Inf. 5 Coeficiente de Dilatacion Lineal

COEFICIENTE DE DILATACION LINEAL

1. OBJETIVO.-

Validar la ecuación de dilatación lineal para bajos rangos de temperatura en materiales isotrópicos.

Encontrar el coeficiente de dilatación lineal del cobre, aluminio y hierro galvanizado.

2. FUNDAMENTO TEORICO

La temperatura es el valor medio de la energía cinética de las partículas de un cuerpo.

Una vez que el calor se transmite o propaga a un cuerpo, la temperatura del mismo se

incrementa y de este modo, propiedades del cuerpo tienden a cambiar, entre ellas se pueden

mencionar variaciones de:

Volumen

Resistencia eléctrica

Presión

Radiación

Otros

En el presente experimento se evaluará la variación en una de las longitudes de un cuerpo cuyo

volumen se modifica por un cambio de su temperatura. Los metales son materiales isotrópicos,

por lo tanto se emplearán tubos cilíndricos de cobre, aluminio y hierro galvanizado, por cuyo

interior se hará circular vapor de agua a presión atmosférica, vale decir que se mantendrá el

interior de los tubos a temperatura constante correspondiente a la de ebullición.

En la figura 2 se aprecia el equipo a emplearse, el tubo permite por sus boquillas (1) y (2)

entrada de vapor proveniente del vaporizador a través de una manguerita y evacuación de

vapor respectivamente. Al mantener fijo uno de sus soportes y el otro libre en contacto con un

COEFICIENTE DE DILATACION LINEAL 2012

rodillo desplazador de un reloj comparador, se puede medir en todo momento la variación de

longitud ΔL del tubo cuando éste cambie de longitud.

COEFICIENTE DE RESISTENCIA DE TEMPERATURA,

generalmente llamado coeficiente de temperatura es la razón de cambio de resistencia al

cambio de temperatura. Un coeficiente positivo significa que la resistencia aumenta a medida

que aumenta la temperatura. Si el coeficiente es constante, significa que el factor de

proporcionalidad entre la resistencia y la temperatura es constante y que la resistencia y la

temperatura se graficarán en una línea recta.

Cuando se usa un alambre de metal puro para la medición de temperatura, se le refiere como

detector resistivo de temperatura, termorresistencia o RTD (por las siglas en ingles de Resistive

Temperature Detector). Los metales puros tienen un coeficiente de resistencia de temperatura

positivo bastante constante como se ve en la figura 3.

Cuando se usan óxidos metálicos (empleados en elementos electrónicos) para la medición de

temperatura, el material de oxido metálicos conformado en forma que se asemejan a pequeños

bulbos o pequeños capacitores. El dispositivo formado así se llama Termistor . Los termistores

NTC tienen coeficientes de temperatura negativos grandes que no son constantes como se ve

en la figura 3. En otras palabras, el cambio de resistencia por unidad de cambio de temperatura

es mucho mayor que para el metal puro, pero el cambio es en la otra dirección: la resistencia

disminuye a medida que se aumenta la temperatura. El hecho de que el coeficiente no sea

constante significa que el cambio en la resistencia por unidad de cambio de temperatura es

diferente a diferentes temperaturas. En cambio los termistores PTC tienen coeficientes de

temperatura positivos que varían drásticamente en función a la temperatura como se ve en la

figura 3.

Como regla general, los termistores son preferibles cuando la banda de temperaturas esperada

es angosta, mientras que los RTD son preferibles cuando la banda de temperatura esperada es

amplia. Además de ello el tiempo de respuesta de los termistores es bajo, condiciones

importantes para el presente experimento.

Consecuentemente se empleará en el presente experimento un termistor para la medida de la

temperatura del tubo, conectándolo al mismo con una tuerca y midiendo con el ohmiómetro del

multímetro el valor de su resistencia, tal como se muestra en la figura 2 (solicitar ayuda del

docente para el uso del multímetro o tester del inglés).

NOTA: La tabla 1 muestra la relación entre T y R del termistor a emplearse en el experimento.

Página 2


3. DISEÑO DEL EXPERIMENTO

a) MATERIALES Y EQUIPO:

Dilatómetro incluye:

o Una base para soportar tubos de los cuales se desea encontrar el coeficiente

de dilatación lineal.

o Tres tubos de cobre, hierro galvanizado y aluminio de rosca para conectar el

termistor.

o Termistor conectado a bornes para conexión al multímetro.

o Reloj comparador.

Generador de vapor con manguera de conexión al tubo.

Multímetro medir la resistencia del termistor.

Recipiente para recibir el agua que drenan los tubos y su manguera de conexión.

Cinta métrica.

4. PROCEDIMIENTO

Mientras se enfría el tubo sed debe sincronizar la lectura del calibre tipo reloj y el multímetro.

Registrar los pares de datos (R, ΔL).

Cuando el tubo esta a temperatura próxima a la del ambiente, esta se estabilizara y la adquisición de datos habrá terminara con el tubo.

Repetir todo el procedimiento con los tubos de otro material cuyo coeficiente de dilatación se quiere determinar.

Página 3


5. PRESENTACION DE RESULTADOS

5.1. CALCULOS.-

DATOS OBTENIDOS EN EL LABORATORIO:

PRIMER TUBO

Parámetros o constantes Medida directa: T 0=24℃R0=107,4

Li (longitud del tubo antes deenfriar ):74 [cm ]Ri (Resistencia deltermistor antes deenfriar ) :16

Material: Aluminio

Medida indirecta:T i (obtenidade tabla1 para Ri ) :25℃

Variables Intervención directa

n número de mediciones 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

medida indirectade T [℃ ] 74 72 68 64 57 50 45 40 36 32

Variable independiente

resistencia Ri16,8 18,6 20,5 22,7 28,4 35,6 42,0 51,8 61,8 73,0

Variable dependiente

deformación ∆ Li [cm ]0,03 ‘0,035 0,04 0,045 0,057 0,065 0,073 0,081 0,088 0,095

Interpolación:

T i−T i−1

R i−Ri−1

=T i+1−T i−1

R i+1−Ri−1

; esdecir :T i=[ T i+1−T i−1

R i+1−Ri−1

∙ (Ri−R i−1 )]+T i−1

Trabajando con el primer intervalo:

Página 4


T i=[ T i+1−T i−1

Ri+1−R i−1

∙ (R i−Ri−1 )]+T i−1=[ 75−7315,8−17,8

∙ (16,8−17,8 )]+73

T i=74℃

Regresión lineal en la forma: y=a+b ∙ xó ∆ L=K ∙∆T

∆ L=∑ ∆T i2∑ ∆ Li−∑ ∆T i∑∆ Li∆T i

n∑ ∆T i2−(∑ ∆T i )

2 +n∑ ∆T i∆ Li−∑ ∆T i∑ ∆ Li

n∑ ∆T i2−(∑∆T i )

2 ×∆T

K=∑ ∆T i2∑ ∆ Li−∑ ∆T i∑∆ Li∆T i

n∑∆T i2−(∑ ∆T i)

2 =4,188×10−2 ∙538−0,609∙29,57

10 ∙4,188×10−2−(0,609 )2

b=n∑ ∆T i∆ Li−∑ ∆T i∑ ∆Li

n∑ ∆T i2−(∑ ∆T i )

2 = 10 ∙29,57−0,609 ∙538

10 ∙4,188×10−2− (0,609 )2

CALCULANDO “r” DE LA REGRECION LINEAL:

r=n∑∆ Li∆T i−∑∆T i∑ ∆ Li

√ [n∑ ∆T i2−(∑ ∆T i )

2 ] ∙ [n∑ ∆ Li2−(∑ ∆ Li )

2 ]

r= 10 ∙29,57−538

√ [10 ∙4,188×10−2−(0,609 )2 ] ∙ [10 ∙3107− (538 )2 ]

Página 5

a=94,34

b=−665,75

r=−0,9989


TRACE UN GFRAFICO ΔL vs ΔT

0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

10

20

30

40

50

60

70

80

f(x) = − 665.749025005734 x + 94.3441156228493R² = 0.997935780251365

ΔL vs ΔT

ΔT

ΔL

DE LA ECUACIÓN: ∆ L=a+b ∙∆T

a=0b=K

HALLANDO α : De la ecuación: ∆ L=α ∙ L1 ∙∆T

Sabiendo que: K=α ∙L1

α= KL1

=−665,7574

Página 6

α=−8,99


VALIDACIÓN DE LA HIPÓTESIS:

ERROR DE LA ESTIMACIÓN

Hallamos el t calc de la formula: t calc .=|a−0|Sa

……. (α )

Primero hallamos: Sa=S ∆ L∆T

×√ ∑ ∆T i2

n∑ ∆T i2−(∑ ∆T i )

2…… .. (β )

Entonces: S ∆L∆T

=√∑ [ (a+b×∆T i )−∆ Li ]2n−2

=√∑ e i2

n−2…… ..(γ )

Trabajando esta ultima ecuación:

con :∆T1=74 ;∆ L1=0,03→¿¿

con :∆T1=72 ;∆ L1=0,035→¿¿

con :∆T1=68 ; ∆ L1=0,04→¿¿

con :∆T1=64 ;∆ L1=0,045→¿¿

con :∆T1=57 ∆ L1=0,057→¿¿

con :∆T1=50 ; ∆L1=0,065→¿¿

con :∆T1=45 ;∆ L1=0,073→¿¿

con :∆T1=40 ;∆ L1=0,081→¿¿

con :∆T1=36 ; ∆ L1=0,088→¿¿

con :∆T1=32 ;∆ L1=0,095→¿¿

Realizando una sumatoria de todos los datos obtenidos tenemos:

∑ [ (a+b×∆T 1 )−∆L1 ]2=138×1010

Página 7


Reemplazando en la ecuación (γ ):

S ∆L∆T

=√∑ [ (a+b×∆T i )−∆ Li ]2n−2

=√ 138×1 010

10−2→S ∆ L

∆T

=41583,35

Reemplazando en la ecuación(β ):

Sa=S ∆ L∆T

×√ ∑ ∆T i2

n∑ ∆T i2−(∑ ∆T i )

2=41583,35×√ 4,18×1 0−2

10×4,18×1 0−2−(0,609 )2→Sa=38864,09

Finalmente calculamos el t calc . reemplazamos en la ecuación (α )

t calc .=|a−0|Sa

=|94,34−0|38864,09

→tc alc .=0,0024

Tenemos la t α2∙ n−2

=3,707

Se cumple:

Al demostrar que se cumple no se rechaza H 0

De la regresión lineal se obtiene b, pero b=K=α ∙L1, es decir: α=KL1

Se emplea:

Hallamos el t calc de la formula: t calc .=|K exp−K teo|

Sb……. (1 )

El K teo del Aluminio es: b=K=2,36×10−5℃−1 ∙ L1

Primero hallamos: Sb=S ∆ L∆T

∑ ∆T i2−1n

(∑ ∆T i )2…….. (2 )

Página 8

t calc .< ttablas→0,0024<3,707

t calc .=7,54×1 0−5

Sb=8825176,68


Ya tenemos S ∆L∆T

=41583,35 lo reemplazamos en la ecuación (2)

Sb=41583,35

4,18×1 0−2−110

(0,609 )2→

Ya tenemos K exp=−665,75reemplazando en la ecuación (1):

t calc .=|K exp−K teo|

Sb=

|−665,75−2,36×1 0−5|8825176,68

SEGUNDO MATERIAL


Li (longitud del tubo antes deenfriar ) :70,7 [cm ]

Ri (Resistencia deltermistor antes deenfriar ):104,2

Material: Cobre

Medida indirecta:T 1 (obtenidade tabla1 para R1 ) :25℃


n número de mediciones 1 2 3 4 5 6 7

medida indirecta de T 60 55 50 45 40 35 30

Variable independiente resistencia Ri

23,0 31,2 36,9 42,2 53,1 63,5 81,6

Variable dependiente deformación ∆ Li ¿

0,01 0,04 0,09 0,14 0,20 0,24 0,35


Página 9

b=−1,092×10−2

a=0,38


∆ L=∑ ∆T i2∑ ∆ Li−∑ ∆T i∑∆ Li∆T i

n∑ ∆T i2−(∑ ∆T i )

2 +n∑ ∆T i∆ Li−∑ ∆T i∑ ∆ Li

n∑ ∆T i2−(∑∆T i )

2 ×∆T

K=∑ ∆T i2∑ ∆ Li−∑ ∆T i∑∆ Li∆T i

n∑∆T i2−(∑ ∆T i)

2 =¿


n∑ ∆T i2−(∑ ∆T i )

2 =¿



√ [n∑ ∆T i2−(∑ ∆T i )

2 ] ∙ [n∑ ∆ Li2−(∑ ∆ Li )

2 ]

r= 10 ∙29,57−538

√ [10 ∙4,188×10−2−(0,609 )2 ] ∙ [10 ∙3107− (538 )2 ]


Página 10

r=−0,98629


0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4ΔL vs ΔT

ΔT

ΔL


a=0b=K



α= KL1

=−1,092×10−2

74




……. (α )

Página 11

α=−1,476



×√ ∑ ∆T i2

n∑ ∆T i2−(∑ ∆T i )

2…… .. (β )


=√∑ [ (a+b×∆T i )−∆ Li ]2n−2

=√∑ e i2

n−2…… ..(γ )


con :∆T1=36 ; ∆ L1=0,01→¿¿

con :∆T2=31 ;∆ L2=0,04→¿¿

con :∆T3=26 ;∆ L3=0,09→¿¿

con :∆T4=21 ;∆ L4=0,14→¿¿

con :∆T5=16 ∆ L5=0,2→¿¿

con :∆T6=11;∆ L6=0,24→¿¿

con :∆T7=6 ;∆ L7=0,35→¿¿


∑ [ (a+b×∆T 1 )−∆L1 ]2=2,34×10−3


S ∆L∆T

=√∑ [ (a+b×∆T i )−∆ Li ]2n−2

=√ 2,34×1 0−3

10−2→S ∆L

∆T

=0,017


Sa=S ∆ L∆T

×√ ∑ ∆T i2

n∑ ∆T i2−(∑ ∆T i )

2=0,017×√ 378710×3787−(147 )2

→Sa=8,25×1 0−3


Página 12

Sb=59,40


t calc .=|a−0|Sa

=|0,38−0|

8,25×1 0−3→t calc .=46,33


=3,707

Al demostrar no que se cumple se rechaza H 0


Se emplea:


Sb……. (1 )

El K teo del Cobre. Es: b=K=1,66×10−5℃−1 ∙ L1


∑ ∆T i2−1n

(∑ ∆T i )2…….. (2 )


=0,017 lo reemplazamos en la ecuación (2)

Sb=41583,35

3787−17

(147 )2→

Ya tenemos K exp=−1,092×10−2reemplazando en la ecuación (1):


Sb=

|−1,092×1 0−2−1,66×1 0−5 ∙70,7|59,40

Página 13

t calc .< ttablas→ 46,33<3,707

b=−1×10−2

a=0,547

t calc .=2,03×1 0−4


Se valida la hipótesis

TERCER TUBO.


Li (longitud del tubo antes deenfriar ):70,5 [cm ]

Ri (Resistencia deltermistor antes deenfriar ) :16

Material: Hierro Galvanizado

Medida indirecta:T i (obtenidade tabla1 para Ri ) :25℃


n número de mediciones 1 2 3 4 5 6 7 8

medida indirecta de T 75 70 65 60 55 50 45 40

Variable independiente resistencia Ri

14,5 17,6 20,1 24,4 29,9 36,8 47,5 54,5

Variable dependiente deformación ∆ Li ¿

0,03 ‘0,09 0,14 0,19 0,24 0,29 0,34 0,38


∆ L=∑ ∆T i2∑ ∆ Li−∑ ∆T i∑∆ Li∆T i

n∑ ∆T i2−(∑ ∆T i )

2 +n∑ ∆T i∆ Li−∑ ∆T i∑ ∆ Li

n∑ ∆T i2−(∑∆T i )

2 ×∆T

K=∑ ∆T i2∑ ∆ Li−∑ ∆T i∑∆ Li∆T i

n∑∆T i2−(∑ ∆T i)

2 =¿


n∑ ∆T i2−(∑ ∆T i )

2 =¿


Página 14



√ [n∑ ∆T i2−(∑ ∆T i )

2 ] ∙ [n∑ ∆ Li2−(∑ ∆ Li )

2 ]


10 15 20 25 30 35 40 45 50 550

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4ΔL vs ΔT

ΔT

ΔL


a=0b=K



α= KL1

=−1×1 0−2

70,5

Página 15

r=−0,99928

α=−1,41×1 0−4





……. (α )


×√ ∑ ∆T i2

n∑ ∆T i2−(∑ ∆T i )

2…… .. (β )


=√∑ [ (a+b×∆T i )−∆ Li ]2n−2

=√∑ e i2

n−2…… ..(γ )


con :∆T1=51 ;∆ L1=0,03→¿¿

con :∆T1=46 ;∆ L1=0,09→¿¿

con :∆T1=41; ∆ L1=0,14→¿¿

con :∆T1=36 ; ∆ L1=0,19→¿¿

con :∆T1=31 ;∆ L1=0,24→¿¿

con :∆T1=26 ; ∆ L1=0,29→¿¿

con :∆T1=21 ;∆ L1=0,34→¿¿

con :∆T1=16 ; ∆ L1=0,38→¿¿


∑ [ (a+b×∆T 1 )−∆L1 ]2=6×1 0−4


S ∆L∆T

=√∑ [ (a+b×∆T i )−∆ Li ]2n−2

=√ 6×1 0−4

8−2→S ∆ L

∆T

=0.01

Página 16

Sb=9.52×1 0−5



Sa=S ∆ L∆T

×√ ∑ ∆T i2

n∑ ∆T i2−(∑ ∆T i )

2=0.01×√ 100288×10028−(268 )2

→Sa=0.0109


t calc .=|a−0|Sa

=|0.54−0|

0.0109→t calc .=50.109


=3,707

Se cumple:

No cumple y se rechaza H 0


Se emplea:


Sb……. (1 )

El K teo del hierro galvanizado es: b=K=1,16×10−5℃−1 ∙ L1


∑ ∆T i2−1n

(∑ ∆T i )2…….. (2 )


=0.01 lo reemplazamos en la ecuación (2)

Página 17

t calc .< ttablas→50.109<3,707

t calc .=1135.87


Sb=0.01

10028−18

(268 )2→

Ya tenemos K exp=−665,75reemplazando en la ecuación (1):


Sb=

|−1×1 0−2−1,16×1 0−5 ∙70.5|9.52×1 0−5

6. DISCUSION DEL EXPERIMENTO.-

1) ¿Por qué no tiene influencia la medida del diámetro de los tubos en el experimento?

Por que para este experimento no es necesario calcular el diámetro se necesitan otros datos para calcular el coeficiente de dilatación.

2) ¿Cómo influye el espesor de los tubos en el experimento?, ¿Qué sucede si se cambian los tubos del experimento por unos más robustos (mayor espesor)?

Tardara mas en calentarse el tubo y también al enfriarse, por que este presenta paredes mas gruesas que tardarían en ser propagadas.

3) Si no se valido la ecuación de dilatación lineal, ¿podría mencionar las causas del error sistemático

Una causas serian el mal manejo del multímetro en el momento de medir la resistencia de nuestro transistor, también una mala lectura y calibrado del reloj comparador,

4) ¿Es el termistor del tipo NTC o PTC?, ¿el comportamiento del termistor es lineal o

exponencial? Sugerencia: grafique con algunos puntos representativos de la tabla

Página 18


5) ¿Por qué el proceso de enfriamiento es más lento que el de calentamiento?

Porque al calentar utilizamos una temperatura constante de ebullición y esta genera de forma rápida la transferencia de calor, mientras que se enfría a temperatura ambiente aprox. 22 º C, esta temperatura no es ni muy elevada (100º C) ni muy baja (º C), entonces se propaga el calor pero mas lentamente.

6) La dilatación lineal no presenta histéresis, cite algún fenómeno físico en el que si hay histéresis.

7) Explique cómo se aplica la propiedad de lineal para construir termostatos bimetálicos.

Página 19

0 1 2 3 4 5 6 70

50

100

150

200

250

T vs R


8) Realice la conversión de los valores de los α en [℃−1 ] obtenido en el laboratorio a

[℉−1 ] y [K−1 ] .

9) ¿Encontró diferencia en el tiempo de respuesta (cuán rápido es el calentamiento o enfriamiento) entre un material y otro?, comente la influencia de la conductividad y calor especifico del material.

10) ¿Por qué se cree que las estructuras de hormigón armado (concreto con hierro de construcción), no se figuran con los cambios de temperatura?

7. CONCLUSIONES

no obstante que se pudo ver físicamente la dilatación lineal del tubo, no se cumplió la hipótesis nula, con lo que presento error sistemático, lo cual atribuimos a un mal manejo del reloj comparador.

Al realizar la medición de la temperatura directa e indirecta con el multímetro, se observa que existe una variación de aproximadamente, 4 º C, esta variación se le atribuye que

Página 20


para la medición de la resistencia el multímetro cambia de resistencia a cada segundo, por lo que se trabajo con un promedio.

Se sugiere para posteriores experimentos, mayor asesoramiento el momento de realizar la practica, mas que todo para la utilización de instrumentos no conocidos.

.

8. BIBLIOGRAFIA

Guía de experimentos de Física Básica, Ing. Febo Flores Medidas y Errores, Alfredo Álvarez y Eduardo Huayta.

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Inf. 5 Coeficiente de Dilatacion Lineal

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