INDICES DE CAPACIDAD Y ANALISIS DE TOLERANCIAS

Ing. Erik E. Allcca Alca

ÍNDICES DE CAPACIDAD PARA PROCESOS DE DOBLE ESPECIFICACIÓN Los procesos tienen variables de salida o de

respuesta, las cuales deben cumplir con ciertas especificaciones a fin de considerar que el proceso está funcionando de manera satisfactoria.

Capacidad de un procesoConsiste en conocer la amplitud de lavariación natural del proceso para unacaracterística de calidad dada, ya queesto permitirá saber en qué medida talcaracterística de calidad es satisfactoria(cumple especificaciones).

ÍNDICE CP

Indicador de la capacidad potencial del proceso que resulta de dividir el ancho de las especificaciones (variación tolerada) entre la amplitud de la variación natural del proceso.

donde σ representa la desviación estándar del proceso, mientras que ES y EI son las especificaciones superior e inferior para la característica de calidad. Como se puede observar, el índice Cp compara el ancho de las especificaciones o la variación tolerada para el proceso con la amplitud de la variación real de éste:

Hay una definición del índice Cp que es independiente de la distribución de la característica de calidad: el reporte técnico de ISO 12783 define al Cp de la siguiente manera:

donde P0.99865 es el percentil 99.865 de la distribución de la característica de calidad y P0.00135 es el percentil 0.135. De esta manera, cualquiera que sea la distribución entre estos percentiles, se ubicará el 99.73% de los valores de la característica de calidad.

EJEMPLO Una característica de calidad importante en la

fabricación de una llanta es la longitud de capa, que para cierto tipo de llanta debe ser de 780 mm con una tolerancia de ±10 mm. La longitud es el resultado de un proceso de corte, por lo que este proceso debe garantizar una longitud entre la especificación inferior EI = 770 y la superior ES = 790, con un valor ideal o nominal de N = 780. Para monitorear el correcto funcionamiento del proceso de corte, cada media hora se toman cinco capas y se miden. De acuerdo con las mediciones realizadas en el último mes, en donde el proceso ha estado trabajando de manera estable, se tiene que la media y la desviación estándar del proceso (poblacional) son μ = 783 y σ = 3, respectivamente.

EI ES

INTERPRETACIÓN DE CP

ÍNDICE C Indicador de la capacidad potencial del proceso que

divide la amplitud de la variación natural de éste entre la variación tolerada. Representa la proporción de la banda de especificaciones que es cubierta por el proceso.

Un índice menos conocido que el Cp, es el que se conoce como razón de capacidad potencial, Cr, el cual está definido por:

INDICE CPI, CPS Y CPK

Los índices Cp y Cr es que no toman en cuenta el centrado del proceso, debido a que en las fórmulas para calcularlos no se incluye de ninguna manera la media del proceso, μ. Una forma de corregir esto consiste en evaluar por separado el cumplimiento de la especificación inferior y superior, a través del índice de capacidad para la especificación inferior, Cpi, y índice de capacidad para la especificación superior, Cps, respectivamente, los cuales se calculan de la siguiente manera:

Por su parte el índice Cpk, que se conoce como índice de capacidad real del proceso, es considerado una versión corregida del Cp que sí toma en cuenta el centrado del proceso. Existen varias formas equivalentes para calcularlo, una de las más comunes es la siguiente:

El índice Cpk siempre va a ser menor o igual que el índice Cp. Cuando son muy próximos, eso indica que la media del proceso está muy cerca del punto medio de las especificaciones, por lo que la capacidad potencial y real son similares.

Si el valor del índice Cpk es mucho más pequeño que el Cp, significa que la media del proceso está alejada del centro de las especificaciones. De esa manera, el índice Cpk estará indicando la capacidad real del proceso, y si se corrige el problema de descentrado se alcanzará la capacidad potencial indicada por el índice Cp.

Cuando el valor del índice Cpk sea mayor a 1.25 en un proceso ya existente, se considerará que se tiene un proceso con capacidad satisfactoria. Mientras que para procesos nuevos se pide que Cpk > 1.45.

Es posible tener valores del índice Cpk iguales a cero o negativos, e indican que la media del proceso está fuera de las especificaciones.

INDICE K Es un indicador de qué tan centrada está la

distribución de un proceso con respecto a las especificaciones de una característica de calidad dada.

Un aspecto importante en el estudio de la capacidad de un proceso es evaluar si la distribución de la característica de calidad está centrada con respecto a las especificaciones, por ello es útil calcular el índice de centrado del proceso, K, que se calcula de la siguiente manera:

Como se aprecia, este indicador mide la diferencia entre la media del proceso, μ, y el valor objetivo o nominal, N (nominal), para la correspondiente característica de calidad; y compara esta diferencia con la mitad de la amplitud de las especificaciones. Multiplicar por 100 ayuda a tener una medida porcentual. La interpretación usual de los valores de K es como sigue:

Si el signo del valor de K es positivo significa que la media del proceso es mayor al valor nominal y será negativo cuando μ < N.

Valores de K menores a 20% en términos absolutos se consideran aceptables.

El valor nominal, N, es la calidad objetivo y óptima; cualquier desviación con respecto a este valor lleva un detrimento en la calidad.

Por ello, cuando un proceso esté descentrado de manera significativa se deben hacer esfuerzos serios para centrarlo, lo que por lo regular es más fácil que disminuir la variabilidad.

ÍNDICE CPM (ÍNDICE TAGUCHI) Los índices Cp y Cpk están pensados a partir de lo

importante que es reducir la variabilidad de un proceso para cumplir con las especificaciones.

Sin embargo, desde el punto de vista de G. Taguchi, cumplir con especificaciones no es sinónimo de buena calidad y la reducción de la variabilidad debe darse en torno al valor nominal (calidad óptima). Es decir, la mejora de un proceso según Taguchi debe estar orientada a reducir su variabilidad alrededor del valor nominal, N, y no sólo para cumplir con especificaciones. En consecuencia, Taguchi (1986) propone que la capacidad del proceso se mida con el índice Cpm que está definido por:

En consecuencia, Taguchi (1986) propone que la capacidad del proceso se mida con el índice Cpm que está definido por:

Interpretación Cuando el índice Cpm es menor que uno significa que

el proceso no cumple con especificaciones, ya sea por problemas de centrado o por exceso de variabilidad. Por lo tanto, en el caso de las llantas no se cumple con especificaciones, y como se aprecia en la figura 5.1, la razón principal es que el proceso está descentrado.

Por el contrario, cuando el índice Cpm es mayor que uno, eso quiere decir que el proceso cumple con especificaciones, y en particular que la media del proceso está dentro de la tercera parte central de la banda de las especificaciones. Si Cpm es mayor que 1.33, entonces el proceso cumple con especificaciones, pero además la media del proceso está dentro de la quinta parte central del rango de especificaciones

CAPACIDAD DE LARGO PLAZO E INDICES PP Y PPK

Capacidad de corto plazoSe calcula a partir de muchos datos tomados durante un periodo corto para que no haya influencias externas en el proceso, o con muchos datos deun periodo largo, pero calculando σ con el rango promedio (σ = R/d2).

Capacidad de largo plazoSe calcula con muchos datos tomados de un periodo largo para que los factores externos influyan en el proceso, y σ se estima mediante la desviaciónestándar de todos los datos (σ = S).

En la práctica, para diferenciar entre capacidad de corto y de largo plazo se emplean dos diferentes formas de estimar la desviación estándar del proceso. Ejemplo:

ÍNDICES PP Y PPK

Índice PpIndicador del desempeño potencial del proceso, que se calcula en forma similar al índice Cp pero usando la desviación estándar de largo plazo.

Índice PpkIndicador del desempeño real del proceso, que se calcula en forma similar al índice Cpk pero usando la desviación estándar de largo plazo.

ÍNDICE Z

La capacidad de un proceso medida en términos del índice Z es igual al valor más pequeño de entre Zs y Zi, es decir:

Es la métrica de capacidad de procesos de mayor uso en Seis Sigma. Se obtiene calculando la distancia entre la media y las especificaciones, y esta distancia se divide entre la desviación estándar.

En un proceso de envasado de cemento de una empresa cementera se tiene como especificación del contenido de los costales 50 kg, con una tolerancia de 0.6 kg. De esta forma, la especificación inferior es EI = 49.4 kg, y la superior ES = 50.6 kg. De acuerdo con los datos históricos se tiene que la media del proceso es μ = 50.01 y la desviación estándar es 0.2 kg.

Si la desviación estándar utilizada para calcular el índice Z es de corto plazo, entonces el correspondiente Z también será de corto plazo y se denota como Zc. En cambio, si la σ es de largo plazo, entonces el correspondiente Z será designado de largo plazo y se denota con ZL. La diferencia entre la capacidad de corto y largo plazo se conoce como desplazamiento o movimiento del proceso y se mide a través del índice Z de la siguiente manera:

El índice Zm representa la habilidad para controlar la tecnología.

Hay estudios que ponen de manifiesto que la media de un proceso se puede desplazar a través del tiempo hasta 1.5 sigmas en promedio hasta cualquier lado de su valor actual. Por lo general, este 1.5 se utiliza de la siguiente manera: cuando es posible calcular Zm y si éste es menor que 1.5, se asumirá que el proceso tiene un mejor control que el promedio de los procesos con un control pobre, y si es mayor que 1.5, entonces el control es muy malo. Si no se conoce Zm, entonces se asume un valor de 1.5.

CALIDAD 3 SIGMA

En el proceso de los costales se observa cómo sus límites reales (μ ± 3σ) coinciden con las especificaciones de calidad para el peso del contenido de los costales. En efecto,

Límite real inferior = μ − 3σ = 50.01 − 3(0.20) = 49.41

Límite real superior = μ + 3σ = 50.01 + 3(0.20) = 50.61

Proceso cuya capacidad para cumplirespecificaciones a corto plazo es iguala Zc = 3 y el índice es Cpk = 1.

Esto significa que bajo condiciones de estabilidad se espera que el peso de los costales varíe de 49.41 a 50.61 kg. Al observar lo anterior a través de la siguiente gráfica de capacidad y suponiendo que el peso sigue una distribución normal, se espera que el porcentaje de costales envasados que cumplen con especificaciones (área bajo la curva normal que cae dentro de especificaciones) sea de 99.73% y sólo 0.27% , lo cual corresponde a 2 700 partes por millón (PPM) fuera de especificaciones. En este caso, los índices Cp y Cpk prácticamente son iguales a 1.

CALIDAD 6 SIGMA Tener esta calidad significa diseñar productos

y procesos que logren que la variación de las características de calidad sea tan pequeña que el índice Zc de corto plazo sea igual a seis, lo cual implica que la campana de la distribución quepa dos veces dentro de las especificaciones

Proceso cuya capacidad para cumplirespecificaciones a corto plazo es iguala Zc = 6 o cuando es a largo plazo ZL =4.5, lo cual, a corto plazo significa Cpk= 2 y a largo plazo Ppk = 1.5.

Con un proceso Seis Sigma, si a largo plazo ocurriera que la media del proceso se moviera hasta 1.5σ veces a partir del valor nominal, hacia la especificación superior por ejemplo, eso no generaría problemas, ya que la media del proceso sería:

Lo anterior se resume en la tabla 5.3; en la parte izquierda se aprecia el nivel de calidad de corto plazo, sin desplazamiento del proceso, y en la parte derecha se representa la calidad de largo plazo, por lo que se incluye un desplazamiento del proceso de 1.5σ = Zm = 1.5. En general, si se conocen las partes por millón fuera de especificaciones de largo plazo, PPML, entonces el nivel de calidad en sigmas (de corto plazo) se obtiene con la siguiente ecuación

MÉTRICAS 6 SIGMA PARA ATRIBUTOS El índice Z se emplea como métrica en Seis

Sigma cuando la característica de calidad es de tipo continuo; sin embargo, muchas características de calidad son de atributos. En este caso se utilizará como métrica a los Defectos Por Millón de Oportunidades de error (DPMO).

EJEMPLO En una fabrica de muebles, durante la etapa de

ensamble del producto se quiere evaluar el desempeño del proceso. En particular, se pretende evaluar la calidad del ensamble de la silla que se muestra en la figura. El producto tiene 24 puntos de ensamble; por lo tanto, en la inspección final se evalúa cada uno de los puntos de ensamble. De los resultados del ultimo mes se tiene que de 2 000 sillas revisadas, se encontraron 120 puntos de ensamble insatisfactorios.

Unidad (U)Es la parte o producto que se elaboramediante un proceso.

Oportunidad de error (d)Cualquier parte de la unidad que puedemedirse o probarse si es adecuada.

Índice DPU (defectos por unidad)Métrica de calidad que es igual al número de defectos encontrados entre elnúmero de unidades inspeccionadas.No toma en cuenta las oportunidadesde error. Índice DPO

(defectos por oportunidad)Métrica de calidad que es igual alnúmero de defectos encontrados entreel total de oportunidades de error alproducir una cantidad específica deunidades.

DPMO (defectos por millón deoportunidades)Métrica Seis Sigma para procesos deatributos que cuantifica los defectosesperados en un millón de oportunidadesde error.

DPMO = 1 000 000 × DPO

DPU FRENTE A PPM Y EL NIVEL DE SIGMAS Es importante aclarar que tanto la métrica DPU como

la DPMO se refieren a variables para atributos más cercanas a variables con distribución Poisson, donde una pieza puede tener más de un defecto y no necesariamente debe rechazarse. En cambio, PPM se aplica cuando la parte cumple o no cumple (pasa o no pasa), y aquí más bien se aplica la distribución binomial y su aproximación a la normal.

Donde: DPU = 0.06, se quiere saber cuál es el nivel de sigmas del proceso correspondiente. Lo primero que se hace es calcular el rendimiento Y del proceso mediante la distribución de Poisson con la siguiente fórmula:

Para convertir esto al nivel de sigma de largo plazo es preciso encontrar el valor de Z en una tabla de distribución normal estándar que da una probabilidad acumulada igual a Y, es decir, el nivel de sigma de largo plazo para el proceso = ZY, donde:

En el caso del ejemplo, y usando la siguiente función de Excel:

DISTR.NORM.ESTAND.INV(0.9418) = 1.57

Se encuentra que el nivel de sigmas de largo plazo del proceso es igual a 1.57, así que suponiendo un desplazamiento de 1.5 sigmas, el número de sigmas del proceso estará dado por:

Por lo tanto, el nivel de sigmas del proceso de ensamble de sillas es 1.57 + 1.5 = 3.07 que, de acuerdo con la tabla 5.3, corresponde a un nivel de PPM cercano a 66 807. Es decir, está muy lejos de la meta de tener un proceso Seis Sigma.

ESTIMACION POR INTERVALO DE LOS INDICESDE CAPACIDAD

EJEMPLO Supongamos que una característica de

calidad tiene especificaciones de 50 ± 1. Con el fin de tener una primera idea de la capacidad del proceso para cumplir con esta especificación se obtiene una muestra aleatoria de 40 unidades producidas por el proceso. De las mediciones de esas 40 unidades se obtiene que la media y la desviación estándar para la muestra son: X= 50.15 y S = 0.289, con lo cual es posible estimar los índices:

ESTUDIO REAL (INTEGRAL) DE CAPACIDAD Un modelo de llantas para automóvil se tiene que la

longitud de la capa debe ser de 550 mm, con una tolerancia de ±8 mm. La longitud de la capa es el resultado de un proceso de corte de una tira de hule, el cual debe garantizar que la longitud esté entre la especificación inferior EI = 542 y la superior ES = 558, con un valor ideal o nominal de N = 550. Para detectar la posible presencia de causas especiales de variación, y en general para monitorear el correcto funcionamiento del proceso de corte, cada hora se toman cinco capas y se miden. Los datos obtenidos en los últimos cuatro días se muestran en la tabla

GRACIAS