿𝐹 y calcular 𝛿(𝑦|𝐼𝐻𝐺) como indica la ecuación 20.


8

Es necesario mencionar que las variaciones en las ordenadas de la función de vulnerabilidad son sensibles a los

procesos de acumulación de daños, por lo que puede ser conveniente involucrar no solo los daños globales que

el sistema exhibe, sino también aquellos que reflejan las concentraciones de tal daño en los entrepisos o

segmentos del sistema (Aldama, 2016).

EJEMPLO DE APLICACIÓN

Los criterios y metodologías propuestas en las secciones anteriores se aplican al estudio de la influencia de los

niveles de daño acumulado y su efecto en la evolución en las funciones de confiabilidad y vulnerabilidad sísmica

de una estructura.

Se analiza un edificio de concreto reforzado de 10 niveles (ver figura 1), desplantado en la zona de suelo blando

de la ciudad de México, zona IIIb. La planta del edificio es de 18m de largo por 18m de ancho, cada lado tiene

tres crujías de 6m de ancho cada una, las alturas de entrepiso son de 4m en el primer entrepiso y 3m en el resto

de los entrepisos. El edifico cuenta con una cimentación mixta, un cajón desplantado a tres metros de

profundidad y pilotes de fricción de 50cm de diámetro y 21.5m de longitud. El edificio se analiza y diseña de

acuerdo con el Reglamento de Construcciones del Distrito Federal (RCDF, 2004) y sus Normas Técnicas

Complementarias para Diseño por Sismo (NTCDS, 2004) y concreto (NTCDEC, 2004).

En el cálculo de la respuesta de la estructura de la estructura se toma en cuenta el efecto de la interacción suelo-

estructura. También se considera la incertidumbre en las propiedades mecánicas y las cargas gravitacionales

(Alamilla, 2001).

EXCITACIONES SÍSMICAS

Para realizar los análisis de respuesta sísmica se tomó un conjunto de acelerogramas simulados. Estos

acelerogramas fueron representativos del sitio de desplante de la estructura. Los sismos se simularon utilizando

el método híbrido propuesto por Ismael y Esteva (2006), basado en el método de las funciones generalizadas

de atenuación de Alamilla et al (2001a) y el de las funciones de Green empíricas de Ordaz et al (1995). La

medida de intensidad que se tomó fue la dada por la ordenada del espectro de seudoaceleraciones para un

amortiguamiento del 5%, para el periodo fundamental de la estructura. En este ejemplo el periodo fundamental

del edificio fue de 1.12s. Las intensidades de los acelerogramas se tomaron dentro de un intervalo de valores

suficiente para generar diferentes niveles de daño en la estructura, basándose en la curva de peligro sísmico

correspondiente a la medida de intensidad elegida (ver figura 2).

Figura 1 Sistema estructural estudiado

9


Figura 2 Curva de peligro sísmico

ANÁLISIS DE RESPUESTA

Para la estimación de los indicadores de respuesta estructural y funciones de vulnerabilidad de la estructura, se

realizaron los análisis en dos etapas.

Los análisis de la primera etapa se utilizaron para determinar las propiedades dinámicas de la estructura sin

daño y su evolución como consecuencia de la acumulación de daño después de ser sometida a un sismo de una

intensidad dada. Para esto se generó un conjunto de secuencias de tres movimientos sísmicos consistentes en

un microsismo, un sismo de intensidad dada y un microsismo. Estas secuencias se utilizaron para analizar la

respuesta de una estructura con propiedades simuladas. Con el primer microsismo se obtuvo la frecuencia

natural dominante del sistema sin daño f𝑛10 ; después se aplicó el sismo simulado con intensidad dada, el cual

llevó a la estructura a un cierto estado de daño representado por el indicador ISSR o D para la condición de que

no se tiene daño inicial; finalmente se sometió la estructura a un segundo microsismo, con el cual fue posible

calcular el valor de f𝑛1, la frecuencia natural dominante para una condición de daño determinada. Los

microsismos que se utilizaron corresponden a señales simuladas de un ruido blanco gaussiano. La duración e

intensidad de estas señales se tomaron de tal manera que proporcionaran la información necesaria para calcular

la frecuencia fundamental del sistema. Las intensidades de los sismos simulados en cada secuencia se eligieron

de tal forma que generaran diferentes daños dentro de un amplio intervalo. Estas intensidades estuvieron

asociadas a periodos de retorno comprendidos entre 10 y 10000 años.

En la segunda etapa de análisis se obtuvieron estimaciones de las propiedades dinámicas del sistema dada una

condición de daño inicial. Estos análisis se basaron en los resultados obtenidos en la primera etapa de análisis,

de la cual se eligió un conjunto de sistemas cuyo daño al final de la secuencia de movimientos cubriera un

intervalo de daños que pudieran ser tomados como los sistemas con daño inicial. En este caso, para cada

estructura simulada elegida de la etapa anterior se generó un conjunto de secuencias de sismos de cuatro

movimientos cada una: un sismo con la intensidad dada (el mismo que se utilizó en la etapa anterior), un

0.001

0.01

0.1

1

10

1 10 100 1000

Ta

sa

s d

e e

xc

ed

en

cia

, 1/a

ño

s

Intensidad espectral, en cm/s²

Ajuste de la curva de peligro

Curva de peligro para M01

Ajuste matemático


10

microsismo, un sismo con una intensidad dada y un microsismo. De los análisis de respuesta de las estructuras

ante cada secuencia de sismos se obtuvieron los valores de IRRS, 𝐷𝐺 e IHG, después de cada sismo fuerte,

aplicando las ecs. 1, 5 y 6.

MEDICIÓN DE LOS INDICADORES DE SALUD ESTRUCTURAL

En la figura 3 se presentan los resultados que se obtienen de las magnitudes de las funciones de transferencia

del sistema (aceleración en la base a distorsión global), utilizando la información de microsismos antes y

después de someter a la estructura a un sismo de intensidad 𝑦. Estos corresponden a tres de los casos estudiados

para diferentes condiciones iniciales de daño acumulado 𝐷𝐺𝑖 , en donde se puede observar el efecto del daño

acumulado en la forma de las funciones de transferencia.

Figura 3 Magnitud de las funciones de transferencia del sistema, para tres diferentes condiciones de

daño inicial: a) 𝐼𝐻𝐺𝑖 = 0.007; b) 𝐼𝐻𝐺𝑖 = 0; c) 𝐼𝐻𝐺𝑖 = 0.031

En las figuras 4 y 5 se presentan, con fines de comparación, los ajustes a las funciones de transferencia utilizando

el método de Richardson y Formenti (1982). Los resultados muestran una buena aproximación del ajuste

considerando toda la información de la respuesta espectral que logra registrarse y por lo tanto una buena

estimación de la frecuencia fundamental del sistema.

Figura 4 Ajuste de las funciones de transferencia de la figura 3 para el primer microsismo

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

|H(w

)|

Frecuencias, en Hz

pre-sismo

post-sismo

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Frecuencias, en Hz

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Frecuencias, en Hz

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

|H(w

)|

Frecuencias, en Hz

Original

Ajuste

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Frecuencias, en Hz

Original

Ajuste

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Frecuencias, en Hz

Original

Ajuste

11


Figura 5 Ajuste de las funciones de transferencia de la figura 3 para el segundo microsismo

En la tabla 1 se muestran las frecuencias fundamentales del sistema, identificadas antes y después de los eventos

sísmicos utilizados en los casos de ejemplo de la figura 3.

Tabla 1 Frecuencias fundamentales identificadas antes y después de un evento de intensidad 𝒚𝐢, para

las funciones de transferencia de la figura 3

SIM IHG,i VA1 (fi) SIS (cm/s²) VA2 (ff) IHG,f %VFi %VFf VF

1 0.007 0.855 170.19 0.805 0.058 0.70 5.85 5.15

2 0.05 0.757 415.15 0.708 0.065 5.00 6.47 1.47

3 0.02 0.83 387.6 0.488 0.412 2.00 41.20 39.20

IHG,i =daño inicial, fi=frecuencia fundamental inicial, yi=intensidad sísmica, IHG,f =daño final, ff=frecuencia fundamental final

De los resultados de la tabla 1, se puede observar que para las simulaciones seleccionadas, se partió de una

condición inicial de daño y se realizó una medición de la frecuencia fundamental del sistema, utilizando un

ruido ambiental, VA1. Posteriormente, la estructura se sometió a un sismo, SIS, de intensidad 𝑦, y

posteriormente se llevó a cabo una nueva medición de la frecuencia fundamental del sistema ante un ruido

ambiental, VA2. Los resultados muestran que, ante las excitaciones mostradas, el sistema experimentó una

degradación en su rigidez lateral. Esta hipótesis es correcta si se supone que su masa permanece constante. En

las columnas %VFi y %VFf se muestran los porcentajes de variación de frecuencia del sistema antes y después

de la exposición al sismo, los cuales van desde 6 a 41 por ciento. Por otro lado, dado que se presenta una

condición inicial de daño, se puede calcular el incremento efectivo del daño por efecto del último sismo, como

se aprecia en la última columna; estos porcentajes van desde 5 a 39 por ciento y representan un decremento en

la capacidad lateral del sistema.

RELACIONES ENTRE EL INDICADOR DE DAÑO ACUMULADO Y EL INDICADOR DE SALUD ESTRUCTURAL

De los resultados obtenidos en las dos etapas de análisis es posible calcular la relación entre el daño acumulado

DG y el indicador de salud estructural IHG. En la figura 6 se presentan los resultados para el caso de los

indicadores globales. En la misma figura se muestran los ajustes realizados utilizando las ecs. 12 y 13. En la

tabla 2 se dan los valores de los coeficientes ajustados.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Frecuencias, en Hz

Original

Ajuste

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Frecuencias, en Hz

Original

Ajuste

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 0.5 1 1.5 2 2.5

Frecuencias, en Hz

Original

Ajuste


12

a) Media (ec. 12) b) Desviación estándar (ec. 13)

Figura 6 Relación entre el indicador de daño acumulado D y el indicador de salud estructural IH

Tabla 2 Valores de los parámetros A1, A2, A3 y A4 para las ecuaciones 12 y 13

A1 A2 A3 A4

125.251 0.854 0.001 94.587

FUNCIONES DE CONFIABILIDAD

Las funciones de confiabilidad del sistema en función del indicador de salud estructural se calculan a partir de

las ecs. 16 y 17, utilizando la información generada a partir del esquema de simulación Monte Carlo descrito

en secciones anteriores, para una muestra de 40 estructuras simuladas y 10 condiciones de daño inicial. En la

figura 7 se muestran los resultados de la media y desviación estándar de las funciones de 𝑈(𝑦|𝐼𝐻), ajustados a

los resultados de los análisis de respuesta.

a) Media b) Desviación estándar

Figura 7 Media y desviación estándar de U, dada una intensidad y un valor de IHG, ajustadas a la

muestra de valores simulados

0

5

10

15

20

25

30

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

D

indicador IH

Ajuste

Datos

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

|D-E

[D]|

indicador IH

0500

10001500 0

0.5

1

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

IH

y

mU(y

l I

H)

0500

10001500 0

0.5

1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

IH

y

U(y

l I

H)

13


Utilizando la información de las gráficas anteriores, es posible calcular la función de confiabilidad de la

estructura, 𝛽(𝑦|𝐼𝐻), de acuerdo con la ecuación 17. Los resultados se muestran en la figura 8, para diferentes

intensidades y condiciones iniciales de daño, utilizando la definición del indicador de salud estructural 𝐼𝐻𝐺 .

Figura 8 Funciones de confiabilidad: a) para diferentes valores de 𝒚; b) para diferentes valores de IH

Suponiendo que la distribución de probabilidades de la intensidad dada IH tiene una distribución Normal, en la

figura 9 se presenta la probabilidad de falla del sistema, para diferentes condiciones de daño inicial.

.

Figura 9 Probabilidades de falla considerando la influencia del daño acumulado

Los resultados anteriores se pueden utilizar para calcular la función de vulnerabilidad del sistema de acuerdo

con las expresiones dadas por las ecs. 5 y 6. En la figura 10 se presentan algunos de los resultados encontrados

para el sistema estudiado.

-5

-2.5

0

2.5

5

0 0.15 0.3 0.45 0.6 0.75 0.9

IH

b(y

|IH

)

y=333.26 cm/s²

y=401.28 cm/s²

y=534.13 cm/s²

y=668.76 cm/s²

y=730.557 cm/s²

y=842.3676 cm/s²

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 300 600 900 1200 1500

y, en cm/s²

b(y

|IH

)

IH=0

IH=0.25

IH=0.5

IH=0.75

IH=1

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0 250 500 750 1000 1250 1500

y, en cm/s²

pF

(y|I H

)

IH = 0

IH = 0.25

IH = 0.5

IH = 0.75

IH = 1


14

Figura 10 Valores esperados de los costos de daños para diferentes valores de y

Los resultados de la figura 10 se obtuvieron a partir de las relaciones previamente establecidas entre la función

de vulnerabilidad y su relación con el nivel de daño físico. Para definir los límites de la función de daño físico,

se han utilizado los valores de distorsiones límite para marcos de concreto reforzado iguales a los que aparecen

en Reyes (1999). Se asoció a g(𝜓0(𝑦)|𝐷) un valor igual a 0.01, correspondiente a la distorsión que inicia el

agrietamiento, 𝜓0= 0.005. En los casos en que el marco se daña completamente, se tomó un valor de distorsión

ante falla inminente 𝜓𝐹= 0.040 y se estableció g(𝜓𝐹(𝑦)|𝐷) = 0.99, donde 𝐷, como se ha descrito previamente,

es la variable aleatoria representativa del daño acumulado. En Aldama (2016) se pueden encontrar más detalles

sobre la determinación de estas funciones.

CONCLUSIONES

Se analizó la eficiencia de diversos indicadores de daño acumulado y salud estructural para la obtención de las

funciones de vulnerabilidad de estructuras. Los indicadores propuestos mostraron un adecuado comportamiento

para representar la condición de daño en la estructura después de un evento sísmico. Los esquemas de

simulación de Monte Carlo propuestos permitieron establecer las relaciones probabilistas entre los indicadores

globales y locales de salud estructural y el índice de daño acumulado, así como obtener las funciones de

confiabilidad y vulnerabilidad del sistema en función de ambos indicadores.

Con los resultados de este trabajo es posible realizar estudios de optimización en un ciclo de vida que permitan

encontrar valores óptimos de los umbrales de daño para establecer estrategias de reparación y mantenimiento

dentro de un ciclo de vida. En Esteva et al. (2016) y Aldama (2016), se presenta un planteamiento para la

formulación de políticas de reparación y mantenimiento de sistemas estructurales expuestos a excitaciones

sísmicas a partir del marco de optimización en el ciclo de vida.

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0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

IH

d(y

|S,IH

)

y = 129cm/s²

y = 333.26cm/s²

y = 401.28cm/s²

y = 534.13cm/s²

y = 668.76cm/s²

y = 730.56cm/s²

y = 842.37cm/s²

15


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