AO DE LA PROMOCIN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y EL COMPROMISO CLIMTICO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA FACULTAD DE CIENCIAS DE INGENIERA ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

III UNIDADINTERPOLACION, INTEGRACION, INTRODUCCION A ECUACIONES DIFERENCIALES

CATEDRA : Mtodos Numricos

CATEDRTICO : Ing. Ind. Carlos Enrique Espinoza Quispe

ESTUDIANTE : Kewin Anderson Enriquez Ayuque

CICLO : V

SECCIN : nica

Huancavelica-Per2014

NDICE

I.SISTEMA DE ECUACIONES

II. METODO DE PASOS MULTIPLES MTODO DE HEUM

III. FRMULAS DE INTEGRACIN.

IV. MTODOS DE PASOS MLTIPLES DE ORDEN SUPERIOR

V. APLICACIONES A LA INGENIERA..

VI. INTEGRACIN Y ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

AL INGENIERO DEL CURSO POR LAS GRANDES ENSAANZAS QUE NOS BRINDA.

INTRODUCCIN

La ciencia y la tecnologa describen los fenmenos reales mediante modelos matemticos. El estudio de estos modelos permite un conocimiento ms profundo del fenmeno, as como de su evolucin futura. La matemtica aplicada es la rama de las matemticas que se dedica a buscar y aplicar las herramientas ms adecuadas a los problemas basados en estos modelos. Desafortunadamente, no siempre es posible aplicar mtodos analticos clsicos por diferentes razones: No se adecan al modelo concreto. Su aplicacin resulta excesivamente compleja. La solucin formal es tan complicada que hace imposible cualquier interpretacin posterior. Simplemente no existen mtodos analticos capaces de proporcionar soluciones al problema.

En estos casos son tiles las tcnicas numricas, que mediante una labor de clculo ms o menos intensa, conducen a soluciones aproximadas que son siempre numrica. El importante esfuerzo de clculo que implica la mayora de estos mtodos hace que su uso est ntimamente ligado al empleo de computadores. De hecho, sin el desarrollo que se ha producido en el campo de la informtica resultara difcilmente imaginable el nivel actual de utilizacin de las tcnicas numricas en mbitos cada da ms diversos.

SISTEMA DE ECUACIONES

Mucho de los problemas prcticos de ciencia e ingeniera requieren la solucin de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias en lugar de una sola ecuacin. Tales sistemas se pueden representar generalmente como:

:

La solucin de este sistema requiere de las n condiciones iniciales se conozcan en un valor inicial de x.Todos los mtodos analizados en este captulo para ecuaciones simples se pueden extender para el sistema mostrado anteriormente. Las aplicaciones de la ingeniera pueden implicar la solucin de varios cientos de ecuaciones simultneas. En este caso, el procedimiento de solucin del sistema de ecuaciones simplemente significa aplicar el mtodo de un paso a cada una de las ecuaciones antes de continuar con el siguiente paso. Esto se ilustra mejor en el siguiente por ejemplo:Ejemplo 1.Solucin de sistemas de EDO usando el mtodo de Euler.Enunciado del problema: resulvase el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales usando el mtodo de Euler, suponiendo que en , y . Intgrese a x= 2 con un tamao de paso de 0.5.

Solucin:

Solucin: el mtodo de Euler se implementa como en la ecuacin:

Obsrvese que se usa en la segunda ecuacin en vez de , calculado con la primera ecuacin. Procediendo de una manera semejante se obtiene:

x

046

0.536.9

12.257.715

1.51.687 58.445 25

21.265 6259.094 087 5

Algoritmo para la computadora para la solucin de sistemas de EDO:

El programa para resolver una sola EDO con el mtodo de Euler se puede extender fcilmente a un sistema de ecuaciones. Las modificaciones incluyen:

1. Introducir el nmero de ecuaciones, n.2. Introducir los valores iniciales para cada una de las n variables dependientes.3. Modificar la subrutina de tal manera que calcule las pendientes de cada una de las variables dependientes.4. Incluir funciones adicionales para calcular las derivadas de cada una de las EDO.5. Incluir las ecuaciones restantes para calcular un nuevo valor de cada una de las variables dependientes.

Obsrvese que cualquiera de los mtodos de un paso de este captulo se puede usar para este algoritmo. La nica diferencia seria la formulacin de la subrutina que calcula las pendientes. El mtodo clsico RK de cuarto orden es una buena alternativa para este propsito ya que proporciona una exactitud excelente y es relativamente fcil de programar. Una caracterstica importante de un programa de computadora para resolver sistemas de EDO con un mtodo RK es la secuencia del clculo de las k como se demuestra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 2.

Solucin de sistemas de EDO empleando el mtodo RK de cuarto orden.

Enunciado del problema: utilcese el mtodo RK de cuarto orden para resolver las EDO del ejemplo 1.

Solucin: primero, se deben resolver para todas las :

En donde es el i-simo valor de k para la j-sima variable dependiente. En seguida, se calculan los valores de que se necesitan para determinar las:

Se usan para calcular:

El proceso continua hasta calcular las k restantes:

Los valores de k se pueden calcular:

Procedimiento de manera semejante en los pasos restantes:

046

0.53.115 234 46.857 670 3

12.426 171 37.632 105 7

1.51.889 523 18.326 886 0

21.471 576 88.946 865 1

MTODO DE HEUNUn mtodo para mejorar la aproximacin a la pendiente implica el clculo de dos derivadas del intervalo, una en el punto inicial y la otra en el punto final. En seguida se promedian las dos derivadas y se obtiene una aproximacin mejorada de la pendiente en el intervalo completo. Este esquema, llamado mtodo de Heun, se muestra grficamente en la figura (a).

Recurdese que en el mtodo de Euler, es pendiente al principio de un intervalo.

Se usa para extrapolar linealmente a :

En el mtodo estndar de Euler se parara en este punto. Sin embargo, en el mtodo de Heun, la calculada con la ecuacin (4) no es la respuesta final sino una prediccin intermedia. Esto se debe a que se ha distinguido a sta con el superndice 0. La ecuacin (3) se llama ecuacin predictora. Proporciona una aproximacin de que permite el clculo de una pendiente aproximada al final del intervalo:

Fig. (I). Esquema grfico del mtodo de Heun. a) Predictor y b) corrector.

Por lo tanto, se pueden combinar las dos pendientes ecuaciones (1) y (3) y obtener una pendiente promedio sobre el intervalo:

Est pendiente promedio se usa para extrapolar linealmente de a , usando el mtodo de Euler:

Que se llama una ecuacin correctora.

El mtodo de Heun es un esquema predictor-corrector. Todos los mtodos de pasos mltiples por discutirse en el captulo siguiente son de este tipo. El nico mtodo corrector-predictor de un paso descrito en este libro es el mtodo de Heun. Como se dijo antes, se puede expresar concisamente como:

Ntese que debido a que la ecuacin (7) tiene en ambos lados del signo igual, sta puede aplicarse para corregir en un esquema iterativo. Esto es, se puede usar una aproximacin anterior varias veces para proporcionar una aproximacin mejorada el proceso muestra en la figura 8. Se debe entender que este proceso no necesariamente.Converge a la respuesta correcta sino que converge a una aproximacin con un error de truncamiento finito, como se demuestra en el siguiente ejemplo.

En donde y son el resultado de la iteracin anterior y actual del corrector, respectivamente.

Fig.8.Representacin grfica de la iteracin del corrector del mtodo de Heun para obtener una mejor aproximacin.

Ejemplo 3.

Mtodo de Heun.

Enunciado del problema: emplese el mtodo de Heun para integrar y'= - desde con tamao de paso 1. La condicin inicial en

SOLUCIN:

Antes de resolver el problema numricamente, se puede efectuar el clculo mediante la siguiente solucin analtica:

La solucin numrica se obtiene usando la frmula predictora Ecu. (6) para obtener un valor de y para 0.5.

Este resultado es muy diferente del pendiente promedio verdadero en intervalo de O a 1.0, que es igual a 4.194 6, calculada de la ecuacin diferencial original usando la ecuacin (V.3) Po r lo tanto, para mejorar la aproximacin de la pendiente, se usa el valor y: para predecir la pendiente al final del intervalo:

Que se puede combinar con la pendiente inicial y obtener:

Que es ms cercana a la pendiente promedio de 4.194 6. Este resultado se puede sustituir en la ecuacin para obtener la prediccin en x = 1:

Comparacin del os valores verdaderos y aproximados dela integral de con la condicin inicial de que y= 2 en x= O. Los valores aproximados e calcularon usando el mtodo de Heun con un tamao de paso de 1. Se muestran dos casos, correspondientes a nmeros diferentes de iteraciones del corrector, junto con el error relativo porcentual absoluto.

ITERACIONCON EL METODO DE HEUM

115

XY verdaderoY heunY heun

02.000 000 002.000 000 000.002.000 000 000.00

16.194 631 386.701 081868.186.360 865 492.68

214.843 921 916.319 791 99.9415.303 236 73.09

333.677 171 837.199 248 910.4634.743 276 13.17

475. 338 962 683.337 767 410.6277.735 096 23.18

Que representa un error relativo porcentual del -8.18%. Por lo tanto, el mtodo de Heun reduce el valor absoluto del error en un factor de 2.4 comparado con el mtodo de Euler.Ahora esta aproximacin se puede usar para refinar o corregir la prediccin de sustituyendo el nuevo resultado de nuevo en el lado derecho de la ecuacin (7):

Que representa un error relativo porcentual del 1.31%. Este resultado, a su vez se puede sustituir en la ecuacin para una mejor aproximacin :

Que representa un error 3.03%. Ntese cmo los errores algunas veces crecen a medida que las iteraciones avanzan. Por ejemplo, en las tres iteraciones el error crece en un 3.03%, estos incrementos pueden ocurrir, especialmente en tamaos de paso muy grandes. El usuario debe evitar la conclusin general de que una iteracin adicional siempre mejora el resultado. No obstante, para un tamao de paso lo suficientementepequeo, la iteracin debe eventualmente converger a un solo valor. En este caso, se obtiene el resultado 6.360 865 49, que representa un error relativo del 2.68% despus de 15 iteraciones.

En el ejemplo anterior, la derivada es una funcin de la variable dependiente y de la variable independiente x. Para casos polinomiales, en donde las EDO son slo funcin de la variable independiente, el tamao predictor no se necesita y se aplica nicamente el corrector a cada una de las iteraciones. En estos casos el mtodo se expresa abreviadamente como:

Ntese la similitud entre el lado derecho de la ecuacin y la regla trapezoidal a conexin entre los dos mtodos se puede demostrar formalmente empezando con la ecuacin diferencial ordinaria .Esta ecuacin se resuelve e integrando:

Que lleva a.

O.

Ahora, recurdese de la seccin de la regla trapezoidal se define como:

O, en este caso.

Donde h = - Sustituyendo la) en la ecuacin se obtiene:

Que es equivalente a la ecuacin correctora .Debido a que la ecuacin es una expresin directa de la regla trapezoidal, el error local de truncamiento est dado por:

Donde est entre y . Por lo tanto, el mtodo es de segundo orden debido a que la derivada de segundo orden de ED0 es cero cuando la solucin es cuadrtica. Adems, los errores local y global son de 0() y 0(), respectivamente. Por lo tanto, disminuyendo el tamao de paso se disminuye tambin el error ms rpidamente que usando el mtodo de Euler. La figura 16.10, que muestra el resultado de usar el mtodo de Heun para resolver el polinomio del ejemplo1 6.1, demuestra este comportamiento.

METODO DE PASOS MULTIPLESLos mtodos de un paso analizados en el captulo anterior utilizan la informacin de un solo punto para predecir un valor de la variable dependiente en un punto posterior (fig. 01a): Las tcnicas alternas, llamados mtodos de pasos mltiples, (fig. 0.1b), se basan en el conocimiento de que una vez que los clculos han empezado, la informacin evaluada en puntos previos sirve de gua. La curvatura de las lneas que conectan estos puntos anteriores proporciona informacin referente a la trayectoria de la solucin. Los mtodos de pasos mltiples explorados en este captulo consideran esta informacin para resolver EDO y evaluar su error. Antes de describir las versiones de orden superior, se presenta un mtodo simple de segundo orden que sirve para demostrar las caractersticas generales de los esquemas de pasos mltiples.

Fig.01. Esquema grafico de las diferencias fundamentales entre a) mtodos de un paso y b) mtodos de pasos mltiples en la solucin de EDO.

UN ENFOQUE SIMPLE DE PASOS MLTIPLES:-MTODO DE HEUN SIN PRINCIPIO. Recurdense que el mtodo de Heun usa el mtodo de Euler con un predictor:

Y la regla trapezoidal como corrector: Por lo tanto, el predictor y el corrector tienen errores locales de truncamiento de 0() y 0(), respectivamente. Esto sugiere que el predictor sea el punto dbil en el mtodo ya que tiene el mayor error. Este punto dbil es significativo debido a que la eficiencia del paso corrector iterativo depende de la exactitud de la prediccin inicial. Por consiguiente, una manera de mejorar el mtodo de Heun es desarrollar un predictor que tenga un error local de 0(). Esto se puede llevar a cabo usando el mtodo de Euler y la pendiente en pero haciendo la correccin desde un punto previo , como en:

La ecuacin (III) no es auto-principiante ya que implica un valor anterior de la variable dependiente Este valor no debera estar disponible en un problema tpico de valor inicial. Debido a este hecho, a las ecuaciones (III) y (II) se les conoce como mtodo de Heun sin principio.

Obsrvese que, como se muestra en la figura (II), la aproximacin a la derivada en la ecuacin (III) se localiza ahora en el punto medio en vez de al principio del intervalo sobre el cual se hace la prediccin. Como se demuestra subsecuentemente, este centrado mejora el error del predictor a 0). Sin embargo, antes de continuar a una derivacin formal del mtodo de Heun sin principio, se resume el mtodo y se expresa usando una nomenclatura un poco modificada:

(II). Esquema grafico del mtodo de Heun sin principio, a) mtodo del punto medio usado como predictor; b) regla trapezoidal empleada como corrector.Donde los subndices se han agregado para denotar que el corrector se aplica iterativamente desde j = 1 a m para obtener soluciones refinadas. Ntese que y son los resultados finales de las iteraciones del corrector en los pasos de clculo anteriores. Las iteraciones se terminan en cualquier paso del clculo en base al criterio de paro.

Cuando es menor que una tolerancia pre especificada en el error, se terminan las iteraciones. En este punto, j = m. El uso de las ecuaciones (IV) a la (VI) en la solucin de una ED0 se demuestra en el ejemplo siguiente:

EJEMPLO 3:Mtodo de Heun sin principio.Enunciado del problema: utilcese el mtodo de Heun sin principio para realizar los clculos usando el mtodo de Heun. Es decir, intgrese y desde hasta usando un tamao de paso de 1.0. La condicin inicial en . Sin embargo, debido a que se est utilizando un mtodo de pasos mltiples, se requiere la informacin adicional de que y es igual a -0.392 995 325 en .

SOLUCIN:Se usa el predictor (ecuacin IV) para extrapolar linealmente de :

Entonces se usa el corrector (ecuacin V) para calcular el valor:

Que representa un error relativo porcentual de - 5.73% (Valor verdadero = 6.194 631 377). Este error es algo ms pequeo que el valor de -8.18% contrado con el mtodo de Heun auto-principiante.Ahora se puede aplicar iterativamente la ecuacin (V) para mejorar la solucin:

Que representa un del -1.92%. Tambin se puede determinar una aproximacin del error usando la ecuacin (VI):

-OBTENCIN Y ANLISIS DE ERROR DE LAS FRMULAS PREDICTOR-CORRECTOR

Se han empleado conceptos grficos para derivar el mtodo sin principio de Heun. Hasta ahora se ha demostrado como las mismas ecuaciones se pueden derivar matemticamente. La obtencin de estas frmulas particularmente interesante debido a sus vnculos con las ideas de ajuste de curvas, integracin numrica y EDO. La obtencin de estas frmulas tambin es til ya que proporciona un medio de avance simple en el desarrollo de mtodos de pasos mltiples de orden superior y la aproximacin a sus errores.La obtencin se basa en la solucin de la ED0 general.

Esta ecuacin se puede resolver multiplicando ambos lados por dx e integrando entre los lmites i e i +1:

El lado izquierdo se puede integrar y evaluar usando el teorema fundamental.

Si se puede evaluar la integral, entonces la ecuacin (VII) representa la solucin a la EDO. Es decir, esta frmula proporciona una manera de calcular un nuevo valor de la variable dependiente en base al valor anterior y la ecuacin diferencial.Las frmulas de integracin numrica tales como las desarrolladas en el captulo anterior proporcionan una manera de realizar esta evaluacin. Por ejemplo, la regla trapezoidal se puede usar en la evaluacin de la integral, como en:

Donde es es el tamao de paso. Sustituyendo la ecuacin (VIII) en la ecuacin (VII) se obtiene:

Que es la ecuacin corrector del mtodo de Heun. Debido a que esta ecuacin se basa en la regla trapezoidal.

Donde el subndice se denota que ste es el error del corrector. Se puede usar un esquema similar para derivar el predictor. En este caso, los lmites de integracin van desde

Que se puede integrar y reordenar para obtener.

Ahora se puede usar la primera frmula de integracin abierta de Newton-Cotes para evaluar la integral.

A la cual se le llama el mtodo del punto medio. Sustituyendo la ecuacin se obtiene:

Que representa al predictor del mtodo de Heun sin principio. Como sucede con el corrector, el error local de truncamiento se puede tomar directamente del cuadro.

Donde el subndice p denota que ste es el error del predictor. Por lo tanto, el predictor y el corrector del mtodo de Heun sin principio tienen los mismos errores de truncamiento. Adems de aumentar la exactitud del predictor, este hecho tiene los beneficios adicionales relacionadoscon el anlisis del error.

EJEMPLO 4:Aproximacin del error de truncamiento por paso para el mtodo de Heun sin principio.Enunciado del problema: utilcese la ecuacin para aproximar el error de truncamiento por paso del ejemplo. Obsrvese que los valores verdaderos en x = l y x= 2 son 6.194 631 38 y 14.843 921 9, respectivamente.Solucin:En , el predictor genera 5.607 004 675 y el corrector genera 6.360 865 49. Estos valores se pueden sustituir en la ecuacin y obtener:

Que es comparable con el error exacto:

En =2, el predictor genera 13.443 461 9 y el corrector 15.302 236, que se usan para calcular. Que tambin se compara favorablemente con el error exacto, . La facilidad con que se puede calcular el error usando la ecuacin representa una ventaja importante de los mtodos de pasos mltiples sobre los mtodos de un solo paso.

Entre otras cosas, esto proporciona una base racional en el ajuste de tamao de paso durante el curso de los clculos. Por ejemplo, si la ecuacin indica que el error es mayor al nivel aceptable, el tamao de paso debe disminuir. En una seccin subsiguiente, delinearemos como estos ajustes en los tamaos de paso se pueden incorporar en un algoritmo para la computadora.

FRMULAS DE INTEGRACIN

El mtodo de Heun sin principio es caracterstico de la mayor parte de los mtodos de pasos mltiples emplea una frmula de integracin abierta.

Ilustracin de la diferencia fundamental entre el mtodo de Newton-Cotes y la frmula de integracin de Adams. a) Las frmulas de Newton Cotes usan una serie de puntos para obtener una aproximacin a la integral sobr un conjunto de segmentos. La aproximacin se usa despus pura proyectarse sobre el rango completo b) Las frmulas de Adams usan una serie de puntos para obtener una integral aproximada con un solo segmento. La aproximacin se usa entonces para proyectarse sobre este segmento.

(El mtodo del punto medio) para calcular una aproximacin inicial. Este paso predictor requiere un punto previo. En seguida se aplica iterativamente una frmula de integracin cerrada (la regla trapezoidal) para mejorar la solucin.

Es obvio que una estrategia de mejoramiento sobre los mtodos de pasos mltiples podra ser la de usar frmulas de integracin de orden superior como predictores y correctores. Por ejemplo, podran ser tiles para este propsito las frmulas de Newton-Cotes de orden superior desarrolladas en el captulo anterior.

Antes de describir estos mtodos, se revisan algunas de las frmulas de integracin ms comunes sobre las cuales estn basados. Como se menciona anteriormente, las primeras de stas son las frmulas de Newton- Cotes de orden superior. No obstante existe una segunda clase llamadas frmulas de Adams que tambin se revisan y que se prefieren a menudo. La diferencia fundamental entre las frmulas de Newton-Cotes y de Adams est relacionada con la manera como se aplica la integral para obtener la solucin.Las frmulas de Newton-Cotes calculan la integral sobre un intervalo generando varios puntos. Esta integral se emplea para proyectar desde el principio hasta el final del intervalo. En contraste, las frmulas de Adams usan un conjunto de puntos de un intervalo para calcular la integral solamente del ltimo segmento en el intervalo. La integral se usa despus para proyectarse a travs de este ltimo segmento.

-FRMULAS DE NEWTON-COTES

Algunas de las frmulas ms comunes para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias se basan en ajustar un polinomio de interpolacin de n-simo grado para n + 1 puntos conocidos de Y y despus se usa esta ecuacin para calcular la integral. Como se analiza previamente en el captulo anterior, las frmulas de integracin de Newton-Cotes se basan en este esquema. Estas frmulas son de dos tipos: abiertas y cerradas.Frmulas abiertas. Para n puntos igualmente espaciados, las frmulas abiertas se pueden expresar en la forma de una solucin de una EDO, como se hizo anteriormente en la ecuacin (17.10). La ecuacin general para este propsito es

Donde es un polinomio de interpolacin de n-simo orden. La evaluacin de la integral obtiene una frmula de integracin abierta de Newton- Cotes de n-simo orden. Por ejemplo si .

Donde , es una abreviacin de esto es, la ecuacin diferencial evaluada en A la ecuacin (17.23) se le llama mtodo del punto medio y se usa previamente como el predictor del mtodo de Heun sin principio. Para:

n = 2.

Y para n = 3.

La ecuacin (24) se muestra grficamente en la figura. La forma se puede expresar generalmente como:

Esquema de las frmulas de integracin cerrada de Newton-Cotes. a) Tercera frmula abierta Ec. (24) Y b) regla de Simpson de 1/3 Ec. (26). Donde la integral se aproxima mediante una frmula cerrada de Newton- Cotes (cuadro). Por ejemplo, para n = 1:

Que es equivalente a la regla trapezoidal. Para n = 2:

La cual es equivalente a la regla de Simpson de 1/3. La ecuacin (26) se muestra en la figura.

-FRMULAS DE ADAMS

El otro tipo de frmulas de integracin que se puede usar en la solucin de EDO son las frmulas de Adams. Muchos algoritmos de pasos mltiples muy utilizados en computacin que resuelven EDO se basan en estas frmulas.

Frmulas abiertas (Adams-Bashforth). Las frmulas de Adams se pueden obtener de varias formas. Un mtodo es el de escribir una expansin hacia adelante de la serie de Taylor alrededor del punto

Que se puede escribir como:

Recurdese de la seccin 3.5.4 que se puede usar una diferencia hacia atrs para aproximar la derivada:

Que se puede sustituir en la ecuacin (27) para obtener:

Y agrupando trminos:

A esta frmula se le llama segunda frmula abierta de Adams. Las Frmulas abiertas de Adams son designadas tambin como frmulas de Adams-Bashforth. Por consiguiente a la ecuacin (28) algunas veces se le llama segunda frmula de Adams-Bashforth.Se pueden desarrollar frmulas de Adams-Bashforth de orden superior sustituyendo las derivadas de orden superior por aproximaciones en la ecuacin (27). La frmula abierta de Adams de n-simo orden se puede representar por lo comn como:

Los coeficientes se muestran en el cuadro. La versin de cuarto orden se muestra en la figura siguiente. Ntese que la primera versin es el mtodo de Euler.

Frmulas cerradas (Adams-Moulton) Una expansin de la serie de Taylor alrededor de se puede escribir como:

Resolviendo para se obtiene:

Se puede usar una diferencia para aproximar la derivada:Coeficientes y error de truncamiento en los predictores de Adams-Bashforth.

Esquema de las frmulas de integracin de Adams abiertas y cerradas. Frmula abierta de Adams-Bashforth de cuarto orden y b) frmula cerrada de cuarto orden de Adams-Moulton.

Que se sustituye en la ecuacin (30) para obtener:

O, agrupando trminos.

A esta frmula se le llama frmula cerrada de Adams de segundo orden o segunda frmula de Adams-Moulton. Obsrvese tambin que sta es la regla trapezoidal.

Coeficientes y error de truncamiento en los correctores de Adams-Moulton.

La frmula cerrada de Adams se puede escribir generalmente como:

Los coeficientes se listan en el cuadro. El mtodo de cuarto orden se muestra en la figura .

MTODOS DE PASOS MLTIPLES DE ORDEN SUPERIOR

Ahora que se han desarrollado formalmente las frmulas de integracin de Newton-Cotes y de Adams, podemos usarlas en la derivacin de mtodos de pasos mltiples de orden superior. Como en el caso del mtodo de Heun sin principio, las frmulas de integracin se aplican en fila como los mtodos de predictor-corrector. Adems, si las frmulas abiertas y cerradas tienen errores locales de truncamiento del mismo orden, entonces los modificadores listados se pueden incorporar en el mejoramiento de la exactitud y para permitir el control sobre los tamaos del paso. Obtencin de las relaciones generales de los modificadores.La relacin entre el valor verdadero, la aproximacin, y el error de un predictor se puede representar generalmente como

Donde , son el numerador y el denominador de la constante del error de truncamiento del predictor de cualquiera de los mtodos abiertos de Newton-Cotes o de los mtodos de Adams-Bashforth) y n es el orden.

Se puede desarrollar una relacin similar para el corrector.

Donde , son el numerador y el denominador de la constante del error de truncamiento para cualesquiera Corrector de Newton-Cotes abierto) o de Adams-Moulton . Como se hizo en la derivacin de la ecuacin , la ecuacin se puede sustraer de la ecuacin para obtener.

Ahora dividiendo la ecuacin entre , multiplicando el ltimo trmino por, y reordenando trminos se obtiene una aproximacin del error local de truncamiento del corrector.

Para el predictor modificador, la ecuacin se puede resolver en el paso anterior mediante.

Que se puede sustituir en el trmino del error de la ecuacin para obtener:

Las ecuaciones son versiones generales que se pueden usar para mejorar los algoritmos de pasos mltiples.

EJERCICIOS APLICATIVOS A LA INGENIERIA

MODELOS MATEMTICOS PARA PROYECTOS DE VENTA DE COMPUTADORAS (INGENIERA EN GENERAL).

Antecedentes: las operaciones y las utilidades de una compaa de computadoras dependen mucho del conocimiento sobre el manejo del nmero de computadoras disponibles en el mercado en un tiempo cualquiera. Los mtodos de extrapolacin analizados en el caso 12.1 han demostrado que no existe confiabilidad ni exactitud. Se tiene, por lo tanto, que derivar un modelo matemtico que sea capaz de simular y predecir el nmero de computadoras disponibles en el mercado en funcin del tiempo t. Se puede desarrollar una ecuacin diferencial para este propsito. El departamento de mercadeo de la compaa ha determinado a travs de la experiencia y de observaciones empricas, que las ventas esperadas de las computadoras se describen mediante.

Es decir, mientras ms computadoras se muestren al pblico, mayor venta de las mismas; y a mayor costo, menos ventas. Adems, el costo de una computadora individual est relacionado con el nmero de computadoras en el mercado.

Donde N es el nmero de computadoras. La razn de cambio a travs del tiempo del nmero de computadoras restantes en el mercado es igual al registro del promedio de ventas:

Donde el promedio de ventas se deriva combinando las ecuaciones 1y 2:

Donde k es una constante de proporcionalidad que tiene unidades de dlares por tiempo. Sustituyendo la ecuacin 4 en la ecuacin 3 se obtiene:

Las consideraciones de planeacin requieren que se obtenga una estimacin de cunto tiempo permanecern en el mercado 50000 nuevas computadoras. Utilcese el cuadro para determinar K esta informacin para calcular el parmetro k. Despus emplese el mtodo RK de cuarto orden para resolver la ecuacin (.5) desde t = 0 hasta t = 90.

Solucin: el primer paso de este anlisis ser determinar un valor de k. Para hacerlo, se puede resolver la ecuacin (5).

Con base en esta ecuacin, se puede evaluar k si tiene una aproximacin a . Esto se puede hacer con los datos del cuadro 18.1, usando diferencias divididas finitas para calcular

Los resultados se muestran en el cuadro (segn tabla) y se pueden usar para determinar un valor medio de k = $49.3 diarios.

Clculos de k obtenidos de los datos de venta de computadoras. La media de k es 49.3.

Ahora este valor se puede sustituir en la ecuacin (5) para obtener:

Que se puede integrar usando un mtodo RK de cuarto orden con la condicin inicial y un tamao de paso de un da. Obsrvese que se llev a cabo la simulacin usando un tamao de paso de 0.5 das.

Grfica del nmero de computadoras N en el mercado contra el tiempo t en das. Se usan tres simulaciones con un modelo de ecuacin diferencial ordinaria [Ec. (5)], se muestran en el caso donde N = 50 000 en t = 0. Las tres simulaciones corresponden a valores diferentes del parmetro k.Y se obtuvieron resultados casi idnticos, indicando que la exactitud al usar un tamao de paso de 1.0 es aceptable. As como sucede en la regresin, se puede calcular la suma de los cuadrados de los residuos para cuantificar la calidad del ajuste. El resultado es . Aunque al ajuste parece ser satisfactorio, se llevan a cabo nuevamente los clculos usando valores de k que son +- 20% del valor original de $49.3 diarios. Usando los valores de k de 59.2 y 39.4 se obtienen las sumas residuales de los cuadrados iguales a , respectivamente. Estas simulaciones tambin se muestran en la figura 18. En seguida se grafica la suma de los cuadrados de los residuos contra k y se ajusta una parbola a travs de los puntos usando un polinomio de interpolacin, Despus se determina k, como la suma mnima de los cuadrados, derivando la ecuacin de segundo orden, igualndola a cero y resolviendo para k. El valor resultante de k = $46.8 diarios se sustituye en la ecuacin (5) y se obtiene:

Grfico de la suma de los cuadrados de los residuos contra los valores del parmetro k del modelo. La curva es una parbola ajustada a tres puntos. El punto de pendiente cero de esta curva, representa una aproximacin del valor k ($46.8/da) que corresponde a un valor mnimo de .

Modelo de predicciones usando la ecuacin (1 8.5) con k igual a $46.8/da.

Este modelo produce una suma de los cuadrados de los residuos igual ; se puede usar para los propsitos predictivos. Las predicciones se muestran en la figura junto con los datos iniciales. Los resultados en t = 55, 65 y 90 das son 11 720, 9 383 y 5 596, respectivamente. Esta informacin, que es superior a la obtenida mediante ajuste de curvas en el captulo 12, se puede usar en el manejo de toma de decisiones relacionadas con la venta de estas computadoras.

DISEO DE UN REACTOR PARA PRODUCCIN FARMACUTICA (INGENIERA QUMICA)

Antecedentes: los ingenieros qumicos disean reactores para el crecimiento poblacional de organismos microbianos. Los subproductos del crecimiento pueden ser productos farmacuticos tiles. En la figura 2 se muestra el esquema de un reactor que opera a base de flujo continuo. El flujo de entrada contiene pocos microorganismos derivados, pero un alto contenido de nutrientes. Este flujo permanece en el reactor por algn tiempo mientras que ocurre la reaccin bioqumica y despus fluye hacia el exterior. El flujo de salida contiene una gran cantidad de nuevos microorganismos en crecimiento y una alta concentracin de derivados del Crecimiento. Los nutrientes son ms bajos que a la entrada debido a su utilizacin microbiana. El contenido del reactor se mezcla vigorosamente de tal manera que la composicin de la mezcla de salida y del tanque sea igual.

Si la proporcin de flujo y el contenido de los nutrientes son constantes, el crecimiento de microorganismos se balancea por la prdida de organismos del tanque y se alcanza con el tiempo una densidad de poblacin estable. Al intervalo de tiempo en que los organismos se ajustan e incrementan su densidad se le llama periodo de inicio. La longitud del periodo de inicio es importante debido a que ste es tiempo perdido que cuesta dinero a la compaa.

Al investigador se le propone desarrollar un modelo matemtico para los microbios del reactor para predecir el periodo de arranque. El laboratorio de investigaciones bioqumicas ha determinado que los microorganismos crecen de acuerdo al modelo de crecimiento logstico.

Donde clulas por litro es la densidad microbiana mxima es el coeficiente de la velocidad de crecimiento. Se requiere calcular el periodo de inicio para el caso donde clulas por litro, el promedio de flujo de entrada al tanque y el volumen del tanque . El periodo de inicio se define como el tiempo necesario para que la poblacin crezca a 6 x lo5 clulas por litro. En este momento la produccin farmacutica puede empezar.

Representacin esquemtica de un reactor de flujo continuo con mezclado total empleado en el crecimiento de la poblacin de organismos microbianos.

Despus de haber obtenido un clculo confiable, se necesita usar el modelo para ayudar a los operadores de la planta a decidir el nmero ptimo de clulas a usarse en el tiempo t = 0. Cuantos ms organismos existan en t = 0, ms corto ser el tiempo de inicio. Esto es importante debido a que cuesta a la compaa 1 000 dlares diarios si el tanque est fuera de produccin. Por lo tanto, existe la ventaja de reducir el tiempo de inicio usando ms organismos en t = 0. Por otro lado, los organismos nuevos son muy caros para comprarse. En la actualidad la compaa obtiene cepas de un laboratorio biolgico con un costo de 3 000 dlares por 100 millones de clulas. Por lo tanto, el costo de 100 000 clulas por litro usado en este anlisis sera:

El costo de 200 000 clulas por litro sera el doble. Por consiguiente existen ventajas y desventajas entre la reduccin del periodo de arranque y el costo de nuevos organismos el trabajo consiste en usar un modelo que proporcione una gua a los operadores de la planta relacionado con el nmero ideal de organismos en el tiempo t = 0.Solucin: primero se debe desarrollar la capacidad de simular el nmero de organismos en funcin del tiempo. Las consideraciones de balance de masas sugieren que:

Sustituyendo los parmetros en la ecuacin (6) se obtiene:

O, reordenando trminos:

Esta ecuacin se puede resolver analticamente, pero se usar un mtodo numrico para obtener la solucin. Primero, se usa el mtodo de Euler con un tamao de paso de un da para calcular los resultados mostrados en la figura 18.5. Se usa el mtodo Euler para este propsito debido a que es muy fcil de programar y proporciona una estimacin rpida del comportamiento general de la solucin. Como se puede ver, los microorganismos necesitan alrededor de 10 das para el periodo de inicio; en t = 20 das han alcanzado una poblacin casi estable. A este periodo estable se le llama estado estacionario. En base al resultado anterior, se decide llevar a cabo la simulacin en un periodo de 20 das. Tambin se decidi usar el mtodo de Ralston o RK de segundo orden debido a su fcil programacin y a su creciente exactitud en el resto de los clculos. En el cuadro 18.2 se muestran los

Simulacin del crecimiento microbiano en un proceso de produccin qumica. Se usa el mtodo de Euler en la simulacin para hacer una evaluacin rpida del comportamiento de la solucin. Ntese que dentro de 10 das se termina el periodo de inicio, y en 20 das el reactor ha alcanzado casi el estado estacionario.

Crecimientos microbianos simulados utilizando una EDO y el mtodo de Ralston RK de segundo orden. Se muestran resultados para tamaos de paso diferentes, as como la solucin verdadera.

Cuadro 18.2.

Resultados para tamaos de paso de 2, 1 y 0.5 das. Aunque el resultado analtico exacto es poco factible en la mayor parte de los problemas de aplicaciones verdaderas, se ha incluido en el cuadro 18.2 para propsitos de comparacin. Obsrvese que todos los resultados numricos son muy buenos, aun con el tamao de paso t = 2 - h se muestran errores de menos del 5%. Si no se conoce la solucin verdadera, la exactitud de los clculos se puede apreciar comparndolo s resultados obtenidos variando el tamao del paso. Por ejemplo, las diferencias entre los resultados de h = 1 y 0.5 ocurren en la tercera cifra significativa. En consecuencia no se garantiza ms exactitud debido a que una mayor precisin no sera discernible en una grfica. Por lo tanto, se decide que h = 0.5 es adecuada para este propsito.

Al usar este tamao de paso y el modelo de Ralston se realizan dos simulaciones adicionales con las condiciones iniciales de 200 000 y 400 000 clulas por litro. En la figura 18.6 se muestran estos resultados, junto con el caso de 100 000 clulas por litro. Como era de esperarse, cuantos ms organismos se usen como base ms se acortar el periodo de inicio, como se puede ver en los resultados del cuadro 18.3. Ntese que usando ms organismos al inicio, se reduce el costo de retardo de 9 200 a 2 500 dlares. Sin embargo, el costo de compra de los organismos aumenta de 2 100 a 8 400 dlares. El costo total, mostrado en la figura 18.7, sugiere un mnimo alrededor de 250 000 clulas por litro. El punto mnimo se puede aproximar ajustando una parbola a los tres puntos. Esta funcin puede diferenciarse, igualarse la derivada a cero y resolver para encontrar un valor de 264 000 clulas por litro. Este nivel corresponde a un costo total de 10 O00 dlares, que le presenta el costo total ms bajo, tomando en cuenta tanto los costos del periodo de inicio como de los organismos semilla.

Simulaciones del crecimiento microbianos usando tres condiciones iniciales diferentes. Estos casos demuestran que, cuando se incrementa el nmero de organismos semilla, el periodo de arranque se acorta. Fig 18.6

Grfica del costo contra el nmero de organismos semilla (esto es, nmero de organismos en t = 0). El hecho de que la curva sea plana sugiere que aunque exista un mnimo en 264 000 clulas por litro, este resultado es insensible relativamente al nmero de organismos semilla. Fig. 18.7

Inconvenientes de costo en varios niveles iniciales de organismos empleados en un proceso qumico de produccin.

DEFLEXIN DEL MSTIL DE UN VELERO (INGENIERA CIVIL)

Antecedentes: en la figura 18.8 se muestra un velero similar al de los casos, con una fuerza uniforme F distribuida a lo largo del mstil. En este caso, los cables que soportan al mstil se han quitado, pero el mstil se monta firmemente en el casco del velero. La fuerza del viento causa que el mstil se desve como se muestra en la figura 18.9. La desviacin es similar a la de una viga en voladizo. Se puede usar la siguiente ecuacin diferencial, basada en las leyes dela mecnica, para calcular la deflexin:

Fig.18.8 a) Mstil del velero sujeto a una fuerza uniforme F.

Fig.18.9 b) Deflexin del mstil sujeto a una fuerza uniforme.

En donde E es el ndulo de elasticidad, L es la altura del mstil e I es el momento de inercia. En y.

Calclese la deflexin en el tope del mstil en donde z = L usando mtodos analticos y numricos.

Supngase que el casco no gira.

Solucin: la ecuacin se puede resolver analticamente para la deflexin en z = L:

Este problema incluye una ecuacin diferencial que tiene una solucin con caractersticas uniformes. Adems, el intervalo de integracin es relativamente corto y la desviacin del mstil es pequea. Tambin los valores de F y E se basan en datos experimentales variables y difciles de medir exactamente. Por lo tanto, parece satisfactorio usar un mtodo bajo orden para resolver la ecuacin diferencial. S10 se necesitar un valor inicial, y probablemente se use un tamao de paso pequeo sin acumulacin de errores de redondeo excesivos.

La ecuacin se puede escribir como un sistema de dos ecuaciones de primer orden con una transformacin de variables. Sea:

Y, por lo tanto, la ecuacin (18.7) se expresa como: Este par de ecuaciones diferenciales se puede resolver simultneamente usando el mtodo de Euler.

Sin embargo, en primer lugar se puede obtener la solucin analtica por comparacin. Dada una carga uniforma F = 50 libras/pie, L = 30 pies, E = 1.5 x libras/pie2 e I = 0.06 piesE4 la ecuacin se resuelve para:

En seguida se resuelven las ecuaciones usando el mtodo de Euler. Los resultados de algunos pasos de integracin son:

Fig. 18.10 Grfica de la deflexin.

Los resultados se pueden usar para propsitos de diseo. Esto es especialmente valioso en casos donde la fuerza del viento no es constate sino varia de una forma complicada en funcin de la altura sobre la cubierta del velero.