Influencia de la Dinmica del Motor, la Discretizacin del Controlador y de la Etapa de Potencia en el Desempeo de un Controlador por Torque Computado para un Brazo Robtico de 3GDLBotiqun Ortiz, Luca del Pilar Carrasco Santos, Efran Castillo Hair, Sebastin Martn Salazar Vega, Yoann luciabotiquin@hotmail.com efraincs_fim@hotmail.com castillohair@gmail.com yoannsave_24@hotmail.com

RESUMEN Con la aparicin de sistemas de cmputo digital, se ha vuelto comn la implementacin de esquemas de control complejo en brazos robticos, mucho ms complicados y efectivos que el PID. El ms simple de estos se denomina Torque Computado, y se basa en tratar de linealizar el modelo del robot rgido, para as aplicar tcnicas de control tradicionales. Los textos y ejemplos encontrados tradicionalmente tratan este tipo de control, pero no se ocupan de mostrar la influencia de sistemas que necesariamente deben aparecer en una implementacin real, como motores y etapas de potencia. En el presente trabajo se simula un brazo robtico de 3GDL bajo un controlador de Torque Computado estndar, y se usa el criterio de la integral del error en el tiempo para medir su desempeo. A continuacin, se incluye la dinmica de los motores, y se usa un esquema de Torque Computado que considera la dinmica del sistema robtico junto con la de los motores, pero despreciando la inductancia, y se mide su desempeo. Se usan datos de motores reales en esta etapa. Luego se analiza el efecto de usar un controlador discreto que use diversos periodos de muestro. Por ltimo, se simula el sistema nuevamente, agregndole el efecto de usar una etapa de potencia basada en PWM para los motores. se pueden observar la disposicin y el tipo de las juntas y las longitudes de los eslabones.

I INTRODUCCIN El presente trabajo trata de averiguar, mediante simulaciones, cmo es que influyen factores como la dinmica de los motores y de una etapa de potencia basada en PWM. Se escoge un modelo de robot simple para poder prestar atencin a los efectos que queremos analizar. Se aplicarn las tcnicas de control por Torque Computado a un robot de 3 grados de libertad (GDL) de tipo angular, que se muestra en la Figura I-1. En esta figura

Figura I-1 Configuracin del robot para el presente trabajo

Se modela cada eslabn como una varilla larga, con dimensiones laterales despreciables. De esta forma, el modelo dinmico del robot es:

Donde , y son estimados de , y respectivamente, de forma que al reemplazar (1.1) en (2.1) tenemos:

Podemos definir a u como un PID: Las matrices se encuentran desarrolladas en el archivo adjunto en formato maple. Los valores numricos que se asignarn a las longitudes y a las masas del robot se definen en la Tabla I-1 y en la Tabla I-2 respectivamente.Tabla I-1 Valores numricos para las longitudes

Longitud a1 a2 a3 Masa m1 m2 m3

Valor 0.2 m 0.4 m 0.3 m Valor 0.8 kg 1.2 kg 0.8 kg

Tabla I-2 Valores numricos para las masas de los eslabones

Las estrategias de control se probarn al seguir una trayectoria. Si se considera el eje de coordenadas de referencia ubicado en la base el robot, la trayectoria a seguir est dada por:

II.2 Programa Realizado Se debe ejecutar el archivo simulacion.m. Este archivo llama a parametros.m, que carga los parmetros del robot como las longitudes ai y las masas mi. Tambin se consideran longitudes y masas estimadas ai_est y mi_est. Los parmetros estimados sern usados en los clculos dentro del controlador, mientras que los parmetros regulares sern usados en la simulacin de la planta. De esta forma se puede investigar sobre los efectos de la incertidumbre en el conocimiento de dichos parmetros. A continuacin, el programa define ciertas constantes de simulacin y del controlador (como ganancias de PID) y ejecuta el archivo Control_CT.mdl (Figura II-1). En l se tienen 4 subsistemas:

II

CONTROL POR TORQUE COMPUTADO

II.1 Descripcin La estrategia de control por torque computado se basa en definir el torque de entrada como:

Trayectorias (Figura II-2): Se encarga de generar las trayectorias definidas en 2.2. Usa la funcin Trayectoria.m. Controlador (Figura II-3): Se encarga de calcular la seal de control (torque) por el mtodo de torque computado Aqu se usan las funciones HH_control.m, CC_control.m y GG_control.m, que

calculan las matrices M, V y G en funcin de los parmetros estimados. Robot (Figura II-4): Simula la dinmica del robot. Usa las funciones HH.m, CC.m y GG.m, que calculan las matrices M, V y G usando los parmetros regulares.. Resultados (Figura II-5): Contiene un conjunto de bloques To Workspace con variables importantes que sern analizadas luego.

Figura II-4. Bloque Robot

Figura II-1. Diagrama de bloques de Control_CT.mdl Figura II-5. Bloque Resultados

Despus de ejecutar este modelo de Simulink, simulacion.m llama a visualizacion.m, que realiza diversos grficos usando los datos del bloque Resultados. Se grafican: Figura II-2. Bloque Trayectorias

Trayectorias de referencia y real Torque y velocidad en las juntas, para poder seleccionar motores. Errores Animacin del movimiento del robot

Con fines de comparacin entre los mtodos de control, fue necesario un nmero que, por s solo, determinara si un mtodo es mejor. Se escogi el valor de la Integral del Error en el Tiempo, criterio definido como:

Figura II-3. Bloque Controlador

Para este valor, se usar como error el Mdulo del Vector Error en el Espacio del Trabajo, que es mdulo del vector obtenido de restar la posicin deseada del efector final de la posicin real.

II.3 Resultados A continuacin se muestran algunos de los grficos obtenidos con estos programas.Control por Torque Computado - Trayectoria

Adems, el programa arroj los siguientes resultados:Requerimientos motor 1: ======================== Velocidad mxima [rpm]: 9.5623 Torque mximo [Nm]: 0.72456 Potencia mxima [W]: 0.089208 Requerimientos motor 2: ======================== Velocidad mxima [rpm]: 9.5623 Torque mximo [Nm]: 5.2193 Potencia mxima [W]: 1.7462

0.6 0.5 0.4z

0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x -0.4 -0.2 y 0.2 0 Referencia Trayectoria Real 0.4

Figura II-6.Trayectorias de referencia y realControl por Torque Computado - Torques de Control 6Torque [N.m]

Requerimientos motor 3: ======================== Velocidad mxima [rpm]: 9.5623 Torque mximo [Nm]: 1.1717 Potencia mxima [W]: 1.0068 Control por Torque Computado: ============================= La integral del mdulo del error es: 0.00832.5

4 2 0 -2

Torque 1 Torque 2 Torque 3

vector

0

2 1.5 t Control por Torque Computado - Velocidades Angulares 0.5 1

2

1 [rad/s]1

2 3

III CONTROL POR TORQUE COMPUTADO CON DINMICA DE MOTORES III.1 Descripcin En primer lugar, los torques y velocidades angulares mximos en las juntas nos sirvieron para escoger algunos motores en la pgina de la empresa MAXON. Los motores elegidos presentan las caractersticas mostradas en la Tabla III-1. La Figura III-1 muestra el modelo que se ha considerado para el motor, basado en los datos disponibles de los motores MAXON.

0

-1

0

0.5

1 t

1.5

2

2.5

Figura II-7.Torques y Velocidades AngularesControl por Torque Computado - Error en el espacio "q" 0.04 Error 1 Error 2 Error 3

0.02

Error0 -0.02

0

1.5 2 t Control por Torque Computado - Error en el Espacio de Trabajo

0.5

1

2.5

0.01

Error

0.005

0

0

0.5

1 t

1.5

2

2.5

Figura II-8. Errores

Tabla III-1 Constantes de los motores seleccionados.

Y despus de la reduccin:

Motor 1 Voltaje nom. R () L (H) KV (V.s/rad) KT (Nm/A) JR (kg.m ) BR (kg.m /s) n JG (kg.m ) 2 2 2

Motor 2 7.2 0.794 5.09E-05 0.00659 6.56E-03 1.29E-06 5.47E-05 492.00 7.00E-08 0.60

Motor 3 9 1.64 7.35E-05 0.0104 9.52E-03 4.07E-07 6.61E-05 231.00 4.00E-08 0.49

9 1.64 7.35E-05 0.0104 9.52E-03 4.07E-07 6.61E-05 231.00 4.00E-08 0.49

Multiplicando (3.4) por (3.1):

y reemplazando

Reemplazando (3.5) en (3.6):

Adems, reemplazando (3.1) en (3.3):

Figura III-1. Modelo del motor

Los ngulos y los torques de entrada y salida en la reduccin obedecen las siguientes relaciones:

Ahora definiremos las siguientes constantes equivalentes del robot:

Donde n es la relacin de reduccin y es la eficiencia de la reduccin, que se debe tener en cuenta dado que presenta valores relativamente bajos. Planteamos entonces las ecuaciones del motor. En primer lugar, por la ley de kirchoff:

Entonces las ecuaciones (3.7) y (3.8) se pueden expresar como:

Balanceando torques en el rotor:

Las ecuaciones (3.13) y (3.14) modelan un motor DC mediante un sistema de 3er orden. Si despreciamos la inductancia de la armadura, tenemos que la ecuacin (3.14) se reduce a:

Reemplazando (3.13) en (3.15):

La ecuacin (3.16) es el modelo simplificado de 2do orden de un motor DC. Si tenemos un grupo de n motores DC, podemos representarlos a todos mediante la siguiente ecuacin matricial:

menos de forma aproximada (recordemos que ignora las inductancias). La ventaja de este modelo es que podemos actuar directamente sobre el voltaje del motor, y definir el torque computado de la siguiente forma:

Donde todas las matrices, representadas en negrita, son matrices diagonales cuyos elementos son los respectivos parmetros de cada motor:

Donde u es la seal de control. De esta forma tenemos un problema de la misma complejidad que para el caso en que no consideramos la dinmica de los motores. Este modelo combinado se usar para calcular el torque computado, sin embargo la planta se simular haciendo uso de las ecuaciones (3.13) y (3.14), para ver si el despreciar la inductancia afecta significativamente el desempeo. III.2 Programa Realizado El programa que se us en esta parte es el mismo, con algunas modificaciones. En primer lugar el archivo parametros.m incluye la definicin de las constantes del motor de la Tabla III-1 (definidas en forma matricial), y el programa simulacion.m, en una seccin llamada clculos que el controlador realiza una sola vez, calcula las constantes equivalentes dadas por las ecuaciones (3.9) a (3.12). El diagrama de bloques del modelo usado se muestra en la Figura III-2. Se puede ver que se ha agregado un nuevo bloque llamado Motores DC, y que el bloque Controlador tiene como salida voltaje en lugar de torque.

Consideremos ahora el modelo del robot:

Si reemplazamos (3.18) en (3.17):

Definiendo nuevas constantes de forma apropiada:

La ecuacin (3.20) es matemticamente similar a la ecuacin del robot (3.18), pero la diferencia es que este modelo considera la dinmica de los actuadores (motores) al

Figura III-2. Diagrama de Bloques de Control_CT_m.mdl

En la Figura III-3 se muestra el interior del bloque Motores DC. Se puede ver que este bloque implementa el modelo del motor descrito en las ecuaciones (3.13) y (3.14) (considerando inductancia), pero en forma vectorial, para considerar los 3 motores a la vez.

Control por Torque Computado con Motores - Trayectoria

0.6 0.5 0.4

z

0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x -0.4 -0.2 y 0.2 0 Referencia Trayectoria Real 0.4

Figura III-4. Trayectorias de referencia y realControl por Torque Computado con Motores - Voltaje de Control 8 Voltaje 1 Voltaje 2 Voltaje 3

Figura III-3. Bloque Motores DC6

El bloque Controlador aparentemente permanece sin cambios, pero las funciones HH_control, CC_control y GG_control se han modificado para evaluar las matrices equivalentes de la ecuacin (3.21). Cabe resaltar que el programa toma mucho ms tiempo en correr en comparacin con el caso anterior, debido a la pequea constante de tiempo elctrica del motor. Por ltimo, el programa ya no muestra clculos de velocidad, torque y potencia instantnea mxima en las juntas, puesto que ya no son necesarios. III.3 Resultados A continuacin se muestran las grficas que resultan de esta simulacin. Se puede observar que los voltajes de la Figura III-5 no exceden los mximos definidos en la Tabla III-1; y tambin que los torques de la Figura III-6 son similares a los de la seccin anterior.

4

Voltaje [V]

2

0

-2

-4

0

0.5

1 t

1.5

2

2.5

Figura III-5. Voltajes de ControlControl por Torque Computado con Motores - Torques de Control 6 Torque 1 Torque 2 Torque 3

5

4Torque [N.m]

3

2

1

0

-1 0

0.5

1 t

1.5

2

2.5

Figura III-6. Torques

Control por Torque Computado con Motores - Error en el espacio "q" 0.04 Error 1 Error 2 Error 3

0.02Error

0

-0.02

0 0.5 1 1.5 2 2.5 t Control por Torque Computado con Motores - Error en el Espacio de Trabajo 0.01

Se ha agregado la variable tiempo se muestreo (tc=0.01) al programa simulacin.m Se ha modificado el bloque Controlador como se muestra en la Figura V-1, donde los cambios han sido han sido resaltados.

Error

0.005

0

0

0.5

1 t

1.5

2

2.5

Figura III-7. Errores

Por ltimo, la salida del programa es:Control por Torque Computado con Motores: ===================================== ==== La integral del mdulo del vector error es: 0.0083

Figura V-1. Bloque controlador en el programa Control_CT_d

Se puede observar que el error es el mismo que en el caso anterior, por lo que concluimos que el mtodo de control funciona, a pesar de despreciar la inductancia. IV CONTROL POR TORQUE COMPUTADO EN TIEMPO DISCRETO IV.1 Descripcin La variacin principal que se ha realizado con respecto al control explicado en la seccin anterior es la discretizacin de del controlador. Nuestro objetivo es observar los efectos de dicha discretizacin en el error del sistema. Se usaron tiempos de muestro de 0.1s, 0.01s y 0.001s. IV.2 Programa Realizado Los programas son bsicamente los mismos que los de la seccin anterior, pero con dos variaciones:

El primero de ellos corresponde a la componente D del PID, implementado como una derivada en tiempo discreto (diferencia finita), recordando que un controlador como el DSP normalmente obtiene mediciones de posicin, y debe estimar la velocidad de esta forma. El segundo bloque corresponde a la componente PI del PID, donde la integral se realiza de forma discreta. Al final usamos un ZOH para simular el efecto de la evaluacin peridica de la seal de control. Todos estos bloques trabajan a un tiempo de muestreo de tC. IV.3 Resultados Se ha ejecutado el programa simulacin.m con tres tiempos de muestreo tc distintos IV.3.1 Resultados para un tiempo de muestreo tC=0.1 Las grficas obtenidas para esta simulacin se muestran desde la Figura V-2 hasta la Figura V-5. En la Figura V-2 se muestra en azul la trayectoria que se deseaba obtener y en verde la que se obtuvo en la simulacin, como se puede observar, debido a que el

tiempo de muestreo es relativamente grande el control no logra que el robot siga perfectamente la trayectoria deseada.Control en Tiempo Discreto por Torque Computado - Trayectoria

Control en Tiempo Discreto por Torque Computado - Torques de Control 6 Torque 1 Torque 2 Torque 3

5

4Torque [N.m]

3

0.6 0.5 0.4z

2

1

0.3

00.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x -0.4 -0.2 y 0.2 0 Referencia Trayectoria Real 0.4

-1 0

0.5

1 t

1.5

2

2.5

Figura V-4. Torques

Figura V-2. Trayectorias de referencia y real

En la Figura V-3, se muestran los voltajes de control. A diferencia de los voltajes obtenidos en las secciones anteriores del presente trabajo, las grficas escalonadas muestran que el control es en tiempo discretoControl en Tiempo Discreto por Torque Computado - Voltaje de Control 8 Voltaje 1 Voltaje 2 Voltaje 3

A continuacin podemos observar que los errores para este tiempo de muestreo se encuentran en el orden de los centmetros, lo cual no es satisfactorio en el control de trayectorias.Control en Tiempo Discreto por Torque Computado - Error en el espacio "q" 0.3 0.2Error

Error 1 Error 2 Error 3

0.1 0 -0.1

6

1.5 2 2.5 t Control en Tiempo Discreto por Torque Computado - Error en el Espacio de Trabajo 0.04 0.03Error

0

0.5

1

4Voltaje [V]

0.02 0.01 0

2

0

0

0.5

1 t

1.5

2

2.5

-2

Figura V-5. Errores-4 0 0.5 1 t 1.5 2 2.5

El programa arroja el siguiente resultado:Control en Tiempo Discreto por Torque Computado: ===================================== =========== La integral del mdulo del vector error es: 0.0634

Figura V-3. Voltajes de control

En la Figura V-4, tambin podemos observar los efectos de la discretizacin en el torque de salida del motor

IV.3.2 Resultados para un tiempo de muestreo tC=0.01 Los resultados para un tiempo de muestreo tc=0.01 se muestran desde la Figura V-6 hasta

la Figura V-9. En la Figura V-7 se resalta que el voltaje de control es discreto mediante un acercamiento a la grafica encerrada en un crculo. Adems en la Figura V-9 se observa que el error para este tiempo de muestreo es menor 1.25 cm. Se ha mejorado notablemente en comparacin con el error obtenido con tc=0.1.Control en Tiempo Discreto por Torque Computado - Trayectoria

Control en Tiempo Discreto por Torque Computado - Torques de Control 6 Torque 1 Torque 2 Torque 3

5

4Torque [N.m]

3

2

1

0

-1 00.6 0.5 0.4z

0.5

1 t

1.5

2

2.5

Figura V-8. TorquesControl en Tiempo Discreto por Torque Computado - Error en el espacio "q" 0.04 0.02Error

0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x -0.4 -0.2 y Referencia Trayectoria Real 0.2 01 1.5 0.5 2 2.5 0 t Control en Tiempo Discreto por Torque Computado - Error en el Espacio de Trabajo 0.015 -0.04

Error 1 Error 2 Error 3

0 -0.02

0.4

Figura V-6. Trayectorias de referencia y realError

0.01

0.005

0

0

0.5

1 t

1.5

2

2.5

Figura V-9. Errores

El programa arroja el siguiente resultado:Control en Tiempo Discreto por Torque Computado: ===================================== =========== La integral del mdulo del vector error es: 0.0131

Figura V-7. Voltajes de control

IV.3.3 Resultados para un tiempo de muestreo tC=0.001 Los resultados para un tiempo de muestreo tc=0.01 se muestran desde la Figura V-10 hasta la Figura V-13. Lo ms resaltante de este conjunto de grficas es que el error disminuy debido a la disminucin del tiempo de muestreo.

Control en Tiempo Discreto por Torque Computado - Trayectoria0.04

Control en Tiempo Discreto por Torque Computado - Error en el espacio "q" Error 1 Error 2 Error 3

0.02Error

0.6 0.5 0.4z

0

0.3 0.2 0.1Error

1.5 2 2.5 t Control en Tiempo Discreto por Torque Computado - Error en el Espacio de Trabajo 0.015 0 0.5

-0.02

1

0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 x

Referencia Trayectoria Real 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 y

0.01

0.005

0

0

0.5

1 t

1.5

2

2.5

Figura V-10 Trayectorias de referencia y realControl en Tiempo Discreto por Torque Computado - Voltaje de Control 8 Voltaje 1 Voltaje 2 Voltaje 3

Figura V-13. Errores

El programa arroja el siguiente resultado:Control en Tiempo Discreto por Torque Computado: ===================================== =========== La integral del mdulo del vector error es: 0.0088

6

4Voltaje [V]

2

0

-2

-4

0

0.5

1 t

1.5

2

2.5

V CONTROL POR TORQUE COMPUTADO CON SIMULACIN DE PWM V.1 Descripcin Los motores DC generalmente son controlados por etapas de potencia basadas en PWM. En esta seccin se quiere averiguar si es que el uso del PWM degrada significativamente el rendimiento en comparacin con una seal de control continua. V.2 Programa Realizado En la Figura V-1 muestra un diagrama de bloques similar al de la seccin V, pero a la salida del controlador discreto se ha agregado el bloque de PWM que es el encargado de obtener la seal PWM que ingresar al motor. Para la simulacin el PWM tiene una frecuencia de 1000Hz, mientras que la frecuencia de muestro del controlados es de 100Hz. Por lo tanto cada seal PWM se

Figura V-11. Voltajes de controlControl en Tiempo Discreto por Torque Computado - Torques de Control 6 Torque 1 Torque 2 Torque 3

5

4Torque [N.m]

3

2

1

0

-1 0

0.5

1 t

1.5

2

2.5

Figura V-12. Torques

repetir 10 veces de acuerdo al voltaje V obtenido por el controlador.0.6 0.5 0.4

Control por Torque Computado con PWM - Trayectoria

z

0.3 0.2 0.1 0 0 0.2 0.4

Referencia Trayectoria Real 0.2 0.6 0.8 x -0.4 0 -0.2 y

0.4

Figura V-1. Programa Control_CT_PWM en simulink

Como se sabe la seal de voltaje de PWM es mxima durante una fraccin programada de su periodo, llamada ciclo de trabajo y luego decae a cero. La Figura V-2 muestra los clculos necesarios para lograr obtener la seal de PWM.Voltaje

Figura V-3. Trayectoria de referencia y realControl por Torque Computado con PWM - Voltaje de Control 8 Voltaje 1 Voltaje 2 Voltaje 3

6

4

2

0

-2

-4

0

0.5

1 t

1.5

2

2.5

Figura V-4. Voltajes de control Figura V-2. Bloque PWM del programa Control_CT_PWM

V.3 Resultados Los resultados se muestran desde la Figura V-3 hasta la Figura V-9. Cabe resaltar que debido a la resolucin alta que el programa debi emplear para simular el PWM, el tiempo de simulacin fue an ms alto que en el caso anterior, aproximndose a 10 minutos. En la Figura V-3 observamos que la trayectoria deseada es seguida de muy cerca por el robot

En la Figura V-4 se muestra el voltaje que debe ingresar al motor para seguir la trayectoria deseada. Este voltaje es convertido a seal PWM para simular el trabajo de un microcontrolador o un DSP con su adaptacin de seal. La seal PWM se muestra en la Figura V-5 , la misma se muestra ampliada en la Figura V-6 donde se puede observar las caractersticas de de este tipo de seal.

Control por Torque Computado con PWM - Voltaje PWM 10 8 6 4 2 Voltaje PWM 1 Voltaje PWM 2 Voltaje PWM 30.9

Control por Torque Computado con PWM - Torques de Control Torque 1 Torque 2 Torque 3

0.85

0.8

0.75

Torque0.7 0.65 0.6 0.55

Voltaje

0 -2 -4 -6 -8 -100.476 0.477 0.478 0.479 t 0.48 0.481 0.482 0.483

Figura V-8. Ampliacin de la Figura V-70 0.5 1 t 1.5 2 2.5

Figura V-5. Seales PWM que ingresan al motorControl por Torque Computado con PWM - Voltaje PWM 9 8.8 8.6 8.4 8.2

Control por Torque Computado con PWM - Error en el espacio "q" 0.04 0.02 Error 1 Error 2 Error 3

Error

0 -0.02 -0.04

0

2.5 1.5 2 t Control por Torque Computado con PWM - Error en el Espacio de Trabajo 0.5 1

Voltaje

0.015 8 7.8 7.6 7.4 7.2 7 0.48 0.485 0.49 t 0.495 0.5 0.505 Voltaje PWM 1 Voltaje PWM 2 Voltaje PWM 3 0.01

Error0.005

0

0

0.5

1 t

1.5

2

2.5

Figura V-9. Error

Figura V-6. Ampliacin de la Figura V-5

El programa arroja el siguiente resultado:Control de Torque Computado con PWM: ==================================== La integral del mdulo del vector error es: 0.0134

El torque obtenido tambin es afectado por el pequeo periodo en que se presenta el voltaje .Esto se observa en la Figura V-7 y la Figura V-8Control por Torque Computado con PWM - Torques de Control 12 10 8 6 Torque 1 Torque 2 Torque 3

Como se ve, el error no aumenta significativamente en comparacin con el caso anterior con tC=0.01s. VI COMPARACIN DE RESULTADOS La Tabla VI-1 muestra la integral de los mdulos de los errores en el espacio de trabajo obtenidos en cada caso, lo cual, como dijimos al principio, es el criterio que usamos para medir el desempeo. A continuacin daremos algunos comentarios sobre estos resultados.

Torque

4 2 0 -2 -4 -6

0

0.5

1 t

1.5

2

2.5

Figura V-7. Torque obtenido en el motor

Tabla VI-1. Resumen de los Resultados Obtenidos

Mtodo de Control Error (m) 0.0083 Torque Computado 0.0083 Torque Computado con el Modelo del Motor 0.0634 Torque Computado en Tiempo Discreto, con el Modelo del Motor (tC=0.1s) 0.0131 Torque Computado en Tiempo Discreto, con el Modelo del Motor (tC =0.01s) 0.0088 Torque Computado en Tiempo Discreto, con el Modelo del Motor (tC =0.001s) 0.0134 Torque Computado en Tiempo Discreto, con el Modelo del Motor (tc=0.01s) y con simulacin de PWM (fPWM=1khz).

En primer lugar, se puede observar que el torque computado incluyendo los modelos de los motores no altera el desempeo significativamente, an cuando este esquema desprecie las pequeas inductancias de los motores. La discretizacin del controlador s tiene un efecto significativo en el desempeo del sistema, llevando a que se degrade de forma muy significativa para el caso de tC=0.1s. Con tC =0.001s el desempeo se degrada casi imperceptiblemente, pero creemos que con tC =0.01s an se tiene un desempeo aceptable sin requerir mucha capacidad de cmputo. Por supuesto, esto depende de la aplicacin en particular. Por ltimo, observamos que el uso de etapa de una potencia basada en PWM a 1khz no altera significativamente el desempeo tampoco. En la prctica, son comunes frecuencias del orden de los 10khz, que alteraran an menos el desempeo.

VII CONCLUSIONES En el presente trabajo, se simul un robot de 3GDL bajo el efecto de un controlador de torque computado, y se midi su desempeo. Se escogieron algunos motores reales de la marca MAXON, y se incluy su dinmica en el modelo. Se modific el esquema de torque computado para tener en cuenta, al menos de forma aproximada, a los motores. Se vio que la inductancia, que se desprecia para el controlador pero se usa el modelo de la planta, no influye apreciablemente. Se convirti el controlador a tiempo discreto usando diversos tiempos de muestreo. Se vio que la discretizacin s influye apreciablemente, excepto para tiempos de muestreo del orden de los 0.001s. Por ltimo, se incorpor al modelo el manejo de los motores por PWM, y se analiz su efecto. Se vio que, con una frecuencia (relativamente baja) de 1khz, el rendimiento no se vea muy afectado. Con frecuencias comunes de 10khz este efecto debera ser an menor. VIII BIBLIOGRAFA

[1] Frank L. Lewis, Darren M. Dawson, Chaouki T. Abdallah, ROBOT MANIPULATOR CONTROL THEORY AND PRACTICE, Marcel Dekker, 2006 [2] Lung-Wen Tsai, ROBOT ANALYSIS, THE MECHANICS OF SERIAL AND PARALLEL MANIPULATORS, Editorial Wiley, 1996. [3] Katsuhiko Ogata, INGENIERA DE CONTROL MODERNA, 4ta edicin, Editorial Prentice Hall, 2003. [4] Apuntes del curso Anlisis y Control de Robots.