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Escuela de Bachilleres “18 de Marzo” Vocacional

Lab. de Matemáticas

1

Índice

Índice ………………………………………………………………… 1

Prefacio ……………………………………………………………. 2

Segunda parte

Práctica de Repaso ………………………………………… 4

Práctica 1 ………………………………………………………… 7

Práctica 2 ………………………………………………………… 11

Práctica 3 ………………………………………………………… 18

Práctica 4 ………………………………………………………… 23

Práctica 5 ………………………………………………………… 26

Práctica 6 ………………………………………………………… 33



2

Prefacio

La metodología de la enseñanza del cálculo en los diferentes niveles debe ser

modificada, a pesar de que el cálculo no ha sufrido cambios substanciales en los

últimos años, al contar ahora con una poderosa herramienta; la combinación

resultante de computadoras personales con sencillos programas capaces de

resolver problemas matemáticos complejos.

Actualmente el 100% de los estudiantes que cursan nuestros programas de

Ingeniería pueden disponer para trabajar de una computadora, en caso de no

contar con una propia, bien puede usar una de los diferentes centros de cómputo

de nuestra facultad, cuya velocidad y capacidad es varios órdenes superior a

aquéllas que guiaron y controlaron la primera misión a la luna en 1969. Además,

en los últimos 10 años, los programas de computadora comerciales han

evolucionado para ser cada vez más accesibles en costo, en la simplicidad de sus

instrucciones, en la complejidad del tipo de problemas que pueden resolver y en

sus gráficos.

De esta forma, podemos recordar desde el original programa “Mathemática©”,

cuya licencia individual tenía un alto costo, con un lenguaje simbólico

relativamente complejo al igual que sus instrucciones. De manera posterior, el

programa “Maple©” fue lanzado al mercado gozando de mucho más accesibilidad

tanto en su costo como en simplicidad de manejo, con un buen despliegue de

gráficos, pero muy limitado en herramientas que difieren al cálculo simbólico.

Finalmente, dentro de estos importantes programas, la empresa MathWorks

ofrece “Matlab©” como su principal producto para computación numérica, análisis

y visualización de datos. El cual posee un costo medio con un manejo simple,

capaz de resolver problemas de manera simbólica, numérica y/o con

programación, pero su mayor ventaja está representada en la cantidad de

herramientas con las que cuenta, de tal forma que lo hacen una necesidad para

cualquier estudiante de ciencias de ingeniería, sin importar su área de desarrollo,

en las diversas etapas de su preparación.



3

Por otro lado, es un hecho que nuestros estudiantes de ingeniería deben seguir

siendo capaces de conocer, dominar y analizar los teoremas básicos sobre los

cuales el cálculo es fundamentado. Sin embargo, el conocimiento teórico y

analítico adquirido por el estudiante en el salón de clases, puede ser

sustancialmente complementado y potenciado con este tipo de programas

computacionales. El añadir una constante a una función para ver en tiempo real,

como se modifica su gráfica, su dominio e inclusive su imagen, o el poder

visualizar las zonas de intersección en el cálculo de integrales con varias

funciones, o revisar los conceptos de simetrías en funciones, sus límites o revisar

el concepto de asíntotas horizontales o verticales, representan algunas de las

acciones que los estudiantes podrían realizar para afianzar sus conocimientos

adquiridos en clases.

Estas prácticas están realizadas en el programa de “Matlab©”, versión 6.5 y por la

simplicidad planteada, no se requiere de conocimiento previo en el manejo de

este programa por parte del estudiante, ni siquiera por parte del profesor.

Atentamente

Los autores



4

PRÁCTICA DE REPASO

Instrucciones Generales

OBJETIVO: Repasar lo aprendido acerca del análisis de funciones usando la computadora

como una herramienta a través del uso del paquete Matlab.

Inicie el programa de Matlab

. Encontrará en la pantalla el siguiente símbolo

>>

el cual indica que ya puede empezar a trabajar dentro del programa y que Matlab espera una

instrucción.

Escriba las instrucciones que están en letras negritas y oprima la tecla enter después de

cada línea. Observe que pasa.

>>clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.

>>syms x % Declaramos a x como variable simbólica .

>>f=2*x^3-1 % Declaramos la función a analizar.

>>ezplot(f,[-4 4]) % Graficamos la función en cierto rectángulo de

inspección, la gráfica de la función en este caso será desde x = -4 a x = 4.

>>grid on % Cuadriculamos la figura.

>>title(´Gráfica de la función f´) % Ponemos título a la figura.

>>xlabel(‘abscisa, x’) % Ponemos nombre al eje x.

>> ylabel(‘ordenada, f(x)’) % Ponemos nombre al eje y.

>> fin=finverse(f) % Calculamos la función inversa de la función.

>> pretty(fin) % Reescribimos la función inversa de una forma

más fácil de entender.

>> hold on; % Mantenemos la grafica de f para graficarla

junto con su función inversa.

>> ezplot(fin,[-4 4]) % Graficamos en el mismo rectángulo de

inspección a la función inversa, observe la reflexión respecto a la recta y=x.

>> axis([-4 4 -4 4]) % Cambiamos el rectángulo de inspección para

poder apreciar mejor las graficas en x de -4 a 4.

>> f1=diff(f) % Calculamos la primera derivada.

>> solve(f1) % Hallamos los puntos críticos de la función, que

para este caso son dos repetidos en x=0.

>> f2=diff(f,2) % Calculamos la segunda derivada.

>> solve(f2) % Hallamos los puntos de inflexión de la función

f, que para este caso se encuentra uno en x=0.

>> figure % Creamos una nueva ventana de figura.

>> ezplot(f1) % Graficamos la 1ra derivada de la función f.

>> grid on % Cuadriculamos la figura.

>> hold on % Mantenemos la grafica de la primera derivada

para graficarla junto con la segunda derivada de la función f.

>> ezplot(f2) % Graficamos la 2da derivada de la función f.

%Nota: con las flechas del teclado se puede acceder a cualquier instrucción que previamente se haya definido.



5

Gráficas en Matlab

Grafica de

12 3 xxf

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-100

-50

0

50

100

abcisa,x

Grafica de la funcion f

ord

enada,f

(x)

Grafica de 12 3 xxf

y

su Inversa 31

2

1 x

xf

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-3

-2

-1

0

1

2

3

4

x

Función y su Inversa

f

fin

f

y = x

Grafica de la Primera derivada

26' xxf

y la Segunda derivada de f

xxf 12''

-6 -4 -2 0 2 4 6

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

x

Grafica de la 1ra y la 2da derivada de la funcion f



6

Actividad.

Para las siguientes funciones,

i) Encuentre la función inversa de la función, grafíquela junto con la función original

en un mismo sistema de ejes coordenados. Si no tiene inversa indíquelo.

ii) Calcule la primera y segunda derivada de la función y grafíquelas. Una vez hallada

las primera y segunda derivada, encontrar los puntos críticos y los puntos de

inflexión.

1) 32 xy

2) Senxy

3) 29 xy

4) 32

1

sr

5) xy ln

Use para la raíz el comando, “sqrt(...)”, para la división ^(-1), para la función logaritmo

natural use el comando “log(...)” y para la función seno use el comando “sin(...)”. También

puede consultar la ayuda (del programa) para ver la lista de comandos completa o los más

típicos que usará en cálculo elemental, por ejemplo al escribir en el prompt del Matlab

“help sqrt”, desplegara un texto de ayuda en la pantalla respecto al comando sqtr.

Es muy importante que haga observaciones y/o comentarios sobre su trabajo ya que No se

admitirán trabajos sin observaciones y/o comentarios.



7

PRÁCTICA 1


OBJETIVO: Aprender a calcular integrales definidas e indefinidas de funciones con cálculo

simbólico, usando la computadora como una herramienta a través del uso del paquete Matlab

La primera actividad de esta práctica consiste en ejecutar las siguientes instrucciones en la

ventana de comandos para realizar las siguientes integrales.



a) dxx

xx

2

23 1152

>> clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria.

>> syms x k % Declaramos a las variables x y k como simbólicas.

>> f=2*x^3-5*x^2-1+1/x^2; % Definimos la función a integrar.

>> F1=int(f) % Calculamos la integral indefinida de la función.

Observe que el resultado mostrado por Matlab

no incluye la constante de integración.

F1 =

1/2*x^4-5/3*x^3-x-1/x

>> F=int(f)+k % Podemos definir una familia de funciones simplemente

definiendo una nueva función que incluya la constante de integración.

F =

1/2*x^4-5/3*x^3-x-1/x+k

b) dxxx

6

2

32 2


>> syms x % Declaramos a la variable x como simbólica.

>> F=int((x^2)*(x+2)^(1/3),-2,6) % Calculamos la integral definida,

F = % obteniendo este resultado.

2376/35*8^(1/3)

>> 2376/35*8^(1/3)

% Copiamos la solución obtenida en la siguiente línea

ans = % de comandos para visualizar el resultado de una

% forma más simplificada.

135.7714



8

c) dxyzzyxxyz

b

a

23 222


>> syms x y z a b % Declaramos a la variables x, y, z, a, b como

simbólicas. Cuando se realiza una operación con solo variables, se deben de declarar todas y

cada una de ellas como simbólicas ya que si no Matlab marca un error.

>> F=int(x*y*z^2+3*x^2*y^2*z-2*y*z,x,a,b) % Calculamos la integral, definiendo

primeramente la función a integrar, luego la variable respecto a la cual se va a integrar y por

último los limites de integración.

F = % Siendo este el resultado de la integral simbólica.

1/2*y*z^2*(b^2-a^2)+y^2*z*(b^3-a^3)-2*y*z*(b-a)

>> pretty(F) % Reescribimos la solución en una forma más fácil

% de entender.

2 2 2 2 3 3

1/2 y z (b - a ) + y z (b - a ) - 2 y z (b - a)

d) Separar la siguiente función en fracciones parciales e integrarla.

345

24

23

24

44

1216

2

1216

xxx

xxx

xx

xxxxf


>> syms x k % Declaramos a la variable x y k como simbólicas.

>> num=[1 0 1 16 -12]; % Creamos una matriz con los coeficientes del numerador,

tomando en cuenta que van en orden decreciente.

>> den=[1 -4 4 0 0 0]; % Creamos una matriz con los coeficientes del

denominador, tomando en cuenta que van en orden decreciente.

>> [r,p,k]=residue(num,den) % Usando la función residue(…) se puede descomponer en

fracciones parciales una fracción compleja y viceversa.

r =

-1

5

2

1

-3



9

p =

2

2

0

0

0

k =

[]

>> F=int((x^4+x^2+16*x-12)/(x^3*(x-2)^2))+k % Integramos la función.

F =

% Obteniendo este resultado en Matlab.

-log(x-2)+3/2/x^2-1/x-5/(x-2)+2*log(x)+k

>> pretty(F) % Reescribimos la solución en una forma más fácil

% de entender.

1 5

-log(x - 2) + 3/2 ---- - 1/x - ----- + 2 log(x) + k

2 x - 2

x

Los valores del vector r = [-1, 5, 2, 1, -3] son los valores de las Ai‟s buscadas al escribir la

función separada en fracciones parciales de la forma.

3

5

2

43

2

21

23

24

222

1216

x

A

x

A

x

A

x

A

x

AxP

xx

xxxxf

Los valores del vector p = [2, 2, 0, 0, 0] son los valores de las raíces del polinomio del

denominador. Si el polinomio posee un término que no se puede factorizar, como por ejemplo

una suma de cuadrados, Matlab

lo descompone en factores complejos.

El valor de k es el residuo que queda al hacer la división del polinomio del numerador entre el

denominador, para este caso es cero ya que el grado del numerador es menor que el grado del

denominador. Por tanto, la función f(x) descompuesta fracciones parciales queda escrita

como:

32223

24 312

2

5

2

1

2

1216

xxxxxxx

xxxxf

Actividad.



10

Calcule las siguientes integrales usando la herramienta de Matlab

. Si la integral es indefinida,

agregue la constante de integración; si la integral es definida indique la solución de forma

simplificada y reducida. Para el inciso h) separe en fracciones parciales y después integre la

función.

1)

dx

xxx

3

2 135 2)

1

2

212 dxx

3) 4

1

ln dxxx 4) dxxTan 36

5) 6

0

42

dxxxCosSen 6)

b

a ww

dw

722

7)

2ln

0

2/32 78dt

ee

e

tt

t

8) 62

3010842

23

xx

xxxxf

9) Si 18 472

m

dxx . Encuentre el valor de m que hace que lo anterior se cumpla.

10) El volumen de un globo se incrementa de acuerdo a la formula:

ttdt

dV

3

21

Donde V cm3

es el volumen del globo a los t segundos. Si V = 33 cm3

cuando t = 3 seg.

Calcule

a) Una formula de V en términos de t.

b) El volumen del globo a los 8 segundos.

11) Obtenga el valor de la siguiente derivada

x

dttdx

dtan

2

21

1

Para sustituir en una variable un valor puede usarse la función subs(…). Es muy importante

que haga observaciones y/o comentarios sobre su trabajo ya que No se admitirán trabajos

sin comentarios u observaciones.



11

PRÁCTICA 2


OBJETIVO: El alumno aprenderá a resolver problemas de aplicación de la integral

auxiliándose de cálculo simbólico a través de la herramienta Matlab.

En esta práctica comenzamos calculando el área comprendida entre las graficas de

xxxxf 103)( 23 y xxxg 2)( 2 . Recuerde que el área se define como la

diferencia entre la curva de arriba menos la de abajo.




>>syms x % Declaramos a x como simbólica.

>> f=3*x^3-x^2-10*x; % Declaramos la primera función.

>> g=-x^2+2*x; % Declaramos la segunda función.

>> ezplot(f) % Graficamos la primera función.

>> text(-0.8,6.5,'f(x)') % Etiquetamos a f para identificarla.

>> hold on % Mantenemos la grafica de f.

>> ezplot(g) % Graficamos la segunda función.

>> text(1.2,1.5,'g(x)') % Etiquetamos a g para identificarla.

>> grid on % Agregamos el mallado.

>> axis([-3 3 -10 10]) % Cambiamos el cuadro de inspección.

>> title('Área entre las graficas de f y g') % Ponemos titulo a la grafica.

>> solve(f-g) ans = % Encontramos los puntos de intersección entre

% las funciones f y g, para hallar los limites de

0 % integración al momento de calcular el área.

2

-2

>> h1=f-g % De la grafica se observa que para calcular el área

% es necesario definir dos alturas, la primera es h1

h1 = % en la cual f está arriba y g abajo y va desde [-2,0].

3*x^3-12*x

>> h2=g-f % La segunda altura es h2 en la cual g está arriba y

% f abajo y va desde [0,2].

h2 =

12*x-3*x^3

>> A=int(h1,-2,0)+int(h2,0,2) % Calculamos el área total sumando las dos secciones

% que se forman entre f y g,

A =

24 % obteniendo esta área total.



12

Gráfica en Matlab

-3 -2 -1 0 1 2 3-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

x

Area entre las graficas de f y g

f(x)

g(x)

dx

dx

h1

h2

Nota:

Para crear los rectángulos, así

como algunos de los textos

que aparecen en el dibujo, se

pueden hacer directamente

desde la ventana de la figura.

Calcular la longitud de arco de la curva x

xxf

2

1

6

3

en el intervalo 2,21 . Recuerde que la

longitud de arco se define como: dxxfL

b

a

2

)('1


>>syms x % Declaramos a x como simbólica.

>> F=(x^3)/6+1/(2*x); % Definimos la función a analizar.

>> dF=diff(F); % Calculamos la derivada de F.

>> G=sqrt(1+dF^2) % Definimos la función a integrar.

G =

(1+(1/2*x^2-1/2/x^2)^2)^(1/2)

>> L=int(G,0.5,2)

% Integramos desde 0.5 a 2 para obtener la

L = % longitud del arco.

33/32*4^(1/2)

>> 33/32*4^(1/2)

ans =

2.0625

% Simplificando el resultado se obtiene la longitud del arco que es L = 2.0625 u.



13

Calcule el volumen del solido de revolución generado al girar, en torno de la recta 4x , la

región limitada por las graficas de 3 2y x , 2y , 2x .

Método de Capas Cilíndricas


>> syms x y % Declaramos a x e y como simbólicas.

>> ezplot(x^3+2,[-1 5]) % Graficamos la función, para identificar la

>> grid on % región que se va a hacer girar.

>> axis([-1 6 -2 16]) % Ajustamos la ventana de inspeccion.

%Nota: Las rectas que definen la región, el eje de revolución, las rectas de los ejes, así como todas las etiquetas y el rectángulo que representa al elemento diferencial se agregaron desde la figura.

% La fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución usando el método de capas

cilíndricas es:

2

b

a

V p x h x dx

>> h=(x^3+2)-2 % La altura de la capa cilíndrica queda definida

% como la curva superior menos la curva inferior.

h =

x^3

>> p=4-x % El radio de la capa cilíndrica esta determinado

% por la distancia de la capa al eje de revolución.

p =

4-x

>> V=2*pi*int(h*p,x,0,2) % Se sustituye los valores del radio y la altura de

% la capa en la fórmula para calcular el volumen

V = % del sólido de revolución.

96/5*pi

>> double(V) % Simplificamos el resultado.

ans =

60.3186

% El volumen obtenido del solido de revolución es V = 60.3186 u3.

% Para comparar los diversos métodos para obtener el volumen, se calculara este mismo

volumen pero usando ahora el método de arandelas.



14

Gráfica en Matlab

Método de Arandelas


>> syms x y % Declaramos a x e y como simbólicas.

>> ezplot(x^3+2,[-1 5]) % Graficamos la función, para identificar la

>> grid on % región que se va a hacer girar.

>> axis([-1 6 -2 16]) % Ajustamos la ventana de inspeccion.

%Nota: Las rectas que definen la región, el eje de revolución, las rectas de los ejes, así como todas las etiquetas y el rectángulo que representa al elemento diferencial se agregaron desde la figura.

% La fórmula para calcular el volumen de un sólido de revolución usando el método de

arandelas es:

2 2

d

e i

c

V R y R y dy

% Para determinar los limites de integración, debemos notar primero que la variable respecto a

la cual se va a integrar es y. Por lo cual, el elemento diferencial dy recorrerá desde la recta y=2

hasta el punto donde la función se cruza con la recta x=2, como se aprecia en la siguiente figura

>> subs(x^3+2,2) % El límite superior antes mencionado se calcula

% evaluando la función en x = 2.

ans =

10



15

>> x=solve(x^3+2-y,x) % Dado que la variable respecto a la cual se va a

% integrar es y, entonces despejaremos a x de la

x = % función. Como se debe esta resolviendo una

% ecuación cubica, entonces se van a obtener 3

(-2+y)^(1/3) % soluciones, de las cuales 2 son complejas

-1/2*(-2+y)^(1/3)+1/2*i*3^(1/2)*(-2+y)^(1/3) % y la otra es real.

-1/2*(-2+y)^(1/3)-1/2*i*3^(1/2)*(-2+y)^(1/3)

>> x=x(1) % Como estamos trabajando en el campo de los

% números reales, se elige el primero de los 3

x = % resultados de la variable despejada. Otra forma

% de obtener este valor es obteniendo la inversa

(-2+y)^(1/3) % de la función, aunque quedaría en función de x.

>> Ri=(4)-(2) % A continuación calculamos el radio interno de

% la arandela, el cual queda definido como la

Ri = % diferencia entre la curva de la derecha, x = 4,

% y la curva de la izquierda, x = 2.

2

>> Re=4-x % Ahora calculamos el radio externo de la aran--

% dela, el cual está definido como la diferencia

Re = % entre la curva de la derecha, x = 4, y la curva

% de la izquierda.

4-(-2+y)^(1/3)

>> V=pi*int(Re^2-Ri^2,y,2,10) % Sustituimos los valores de las funciones de los

% radios en la fórmula del volumen del sólido de

V = % revolución antes mencionada. El resultado

% obtenido esta en forma simbólica.

pi*(24/5*8^(2/3)+96-48*8^(1/3))

>> double(V) % Pasamos el resultado de la forma simbólica a

% una forma más reducida y simplificada.

ans =

60.3186

% El volumen del sólido de revolución obtenido por el método de arandelas es V=60.3186 u3.

% Comparando los volúmenes obtenidos por ambos métodos podemos ver que ambos son

iguales.



16

Gráfica en Matlab

Gráficas hechas en Mechanical Desktop

:



17

Actividad.

1) Calcule el área de la región limitada por las dos curvas

xxxy 86 23 e xxy 42 .

2) Hallar el volumen del sólido formado al hacer girar la región limitada por las graficas

de xy e 2xy alrededor del eje x.

3) Calcular la distancia recorrida por un proyectil que sigue una trayectoria dada por 2005.0 xxy . Considere al eje x como el nivel del piso, x e y se miden en metros.

Nota: El problema no consiste en calcular la distancia a la que el proyectil cae.

4) La longitud de una barra es de 13 m y la densidad lineal de la barra en un punto que

esta a x metros de un extremo es )62( x kg/m. Calcule la masa total y el centro de

masa de la barra.

5) Determine el centroide de la región limitada por las fronteras:

42 xy e 22 xxy

6) Un cable de 200 ft de longitud pesa 4 lb/ft y pende verticalmente en un pozo. Si se

suspende un cuerpo cuyo peso es de 100 lb del extremo inferior del cable, determine el

trabajo efectuado al subir el cable y el cuerpo hasta la parte superior del pozo


admitirán trabajos sin comentarios u observaciones.



18

PRÁCTICA 3


OBJETIVO: Aprender a calcular límites e integrales impropias con limites al infinito y/o

formas indeterminadas del tipo 0/0 ó / , usando la computadora como una herramienta a

través del uso del paquete Matlab

.

En esta práctica se mostrara como realizar algunas operaciones que involucran formas

indeterminadas.

Escriba las instrucciones que están en letras negritas y oprima la tecla enter después

de cada línea. Observe que pasa.

a)

0

0

1

32lim

2

1 x

xx

x

>>clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria. >>syms x % Declaramos a la variable x como simbólica.

>>num=2*x^2-x-3; % Separamos al numerador

>>den=x+1; % y al denominador.

>>subs(num,-1) % Evaluamos el numerador en el punto a analizar.

ans =

0

>>subs(x+1,-1) % Evaluamos el denominador en el punto a analizar.

ans = % se observa que se tiene una división de 0/0 por

0 % tanto podemos aplicar la Regla de L‟Hôpital.

>>dnum=diff(num)

dnum = % Derivamos el numerador, el cual ahora es diferente

4*x-1 % de 0 al evaluarlo en -1.

>>dden=diff(den)

dden = % Derivamos el denominador, el cual siempre será

1 % diferente de 0 inclusive en x = -1.

>>limit(dnum/dden,-1) % Calculamos el límite de las derivadas en -1.

ans =

-5

>>limit(num/den,-1) % Calculamos el límite de la fracción original en -1.

ans =

-5 % Observe que se obtiene el mismo resultado. Lo cual

nos indica que pudimos haber calculado el límite sin necesidad de revisar si tenía una

indeterminación o no.



19

b) xx e

xx5

3 2lim

>>clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria. >>syms x % Declaramos a la variable x como simbólica.

>>limit((x^3-2*x)/(exp(5*x)),x,inf) % Calculamos el limite indicando que la variable x

% tiende a infinito por medio de su representación

ans = % simbólica inf.

0 % Conforme x crece sin límite, la función tiende a

% cero como lo indica el resultado.

c)

b

eeb xx

dx

xx

dx22 )(ln

lim)(ln

>>clear all % Limpia las variables y funciones de la memoria. >>syms x b % Declaramos las variables x y b como simbólicas.

>>F=1/(x*(log(x))^2); % Declaramos la función con la que se va a trabajar.

>> Fi=int(F,x,exp(1),b) % Integramos la función desde e hasta b.

Fi =

-(-log(3060513257434037)+50*log(2)+log(b))/log(b)/(-log(3060513257434037)+50*log(2))

>> limit(Fi,b,inf) % Calculamos el limite cuando b tiende a infinito.

ans =

-1/(-log(3060513257434037)+50*log(2)) % Obteniendo este resultado.

>> -1/(-log(3060513257434037)+50*log(2)) % Copiamos la solución en la siguiente

% línea de comando para simplificar

ans = % el resultado.

1

>> int(F,x,exp(1),inf) % Realizamos la integral desde e hasta infinito para

% comprobar el resultado obtenido.

ans =

-1/(-log(3060513257434037)+50*log(2))

>> -1/(-log(3060513257434037)+50*log(2))

ans = % Observe que Matlab

no muestra problemas en definir

% los limites como infinitos. Además, como se observa el

1 % resultado que se obtiene es el mismo.



20

d) Calcular la siguiente integral 2 2

2 211

lim1 1a

a

dx dx

x x x x

La integral anterior es una integral impropia ya que el integrando tienen una discontinuidad

infinita en el punto 1x , el cual pertenece al intervalo de integración.


>> syms x a % Declaramos las variables x y a como simbólicas.

>> F=1/(x*sqrt(x^2-1)); % Declaramos la función con la que se va a trabajar e

>> Fi=int(F,a,2) % integramos la función desde „a‟ hasta 2.

Fi =

-1/6*pi+atan(1/(a^2-1)^(1/2))

>> Fa=limit(Fi,a,1,'right') % Se calcula el limite cuando „a‟ tiende a 1 por la

% derecha, ya que la integral tiene la discontinuidad en

Fa = % el límite inferior.

1/3*pi % Obteniéndose este resultado.

>> Fd=int(F,1,2) % Calculamos la integral impropia de forma directa. Como

% se observa el resultado que se obtiene es el mismo que

Fd = % el obtenido por medio de límites.

1/3*pi

% Es importante saber porque lado se debe de calcular el límite (derecha o izquierda), ya que si

se calcula del lado equivocado, se obtendrá un resultado equivocado. A continuación se

muestra el resultado que se obtendría, si en lugar de calcular el límite por la derecha lo

calculamos por la izquierda

>> Fa=limit(Fi,a,1,'left')

Fa =

-2/3*pi

% Aunque cuando Matlab

resuelva todo tipo de integrales incluyendo las impropias, se debe

de saber qué clase de problema se está resolviendo para saber qué resultado esperar.

e) Calcular la siguiente integral

2 2 211

2 2 2lim lim

1 1 1

c b

baa c

dx dx dx

x x x x x x

Esta es una integral doblemente impropia, ya que por un lado el límite de integración inferior

tiene una discontinuidad infinita en el punto 1x , y en el límite de integración superior se tiene



21

un límite infinito. Para calcular esta integral se separa en dos partes como se muestra arriba, en

donde 1,c .


>> syms x a b c % Declaramos las variables x,a,b,c como simbólicas.

>> F=2/(x*sqrt(x^2-1)); % Declaramos la función con la que se va a trabajar.

>> S1=int(F,x,a,c) % Calculamos la primera integral desde „a‟ hasta „c‟.

S1 =

-2*atan(1/(c^2-1)^(1/2))+2*atan(1/(a^2-1)^(1/2))

>> S2=int(F,x,c,b) % Calculamos la segunda integral desde „c‟ hasta „b‟.

S2 =

-2*atan(1/(b^2-1)^(1/2))+2*atan(1/(c^2-1)^(1/2))

>> S=limit(S1,a,1,'right')+limit(S2,b,inf) % Una vez calculadas las dos integrales en

% forma simbólica, se procede a calcular la

S = % suma de los limites de las integrales en x=1 por la

pi % derecha y en infinito, obteniéndose este resultado.

>> Sd=int(F,x,1,inf) % Calculamos la integral impropia de forma directa.

% Al igual que en los ejemplos anteriores el resultado

Sd = % obtenido por ambos métodos es el mismo.

pi

% Este problema se resolvió de manera simbólica, sin embargo se pudo haber sustituido a la

variable c por un valor numérico entre 1 e infinito, sin que el resultado variara. Para un valor de

c=6 por ejemplo, el resultado que se obtendría sería:

>> S1=int(F,x,a,6)

S1 =

-2*atan(1/35*35^(1/2))+2*atan(1/(a^2-1)^(1/2))

>> S2=int(F,x,6,b)

S2 =

-2*atan(1/(b^2-1)^(1/2))+2*atan(1/35*35^(1/2))

>> S=limit(S1,a,1,'right')+limit(S2,b,inf)

S =

pi

% El resultado de la integral no cambia debido a que no depende del punto intermedio que se

utiliza para evaluar la integral, sino que depende únicamente de los límites de integración.



22

Actividad.

Calcule el límite indicado y compruebe gráficamente el límite. Elija un intervalo adecuado en el

cual se pueda ver claramente el comportamiento de la función alrededor del punto a analizar.

1) 12

23lim

2

x

x

x 2)

1x

x3

1x

x2 lim

x

3) 12

2 16lim

xx e

xx 4)

x

x

x 4

lnlim

5)

30

1lim

x

xe x

x

6) x

x

x

24lim

2

0

7) 3

9lim

2

3

x

x

x 8)

20

11lim

xxx

En los siguientes ejercicios calcule las integrales de dos formas, haciendo uso de límites y de

forma directa.

9) dxe x 4 7/

10)

dx

xx

1

1

1

11) dxe x

0

2

12) dxxe x

0

2

13)

2

20 2

dx

x x 14)

2

01

xdx

x

15) 2

2 4

dx

x

16)

23 9

dx

x x

17) Usando Matlab

compruebe las siguientes igualdades.

x

xxe

/1

01lim

ó

x

x xe

11lim





23

PRÁCTICA 4


OBJETIVO: El alumno aprenderá a graficar y resolver funciones de una variable mediante

series de Taylor. Además, aprenderá a controlar la precisión de los resultados, auxiliándose de

cálculo simbólico a través de la herramienta Matlab

.

En esta práctica se encontrara el polinomio de Taylor alrededor de los puntos: a=0 (serie de

McClaurin), y a=5 de la siguiente función. Se mostrara la diferencia que hay entre la función

original y el polinomio de Taylor, evaluando en dos puntos cualesquiera, así como haciendo la

comparación de sus graficas. xexf )(

Escriba las instrucciones que están en letras negritas y oprima la tecla enter después

de cada línea. Observe que pasa.


>>syms x % Declaramos a la variable x como simbólica.

>> f=exp(x); % Definimos la función.

>> vpa(subs(f,0),10) % Evaluamos la función f en el punto x=0, usando el

% comando subs(…) y ajustamos la precisión a 10

ans = % cifras usando el comando vpa(…), para después

1. % comparar el valor de la función con la aproximación

% en series de Taylor

>> vpa(subs(f,5),10)

% Evaluamos también en el punto x=5.

ans =

148.4131591

>> g=taylor(f,7) % Se calcula el polinomio de Taylor de grado menor a 7

% correspondiente a la función f alrededor de a=0.

g =

1+x+1/2*x^2+1/6*x^3+1/24*x^4+1/120*x^5+1/720*x^6

>> ezplot(f) % Graficamos la función original junto con su represen-

>> hold on % tación en series de Taylor para compararlas.

>> ezplot(g) % Observe como el polinomio se aproxima muy bien a

>> grid on % la función cerca de x=0 pero no fuera de este.

>> vpa(subs(g,0),10) % Se evalúa el polinomio en x=0 para saber cuánta es la

% variación entre ambas. Como se observa, el punto en

ans = % x=0 es prácticamente el mismo que el de la función.

1.

>> vpa(subs(g,5),10) % Sin embargo, cuando evaluamos en un punto alejado

% de x=0 como por ejemplo x=5, la variación entre las

ans = % funciones es más evidente llegando a ser de más 35

113.1180556 % unidades.



24

>> g=taylor(f,7,5) % Se calcula el polinomio de Taylor de grado menor a 7

% correspondiente a la función f alrededor de a=5.

g =

exp(5)+exp(5)*(x-5)+1/2*exp(5)*(x-5)^2+1/6*exp(5)*(x-5)^3+1/24*exp(5)*(x-

5)^4+1/120*exp(5)*(x-5)^5+1/720*exp(5)*(x-5)^6

>> ezplot(f) % Graficamos ambas funciones en el mismo rectángulo

>> hold on % de inspección, para comparar la grafica de la nueva

>> ezplot(g) % aproximación con la función original.

>> grid on

>> vpa(subs(g,0),10) % Se evalúa nuevamente en x=0 pero con la nueva aproxi-

% mación, obteniéndose una diferencia con la función

ans = % original de más de 1390 unidades.

1390.342720

>> vpa(subs(g,5),10) % Sin embargo, si ahora evaluamos el polinomio en el

% punto x=5, vemos que esta vez el polinomio coincide

ans = % con la función original.

148.4131591

Gráficas en Matlab

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 60

50

100

150

200

250

300

350

400

x

Polinomio de Taylor alrededor de a = 0

y

f

g

-1 0 1 2 3 4 5 60

50

100

150

200

250

300

350

400

x

Polinomio de Taylor alrededor de a = 5

y

f

g

Figura 1. Figura 2.



25

Actividad.

Evaluar con una exactitud de cinco cifras decimales las integrales definidas

1. 2/1

0

2 dxxArcTan 2.

2/1

0

3

dxe x 3. dxxsenx

1

0

4. Obtenga el polinomio de Taylor para la función 2xexf en a = 0.5 con 5 términos,

compare las graficas de f y su aproximación por series de Taylor.

5. Obtenga una representación en serie de potencias para la función Senxxf alrededor de

los siguientes números 0a , 6

a ,

2

a ,

4

3a . Grafique la función junto con cada

una de las aproximaciones.

6. Determine los 3 y 6 primeros términos diferentes de cero de la serie de Maclaurin para la

función xsen2. Compare ambas aproximaciones con la función original.

7. Determine el polinomio de Taylor de grado 4 para la función Cosxxf ln , alrededor del

punto 3

a . Compare con la función original.

Use para la arcotangente el comando, “atan(...)”, para la función exponencial use el comando

“exp(...)”, para ajustar la precisión de las variables use el comando “vpa(...)” y para evaluar

una función en un punto o valor use el comando “subs(...)”. También puede consultar la ayuda

(del programa) para ver la lista de comandos completa o los más típicos que usará en

cálculo, por ejemplo al escribir en el prompt de Matlab “help subs”, desplegara un texto

de ayuda en la pantalla respecto al comando subs.





26

PRÁCTICA 5


OBJETIVO: El alumno aprenderá a obtener y graficar los términos de las series y sucesiones,

así como a comprobar la convergencia de estas, usando la computadora como una herramienta,

a través del uso del paquete Matlab.

En esta práctica comenzaremos analizando la sucesión 1

2 1n

na

n




>> syms n % Declaramos a la variable n como simbólica.

>> for i=1:10; a(i)=(i+1)/(2*i-1); end % Se calculan los primeros 10 términos de la

% sucesión, los cuales se calculan y almacenan

% en el arreglo a[], por medio de un ciclo for.

>> a % Escribimos en el Prompt el nombre del arreglo,

a = % para visualizar los elementos de este.

Columns 1 through 7

2.0000 1.0000 0.8000 0.7143 0.6667 0.6364 0.6154

Columns 8 through 10

0.6000 0.5882 0.5789

>> sym(a) % Para ver los elementos anteriores de una forma

ans = % simbólica, se usa el comando sym(…).

[ 2, 1, 4/5, 5/7, 2/3, 7/11, 8/13, 3/5, 10/17, 11/19]

>> limit((n+1)/(2*n-1),inf) % Calculamos el límite de la sucesión en el infinito

ans = % para analizar si converge o diverge. En este caso

1/2 % como el limite existe, la sucesión es convergente.

>> plot(a) % Si se desea graficar los puntos de la sucesión o

>> grid on % cualquier conjunto de puntos, se usa el comando

>> axis([0 11 0 2.1]) % plot(…), en lugar del comando ezplot(…).

% En algunas ocasiones, es necesario dividir una ventana para graficar varias funciones a la

vez, cada una en su propio rectángulo de inspección, para hacer esto en Matlab

se usa el

comando subplot(…). A continuación se muestran 4 ejemplos de algunas variantes que se

pueden hacer con el comando plot(…), todas ellas dentro de una misma ventana.



27

>> subplot(2,2,1) % Dividimos la ventana en 4 partes y graficamos

>> plot(a) % los puntos antes calculados en la primera parte.

>> grid on

>> axis([0 11 0 2.1])

>> subplot(2,2,2) % En la segunda parte se grafica los puntos sin

>> plot(a,'*r') % unirlos, marcándolos con un asterisco rojo.

>> grid on

>> axis([0 11 0 2.1])

>> subplot(2,2,3) % En la tercera parte se grafica los puntos unidos

>> plot(a,'--go') % por línea punteada en color rojo, con cada uno

>> grid on % de los puntos marcados por un circulo.

>> axis([0 11 0 2.1])

>> subplot(2,2,4) % En la cuarta parte se grafica los puntos unidos

>> plot(a,'-.mhexagram') % por otro tipo de línea punteada en color guinda,

>> grid on % con los puntos marcados con una estrella.

>> axis([0 11 0 2.1])

Gráfica en Matlab

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

0 2 4 6 8 100

0.5

1

1.5

2

Uso de los Comandos Plot y Subplot



28

A continuación se mostrara como se realizan las sumas simbólicas (Notación Sigma) en

Matlab

. Después se analizara la serie infinita 1

2n n

s

, determinando si esta converge o

diverge, se calcularan algunas de las sumas parciales y finalmente se graficaran.


>> syms n k % Iniciamos asignando las variables n, k como simbólicas.

>> symsum((1/2)^n,n,1,4) % Para realizar sumatorias en Matlab

se usa el comando

% symsum(…) el cual tiene como entrada la función en la

ans = % que se evaluara, así como los puntos de inicio y fin. En

15/16 % este caso se sumara desde el termino 1 al 4 en 1 2n

>> symsum((1/2)^n,n,1,k) % Si se calcula la suma hasta un valor arbitrario k, lo que

% se obtiene es una fórmula para las sumas parciales de la

ans = % serie correspondiente a esta función si es que existe.

-2*(1/2)^(k+1)+1

>> simplify(ans) % Simplificamos aun más el resultado anterior.

ans =

-2^(-k)+1

>> symsum((1/2)^n,n,1,Inf) % Para comprobar si la serie converge, lo que se hace es

% calcular la suma desde el primer elemento hasta infinito

ans = % Si la suma existe, la serie converge, si la suma crece

1 % indefinidamente, la serie diverge. En este caso la serie

% infinita converge y su suma llega a 1.

>> for i=1:15; s(i)=symsum(1/(2^n),n,1,i); end % En la variable s se almacenan las 15

% primeras sumas parciales obtenidas por

>> s % medio del ciclo for, para la serie con la

% que se está trabajando.

s =

[ 1/2, 3/4, 7/8, 15/16, 31/32, 63/64, 127/128, 255/256,

511/512, 1023/1024, 2047/2048, 4095/4096, 8191/8192, 16383/16384, 32767/32768]

>> plot(double(s),'-diamondb') % Si se desea graficar los 15 puntos de la serie es

>> grid on % necesario convertir el tipo de variable, pasando

>> axis([0 16 0.4 1.05]) % del tipo sym a double, todo el arreglo.

Del análisis hecho se puede concluir que esta serie es monótona creciente, y se encuentra

acotada por arriba. La suma de esta serie infinita es convergente y converge a 1.



29

Gráficas en Matlab

La siguiente figura muestra la grafica de los puntos obtenidos de la sucesión. Como se puede

apreciar cada uno de los puntos están marcados en rojo, las líneas que los unen vienen por

default en el comando plot(…), aunque solo sirven para visualizar de una mejor forma la

tendencia que van siguiendo los términos de la sucesión.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

Grafica de los Puntos de la Sucesión

Empleando nuevamente el comando plot(…) se grafican los términos pero ahora de la serie,

aun cuando solo se graficaron 15 términos de la serie, se puede observar la tendencia que lleva

la serie hacia el valor de 1.

0 2 4 6 8 10 12 14 160.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Grafica de la Serie sn=(1/2)n



30

Determine el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencias.

21

2n n

n

x

n


>> syms x n % Iniciamos asignando las variables x, n como simbólicas.

>> F=2^n*x^n/n^2; % Declaramos la formula de la serie.

% Aplicando el criterio de la razón, se tiene que calcular

1lim n

nn

u

u

>> r=subs(F,n,n+1)/F % Calculamos primeramente la razón entre un+1 y un .

r =

2^(1+n)*x^(1+n)/(1+n)^2/(2^n)/(x^n)*n^2

>> [r,how]=simple(r) % Simplificamos el resultado anterior, con el comando

r = % simple(…) el cual definiéndolo de esta manera,

2*x/(1+n)^2*n^2 % despliega la solución más simple y el método usado

% para hacer esta simplificación.

how =

expand

>> pretty(r) % Mostramos el resultado obtenido de una forma mas

2 % fácil de visualizar por medio del comando pretty(…).

x n

2 --------

2

(1 + n)

>> L=limit(r,n,inf) % Calculamos el limite conforme n tiende a ∞ para la

% razón obtenida anteriormente.

L = % Obteniéndose este resultado.

2*x

% La serie dada será absolutamente convergente cuando 2 1x . Como Matlab

no cuenta

con un comando o función para resolver desigualdades, entonces lo que se puede hacer es

resolver la igualdad en lugar de resolver la desigualdad.

2 1x ó 2 1 0x

>> E=solve(abs(L)-1)

E =

[ 1/2]

[ -1/2]



31

% Los dos valores obtenidos determinan el intervalo de convergencia 1 12 2, , el cual es un

intervalo abierto, ya que lo que se está resolviendo es una desigualdad estricta. Dado que no se

tiene información respecto a la convergencia de la serie de potencias en los puntos terminales

del intervalo de convergencia, habrá que analizar estos dos puntos de forma separada para ver

si en cada uno de ellos la serie converge o diverge.

>> F1=subs(F,x,-1/2) % Sustituyendo el valor del extremo inferior 12

x ,

% la serie se convierte en esto.

F1 =

2^n*(-1/2)^n/n^2

>> F1=simplify(F1) % Simplificando el resultado anterior, se puede

% observar que para 12

x , lo que se tiene es

F1 = % una serie alternante.

(-1)^n/n^2

>> limit(F1,n,inf) % Para saber si la serie alternante es convergente, se

% calcula el limite cuando n tiende a ∞, para ver que

ans = % pasa con el n-esimo termino. Como en el límite este

0 % se va a cero, la serie alternante es convergente. Lo

% que nos indica que el extremo inferior pertenece al

>> symsum((-1)^n/n^2,n,1,inf) % intervalo de convergencia. Otra forma de ver que

% esta serie alternante es convergente, es calculando

ans = % la suma desde el primer elemento hasta el infinito,

-1/12*pi^2 % obteniéndose un valor finito, indicándonos que la

% serie alternante converge.

>> F2=subs(F,x,1/2) % A continuación se sustituye el extremo superior

% 12

x , convirtiéndose la serie en esto.

F2 =

2^n*(1/2)^n/n^2

>> F2=simplify(F2) % Simplificando el resultado anterior, se puede

% observar que para 12

x , lo que se tiene es

F2 = % una serie p, con p=2. Por lo tanto, como p>1 la

1/n^2 % serie es convergente.

>> symsum(1/n^2,n,1,inf) % Otra forma de ver que esta serie p es convergente

% es calculando la suma desde el primer elemento

ans = % hasta el infinito, obteniéndose un valor finito, lo

1/6*pi^2 % cual nos indica que la serie p converge.

% Una vez analizados los extremos del intervalo de convergencia, vemos que en ambos casos

la serie de potencias converge. Por lo cual estos dos valores pueden ser incluidos dentro del

intervalo.

% En consecuencia, el intervalo de convergencia de la serie de potencia analizada es 1 12 2, .



32

Actividad.

Para las siguientes sucesiones determine los primeros 20 términos. Indique si la sucesión es

convergente o divergente, si converge diga a que valor lo hace. Finalmente, grafique los puntos

obtenidos.

1.- ln

n

na

n

2.- 2

1

1na

n n

3.-

1 7

2 5n

na

n

4.- Demuestre que las sucesiones

2

3

n

n

y

2

4

n

n

son divergentes, pero que la

sucesión 2 2

3 4

n n

n n

es convergente.

5.- Considere la sucesión, donde a, b son constantes y b0. Determine si la sucesión es

convergente o divergente. Si la sucesión es convergente calcule su límite.

1

1

1

1

a

n

n b

n

a

Para las siguientes series determine los primeros 12 términos y grafíquelos. Determine si la

serie infinita converge o diverge, si converge diga a que valor lo hace. Además, si existe

determine una fórmula para encontrar la suma parcial hasta el k-esimo término.

6.- 5

1

n

n

e

7.-

1

31

11

2

n

n n

8.- 1

1

n

Senn

9.- 21

31

nn

n n

10.- Determine el intervalo de convergencia de la siguiente serie de potencias.

1

3

2

n

nn

x

11.- Se deja caer una pelota desde una altura de 12 pies, y cada vez que toca el suelo rebota

hasta una altura de tres cuartos de la distancia desde la cual cae.

a) Determine la distancia total recorrida por la pelota antes de que alcance el estado de

reposo.

b) Si la pelota tarda en caer 4h segundos si se deja caer desde una altura de h pies.

Determine cuanto tiempo empleara la pelota para dejar de rebotar.





33

PRÁCTICA 6


OBJETIVO: El alumno aprenderá a cambiar de coordenadas cartesianas a polares y de polares

a cartesianas. Además, aprenderá a graficar funciones polares, así como a calcular el área de

regiones definidas por curvas polares usando la computadora como una herramienta a través del

uso del paquete Matlab.

En esta práctica comenzaremos convirtiendo el punto (x,y) = (3,-4) de coordenadas cartesianas

a polares, y el punto (r,) = (4, 3/ ) de polares a cartesianas.



>> syms r a x y % Iniciamos asignando las variables x,y,r,a como simbólicas.

>> [a,r]=cart2pol(3,-4) % La conversión de coordenadas cartesianas a polares se hace

a = % usando el comando cart2pol(…), que tiene como entrada

-0.9273 % las coordenadas del punto en el plano cartesiano y regresa

% las coordenadas del mismo punto pero en el plano polar.

r = % El primero de estos valores es el valor del ángulo polar y el

5 % segundo es el valor del radio vector.

>> [x,y]=pol2cart(pi/3,4) % La conversión de coordenadas polares a cartesianas se hace

x = % usando el comando pol2cart(…), que tiene como entrada

2.0000 % las coordenadas del punto en el plano polar y regresa las

% coordenadas del mismo punto pero en el plano cartesiano.

y = % El primero de estos valores es el valor de la abscisa y el

3.4641 % segundo es el valor de la ordenada.

Pasar la siguiente ecuación rectangular a su forma polar, 422 yx


% Para realizar la conversión de la forma rectangular a la forma polar se sustituirá rCosax e

rSenay en la ecuación, usando el comando subs(…).

>> subs(x^2-y^2-4,{x,y},{r*cos(a),r*sin(a)})

ans =

r^2*cos(a)^2-r^2*sin(a)^2-4

>> simple(ans) % Se simplifica la ecuación con el comando simple(…).

ans =

r^2*cos(2*a)-4 % Por tanto, la forma polar de esta ecuación sería:

2 2 4 0r Cos ó 2 2 4r Cos



34

Pasar la siguiente ecuación polar a su forma rectangular, 4 rCosar



% Para realizar la conversión de la forma polar a la forma rectangular se sustituirá 22 yxr y )/( xyArcTana en la ecuación, usando el comando subs(…).

>> subs(r-r*Cos(a)-4,{r,a},{sqrt(x^2+y^2),atan(y/x)})

ans =

(x^2+y^2)^(1/2)-(x^2+y^2)^(1/2)/(1+y^2/x^2)^(1/2)-4

>> simple(ans) % Se simplifica la ecuación con el comando simple(…).

ans =

(x^2+y^2)^(1/2)-x-4

>>x=solve(ans,x) % Resolviendo para x, se obtiene la forma rectangular.

x =

1/8*y^2-2 % Por tanto, la forma rectangular de esta ecuación sería:

212

8x y ó 2 8 2y x

Obtenga el área de la región dentro de la primera ecuación y fuera de la grafica de la segunda

ecuación, 3r y Cosr 13


>> syms r a % Iniciamos asignando las variables r,a como simbólicas.

>> ezpolar(3-3*Cos(a)) % Graficamos ambas funciones en un mismo circulo de

>> hold on % inspección, para identificar el área a calcular. En este

>> ezpolar('3') % caso se usa el comando ezpolar(…).

>> solve(3-(3-3*cos(a))) % A continuación se buscan los puntos de intersección,

% encontrándose un solo punto. Sin embargo, se puede

ans = % usar el hecho de que ambas funciones son simétricas

1/2*pi % respecto al eje polar, como se observa en la figura.

% Para calcular el área buscada se usa la formula

dgfA22

2

1



35

>> A=1/2*int(3^2-(3-3*cos(a))^2,-1/2*pi,1/2*pi)

A =

-9/4*pi+18

>> double(A)

ans =

10.9314

% Simplificando el resultado se obtiene el área A=10.9314 u2.

Gráfica en Matlab

Actividad.



36

Convertir los siguientes puntos a coordenadas polares.

1.- 2,3 2.- 0,4 3.- 3,5 4.- 5,3

Convertir los siguientes puntos a coordenadas rectangulares.

5.-

4,3

6.- º270 ,1 7.-

2,2

8- º30 ,4

Pasar las siguientes ecuaciones a su forma polar.

9.- 2xy 10.- 442 yx

Pasar las siguientes ecuaciones a su forma rectangular.

11.- Senr 4 12.- 04 32 rCosSen

Graficar las siguientes funciones polares.

13.- aCosr 23 14.- Senar 13 15.- aSenr 3252

16.- 5r 17.- Cosr 21 18.- Senr 46

19.- Obtenga el área de la región dentro de la primera ecuación y fuera de la grafica de la

segunda ecuación, Senr 2 y CosSenr

20.- Calcule el área de la región formada por la intersección de las siguientes curvas.

Cosr

r

23

2



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