MATEMATICA BASICA

IINECUACIONES

2015-I

Doris Meléndez

MB

PROGRAMA DE ESTUDIOS BÁSICOS

IV INECUACIONES

Inecuación.- Es una desigualdad que contiene una o varias variables. En nuestro caso solamente consideraremos inecuaciones con una sola variable.

Inecuación polinomial.- Es toda desigualdad donde el primer miembro es un polinomio y el segundo miembro es el número real cero.

Es decir; toda expresión algebraica de la forma

2 n0 1 2 np(x) a a x a x ... a x

1 2 nCoeficientes : a ,a ,..., a n ; var iable : xa 0

p(x) 0 p(x) 0 p(x) 0 p(x) 0

Conjunto solución de una inecuación. Son todos los números reales que verifican la desigualdad.

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INECUACION DE SEGUNDO Y TERCER GRADO

Cuando el grado del polinomio es igual a 2 ó 3,

las desigualdades

se llaman desigualdades de segundo ó tercer grado respectivamente.

p(x)

p(x) 0 p(x) 0 p(x) 0 p(x) 0, , ,

2ax bx c Observación Toda expresión polinomial cuadrática de la forma:

es irreducible si no se puede factorizar en factores lineales en R .

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Observación .- Llamaremos puntos críticos de los polinomios 2p(x) ax bx c

3 2p(x) ax bx cx d

a 0 p(x) 0

,

con a las raíces de la ecuación

Método abreviado para resolver inecuaciones.-Para resolver las inecuaciones polinomiales y racionales por éste método se procede en la forma siguiente:1º) Se factoriza el polinomio ( ó polinomios) como producto de factores lineales y/o cuadráticos de la forma x – a . Los factores cuadráticos irreducibles se eliminan.

2º) Cada factor lineal se iguala a cero para hallar los puntos críticos

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3º) Se ubican los puntos críticos sobre la recta real de menor a mayor o viceversa4º) Se determinan tantos intervalos como puntos críticos se obtengan y se etiquetan los intervalos de derecha hacia izquierda con signos en forma alternada hasta terminar. ó

5º) Se escribe el conjunto solución de la inecuación según la regla siguiente :

p(x) 0 x a) Si pertenece a la unión de intervalos abiertos con signos positivos b) Si pertenece a la unión de intervalos cerrados con signos positivos

p(x) 0 x

c) Si pertenece a la unión de intervalos abiertos con signos negativos

p(x) 0 x

d) Si pertenece a la unión de intervalos cerrados con signos negativos

p(x) 0 x

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x

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x

x

x

6

2 5 6 0x x

Ejercicio 1.- Resolver la inecuación,

( 3)( 2) 0x x Solución.-

4)

2,3x

2

+

2) Los puntos críticos (p.c) son 2 y 3 . 3) Ubicamos los p.c. en la recta real y se tiene

3 +

5) Elegimos el intervalo que tiene el signo” – “

1) Factorizando:

2,3CS

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7

2 2 15 0x x

Ejercicio 2.- Resolver la inecuación,

( 5)( 3) 0x x Solución.-

4)

.

, 5 3,x

-5

+

2) Los puntos críticos (p.c.) son -5 y 3 . 3) Ubicamos los p.c. en la recta real y se tiene

3 +

5) Elegimos los intervalos con signo” + “

1) Factorizando:

, 5 3,CS

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8

Ejercicios:5. Exprese en forma de intervalos los conjuntos:

2 6Adicional. Resolver 2x 1 2x 1

3 2

3 2 2

3 2 3 2

3 2

a) x 2x x 2 0b) 2x 3x 11x 6 0 e) x (x 1) 6xc) x 5x 13x 7 0 f) 12x 4x 3x 1 0d) x 3x 13x 150 0

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a) A x / 3x 1 11x 17 R xb) C x / 5(x 1) 117

R3x 2 4 3x 5x 7c) D x /

5 2 3

R

d) E x / 2x 3x 7 8x 6 R7. Resuelva las siguientes inecuaciones en

:

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9

3. El costo de producir x tarjetas de video por día está dado por . Si éstas se pueden vender a 140 nuevos soles cada una, ¿cuántas tarjetas deben producirse y venderse para obtener utilidades diarias de al menos 900 nuevos soles?

V APLICACIONES1. Se compra un número par de circuitos. Si se

vende la cuarta parte quedan menos de 118 por vender y si se vende la sexta parte quedarían más de 129 por vender, ¿Cuántos circuitos se compró?

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2C 300 70x x