Inecuaciones Polinómicas y Racionales

SEMANA 2

Departamento de Ciencias Cajamarca Pgina | 1

TEMA : Inecuaciones Polinmicas y Racionales

Aplicaciones de Inecuaciones Polinmicas y Racionales

INECUACIONES POLINMICAS Son de la siguiente forma.

0...)(0...)( 11 on

no

n

n axaxaxPoaxaxaxP

0...)(0...)( 11 on

no

n

n axaxaxPoaxaxaxP

Donde 0 1, ,..., na a a son constantes y 0na , n Z

Ejemplos:

1. Resolver 3 22 3 8 3 0x x x

Solucin:

Se descompone el polinomio en producto de factores, para ello se calculan las races

dividiendo por Ruffini.

Por lo tanto, 3 22 3 8 3 ( 1)( 3)(2 1)x x x x x x

Luego, la inecuacin es:

3 22 3 8 3 0x x x ( 1)( 3)(2 1) 0x x x

P.c. : 1x 3x 1

2x

Luego, ubicamos los puntos crticos en la recta real

- + - +

-1 -1

2 3

Como la inecuacin es de la forma ( ) 0P x el conjunto solucin ser la unin de los

intervalos donde aparecen el signo (-).

2 -5 -3 0

2 -3 -8 -3

-1 -2 5 3

2 1 0

3 6 3

(x+1)

(x-3)

(2x+1)

SEMANA 2


Entonces el C.S. = 1

, 1 ,32

2. Resolver: 3 25 6 0x x x

Solucin: Factorizando se tiene: 0)3()2( xxx

Los puntos crticos son: x = -3, x = -2, x = 0. Los ubicamos en la recta real, tenemos:

- + - +

-3 -2 0

Como la desigualdad es 0 , cogemos los intervalos que tienen el signo +, es decir:

Cs: 3, 2 0,x

3- Resolver: 4 3 22 5 8 17 6 0x x x x

Solucin: Factorizando se tiene: 0)1)(3)(2)(12( xxxx .

Los puntos crticos son: x = - 2, x = 1/2, x = 1, x = 3, los ubicamos en la recta real.

+ - + - +

-2 1 3

Como nuestra desigualdad es 0 , cogemos los intervalos que tienen el signo -, es decir:

Cs= 1

2, 1,32

Observacin:

a) Cuando la multiplicidad de las races es par, entonces en ese punto crtico se

repetir el signo.

Ejemplo 1. Resolver 4( 2) ( 2)( 4) 0x x x

Solucin:

Los valores crticos son: 2x (tiene multiplicidad par) 4x 2x

+ - + +

-4 -2 2

Como nuestra desigualdad es 0 , cogemos los intervalos que tienen el signo +, es decir:

-

SEMANA 2


-

C.S.= , 4 2, 2

Ejemplo 2. Resolver 081423344 xxxx

Solucin: Factorizando se tiene: 04212 xxx

Los valores crticos son 2x , 4x , y 1x que tiene multiplicidad par, es decir

grficamente tendramos.

+ - + - +

-2 1 4

Como nuestra desigualdad es 0 , cogemos los intervalos que tienen el signo +, es

decir:

Cs. = ,412,

Ejemplo 3. Resolver: 5 4 3 29 14 34 15 25 0x x x x x

Solucin. Factorizando se tiene: 2 2

1 1 5x x x < 0

Los puntos crtico son: 1x , no tiene multiplicidad par, los otros dos 1, 5x x

poseen multiplicidad par. En la recta real tendramos

- - + +

-1 1 5

Como 0xP , entonces Cs = , 1 1

b) Cuando la multiplicidad de las races es impar, entonces en ese punto crtico el

signo no tendr variacin alguna.

Ejemplo 1. Resolver 5

3 1 7 0x x x

Solucin

Los valores crticos son 3x , 1x , y 7x que tiene multiplicidad impar. Graficando en la recta real se tiene:

- + - +

-3 1 7

+

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Como 0P x , el conjunto solucin es la unin de los intervalos con signo

positivo, es decir Cs: 3, 1 7,

Observacin:

Cuando los factores de xP son lineales y cuadrticos, siendo los ceros del factor cuadrtico no reales. En este caso es importante recordar la siguiente propiedad (se vio

en inecuaciones cuadrticas)

Sea: cxbxa 2 una expresin cuadrtica con 0a y supongamos que el

discriminante de la frmula cuadrtica 042 cab , luego

i) Si 0a , entonces 02 cxbxa para todo Rx .

ii) Si 0a , entonces 02 cxbxa para todo Rx .

Ejemplo 1: Resolver 3785 234 xxxx 0

Solucin: Factorizando se tiene

4 3 25 8 7 3 0x x x x

2 1 1 3 0x x x x El factor 2 1x x su discriminante es negativo ( 0 ) y por propiedad el factor 2 1x x siempre es positivo, luego debemos exigir que el resto de producto de factores sea menor o igual que cero, con la finalidad de conservar el sentido

de la desigualdad original, es decir

1 3 0x x no habiendo restriccin alguna. Graficando los valores crticos

El conjunto solucin es la unin de los intervalos con el signo -. Es decir

3, 1

Ejemplo 3: Resolver 013 23 xxx

Solucin: xP = 0112313 223 xxxxxx

Nuevamente por la propiedad anterior, el primer factor es menor que cero para todo

nmero real, luego para mantener el sentido de la desigualdad original debemos exigir

que

01 x

+

-1 -3

+ -

SEMANA 2


1x De donde se obtiene que la solucin es:

Cs = ,1

Ejemplo 3. Resolver 4 72 2 2 3 6 0x x x x

Solucin

xP = 4 72 2 2 3 6 0x x x x

Teniendo en cuenta los casos anteriores segn corresponda, se tiene que

4

2 3 6 0x x x

Graficando los puntos crticos de la ltima desigualdad, teniendo cuidado que el punto

crtico x = -2 tiene multiplicidad par.

La solucin est dada por la unin de los intervalos abiertos con signo menos, teniendo

en cuenta la restriccin hecha. Es decir

Cs: 3; 6

EJERCICIOS PROPUESTOS

Nivel I: Resolver las siguientes inecuaciones polinmicas

1. 2 2( 10 21)( 9 20) 0x x x x

2. 3 26 11 6 0x x x

3. 2 2( 2 3)( 2) 0x x x x

4. 3 24 17 60 0x x x

5. 3 28 19 12 0x x x

6. 20 101 55( 2) ( 1) ( 4) 0x x x

7. 3 22 24 0x x x

8. 4 5 77 88( 5) ( 3) ( 9) 0x x x x

9. 3 210 19 280 0x x x

10. 255 200 213( 10) ( 5) ( 2) 0x x x

-2 6

3-

+

3

+ - + -

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Nivel II: Resolver las siguientes inecuaciones polinmicas

1. 5 4 33 10 0x x x

2. 4 3 22 13 14 24 0x x x x

3. 7001 500 4001 2012( 7) ( 5) ( 1) ( 3) 0x x x x

4. 3 23 52 224 0x x x

5. 211 4441 4221(3 3) (9 3) (2 2) 0x x x

6. 4 3 210 35 50 24 0x x x x

7. 3 2 25 25 0x x x

8. 4 210 25 0x x

9. 2013 400 41(3 4) (9 36) (2 4) 0x x x

10. 3 26 16 96 0x x x

INECUACIONES RACIONALES

Una inecuacin racional son de la forma

a)

0xQ

xP ( o bien 0 ) b)

0xQ

xP ( o bien 0 )

Donde ( ), ( )P x Q x son monomios o polinomios diferentes de cero.

Para resolver una inecuacin racional debe tenerse en cuenta que las inecuaciones:

0xQ

xP

0xQ

xP, son equivalentes a las inecuaciones:

. 0P x Q x . 0P x Q x

Ejemplo 1 Resolver: 3 6

0x

x

Solucin:

3 2

0x

x

Como

0xQ

xP . 0P x Q x

Entonces tenemos: 3( 2) 0, 0x x x

( 2) 0, 0x x x

Puntos crticos: 2x , 0x

SEMANA 2


Como nuestra desigualdad es

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24 4 10

2 3

x x

x

24 4 10

2 3

x x

x

2(2 1)0

2 3

x

x

22(2 1) 3 0, 3x x x

2(2 1) 3 0, 3x x x

Puntos crticos: 1

2x (multiplicidad par), 3x

Ubicando en la recta los puntos crticos tenemos:

El C.S.= 1

3,2


4 3

2 1 1

x x

x x x

Solucin:

2

4 3

2 1 1

x x

x x x

2

4 30

2 1 1

x x

x x x

2

4 30

( 1) 1

x x

x x

2

4 ( 3)( 1)0

( 1)

x x x

x

2

2

4 ( 2 3)0

( 1)

x x x

x

2

2

4 2 30

( 1)

x x x

x

2

2

2 30

( 1)

x x

x

2

2

2 30

( 1)

x x

x

22

2 30

( 1)

x x

x

2

( 3)( 1)0

( 1)

x x

x

2( 3)( 1)( 1) 0, 1x x x x

Puntos crticos: 3x , 1x , 1x (multiplicidad par)

C.S. = 1,3 1

SEMANA 2



2

1

xx

x

Solucin. Pasando al primer miembro y operando adecuadamente tenemos

2

2

( 2) 2( 1) 4 20 0

( 1)( 2) 1 2

( 2) 2 ( 2 2)( 2 2) 0 0, 1, 2

( 1)( 2) ( 1)( 2)

x x x x x

x x x x

x x xx x

x x x x

Los puntos crticos son: 2 2x , 2 2x , 1x , 2x

Ubicando en la recta los puntos crticos tenemos:

Por lo tanto: Cs: 2 2;1 2;2 2

Ejemplo 6. Resolver 1 2

1 1

x x x

x x x

Solucin:

1 2

1 1

x x x

x x x

1 20

1 1

x x x

x x x

. ( 1) ( 1) 1 1 2 ( 1)0

1 1

x x x x x x x x x

x x x

2 2 2( 1) ( 1) 1 2 ( 1)0

1 1

x x x x x x

x x x

22 10

1 1

x x

x x x

(Simplificando)

22 1 1 1 0x x x x x 1, 0, 1x x x ,

1 1 0x x x , ( como 22 1 0x x adems 0 ) Puntos crticos: 1, 0, 1x x x

C.S.= 1,0 1,

SEMANA 2


Ejemplo 7 Resolver

0132

)1()2(323

367

xx

xxx

Solucin: Factorizando tenemos )12()1(132 223 xxxx , y

)1)(1(1 23 xxxx

0)12()1(

)1()2(32

367

xx

xxx

0)12()1(

)1)(1()2(32

267

xx

xxxxx y como 012 xx ( 0 )

0)12()1(

)1()2(32

67

xx

xxx

0)12()1)(1()2(3 267 xxxxx , 1x , 2

1x

Los puntos crticos son: 3x 2x 1x 1x2

1x

Graficando los puntos crticos de la ltima desigualdad, teniendo cuidado que los puntos

crticos 1x 2x tienen multiplicidad par.

La solucin est dada por la unin de los intervalos con signo menos, teniendo en

cuenta la restriccin hecha. Es decir

Cs: 3,11,2

11,

Ejemplo 8 Resolver 3 2

2

8 120

5 14

x x x

x x

Solucin: Factorizando tenemos: 3 2 8 12x x x 2

2 ( 3)x x

2 5 14 7 ( 2)x x x x

2

2 ( 3)0

( 7)( 2)

x x

x x

2

2 ( 3)0

( 7)( 2)

x x

x x

, 2x

2 ( 3)0, 2

( 7)

x xx

x

2 ( 3)( 7) 0, 2x x x x Puntos crticos: 2x , 3, 7x x

C.S. = , 7 3,2

SEMANA 2


EJERCICIOS PROPUESTOS

Nivel I: Resolver las siguientes inecuaciones racionales

1. 4

12

x

x

2. 1 1

2x x

3. 4 3

5 25 4 8x x

4. 5 2

05 3x x

5. ( 9) 18

014

x x

x

6. 10 5

73 5x x

7. 24 9 2

12 12 3

x x

x x

8. 5 6 7

3 2

( 1) ( 3) ( 5)0

25 25

x x x

x x x

9. 5 6 7

3 2

( 1) ( 3) ( 5)0

25 25

x x x

x x x

10. 20 11 9

5 7

( 7) ( 10) (2 4)0

( 4) ( 3)

x x x

x x

Nivel I: Resolver las siguientes inecuaciones racionales

11. 5 4 3

3 2

3 100

3 52 224

x x x

x x x

12. 4 2

200 211

6 90

(3 3) (3 6)

x x

x x

13. 8 30 5

44 2 3

x x

x x

14. 4 2 31 5

20 3

(2 22) ( 3) ( 5)0

( 12) ( 3)

x x x

x x

15. 2

3 2 4

4 7 3 2

x x

x x x

16. 2

1

2 1 1

x

x x x

17. 8 9 4

5 3 7

x x

x

SEMANA 2


18. 4 3 4

( 5) 8

x

x x x

19.

2 2

2 2

12 5 60

1 2

x x x x

x x

20. 2

2

2 3

3 4

x x

x x

APLICACIONES DE LAS INECUACIONES POLINOMICAS Y RACIONALES

1.- (Utilidades del fabricante) El fabricante de cierto artculo puede vender todo lo que

produce al precio de $60 cada artculo. Gasta $40 en materia prima y mano de obra al

producir cada artculo y tiene costos adicionales (fijos) de $3000 a la semana en la

operacin de la planta. Encuentre el nmero de unidades que debera producir y vender

para obtener una utilidad de al menos $1000 a la semana.

2.- (Utilidad) Para una compaa que fabrica calentadores para acuarios, el costo

combinado de mano de obra y material es de $21 por calentador. Los costos fijos

(costos en que se incurre en un periodo dado, sin importar la produccin) son $70000.

Si el precio de venta de un calentador es $35, Cuntos debe vender para que la

compaa genere utilidades?

3.- (Renta versus compra) Un constructor debe decidir entre rentar o comprar una

maquina excavadora. Si fuese a rentar la mquina, el costo de la renta sera de $3000

mensuales (sobre la base de un ao) y el costo diario (gas, aceite y operador) sera de

$180 por cada da que la mquina se utilice. Si fuese a comprarla, sus costos fijos

anuales seran de $20000 y los costos diarios de operacin y mantenimiento seran de

$230 por cada da que la mquina se utilizara. Cul es el nmero mnimo de das al ao

que tendra que utilizar el constructor la mquina para justificar la renta en lugar de la

compra?

4.- (Razn de circulante) El presidente de la compaa Ace Sports Equipment decide

pedir un prstamo a corto plazo para aumentar su inventario. La compaa tiene activos

circulantes de $350000 y pasivos de $80000. Cunto puede pedir prestado si quiere

que su razn de circulante no sea menor que 2.5? (Nota: los fondos recibidos se

consideran como activo circulante y el prstamo como pasivo circulante. Adems la

razn de circulante de un negocio es el cociente de sus activos circulantes ( como

efectivo, inventario de mercancas y cuentas para cobrar) , sobre sus pasivos circulantes

(como prestamos a corto plazo e impuestos))

5.- (Produccin) Una empresa puede vender a un precio de $50 la unidad, todas las

piezas que pueda producir. Si x unidades es la produccin diaria, el importe del costo

total de la produccin de un da es x2+30x+75, Cuntas unidades deben producirse

diariamente para que la empresa obtenga utilidades?

SEMANA 2


6.- (Utilidad) Una compaa que fabrica y vende escritorios puede venderlos a $200

cada uno y le es posible vender toda la produccin. Si cada semana se fabrican y se

venden x escritorios, entonces el importe del costo semanal total de la produccin es

x2+40x+1500, Cuntos escritorios debe fabricar semanalmente para tener garantizada

una utilidad?

7.- (Ingreso) La ecuacin de demanda para el fabricante de un producto es p=400-8q,

donde el precio (en dlares) por unidad cuando se demandan q unidades (por semana).

Encuentre el nivel de produccin que permite un ingreso positivo.

8.- (Ingreso) La ecuacin de demanda para la lnea de reglas de plstico de una

compaa de artculos de oficina es p=0.45-0.009q, donde el precio (en dlares) por

unidad cuando los consumidores demandan q unidades diarias. Determine el nivel de

produccin de tal manera que el ingreso sea positivo.

9.- (Fijacin de precios y utilidades) Si x unidades pueden venderse diariamente al

precio de $p cada una, donde p=40-x y tiene un costo de C= 100+4x, dlares producir x

unidades. Cuntas unidades deben venderse para obtener un ingreso diario de $144?.

Qu precio p por unidad debe fijarse para obtener una utilidad de al menos $28?

10.- La corporacin Molitalia S.A ha decidido contratar una cantidad de ingenieros

industriales para colocarlos dentro de sus diferentes plantas en Lima. Determine el

nmero requerido de ingenieros, si se sabe que este ser igual a la suma de los enteros

positivos mayores que 1 que satisfacen la siguiente inecuacin: 3 26 11 6 0x x x .

11.- Una compaa que se dedica a la seleccin de personal ha evaluado hace 15 das a

un grupo de 10 ingenieros para ocupar 5 puestos de trabajo dentro de una conocida

empresa elctrica en la zona norte de lima. Si se sabe que la cantidad de ingenieros que

aprobaron la evaluacin se determina por el menor valor entero del conjunto solucin de

la siguiente inecuacin

3

1 2

x x

x x

. Indique la cantidad de puestos de trabajo que quedaron sin cubrirse.

12.- La Municipalidad de los Olivos, convoc a estudiantes de arquitectura e ingeniera

civil de las diferentes universidades del cono norte a un concurso de diseo de un

proyecto de remodelacin del Palacio Municipal. Los resultados de la convocatoria

fueron enviados a cada universidad, en el caso de UPN se les indic a los estudiantes

que el puesto que ocup su propuesta est dado por la cantidad de nmeros enteros que

verifican la siguiente inecuacin5 1

23 1x x

. Determine dicha posicin.

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