Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Mecánica y Climatización

Informe de Tarea, Aplicaciones Computacionales II

Profesor: José Merino Acevedo

Integrantes: Alfredo Araya

Iván Castro

Paulina Escobar

Iván Jara

Andrés Manríquez

Introducción

En el presente informe se plantea la solución a los problemas expuestos en la tarea asignada para

el presente semestre. Los ejercicios a desarrollar para este caso contemplan, hablando a grandes

rasgos, la aplicación de los conocimientos adquiridos en los cursos de Mecánica y de Métodos

Numéricos, conocimientos que como estudiantes de ingeniería hemos de dominar.

La base para desarrollar la primera pregunta es el equilibrio de cuerpos y las ecuaciones que

gobiernan dicho equilibrio. Planteando las fuerzas y sus sentidos de forma correcta para este caso

es vital, ya que estas serán las que jugarán el rol más importante al ser parte de las ecuaciones de

equilibrio, las que nos ayudarán a encontrar los módulos y los sentidos de otras fuerzas involucradas

en el problema. Junto a lo anterior también es necesario conocer la base del equilibrio mecánico

que es el supuesto principal para poder desarrollar la primera parte de esta tarea, el cual dicta que

para que un sistema se encuentre en este estado estacionario se debe cumplir que la suma de

fuerzas y momentos para cada elemento debe ser igual a cero. Además, un apoyo visual del sistema

separado por cada componente es siempre bienvenido ya que este permite representar de forma

visual las fuerzas participantes en cada elemento, es por esto que junto al desarrollo mismo se

adjuntan los diagramas de cuerpo libre asociados a cada parte del sistema en estudio.

En cuanto a lo que respecta para el segundo problema, se presenta en este informe un desarrollo

para la ecuación del calor mediante la utilización del método numérico de diferencias finitas, el cual

ayuda a dar una solución aproximada a ecuaciones diferenciales utilizando ecuaciones diferenciales

finitas para así aproximar derivadas. Para este caso en particular se ha resuelto el problema de la

forma implícita discutida en clases, esto para resolver el problema de la distribución de

temperaturas dentro de una placa cuadrada de forma transiente.

Si bien el objetivo de esta tarea es resolver los problemas propuestos, la principal razón por la cual

se lleva a cabo de esta forma y mediante la utilización del software Mathcad es debido a que esta

representa una gran herramienta para nosotros como estudiantes de ingeniería, esto ya que facilita

los cálculos al hacerlos el mismo programa a medida que se ingresen las distintas variables y

ecuaciones que se deseen trabajar. La utilización de la matemática computacional representa

además un ahorro de tiempo significativo, si se quisiese desarrollar la pregunta 2 del presente

trabajo a mano tomaría mucho tiempo y estaría más propenso a errores humanos al trabajar con

tantas variables y ecuaciones para lograr una solución. Es por lo anterior que la herramienta llamada

Mathcad que se trabaja en este curso no solo ha de ser utilizada en esta asignatura, sino que puede

servir para todo cálculo que como ingenieros necesitemos hacer, facilitando así cada tarea gracias

a la posibilidad de ordenar, formalizar, estandarizar, reparar errores y visualizar tanto resultados

como simulaciones gráficas de la tarea que se desee desarrollar o simular, como lo es el caso de

modelar la Ecuación del calor para el ejercicio número 2.

Marco Teórico

Fuerza de roce, Problema de Mecánica

Los materiales poseen asperezas en su superficie, por ende han de facilitar o perjudicar el

desplazamiento entre cuerpos, movimientos relativos de diferentes mecanismos, etc. La evaluación

de si esta naturaleza que poseen las superficies en contacto es perjudicial o no depende de lo que

se quiera obtener al respecto. Entonces, dependiendo de las superficies en contacto, existirán

rangos de coeficientes de roce. Estos son adimensionales y sirven para diferenciar que tanto es la

oposición que existe al desplazamiento entre estos dos materiales respecto de otros.

Existe dos tipos de coeficientes de roce, estos son el estático y el cinemático, donde el estático es

mayor que el cinemático. En general, nosotros tenemos un coeficiente estático que es inversamente

proporcional a la reacción normal que existe al estar dos cuerpos en contacto y en movimiento

inminente. La fuerza de roce que experimenta un cuerpo al intentar desplazarse respecto a otro

cuando sus superficies están en contacto equivale a:

𝑓𝑠 ≤ 𝜇𝑆 ∗ 𝑁

Esta fuerza es reactiva y existirá solo cuando haya tendencia al movimiento de uno respecto del otro

debido a alguna carga externa en los cuerpos, de lo contrario no existe. Esta se comporta

linealmente según el aumento de carga en el equilibrio, por esto la desigualdad anterior. Para los

sistemas mecánicos y distintos ejercicios, se tendrá la situación en donde se llegará a una condición

en que los cuerpos estarán a punto de deslizar entre ellos, esto se llama movimiento inminente y es

aquí donde la fuerza de roce adquiere un valor máximo, por tanto es en dicha situación en donde

existirá una igualdad entre el producto del coeficiente de roce estático y la reacción normal. Si los

cuerpos llegan a deslizar uno respecto del otro, entonces la condición anterior no se cumple más y

es aquí donde se pasa a otra fase en que cae drásticamente el valor de la fuerza de roce llegando a

un valor constante durante el movimiento relativo de los cuerpos, esto mientras aumenta el valor

de la carga externa de tal modo que se quiebre el equilibrio.

También existe la posibilidad de representar el coeficiente de roce, ya sea el estático o cinemático,

con la ayuda de la reacción que existe producto de la generación de la fuerza de roce f y la fuerza

normal N. Donde, en movimiento inminente, tendremos que el coeficiente de roce estático será

igual a la tangente del ángulo de fricción estático, es decir:

tan∅𝑠 = 𝜇𝑠

Ahora bien, al analizar este tipo de problemas, se ha que suponer los dos casos posibles para la

condición de la fuerza de roce, esto porque mientras el sistema en estudio se encuentre en equilibrio

y hasta el punto en que el movimiento sea inminente, la fuerza de roce se rige mediante la

desigualdad antes planteada. Ahora, cuando el sistema pasa del equilibrio al movimiento de los

cuerpos uno respecto de otro, entonces la fuerza de roce se verá basada en el coeficiente de roce

cinético. Esta fuerza de roce cinético se describe como:

𝑓𝑘 = 𝜇𝑘 ∗ 𝑁

Diferencias Finitas

A veces en ingeniería es necesario modelar distintos fenómenos, los cuales comúnmente se

describen mediante ecuaciones diferenciales. Si bien existen ecuaciones que gobiernan algún

suceso, es muy difícil en la práctica que estas ecuaciones entreguen soluciones analíticas y es por

eso que necesitan ser aproximadas mediante métodos numéricos, es aquí donde el método de las

diferencias finitas juega un rol fundamental, esto porque permite aproximar las soluciones a

ecuaciones diferenciales usando ecuaciones diferenciales finitas para así aproximar derivadas.

Una ecuación diferencial parcial posee derivadas parciales de una o más funciones desconocidas,

estas pueden tener dos o más variables independientes. El orden de estas ecuaciones es el de la

derivada más alta dentro de esta, y para el caso de nuestro estudio nuestra concentración está en

las ecuaciones lineales de segundo orden para dos variables independientes, estas ecuaciones son

del tipo:

𝐴𝜕𝑢(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥+ 𝐵

𝜕𝑢(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑥𝜕𝑦+ 𝐶

𝜕𝑢(𝑥, 𝑦)

𝜕𝑦+ 𝐷 = 0

Donde A,B y C son funciones de x e y, mientras que D es función de x, y, u(x,y), 𝜕𝑢(𝑥,𝑦)

𝜕𝑥, 𝜕𝑢(𝑥,𝑦)

𝜕𝑦

Los tipos de ecuaciones diferenciales parciales que se pueden obtener de la ecuación anterior se

clasifican como sigue:

B2-4*A*C

< 0 Elíptica 𝜕2𝑇

𝜕𝑥2+𝜕2𝑇

𝜕𝑦2= 0

Laplace

= 0 Parabólica 𝜕𝑇

𝜕𝑡= 𝑘

𝜕2𝑇

𝜕𝑥2

Conducción de Calor

> 0 Hiperbólica 𝜕2𝑦

𝜕𝑥2=

1

𝐶2

𝜕2𝑇

𝜕𝑡2

Ecuación de Onda

Tanto para las ecuaciones anteriores como para otros problemas en ingeniería, aplicar el método

de las diferencias finitas significa simplificar el trabajo y obtener así una aproximación bastante

certera siempre y cuando se cumplan ciertas condiciones tanto para el uso de este método como

para las ecuaciones mismas.

Las fórmulas de diferencias finitas son deducidas a partir de las series de Taylor, para esto en primer

lugar se tiene el polinomio de Taylor como sigue:

𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡𝑖) + (𝑡 − 𝑡𝑖)𝑦′(𝑡𝑖) +

(𝑡 − 𝑡𝑖)2𝑦′′(𝑡𝑖)

2!+(𝑡 − 𝑡𝑖)

3𝑦′′′(𝑡𝑖)

3!+. ..

Para el caso de la primera derivada de una función, se tienen 3 casos de fórmulas de diferencias

finitas, estas son las diferencias hacia adelante, centradas y hacia atrás, las que se deducen de la

siguiente manera:

Diferencias hacia adelante:

Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el segundo orden:

Diferencias hacia atrás:

Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el segundo orden:

Diferencias centradas:

Desarrollando la función mediante la serie de Taylor hasta el tercer orden para (x + h) y (x – h):

Si se resta (1) – (2), se obtiene:

Para el caso de la segunda derivada de una función, desarrollando la función mediante la serie de

Taylor hasta el tercer orden, para (x + h) y (x – h):

Si se suma (1) + (2), se obtiene:

Luego, para las fórmulas de diferencias finitas en dos dimensiones y aplicando el mismo

procedimiento mostrado anteriormente, se tiene:

𝜕2𝑢(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗)

𝜕𝑥2=𝑤𝑖−1,𝑗 − 2𝑤𝑖,𝑗 + 𝑤𝑖+1,𝑗

ℎ2

𝜕2𝑢(𝑥𝑖 , 𝑦𝑗)

𝜕𝑦2=𝑤𝑖,𝑗−1 − 2𝑤𝑖,𝑗 + 𝑤𝑖,𝑗+1

𝑘2

Teniendo las ecuaciones que aproximan las derivadas de funciones mediante diferencias finitas, y

reemplazando dichas fórmulas en las derivadas de las ecuaciones diferenciales, es posible despejar

una ecuación que aproximará el valor para los distintos nodos en que se discretice el problema que

se desee estudiar. Para aplicar la nueva ecuación obtenida, es necesario contar con valores o

condiciones en la frontera del dominio que se desee trabajar, esto debido a que el método de

diferencias finitas indica que para obtener el valor de algún punto, es necesario conocer los puntos

adyacentes a este.

Las condiciones de frontera trabajadas en este curso corresponden a las de Dirichlet y la de

Newmann, de las cuales, Dirichlet indica que en el punto donde esta esté aplicada será igual a una

constante, mientras que Newmann indica que en el nodo donde esta se aplique será necesario

generar otra ecuación que gracias a las diferencias finitas deberá tomar en consideración los nodos

adyacentes para poder dar solución al punto que se desee evaluar. Dicho de otra forma, para el caso

de la ecuación de calor, la condición de Dirichlet se considera como una temperatura constante en

el dominio que se indique, mientras que Newmann indica el flujo que existe en dicho nodo, este

flujo puede ser cero (aislado) o distinto de cero (existe un flujo de calor).

Desarrollo

Para el ejercicio 1 se solicitaba el apreciar gráficamente la variación de la fuerza P en función del

ángulo, esto de tal manera para que el sistema se mantuviese en equilibrio. Es por esto que para las

dos situaciones planteadas se han desarrollado programas por separado ya que las ecuaciones en

juego varían, por tanto también ha de variar el valor de la fuerza P. Para el caso a) el programa

generado es el siguiente:

Por tanto, para el caso a) podemos decir que cuando el plano inclinado supera los 39.352° respecto

a la horizontal es cuando la fuerza P pasa a ser negativa, es decir, esta cambia de sentido para que

las ecuaciones planteadas al comienzo sigan describiendo el equilibrio del sistema. Por consiguiente,

de lo anterior se concluye que, debido a que P(θ) debe ser positiva, cuando el ángulo de inclinación

del sistema supera los 39.352° ocurre el deslizamiento del bloque de 50 Kg.

Para la parte b) del ejercicio 1, la programación asociada es la siguiente:

Por tanto, podemos decir que cuando el plano inclinado supera los 34.992° respecto a la horizontal

es cuando la fuerza P pasa a ser negativa, es decir, esta cambia de sentido para que las ecuaciones

planteadas al comienzo sigan describiendo el equilibrio del sistema. Por consiguiente, de lo anterior

se concluye que, debido a que P(θ) debe manterse positiva, cuando el ángulo de inclinación del

sistema supera los 34.992° ocurre el deslizamiento de los bloques de 40 y 50 Kg.

Para el problema número dos se ha generado un programa que permite tanto imponer

temperaturas en los bordes (condición de Dirichlet) como también aplicar las condiciones de

aislamiento en los bordes laterales (condición de Newmann). Para aplicar las condiciones de

aislamiento en los bordes laterales solo basta con igualar a 1 las variables aisladoder y aisladoizq,

por tanto, es evidente que cuando estas valen cero, esta condición de Newmann no se aplica. El

programa está diseñado para una placa de 5x5 nodos y de forma transiente, esto de tal manera que

la matriz T almacena la nueva matriz calculada por cada paso del tiempo reemplazando la anterior.

Se optó por no almacenar las matrices resultantes en cada paso del tiempo, esto debido a que al

modelar este fenómeno de la transferencia de calor entre los distintos nodos de una placa mediante

diferencias finitas es muy lento, por tanto, para poder apreciar diferencias notables a lo largo del

tiempo es necesario avanzar mucho en el tiempo, y para visualizar la matriz T resultante no es

necesario almacenar las anteriores, solo interesa ver el resultado final. El programa es el siguiente:

Ahora, para distintos casos hay claramente distintos resultados. Por ejemplo para el caso en que

sólo se encuentran las temperaturas impuestas sin condiciones de aislamiento, con TS=200, TA=120,

TI=30 y TD=55 se tiene:

Para la misma placa, con las mismas temperaturas, pero aislada en el costado derecho se tiene:

Para la misma placa, con las mismas temperaturas indicadas anteriormente, pero aislada en el

costado izquierdo se tiene: