Inductancia
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Autoinducción
Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud d y de sección A recorrido por una corriente de intensidad i.
En un circuito existe una corriente que produce un campo magnético ligado al propio circuito y que varía cuando lo hace la intensidad. Por tanto, cualquier circuito en el que exista una corriente variable producirá una fem inducida que denominaremos fuerza electromotriz autoinducida.
Una corriente en la bobina produce un campo magnético dirigido hacia la izquierda.
Si la corriente aumenta, el flujo magnético incrementado crea una fem inducida en la bobina cuya polaridad se muestra en línea punteada.
La polaridad de la fem inducida se invierte si la corriente decrece
Después de que se cierra el interruptor, la corriente produce un flujo magnético a través del área encerrada por el lazo. Conforme la corriente se incrementa hacia su valor de equilibrio, este flujo magnético cambia con el tiempo e induce una fem en el lazo
La variación del flujo magnético es producida por la variación de la corriente en el circuito. Esto lo podemos expresar como:
dt
dI
dt
d αΦ
dt
dIL
dt
d =Φ
Aplicando la ley de Faraday para N espiras
dt
dIL
dt
dN
dt
dN
=Φ
Φ−=ε
dt
dIL−=ε
Integrando
I
NL
LIN
Φ=
=Φ
Φ Representa el flujo magnético a través del circuito.
Donde: N representa el número de espiras que tiene el circuito.
I representa la corriente que circula en el circuito
R
ANL
πµ
2
20=
IR
NnIB
πµµ
200 ==
IR
NABAB π
µ20==Φ
R
AN
INL B
πµ
2
20=Φ=
El campo magnético en el interior de un solenoide muy largo (ideal) es:
El flujo magnético en el interior del toroide, suponiendo el campo uniforme es:
2rA
BA
π=
=Φ
La inductancia del toroide será :
nII
NA
I
NBA
I
NL 0µ==Φ=
R
Nn
l
Nn
nIB
π
µ
2
0
=
=
=
R
ANL
R
NNAL
πµ
πµ
2
22
0
0
=
=
Observe que la inductancia depende de la geometría del toroide mas no del flujo magnético o de la corriente.
d
NIB 0µ=
d
AINNBAm
200cos
µ=°=Φ
d
AN
IL m
20µ=Φ=
Del mismo modo que la capacitancia, el coeficiente de autoinducción solamente depende de la geometría del circuito y de las propiedades magnéticas de la sustancia que se coloque en el interior del solenoide.
Corriente autoinducida
Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo, se induce una corriente en el propio circuito (flecha de color rojo) que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad.
Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio:
dt
di
d
AN
d
AiN
dt
d
dt
d m2
02
0 µµε −=
−=Φ−=
dtdi
L−=ε La fem autoinducida siempre actúa en el sentido que se opone a la variación de corriente.
(a) Calcule la inductancia de un solenoide de aire que contiene 300 vueltas si la longitud del solenoide es de 25.0 cm y el área de su sección transversal es 4.00 cm2 .
sA
dt
dIAquí 0.50 , −=
mV05.9=ε
Circuitos RL
0=++ cabcab VVV
00 =+−− Vdt
diLiR
∫=∫ −
ti
dtiRV
Ldi
00 0
( )tLReR
Vi −−= 10
0=−−dt
dILIRε
Circuitos RL
0=+ baab VV
0=+dtdi
LiR
∫−=∫ti
i
dtLR
idi
00
tLR
eii −= 0La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. En la mayor parte de los casos, R/L es grande, por lo que la corriente desaparece muy rápidamente.τ
teii
−= 0
τt
eii−= 0
R
L=τ
Tomado la primera derivada de la expresión
se obtiene:
dtL
R
I
dI −= ∫∫ −=tI
Idt
L
R
I
dI00
τt
RLtt
L
R
I
I −=−=−=0
lnττtt
eIIeI
I −−=⇒= 0
0
τε t
eR
I−
=
El circuito de la figura consiste de un resistor, un inductor, y una batería ideal sin resistencia interna. Justo después de que se cierra el interruptor, a través de ¿cuál de los elementos del circuito el voltaje es igual al de la fem de la batería?a)del resistor b) del inductor, c) del inductor y el resistor.
Después de un largo tiempo, a través de ¿cuál de los elementos del circuito el voltaje es igual a la fem de la batería?d) Del resistor, e) del inductor, f) del inductor y del resistor.
Respuestas: b) y d)
El circuito de la figura incluye una fuente de poder que provee un voltaje sinusoidal. Así, el campo magnético en el inductor está constantemente cambiando. El inductor es un simple solenoide de aire. El interruptor en el circuito se cierra y el foco brilla establemente. Luego se inserta una barra de hierro en el interior del solenoide, el cual incrementa la magnitud del campo magnético en el solenoide. Entonces, el brillo del foco: (a) se incrementa, (b) se reduce, (c) no se afecta.
SOLUCION
Cuando la barra de hierro se inserta en el solenoide, la inductancia de la bobina se incrementa. Entonces, mayor diferencia de potencial aparece a través de la bobina que antes. Consecuentemente, menor diferencia de potencial aparece a través del foco de modo que el foco disminuye su brillo.
(a) Calcule la constante de tiempo del circuito mostrado en la figura.
(b) El interruptor de la figura se cierra a t = 0. Calcule la corriente en el circuito en t = 2,00 ms.
(c) Compare la diferencia de potencial a través del resistor con aquel a través del inductor.
Cuando se cierra el interruptor, el voltaje de la batería aparece enteramente a través del inductor en la forma de una fuerza contraelectromotriz de 12.0 V. Conforme el tiempo pasa, la fem a través del inductor decrece y la corriente en el resistor se incrementa. La suma de las dos diferencias de potenciales debe ser de 12.0 V todo el tiempo.
(a) El interruptor en este circuito RL se cierra para t = 0.
(b) Un gráfico de la corriente versus tiempo para el circuito en la parte (a).
Estos gráficos se refieren al ejemplo anterior
El comportamiento temporal de las diferencias de potencial a través del resistor y del inductor.
ENERGIA EN UN CAMPO MAGNETICO
Debido a que la fem inducida en un inductor previene a la batería de establecer una corriente instantánea, la batería debe proveer más energía que en un circuito sin inductor. Parte de la energía que suministra la batería aparece como energía interna en el resistor, mientras que la energía restante se guarda en el campo magnético del inductor. Si multiplicamos esta ecuación por I:
0=−−dt
dILIRε
Queda:
Energía total guardada en el inductor
ENERGIA EN UN CAMPO MAGNETICO
dtdi
LiRV +=0 dtdi
LiRiiV += 20
El último término, es la energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético asociado.
dtdi
LidtdUB =
221 LiUB =
Esta es la energía acumulada en el campo magnético del inductor cuando la corriente es i.
AlnL 20µ=
El campo magnético de un solenoide está por:
n
BI
nIB
0
0
µ
µ
=
=
Sustituyendo L e I en la expresión para la energía:
I
nIAnl
I
nIAN
I
NBA
IL B 00 µµ ===Φ=
AlB
n
BAlnLIU
0
22
0
20
2
22
1
2
1
µµµ =
==
0
2
2µB
Al
UuB ==
Aunque esta ecuación se dedujo para el caso de un solenoide, es válida para cualquier región del espacio en la cual haya un campo magnético
n
BI
nIB
0
0
µ
µ
=
= AlnL 20µ=
kte−= 0εεEncuentre la carga total que pasa por el solenoide, si la carga es finita.
dt
dILe kt −== −
0εε dteL
dI kt−−= 0ε
∫ −−= dteL
I kt0εdt
dqe
kLI kt == −0ε
∞−∞ −
−== ∫ 00
00 1 ktkt ekkL
dtekL
Qεε ( )0
20 eeLk
Q −−= ∞−ε
LkQ
20ε=
PROBLEMA
−=
−L
Rt
eR
I 1ε
−=
−50.2
00.3
190.0R
eRR
εε
10.050.2
00.3
=− R
e10.0ln
50.2
00.3 =− R
00.3
10.0ln50.2−=R Ω= 92.1R
PROBLEMA
t
IL
dt
dIL
∆∆−=−=ε t
IIL f
∆−
−= 0ε
s
AH
010.0
500.0000.2
−−=ε
HA
Vsx
s
AH
010.0
500.000.2 ×=ε
V100=ε
PROBLEMA
msmH
R
La 00.2
00.4
00.8 ) =
Ω==τ
b) Calcule la corriente en el circuito 250µs después de que se cierra el interruptor.
−=
−τε t
eR
I 1
8mH
R
ε
−
Ω= −
−
××−
3
6
1000.2
10250
100.4
00.6e
VI AI 176.0=
PROBLEMA
c) ¿Cuál es el valor de la corriente en el estado estable final?
AV
RI 50.1
00.4
00.6 =Ω
== ε
d) ¿Cuánto tarda la corriente en alcanzar el 80% de su valor máximo?
−=
−τt
eII 1max
−= −×
−31000.2
maxmax 180.0t
eII31000.220.0
−×−
=t
e
20.0ln1000.2 3−×−=t st 31022.3 −×=
•
••••
•
• ••••
××××
×
×××
Bobina 1
Bobina 2
N2
I2
N1
I1
Vista transversal de dos bobinas adyacentes. Una corriente en la bobina 1 establece un flujo magnético, parte del cual pasa por la bobina 2.
Inductancia mutua se define como:
1
12212 I
NM
Φ=
Considere dos bobinas de alambre una al lado de otra. Una corriente que fluye por la bobina 1 origina un campo magnético B y, en consecuencia, un flujo magnético en la bobina 2.
Si cambia la corriente de la bobina 1, también se altera el flujo a través de la bobina 2; y de acuerdo a la ley de Faraday, esto induce una fem en la bobina 2.
1
12212 I
NM
Φ=•
••••
•
• ••••
××××
×
×××
Bobina 1
Bobina 2
N2
I2
N1
I1
Φ12 flujo magnético causado por la corriente en la bobina 1 y que pasa a través de la bobina 2.
−=
Φ−=
2
1122
12
22 N
IM
dt
dN
dt
dNε
dt
dIM 1122 −=ε Similarmente:
dt
dIM 2
211 −=εDonde M12 = M21
dt
dIM 1
2 −=εdt
dIM 2
1 −=ε
PREGUNTA
¿Se puede tener inductancia mutua sin autoinductancia?
NO, porque la inductancia mutua depende de un sistema de bobinas y que cada bobina tenga autoinductancia.
¿Qué hay acerca de la autoinductancia sin inductancia mutua?
Si puede haber autoinductancia ya que una sola bobina tiene autoinductancia pero no inductancia mutua porque no interactúa con otras bobinas.
Por lo tanto:
Circuito LC. Oscilaciones libres
0=+ baab VV
LC
10 =ω
0=+C
q
dt
dIL
02
2
=+C
q
dt
qdL
0=+
C
q
dt
dq
dt
dL
01
2
2
=+ qLCdt
qd
Circuito LC. Oscilaciones libres
La solución de la ecuación diferencial es
)cos( 0 ϕω += tQq
La intensidad i es:
)( 00 ϕωω +−== tsenQdt
dqi
La energía del circuito en el instante t es la suma de la energía del campo eléctrico en el condensador y la energía del campo magnético en la bobina.
221
2
21 LiCq
UUU BE +=+=
Circuito LC. Oscilaciones libres
El equivalente mecánico del circuito LC son las oscilaciones de un sistema formado por una masa puntual unida a un resorte perfectamente elástico. El equivalente hidráulico es un sistema formado por dos vasos comunicantes.
En la figura el capacitor está inicialmente cargado cuando el interruptor S1 está abierto y S2 está cerrado. Luego, el interruptor S1 se cierra en el mismo instante en que se abre S2, de modo que el capacitor está conectado directamente a través del inductor.
a) Encuentre la frecuencia de oscilación del circuito.
LCf
ππω
2
1
2==
( ) ( ) 21122
13 1091081.22
1
FHf
−− ××=
π
Hzf 61000.1 ×=
b) ¿Cuáles son los valores máximos de carga sobre el capacitor y la corriente en el circuito?
εQ
C =
( )( )VFCQ 0.121000.9 12max
−×== ε
CQ 10max 1008.1 −×=
La corriente máxima está relacionada con la carga máxima:
)(max ϕωω +−== tsenQdt
dQI
CsI 1016 1008.1102 −− ×××= π A41079.6 −×=
)cos(max ϕω += tQQ
srad
LC3102.6288
1 ×==ω
c) Determine la carga y la corriente como funciones del tiempo. Suponga
0=ϕ
)cos(max ϕω += tQQ
tQ 310 102.6288cos1008.1 ××= −
)(max ϕωω +−= tsenQI
( )tsenI 310 102.62881008.12.6288 ×××−= −
( )tsenI 37 102.62881079.6 ××= −
Circuito LCR. Oscilaciones amortiguadas.
Las oscilaciones libres no se producen en un circuito real ya que todo circuito presenta una resistencia.
Circuito LCR conectado a un fem alterna. Oscilaciones forzadas
Las oscilaciones amortiguadas desaparecen al cabo de cierto tiempo, para mantener la oscilación en el circuito podemos conectarla a una fem alterna de frecuencia ω.
La energía total ya no es constante como lo fue en el circuito LC porque el resistor causa transformación a energía interna.
RIdt
dU 2−=
22
2
1
2LI
C
QU +=
dt
dILI
dt
dQ
C
Q
dt
dU +=
RIdt
dQ
C
Q
dt
dILI 2−=+
El signo negativo significa que la energía U del circuito disminuye con el tiempo.
02 =++
RIIC
Q
dt
dQ
dt
dLI
022
2
=++ RIIC
Q
dt
QdLI
Ahora divida para I y llegue a la siguiente expresión:
02
2
=++C
Q
dt
dQR
dt
QdL
Que es análogo a la ecuación del oscilador mecánico amortiguado
02
2
=++ kxdt
dxb
dt
xdm
02 =++
RIIC
Q
dt
dQ
dt
dLI
VxBA
Nt
N 4.02.0
04.01.040
2.0
0 ==−=∆∆Φ=ε
PROBLEMA
0
2
2µB
u = ( )3
6
7
2
1006.81042
50.4mJ
ATm
Tu ×=
××=
−π
b) La energía almacenada en el campo magnético dentro del solenoide.
ld
m
JuVU ×××==
41006.8
2
36 π
( )4
26.0062.01006.8
22
36 mm
m
JU
×××= π JU 6327=
PROBLEMA
PROBLEMA
En el circuito de la figura se cierra el interruptor en el tiempo t = 0.
a) Determine la lectura de cada medidor inmediatamente después de cerrar S.
b) ¿Cuál es la lectura de cada medidor mucho tiempo después de que se ha cerrado S?
a) No hay corriente en los inductores y ellos actúan como circuito abierto.
AV
II 455.0)1540(
2541 =
Ω+== 032 == II
b) Después de largo tiempo no hay voltaje a través de cada inductor y éstos pueden ser considerados como que están en corto-circuito.
0.15
1
0.10
1
0.5
11*
++=R
Ω= 73.2*R
Ω= 73.42eqR
Ω= 73.42eqR
AV
I 585.073.42
25 =Ω
=
AI 585.01 =La diferencia de potencial para las tres resistencias en paralelo es:
Ω×−=∆ 0.40585.00.25 AVV VV 60.1=∆
AV
I 320.00.5
6.12 =
Ω= A
VI 160.0
10
6.13 =
Ω= A
VI 107.0
0.15
6.14 =
Ω=
PROBLEMA
Una batería de diferencia de potencial constante ε es conectada a dos resistores y dos inductores idénticos de la manera como se muestra en la figura. Inicialmente, no circula corriente en ninguna parte del circuito. Al instante t = 0, el interruptor en la parte baja del circuito se cierra.
a) Inmediatamente después que el interruptor es cerrado, ¿cual es la corriente IR1 a traves del resistor R1
ε =16 V
R1 = 6 Ω
R2 = 12 Ω
L = 16 mH
R1
R2
ε
AV
Ri
equiv
89.0)126(
16
.
=Ω+
== ε
b) después de que el interruptor se mantiene cerrado por un tiempo muy largo, ¿cual es la potencia disipada por el circuito?
R1
R2
εAV
Ri 67.2
6
16
1
=Ω
== ε
WV
RP 7.42
6
)16( 2
1
2
=Ω
== ε
WARiP 7.426)67.2( 21
2 =Ω×==
sxxxRCa 121000.3100.4 ) 66 ==⇒= −ττ
5) Un resistor de 4.0 MΩ y un capacitor de 3.00μF se conectan en serie a un suministro de potencia de 12.0 V. a) ¿Cuál es la constante de tiempo en el circuito?b) Exprese la corriente en el circuito y la carga en el capacitor como
funciones del tiempo mientras se carga el capacitor. c) ¿Cuánta energía disipó el resistor mientras se cargaba el
capacitor?
)1(106,3
)1(121000.3)1(
100.3100.4
0.12 )
125
126
126126
t
tt
ttt
exQ
exxeCQ
exex
eR
Ib
−−
−−−
−−−−
−=
−=−=
===
τ
τ
ε
ε
SOLUCION
Esta expresión es igual a la energía guardada en el campo magnético del inductor.
Los cables coaxiales son usados a menudo para conectar dispositivos eléctricos como televisión por cable y otros. Consisten de dos conductores cilíndricos concéntricos de radios a y b y longitud l, como se muestra en la figura. Los cascarones conductores conducen la misma corriente I en direcciones opuestas. Imagine que el conductor interior conduce una corriente hacia un dispositivo y que el conductor externo actúa como un camino de regreso conduciendo la misma corriente de regreso a la fuente.a) Calcule la autoinductancia L de este cable.
b) Calcule la energía total guardada en el campo magnético del cable.
El interruptor de la figura se encuentra abierto. Para t = 0 el interruptor se cierra. Calcule la corriente en el inductor en función del tiempo.
(1) (2)
(3)
de (1) y (2)
(3) se convierte en:
Resolviendo la ec. diferencial:
Un solenoide con núcleo de aire tiene 68 vueltas y es de 8.00 cm de longitud. Tiene un diámetro de 1.20 cm. ¿Cuánta energía es guardada en su campo magnético cuando conduce una corriente de 0.770 A?
