INFORME 14: GENERAL II

Andres Felipe Cano LarrahondoJulian David Libreros

Mara Alejandra VasquezJohn Anderson Torres

Mayo 28 de 2014

Resumen

A traves de un analisis experimental se puede observar que algunos datos pueden calcularse por medio de las ecuaciones deenerga. Pero cuando se considera una polea sin friccion se encuentra una difultad al hallar la velocidad angular de un sistema demasa-resorte. Este informe presenta esos resultados.

1. Potencial MagnetostaticoLa energa potencial U del levitron esta dado por la suma

la energia gravitacional y la interaccion potencial del levitronmagnetico en el campo magnetico de la placa de la base:

U = mgz B (r) , Re z

donde es el momento magnetico del levitron.

Para un problema magnetostatico, el campo magneticoB (r) puede ser calculado a partir del potencial escalar conB (r) = (r ) . Usando el operados nabla en ambos la-dos de la ecuacion y con la ecuacion de Maxwell B = 0 seconsigue el Laplaciano 4=. 0, el cual debe ser calculado porun potencial escalar.

Debido a la simetra cilindrca del levitron, se puede expan-dir el potencial (r ) usando expansion de Taylor en r:

(r, z) = 0 (z) + r1 (z) + r22 (z) ...

con r2 = x2 + y2. Usando la ecuacion de Laplace, se ob-tiene:4 (r ) = 0 (z)+r1 (z)+1 (z)4r+r22 (z)+

1 (z)4r2...

La relacion 4rn = n2rn2 sera usada para simplificar laexpresion anterior.

Organizando la ecuacion para los mismos ordenes de r ycolocandolos separadamente igualandolos a cero se tiene:

1 = 02 = 043 = 094 = 2165 = 3256 = 436

Como consecuencia de la primera ecuacion ,todo i con iimpar son iguales a cero. Incluso para i se tiene que 2i+2 =(

1/((2i+ 2))2)2i. Substituyendo k (z) = dkddzk0 (z)

se obtiene:

(r, z) = 0 (z) r42 (z) + / ...

B(r) puede ser expresado en segundo orden en terminos dek (z):

B (r) =

x22 (z)y22 (z)

1 (z) + r24 3 (z)

La expresion general para el potencial escalar magnetico es:

(r) = vM(r)|rr|d

3r

Con M como la magnetizacion de la placa de la base yvolumen V. Con la relacion a la geometra del levitron con unapase de una placa plana solamente hay una densidad de cargamagnetica en el plano z, de tal manera que M (r) = (r) (z), donde denota la distribucion del campo.

1

= v

(r)(z)

(r2+z2)1/2dzd2r.

La integracion sobre z da como resultado:

= zbase

(r)

(r2+z2)3/2d2r.

En este trabajo un disco de radio .acon un hoyo de radio es usado para calcular la forma del potencial escalar. Por lotanto la integral es resuelta en coordenadas polares:

= 2piz ar=

r(r)

(r2+z2)3/2dr = 2piz

(1

z2+2 1

z2+a2

)Con el objetivo de calcular la energia potencial, se necesita

el campo magnetico y este depende de las tres primeras deriva-das espaciales del potencial escalar. Estas derivadas son:

derivadas.jpg

Con este potencial escalar se puede encontrar el campomagnetico B y la expresion para la energa potencial:

U = mgz (sin () sin ()BX + cos () sin ()BY + cos ()Bz )

2. CuestionarioLa polea que se muestra en la figura tiene un radio R y mo-

mento de inercia I. Un bloque de masa m se conecta a otrobloque de masa M por medio de una cuerda que pasa por unapolea sin friccion. El bloque de masa M esta conectado a un re-sorte que iene una masa despreciable y una constante de fuerzak. Si el bloque de masa m se desplaza hacia abajo de modo quealarge el resorte una distancia x a partir de su posicion de equi-librio y despues se suleta desde el reposo encuentre: a) b) c)comportamiento temporal de las energas que se presentan enel sistema.

1. La velocidad angular de la polea cuando el resorteesta nuevamente ideformado.

2. Comportamiento de la posicion, velocidad y aceleracionde cada bloque y resorte.

3. Comportamiento temporal de las energas que se presen-tan en el sistema.

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